I I

7

.fItIJ&. UNIVERZITET U SARAJEVU

..,r MASINSKI FAKULTET U ZENICI m r NERMINA ZAIMOVIC UZUNOVIC

ZBIRKA RIJESENIH ZADATAKA IZ MEHANIKE i

(STATIKA)

Zenica, avgusla, 1988. god.

fLC I\!'ermina Zaimovi6 U?,unov1.c,dipl.tllz.

ZBE1KA RrJESmnr ZADATAKA IZ l'lEHANIKE I

v.prof. Aleksandar Jnva..'1,dipl~inz~

Sk!_'ipta ,je izdata ne. OSllOVll odluke Naucno-nastavnog 'iijeca l1as1nskog fakul tet8. u ZenicJ_

Izda:r:jt',: 1'-'l8.ihnski fakultet 11 Zenici Stampa [10 Stamnarija "Bakar' Bor

BADRZAJ

1. DSNOVNI POJNOV 1 12 D'l'A'JlIltE

1.1. Tijela ., ....... ~ 1.2. Sila .. 1.). ~loment 8ile za aSH '" - .. 1.4. Spl'eg sila .................. 1.5. Veze i l'eakci.;je Vez.3_ ........ " .................. .

1.5.1. Uze ................. " 1.5.2. Tnnalt stHP -heZ tezine ......... 1.5.7,. GlatkB pOVrSiD8. . 1.).Lj-. 'l'fJcka - povrsina ........................ . 1.5.5. Pokretni op,lonac ..... ~ .. 1.5.6. Nepokretni oslonac .............. ~ 1.5.7. Elizac ............. 1.5.8. Cfer'ni e;lBtlti 7.E:lob , .................... . 1.5.9. lncljestenje " ........... " ....

1.6. H.s.vnoteza proi7.voljnoG; siste::lB U J'Hvni ... 1.7. f'ostup.f1k l'je.sav3nja zadBtaka - zadaci .......

2. 'eHENJE .. ~:

2.1. Trenje 1,1izanj!l .............. '~ _I, 2.:::. \Jze-::;no tren~e .... , 2.3. 1'1.'cn,5e l.;ntrlj8[Jeid. .

Zadaci 3. TT~~~r[,lrA . ::::: :~::: ~::::::::::::::::::::::::::::::

:;;.1. Tez,iste homogeno l:L,lije i povrsine ... 7,.? t'8pun Gul d_inov~1 pr,wil9.

Zadaci. .... '>,

1_\. hEt;:E:~'KM:'l'T croSA~;T ,................................ r,'c 4.1. Postup8k rjesllvonja 'Z.H(iatak[J . ::./~ ll. 2. :\remonin ill an sila ....... fl.3. :Zulmanov(~ metodo. . ....... e,i) 4.4. Hiterov8 metodH ................. ' . 50

Zadaci ...... 50

2

5. GEHBEROVI, OKvlmU I TOOZGLOBNI NO,sACr ~. ~. e'...... 69 5.1. Postuprut rjes8.vanja zadataka ~...... 69

zadaci ~ " ... 71

6. RAVFfDrEZA. U .PROSTORU ~"""""""""""""" 113 h, l. Glavni ve~(tQr . ,_ 113 G.2. Glami moment.... . ll3

Uslovi re.vnote~e prostornog sistema sile. ... Rjesa:vanje zadatake. .. 0 .......... . Zadac:i

Lit era t u r s .

IH 114 ll5

Pre d g 0 v 0 r

Zadaci urad,ieni u skripti predstavljaju zadatke koji su se po;javljivali na ispitima iz predmeta "Statika" koji se 81u8& 11 prvom semestru na 1'1asinskOID faku!tetu 11 Zenici.

Osnovni motiv za pravljenje ove zbirke z,adataka bio je cia Be studentim& pomogne U s8vlad8vanju materije bitne i :,;a. predmete koji 50 slusaju na viSim godinSlUa studija. Zbirka, i5tO tako, trebn da posluzi i studentim8. l'letnlu.r-

skog faltultetn u Zenici kaji dio materije obrad.;jene u avo,j zbirci ?adatakn slusnju U okviru predmeta "Iich8nika".

db pocetku zbirkt~ zedat;nke u rwjkru6im crtamtl bice ObjB-snjeni osnovn:i -pojrnovi iz BtDtike ncophodlli ;;8 rjes8vlmje Z8datd(.

2

:i:o:nen't sile ZE asn

.;~: umlo'::;d~ sile i nujkI'aceg rastojanjc; ase i pravca sile (S[.1.2)

'- 050 NOlllent sile F za OSU Z je umno7,ak sile i krtlli:a h

:C' h

U1toliko pravac sile sijece osu m.oment je nule ..

;~preg sila iHne dvije medjusobno paralelne sile~ suprotnih smjerovH nB. rastojF'-llju h.(sL.B.) !"loment sprega ,ie umnoz0.k sile i nBjkr9i,eg; rastoj uuj a izmed,ju sila

'\Y"'2: ;;iIF'. Lwstoji de, izazove cistu roteciju tijela. Njegovo djelo-"~ljf" nt' !;ijelo ne mijenjB. ,se ako gA pom,jeramo 11 ravni ti;jela. -;JTsovi se mogu algeb

4

1.5.4-. Tacku - povrsina

F B

A vezorto tijelo

slobodno tijelo ::;1.1.7.

reakeiju c:iji je pravRc oiwr.1it

OJwliko tijelo Bvojom tac}com do-diruje vezu po povrsini (tui'ika A) n.akon uklanjanja Vl~ze reakcije veze ima pravnc normale n& uklo-njenu dodirnu povrsinu 11 toj "tacki. Ukol.iko tije10 svojom pOYX'sinom dodil'uje vezu u tacki (tBcka ]3)) nwmn uklanjan,ja veze treba dodsti

De. Ilovr.sinu tijela u toj tRcki.(.~1..1.7,) Rod svih nahrojl.mih veZFl :poznnt je :PI'fW8,C reakcije vez8, p8 ostoje da se grofickim iIi [lnalitii~ldm putem odrede intenzitet i mnjer

reakci~ie.

1.5~5 .PokL'8tni os1onac

"rTrrrrrr v(>zono tljelo

l ul'~

sl.l.n.

A~ FA

1. 5.6. Hepokretni oslonac

vezano tij0lo slobodno il je\o

~FA -.J ... r:AX

81.1.9.

Ako je :;i,jelo vezano Zti okolirlll pomocu pokretno': oslonca l'eokci,jg veze iIllo pravFlc normu.lf' nr. uklQ-njenu vezu. (5/..1.8;

Ako je tijelo vezano za pod1ogu(SU.9) pomoeu nepokretnog osloncE! ~ koji ne dozvoljtwp tre.nslatorno pomje-ronje u raVlli, reakcij8 VGZe J\l.. je UepOZI18tog praved, Gllljero_ i intenzitet3, i prolG-zi k.roz tacku A. Prvo Be trnzEJ komporlente I'e8k-cije u prtwcu OSD x i -y. :;:~eak:!.;iQ ~ jeclrwka je zbi:cu komponenatD t;'t~-x i. .r A,y) H nj en intrOllzitet j e

}"~-'P

6

1.6. Ravnoteza proizyoljnog sistema sila u ravni Za ravnote7,u proizvodljnog sistema sila u ravni postavljaju se :3 jednacine. Da bi tijelo mirovalo ne smije da 5e krece u ravni ps vaze j ednac,ine

LX'" 0 LY o i ne smije da Be obrce aka OBe okomite na tu ravRU, a to je obuhva-ceno uGlovom

1.7. postupak r,jesFvMjH zadataka 1.'7.1. Prvo je potrebno odrediti tijelo ili sistem 3iju rs.vLwtd,u

treba razmstrati. 1.'7.2. Od vez~lUo tijela treba napraviti slobodno taka sto 6e se

uirlam ti veze a dj elovanje veze z emij eni1;i reakcij ama, roe smjer, u nekim slucajevima slobodno pretpostavi.

1.7.), fiE tijelo oslobodjeno veze treb0 dodati ak.tivne sileo

3iji

1. 7 .i~. 20d dj eloVtilljem aldi vnih 8ila i reakcija ti,1elo (sistem) je u ravnotezi, a l)X'ije nego sto se postave Ils10vi L'avnoteze tl'ebe odal:)r&ti k.oordinatni sistem.. Od iz.bora koordinatnog sistema ne zavise rezultati, ali pravilall iz.bo:t' koordinatnog sif;tema maze pojednostaviti postavljanje uslova ravnoteze.

1.?5. 2osto.viti arlPliticke uslove ravnoteze.

1. 7 .6. l~ijesiti dobiveni sisteTll jednacina. Ukoliko se dobiveni negs.tivne vrijednosti reakcija znaci da su pogresno pl.'etpostavljeni .'3m,jerovi reakcija, tj. da GU Guprotni ad pretpostavljenih.

1.70'7. Lea1ccije u osloncima dobiti grafickim putem.

z d a c i

C

5

2/

81.1.13.

u .:?Sill. , 'em

B

x

'I

1 .. Homogena greda AB tezine G, duzine 2 1 oslanj& se krajem u A na vertikalni glatlci zid. Drugi kraj B pridrzava uze, koje je ucvrsceno u tacki C. ($.1./3) Zs ravnotezni polozaj izracunaj:

silu u uzetu S, - ree.kciju u osloncu A i - ugao oG koji mora zatvarati greda u

odnosu n& zid.

(2)

o

o

sin f.> B.CDS ~ - G ::: 0

G'X - }"j,Y '" 0

b cosIO

_ G F ",8 sinP.J '" A I cos~

F A"'"5oo iii

y 2 1 cosd. X 1 sine(,

o

G 1 sincl- (?tg ~. 2 1 coso

nacin graficldm putem odredjeni Sll smjer i intenzi tet reakcij 8, a pravc:i. BU t&cno oclredjeni prilikom oslobadjauja tijelB od V8ZD,o

y

81.1.14.

ly ~N ",

"~~ I.. , G FEY M

2. IIomogeu", pravougao1l8 ploca 6:x8 dm tezine G",,4oo kil zglobno je veZW18 u ta~ki B i zategnuta je uzetima koja BU prebacena preko k,oturovB. !'Is kraju jedllog uzetu visi teret 1

A Q

y

~~:-r: 5v~~~ / 50

/

:;" j1.

8

st.4.Jb.

sine;{, '" 0

10

-f- 46 + ~ G1

1~. ?riz,maticni stap AD teZine G i dU7,ine 1 oslonj~n je ns gle.tki zid (bez t1'e-lijB.). ~raj 3 stBP~" opterecen je sUom .P. Np.{;i ugeo 00 koji storp mora ZHk18-p&ti S8. horizontalom uri rsvnotez,norn volozaju i odrediti velicine reakcije U osloncima stapa A i C. (rl. 1.16.) Zadano: 1

a

b'

B Iejo"en;je' F

1 ;;:1 , 1 }':I

lao em 40 em

e

e

50 N 70

"

25 If 1 CIll

Cd iT "}?

da UF'

90 18 "

150 18 N

(1) (2) l"+::::;-'c cos c(, '" 0

1 ~ - \J "2 CO[,lo(.- r 1 cosoG= 0

----------------------~Q,----------

1 co sot., - }' 1 coso(,. '" o/cos~ 2 b F

LX

(F+G) &. (50+70 ' 0(,- '~: sin '? -= (j

~-Z r,~in ;' ['f --cosoZ"--

o G R cosc{,-

1 - "" ----

'l',!r:_k~-' 1'\ te:f,j"ne G stoji \J rhV(10':;0-zi nt' UJlutDrnjoj GlfJ tkoj polul:TI1'"

~.noj pov.r~ini vomo~u t~eret8. !. fJh;ic-Benag 'preko ko10tu1'e u tD:2ki ."~. CJdredi velicinu pritiskcl ,'I kojiw, teska l;Hslu) 11 t)ritL~(~e IH' g.U-ltl:1l povrsinu i Deiredi :113"0 te%IlOm .clOlo:;,e-ju. (sL.1.17.)

(:'~HlunD; 'x " 100 ~~ ~"~-

o

co,; _" C

06 \J r,'

COS

12

o

c-;>---' 50 +V5o'+Soloo'-

4;100 0,842

6 Zvad:rstwz vloco t;e~ine G ") 1_'.-' b-. _' " " ~ ,_0 ,,-H a J8seuE: Je POIllOCU uzetc; 1)1:: Z[; 'i:;acku l~ vertik2.1no": g.l[Jckor;; zidh j nr. l,oji se ()Slf-_ll:".p b ,~~ u tn::;ki A. Od.redi rClvllote%ni polo7..a.j uzetu, Odn,)SIlO ploce Cugao 06 )! uilu U uzetlJ JJI.' i reakci-ju zid[- u tE(:!k.i L. (Sl,Ue)

I: '1 0 I:;L,=,(J

"'

1"1' COSc.X-- J~ G' COI"-'- --J:.-" . , , " _'--' COD f-"'" 0

COB ~ + G 1- GA'::: '" 1.: at],.; '" c: ~'''900- 206

cos(,>'" cae (900 - 200)

tgb+

oU arc tg t .. 18,43"

,?;.J ValjElk r8diju88 r i teHne G privezan je pomoeu u~eta Z"l nepomicnu horizontBlnu r~lvninu prema 81.1.19. Kolik8 jE~ reakcija podloge u t8cki ~ ,lli:o je poznata aila u UZ,E;tl~ S i ako je zad!3.llo AE,"L':i"'u?

B

(1)

(2)

sin 2 ol

sin 20(, '" 2 tBi'/' 1+ l;g

1> c "

D () -U

:J

51,1.20.

2in

"

2....L. D

4 a1' :.:,'""'+.1"-

+ YlJ IJ[;,O

11,

cos 60 -

COB "~ + } 1:\ sin 600

r COB 1,1" c " -

t', r 0 0

20 ~,

8. 1~1J. polukruZ:ni 1e7,8.,j u njegovo;j tEcki .iJ. djeluje sila -F '" 20\/2 Ji;, C-ij::. napadn8 linij"' gr8di

F_

ugaa v(. '" 45 prema vertikali.I'L ~Jlo) Odr'editi veliUine l'eakcije 1\:u-r;lice TI i C k8.O i osloncH II g:rafi6ki i Msli ticki,

}i'B=3 N FC'"43 N FD"'20 N

cos 60 0 0 0

sin 60-1"])

J

0

0)

.. , U) 1. (2) n~\lwn lill100,enj2. 3D. ("oOS ?10 odnOl:-mo sin JO o '~'.,b';'n_n;js dobije gC

1 U 3 I"~ COiJ

fOin 45~ sin o )0

L:a 1e 7_lij djeluje PKt;i.vn

()

c

} '-, - r-' sin 30 () - G - F "'" ()

~" C":H' 30 cae 60(+ + :;n sin'''f,o 0 -cos'~60 0

loCe',!) }j

(2)

527 II

(};, ;1(;,,11.;:)1"' i'k~;ivnih ,,1] Q Gi 7je Fr, Cl njen pT'1)VG(: (81.1.210) prelgzi ~-"-),' ;-,p(-:",;je -~rn tcv:Jn1. I,H'VOS i t;r,,{:eg 2,r~r..c-"-l-i::ezu~ .. t;:mt-,u H 1:;.reba r"'.'3--. 111 to: 1\1\ tri pOZIJ8.t;a pr8Vc.

o

~, ii

o

,

te reDkciJe U osloncimi.'c j,_

I~jeueJ!j8:

FA=-65.6N li'Jj,-lo6,3 N FB U H)

b '" 20 em.

F

1 kK ~: C:7)

c COE{) -C: -'f?- eOEi0 -:::(1-8)+.",.'-1)",(. (2) ;, ) F,8 2.10 ,G H

',i' Ie 65,5 LT

CJO d.jelovElujem svih si10 &kt;ivnih i r(;nlccijcJ veZ,8 stap mort; lJiti + .,

\1 ]J(!10z&jll ravnote?;e .'?oznD.te Aile GiS trel'ICl 13veHti ne njihov0, ",",?"lltMltu l{ (~iji -preV8C prolnzi kroz presjec:nu t;-c.(~k1J rii18 J i S . . Uo~1~.V'eTJ.u {-8zultentu pomoc.u lCulm8tlov lillije troba razlo~,iti De :;;

.. ,," ...". ...".

;;';10 (J.'AI T"J i ]i') ciji :SCI pre.vci pcnm~)ti. I'rvo ['e odr0d.l. pres;jecllf.J. " ~ ~

G9nW 1'1 pr8ve" H i li'A~ a z!tilll pt'esjehw ta6kH 2; rn'c,:v:"cC'. pJyot~tDle Ij'Vije IJ8p02Jl&te Bile 1

r:x 0

LX 0

1:1':1) " 0

l:, - F CE cos si[) 4",) ~

;", 5 ::-:in 4;}' "'

20

13.[\tBp iw, pok:I'etne diz8.lice I duZine 1",6 llf WSVT'Sc.en je zglobno u poltre-tnom osloncu A,

c

81.1.27.

~{Le S unj ~;

B

22

15.J:~n glDtkim kosim ravnin81UD koje z.;atvaraju llglove oG i (3 klize 2 tereta ;~l i ~2, ko,ji BU med,lusobno spoj cui nerasteglj i vim 1lzetom. (s[.u'!) .Pri kojem ue;lu r je sistem u 1.'3.Vno- te7,i. lwlilm je napetost llzeta 8 i kolika je velicinu reakci,je n8 ka-sim re.vninatllH.

jcKO ~le J.10Sm~,tIi-\ r;.;vnot;e~,~J sist;emp. i trRze sarno spol,jasnje reH.kcije ondu siCltmn ni~lt~ potrelmo T'8.st:cwljHti. lJovoljno je ofllobod.iti gC\

51- '1.29.

17.1z111edju d " V1Je ravnin uglom oci '" 6 o. . e nagrmte pod d'lije hOmOg:ne 1.:,,"" 30 n81aze se i r t Y. ugle radijuG& To

2 ,eZlLHl G1

'" 10 kN . ~ 1 1. ')0 ,T Odredi..... - KH. ~l uga01sto ga sr .y z&tv8r

8 ~u edlfJta ku,"l"

.d sa horizontal D ,'" g18_tkih podl .' om, reakcije . oga 1. UZ8.JCJ lzrnedju ku ') rerun). prl tisoJ

Iwvnote7,3 grede CD

LX u "

COf' 1+50 -

LY 0 sin 4.50 + () sin 4.:;.0 1

(4) E' D:x cos (,) I'Dy -G + 1

;.Z ,1(~d1',

~)O

3) F Bx Fe sin c(, ,,' 1000

V;; , Rx ;;-p Bx RG5 !l

1 cos c0

:3:v ;:J',-::-G C cos 06

["1\','''' 15?2,?-?oo-looo' ~ i}v

?

2.r~HENJE

Posto podloge n8 kojimR tijelo miruje ili 86 krect nisu glatke, izmedju tijela i podloge (veze) dolazi do pojr.ve trenja ko~je djfJ_ limicno iIi potpuno f;precovn kretan,ie. 'L'renje 8e maze .POSffitltr_s-[;j keo: t.renje klizanjE, trenje kotrl,jFmja, trenje obrtEeXlj8_ i uzer;no trenje. Footo su ispitni za(iaci ug;lavuoID obuhvat&li oblalO't trbTLj," kliZ3l1jD i uzetnug tr'enja to ovdje 6e uk.I'atka biti obuhva6exw 88"'1 ~-f-'T

v87.i Ojlerov 81,

Gdje je:

S, S2 f- koefici,jent lll,etnog tren,jH d..;- obu,"lvRtni W80 koji se uVi,jdt

s1.2.2. uvrsta'l8 u r;;,dijanima F'l i 811e u gr2nRmn u~,et8 (remena). l~od rjes~1V8.nja Za.dF,tf(kr, bi tuo ;je pr,wilno odrediti kojt-t sih' je ve[;a, te nR osnovu tog" post8viti reillciju njihovog odnoSE.

au

,"0, t, .sila. j!:i JlU ODom ;{rB.~il.l ll;;.et:~ nB. kojem ,je 000 vuceno, 8, manja :.'fF'Dl 1':028 se suprotstnvija V'ucen,ju. Ovo va?). Bruno u e;!.'ani'~nom J.:5~""ju rll.v1J(!te7,e.

,;no tr'Ju,je je isl'oristeno kod tran.'l1nisija da bi Be maSuo podi-','" -;;'"'1'",t i.li j.~vrsjti preno8 snage. Da -oi na,staio kreta.tlje .moment

~.r ,r;.ia mora biti veci ili jeduak momen-t\~ tnreta. Uzetno t:t'enje is-. "1'-, ~;tCll(i je i kod k00nica sa tr'8J~nm" Na rlobos d;jeluje obrtni mo-'~iim~, l(();ji narncl,ji dB. En obrne. Obrtnom momentu suprotstavlja. se ""~Inq(t B _-tE) l\O{~entJa. Da bi knCinlca bila u ravnotezl. vG(;a sila je

~, h(~J>J pravi moment 8!Jproi;no5 sru;jer8_ \l od.p.osu nB. obrtni moment.

'rOCf'-,_k na, s1.i(;i 2.2.& rrooz8 do. se I,otrl ;~ia j)n j)o(nozi imr]a ne-rnn k-U ~~anja.. Ako ne posto,ji ot-pOl' J\o1;eljan,ie., pori DE:;jmI:H:,jDj 1;11 -j F to(:Sl( H S(C kret,8_o. El.~-

~;pC'rirnentah'o .ie l)tvrdjeIlo ria se (;:)l:ak nece p::JrnJ e:el. d pri :ma-1 im vI'ijedno,c,tima. sile 1~ Dye flok ona ne das1;ig:ne gro_niclln vrijedno8t 1

No

34

o (1)

o t-1.i'111.-F+NB o (2)

iz (1) slijedi Nil.'" t-2 ~~B pa kada se uvrsti u (2)

/,1/,2 "'3-F+11B " 0 l! . ii "" /1-2 1,'

NB'" 'fA 1+/"1(-2 - 1+ hh

u ~~ll(t:l+n) sino(. - ("t2 HB(m+u) coso

Lz ~\edm,(~ine (4-) izr!!ze roe iII i, li\ U funlrciji ue;l& If ' P;E.. se sve uvrsti U ,iednncinu U). Ilobije se ,lerix18::ina S2mo SD nepo::mntom tp iz koje se i odredi rRvnotei;,ni UgEJO.

st.z:r

[y

5, 'f'ereti G1 i G~? poYez,':ni EU u!':"tom preko JwtU7.'''' ,,',. 1.zr;,

38

::2 !tcos 1+5 0 coso(, - 2 cos 1~5 sino(. '" 0 fcosd_- sino/.." () /: C0800 f'" tgd; OC'" Brc tgj-t

!iL2.9,

7 ~ KoUka mora bi ti tezina tereta A da bi se tijelo B, tez,ine GB~ 5 kN jed-nolikom brzinOIll kretalo uz kosinu .iko je koeficijent trenj& kllzanjf). uzeta nS. nepokretnom koturu i kosini f .. 0,25 i uge.o d..;- 30 (81.2.9). Ejesenje: nuvnotezD teret[, Gf3

LX-O

2:Y-O

21 -GB sin 300

_'1',,0

if-G;>, co,~ 30 " 0

lz (2) slijedi d& je ~f"'G!:lcOS 30

(3) de' je 8. iz

(1 ) (2)

0)

~'z jedru-'-'::ine (1) kB.dB se uV.I'sti Ll"" (;::', sin -;;:'00 i)tGGcos 30

'1' '" jt("B C03 l': i T dobije Be

sin 300+fCOS 7;0)

),5fl?) leN

,Tedn!o:6intt uzetnoE; trenjn nE ne3)okretnom koturu dGje vezu izmedju

ni Uf,f' 0

hila

81.2.10. G

j8 S~) '7~, jer se ter-..t krece uz k.osillU.Obuhvat-c k~' ?5 ?n

E2"'['1e' '" 7,5825 0,".'-;- '" 6,045 kN

8.?relw d.vi~je nepomi~ne osovine Sf., centri:na u, 0 i 01 prebp~en je konopac ::ije 3U kre.jeve objeseni tereti G1 i G pri ce-rou. je G>, G1 eG ur

!Lu{.ln e '" In '1 - In In L1-lll E/

~, d.,. Soo In ,_oo-ln T Jr

0,05828

oc "Ji'

lo.L'reko tOi'!k8_ rad~\ls~, H=30 e;n pre-b2ceno je uze Ciji je jed~,n krak u~vrS6en u

t;8~ki A, [~ drur;i opteref:en tegom te-~ineGPoo h. i,iu i"toj osovini oko ou-bnjl' rtldij~lsL :t':o-lo c:n omottmo je u\-;e !CO,18 je o'?terec,eno ,nrem8 f-;l.2..fi'. tere-to:n G:>"

Jzrn.(~1ll1p.J kolild teret C;: r:lo~0rno ov;ie-siti t aka je koeficijent trenje iz!!.w--dju u7,eta i to(:k~, !{.OC G,? 1).', de: o;e si-},tem nn1nzi W} grD.Dici ravnote7,e.

E,jdicnjc! -----

sL. 2 f3

i z (1': l (

b {(:~ Jt-li' -1) l-1'e !-I-Jf

n. '~reko nenomicnih tockOVB A i 13 -P1:'ebacena' je tr&k8 i vezc,nn Z8 krEjeve StUp8 CD, du;;:.ine 2b i zenemerl,jive tez,ine. [j" stanu 1e7,i teret b teiine G. Odrediti uajve6u udaljenost x tereta E od sredine ste:pa, pri kome step ost8je u horizolltalnom poloz:O',ju, 1I:ao i sile u traci. I\oeficijent trenjE izmedjn trske i tock8. je f' Rjesenje: . KBvnoteza stapa CD

D i'-'" eAo/.. ~l

Q:')ft-cJ.., 1 '"

,\

JT T

J:Y

12.l.lriz!IlBtiCno tijelo teZine ~""lo kN kre6e se jedno1iko niz kosinu nHgnu-tu pod uglom (3 ",600 KoUko puta mo-ra u tom slucaju bi ti omotanQ U~,{:; oka nepomicnog hrapavog va1jkE b., .aka ,}~ n1)petost u~,etB. :3"'100 :j, koeficijent

t;renjc~ nt:;, kosini i ve.1jku /

, ,','

1

I::

II! ,Ze spu.stanje teretp. na 5radiliCtu upotrebljE'li:l ge vitIa sa kocnicofu

~re,J~Q je prik8.zBllO rw 81.2.16. 06re-d:i. m!_-J>:GJ.m21nu v-eli3inu tereta ':~ kO,ji- se mo;ge spui'itati pri pritis-'em n0 kJ6nieu silom F=25o J i lm-ei'i.cijent trenj~!A'" 0,3.

ve'j i,>;ine: U!.,jCiUl8tUT' ko::noG vijenca n"'5o cm ;"J:L,j;:'8etf;:::' bll1mjro. d '" 20 em eJdcljenoc.ti polugl':"ill 1 m

tel /1,/O,I_!-

m; ;,'L

GE

,lG 0,' -1-' Ij;:~ :0(01)

(). ~" 5000 15Cio j',;

tI'en,ie n:;, knsi,ni tren;j e kO~l1i ce

10 1,2 60

em

In

em

4:)

sl. 2. n

LX "- 0

o

R,j esen,j e: Ravnoteza poluge OG

[MO'" 0 G(l+a)-'b2 a",O G(l+!!l

82 '" a

82'" 200(1~rt21

HaVIlate'za koCionog dobe.so

21700 H

HBVIloteza teret8 Q,

T-j-2~T,-(,\ sin l~'J,,-O ll-Q. cos ii_50 eo 0

T" 1:'1 Q cos /j,So fl Qc.os /.j'50+2;;;-Q sin 45",0

21700 171.00 n

46

I-~ []J----r-ir'-,--, h

SL. Z 18.

16.Zs diferencijalnu kocnicu prema 81.2.18. odredi: a)koliki teret Q mozemo pri-

drzavati nB kosini alto te-Ziua tega UB kocnici izno-si G=5o kN.

b)kakav odnos krakova b2 :b1 mora bit:!. da kocenje bude automatsko (teZina tega G~O). Zadane velicine:

G"-5o kN 9."'50 em H=5o em I'koo" hI ""I em r",20 c{,k",24oo b2",16 em ('> ~ 45 j't- 0,1

R

-/

i ,

\

I d '- 0

17.

50

i\,'v".::sina Ilastale rotacijom krive linije ako oso y ili x jednaka :;e p:r:'oizV'odu duZine te linije i ,puts. koji predje teziSte (2JTY

T -'..J;; 2 JfXl')' U:n.lg.O pravilo maze se napisati U oblilru:

V 2JfxTA y ;:I;.r.;;r-"tinH mU3tala rotacijom roname eka osa y ili x jedna1m je mc::d .. zYodu te pO'Vrsine i puts. koji predje teZiste prilikoru rotacije

o

151.::,.1.

1. Za datu liniju prik6Z811U no!: slic:i.l1. analitick:1.. i graficki odrediti po~ lo7.,F~j teziStll. Odredi ti velicinu obrtm1 povrsir10 n(1stale oortanjem lini;je oko ose OJ. R "" 2 em

Rjesenje: -----~

14 em ]. em

i

1

2

"5

4

I.

L. ~

R 0 2

11' JT " 2Jf EJr

"'2J1

hJ20 2ft 17,38

i.J.:X. l ~

L. ~

X. ~

R 0 1 :;

R+ @ "'2+ Jf .

2R",4 R 1 2

" G

36(' ,73

51

8 :rr

v L.X, LiY i "1 ~ , 3R.6 2 12

B.+ !L!! -2+ JL 28,56 2e.5G IT iT R+ &.li ",2+ 4 25.13 20,56 JT . ,IT

R 1 2,83 2,83 2 .

58,52 63/)5

;:2. Odr8ciiti teziti 1;(" z acilme hornogene linij e Dretnc- 81~C2 :1 2 (grafiski i ~lDali-

R .. /Oem

Y c

i

1

2

4

R.iE- 'I 2 -R 5 2

RJf 2 '" 15,7 I. 32,7 L:L.X.

, 1.

LLi

I:.LiYi LLi

s1.3.).

'" 4.75 em

x. , 0 4 R

4"

r.::k or

32

Yi L.X. L.Y. l. ~ , ,. R . 7,5 0 37,5 0

2,5 B 4 2,5 17,5 17,5 0

, """1+ R-7;5 0 37,5

." 6,4 2h Jr . 6,4 100,48 100,48 155,5 155,5

3. Od.redi zapreminu tijela koje nastaje rotacijom zadane po-vrsine aka osi x~ (SL.3.?>.)

A,

, A', "',

"

lJ '" 40 em . IJ 1 em

A, A, A,

\ J] ~:' ,. , \

i

1 2

3 4

L

o

53

A. xl , 200 0

-4 -10+ -t! - 10- 2f: 112,5 0 234

Xc 0

Y tAi Yi

'" 15,2 em c t Ai Vx 2JrAi Yo '" 2232,4 em3

4.

1---__ .. _0_ sU4.

Ie, L..

i A. X. , , I :/"'16 a ?'" 2

-

,iff -JT 2. lb '0r +

3 -

g2jr -JT 20. = l'b' '3

" --;;;-

= -

4 " -zr ~

= 2

a 8 2 2' = 3Jr + 8

?Jf'

'" I

a 2 2

A,Y. , , 32

20 8 3K ~ 3Jf -8,95 -2,67

a -zr - q. - 4 I

L >,72

2,86 em

5. Oriredi r8cuus.k.i :i. graficki koordinate te7.is1:& ST.'!'J1.'irune povrsine i izracu-naj z8preminu t:i.jela koja nast$.je po-t'punim ol)rtanjem te povrsine oko 0 y ose~ (5(J.5.)

H '" 5 em

o f-----cc'f---------------' __ S[.3,5.

i A. ,.

1 R-2R"'5o

50

SL,3.6.

55

. ljR 5 20 RT IT '" + "'!Ji R-. ~; =5- IT

R = 5 125 250

2R- 4R. "'10- ~ 139 8 154,58 "?7f -,Jr'

208,34 ;62,91

'7,258 em

x c

6. I:t, homogene kruzne ploc.e ra.cUjusa Ii treba isjeCi drugu kruz,nu placu dvaput mMjeg

radiju8a~ (st, ;;.G) Od.redi udaljenost e '" 001 pod nslovom cia teziste srafiraue povrsiue padne u tacku

~)eiJenje:

X A1X1-A2X2

c A1-A2

Al 2Jf Xl 0

"2 x/X X2 e

X E?Ji _O_r2 ]f"e

c f{,2$ _r2

R -2

H 4 ~"'Te

e "+R

2-4

~ -+

n2J1 "4 e e

H2 JI - T

jy

sL~.7.

a a

A .J dA J ydx ..12...

.2 0 o ~

J xdA SXYdx X .(AL....- 0

c A A a

a

7. Izracun,aj koordinate teZista povr-sine ogranicene apscisnom Dscm nn duzini a, ordinatom b i parabolom Y + x2 (s1.5.7.)

a

Rjeaenje:

x ' c y c

SxdA x' ID-e S dA

(A)

a

LAiYi

[Ai

Yo' /ir fdA (A)

J x2dx "" b x' I ab a2 3 ~ 0 0

b jx3ctx a ~ 4-I

b ..1L 0 4- ..2.... A a2 ab 4-

,

3 a 0

J+dA +J/ J X4dx a dx b 2 x5 I fA) b 2 ..:::::z:::.. ..2.... b y c A

+--n~f-.---'-

S[.3.B.

0 0

A '" 2ci4 A -~ ab < -, 0

8. Odrediti koordinate tezista kruznog odsjecka prikazanog no:, slici..3.8,

Rjesenje:

XcI'" + r

10

57

TeziSte trougla

Tez,iSte kruznog odsjlcka X ", [AiXi r2d., - + r ~ - ~ r2Sin~% r

c 1:1:i r~ _ ! r2 sin 2ol.! COBol

4- sin?oL. Xc'" T r 2.x.- sin 2c("

o

I ~ .. ~

58

4. R E ~ E T R A S TIN 0 B A 6 I

Resetka je nos8C sastavljen od pravih atapova koji au medjusobno povezani zglobovima - cvorovima. Ked rjesavanja resetkastih no-sacfl. treba voditi rae una. a slijede6em: 1. Sve sf Ie ltoje dj eluju ne. resetku treba nanosi ti u cvorovima. 2. ':reZine stapova su Zanemarljive U odnosu ne. opterecenje koje

stapovi prenOBe.

3. i\:od. proracnna resetl~~ uzima se da 8U stapovi optereceni nn pri-ti.sak Hi i.steza:uje.

4. 'l'.renje u zglobovirua resetki ne uzima 5e u obzi:r.

4~J.. Postupak rjesavanja zadataka P:dje nego st;:o se zapocne rjesavanje resetki.~ odnosno nalazenje sHu u i'ltapovima treb8 odl'editi dB. 1i je staticki odredjena. Ako j e I'esetk3 stati6ki odl'edj ena vaZl adnos broj a cvorova i stapova rceetke

S - broj sta.povO-. n - broj 0v'O.t'ova

Ako je 8..;: 2 n - 3 1:'esetka prelazi u mehaniz8lll, a ako je s> 2 n _ :;. !'eset.ka je steti.cki neodredjena~ l'ietode za odred;]iVBn,ie ailn u stapovima, koje ce ovd,ie biti pome-Ilute, vaze samo Zi:, staticki odredjene resetke. Hesetka je Yez::me ze okolinu POlliOCU Yeza.. Veze treba uloniti. a njihova d.j elov5..nj e zamij eui ti reak~ij ama. l~eakcij e treba odredi tei a.nnlitickim i grBfL~kim plltem. Kod. analitickog odredjiv&nja. re-aJcei,ja u osloncima I}Ostavljaju se 2.nalitic.ki uslovi ravnotez' [X '" 0 [y '" 0 l)lA .". 0, gdje je tacka A oslonac kroz koji prolazi uajveci broj uepoznatih reakcija.. Rjesavanjem jednacina ravnotezo iZX'1l.cU01-J;ju 80 llepo.znr.~te reakcije. GI'ufii5kim putem mogu 88 odredi ti prnvci, smj erovi i intenzi teti realtci,ie U osloncu. J?rvo se $Vo aktivno opterecenje kOje djeluje un resetku zamijeni rezultantom, odnosno odredi se pravaC,smjer. intenzitet 1. napadna tacks. rezultrmte~ Zatim fle kOristi uslov rev-noteze tri 8i1e u ravni, koji kaze de se pravci ail a sijeku u jed-noj tacki tj. rezu.ltanta i pravci reakcija sijeku Se \l ,iednoj tac-ki. Pravac jedne rea~cije je poznat - pokretni oslonac ili stap.

59

hezul tanto. i poznati pr8VBC reakcije sijeku Be u jednoj teckL Kroz tu tocku i. nepokretni Delouse pavlac! se pravac druge re,,'..k- v. cije. r'o~,to au odredjena aba ,Dravea reakcija rezu:tan~a se r~~lOZl. n8. dvs PQznat& pravca . _::-'od. djelovanjem ektivnih slla 3. r{)IiLi{C1J~ veZ8 1'8setka je u re,vnoteZi f trokut 5i12 koji cine rezultBnte :1..

" tD,j nacin odredjeni su smjerovi reskcije mora biti zatvoren. nB reakcijn. r-';tokon odredjivanjo reakcij8 vezB., treba odrediti. ~~.le u stap~vi!lle

f' Vl" i1i an""liticldm metodama. GrD.f1.ci{a ruetod2 Je res etke gre H! ell!! ~ . :8i terova me-!{remonin plell Si18 Ku1manova metoda, 8. z.ne.liticka Je tode.

4.2. i\remonin plan Gil&

i!a bi se odredlle silo u StEtpOVl:2l8 1'888 " v tke u.oruocu Kro2Iloninog plnn~ le. "enui;i od eVQN. 11 Karele djeluju ll2,jvise 2 n'poznete si-:dl8., trebf-:' _'- _

1e u stvt'JOvim1:1 i xli.ljmanje jerin& pozll3.te sil&. Crtanje t:re!lloninog .: ~.. d po u"t;e "'-i10 Zatim 5e u s:njeru ks.zr,ljke rH' plane 51.18 po(anJ'"" 0 Z Co. ~

"" " " k J'" se "'ijeku u posmatranom 5fJtU rwnor~e pra.VCl 51.1.8 U st:;'pOYlffic! 0 1. . " " .. , cvoru. :::u~elne sile u jednom evoI'U zBtvar~jju mnogougBO SllB~ ,.JkO-

, '. ,. ~ -\ -taD je apterecen n2, ~nlt1.sO-k. liko je Gl1[1 usmJeren ~rem,-, cvoru, S.. , " ""-Ucm, 'e"onB. od evar,; stG:P je optere6en na :u:;teZ8nJe. l.'O:r:'-l:.ko je silr _ d ..

'nir"llje Kremoninoo' nlrma 81. 8 lias 8V.J C' ~ < '" ~ '1 t 1 ,- '0 511 lijedeAirfl tv-oram 11 "V : 1 "W"V"C,,: J'J2J'V'se dvi.ie n090 zHPte sile~ ,;0130 je n

Bile u st8pov:[m&

Vz,"'~ c~n

c''1'''-1,06 k,') 2,15 k;~

9'" - 1 bi

~,7,6 k>;

1,7 lUi

LX,O

I:.y 0

(3) (2)

E7 '" 1,05'10'.1 S8 " 2,15 kN 55 '" 2 kN

, 0

o

su ne. . t :LD ;ezcnje

metods

dok. su ostali opt ere-

(1) (2) (7)

f-- 3m 1m 2m

I ~q,z,

F,

}'.s"3-TI'2"3-Q6

En 9 kN )'L 3 k~'i

LMij",SS"3-Qo3 0 L t'\:;", [i4"he Q"3 0

o

o

L S4"h2+E 5"3-E'2"31-GS"1"'O

::;6 2 kN L4 5,22 kN C' 2,24 kJi" "'5

62

2. Za resetkastu konstrukciju krana L4.Z. odredi:

(1) (2)

(1) (2)

a) graficki i analiticki reakcije U osloncima A i B

b) pomocu l{ulmanove i Riterove metoda odredi velicinu i ka-rakter sila u stapovima 4, 5 i 6.

Rjesenje: 1 kl' 2 em

UL " .l...LL 1 em

Kulmanova :netoda S.

"3 kN g J.;-N

:2.4 " 5,2 kN S5"" 2,2 kiT 86" 2 klf

Riterova metoda

3 tgo(,'" 1,15 em 1,2 em

1-' I ' ;;1 r-r+

1

L X ::';'1 - i L y v , , }, L 311-

(1)

(3) l"1-) (2) YA

o~ 1m

ji 0

-!;\ i') " :i

~l -

o

"-'i

\ '~ )

" ()

y

" '7)

;:(UlTllMQVD rnetod~

1

o

\;15'1

2 1 3 kN "3 kl'l 1+)2 kJ'

(6)

(9)

ninog: -plhim siln c) kontmlicati sile u

:2 j '3 i l\ pomocu ilul;ntv"lov8 i h:i.tf~rove metode.

2 i 5 Qpterec;eni iotezanje. 8 ~I 4 i 1 il:-: rritj ,-;

'I -'j, ~-) k:{ , I~ - 1 . c\~~, kU : ~~ ; ,1.1. kU ~-

", li,,;' k,{

- ::,4 1 i": j

65

LY " 0 JiB - FA - ,~~ = 0 L)iil 0 li'BOS - Q 0+7 cosj-) 0

----~----~------

t iirl I'~"--"--1\ c

6,75 kN F - 1\ n " 3,75 kiT

Kulm2.ll0V2 metoda

o

! i hJ ! \ "

\ i ---+\~\\r--'1"'----t_~\ __ 1 "\ fj

\!/ RitoT'ova metoda

u ~ 2....!!! L 1 em

= :;,75 ill 3,355 ill

F

LX -

E"l'

sLh.';!.

?aV;lotc7B RoLica

- :2 , G co" 60 00e

Ii 1 +:~JF~)~~~~~ ()oo'" l

" '

-2

C 0 CD ,0

67

5. lin resetkastoj koso:i ravni 0810-n,lenoj u tacki A, a 11 ta~ki B ve-zana stapom BY ZB zid, n&laze se kolica CD tezine G=4 ~N. Kalica $11 vezana llzetom CF za t;acku :E nEl. vertikab.om zidu. Uz,e EC pnral.elno je sa kosom ravni. Grafickim i. ana-litickim 'Putem odrediti velicinu re-akcija 11. .osloncim2. A i TIl

Havnoteza resetke

------------------

FB 1, '(3 kN YA 0 " kN XiI _':> ,46 kl'J

l= ;:::1 y 0 (J 2') hl - F'2fJ?'" 0

LM "

o ---------

fJ C

"~7) k,,,{

S:::' ;:> ),:1

Kul:YlBrtOVH metoda

Hiterovs meto~t,l

:FA'" il,? kN;

Pn" 1,73 kN

(11 hl~ 7, sin 30" 1,) m (2) h

2o. y 0 m

(')) h"j'" .~ .[7;-"

COS3{)"

h4 0 1,) m

kN

5. GU{3EIWVI, OZV I:t;.tH I 'lII.CZGLOENI NOEJ..2r

Dvije ili vise zglobuo veZFonih greda cine slozenu Gerberovu gredu. ZadotBl>:: se rjes8vB slijedeCim redoslijedom.

,5.1. l.Iklone 5e veZe i za.mijene reakcijama VeZ;8~ .?ostave se anali-tiCk:i uslovi l'avnoteze

LX ' 0 LY - 0 Posta je oroj nepozuatih spoljasujih reskcij6 ve~i od bro,lH jedna-ciua postnvljbju 88 i momeutne jedJwCiiue za Gerberove tHcke sa 1i.-jevEi ili 88 desne strcme~ Broj dodat;nih jridnaGina jeM1lit tie broju zgloboVF. lijesavan,jem ,jeonpcina odrede 8e Bve uepoznate spol;jRs-nje reakc:i.;)e. t:ikoliko se traze i nnlltrasnje reakcije (roelwije 11 ze;lobu) sloz,cni nOS8(; rn[}t~,Yi e,G nn proste nosa6o. f) djeloY,mje jednog; d.i:iela rL0-BDca nL drugj ztllllijeni X'e2kG-ijDm:,~. :;:"c. bi !-"1107,eni nos~\.G bio u r8Vl)O'-te7,i [:v(~ki njegov dio mO!'D biti u rtlvDotezi, pn se 2',8 svaki dio no-spec. Dostave uslovi rt"-vnoteze !)roste grede. Hjes8vDIljem. jedTJ::,-cina u.o-biju se five Fl)oljai'inje i unutr:;,2D.je reakcije.

5.2. f~od gra.fickog odredji v l-.mjD. re[

70

!Lko un dijelu nosnCB djeluje prs.vougaono kontinuirano opterecenje linija momenta je kvadratna funkcija .Ako djeluje trokutno iIi trapezno opterecenje Hnija momenta je kU1)!).a.par,,:oola. Ukoliko na nOflac djeluje moment spregs, horizontalna ili Yertilcalna koncen-trisBna sill" UE tom mjestu javi6e se skck u dijagramu momenato. aa-vijanja odnosno razlika 1.1 vrijednosti "mo;:;)enta sa lijeve ili desne strt1Jle iste t8.~ke.

'.i.'raUJwerzalllfJ CT)oprecne) sile U odgovB_raju6irn poljima dabiju se kBO prvi izvodi mO'::l.eno.ta 88vijenja u presjecims

dJ1( z) d.x

Aka nv gredu u n01:om 'Dol,in djeluju koncentrinane 8i1e dijagrtun tTehsvf1rzGlnih si12 je \onsto.:ntc.n. Aka djeluje kontinuirano pravo-uC;~'Dno opterez;enjE dij agl'L1m j e pr0VD-C. 'l'rnnsve:r'zalna sil a u poljl.l djelovanj~; trokutl1')g ili trEJpeznog opterecenja je TlD.rabola drugog redo.

5.~). Ukoliko j e f;ve mwedeno u :pI'ethodnim tackama ovog poglavl;ja dobro poznoto (oblib dijGgrrrma mo:nento sD-vijt::nja i transverzaina si12) dij~igr;;;m momenta savijunja moze 8e n&crtati mol osnovu vri-jedno~-:ti momenattt savijnnja 11 b.1I'uktel'isticnim ta:~:kamB _ granica-rna poljH. Dijl'gram tI'ansverz,,,lnih si18 moze se nacrtnti na osnovu poznatih vrijednoflti ektivnih si18 i reakcija u osloncim~~. Aksi,i"lne (uzduzne) si1e su pozJ.tivne ako 811 istezuce, a negativne ukoliko Btl pri tisknjuce. Dijq;rBill aksi,it~lnih 5i18 moze SEl necrtati ua or'novu pozllatih horizontalnih al\:i.;ivnih sila i reakcija ocious-ca,

71

Zadaci

F o2kN a ~ 1m

Sl. S. 1.

1. Z,a Gc-rberov nosac. prema 81.5.1. odredi ti: a) graficki i analiticki

reakciju U oslonc:i.ma, b) nacrtati staticke di-

jagrame, c) naei maksimalnu vri,ie-

dnost momenta 58vtja-nja

v'= =lkN

.1 ltN UV'" 1""c;m U ,,)l:.'_

.. i,Scm

" /

Fe'" 1 kN

YA,," , kt;-

1

I"x " I1y ,

l>,d, UG

,~l) (3) (4) (2)

0 0

0

0

JT-X, ",0 A

Y;, + 1

I dio nosaca

LX 0 LY 0 Ll''iA '''' U

(1) 0) (2)

1I dio

L" ~J L- y 0

LI\~' G

(4) (6) (5 )

XG 1 leN YG '" 0,5 k.N

"" 0,5 kN

- XG '" 0 + Ie; - .F2

-Y G (,-1,'1 4 +

1 ki'i 1"" 4,.25 kir a y 2,25 k3

YG - 1" a 0 4 + ,

" 1 0

"

VI'ijednoEti mO::!iE'n.etu u pO,jedinim tackama nOSBGD

)\ 0 Vi:) " 1< 1 i, 0,5 kl-rrn "iD c

"

sin 453 - 1 -3 k~Jm

:;

F 2 kN 1 ]' 2 kN 2 q '" 1 .Js1:L.

ill

(1) (2) (3)

(4) (5 ) (6)

iJij8Gl'8ln momenr:t2 DBVij EmjD. ispod kontinuiranog apter"ec enj a (Gi,) ima oblik P2!'8.bole, Zi ostale dijelove nosnCD dijag!'6Ill momenta im;;. oblik Prc'.VCE,.

i,jij,;grtIID tranrwerzBlnih 2i1a ispod kontinuiranog opterecenja ime oblik praVC:7., llf} svim oDt8.1im dijelovima nosaca je konstanta.

,A

~~~~mt SL. 5.3

odrediti: a) e;rafi3ki .i. (3w,li t:i ;:ki

renkcij e os lcnDcb, b) .nacrtHti Gbti:;:~e dij,

g,-rr)~e ,

c,) m:h :n:"sinn'ln'l V2:':1 ;!0(-;.-nost :nor:!ent:

l,:,

, 7,/, ~~,~

1 , (,'} ).: l~ v 1 7" "-,,j

J

1

d. \'J'~ u , ,,(,;,,~ 0

F + "~'B -

8'7 + rib

78

'1 -;,

'! -

" '.5 co - 1'" "1 qo

- ii'qo

+ /j

o

0

0

(1 ) (2) 0)

I' (;f,H;, ,) 't!'l0 l':;'vnotei;,e u koje 5e uvrste v.rij ednosti akti vnih sila ,;

- IJ '" () - 12 '" 0

-, "

'1 J

,1

1\1 -()

:H ~i-\:';ll - ":) '=- I.) I;}} u + dB -

t? - ::;J.'e - 1';

0

_L . 2, ')5 k~T q

;I(dl' ':ine (1) oClredj 5e b

(-) - 39,5 '" 0

+ :I . (I

q 2,25 4

"

(2) -

0) ki:1

," ,-jpctrl~',:i.nB (4) odredj c;,e monHmt u uk1jestenju j'li~

',:r~,i ',.,ju ", t: . ]

1l0merWtCl sf)vijDnjr, u ostBlim tecka:n8 nOSECEI ;)1'75 - H',.?5 '" - 10,5 lcim

- I J "1 5,75'2-1G,?5-?"1 idlrn

~.? + ., - F],"5 - ]:0"),5 5,7~'7 - 1G,25 - 2"6-- 3-3,5 1,5 jrUm

1,5 - ~ ~ - 1 1 5 kllm

F

c IG' f---,2~m,,---+~ __ ?m

81. 5.5.

M

o IG2

"'ml~-,," 8) gran;;,"d i "":.''< iti'~ ;rl

ot!lOre U or, ,V)!':} :r" I "b) nacrtr>ti ,;t.'", ,!i,l

e;rFyoe rnO:-:I

:Jr.",)l,,:';-

? -T :> kN c

o o

u

i..' l1;. Fn"g + f"ql" f3-tc-.C"" 2-: ~."115-rl.A ----

o

(1) (2)

0)

(4)

;',ec'.:F se U ;;8'111('\6ine (1) do \1+) uVr;;t;e Vl':i.,jeG.Ilosti poznatih sj.ls. ,:).':"!b:i;je se 8i~;tem od ij, jedn~)Gil"le Sf'! 4 ne:-.'ozn~'te.

J, 1, , l' [-l -

3,1"11 + Ill) + lVJB

10 -

-6 -

-'20

0

C 0 (-)

(1) (2) (,) (4)

:

z:

~~~1 Y 4

>: (x)

z" xl Z2 xl j"c;k ,..-

ze 1 Z'! X'\

x + i,J _ 1,[

l~ i{[lm; 4- k.:hi

o o

1,3 l:N Dr:iti~~kuju~;;

4 I,

"

'IJ _ J'I-?

- (j x

" k:' m;

1 2 kilm;

ex;,' ~

1 , "

,,'

:s

?

linija momentB je p,;:t'tJ'boLS

1,L': hi

linij2 ifjo:n(,'!ltfl je p1'13.V8(;

" - ')

'" 2 kiJ

'" C',7 kY

83

2 ii

" - ~ + 1, c x + 4 - momentns. jednacina. u III -polju d!'1 0

-ax x + 1, 7, () x e 1,7 m

l-rilikom crt!;Injf). d.ij0grt.1ma mOfficnt(1 ,: lTIjl-

Vri' Jedllosti

" 0

,momenatn

'" Xi,"2,5 := 2

Sfrrlj :mj8.

",X".C; _ , __ .5 kUru t-l '" ;"- ~ , ,'", t'.,5 "" ? t: 10 l

86

"14''-[lJII]]]]]]'rIC~'08'5kN/m .>3. ?,f: nOSi.lC U ohliku o.kvira A~'"3;:;D o;:.terecen .:: 0 "JrE'IIIr1 sl.5.8. odrediti:

LY

em

Sl. s. e.

;;) g:r~'fit,ki i rn[{liticki otpore o.sloUiJca il i ~.

b) n~.c:rtati staticke dijagrame z.s cio nosG\~.

F fTrn"Tr~TnlTnnlTn c

u

(1)

,0 )

o

: 'v - :), ') kN F ["1':;;' ':, l\iJ

E

iZ \\ \

o

(1 ) (2) (3)

V:rij ednosti mo:nenata f:' 8 vijtmja

Zj~'5+Y_

6

F

1'" F

0 "

" A

nrm

r~1.5.9.

'i l:X 0 l:Y 0 IJi:o"" 0

(ll (3) (2)

-~1 0

0' 1

YB

, + ,

FA - F

J!'f, -2 -

XB 4 E' A 6

YB 2

g. Za Z8o.c,ni okvirni nosac odrediti

a) g.l'&fi(:ki i DnslitiCki velicine reakcije u osloncima L i .3

b) '~t.atic;w

AA----~

s1. 5.10.

o

\> \0 'LX XA 'LY y. ,

-I 2

+ ]' n

0

-~

-F

--1 a

F'b ~3 - F'4~LI -}';"2 .?

(1 ) XA ;' 2 = 10 kN ( 2) 20 kN (3) Y A 30 kN

FI\.~jXA2 +-y~;2 , ,-

90

F3- Flj.. -

F "1 q

31)63

lo.Za okvir prema sl. 5. 10. odredi: a) graficki i analiticki reak-

,

H

cije U osloncima b) nacrtati i izracunati staticke

velicine (dijagrame momenata, u~duznih i poprecnih sila).

F1"'F2=F3",P4" 10 kN, Ii' .. 20 '" 20 kIf q

u '" L

32 kN

20 kN rn

1 ill 2 em

0

(1) (2) (3) 1\'1 + F'2"1 0

kN

Vrijednosti momenata savijanja

it E

o

o

c

o

- 10 kNru

10 kNm

- 10 him

"r Q

Vrijednosti transverzalnih sila. Stap AE FTA'" - Xl!. '" 10 k.N 'FTC" -Xll.+F2 .. 0 B'TE" 0

Sta:p DL F'l.'D .. -FI .. -10 kN

]'~E'" -1"1 "" -10 kN F~E; -PI +YA .. 20 kN

F~K'" -F1+Yll.-b'q .., 0 F~Km -F1+YA-Fq-F3 ~ - 10 kN

F~H" -F1+Yll.-Fq-.P3 '" -10 leN F~H'" -F1+YA-Fq-F3+FB ,., 10 kN

.. 10 kN

Vrijednosti aksijalnih sila

:3tflP AE FA}. Of -YA = - ;0 b~ FAE '" ".YA "" - 30 leN

Stap BH FAB .. -]j'B '" _ 20 kN

J.

-20

"

;t-o

L_ A """ C

Dijngrami rnornenata savijauja

20

B

4 H Y BOO .ii' +

93

zadani okvir preme sl,S,H o(!redi: grafEki i analitEki renkcije 11 osloncim.s AiD.

f:~tatiGke dijagrame

f 8

n

:':r

1 ",I 1 m

~ 1+" 'J. (1 q

(1) (2) 0)

1,12 k~\

1 .Jill

.;s-m

? \eli

1,5 kJ

Vri,iednosti. momenata savi,ianja

o 1 o

Pl '" - 1 kHm

"- .i"'"1 '" 1 k.1'lm

r; z 1:11 '" 1 kl{m

1,5 '--~~ FA A

Vrijednosti StilI! AC FTA=O FTD"F=l kN FTC"'F"'l kN

Vri,lednosti Stap AC Yu "'.l!'A "'1,? F AC"'FA "'1,5

- 1 k.ilm

iiijagrBm al(sij8lnih BilD

transverzalnih sila ~CB FTC = -FA'" -1,4 kN Fe TB -FA+q-4 ..,. 0.5 kN Fd

TB = -FA+q4+YB"" 1 k" Fe

TF . -FA+q4+Yn ... 1 kN FTF .. -FA q-4+YB-F ... 0

aksija1nih aila Stao OF

lill" istezanje F AC"'F" 1 ld1 kN istezanje F:

B= F "" 1 kN

d FAB ," F-XB '" 0

F

FAF .. 0

.4

Dijagrecmi tro,usverzal-nih SUE

2 Mmax~-FA'x+F'l+q ~ - FA + q.x '" 0

x=..2=~ q 0,:/ 3 ill 1'1,1 est") kri ticnog presj elta nalazi 810 udal,leno :3 m od ta5ke C stEt"]) OF. U toj tacki FT '" O.

f"Imax '" 1,25 kNm

12. :~a n-:rsaE opterecen prema Ie1.S,I2., auali tic'iki i gr5fi6ki odrediti sile u oslond.m;::" A, 6. Z8. cijeli n08tl:; uGcrtati dijll.G;:c-urue momenat1?..

0'- 1 k.ii/m

61.5.12. u."'~ }' 1 em F,~ K~~UL~DL4UL~LU_LkUkLLl~j-4[

~1 ~ ... F1 ~s

LX 0 LY 0

Fq3

4aq =. 4 kl~

XA-i"l ein 45 '" 0

y .+F'. -Y~.-11 -J..' 4-5 '" 0 h 3 c: q 1

.iiBC' :["0J. - 1:"2" ~ - 1;'1sin

? + Vi 2 4,2 kN

o

1 m Tcm

(1) (2)

0)

- 0,5 kUru

- 0,5 lc,-i"rn

. ,~-,

trnn$ver7,elnill

kl~ID

1 ':?: 2 ,61 ld~m

B

A

s1.5.n.

_XA A

'fA

(1) (2)

'-

F

'-'

13.

I~

E Fq

97

2B olfvi T' h 2n2liti~ki' ~ ~ .5.10. oQredih-

) ~nl nOSi30 n" "'1

00

1 .' ~ grafFk' .. '" QJ1CJ.me I\. ~ B 'v J.. renyc' J'" b) - .

fAE

A ()

YA"l (1,1- ~ '" 2,25 kLTm C{ 1_ )' ') r 1-;';"" II}, - A L-!q' -r'/ kNm "'0._ '" l' -2 kNru -J:;; --1'1

;, ,5 ]{lJm

1. '" 5,5 kNm

~,

'~' ~~;;'~TrrM~E~~S01!~i!~.~ H

Li;lc'!:~r:_'JT ~J)mprl_",tf' n:,vi;j"n,jr'

o

lA 3 k~ iote7~nje ~ Xd ~ 3 kij iste~anje 0

PAC -Fu'" -l.?S kef f'T'-itisak tAB" -1,2':: :,1\1 pri i:i. -;::,,1.;

StaR BO FTB '" Fn '" 1,25 kN FTC c FB = 1,25 kN Stap AH

FTA 'A . 2,'15 kN l',e TE .. YA-Fq '" 0,75 leN

d FTE

YA-Fq+FB .. 2 kN

F~H YA-Fq+JrB . 2 kN Fpn

0

q

81. 5.14-.

h_ sila

Za llOsac na 81.5.14. odredil:;i: 8) g;rnficki i ".ellBli tiGki :te:lk ...

cije oslonBc.e i .. i B b) nacrt;:;ti staticke dija.gramr,

momenata savijou;ja" tl"Etnsver--zalnih SJLQ Zadano je: 1

L X "

-

LY jib + )1"] 00 ~ A l'-:,+6:B'7+2,5F +2,F] '-.. ) q .

. 3, ? kN 5 , + 1'~ + l'

- .l~ B c 0,3 kN " "

3

"\ , ki~-j-;~

'" .I"A + Y A -

1,04 kN

(1) ( 2)

/-~

Vrijednosti momen8t

101.

1.5: Za nOSRC nn 81.5,15. odrediti:

$[,5,jt;'

':;r;-;;fi:-ko r;je{'c:nje je iznc:-Lo-~.:~n,j e~';)loljR:1n,iih r8nkci,i p,

i !~D' ,; z'_iti;I! urtutT'8?injih i f~.

;:,-polj2SD.,j0 I'e,l]

105

o

o

-E: t l- s in600 4,35ki'iw

sl.S.jG. F

A B

+L~,-I') '" 0 (1) 1,,+1: -B'2-q 1 o (2)

0) (4)

fA'" 1 kNj 1 kN ? kN;

16.Zo trozglobni n083.6 ne 81,5.16. odredi ti: 8) graficki i analitickj

real{cije U osloncimn b) nacrtati staticl\::e di-

jagrame momenata. S8.-vijanja, transverzal_ nih i &.ksijalnih Sil2~ ~adano je: HI ""1"i,,1 ki'l

0"'1 l8i

Xa R-

F;;

p." A Ii' A ii' B

. m

1"3 '" 4.,) );::N 1I_1ki~ F-rcm: UL ", ~ ~ru

ii' /i1,. Fq

F; 3,6 ki~ 2,2 k;'1

NA '" 0 ~ ~ YA~l ~ 1 fu~m 1'1c YA"f-"l'3-F2 '2-JI'q 'o,5 I1L .. Xn"2 '" 2 ldJm f1k "" Xnoll.-FSol "" -1,5 kNm

Vrijednosti alwijalnih eila u karakteristicnim tackmna

FAA"'-XA.""~3,5 kN FAK"'-XA"'~3,5 kN Di;jagram zatvaraju t,ransverzalne sil0 stupe. EK 8. to su XB-FS ~t:2... BK FAB""-YB"'- 2 kN ]!'.AK""-YB""- 2 kN Di,jagram u tacl.d K Z8.t-varajn t.1'aDsverza.lne Bi-le stapll AK YA-}"1-F2-Pq Vri.;jEdno.sti G-ransverzal-Oi:1 Gila :J kF.tl'aKteri~;tii;ni:u ta6LamB. Stan AE. PTA'" 'fA '" 1 k:i.'l

P~t'{YA."'lkN

FT.B .d .l'TL .

F~ "L

FTK

;fA-PI"" 0 YA-Fl-:F2 "" -1 ldl Y A -PI -1'""'2 '" -1 kFi

Yfl.-l!'1-F2~Fq -2 kN

XB . 1 kN

Xu 1 ltN

XB-F3 -5,5 kN X.B-.F 3 -3,5 kN

106

A

- ],S

-2 ,,:~

.,---

~l ~ -=-1 XA

F" 4 kN ! EI NI -1

17,l"z3-rJ;'L"ii, Lr0zg1ob ana1.itickio

lTT,f-rrrrfT'TqT'~1k~N~I~m,_~~~ B:1 i grafiCkill '!11.ltem odrediti ot-pore oslonacu i nacrtati stati(;ke ui.jHgrH!lle l!10111enate GBvijauj;

1.08

'l'1;u,:.:verr.,slne sile u karakteristicnim tt\ckama

X1i "C08 45 - lA"COS 45 ",.[2 '" l~lH ld~ - l

Stap AE FTA "" xA -= 1,43"15 kH Fe

TD '" XA '" 1 j4375 ~~ '" ;:':'175 kJm d FTD XA-P2 1,5625 kN

FTE XA~F2 . - 1,5625 kN

i3tap KF o

,.~.4-F, -? -g-l '" - 1 kIT

-q.l+YA . 0.75 kN -q-l+YA-q

U/.

-Xl, ~ sin 60 + 1i,>- ~ cos 60 '" 1,118 kifm .,. All ~ i'l sin 60 + YB ~ a co; 60 '" 0,577 kNm

",in 60 + Yll. cos 60 sin 600 + Y cos 60 >~

XJ sin 60 ~ YB cos 60 XE stn 60 + cos 60

0

cos 61.',0 - Y't sin 600

Gr][; Goa - J."L ein Goo cos 60 "T, sin 60

D co.':; 600 - Y ~ sin 60 H J'1

G

'" 0,7"+5 kN _ 11'1 cos 600

0)577 kN 1;'2 sin 60 '" - 1 ,1.53 kN

),5 ld: pritisak II'1 sin Goo", -0\9 priti6ak

". o,79~A kN istezonje - .8'2 G08 Goa'" -0,t!o5 pritisak

G

113

.Aka na tijelo u prostoru djeluje sistem aila onda se silB maze avesti no. glavni rektor i gl&vui moment

dje10yanje

6.1. Glavni vektor -10 --;. _

F "" i!'l + }'2 + 1;'3 ....... + j~'i

Njegove projekcije ml. ase jecineke Gll zbiru projekcijll us. te ose:

.L }'lx + + + '" A U

" '8'1;v + }' ji', -" 2;y +

" 1.;1' j'

-li'lz " + + ,/ z 2z lZ

Ulstoji do. zarotira tijela ako te 08e. Uzim2,ce 5e da je moment pozitivall liko je Sl1protnog smjeI's od smje-ra kaz01.jke no. setu,

:-'.1:~H koje' je paralelna osi ne pr8.vi moment 1.8 tu asu, jer ne mo?oe . '3'iZH.ti rotaciju tijela aka ase nego sarno translatorno pomjer0-D~ic. f~:i.l1 (::i.ji pravac sijece osu nema rastojenja u odnosu na aBU, pn ni takva si1a ne pravi moment za OSU koju sijece.

F,.3. uslovi ravnoteze prostornog si.stema silV

~~,a bi ti~ielo j)od djelovanjem prostornog sistema sila bilo u r8vno-f.:;e:>.::l. mora biti ispunjeno 6 llslova rflVTIoi;eze

[y " 0 t,j. de. tijelo pOd c.jelov:o.njem sila nemB. pomjeranjB. nl u jecinoJil od " prc.veD U ::>::COS"GOl'U

LOt: 0 r:;. () tj. dOl. ti,jelo pou " ~l;,ieloY6.njem 3i1a nemEl. rotacija nl 0\\0 ;jedne 0.,:8 .k:oordirH:t!)O[!; :::i::,,-

:,d. v?,~l'nol; Lijell' U !!l'01.;toJ.'U i;rebr;,. n.'ol'~:viti ':lo[Jodno, CHko db :',' veze uklone, ,I njihova d.jelov~'n,le zf,mi,jBlli l'eiJkcij8ITlI' VCZt',. c,:()ordinatni slstern trebb tJo,c,'t:,vi t;i tnko dr. j"'; o030dM zo "9l.'ojek-t,oV"snje ro:ila. !..Jod djelovrm;jem t'ktiv;::lih sili~ i rf'8kcija veLIe:: ti;j(> 10 jf' U rfl.Vnote::Si i V '" ~ 0 ~~'2~ 0,781 , , .'

F ~ cos ~ '= -:f- 5. (? 0,62.0 rrojekcije gJ.3vnog momenta na ase

ri x

M Y

a - .F'2 8. COB ./jSo "'-10"10+10"10-10'10 4- '"

:i."" a sin L~5 + ii'')

a +

-50 J2 '" 45 - Ji 4 a a sin j .f2

Llf

.lntenzitet glavnog moments

87,01 kdcm

Uglovi koj e glavni moment zaklapa sa pravcima osa

CaE d 1

cor; [31 i'iy -,-\-

i'l Z

-,"l-

_ 29.29 _ n~r - 87,01 - 0,)..100

70 7 -~ = - 0,81;:5 ljl,42 87,01 0,4760

f.l "301~

0& 70,33 1

f\ 144,34 ,)

z

z

z I(

3. HOIllogena kVDQl'fltnfJ plo.\fl, tWl,i-ne ::.; i ,; l;r,micR Q, veu,nf~ ,1 e sfernim zglobom L i cilincirE~nim B ZI:' post;olje, A \1 QF-tom polo7..li-;:iu pre~H\ sL6A. ocil':7;

y

1'./.0

5. Pravougaona vratu ABeD tezine G"'150 N dimenzija 2x3 m mogu se okretati ako esavine AB. U tacki A vrata su vezana sfernim zglo-bom a u tacki B pOmicnim oslon-cern. Vjetar jacins 100 N/m2 dje-luje na vrata paralelno ravnini x A y pod uglom odcl=6ooe U tac-ki D vrata eu vezana uzetom za taeku E, gdje je AF .. ",l m. Odredi-ti velicine reakcija u osloncima i sHu u uzetu DE. (sl.!;.s,)

Rjesenje: LX '" XA+XB+S sint{-W sin 600 " 0 (1) IJ Y A+YB-S C06~+W cos 600"" 0 (2) LZ ZA - G " 0 (3) [Mx'" -GI-W-l,5 cos 6oo-YB"3",-O (4) I::My'" XB'3-Wol,5 sin 60 0 '" 0

I.Mz

'" -82 131no(+ W sin 600 .1

W p.A '" 1006 = 600 N

(6)

(5)

(2 ) (1 )

s Wl sin 60 2 sino(, Wl,5 sin 600

3

580,96 .N

'" 259.8 N

YA,=Scoso(-Weos 6oo-YB",,419,63 N XA",Wsin6o

o-Ssino( -XB '" a

JJ'A=VX/+ y A2+ Z/'" 445,63 N FB",~2+ YB2 ~ 327,23 N

IF H

A " y

y D 31.6.7.

z V, B X,

Q c

~l F ZA Y, Y x;, A 30"

X D

12'

6. Vertikalno postavljena homogena vrata ABeD tezine G i strana a i 2a nalaze se u ravnoteznom polo-zaju. U tacki C vezano je uze CE prebaceno preko kotul'a E. na ci-jam je kraju vezan teret Q. Dio CE uzeta paraielan je osi y. Vra-ta 9U u ravnotezi pod uglom~"'30o U odnosu nB vertikalnu ravan Axz. Odrediti velicinu sile F koja dje-luje upravno na vrata u tacld H

(DH~CH"'AD~BC=a) kao i Bve reakcije veza. Uzeti Q,,,,2 G. (SL.G.7)

RjeSenje: LX XA+XB-F sin 60 " 0 (1) LY YA+YB+F cos 6oo_Q, 0 (2) LZ ZA - G " 0 0) r:i'~'" -G i::. cos 2 3o

o_F a cos 60 0 -

+Q' 2a - Yi 2 a 0 (4) EM '" Ga. 30o-F sin 600 y 2" nll a +

+ XE 2 a " 0 (5) r I'1z '" F . - Q s sin 30

0 "

0 (6)

F '" Q sin 300 ~ G (6) (3) ( ,)

ZA '" GoG Q2a-Fa cos 60 - ~ cos 30 YB'" {! a

(2)

(5)

(1)

i," -%- (14 -0)

7. Vrata teiine G",lOQ N vi8ine 2 i Sirine

51.6.8.

A ...... ::::.-- - -" ,

Xt / '....... _ I ./ ~ (I

ig ~d-~2-. - ~'- it( XB ~

Y 0

1 ill u::v:rscena SD U t3.ckruna A i B. U ta-

12i-

sJ..6.1o.

Stativ iron osnovu ravnostranog trougia sa stranicnma a~40 em. TeZina stuba stativn koji je ucvrscen u tezistu osnove je G=120 N. Duzina pokretnog dije-In Eli",l"So em u ravnoteznom polozaju je paralelna sa stra-nicem AB osnove. (~!. 6AO) Odredi: a) najve6u vrijednest tereta Q, u tacki H, a da ne do-dje do preturanja; b) 2a zadaui Q= 30 If izracunati

~elicinu reakcije u tackama A, BiD. 0810nci 1l.B i D os1 Rnjaju ; L-- H se nn glatku povrihnu.

I 16 RJesenje'

I- 1'. ~ e

o 2:X,O (12

(,~~8 ,

t Q, 120 o

o

LMX'

rfiy'"

'[)\'"

o l"A~ !i'E".F n-Q-G '" 0

:!i'B ~ - Ji'A ; - Q L '" 0 ,,' S -(F +1f )-+- "' 0 -n 3 .A B J o

0) ( 5)

(2) (3)

(4) (5)

(",)d5) ('),(5)

3fl} '" G-~:FB IiA

F", ~ 1j ) o -"k.. Q

a '

b)

I J

;--r ,

o Q

114 Na vratilu AR duzine L=l) ') ill ::i. tef.ine G~loo N nalaze se'dvije remenice po1uprecnika 1'1"'20 rum i r2"'15 mm i tezina Ql=3oo N,

~=25o N. Remenice su rasIJore-djene nB, d.uzinama AC=o,) m

B Y

AD:l m od lijevog lezista Ae Remen nn p.t'Voj remenici C gradi

5L.6.12. .sa pravceffi horizonte.1e ugao ,;(,:< 30, a aile 5U F~=2 Fl " 011,1'2 grane remana ne. drur;o j reml3nici

J7 BU llOrizontalne, a .9il~".U D,lima r .[' 8 -B _, 131.1 1"2' '" 21"...,,,,2ljoo N. Odrl0di ti ve-lrt=oAl I. J ~ C . \' '-F~-' ..... Ueine sila 11 g.rana.tna remeua na /. /X8 P~V()j. ~el~(miC~: >; kao, i. otpOI'E) ci-

/11 hnd.rlcnJ..h lezu,ta J~ 1. B (sL6.12),

sin ),)0 _i

(1 )

(6)

(2) 0)

S,:,_'" _ 0, ,c' t-

12&

13~Kvadratna. ploce. prikazana nn 81.6.1//. ciju tezinu zaneroarujemo opterecena je sHom J:l'~ Odredi velicinu i kSl.'Elkter sila u stapovima kojirna je ploca poduprt;a~ Zadano: F~2.104 N, a ~ 1 m R~ieRenj6-:

Latezan,je

pritisak

(1) (2)

(5) (6)

8 3" - 84 cos 45 '" - 2-104 N

81 '" -f,,-Slj cos 450-S2cOS 45 2"104- N

pri ti.sak: "

85'" - 82. '" 2~'1oll' N 86 ", -

86 " -

z~tezanje J.",O

I, I 'r ERA TUn A

1. D.Baskovic: l'lehanika I, Stat;ika, Naucna knjiga, Beograd, 1978.

2. L. Rusov: T1ehanika, Statika, Hauena knjiga 1 Beograd, 1978.

3. I'1.Kojic: Statika, Naucna lm,iiga, Beograd, 1979.

4. lIJa8i,~: Stat:il