Zbirka - Vene 4

  • View
    24.169

  • Download
    1.473

Embed Size (px)

Text of Zbirka - Vene 4

mrVENE T.BOGOSLAVOV ZBIRKA RESEN1H ZADATA1x2 + 1, tada je f(2)+ 2f (0)= f(1). Dokazati. 2x+ 1. Ako je f(;c)=x_2'tada je fif (x))=x.Dokazatl. 7. 8. 9. ltl. iI. 12. 13. x-I Ako]'er(x)=-- lada]'c .Jx+l' f(xl- fry)_x-y 1 + f(;c)f(y)- 1 +xy. Dokazati. Ako je f(;c)=sinx,dokazati L Odredili inverznu funkciju 1'1 funkcije ,'r--;r===;; f(x)=Vx+VI+x2+Vx -VI+x2 Odrediti inverznu funkcijur1 funkcije: 2 a)f (x)=2 sin 3x ;b)[( ) x=1- 2 cos x; I, c)f(x)=2(1+ cos X);d)fIx)=t sin2 x, Odrediti oblast definisanosti sledecih funkcija: x-2 a)f(x)=b)fi"J/3=X,3 - 2x \X)=- x+ arc SIn5; c)[(x)=V4- x2 + arc sin;" :\; d)[(x)=arccos-x- +1 +x jednacinu: a)4 arc tg(x2 - 3x- 3) =:n:; b)6 arc sin (x2 - 6x+ 8,5)=:n:. 36. 11]_ x2 Funkcijafdalajeformu]om f(x)=/-;:-.-. Odredili ,va resenjafJE[0, n Jjednacine V3 f(sinfJ)=3' 37. *Dokazali da niza jednu rcalnu vrednost xfunkcijaodredena for, x2+x+13..1 mu]omy=+ 1nema vrednosti veee od2 1 manJe od2' 38.Skicirati grafike sJedeCih funkcija: a)y=Ixl+IX+21; ,-,,---b)y=V (x- 1)2+Vx2 +4x+4; c)Y =Ix2 - 11;dly=Ix- x"i- x; 41 e)y=--'f)y=-.-; - 4'SlUX 1 g)Y =Icosxl' h)y=2sinxlcosxl(0$x$2n). 39. *Dokazali da jeP(x)=A(x3 - x)(A=const)jedini polinom koji zadovoIjava jednakost (x- 1) P(x+ 1)=(x+ 2) P(x). 40. *Odrediti realnu funkcij u [koja zadovoIjava funkcionalnu jednaci-nU f (;,,:21)=5x+3. 41.*Data je funkcija x...,. f(x)=a+ be'.Odredili realne brojevea, b, c, ako je [(0) =5,fell=14,f(2)=50. x-I 42.Datajefunkcijaf(x)= x+ 1(x;:-1).Odrediti: a)f(f(x; b) f(f(x=0,5; c)resenjajednacinef(x)- f(f(x=0,5. 13 3.*Data jefunkcijaJ(x)=x(l +X2)-O,5UzracunatiJ(f(f(f(f(x)))), 4. *Za funkcijuf(x) definisana je funkcijaf" (x)na sledeci nacin: 5. 18. fl (x)= f(x),f"+I(X)= f(f"(x(n= 1,2",\ Ako jeJ(x)=x(l +X2)-O,5 dokazati dajeJn(x)=x(l +nx2)-O,5 Data je funkcijaf(x)=log2 X(x+ 1) x+2 a)Odrediti oblas! definisanosti funkcije[ b)f(x)=1. c) nejednacinuf(x)>0, d)Za koje vrednosti parametara a jednacina f(x)=log2 (x+ a)ima rea Ina D 'f k"f (16 - x2 ata]euncI]a.x)=... 1 - smxsm 7x a)Odrediti oblast definisanosti date funkcije. b)Ispitati da Ii je data funkcija pama iii neparna. Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x)=V (x2 - 3x- 10)log2 (x- 3). .'x2 + 2x- 1 Ako]e f (x)=, tada je 3 (1)2f(x+2)+f(-x-l)=x2+4x+4. Dokazati. Da Ii vazi obmuto? 19.Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x)=V 16 - x2 log2 (x2 - 5x+ 6). ;0.Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x)=arcsin (4x2+ 2x_1)+1I-(x---2-)-(x---3-) x2 4 , ! 51.Date su funkcijef(x)= ax + big (x)= cx2 Odrediti realne brojevea, bi ctako da je f(g (x=g(f(x)), 52.Datajefunkcija f(x)=2x2 + 2x-2 + 5x+ 5x-l, Dokazati da je f (x)=f (x-I) . 53. 54, 55. Akoje d' -x -a f(x)=d'x' +a 2 g (x)= d'-x' +a tada je x+_f(x)+f(y) f(y)- 1 +f(x) 'f(y)' g (x+ y)=g(x)+ g(y) l+f(x)'f(y)' Dokazati. =x, odreditifDate su realne funkcije fl(x)=(x- 1)2, h(x)=Ix- 112, _1)5 hex)=x-I'f4(x)=Ix- 11Vx2 - 2x+ 1i f5(x)=(x- 1) V (x- Ii. Ispitati koja su od sledeCih tvrdenja tacna: a)sve funkcije su medusobno razlicite; b) h ;cf, =f2 =f4 ;cf5; c)f,= fz= h=f4;c f5; d)h;c f,=fz;c f4if5;c f,; e)sve date funkcije su jednake, 56,*Ako je niz funkcijafn(x),nEN,definisan na sledeci nacin: x1 f,(x)= x-I' fz(x)= 1 _x' t"+ 2(x)=fn+, (fn(x,nEN, izracunatif,992 (1992). 15 57. 58. 59. Ako je f =(x- 1)2, izracunatif(3). x+ 1 DatesufunkcijefJ(x)=I,h(x) =ctg"'2,/3(X)=V Isinxl2 ' 1 - cos x Vl+cos2x f4(X)=I ''2I' lspitati kOja su od sledecih tvrdenja tacna: v LCOSX1 a)sve funkcije su mcdusobno jednake; b)medu datim funkcijama ncma medusobno jednakih; c)fl'" fz=f3'" f 4; d)fl'" f2=f3=f4; e)fl"'h =f4 "'fz "'fl' 2 f4(X)=log, 2'lspitati koji su od sledeCih iskaza tacni: a)sve funkcije su medusobno jednakc; b)med" datim funkcijama nema medusobno jednakih; c)fl=fz=h'" f4; d)II =f4'" fz'" f3; e)f l "'/2=h"'f4"'fl. 60.Ako jc f (x)=log6x+3IOg39x,izracunatif (x)+ f(;). 61.Ako je f (x- 2)=x3 - 2x- 1,izracunatif (1). 62.Funkcija f (x)=2x- 1definisana je u skupurealnihbrojeva. Za koje vrednostixsuof(0),f(f (xi f(x2)uzastopni clanovi arit-metickog niza? 63.Data je funkcijax.... f(x)=x2 +ax+3,(a, x, yER). a)Izracunati f(6), ako je Ie -1) =4. b)Resitijednacinuf(f(x=52,akojef(-l) =4. t6 1.2.Granicnavrednostfunkcije 1.Kazemo da jeAgranicna vrcdnost funkciJc lex)u ta-ck;a,akozasvakoE>0postojibroj0>0,takavdaje I (f (x)- AI l' {X2-4,xO { x2-4 c)f(x)=x-2' a, 130.Odrediti tackeprekidasledecihfunkcijax->y=f(x): xI a)f(x)=.>:_3;b)f(x) =x e)f(x)=-.-; SInx d)f(x)=tgx; I f)f(x)=- -" 1+5" x#2 x=2. 131.Dokazatidafunkcijaf(x) =arc tg imaprekidprvevrste. x 132.Data je funkcija f(x)Ixl Dokazati dadatafunkcijaimatackuprekidaprvevrste. 133.Odrediti vrstu prekidafunkcije 1 y=arctg(l 28 x 2.2.Izvodfunkcije Definicija 1.Izvod funkcije fIx}utacki sa apscisom x =a naziva se konacna granicna vrednost kolicnikaprirastaja funkcijeiprirasta-jaargumentautackiakadprirastajargumentatennuliiiikad x->a,tj. (I)f'() def l'f(x)- f(a)(.odf'()Ok'. a=Im--,-- lZVautac1sa apsclSom x =a X""" ax-a predstavljabroj); (2)f'(x) =lim f(x.:1x)-.tI2. &->0.dx Formula (2) je definiciona relacijazaizvodfunkcijeusvakoj tacki ukojojje ona definisana. I"Tablicaizvodaelementarnihfunkcija: 1.(C)' =0(C =const.),2.(x)' =1. 3.(xll)'=nxn-1,4. __1 2y1x (x>O), 5.(sin x)' =cos x,6.(cos x)' =-sinx 7. (tgx)' =_1-cos2x n (x#-+kn) 2 8. (,I ctgx) =---.-sm2x (x#kn) 9.(ax)' =a-"ln Q,10.(ex)' ="x, 11. 'log ae (x>O,a>O)12. I (x>O),(logx)=.- ,x x 13. (.)'I (Ixl < I),14.(arc tg x)' = arc SID x=l-x21 +X2 15. (arc cos x)'= - 16. (arc ctu x)' =__1_.. e1 +x2 2"Osnovnapravilaizvoda: 1.(Cf(x))' =CfIx), 2.(f(x) g (x))' = f'(x) g'(x), 3.(f(x).g(x))'=f'(x).g(x)+g'(x). f(x}, ([(Xl)' j(x) g.g'(x) 4.g (x)- g2(X) (g(x}#O). Po defrnicijiadreditiizvadefunkcija(134-137)definisanihformulama: 134.a} b)f(x)=_lo. ,,/4 x + 5 135.a)b)136.a)f(x}=xsinx;b)f(x)=xcosx. 137:a)f(x)=x2 sin 2xb)f(x)=x2cos3x. Primenomtablicaizvodaiosnovnihpravilaizvodaodrcditi izvo-defunkcijadefinisanihformulama138-a) , b) 139.a)y= 5x6 _3xs +4x-8;b)y=4x3-2x2+x-5. 140.a);b) y=.if;-7x+141- a}y =(x2 + a2)(x2 _a2);b) y=(x3-I)(x2+x+l) . 142.a)f(x)=(2x+l)(x2+3x-l) ;b)f(x)=(3x2 + 1)(2x2 +3). 143.a)f(x) =x2cos X;b)f(x)=x3sinx. 144.a)f(x)=tgx-ctgx;b)f(x)=x-sinxcosx. x2+ 1 x-ax2 145.a) ; b)f(x) =..-;c) f(x) = x+a x2_x+ 1x2-x+1 146.a)f(x)=-,----- ;b)f(x) = X--j-X+ Ix2+1 29 sin x -x cos x [47.a)f(x) = b)f(x) =eXarc sin x. 148.a) cosx "l-sinx 149. tso. lSI. (1+t2)arctgt-t f(t)=-'""-2---' Data jefunkcijaf(x) =- x3 +9x2 +X- L Odrediti 1'( -l). Data jefunkcija f(x) =- +- 1 , Odredili!, (3),432 152.Dalajc IlInkcijaf(x)=31nx-x2,Izracunati!'(1), 153.Datajefunkcijaf(t)=t3-3 Int.Izracunatif'(3), l54. l55. 156. ,")cos x + 1 Data JefunkclJaf(x=......_., cosx-l Izracunati f' CD, ,f()tgx"'f,(n)Ako Jex=______ n. __ 'lZracunatl._-" I-tg x3 Ako je f(x) =5 arcsin x- 3 arc cos x,izracunatif'(). 157.Ako je f(x) =e"+l,izracllnatiJ'(-l), e"-1 158.Ako je f(x) =3 arc tg x-2 arc cotg xizracunatiJ'(2), 159.f() I-sin x,'f,(n) Ako jex lzracunatl-, 1 +cosx4 Odreditiprviizvodfunkcijex--> y= f(x)(160-168)ako je: 1 +ctgx 160.f(x)=-- "", ctgx tg x 161.f(x)='1--' -tgx 162.f(x) =cos x(1+sinx), \0 "1 163.f(x) =sin x(1- cosx). 5-e" 164.f(x) =2 . rr_e-X165.f(x)=e"+e--:1- y =arcctg-- . (W2 -J'ax-x2 * 216. i(x+1)'l'2x-l y=- In---- + --- arctg------6x'-x+I.J3.J3. *1 217.Y=6In (x-I)'I2x+ I --------- arctg--1.J3.J3. .1l+x1 2-18.y=- 10-- - - arctgx. J4I-x2 219. 220.y=a In(Jx+a+.J>:\-.Jx2+ax. 221.y =410 (y'X=-4 + Jx) + Jx'-=4;: . * 1 222.f(x)=1o--+310----+- arctg x. x+lx'-l2 224. 225. v x. 1/1+ x y =arctgx +In VI:::::;:. 226.y =cr.}1 e2x + arcsine!. 227. 12 2211.f(x)=s tg5X+3 tg3x+tg x. 229.y=in (sinx+ . 230.Dokazatida izvodsledeCibfunkcijane zavisiod x. 2n22n) a)y=cos2X+COS2 (3+x)+cos('3-x ; ...2n.22n). b)y=sm2x+sm2(3+x)+sm(3'-x, c)y= sin6 x+cos6 x + 3 sin2 xcos2 x; d)y=2(sin6 x+cos6 x)--3(sin4 x+cos4x). 231.Dokazatitacnosttvrdenja: a)(sinn Xcosnxy=n b)(sin"xsinnx)'=nsln,,-lxsin(n+1)x; c)(cosllxsinnx)'=ncosn-1xcos(n+ l)x; d)(cos "xcosnxl' =- nCOS,-lXsin (n+l)x. 232.Polazeciodidentiteta: .. cosx+cos 3x+cos5x+ ... +cos(2n-l)x sin 2nx 2sinx odreditizbirsinx+3sin3x+5sin5x+ ... +(2n-l) sin(2n-1)x. 36 233.PolazeCiodidentiteta: 234. 235 236. 237. 238. 239. .3 ...()smnx smX+Sln 3x+sin 5x+ . .. +81n2n-1 X="--.--'---' SIDX odreditizbircosx +3 cos 3x +5 cos 5x + (2n -1) cos (2n -1)x. Pokazati dafunkcijay =In __.L_ zadoyoljava jednaCinu l+x xy'+1=eY Odreditiizvodeimplicitnibfunkcijadefinisanim jednacinama (235-238) : a) x2+ y2 =rl;b)y2=2px. a)b2x2 + a2y2 =a2b2;b)h2x2 _a2y2 =a2b1, a)X2+xy+y2=6;b)X3+y3_3axy =O. a)y+arctgy-x=O;b) x xy-arctg-=O. y OdreditijednaCinurangenteparaboley2 =20x,kojagradiugao od45"saosomOx. 240.Odrediti jednaCinutangente biperbole7x2 - 2y2 =14,koja jenor-malnanapravu2x+4y-3=O. 241.Odreditiugaopodkojimpravay =xseeekrivudefinisanu jedna-cinomX2+xy+y2=12. 242. 243. 244. 245. 246. 247. UsledeCim zadacima odrediti ugaopreseka krivibdefinisanib jed-nacinama(242-251): x2 + y2-4x =1x2+ y2_2y=9. x2_y2=54x2 + 9y2 =72. y2=4x2x2+ y2=6. x2=4(y+ 1)x2=-16(y-4). x2_ y2 =a2 x2 + y2=2a2 y2=4(x+ 1)x2 + y2= 16. 37 !48. (X_I')2 + y2 =pz 2 !49. (X_I')2 + yZ =4p2 2 yZ=2px. !50.y2=ax !51.x2 + y2-8ax=0iy2(2a-x)=x3 * !52.Dokazati dafamilijekrivih: a)y2=4a(x+a) b)xy=b2 a c)y2=2(p+a)(x+) 2 togonalnumreiu. y2 =4b (b -x); xZ_y2=a2; b. y2=2(p+b)(2-x); obrazuJu or-253.Datesufunkcijef(x)=4-15x2-2x3 g(x)=2x3+18x+1.Za kojevrednostixje tacnanejednakost f'(x)> O? g' (x) 254.Odreditiugaokoji saosomOxobrazujetangentaparabole y=x2 +4x-17, konstruisanautacki 5 M(2' y). Napisati jednaCinutetangente. 255.Odrediti jednacinutangentekonstruisanenagrafikfunkcije x-+y= -x2+2x-lutackisaapscisomx=2.Zatimodrediti ugaokojitatangentaobrazuje sapravomy -- x+ 1 =O. 256.Data jefunkcijax-+f(x)=2 sin (x+ 1).Izracunatif'(l). x 257.Dokazatidarnakojatangentakrivey=x'+8x+ 1obrazujesa os omOxostar ugao. 2 258.Datajefunkcijax-+f(x) =1-Xz .Upresecnimtackaroagrafika a 38 date funkcijesaosomOxodrediti jednaCinetangenti,azatim nji-hovupresecnutacku. Z 259.Odreditijednacinutangentekrivey =- ~ - + 2,kojasadriitacku 1[A--A(2' 2)isecegr