Zbirka re senih zadataka iz Matematike I pnata/Matematika 1_zbirka... Zbirka re senih zadataka iz Matematike

  • View
    77

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of Zbirka re senih zadataka iz Matematike I pnata/Matematika 1_zbirka... Zbirka re senih zadataka iz...

  • UNIVERZITET U NOVOM SADU

    FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA

    Tatjana Grbić Jovanka Pantović Silvia Likavec Nataša Sladoje Tibor Lukić Ljiljana Teofanov

    Zbirka rešenih zadataka

    iz Matematike I Šesto elektronsko izdanje

    Novi Sad, 2014. god.

  • Naslov: Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

    Autori: dr Tatjana Grbić, docent FTN u Novom Sadu dr Silvia Likavec, docent Fimek u Novom Sadu dr Tibor Lukić, docent FTN u Novom Sadu dr Jovanka Pantović, redovni profesor FTN u Novom Sadu dr Nataša Sladoje, vanredni profesor FTN u Novom Sadu dr Ljiljana Teofanov, docent FTN u Novom Sadu

    Recenzenti: dr Jovanka Nikić, redovni profesor FTN u Novom Sadu

    dr Silvia Gilezan, redovni profesor FTN u Novom Sadu

    dr Mirjana Borisavljević, redovni profesor Saobraćajnog fakulteta Univerziteta u Beogradu

  • Sadržaj

    1 Slobodni vektori 7

    2 Analitička geometrija u prostoru 23

    3 Kompleksni brojevi 63

    4 Polinomi i racionalne funkcije 91

    5 Matrice i determinante 109

    6 Sistemi linearnih jednačina 147

    7 Vektorski prostori 171

    8 Nizovi, granična vrednost i neprekidnost funkcije 193

    9 Izvod funkcije 223

    10 Primena izvoda 237

    11 Ispitivanje funkcija 249

    12 Numeričko rešavanje jednačina 273

    3

  • Predgovor šestom izdanju

    Ovo je šesto, elektronsko, korigovano izdanje Zbirke rešenih zadataka iz Matematike I.

    Novi Sad, mart 2014.god.

    Autori

  • Predgovor prvom izdanju

    Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I namenjena je prvenstveno studen- tima prve godine Mašinskog, Saobraćajnog i Grad̄evinskog odseka Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta u Novom Sadu. Autori se nadaju da će je sa us- pehom koristiti i studenti ostalih odseka ovog fakulteta, kao i studenti drugih fakulteta koji u okviru matematičkih predmeta izučavaju sadržaje obrad̄ene u okviru Zbirke.

    Svi autori su vǐse godina angažovani na izvod̄enju vežbi u okviru pred- meta Matematika I na svim odsecima Fakulteta tehničkih nauka Univerziteta u Novom Sadu. Stečeno iskustvo poslužilo im je da sadržaj Zbirke usklade sa nastavnim planovima i programima predmeta Matematika I na Mašinskom i Saobraćajnom odseku i Matematičke metode I na Grad̄evinskom odseku, kao i da ga u potpunosti prilagode potrebama studenata.

    Na sednici Nastavno-naučnog veća Fakulteta [28.11.2001] Zbirka rešenih za- dataka iz Matematike I odobrena je kao pomoćni univerzitetski udžbenik.

  • Zbirka sadrži rešene zadatke, kao i zadatke za samostalnu izradu, iz sledećih oblasti:

    1. Slobodni vektori (Tatjana Grbić)

    2. Analitička geometrija u prostoru (Tatjana Grbić)

    3. Kompleksni brojevi (Ljiljana Teofanov)

    4. Polinomi i racionalne funkcije (Silvia Likavec)

    5. Matrice i determinante (Nataša Sladoje i Jovanka Pantović)

    6. Sistemi linearnih jednačina (Jovanka Pantović)

    7. Vektorski prostori (Nataša Sladoje)

    8. Nizovi, granična vrednost i neprekidnost funkcije (Ljiljana Teofanov i Tibor Lukić)

    9. Izvod funkcije (Silvia Likavec)

    10. Primena izvoda (Tibor Lukić i Jovanka Pantović)

    11. Ispitivanje funkcija (Tibor Lukić)

    12. Numeričko rešavanje jednačina (Ljiljana Teofanov)

    Na početku svakog poglavlja dat je kratak teorijski uvod koji omogućava lakše praćenje daljeg sadržaja. Izbor zadataka, od jednostavnijih ka složenijim, omogućava postepeno savladavanje gradiva. Rešenja zadataka su navedena de- taljno, a pojedina su i ilustrovana. Zadaci za samostalan rad, navedeni uz svako poglavlje, pružaju korisniku mogućnost da proveri u kojoj meri je savladao pred̄ene sadržaje.

    Recenzenti Zbirke, dr Jovanka Nikić, redovni profesor FTN u Novom Sadu, dr Silvia Gilezan, vanredni profesor FTN u Novom Sadu i dr Mirjana Borisav- ljević, docent Saobraćajnog fakulteta u Beogradu, su detaljno procitali i izanali- zirali tekst. Zahvaljujemo im se na veoma korisnim sugestijama koje su znatno doprinele konacnom izgledu knjige. Takod. e se zahvaljujemo Gabrijeli Grujić, asistentu FTN u Novom Sadu, na pomoći u izradi crteža koji ilustruju pojedine zadatke.

    Novi Sad, oktobar 2001.god.

    Autori

  • 1

    Slobodni vektori

    • U skupu E2 ured̄enih parova tačaka prostora E definǐsemo relaciju ρ na sledeći način

    a) Ako je A = B ili C = D, tada je (A,B)ρ(C,D) ⇔ A = B i C = D. b) Ako je A 6= B i C 6= D, tada je (A,B)ρ(C,D) ⇔ (duž AB je para-

    lelna, podudarna i isto orijentisana kao duž CD).

    Relacija ρ je relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije u odnosu na relaciju ρ zovu se slobodni vektori. Skup svih slobodnih vektora označavaćemo sa V.

    • Vektor čiji je predstavnik (A,B) označavaćemo sa −−→AB, ili kraće sa ~a.

    A

    B

    • Intenzitet vektora −−→AB je merni broj duži AB i označava se sa |−−→AB|.

    • Pravac vektora −−→AB je pravac odred̄en tačkama A i B.

    • Smer vektora −−→AB, (A 6= B) je od tačke A do tačke B.

    • Vektor čiji je intenzitet jednak 1 naziva se jedinični vektor.

    • Vektori su jednaki ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

    • Vektor kod kojeg je A = B zvaćemo nula vektor i označavati sa ~0 ili 0. Intenzitet nula vektora je 0, a pravac i smer se ne definǐsu.

    • Vektor koji ima isti pravac i intenzitet kao vektor −−→AB, a suprotan smer, je vektor

    −−→ BA i naziva se suprotan vektor vektora

    −−→ AB.

    7

  • 8 1. SLOBODNI VEKTORI

    • U skupu V definǐsemo operaciju sabiranja vektora + na sledeći način: −−→ AB +

    −−→ CD =

    −→ AE

    gde je −−→ BE =

    −−→ CD.

    A B

    E

    C

    D

    • Ugao ϕ izmed̄u vektora ~a = −→OA i ~b = −−→OB je ugao ∠AOB pri čemu se dogovorno uzima da je 0 ≤ ϕ ≤ π.

    • Proizvod vektora ~a 6= 0 i skalara λ 6= 0, λ ∈ R je vektor λ ·~a koji ima

    a) isti pravac kao i vektor ~a,

    b) intenzitet |λ||~a| i c) isti smer kao i vektor ~a ako je λ > 0, a suprotan ako je λ < 0.

    Ako je ~a = 0 ili λ = 0, tada je λ · ~a = 0.

    • Vektor ~s = α1~a1 + . . . + αn~an, gde su α1, . . . , αn ∈ R skalari, se naziva linearna kombinacija vektora ~a1, . . . ,~an.

    • Dva vektora ~a i ~b su kolinearna ako i samo ako imaju isti pravac. Nula vektor je kolinearan sa svakim vektorom.

    • Nula vektor je normalan na svaki vektor.

    • Za tri ne nula vektora kažemo da su koplanarni ako i samo ako su para- lelni sa jednom ravni.

    • Skalarni proizvod vektora ~a i ~b, u oznaci ~a ·~b definǐse se

    ~a ·~b = |~a||~b| cos∠(~a,~b).

    Osobine skalarnog proizvoda:

    a) ~a · ~a = |~a|2,

    b) ~a ·~b = ~b · ~a,

    c) ~a⊥~b⇔ ~a ·~b = 0, (uslov normalnosti, ortogonalnosti),

    d) ∀α ∈ R α(~a ·~b) = (α~a) ·~b = ~a · (α~b),

    e) ~a · (~b+ ~c) = ~a ·~b+ ~a · ~c.

  • Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I 9

    Na osnovu definicije skalarnog proizvoda imamo da se ugao izmed̄u vektora ~a i ~b može računati na sledeći način

    ∠(~a,~b) = arccos ~a ·~b |~a||~b|

    , 0 ≤ ∠(~a,~b) ≤ π.

    • Neka je ~a 6= 0. Tada je projekcija vektora ~b na vektor ~a definisana sa:

    pr~a~b = |~b| cos∠(~a,~b).

    • Vektorski proizvod vektora ~a i ~b je vektor, u oznaci ~a×~b, odred̄en na sledeći način:

    a) |~a×~b| = |~a| |~b| | sin∠(~a,~b)|,

    b) (~a×~b)⊥~a i (~a×~b)⊥~b,

    c) vektori ~a, ~b i ~a×~b čine desni sistem vektora.

    Osobine vektorskog proizvoda:

    a) ~a×~b = −(~b× ~a),

    b) (∀α ∈ R) α(~a×~b) = (α~a)×~b = ~a× (α~b),

    c) ~a‖~b⇔ ~a×~b = 0 (uslov paralelnosti), d) ~a× ~a = 0, e) Intenzitet vektorskog proizvoda dva nekolinearna vektora jednak je

    površini paralelograma koji je konstruisan nad tim vektorima.

    • Mešoviti proizvod vektora ~a, ~b i ~c je skalarni proizvod vektora ~a i ~b×~c, tj.

    ~a · (~b× ~c).

    Osobine mešovitog proizvoda:

    a) Vektori ~a,~b i ~c su koplanarni⇔ ~a·(~b×~c) = 0 (uslov koplanarnosti), b) Apsolutna vrednost mešovitog proizvoda tri nekoplanarna vektora

    jednaka je zapremini paralelepipeda koji je konstruisan nad vek- torima ~a, ~b i ~c kao ivicama.

    • Dekartov (pravougli) koordinatni sistem u prostoru je odred̄en, ako su

    - Date tri prave koje se obično nazivaju x, y i z i svake dve se seku pod pravim uglom u tački O(0, 0, 0).

    - Na svakoj od datih pravih izabran je jedan smer i nazvan pozitivan.

    - Na pozitivnim smerovima pravih x, y i z izabrane su tačke E1(1, 0, 0), E2(0, 1, 0) i E3(0, 0, 1) redom.

  • 10 1. SLOBODNI VEKTORI

    Prava x se naziva x-osa ili apscisa. Prava y se naziva y-osa ili ordinata. Prava z se naziva z-osa ili aplikata. Tačka O se naziva koordinatni početak.

    Uvedimo oznake ~ı = −−→ OE1, ~ =

    −−→ OE2 i ~k =

    −−→ OE3.

    Vektori (~ı,~,~k), sa koordinatnim početkom O, čine desni sistem vek- tora, što znači da rotacija vektora ~ı, ka vektoru ~, oko tačke O, u ravni odred̄enoj vektorima ~ı i ~, ima najkraći put u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu, gledano sa krajnje tačke vektora ~k.

    k

    z

    y