Zad.za Drugi Kolokvij

8/17/2019 Zad.za Drugi Kolokvij

1/37

Zad.iz knjige

ZADATAK 1.

Pretpostaviti eksperiment bacanja novčića dva puta uzastopno.a. Navesti ishode eksperimenta.b. Defnisati slučajnu promjenljivu koja predstavlja broj “glava koje se

pojavljuju na novčićima.c. Prikazati koje vrijednosti slučajna promjenljiva poprima za sve

vrijednosti ishoda eksperimenta.

N!"#"$


2/37

ZADATAK 2.

Navedeni su primjeri eksperimenata i pridru%enih slučajnih promjenljivih. &svakom primjeru odrediti vrijednosti koje mo%e poprimiti slučajna promjenljiva inavesti da li je slučajna promjenljiva diskretna ili kontinualna.

Eksperiment Slučajna promjenljiva (x)

'est od () pitanja *roj tačno odgovorenih pitanja

+egistrovati pristizanje automobila naparking u toku jednog sata

*roj pristiglih automobila

Pregled ,) pristiglih prijava poreza *roj prijava koje sadr%e gre-ku

Posmatranje rada zaposlenika *roj neproduktivnih sati u

/časovnom radnom danu

0agati vrijednosnu po-iljku *roj kilograma

IZADA

Eksperiment Slučajna promjenljiva(x)

!o"u#e vrije$nostislučajne

promjenljive

%rsta slučajnepromjenljive

'est od () pitanja *roj tačno odgovorenihpitanja )121(131...() D456+!'N#

+egistrovati pristizanjeautomobila na parkingu toku jednog sata

*roj pristiglih automobila)121(131... D456+!'N#

Pregled ,) pristiglihprijava poreza

*roj prijava koje sadr%egre-ku

)121(131...,) D456+!'N#

Posmatranje radazaposlenika

*roj neproduktivnih sati u

/časovnom radnom danu

) ≤ 7 ≤ 6$N'4NN#

0agati vrijednosnupo-iljku

*roj kilograma)


3/37

ZADATAK &.

9edna gvo%:arija naručuje opremu svakog ;ebruara. Pretpostavljena je slijedećaraspodjela vjerovatnoće za potra%nju<

'otranja %jerovatno#a

) ).2)

2 ).2,

( ).3)

3 ).()

= ).2,

, ).2)

a> #ko je gvo%:arija naručila tri komada opreme1 kolika je vjerovatnoća da ćeprodati sva tri?

b> 6olika je očekivana potra%nja za opremom?c> 6olika je varijansa potra%nje opreme? 6olika je standardna devijacija?

IZADA

a)

7 @ 3

;A7> @ ;A3> @ )1()

)

!A7> @ µ @ Σ7 ;A7>

* +(x) x+(x)

) ).2) )⋅)12) @)1))

2 ).2, 2⋅)12, @)12,

( ).3) (⋅)13) @)1B)

3 ).() 3⋅)1() @)1B)

= ).2, =⋅)12, @)1B)

, ).2) ,⋅)12) @)1,)

E(x) , , x +(x) , 2-/

0)


4/37

0ar A7> @ σ( @ Σ A7 / µ>( ;A7>

( ) xVar =σ

x x (x )2

+(x) (x )2

+(x)) )/ (1=, @ /(1=, B1)) ).2) )1B))

2 2/ (1=, @ /21=, (12) ).2, )132,

( (/ (1=, @ /)1=, )1() ).3) )1)B)

3 3/ (1=, @ )1,, )13) ).() )1)B)

= =/ (1=, @ 21,, (1=) ).2, )13B)

, ,/ (1=, @ (1,, B1,) ).2) )1B,)

%ar (x) , σ2 , (x )2 +(x) , 2-/

( ) 045,2== xVar σ @ 1-&


5/37

ZADATAK .

6ompleks apartmana sastoji se od ) dvosobnih apartmana. *roj klimaure:aja u apartmanima koji moraju biti zamjenjeni u toku sezone imasljedeću raspodjelu vjerovatnoće<

Zamjenjeni klima ure:aji 0jerovatnoća) ).3)2 ).3,( ).()3 ).2)= ).),

a. 6oliki je očekivani broj klima ure:aja koji će biti zamjenjen u tokusezone?

b. 6olika je varijansa zamjene klima ure:aja?c. 6olika je standardna devijacija?


6/37

ZADATAK /.

+ulet u kasinu ima 2 crvenih1 2 crnih 4 ( zelene boje. Pretpostaviti da je,6" ulo%eno na crni broj. #ko se pojavi crni broj1 igrač dobija ,6". &suprotnom gubi ,6".

a. Neka je 7 slučajna promjenljiva koja predstavlja neto dobitak igrača uigri. Prikazati raspodjelu vjerovatnoće za 7.b. 6oliki je očekivani dobitak ? 6akva je va-a interpretacija te vrijednosti ?c. 6olika je varijansa dobitka ? 6olika je standardna devijacija ?d. #ko igrač stavi 2)) %etona od ,6" 1koliki je očekivani dobitak ?

6omentarisati za-to kasina vole kockanje na velike iznose.


7/37

ZADATAK 3.

+aspodjela vjerovatnoće za osiguranje od sudara plaćeno odosiguravajućeg dru-tva je <

4znos 0jerovatnoća)6" ).C)

())6" ).)=,))6" ).)32)))6" ).)2()))6" ).)23)))6" ).)2

a. &zeti očekivanu vrijednost uplate osiguranja za odre:ivanje premijekoja omogućava osiguranju isplatu čak 4 u slučaju realizacije dijelapolice koja se odnosi na sudar.

b. $siguravajuće dru-tvo plaća 23)6" za popravku o-tećenja od sudara.

6olika je očekivana vrijednost polise osiguranja od sudara za vlasnikapolise ? za-to vlasnik polise kupuje polisu sa tom očekivanomvrijednosti ?


8/37


9/37

ZADATAK 4.

*roj neispravnih dijelova vraćenih proizvo:aču varira od sedmice do sedmice.&zeti da broj vraćenih komada A7> ima slijedeću raspodjelu vjerovatnoće<

x +(x)

) )12)

2 )12,

( )13)

3 )1(,

= )12)

, )12)

a> 6olika je srednja vrijednost i varijansa vraćenih komada?b> #ko je tro-ak zamjene neispravnog dijela 2(, 6"1 koliki je očekivani

sedmični tro-ak zamjene neispravnih dijelova?

IZADA

a)x +(x) x +(x)

) )12) )1))

2 )12, )12,

( )13) )1B)

3 )1(, )1,

= )12) )1=)

, )12) )1,)

E(x) , , x +(x) , 2-

* x (x )2 +(x) (x )2 +(x)

) )/ (1= @ /(1= ,1B ).2) )1,B

2 2/ (1= @ /21= 21CB ).2, )1(C=


10/37

( (/ (1= @ /)1= )12B ).3) )1)=

3 3/ (1= @ )1B )13B ).(, )1)C)

= =/ (1= @ 21B (1,B ).2) )1(,B

, ,/ (1= @ (1B B1B ).2) )1BB

%ar (x) , σ2 , (x )2 +(x) , 1-5

)

$čekivani sedmični tro-ak zamjene neispravnih dijelova @

@ E(x) ⋅12/ K! , ⋅12/ K! , 2- ⋅12/ K! , & K!


11/37

ZADATAK 6.

Eta od navedenog predstavlja raspodjelu vjerovatnoće1 a -ta ne? $bjasniti?

* +(x) 7 +(7) 8 +(8)

) )1() ) )1(, /2 )1()

2 )13) ( )1), ) )1,)

( )1(, = )12) 2 -1

3 )13, B )1B) ( )1=)

IZADA

x +(x) 7 +(7) 8 +(8)

) )1() ) )1(, /2 )1()

2 )13) ( )1), ) )1,)

( )1(, = )12) 2 -1

3 )13, B )1B) ( )1=)

+(x) ,1-1 Σ ;AF> @21)) Σ ;Az> @21))

&slovi koji se moraju zadovoljiti da bi raspodjela vjerovatnoće bila validna suslijedeći<

1. ≤ +(x) ≤ 1-

2. +(x) ,1-

ZAK9:;


12/37

ZADATAK 5.

5edmični broj bolovanja na odre:enoj frmi ima sljedeću raspodjeluvjerovatnoće <

*roj bolovanjaG

;A7>

) )1),2 )1()( )1=)3 )1()= )12,

a. 4zračunati očekivanu vrijednost.b. 4zračunati varijansu.


13/37


14/37

ZADATAK 1.

6ada odre:ena ma-ina ispravno ;unkcioni-e1 samo 2H proizvoda je neispravno.Pretpostaviti da ma-ina radi ispravno pri odgovaranju na slijedeća pitanja<

a> #ko su kontrolisana dva komada1 kolika je vjerovatnoća da ni jedan nijeneispravan?

b> #ko je kontrolisano pet komada1 kolika je vjerovatnoća da ni jedan nijeneispravan?

c> 6olika je očekivana vrijednost neispravnih komada u uzorku od dvjestoA())> komada?

d> 6olika aje standardna devijacija neispravnih komada u uzorku od dvjestoA())> komada?

IZADA

+adi se binomnoj raspodjeli vjerovatnoćea)

p@2H @ )1)2 Avjerovatnoća neispravnog dijela>

n@( Abroj poku-aja>

2/p @ )1CC Avjerovatnoća ispravnih dijelova>

7@) Abroj neispravnih dijelova u n poku-aja>

( ) ( ) 98,099,0199,001,0

!2!0

!21

!!

!)(

220 =⋅=⋅⋅

=−−

= − xn x

p p xn x

n x f


15/37

)

p@)1)2 I 2/p@)1CC

n@, I 7@)

( ) ( ) 95,099,0199,001,0

!5!0

!51

!!

!)( 550 =⋅=⋅

⋅=−

−=

− xn x p p

xn x

n x f

0)

n@()) I p@)1)2

kom pn 201,0200 =⋅=⋅= µ

$)

n@()) I p@)1)2

( ) 98,199,001,020012 =⋅⋅=−= pnpσ

4,198,12 === σ σ


16/37

ZADATAK 11.

Na odre:enom univerzitetu je uočeno da ()H studenata napu-ta studij bezpolo%enog uvodnog kursa iz statistike. Pretpostaviti da je () studenata prijavljenona kurs ovog tromjesečja.

a> 6olika je vjerovatnoća da će dva ili manje napustiti studij?b> 6olika je vjerovatnoća da će tačno četiri napustiti studij?c> 6olika je vjerovatnoća da će vi-e od tri napustiti studij?d> 6oliki je očekivani broj napu-tanja studija?

IZADA

p@()H @)1(

n@()

a)

72@( I 7(@2 I 73@)

( ) ( ) 137,08,06,78,02,0

!18!2

!201

!!

!)( 181821 =⋅=⋅

⋅=−

−= − xn x p p

xn x

n x f

( ) ( ) 058,08,048,02,0

!19!1

!201

!!

!)(

191912 =⋅=⋅

⋅=−

−= − xn x p p

xn x

n x f

( ) ( ) 012,08,08,02,0

!20!0

!201

!!

!)( 202003 ==⋅

⋅=−

−= − xn x p p

xn x

n x f

;A7≤(> @ ;A(> J ;A2> J ;A)> @221==⋅)12 @ )1()

)

7@=

( ) ( ) 218,08,0752,78,02,0

!16!4!201

!!!)4( 16164 =⋅=⋅⋅=−−=

− xn x p p xn x

n f

0)

;A7>3> @ 2/;A7≤3> @ 2/[;A3>J;A(>J;A2>J;A)>] @ 2/A221=⋅)12 J 221==⋅)12>@2/

((1=⋅)12 @ )1,C


17/37

( ) ( ) 17173 8,012,98,02,0

!17!3

!201

!!

!)3( ⋅=⋅

⋅=−

−= −

xn x p p xn x

n f

@221=⋅)12 @ )1()B

$)

studenta pn 42,020 =⋅=⋅= µ


18/37

ZADATAK 12.

& specijalnom slučaju binomne slučajne promjenljive rečeno je da

varijansa mo%e biti odre:ena na osnovu ;oemule K(@npA2/p>. u slučajuprodavnice odjeće1 u tabeli (.B izračunato je K(@npA2/p>@).B3. 6oristeći

op-tu defniciju varijanse za diskretnu slučajnu promjenljivu1 jednačinaA(.=>1 4 podatke iz tabele (.B1 provjeriti taj rezultat.


19/37

ZADATAK 1&. IS'IT>I

Preduzeće procjenjuje da je vjerovatnoća disciplinskog prekr-aja radnikaodre:enog dana jednaka ).2).

a> 6olika je vjerovatnoća da preduzeće ima sedmicu A, radnih dana> bezprekr-aja?

b> 6olika je vjerovatnoća tačno ( disciplinska problema u period od dvijesedmice A2) radnih dana> ?

c> 6olika je vjerovatnoća najmanje ( dana sa disciplisnkim problemima u= sedmice?


20/37

ZADATAK 1.

Pretpostavimo da prodavač ostvari prodaju u ()H poziva.

a> #ko prodavač obavi tri poziva dnevno1 kolika je vjerovatnoća da ostvarivi-e od tri prodaje u , dana sedmično?

b> #ko prodavač radi ,) sedmica godi-nje i ostvari proviziju od 2)) 6" poprodaji1 koliko prodaja se mo%e očekivati godi-nje? 6oliki je očekivanigodi-nji dohodak prodavača?

IZADA

*inomna raspodjela

p @ ()H @ )1()

a> n@ 3 ⋅ , @2, poziva Apoku-aja>7 > 3 prodaje Auspjeha>

;A7> 3> @?

;A7> 3> @2/ [;A)> J;A2>J;A(>J;A3>]@

@2/A)1)3,(J)1232C=J)1(3)CJ)1(,)2>@)13,2B

( ) ( ) 0352,08,02,0

!15!0

!151

!!

!)0( 150 =⋅

⋅=−

−= − xn x p p

xn x

n f

( ) ( ) 13194,08,02,0

!14!1

!151

!!

!)1( 141 =⋅

⋅=−

−= − xn x p p

xn x

n f

( ) ( ) 2309,08,02,0

!13!2

!151

!!

!)2( 132 =⋅

⋅=−

−= − xn x p p

xn x

n f

( ) ( ) 2501,08,02,0!12!3!15

1!!

!

)3(

123 =⋅⋅

=−−

= − xn x p p xn x

n

f

b> n@,) sedmica ⋅ , dana ⋅ 3poziva @ ,) poziva p @ ()H @ )1()

$L!640#N4 *+$9 P+$D#9# & ,) 5!D"4M#

poziva pn 15020,0750 =⋅=⋅= µ

$L!640#N4 $D4EN94 D$O$D#6 @ 2,) ⋅ 2)) 6" @ 2,))) 6"


21/37


22/37

ZADATAK 1/.

Pordavač iz zadatka 2= je zamoljen od strane menad%era prodaje da obavi jedanekstra poziv dnevno. #ko prodavač poveća pozive sa 3 na = denvno1 kolika jevjerovatnoća ostvarivanja vi-e od 3 prodaje sedmično? 6oliki se porast godi-njeg

dohotka mo%e očekivati ?


23/37

ZADATAK 13. IS'IT>I

Potra%nja za novim proizvodnom ima normalnu raspodjelu parametara µ@ ()) i

σ@ =). #ko je 7 broj zahtjevanih jedinica proizvoda1 izračunati<

a> PA2) ≤ 7 ≤ (()>b> PA7 ≥ (,)>c> PA7 ≤ 2))>d> PA((,≤ 7 ≤ (,)>

IZADA

rafčki prikaz ausove krive datih parametara µ@ ()) i σ@ =)<

a>

z @ A7 / µ> σ

7 @ 2) ⇒ z @ / )1,

7 @ (() ⇒ z @ )1,

rafčki


24/37

PA2) ≤ 7 ≤ (()> @ PA/)1, ≤ z ≤ )1,> @ PA)1,> J PA)1,> @ (PA)1,> @ (Q )12C2, @)133)

0rijednost PA)1,> data je tabelarno Atabela...>

b>

7 @ (,) ⇒ z @ 21(,

rafčki<

PA7 ≥ (,)> @ PAz ≥ 21(,> @ )1, R PA21(,> @ )1, R )13C== @ )12),B

0rijednost PA21(,> data je tabelarno Atabela...>

c>

7 @ 2)) ⇒ z @ /(1,


25/37

rafčki<

PA7 ≤ 2))> @ P A z ≤ /(1,> @ )1, R PA(1,> @ )1, R )1=C3 @ )1))B(

0rijednost PA(1,> data je tabelarno Atabela...>

d>

7 @ ((, ⇒ z @ )1B(,

7 @ (,) ⇒ z @ 21(,

rafčki


26/37

PA((,≤ 7 ≤ (,)> @ P A )1B(,≤ z ≤ 21(,> @ P A21(,> R PA)1B(,> @ )13C== R )1(3=),@)12B)3,

0rijednosi PA)1B(,> i PA21(,> date su tabelarno Atabela...>

ZADATAK 14.

&kupno vrijeme potrebno za popunjavanje odre:ene aplikacije je uni;ormnoraspore:eno izme:u 3 i dana.

a> Dati matematički izraz za gustoću raspodjele vjerovatnoće?b> 6olika je vjerovatnoća da će aplikacija biti popunjena za manje od tri dana?c> 4zračunati vjerovatnoću da će aplikacija biti popunjena za , dana ili prije?

IZADA

a @ 3I b @ dana

a> Sunkcija gustine vjerovatnoće za uni;ormnu raspodjelu<

==

≤≤=−

=

3,70

4

11

)(

a xb x za

b xa zaab

x f

b> PA7T3> @ )


27/37

c>

( ) ( ) 5,04

1355 =⋅−= x P

ZADATAK 16.

0rijeme čekanja li;ta u nekoj zgradi je uni;ormno raspore:eno izme:u ) 4 ,minuta.

a. Dati matematički izraz za gustoću raspodjele vjerovatnoće.b. 6olika je vjerovatnoća čekanja du%e od 3.,minuta?c. 6olika je vjerovatnoća da li;t sti%e u prvih =, sekundi?d. 6olika je vjerovatnoća čekanja li;ta izme:u 2 4 3 minute ?


28/37


29/37

ZADATAK 15.IS'IT>I

0ijek trajanja katodne cijevi kolor televizora je normalno raspore:en1 sasrednjom vrijedno-ću . godina 4 standardnom devijacijom ( godine.

a. 6olika je vjerovatnoća da će cijev trajati du%e od 2) godina ?b. #ko frma daje garanciju na cijev ( godine1 koliki broj televizora će

morati biti zamijenjen zbog kvara cijevi ?c. #ko frma %eli da zamijeni maksimalno 2H od prodanih televizora1

koliki mora biti garantni rok u tom slučaju ?


30/37

ZADATAK 2.

"a-ina puni posude sa odre:enim proizvodom. Poznato je da je standardnadevijacija mase ).Bkg. #ko samo (H posuda ima manje od 2 kg 1 kolika jesrednja vrijednost mase punjenja posuda ? tj. 6oliko je U ?


31/37

ZADATAK 21.

'est ponovljivosti mjerača protoka dao je sljedećih 3, izmjerenih vrijednosti prikonstantnom ulaznom protoku od 21=72)/( m3s< ()1BI ()13I ()1I ()1,I()1I ()1BI ()1CI ()C12I ()1(I ()1=I ()12I ()C1(I ()C1BI ()1BI ()1,I

()1=I (2)1(I ()C1(I ()1I ()1=I ()1I ()1CI ()1I ()1)I ()C1)I ()12I()C13I ()1(I ()1B1 ()C1=I ()1BI ()121 ()1I ()C1(I ()C1 Oz.

a> 6oristeći jednake intervale -irine )1,Oz nacrtaj histogram vrijednostigustine vjerovatnoće.

b> 4zračunaj srednju vrijednost i standardnu devijaciju podataka.c> 5kiciraj ausovu ;unkciju gustine vjerovatnoće sa srednjom vrijednos-ću i

standardnom devijacijom iz tačke b> na histogramu nacrtanom u tački a>.

IZADA

a>

IntervalSre$ina

intervala

*i

?rekven0ija

+ i

elativna

+rekven0ija

@ustinavjerovatno#e

$i+ i$i

+ i $i2

()1)/()1,

()1(, 2 23, A23,>)1, @)1),

/3 /3 C

()1B/()1)

()1, = =3, A=3,>)1, @)1((C

/( / 2B

()12/()1,

()1(, 2) 2)3, A2)3,>)1, @)1,2

/2 /2)

2)

()1B/()C1)

()1, 22 223, A223,>)1, @)1B(C

) ) )

()C12/()C1,

()C1(, B B3, AB3,>)1, @)13=3

2 B B

()C1B/(2)1) ()C1, ( (3, A(3,>)1, @)122= ( =

(2)12/(2)1,

(2)1(, 2 23, A23,>)1, @)1),

3 3 C

∑ 3, 2 / ,


32/37

b>

5rednja vrijednost Aaritmetička sredina>< µ @∑∑+=

i

ii

f

d f i x x

@()1,J)1,QA/3,>@ ()1B=

7 R nazivna du%ina1 vrijednost 7i sa najvećom ;rekvencijom pojavljivanjai R razlika izme:u susjeda Ai @ 7iJ2 R 7i>@ ).,; i R ;rekvencija pojavljivanja

di R odstupanje od nazivne du%inei

x xd ii

−=

5tandardna devijacija uzorka<

633,035

8

35

585,0

22

2

=

−−=

−=

∑∑

∑∑

i

ii

i

ii

f

d f

f

d f iσ

c>


33/37

J Zad. 5a ispita

ZADATAK 1.

Zamislite da ste menadzer u jednoj prodavnici igračaka i zelite da odlucite koliko"onopola zelite da nabavite u svoju prodavnicu za naredni mjesec. Prosjecno semjesecno proda (( "onopola sa standardnom devijacijom B. Pretpostavimo da jeraspodjela Normalna.

a> 6oja je vjerovatnoca da cete narednog mjeseca prodati izmedju 2) i 3="onopola?

b> 6ada biste nabavili =, "onopola1 da li ste se osigurali da vam nece

ponestati u toku mjeseca?


34/37

ZADATAK 2.

Pretpostavimo da svaki put kada ga:amo neku metu imamo (,H -anse da jepogodimo. #ko ga:amo 2, puta<

a> 6oja je vjerovatnoca da metu pogodimo tačno , puta?b> 6oja je vjerovatnoca da metu pogodimo manje od tri puta?


35/37


36/37

ZADATAK &.

4z prethdnog iskustva proizvo:ač zaključuje da vrijeme pregorijevanjaodre:ene %arulje slijedi normalnu raspodjelu. 4spitivan je uzorak od ,)zarulja i ustanovljeno je prosjecno trajanje od B) dana1 sa standardnimodstupanjem od () dana. 6oliko se zarulja od cijele populacije mozeocekivati da ce jos svijetiliti nakon vijeka trajanja od 2)) dana?

N!"#"$


37/37

ZADATAK .

Pretpostavimo da kocku bacamo dva puta. Prikazati tabelu raspodjelevjerovatnoce slucajne promjenjive koja predstavlja sumu bacenihvrijednosti.

N!"#"$

Documents

Zad.za Drugi Kolokvij