Click here to load reader

Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I · Ti čar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I - 2 - 6. To čkasti nosilci elektrin Q1, Q2 in Q = 10-4 As

  • View
    25

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike I · Ti čar, A. Orgulan, Zbirka rešenih nalog iz...

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    Prof. dr. Igor Tiar

    mag. Andrej Orgulan

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 1 -

    1. Elektrostatino polje

    1.1. Coulombov zakon in elektrina poljska jakost

    1. Dve mali telesi sta naelektreni z enako elektrino in oddaljeni 60 cm. S kakno elektrino sta naelektreni, e delujeta ena na drugo s silo

    0,9 N?

    2. Koliko mora biti mali nosilec elektrine Q = 510-6 As oddaljen od drugega, ki je nabit z elektrino Q1= 810

    -6 As, da bo na Q1 delovala

    sila F1= 1 N?

    3. Izraunajte rezultantno silo na elektrino Q = 910-8 As, ki jo povzroata elektrini Q1= 410

    -6 As in Q2= 610

    -6 As. Mali nosilci

    elektrin leijo v ravnini, kot je prikazano na sliki. (a = 9 cm)

    4. S kakno silo delujejo tokaste elektrine Q1 = -Q2 = Q3 = 1810-6

    As

    na elektrino Q = 810-6

    As. Elektrine so nameene v zraku kot je

    prikazano na sliki (a = 3 cm).

    5. Tokasti nosilci elektrin Q1= -410-6

    As, Q2= 310-6

    As in Q3= Q1 so

    nameeni v ogliih enakostraninega trikotnika s stranico

    a = 4 cm. Izraunajte elektrino poljsko jakost, ki jo elektrine

    povzroajo na polovici zveznice med Q1 in Q3.

    x

    Q3

    Q1

    y

    a a/2

    Q2

    T

    x

    Q

    Q3

    y

    a

    a

    Q2

    a a

    a

    Q1

    x

    Q

    Q1

    y

    a

    a Q2

    r

    Q Q

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 2 -

    6. Tokasti nosilci elektrin Q1, Q2 in Q = 10-4

    As so nameeni v

    zraku, kot kae slika (a=1,5 cm, b= 2,6 cm). Doloite elektrini Q1 in

    Q2 tako, da bo na nosilec elektrine Q delovala sila 866 1 NyF =

    .

    7. Izraunajte silo na nosilec elektrine Q = 10-6 As, ki je v elektrostatinem polju elektrin Q1 = 10

    -6 As in Q2. Kolika je

    elektrina Q2, e deluje med Q2 in Q sila 22

    1,8 1 NrF =

    ? Nosilci

    elektrin so v zraku in nameeni kot kae slika

    (a=1 cm).

    8. Trije tokasti nosilci elektrine so nanizani na tanki vrvici tako, da se lahko prosto premikajo (v smeri vrvice). Izraunajte kakna

    mora biti elektrina Q2 in razdalja b, da bodo vsi nosilci elektrin

    mirovali, e sta dani elektrini Q1 = 210-6

    As, Q3 = 810-6

    As in

    razdalja b = 8 cm.

    9. Izraunajte elektrino poljsko jakost, ki jo v toki T povzroajo tri tokaste elektrine Q1 = 10

    -6 As, Q2 = - 410

    -6 As in Q3 = 210

    -6 As,

    razporejene kot kae slika (a = 2 cm).

    10. Izraunajte elektrino poljsko jakost, ki jo v toki T povzroajo tri tokaste elektrine Q1 = 310

    -6 As, Q2 = - 610

    -6 As in Q3 = 10

    -6 As,

    razporejene kot kae slika (a = 6 cm).

    11. Trije tokasti naboji povzroajo v toki T=(a,a) elektrino poljsko

    jakost 4(16 1 20 1 ) 10x yVE

    m=

    . Kolik je naboj Q3, e sta

    Q1=1810-8

    As in Q2=-1010-8

    As (a=9 cm)

    x Q3

    Q1

    y

    a Q2

    a

    T

    x

    T

    Q3

    y

    a

    a

    Q2

    a

    a

    Q1

    a

    a

    x

    T

    Q3

    a

    a

    Q2

    a a

    a

    Q1

    a

    a

    y

    Q1 Q3

    b

    Q2

    a

    x Q Q1

    y

    a

    Q2

    a

    a

    a

    x

    Q

    Q1

    y

    a

    Q2

    b

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 3 -

    12. Dva prema naboja se privlaita s silo 3 N/m. Eden od drugega sta oddaljena za d = 4 cm. Kolika je vrednost Q2 na dolini 18 cm, e

    je znan premi naboj q1 = 610-6

    As/m?

    13. Izraunajte silo, ki jo dve premi elektrini q1= q2= 210-6

    As/m

    povzroata na tokasti naboj Q = 310-5

    As, e so elektrine

    nameene tako kot je prikazano na sliki (a=5 cm, b= 2,9 cm).

    14. Izraunajte silo na enoto doline, ki deluje na premo elektrino q = 210

    -8 As/m, v elektrostatinem polju, ki ga povzroata drugi

    premi elektrini q1 = 510-6

    As/m in q2 = 110-6

    As/m. Naboji so

    razporejeni kot je prikazano na sliki (a = 6 cm).

    15. Naboji q1 =410-6

    As/m, q2 in q3 =410-6

    As/m so razporejeni, kot je

    prikazano na sliki. V toki T = (a, 3a ) povzroajo elektrino

    poljsko jakost 5

    7,79 10 1 V/myE =

    . Kolika je prema elektrina q2?

    (a = 4 cm)

    16. Izraunajte elektrino poljsko jakost, ki jo v toki T=(a, a) povzroajo tri preme elektrine q1= q2= q3= 610

    -7 As/m (a = 9 cm).

    17. Doloite lego (koordinate) preme elektrine q2 tako, da bo vrednost

    elektrine poljske jakosti v toki T= (a, 3a ) enaka ni, e so

    elektrine q1= 510-6

    As/m, q2= 3,1710-6

    As/m in q3= 510-6

    As/m

    razporejene kot kae slika.

    18. Doloite elektrine poljske jakosti, ki jih v prostorih a, b in c povzroata elektrini Q1 = 510

    -6 As in Q2 = 810

    -6 As nakopieni

    na dveh vzporednih ploah s povrino S = 20 cm2 in oddaljeni ena

    od druge za d = 1 cm.

    x

    T

    q1

    y

    a a q3

    q2 3 a

    x

    q3

    q1

    y

    a

    a q2

    T

    x

    T

    q1

    y

    a a q3 q2

    3 a

    x

    q

    q1

    y

    a

    a

    a

    q2

    x

    Q

    q1

    y

    a

    b

    a q2

    Q1 Q2

    a b c

    x

    y

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 4 -

    19. Izraunajte silo na tokasto elektrino Q =210-6 As, ki je v elektrostatinem polju dveh ravninskih elektrin 1 = 410

    -6 As/m

    2 in

    2 = 610-6

    As/m2 razporejenih kot kae slika.

    20. V prostoru leita dve vzporedni naelektreni ravnini. Na prvi s povrino A1= 2 m

    2 je nabrana elektrina Q1= 810

    -6 As, na drugi s

    povrino A2=3 m2 je nabrana elektrina Q2= 610

    -6 As. Doloite silo

    na enoto povrine A2, e predpostavimo homogeno polje.

    21. V prostoru leita dve vzporedni naelektreni ravnini. Na prvi s povrino A1= 2 m

    2 je nabrana elektrina Q1= 1610

    -6 As, na drugi s

    povrino A2=3 m2 je nabrana elektrina Q2. Na povrinsko enoto

    ravnine A2 deluje sila 2

    2 0,9 1 N mxF =

    . Izraunajte velikost

    elektrine Q2, e predpostavimo homogeno polje.

    1.2. Elektrini potencial in napetost

    22. Tokasta elektrina Q povzroa med dvema tokama na oddaljenosti r1= 2 cm in r2= 5 cm potencialno razliko U= 1350 kV. Kolika je elektrina Q?

    23. Tokasta elektrina Q= 510-6 As povzroa med dvema tokama na oddaljenosti r1 in r2= 10 cm napetost U= 18 kV. Kolika je razdalja r1?

    24. Osamljena prema elektrina q= 210-6 As/m visi prosto v zraku. Med dvema tokama na razdalji r1= 4 cm in r2 od preme elektrine je napetost U= 33,110

    3 V.

    Kolika je razdalja r2 in kolike so elektrine poljske jakosti na razdaljah r1 in r2?

    25. Premi naboj q = 210-6 As/m povzroa v toki T, ki je 3 m oddaljena od elektrine elektrini potencial VT= 3610

    3 V. Doloite oddaljenost do izhodia potenciala.

    26. Premi naboj q = 310-6 As/m povzroa med tokama r1 = 2 m in r2 napetost U = 59,310

    3 V. Na kakni oddaljenosti je R2?

    27. Premi naboj q = 610-6 As/m povzroa med tokama, ki sta oddaljeni od njega za r1 in r2 = 8 cm, potencialno razliko U12 = 50,76 kV. Izraunajte oddaljenost r1.

    Q1 Q2

    x

    y

    S1 S2

    Q1 Q2

    x

    y

    S1 S2

    1 2

    x

    y

    Q

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 5 -

    28. Kje je izhodie potenciala, e povzroa prema elektrina q v toki T(1/e, 0), elektrini potencial VT= 3,610

    3 V (q = 210

    -7 As/m)

    29. Izraunajte potencial v toki T=(2a, a), ki ga povzroajo trije tokasti naboji Q1 = Q2 = Q3 = 610

    -6 As, e je izhodie

    potenciala v toki T0=(0, a) in je sistem v vakuumu (a = 6 cm).

    30. Izraunajte potencial v toki T=(a, 0), ki ga povzroajo trije tokasti naboji Q1 = 210

    -6 As, Q2 = 410

    -6 As in Q3 = 810

    -6 As, e je

    izhodie potenciala v toki T0=(2a, a) in je sistem v vakuumu

    (a = 8 cm).

    31. Izraunajte potencial, ki ga v toki T=(0, 0) povzroajo tokasti naboji Q1 = 510

    -6 As, Q2 = 410

    -6 As in Q3 = 6010

    -6 As. Izhodie

    potenciala je v toki T0=(0, a), a = 6 cm.

    32. Izraunajte napetost UBA med tokama B in A, ki jo povzroata dva tokasta naboja Q1 = 410

    -8 As in Q2 = 610

    -8 As. Izhodie

    potenciala je v koordinatnem izhodiu, a = 5 cm.

    33. Izraunajte napetost UAB med tokama A=(2a, a) in B=(a, 2a), ki jo povzroata tokasti elektrini Q1= 210

    -6 As in Q2= 410

    -6 As

    (a= 6 cm).

    34. Izraunajte delo potrebno za prenos elektrine Q = 510-6 As iz toke A = (2a, a) v toko B =(a; -a), v elektrostatinem polju, ki ga

    povzroata dve tokasti elektrini Q1 = 610-6

    As in Q2 = -910-6

    As

    (a = 5 cm).

    x q

    y

    1/e

    T0 T

    r0

    x

    y

    a a

    Q1

    Q2

    B

    a

    A

    x

    y

    a a

    Q1

    Q2

    B

    A

    a

    a

    a

    x

    y

    a a

    Q1 Q2

    B A

    a

    x

    Q2 y

    a

    a a

    Q1 Q3

    a

    T

    T0

    a

    x Q3

    y

    a

    a a

    Q1

    Q2

    a T

    T0

    x

    Q3

    y

    a a

    a

    a

    Q1

    Q2

    a

    T

    T0

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 6 -

    35. Izraunajte delo pri premiku tokaste elektrine v toko A. Pred premikom so elektrine nameene v ogliih enakostraninega

    trikotnika.

    36. Izraunajte potencial, ki ga v toki T=(a, a) povzroajo tri preme elektrine: q1= 510

    -6 As/m, q2= -410

    -6 As/m in q3= 610

    -6 As/m.

    Izhodie potenciala je v toki T1=(0, a). (a=4 cm)

    37. Izraunajte potencial, ki ga v toki T= (2a, a) povzroajo preme elektrine q1= 210

    -6 As/m, q2= 410

    -6 As/m in q3= 810

    -6 As/m.

    Elektrine so razporejene kot je prikazano na sliki, izhodie

    potenciala je v toki T0= (a, 0) (a=10 cm).

    38. Izraunajte potencial, ki ga v toki T= (0, 2a) povzroajo preme elektrine q1= 410

    -6 As/m, q2= 510

    -6 As/m in q3= -610

    -6 As/m.

    Elektrine so razporejene kot je prikazano na sliki, izhodie

    potenciala je v toki T0= (0, a) (a= 2 cm).

    39. Izraunajte napetost UAB med tokama A=(-2a, a) in B=(-a, 2a), ki jo povzroata premi elektrini q1= 210

    -6 As/m in q2= 410

    -6 As/m

    (a =14,3 cm).

    40. Izraunajte napetost UAB med tokama A=(a, a) in B=(2a, a), ki jo povzroata premi elektrini q1= 910

    -7 As/m in q2= 310

    -7 As/m.

    izhodie potenciala je v koordinatnem izhodiu (a =3 cm).

    x

    y

    a a

    q2

    B A

    a

    q1

    x

    y

    a a

    q2

    B

    A a

    q1

    V=0

    a

    x

    y

    a a

    q2 q3

    T

    T0

    a

    q1

    x

    y

    a a

    q2 q3

    T

    T0

    a

    q1

    a

    x

    y

    a a

    q1 q2

    T T1 a

    q3

    x

    y

    a

    Q1 Q2

    A

    a/2 a/2

    Q3

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 7 -

    41. Izraunajte napetost UBA med tokama B=(0, 2a) in A=(0, a), ki jo povzroata premi elektrini q1= 210

    -6 As/m in q2= 610

    -6 As/m.

    izhodie potenciala je v koordinatnem izhodiu (a =6 cm).

    42. Izraunajte napetost UAB med tokama A in B v homogenem elektrostatinem polju, ki ga povzroa neskonna ravninska

    elektrina s povrinsko gostoto = -510-6

    As/m2 (a = 3 cm,

    b = 12 cm in c = 4 cm).

    43. Izraunajte napetost UAB med tokama A in B v homogenem elektrostatinem polju, ki ga povzroa neskonna ravninska

    elektrina s povrinsko gostoto = 17,710-10

    As/m2 (a = 1 m).

    44. Izraunajte potencial, ki ga v toki T povzroa valjna elektrina q= 410

    -6 As/m. Elektrina lei pred neskonno veliko, ozemljeno

    prevodno steno (a=8 cm).

    45. Izraunajte potencial, ki ga v toki T povzroa valjna elektrina q= 210

    -6 As/m. Elektrina lei pred neskonno veliko, ozemljeno

    prevodno steno (a=4 cm)

    46. Izraunajte silo, ki deluje na 12 cm dolgega tankega valja, ki je naelektren z elektrino q= 410

    -6 As/m. Elektrina lei vzporedno z

    neskonno veliko prevodno ozemljeno ravnino (a= 2 cm).

    a

    a

    A

    2a

    B

    a

    q

    V=0

    a

    q

    T

    V=0

    a

    a

    q T

    a/2

    V=0

    c a

    A

    b B

    x

    y

    a a

    q2

    A

    T0

    a

    q1

    a

    B

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 8 -

    47. Izraunajte silo na valjno elektrino q1. Elektrini q1= 210-6

    As/m in

    q2= 310-6

    As/m leita pred neskonno veliko ravno ozemljeno

    kovinsko steno (a= 18 cm)

    48. Pred ozemljeno kovinsko steno leita premi elektrini q1= 310-6

    As/m in q2= 510-6

    As/m, ki sta oddaljeni od stene za a= 1 cm, med

    seboj pa za b= 9 cm. Izraunajte silo na elektrino q2.

    49. Izraunajte elektrino poljsko jakost v toki T=(a, 0), ki jo povzroata kovinski valj s polmerom R= 4 cm in prema elektrina q,

    e vemo, da je kovinski valj na potencialu V= 2103 V (a= 8 cm).

    1.3. Elektrostatino polje v snovnih dielektrikih

    50. V snovi z relativno dielektrino konstanto r1= 6 poznamo elektrino poljsko jakost E1= 510

    5 V/m, ki vpada pod kotom 45 na stino

    ploskev z dielektrikom z r2= 5. Kolika je gostota elektrinega

    pretoka D5 in pod kaknim kotom 5 prehaja dielektrik z r5= 3, po

    prehodu polja skozi snovi z r3= 3 in r4= 8?

    51. V snovi z relativno dielektrino konstanto r1= 3 poznamo gostoto elektrinega pretoka D1= 410

    -6 As/m

    2, ki vpada pod kotom 1 =30

    na stino ploskev z dielektrikom z r2= 6. Kolika je elektrina

    poljska jakost E5 in pod kaknim kotom 5 prehaja dielektrik z

    r5= 6, po prehodu polja skozi snovi z r3= 1 in r4= 5?

    52.

    r1

    1

    1D

    r2 r3 r4 r5

    5

    5E

    a

    q1

    q2

    V=0

    b

    a

    q1

    V=0 x

    y

    a

    q2

    a

    x

    y

    a

    a

    a

    R

    q

    T

    r1

    1

    1E

    r2 r3 r4 r5

    5

    5D

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 9 -

    2. Reitve nalog

    2.1. Coulombov zakon in elektrina poljska jakost

    1. Dvojico sil, ki nastopa med malima naelektrenima telesoma doloa Coulombov zakon:

    1 22

    1rQ Q

    F kr

    =

    ,

    kjer je:

    9

    0

    1 Vm9 10

    4 Ask

    = =

    Ker sta elektrini enako veliki in smer sile ni podana, lahko raunamo s skalarji, elektrini sta lahko razlinih

    predznakov.

    2 2 2 2

    2 6

    2 9

    0,9 0,66 10 As

    9 10

    Q F r F rF k Q Q

    k kr

    = = = = =

    2. r = 0,6 m

    3. Rezultantna sila na elektrino Q je vsota sil, ki ju povzroata

    posamezni elektrini Q1 in Q2. Najprej doloimo radijvektorje in

    pripadajoe enotske smerne vektorje, kot je prikazano na sliki. Smer

    radijvektorja je vedno od povzroitelja proti mestu, kjer opazujemo

    dogajanje!

    1

    1r

    1

    11 1

    y

    y

    ar

    r a

    = = =

    2

    2r

    2

    1 1 1 11 1 1 0,707 1 0,707 1

    2 2 2

    x y

    x y x y

    a ar

    r a

    + = = = + = +

    Nato izraunamo obe sili:

    ( )

    1

    6 81

    1 2 2120 1

    4 10 9 101 1 0,4 1 N

    4 4 8,854 10 0,09r y y

    Q QF

    r

    = = =

    ( )( ) ( )

    2

    6 82

    2 2 212

    0 2

    6 10 9 101 0,7071 0,7071 0,21 1 0,21 1 N

    4 4 8,854 10 2 0,09r x y x y

    Q QF

    r

    = = + = +

    In njuno vsoto:

    ( ) ( )1 2 0,4 1 0,21 1 0,21 1 0,21 1 0,61 1 Ny x y x yF F F= + = + + = +

    x

    Q

    Q1

    y

    a

    a Q2 1r

    1

    2r1

    1F

    2F

    F

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 10 -

    4. Podobno kot pri 3. nalogi najprej doloimo razdalje,

    radijvektorje in enotske smerne vektorje. Nato izraunamo

    posamezne sile in jih setejemo.

    1 2 1xr a=

    2 2 1 2 1x yr a a= +

    3 3 1 1x yr a a= +

    1

    1

    1

    2 11 1

    2

    xr x

    ar

    r a

    = = =

    ( ) ( )2

    2

    2 22

    2 1 2 1 2 1 2 1 1 11 1 1

    2 2 2 22 2

    x y x y

    r x y

    a a a ar

    r aa a

    + + = = = = +

    +

    ( ) ( )3

    3

    2 23

    3 1 1 3 1 1 3 11 1 1

    10 10 103

    x y x y

    r x y

    a a a ar

    r aa a

    + + = = = = +

    +

    ( )

    1

    6 61

    1 2 2120 1

    18 10 8 101 1 359,5 1 N

    4 4 8,854 10 2 0,03r x y

    Q QF

    r

    = = =

    ( )

    ( )

    ( )

    2

    6 6

    22 2 2

    120 2

    18 10 8 10 2 21 1 1

    2 24 4 8,854 10 2 2 0,03

    1 1179,75 1 1 127,1 1 127,1 1 N

    2 2

    r x y

    x y x y

    Q QF

    r

    = = + =

    = + =

    ( )

    ( )

    3

    6 63

    3 2 212

    0 3

    18 10 8 10 3 11 1 1

    4 10 104 8,854 10 10 0,03

    3 1143,8 1 1 136,4 1 45,5 1 N

    10 10

    r x y

    x y x y

    Q QF

    r

    = = + =

    = + = +

    ( )1 2 3 368,8 1 81,6 1 Nx yF F F F= + + =

    5. 1 2 3 2TE E E E E= + + =

    , saj se vpliva Q1 in Q3 odtejeta.

    ( )7 7 723 1 V

    2,25 10 1 2,25 10 1 1 1,951 1,1231 102 2 m

    T r x y x yE

    = = + = +

    6. V tem primeru poznamo rezultantno silo na elektrino Q in moramo iz

    podane geometrije izraunati elektrini, ki to silo povzroata.

    1 1 1 1,5 1 2,6 1x y x yr a b= + = +

    in 2 21 3cmr a b= + =

    2 1 1,5 1y yr a= =

    Rezultatna sila na elektrino Q je vsota sil:

    x

    Q

    Q3

    y

    a

    a

    Q2

    a

    a

    Q1 11r

    31r

    21r

    1F

    3F

    2F

    1r

    3r

    2r

    x

    Q

    Q1

    y

    a

    Q2

    b 1r

    11r

    21r

    F

    1F

    2F

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 11 -

    1 2F F F= +

    ( )1 21 2 2 20 1 0 2

    1,5 2,61 1 1 0 1 866 1

    3 34 4x y x x y

    Q Q Q QF F F

    r r

    = + = + + = +

    Enabo reujemo posebej za x in posebej za y komponento:

    2

    60 1112

    0 1

    866 3 42,61 866 1 1 10 As

    3 2,64y y

    rQ QQ

    Qr

    = = =

    ( )1 2 1 22 2 2 20 1 0 2 1 2

    1,5 1,51 1 0 1 0

    3 34 4x x x

    Q Q Q Q Q Q

    r r r r

    + = + =

    2

    72 12 2

    1

    1,51,25 10 As

    3

    r QQ

    r

    = =

    7. Iz dane sile lahko izraunamo Q2 in nato e silo zaradi Q1.

    ( )

    2

    2

    2 2

    22 2

    0 2

    22

    0 72 0 22 6

    14

    1 1,8 4 0,01 5410 As

    1 10 1

    r

    r

    r r

    Q QF

    r

    F rQ

    Q

    =

    = = =

    1

    11 2

    0 1

    1 10 1 N4

    r x

    Q QF

    r

    = =

    22

    1 21,8 1 1,8 1 1 0,8 1 1,61 N

    5 5r x y x yF

    = = = +

    1 2 9,2 1 1,6 1 Nx yF F F= + = +

    8. Nosilci elektrin bodo mirovali, e bo vsota sil na vsakega izmed

    njih enaka 0. Na vsak nosilec elektrine deluje dvojica sil.

    Na prvi nosilec elektrine delujeta sili: 21 31 0F F+ =

    ,

    na drugi nosilec elektrine delujeta sili: 12 32 0F F+ =

    in na tretji nosilec elektrine delujeta sili: 23 13 0F F+ =

    .

    Izberemo si lahko dve enabi in iz njih izraunamo elektrino Q2 in manjkajoo razdaljo.

    Iz ravnovesne enabe za elektrino Q2 lahko izraunamo:

    x Q Q1

    y

    a

    Q2

    a

    a

    a

    21r

    11r

    1r

    1F

    2F

    Q1 Q3 b Q2 a

    13F

    23F

    32F

    12F

    31F

    21F

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 12 -

    23 2 31 2 1 112 32 2 2 2 230 0

    1 ( 1 ) 0 4cm4 4

    r r

    Q Q QQ Q Q QF F a b

    Qa b a b

    + = + = = = =

    Iz ene od preostalih enab pa e elektrino Q2:

    2 3 1 3 2 123 13 2 2 2 2

    0 0

    26 6

    2 1 2

    1 (1 ) 04 4 ( ) ( )

    810 0,89 10 As

    9( )

    r r

    Q Q Q Q Q QF F

    b a b b a b

    bQ Q

    a b

    + = + = =

    + +

    = = = +

    9. 61V

    ( 0,71 1 2,13 1 ) 10m

    x yE =

    62V

    (5,76 1 3,84 1 ) 10m

    x yE = +

    63V

    ( 2 1 1 1 ) 10m

    x yE =

    61 2 3V

    (3 1 0,7 1 ) 10m

    T x yE E E E= + + = +

    10. 61V

    ( 0,32 1 0,48 1 ) 10m

    x yE =

    62V

    (2,68 1 1,34 1 ) 10m

    x yE = +

    63V

    (0,08 1 0,24 1 ) 10m

    x yE =

    61 2 3V

    (2,44 1 0,62 1 ) 10m

    T x yE E E E= + + = +

    11. V toki T podana elektrina poljska jakost TE

    je vsota elektrinih

    poljskih jakosti zaradi posameznih tokastih elektrin:

    1 2 3TE E E E= + +

    Izraunamo lahko 1 2E in E

    :

    1

    831

    1 2 20 1 0

    18 101 1 199,7 10

    4 4r x

    Q VEmr a

    = = =

    2

    832

    2 x y2 20 2 0

    10 10 1 11 1 1 ( 39,2 1 39,2 1 ) 10

    4 4 ( 2) 2 2r x y

    Q VEmr a

    = = + =

    43 1 2 16 1 10T yVE E E E

    m= =

    2 8

    3 3 4 14,5 10 AsoQ E a

    = =

    x Q3 a Q2

    a

    Q1 T

    y

    2E

    1E

    E

    3E

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 13 -

    12. 601 2 20 1

    2 As1,11 10m2

    F dq qF q

    d q

    = = =

    6 2 7

    2 2 1,11 10 18 10 2 10 AsQ q l

    = = =

    13. Najprej izraunamo elektrino poljsko jakost, ki jo v toki kjer je nameena tokasta elektrina

    povzroata q1 in q2:

    1

    61

    112 2 2 2 2 2

    0 1

    5 5

    2 5 1 2,9 12 101

    2 2 8,85 10 5 2,9 10 5 2,9

    V3,45 10 (0,96 1 0,28 1 ) (3,32 1 0,96 1 ) 10m

    x y

    r

    x y x y

    qE

    r

    + = = = + +

    = + = +

    2

    652

    2 12 20 2

    2 10 V1 1 12,4 10 1m2 2 8,85 10 2,9 10

    r y y

    qE

    r

    = = =

    51 2V(3,32 1 13,36 1 ) 10

    mx yE E E= + = +

    (9,95 1 40,1 1 ) Nx yF Q E= = +

    14. 3 3 31 2N(6 1 12 1 ) 10 6 1 10 (12 1 12 1 ) 10

    mx y x x yF F F

    = + = + =

    15. Elektrina poljska jakost v toki T je enaka vsoti treh elektrinih

    poljskih jakosti:

    1 2 3 2 1 3T TE E E E E E E E= + + =

    Za izraun elektrine q2 moramo najprej izraunati E2.

    2 1 3

    5 5 5

    5 5 5

    7,79 10 1 (4,5 10 1 7,79 10 1 )

    V( 4,5 10 1 7,79 10 1 ) 7,79 10 1m

    T

    y x y

    x y y

    E E E E= =

    = +

    + =

    Nato iz znane elektrine poljske jakosti izraunamo iskano elektrino:

    62As3 10

    mq

    =

    16. Elektrina poljska jakost v toki T je enaka vsoti treh elektrinih poljskih jakosti:

    1 2 3

    4 4 4 4

    4 4

    12 10 1 ( 6 10 1 6 10 1 ) ( 12 10 1 )

    V18 10 1 18 10 1m

    T

    y x y x

    x y

    E E E E= + + =

    = + + =

    =

    17. Elektrini q1 in q3 sta enako veliki in nameeni simetrino glede na

    toko T, torej bosta povzroali enako veliko elektrino poljsko jakost

    E1= E3. Elektrino poljsko jakost 2E

    izraunamo iz znane elektrine

    poljske jakosti v toki T:

    x

    T

    q1

    y

    a a q3 q2

    3 a

    1E

    3E

    2E

    x

    T

    q1

    y

    a a q3

    q2 3 a r1 r3

    1E

    3E

    2E

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 14 -

    1 2 3 2 1 30TE E E E E E E= = + + =

    ( )

    1 3 1 3

    2

    31 12

    0 1 0 3 0 1

    1 1

    0 0

    1 2

    0 0 2

    1 1 (1 1 )2 2 2

    1 3 1 31 1 1 1 31

    2 2 2 2 2 2 4

    31 1

    4 2

    r r r r

    x y x y y

    y r

    qq qE

    r r r

    q q

    a a

    q q

    a r

    = + = + =

    = + + =

    = =

    Najprej smo upotevali enakost elektrin q1 in q3 in oddaljenosti r1 oz. r3. Dobljen rezultat nam daje,

    glede na predznak elektrine q2, dve monosti za njeno lego nad in pod toko T. Ker je elektrina

    pozitivna lei pod toko T, saj dobimo iz zadnjega izraza:

    2

    1 1r y=

    in oddaljenost od toke T:

    221

    20,7321

    3

    a qr a

    q

    = =

    Koordinati toke sta 2

    ( , )qT a a=

    18. Upotevati moramo, da elektrostatino polje spremeni predznak na

    vsaki strani ravninske elektrine. Na prevodnih ploah sta nabrani

    ravninski elektrini:

    6

    3121 4

    5 10 As2,5 10m20 10

    Q

    A

    = = =

    6

    3222 4

    8 10 As4 10m20 10

    Q

    A

    = = =

    Silnice elektrostatinega polja kaejo stran od pozitivne elektrine in k negativni elektrini, kar

    upotevamo pri grafini predstavitvi polja. Enotini smerni vektorji kaejo za vsak prostor in vsako

    elektrino od povzroitelja proti mestu opazovanja. Za prostor a sta oba enotina smerna vektorja 1x

    .

    1

    381

    1 120

    2,5 10 V1 ( 1 ) 1,4 10 1m2 2 8,85 10a

    a r x xE

    = = =

    2

    382

    2 120

    4 10 V1 ( 1 ) 2,26 10 1m2 2 8,85 10a

    a r x xE

    = = =

    8 8 81 2V1,4 10 1 2,26 10 1 0,86 10 1

    ma a a x x xE E E= + = + =

    V prostoru b enotin smerni vektor zaradi prve elektrine spremeni predznak:

    1

    381

    1 120

    2,5 10 V1 (1 ) 1,4 10 1m2 2 8,85 10b

    b r x xE

    = = =

    82 2V2,26 10 1

    mb a xE E= =

    1 2 a b c

    x

    y

    1aE

    1bE

    2bE

    2cE

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 15 -

    8 8 81 2V1,4 10 1 2,26 10 1 3,66 10 1

    mb b b x x xE E E= + = + =

    V prostoru c spremeni predznak e enotin smerni vektor zaradi druge elektrine:

    81 1V1,4 10 1

    mc b xE E= =

    2

    382

    2 120

    4 10 V1 (1 ) 2,26 10 1m2 2 8,85 10c

    c r x xE

    = = =

    8 8 81 2V1,4 10 1 2,26 10 1 0,86 10 1

    mc c c x x xE E E= + = =

    19. 5 5 51 2V2,26 10 1 3,39 10 1 1,13 10 1

    mx x xE E E= + = =

    0,226 1 NxF Q E= =

    20. 6

    6121

    1

    8 10 As4 10m2

    Q

    A

    = = =

    6

    6222

    2

    6 10 As2 10m3

    Q

    A

    = = =

    6 6

    1 222 1 2

    0 0

    4 10 ( 2) 10 N1 1 0,45m2 2

    r xF E

    = = = =

    21. 6

    2 6 10 AsQ

    =

    2.2. Elektrini potencial in napetost

    Elektrina napetost je definirana kot delo, ki opravi elektrino polje pri premiku pozitivne elektrine 1 As med

    dvema tokama:

    2

    12

    1

    2

    12

    1

    A F dl QE dl Q E dl Q U

    U E dl

    = = = =

    =

    22. Potencial zaradi tokaste (male krogelne) elektrine izraunamo po izrazu:

    10 1 0

    1 1

    4

    QV

    r r

    =

    V,

    kjer je r1 razdalja od elektrine do toke kjer raunamo potencial in r0 razdalja do izhodia potenciala.

    Napetost med dvema tokama v polju tokaste elektrine je enaka razliki potencialov oz.:

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 16 -

    120 1 2

    1 1

    4

    QU

    r r

    =

    V.

    Iz izraza za napetost lahko izraunamo elektrino, ki to napetost povzroa:

    3 12

    612 0

    2 21 2

    4 1350 10 45 10 As

    1 1 1 1

    2 10 5 10

    8,85 10UQ

    r r

    = = =

    23. 12 0120 1 2 1 2

    41 1 1 1

    4

    UQU

    r r r r Q

    = =

    12 0

    1 2

    1

    41 10,5

    2 m

    U

    r Q r

    r

    = + =

    =

    24. Napetost med dvema tokama v polju preme elektrine je podana z izrazom:

    2120 1

    ln2

    rqU

    r=

    Od tod izraunamo r2:

    12 0

    12 02

    1

    2

    0,922

    1

    2 1

    2ln

    2,5

    2,5 10 cm

    U

    q

    Ur

    r q

    re e

    r

    r r

    =

    = = =

    = =

    Izraunamo e elektrini poljski jakosti na teh razdaljah:

    51

    0 1

    52

    0 2

    V9 10m2

    V3,6 10m2

    qE

    r

    qE

    r

    = =

    = =

    Izraunali smo samo velikost elektrine poljske jakosti, smer polja je radialna.

    25. Iz enabe za potencial, ki ga povzroa prema elektrina izrazimo oddaljenost do izhodia potenciala:

    0

    0

    12 30 0

    6

    100

    ln2

    2 2 8,85 10 36 10ln 1

    2 10

    8,15 cm

    T

    T

    T

    T

    T

    T

    rqV

    r

    r V

    r q

    re r r e

    r

    =

    = = =

    = = =

    26. Raunajte po zgledu iz 24. naloge.

    2 6 mr =

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 17 -

    27. 1 5 cmr =

    28. Iz izraza za potencial, ki ga na oddaljenosti r povzroa prema elektrina, izrazimo iskano veliino:

    0

    0

    12 20 0

    7

    100

    ln2

    2 2 8,85 10 3,6 10ln 1

    2 10

    11 m

    T

    T

    T

    T

    T

    T

    rqV

    r

    r V

    r q

    re r r e e

    r e

    =

    = = =

    = = = =

    29. Potencial v toki T izraunamo tako, da setejemo potenciale, ki jih v tej toki povzroajo posamezne

    elektrine. Pri tem moramo biti pozorni na to, da za vsako elektrino posebej upotevamo ustrezno razdaljo do

    toke T in do izhodia potenciala, ki je v T0.

    651

    1 220 1 01 0

    652

    2 220 2 02 0

    3

    51 2 3

    1 1 6 10 1 16,5 10 V

    4 4 6 106 10 13

    1 1 6 10 1 14,97 10 V

    4 4 6 106 10 5

    0 V

    1,53 10 VT

    QV

    r r

    QV

    r r

    V

    V V V V

    = = =

    = = =

    =

    = + + =

    30. Potencial v toki T izraunamo po zgledu iz prejnje naloge:

    5 5

    T 1 2 3 0 0 4,97 10 4,97 10 VV V V V= + + = + + =

    31. Potencial v toki T izraunamo po zgledu iz prejnje naloge:

    5 5 5 5

    1 2 3 2,2 10 3 10 4,75 10 9,95 10 VTV V V V= + + = + + =

    32. Napetost med dvema tokama lahko izraunamo na dva

    naina: kot razliko potencialov v obeh tokah ali kot vsoto dveh

    delnih napetosti, ki ju povzroa vsaka elektrina.

    ( )

    1 2

    0 1 01 0 2 02

    1 2

    0 1 01 0 2 02

    3 3 3

    1 1 1 1

    4 4

    1 1 1 1

    4 4

    3,976 10 1,053 10 5,03 10 V

    A

    A A

    B

    B B

    BA B A

    Q QV

    r r r r

    Q QV

    r r r r

    U V V

    = +

    = +

    = = =

    x

    Q3

    y

    a a

    r1

    r02

    Q1

    Q2

    a

    T

    T0 r01

    r2 r3

    r03

    x

    y

    a

    Q1 Q2

    B A

    a T0

    rA1 rA2

    r01 r02

    Razdalje za doloitev potenciala v

    toki A

    x

    y

    a

    Q1 Q2

    B A

    a

    T0

    rA1 rB2 rA2

    Razdalje za doloitev napetosti

    med tokama A in B za prvo in

    drugo elektrino

    rB1

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 18 -

    1

    2

    1 2

    31

    0 1 1

    32

    0 2 2

    3

    1 11,87 10 V

    4

    1 13,16 10 V

    4

    5,03 10 V

    BA

    B A

    BA

    B A

    BA BA BA

    QU

    r r

    QU

    r r

    U U U

    = =

    = =

    = + =

    33. Napetost zaradi dveh elektrin lahko izraunamo kot razliko potencialov ali kot vsoto napetosti zaradi

    posameznih elektrin.

    1 2

    1 2

    0 1 1 0 2 2

    6 63 3 3

    0 0

    1 1 1 1

    4 4

    2 10 1 1 4 10 1 162,08 10 331,37 10 269,3 10 V

    4 2 42 5

    AB AB AB

    A B A B

    Q QU U U

    r r r r

    a aa a

    = + = + =

    = + = + =

    34. Izraun dela pri prenosu elektrine v elektrostatinem polju je tesno povezan z izraunom napetosti

    med dvema tokama med katerima prenaamo elektrino:

    ABA Q U=

    1

    2

    1 2

    51

    0 1 1

    52

    0 2 2

    3

    6 3

    1 11,178 10 V

    4

    1 11,767 10 V

    4

    294,5 10 V

    5 10 294,5 10 1,47 J

    AB

    A B

    AB

    A B

    AB AB AB

    AB

    QU

    r r

    QU

    r r

    U U U

    A Q U

    = =

    = =

    = + =

    = = =

    35. Najprej izraunamo napetost med tokama kjer je Q3 in A in nato e delo pri premiku elektrine Q3.

    1

    2

    1 2

    1 13

    0 0

    2 23

    0 0

    1 23 3 3

    0

    3 1 23 3

    0

    1 1

    4 42

    1 1

    4 42

    ( )

    4

    ( )J

    4

    A

    A

    A A A

    A

    Q QU

    aa a

    Q QU

    aa a

    Q QU U U

    a

    Q Q QA Q U

    a

    = =

    = =

    += + =

    += =

    36. Za vsako elektrino doloimo razdalje od elektrine do toke, kjer raunamo potencial in od elektrine do

    izhodia potenciala, izraunamo prispevke posameznih elektrin in jih setejemo.

    63011

    1 12

    0 1

    5 10 0,04ln ln 31,16 10 V

    2 2 8,85 10 0,04 2

    rqV

    r

    = = =

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 19 -

    63022

    2 12

    0 2

    4 10 0,04 2ln ln 24,93 10 V

    2 2 8,85 10 0,04

    rqV

    r

    = = =

    633 03

    3 12

    0 3

    6 10 0,04ln ln 37, 4 10 V

    2 2 8,85 10 0,04 2

    q rV

    r

    = = =

    3 3 3 3

    1 2 3 31,16 10 24,93 10 37, 4 10 93, 49 10 VV V V V= + + = =

    37. Nalogo izraunamo podobno kot prejnjo:

    01 02 3 031 21 2 3

    0 1 0 2 0 3

    6 6 6

    0 0 0

    3 3

    ln ln ln2 2 2

    2 10 5 4 10 8 10ln ln ln

    2 2 25 5

    0 57,89 10 0 57,89 10 V

    r r q rq qV V V V

    r r r

    a a a

    aa a

    = + + = + + =

    = + + =

    = + =

    38.

    01 02 3 031 21 2 3

    0 1 0 2 0 3

    6 6 6

    0 0 0

    3 3 3 3

    ln ln ln2 2 2

    4 10 2 5 10 6 10 2ln ln ln

    2 2 2 25 5

    32,96 10 62,33 10 49, 43 10 45,86 10 V

    r r q rq qV V V V

    r r r

    a a a

    aa a

    = + + = + + =

    = + + =

    = + =

    39. Napetost med dvema tokama lahko raunamo kot razliko

    potencialov v obeh tokah ali kot vsoto napetosti, ki ju povzroa vsaka

    elektrina zase (kot smo to e pokazali pri tokastih elektrinah).

    01 021 2A

    0 1A 0 2A

    1

    0

    ln ln2 2

    ln2

    r rq qV

    r r

    q a

    = + =

    =2

    a

    2

    0

    ln2

    q a

    +

    5

    2 a

    6 6

    0 0

    3 3 3

    2 10 4 10 5ln 2 ln

    2 2 2

    12, 47 10 8,03 10 V= 20,5 10 V

    = + =

    = +

    01 021 2B

    0 1B 0 2

    1

    0

    ln ln2 2

    ln2

    B

    r rq qV

    r r

    q a

    = + =

    =2

    a

    2

    0

    ln2

    q a

    +

    5

    a

    6 6

    0 0

    3 3 3

    2

    2 10 4 10 5ln 2 ln

    2 2 2

    12,47 10 32,96 10 V= 45,43 10 V

    = + =

    = +

    x

    y

    a 01r

    a

    q2

    B

    A a

    q1

    V=0 a

    Doloitev razdalj za izraun

    potencialov

    1Br

    a 1Ar

    a 02r

    a

    2Br

    a

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 20 -

    3 3 3

    AB A B 20,5 10 45, 43 10 24,93 10 VU V V= = =

    1 1B 2 2BAB AB1 AB2

    0 1A 0 2A

    1

    0

    ln ln2 2

    ln2

    q r q rU U U

    r r

    q a

    = + = + =

    =a

    2

    0

    ln2

    q a

    +

    2

    2 a

    3

    3

    0 24,93 10

    24,93 10 V

    =

    =

    40.

    01 021 2 1A

    0 1A 0 2A 0

    ln ln ln2 2 2

    r rq q q aV

    r r = + =

    a

    2

    0

    ln25

    q a

    +

    a

    7 73 3

    0 0

    9 10 1 3 10ln ln1 13,02 10 0 V= 13,02 10 V

    2 25

    = + = +

    01 021 2 1B

    0 1B 0 2B 0

    ln ln ln2 2 2

    r rq q q aV

    r r = + =

    a

    2

    0

    ln210

    q a

    +

    a

    7 73 3 3

    0 0

    2

    9 10 1 3 10 1ln ln 18,63 10 1,87 10 V= 20,5 10 V

    2 210 2

    = + =

    3 3 3

    AB A B 13,02 10 ( 20,5 10 ) 7, 48 10 VU V V= = =

    41.

    1 1 2 2ABA BA1 BA2

    0 1B 0 2B

    1

    0

    ln ln2 2

    ln2

    Aq r q rU U Ur r

    q a

    = + = + =

    =2 a

    2

    0

    ln2

    q a

    +

    5

    2 a

    3 3 324,93 10 12,04 10 36,97 10 V= =

    42. Za izraun napetosti in potencialov v homogenem polju (ravninske

    elektrine) je pomembna le pravokotna razdalja od elektrine do toke kjer raunamo

    potencial ali napetost. Napetost bi lahko izraunali tudi kot razliko potencialov,

    vendar bi v tem primeru morali imeti podano izhodie potenciala.

    ( ) ( )6

    12

    0

    3

    5 100,12 0,03

    2 2 8,85 10

    25,38 10 V

    B

    AB

    A

    U E dr b a

    = = = =

    =

    43. Nalogo reujemo enako kot v prejnjem primeru. Zaradi lastnosti skalarnega produkta dveh vektorjev,

    moramo upotevati, da je razdalja med tokama A in B usmerjena nasproti polju in zato negativna (kot je

    180).

    ( ) ( )10

    12

    0

    17,7 102 2 1 200 V

    2 2 8,85 10

    B

    AB

    A

    U E dr a

    = = = =

    c a

    A

    b B

    x

    y

    a

    q2

    B

    A a

    q1

    V=0 a

    Doloitev razdalj za izraun

    delnih napetosti

    1Br

    a 1Ar

    a

    2Br

    a 2Ar

    a

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 21 -

    44. Probleme, ki zajemajo valjne elektrine pred neskonnimi prevodnimi

    ozemljenimi povrinami, reujemo z metodo zrcaljenja. Pokaemo lahko

    namre, da je elektrostatino polje, ki ga povzroata dve raznoimenski valjni

    elektrini enako kakor polje, ki ga povzroa ena elektrina pred takno steno.

    Namesto ozemljene prevodne povrine raunamo tako, da vse elektrine

    prezrcalimo preko te povrine in jim spremenimo predznak. Zatem reujemo

    naloge tako kot smo to poeli prej.

    6

    0 0

    0 0 0

    '' 4 10ln ln ln

    2 2 ' 2T

    r rq q aV

    r r

    = + =

    0,5 a

    6

    0

    4 10ln

    2

    a

    +

    2,5 a

    63

    0

    4 10 2,5ln 115,77 10 V

    2 0,5

    =

    = =

    45. Tako kot v prejnjem primeru, odstranimo iz problema ozemljeno ravnino in

    prezrcalimo elektrino.

    6

    0 0

    0 0 0

    '' 2 10ln ln ln

    2 2 ' 2T

    r rq q aV

    r r

    = + =

    a

    6

    0

    2 10ln

    2

    a

    +

    a

    3 3

    5

    0 28,94 10 28,94 10 V

    =

    = =

    46. Namesto preme elektrine pred prevodno steno, reujemo nalogo z

    dvema vzporednima premima elektrinama, kjer je druga zrcalna slika prve

    (q' = q).

    0

    6 6

    12

    ( ) 12

    (4 10 0,12) ( 4 10 )1 0,863 1 N

    2 8,85 10 2 0,02

    r

    x x

    qF Q E q l

    r

    = = =

    = =

    47. e so v problemih prisotne ravne ozemljene prevodne povrine, na

    elektrine delujejo dodatne sile. Njihov vpliv na elektrine lahko upotevamo s

    pomojo metode zrcaljenja. Namesto dveh elektrin in ravne ozemljene

    prevodne povrine reujemo problem tirih elektrin.

    ( )

    11 12 12

    1 1 1 2 1 211 12 12

    0 11 0 12 0 12

    6 6

    12 2

    6 6

    12 2

    6

    ( ) ( )1 1 1

    2 2 2

    2 10 ( 2) 101

    2 8,85 10 18 10 2

    2 10 ( 3) 10 2 11 1

    2 8,85 10 18 10 5 5 5

    2 10

    r r r

    y

    x y

    q q q q q qF F F F

    r r r

    = + + = + +

    = +

    + +

    +

    6

    12 2

    (3) 10 2 31 1

    2 8,85 10 18 10 13 13 13x y

    0, 2 1 0, 24 1 0,12 1 0,092 1 0,138 1 0,148 1 0,058 1 N/my x y x y x yF = + + + = +

    a

    q T

    a/2

    V=0

    a

    q

    a/2

    q'=-q

    a

    V=0 T

    a

    q

    T

    V=0 a

    a

    q'

    q1

    x

    y

    a

    q2

    a

    a

    a

    a

    q'1

    q'2

    12F

    11F

    12F

    r'12

    r12

    a q a q'

    x

    y

    F

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 22 -

    48. Problem reujemo podobno kot v prejnji nalogi. Lahko bi seteli vse sile,

    lahko pa najprej izraunamo elektrino poljsko jakost na mestu, kjer lei q2 in nato

    izraunamo silo po sploni obliko Coulombovega zakona.

    12 12 22

    2

    12 12 22

    1 1 2

    0 12 0 12 0 22

    '

    1 1 12 2 2

    r r r

    F q E

    E E E E

    q q qE

    r r r

    =

    = + +

    = + +

    ( )

    ( )

    6 6

    12 2 12 2

    6

    12 2

    5 5 5 5

    5 5

    3 10 3 10 2 91 1 1

    2 8,85 10 9 10 2 8,85 10 85 10 85 85

    1 101

    2 8,85 10 2 10

    5,995 10 1 1, 269 10 1 5,712 10 1 8,992 10 1

    10, 261 10 1 0, 283 10

    y x y

    x

    y x y x

    x

    E

    = + +

    +

    = +

    =

    ( )6 5 52

    V1

    m

    1 10 10,261 10 1 0,283 10 1

    N1,026 1 0,028 1

    m

    y

    x y

    x y

    F q E = =

    =

    49. Tako kot ravnina, je tudi kovinski valj le ena izmed ekvipotencialnih ploskev,

    ki jih dobimo v polju dveh raznoimenskih enako velikih premih elektrin. Tudi te

    probleme reujemo tako, da namesto valja upotevamo le premo elektrino, vendar ta

    ne lei v geometrijskem srediu valja. Ekscentrinost e izraunamo iz razmerij

    podobnih trikotnikov:

    2 42

    2

    16 101 10 m

    2 2 2 8 10

    R e Re

    a R a

    = = = =

    Ko smo doloili lego elektrine q' = -q, lahko izraunamo njeno vrednost iz znanega

    potenciala kovinskega valja. Cel valj je na enakem potencialu, zato si za izraun izberemo toko na y-osi.

    0 01 2

    0 0 0

    3 1280

    ln ln ln2 2 2 2 2

    2 2 10 2 8,85 10 As8,02 10

    0,04 0,01 mln ln

    2 0,16 0,04

    r rq q q R eV V V

    a R R e a R

    Vq

    R e

    a R

    = + = + =

    = = =

    Sedaj izraunamo elektrino poljsko jakost, ki jo v toki T povzroata obe elektrini:

    a

    q2

    q1

    b

    q'2

    q'1

    x

    y

    12F

    22F

    12F

    x

    y

    a

    a

    a

    q

    T

    e q'

  • A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 23 -

    0 0

    6 6

    2 2

    0 0

    3 3 3 3 3

    1 12 2

    8 10 8 10 8 151 1 1

    2 8 10 2 17 10 17 17

    V18 10 1 4 10 1 7, 45 10 1 14 10 1 7, 45 10 1

    m

    r r

    x x y

    x x y x y

    q qE

    r r

    = +

    = +

    = + =

    2.3. Elektrostatino polje v snovnih dielektrikih

    50. Pri izraunu prehoda elektrostatinega polja skozi ve zaporednih dielektrikov izkoriamo spoznanje,

    da se ohranjata tangencialna komponenta elektrine poljske jakosti in normalna komponenta gostote pretoka

    elektrinega polja. Raunali bi sicer lahko tudi s pomojo lomnega zakona, vendar se pri zaporednih

    prehodih izgubi preglednost.

    5 5

    n1 1 1

    5 5

    t1 1 1

    t5 t1

    2 Vcos 5 10 3,536 10

    2 m

    2 Vsin 5 10 3,536 10

    2 m

    E E

    E E

    E E

    = = =

    = = =

    =

    5 6

    n1 n1 0 r1 0 2

    n5 n1

    5 6

    t5 t5 0 r5 0 2

    2 2 6

    5 n5 t5 2

    t55

    n5

    As3,536 10 6 18,774 10

    m

    As3,536 10 3 9,387 10

    m

    As20,99 10

    m

    arctan 26,56

    D E

    D D

    D E

    D D D

    D

    D

    = = =

    =

    = = =

    = + =

    = =

    51. Postopek reevanja je enak kot v prejnjem primeru.

    6

    n1 1 1 2

    6

    t1 1 1 2

    n5 n1

    Ascos 3,464 10

    m

    Assin 2 10

    m

    D D

    D D

    D D

    = =

    = =

    =

    4n5n5

    r5 0

    4t1t4 t1

    r1 0

    2 2 4 t44 t4 n4 5

    n4

    V6,524 10

    m

    V7,533 10

    m

    V9,965 10 , arctan 49,1

    m

    DE

    DE E

    EE E E

    E

    = =

    = = =

    = + = = =

    r1

    1

    1E

    r2 r3 r4 r5

    5

    5D

    Et1

    En1

  • Tiar, A. Orgulan, Zbirka reenih nalog iz Osnov elektrotehnike I

    - 24 -