1

Zadatak 121 (Mato gimnazija) Brod A dugačak je 65 m a brod B 40 m Brodovi plove rijekom u istom smjeru Brod A

prestiže brod B Interval vremena od trenutka kad se pramac broda A poravna s krmom broda B do

trenutka kad se krma broda A poravna s pramcem broda B iznosi 70 sekundi Ako se brodovi gibaju

jedan drugom u susret interval vremena prolaska brodova jedan pokraj drugog iznosi 14 sekundi

Kolike bi bile brzine brodova u mirnoj vodi kada bi snaga motora bila jednaka

Rješenje 121 lA = 65 m lB = 40 m t1 = 70 s t2 = 14 s vA = vB =

Pramac je prednji dio broda i drugih plovila

Krma je stražnji dio broda i drugih plovila

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t vt

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije

Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela

uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se

različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo

gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram

kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela

Neka je vA brzina broda A a vB brzina broda B u odnosu na mirnu vodu Brod A pretječe brod B pa je

v vBA

gt

vB

vA

Ako se brodovi gibaju usporedno u istom smjeru relativna brzina v1 kojom se brod A (brži brod) giba

u odnosu na brod B (sporiji brod) jednaka je razlici brzina vA i vB pa iznosi

1

v v vBA

= minus

Interval vremena od trenutka kad se pramac broda A poravna s krmom broda B do trenutka kad se

krma broda A poravna s pramcem broda B iznosi t1 = 70 s a ukupni prijentildeeni put je lA + lB pa slijedi

metoda

komparacije

165 40

1570

111

v v vBA

l lBA

l l v v v v v vBA B B BA A A

tvt

= minus+ +

+ rArr rArr minus = rArr minus = rArr minus ==

vB

vA

Ako se brodovi gibaju u susret jedan drugome njihova relativna brzina v2 gibanja jednog broda u

odnosu na drugi brod jednaka je zbroju brzina brodova vA i vB u odnosu na mirnu vodu

2

v v vBA

= +

Interval vremena prolaska brodova jednog pokraj drugog iznosi t2 = 14 s a ukupni prijentildeeni put je

lA + lB pa slijedi

2

metoda

komparacije

265 40

7514

222

v v vBA

l lBA

l l v v v v v vBA B B BA A A

tvt

= ++ +

+ rArr rArr + = rArr + = rArr + ==

Iz sustava jednadžbi dobiju se brzine brodova u mirnoj vodi (mjerne jedinice u jednadžbama možemo

izostaviti)

metoda suprotnih 2

koeficij

152 9 2 9 45 45

7 a a5 en t

v v mBAv v v v

A A A Av v sBA

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =

+ =

Računamo brzinu vB

4545 75 75 45 3 3

75

v mAv v v vB B B B

v v sBA

=rArr + = rArr = minus rArr = rArr =

+ =

Vježba 121 Brod A dugačak je 130 m a brod B 80 m Brodovi plove rijekom u istom smjeru Brod A

prestiže brod B Interval vremena od trenutka kad se pramac broda A poravna s krmom broda B do

trenutka kad se krma broda A poravna s pramcem broda B iznosi 140 sekundi Ako se brodovi gibaju

jedan drugom u susret interval vremena prolaska brodova jedan pokraj drugog iznosi 28 sekundi

Kolike bi bile brzine brodova u mirnoj vodi kada bi snaga motora bila jednaka

Rezultat 45 3 m m

v vBA

s s= =

Zadatak 122 (Darko srednja škola) Prvih 5 km puta putnik prelazi brzinom 30 kmh a drugih 5 km u istom smjeru brzinom 50

kmh Njegova srednja brzina tijekom tih 10 km je

A manja od 40 kmh

B točno 40 kmh

C veća od 40 kmh

D ima premalo podataka za izračun srednje brzine

Rješenje 122 s1 = 5 km v1 = 30 kmh s2 = 5 km v2 = 50 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Prosječna brzina v putnika na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta

1 2s s s= +

i ukupno proteklog vremena

1 2

t t t= +

3

5 51 2 1 2 375 5 5

1 21 2

30 501 2

s s s ss km km kmv v v

s s km kmt t t h

km kmv v

h h

+ + += rArr = rArr = = =

+++

Odgovor je pod A

Vježba 122 Prvih 4 km puta putnik prelazi brzinom 30 kmh a drugih 4 km u istom smjeru brzinom 50

kmh Njegova srednja brzina tijekom tih 10 km je

A manja od 40 kmh

B točno 40 kmh

C veća od 40 kmh

D ima premalo podataka za izračun srednje brzine

Rezultat A

Zadatak 123 (Mira srednja škola) Tijelo se giba duž osi x tako da mu je vremenska ovisnost položaja prikazana sljedećim

grafom

a) Koliki je pomak tijela za 10 s

b) Koliki je put tijelo prevalilo za 10 s

Rješenje 123 Trag koji bi materijalna točka ostavljala pri gibanju zovemo putanjom Put je duljina koju

tijelo prijentildee po stazi (putanji) Pomak je udaljenost na pravcu za koju se promijenio položaj tijela i

ima smjer promjene položaja

a)

x2x1

x m

t s

100

80

60

40

20

1086420

Pomak tijela za 10 s iznosi

4

2

01

0 0 0 0

21

x m

d m mm

d x x mx

= minus=

rArr rArr = minus ==

b)

x3

x2

x1

x m

t s

100

80

60

40

20

1086420

Ukupan put koji je tijelo prevalilo za 10 s iznosi

0 100 01 2 3

2 1 3 2

x m x m x m

s x x x x

= = =

rArr= minus + minus

100 0 0 100 100 100 200 s m m m m s m m s mrArr = minus + minus rArr = + rArr =

Vježba 123 Crtež prikazuje x-t graf pravocrtnoga gibanja učenice od škole do kuće x označava položaj

učenice (udaljenost učenice od škole) Učenica je stigla doma nakon 3 h

t h

x km

0 1 2 3

1

2

3

Pomak učenice za to vrijeme iznosi __________

Rezultat 3 km

Zadatak 124 (Mateja gimnazija) Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 45 minuta Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rješenje 124

s = 15 km 45 3

45 min 60 4

t h h= = = s1 = 9 km vr = vb =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

5

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije

Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela

uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se

različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo

gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram

kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela

Ako sa vb označimo brzinu brodića u odnosu na vodu a sa vr brzinu rijeke tada je

bull relativna brzina brodića niz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrb+

bull relativna brzina brodića uz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrbminus

Brodić je niz rijeku prešao put s za vrijeme t pa vrijedi

15

15 601 203 3 3

4 4

sv v v v v v v v v vr r r r rb b b b bt

+ = rArr + = rArr + = rArr + = rArr + =

Budući da rijeka nosi splav brzina splavi jednaka je brzini rijeke Brodić vraćajući se natrag susreo je

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Znači da je splav prevalila put s2

15 9 62 1

s s s km km km= minus = minus =

za vrijeme t1

62 1

s

tv vr r

= =

Za to vrijeme brodić je prevalio put do mjesta A za 3

4h i vratio se natrag na 9 km od mjesta A za

vrijeme

9

v vrbminus

pa je njegovo ukupno vrijeme gibanja do susreta jednako

3 9

2 4t

v vrb

= +minus

Sada je

6 3 9

1 2 4t t

v v vr rb

= rArr = +minus

Dobije se sustav jednadžbi

20 20metoda

3 supstit

20

6 3 9 6 3 9 2 1 3

4ucije

4 4

v v v v v vr r rb b b

v v v v v v v v vr r r r r rb b b

+ = = minus = minus

rArr rArr rArr rArr= + = + = +

minus minus minus

( ) ( )

20 2 12 32 22 1 3 2 1 3 2 2

4 20 4 20 2 4 20 2 4 20 2

v vr r

v v v v v v v v vr r r r r r r r r

minus sdot + minus sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr = rArr

minus minus minus sdot sdot minus sdot sdot minus sdot

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

2 16 16 162 2 28 10 16

4 2 10 4 102 4 10

2v v vr r rv v vr r r

v v v v v vr r r r r r

sdot minus sdot minus minusrArr = rArr = rArr = rArr sdot minus = sdot minus rArr

sdot sdot minus sdot sdot minus sdot minus

6

2 2 280 8 16 80 8 16 0 24 80 0v v v v v v v vr r r r r r r rrArr minus sdot = sdot minus rArr minus sdot minus sdot + = rArr minus sdot + = rArr

( )

1 24 802

24 80 02

41 24 80

12 2

a b c

v vr rb b a c

a b c vra

= = minus =

minus sdot + =rArr rArr rArr

minus plusmn minus sdot sdot= = minus = =

sdot

( )( ) ( )

( )

224 24 4 1 80 24 576 320

12 122 1 2v vr r

minus minus plusmn minus minus sdot sdot plusmn minusrArr = rArr = rArr

sdot

( ) ( )( )

( )

( )

( )

24 16 401 124 256 24 16 2 2

12 12 24 16 82 22 22 2

v vr r

v vr r

v vr r

+= =

plusmn plusmnrArr = rArr = rArr rArr rArr

minus= =

( )

( )

nema fizikalnog s2014

42

mislavrvr

vr

=rArr rArr =

=

Brzina rijeke je

4 km

vrh

=

Brzina brodića iznosi

204 20 20 4 16

4

v vrbv v vb b b

vr

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina brodića u odnosu na vodi je

16 km

vb h

=

Vježba 124 Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 075 h Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rezultat 4 16 km km

v vr bh h= =

Zadatak 125 (Cazim gimnazija) Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta A u mjesto B ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rješenje 125

∆v = 4 kmh 10 1

10 min 60 6

t h h∆ = = = s = 60 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Na putu s od mjesta A do mjesta B biciklist je vozio jednolikom brzinom v i prešao za vrijeme t1

1

st

v=

7

Pri povratku povećao je brzinu za ∆v i prešao za vrijeme t2

2

st

v v=

+ ∆

Budući da je vrijeme t2 prema uvjetu zadatka za ∆t manje od vremena t1 vrijedi

( )60 60 1 60 60 1

1 2 4 6 4 4

66

s st t t t

v v v v v v vv vminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr minus = rArr minus = rArr

+ ∆ +sdot sdot sdot +

+

( ) ( )2

360 4 360 4 360 1440 360 4v v v v v v v vrArr sdot + minus sdot = sdot + rArr sdot + minus sdot = + sdot rArr

2 2 2 21440 4 1440 4 4 1440 4360 3 440 00 16 v v v v vv v v vvrArr + = + sdot rArr = + sdot rArr + sdot =sdot minus sdot rArr + sdot minus = rArr

( )1 4 1440 22 4 4 4 1 14404 1440 0

24 12 2 11 4 1440

12 2

a b c

v vv

b b a ca b c v

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

4 16 5760 4 5776 4 76

12 12 122 2 2v v v

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr

4 76 72361 12 2 1

36 4 76 80 40

22 2

nema smisl

2 2

a

v vv

kmv

v hv v

minus += = =

rArr rArr rArr rArr =minus minus = minus

= = minus

v + ∆∆∆∆v

v

A B

BA

Vježba 125 Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta B u mjesto A ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rezultat 40 km

h

Zadatak 126 (Ana strukovna škola) Automobil prijentildee u prva dva sata 120 km a u sljedeća tri sata još 150 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 126

t1 = 2 h s1 = 120 km t2 = 3 h s2 = 150 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

8

Prosječnu brzinu izračunamo tako da ukupni put podijelimo ukupnim vremenom

120 1501 2 54 2 3

1 2

1 2

1 2

s ss km km kmv v

t t t h h

s s s

t t t h

+= +

= +

+= rArr rArr = = =

+ +

Odgovor je pod D

Vježba 126 Automobil prijentildee u prva četiri sata 240 km a u sljedećih šest sati još 300 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat D

Zadatak 127 (Branka srednja škola) Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 60 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 40

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 127

1

1 2

s s= sdot v1 = 60 kmh 1

2 2

s s= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo vrijeme potrebno za prvu i drugu polovicu puta

1 1

1 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2

1 1 1 2 2 2

s ss ss st t t t t t

v v v v v v

sdot sdot

= rArr = rArr = = rArr = rArr =sdot sdot

Budući da je ukupan put s a ukupno vrijeme potrebno za taj put t1 + t2 srednja brzina v iznosi

1

1 1 1 11 22 2 2 21 2 1 2 1 2

s

s s sv v v v

s st t s s

v vv v v v

= rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +sdot sdot

1

2 21 11 11 1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 1 21 2 1 2

v v v vv v

v v v vv v v v

s

s

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

9

22 60 402

1 1 2 48

1 2 1 2 60 40

1 2

km km

v v kmh hv v

v v km kmv v h

h hv v

sdot sdotsdot sdotrArr = rArr = = =

+ ++

sdot

vv2v1

P

Odgovor je pod D

Vježba 127 Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 80 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 20

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

40 38 32 35km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat C

Zadatak 128 (Branka srednja škola) U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 128

1

1 2t t= sdot v1 = 60 kmh

1

2 2t t= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo put prijentildeen u prvoj i drugoj polovici vremena pomoću zadanih brzina

1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

t ts v s v t s v s v t= sdot rArr = sdot sdot = sdot rArr = sdot sdot

Budući da je ukupan put s1 + s2 a ukupno vrijeme potrebno za taj put t srednja brzina v iznosi

( ) ( )1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2v t v t t v v v vs s

v v v v

t

tt t t

sdot sdot + sdot sdot sdot sdot + sdot sdot ++= rArr = rArr = rArr = rArr

( )1 1

60 40 50 1 22 2

km km kmv v v

h h hrArr = sdot + = sdot + =

Odgovor je pod A

Vježba 128 U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

2

metoda

komparacije

265 40

7514

222

v v vBA

l lBA

l l v v v v v vBA B B BA A A

tvt

= ++ +

+ rArr rArr + = rArr + = rArr + ==

Iz sustava jednadžbi dobiju se brzine brodova u mirnoj vodi (mjerne jedinice u jednadžbama možemo

izostaviti)

metoda suprotnih 2

koeficij

152 9 2 9 45 45

7 a a5 en t

v v mBAv v v v

A A A Av v sBA

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =

+ =

Računamo brzinu vB

4545 75 75 45 3 3

75

v mAv v v vB B B B

v v sBA

=rArr + = rArr = minus rArr = rArr =

+ =

Vježba 121 Brod A dugačak je 130 m a brod B 80 m Brodovi plove rijekom u istom smjeru Brod A

prestiže brod B Interval vremena od trenutka kad se pramac broda A poravna s krmom broda B do

trenutka kad se krma broda A poravna s pramcem broda B iznosi 140 sekundi Ako se brodovi gibaju

jedan drugom u susret interval vremena prolaska brodova jedan pokraj drugog iznosi 28 sekundi

Kolike bi bile brzine brodova u mirnoj vodi kada bi snaga motora bila jednaka

Rezultat 45 3 m m

v vBA

s s= =

Zadatak 122 (Darko srednja škola) Prvih 5 km puta putnik prelazi brzinom 30 kmh a drugih 5 km u istom smjeru brzinom 50

kmh Njegova srednja brzina tijekom tih 10 km je

A manja od 40 kmh

B točno 40 kmh

C veća od 40 kmh

D ima premalo podataka za izračun srednje brzine

Rješenje 122 s1 = 5 km v1 = 30 kmh s2 = 5 km v2 = 50 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Prosječna brzina v putnika na cijelom putu s jednaka je omjeru (količniku) ukupno prijentildeenog puta

1 2s s s= +

i ukupno proteklog vremena

1 2

t t t= +

3

5 51 2 1 2 375 5 5

1 21 2

30 501 2

s s s ss km km kmv v v

s s km kmt t t h

km kmv v

h h

+ + += rArr = rArr = = =

+++

Odgovor je pod A

Vježba 122 Prvih 4 km puta putnik prelazi brzinom 30 kmh a drugih 4 km u istom smjeru brzinom 50

kmh Njegova srednja brzina tijekom tih 10 km je

A manja od 40 kmh

B točno 40 kmh

C veća od 40 kmh

D ima premalo podataka za izračun srednje brzine

Rezultat A

Zadatak 123 (Mira srednja škola) Tijelo se giba duž osi x tako da mu je vremenska ovisnost položaja prikazana sljedećim

grafom

a) Koliki je pomak tijela za 10 s

b) Koliki je put tijelo prevalilo za 10 s

Rješenje 123 Trag koji bi materijalna točka ostavljala pri gibanju zovemo putanjom Put je duljina koju

tijelo prijentildee po stazi (putanji) Pomak je udaljenost na pravcu za koju se promijenio položaj tijela i

ima smjer promjene položaja

a)

x2x1

x m

t s

100

80

60

40

20

1086420

Pomak tijela za 10 s iznosi

4

2

01

0 0 0 0

21

x m

d m mm

d x x mx

= minus=

rArr rArr = minus ==

b)

x3

x2

x1

x m

t s

100

80

60

40

20

1086420

Ukupan put koji je tijelo prevalilo za 10 s iznosi

0 100 01 2 3

2 1 3 2

x m x m x m

s x x x x

= = =

rArr= minus + minus

100 0 0 100 100 100 200 s m m m m s m m s mrArr = minus + minus rArr = + rArr =

Vježba 123 Crtež prikazuje x-t graf pravocrtnoga gibanja učenice od škole do kuće x označava položaj

učenice (udaljenost učenice od škole) Učenica je stigla doma nakon 3 h

t h

x km

0 1 2 3

1

2

3

Pomak učenice za to vrijeme iznosi __________

Rezultat 3 km

Zadatak 124 (Mateja gimnazija) Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 45 minuta Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rješenje 124

s = 15 km 45 3

45 min 60 4

t h h= = = s1 = 9 km vr = vb =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

5

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije

Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela

uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se

različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo

gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram

kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela

Ako sa vb označimo brzinu brodića u odnosu na vodu a sa vr brzinu rijeke tada je

bull relativna brzina brodića niz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrb+

bull relativna brzina brodića uz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrbminus

Brodić je niz rijeku prešao put s za vrijeme t pa vrijedi

15

15 601 203 3 3

4 4

sv v v v v v v v v vr r r r rb b b b bt

+ = rArr + = rArr + = rArr + = rArr + =

Budući da rijeka nosi splav brzina splavi jednaka je brzini rijeke Brodić vraćajući se natrag susreo je

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Znači da je splav prevalila put s2

15 9 62 1

s s s km km km= minus = minus =

za vrijeme t1

62 1

s

tv vr r

= =

Za to vrijeme brodić je prevalio put do mjesta A za 3

4h i vratio se natrag na 9 km od mjesta A za

vrijeme

9

v vrbminus

pa je njegovo ukupno vrijeme gibanja do susreta jednako

3 9

2 4t

v vrb

= +minus

Sada je

6 3 9

1 2 4t t

v v vr rb

= rArr = +minus

Dobije se sustav jednadžbi

20 20metoda

3 supstit

20

6 3 9 6 3 9 2 1 3

4ucije

4 4

v v v v v vr r rb b b

v v v v v v v v vr r r r r rb b b

+ = = minus = minus

rArr rArr rArr rArr= + = + = +

minus minus minus

( ) ( )

20 2 12 32 22 1 3 2 1 3 2 2

4 20 4 20 2 4 20 2 4 20 2

v vr r

v v v v v v v v vr r r r r r r r r

minus sdot + minus sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr = rArr

minus minus minus sdot sdot minus sdot sdot minus sdot

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

2 16 16 162 2 28 10 16

4 2 10 4 102 4 10

2v v vr r rv v vr r r

v v v v v vr r r r r r

sdot minus sdot minus minusrArr = rArr = rArr = rArr sdot minus = sdot minus rArr

sdot sdot minus sdot sdot minus sdot minus

6

2 2 280 8 16 80 8 16 0 24 80 0v v v v v v v vr r r r r r r rrArr minus sdot = sdot minus rArr minus sdot minus sdot + = rArr minus sdot + = rArr

( )

1 24 802

24 80 02

41 24 80

12 2

a b c

v vr rb b a c

a b c vra

= = minus =

minus sdot + =rArr rArr rArr

minus plusmn minus sdot sdot= = minus = =

sdot

( )( ) ( )

( )

224 24 4 1 80 24 576 320

12 122 1 2v vr r

minus minus plusmn minus minus sdot sdot plusmn minusrArr = rArr = rArr

sdot

( ) ( )( )

( )

( )

( )

24 16 401 124 256 24 16 2 2

12 12 24 16 82 22 22 2

v vr r

v vr r

v vr r

+= =

plusmn plusmnrArr = rArr = rArr rArr rArr

minus= =

( )

( )

nema fizikalnog s2014

42

mislavrvr

vr

=rArr rArr =

=

Brzina rijeke je

4 km

vrh

=

Brzina brodića iznosi

204 20 20 4 16

4

v vrbv v vb b b

vr

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina brodića u odnosu na vodi je

16 km

vb h

=

Vježba 124 Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 075 h Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rezultat 4 16 km km

v vr bh h= =

Zadatak 125 (Cazim gimnazija) Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta A u mjesto B ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rješenje 125

∆v = 4 kmh 10 1

10 min 60 6

t h h∆ = = = s = 60 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Na putu s od mjesta A do mjesta B biciklist je vozio jednolikom brzinom v i prešao za vrijeme t1

1

st

v=

7

Pri povratku povećao je brzinu za ∆v i prešao za vrijeme t2

2

st

v v=

+ ∆

Budući da je vrijeme t2 prema uvjetu zadatka za ∆t manje od vremena t1 vrijedi

( )60 60 1 60 60 1

1 2 4 6 4 4

66

s st t t t

v v v v v v vv vminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr minus = rArr minus = rArr

+ ∆ +sdot sdot sdot +

+

( ) ( )2

360 4 360 4 360 1440 360 4v v v v v v v vrArr sdot + minus sdot = sdot + rArr sdot + minus sdot = + sdot rArr

2 2 2 21440 4 1440 4 4 1440 4360 3 440 00 16 v v v v vv v v vvrArr + = + sdot rArr = + sdot rArr + sdot =sdot minus sdot rArr + sdot minus = rArr

( )1 4 1440 22 4 4 4 1 14404 1440 0

24 12 2 11 4 1440

12 2

a b c

v vv

b b a ca b c v

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

4 16 5760 4 5776 4 76

12 12 122 2 2v v v

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr

4 76 72361 12 2 1

36 4 76 80 40

22 2

nema smisl

2 2

a

v vv

kmv

v hv v

minus += = =

rArr rArr rArr rArr =minus minus = minus

= = minus

v + ∆∆∆∆v

v

A B

BA

Vježba 125 Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta B u mjesto A ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rezultat 40 km

h

Zadatak 126 (Ana strukovna škola) Automobil prijentildee u prva dva sata 120 km a u sljedeća tri sata još 150 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 126

t1 = 2 h s1 = 120 km t2 = 3 h s2 = 150 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

8

Prosječnu brzinu izračunamo tako da ukupni put podijelimo ukupnim vremenom

120 1501 2 54 2 3

1 2

1 2

1 2

s ss km km kmv v

t t t h h

s s s

t t t h

+= +

= +

+= rArr rArr = = =

+ +

Odgovor je pod D

Vježba 126 Automobil prijentildee u prva četiri sata 240 km a u sljedećih šest sati još 300 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat D

Zadatak 127 (Branka srednja škola) Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 60 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 40

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 127

1

1 2

s s= sdot v1 = 60 kmh 1

2 2

s s= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo vrijeme potrebno za prvu i drugu polovicu puta

1 1

1 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2

1 1 1 2 2 2

s ss ss st t t t t t

v v v v v v

sdot sdot

= rArr = rArr = = rArr = rArr =sdot sdot

Budući da je ukupan put s a ukupno vrijeme potrebno za taj put t1 + t2 srednja brzina v iznosi

1

1 1 1 11 22 2 2 21 2 1 2 1 2

s

s s sv v v v

s st t s s

v vv v v v

= rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +sdot sdot

1

2 21 11 11 1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 1 21 2 1 2

v v v vv v

v v v vv v v v

s

s

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

9

22 60 402

1 1 2 48

1 2 1 2 60 40

1 2

km km

v v kmh hv v

v v km kmv v h

h hv v

sdot sdotsdot sdotrArr = rArr = = =

+ ++

sdot

vv2v1

P

Odgovor je pod D

Vježba 127 Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 80 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 20

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

40 38 32 35km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat C

Zadatak 128 (Branka srednja škola) U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 128

1

1 2t t= sdot v1 = 60 kmh

1

2 2t t= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo put prijentildeen u prvoj i drugoj polovici vremena pomoću zadanih brzina

1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

t ts v s v t s v s v t= sdot rArr = sdot sdot = sdot rArr = sdot sdot

Budući da je ukupan put s1 + s2 a ukupno vrijeme potrebno za taj put t srednja brzina v iznosi

( ) ( )1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2v t v t t v v v vs s

v v v v

t

tt t t

sdot sdot + sdot sdot sdot sdot + sdot sdot ++= rArr = rArr = rArr = rArr

( )1 1

60 40 50 1 22 2

km km kmv v v

h h hrArr = sdot + = sdot + =

Odgovor je pod A

Vježba 128 U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

3

5 51 2 1 2 375 5 5

1 21 2

30 501 2

s s s ss km km kmv v v

s s km kmt t t h

km kmv v

h h

+ + += rArr = rArr = = =

+++

Odgovor je pod A

Vježba 122 Prvih 4 km puta putnik prelazi brzinom 30 kmh a drugih 4 km u istom smjeru brzinom 50

kmh Njegova srednja brzina tijekom tih 10 km je

A manja od 40 kmh

B točno 40 kmh

C veća od 40 kmh

D ima premalo podataka za izračun srednje brzine

Rezultat A

Zadatak 123 (Mira srednja škola) Tijelo se giba duž osi x tako da mu je vremenska ovisnost položaja prikazana sljedećim

grafom

a) Koliki je pomak tijela za 10 s

b) Koliki je put tijelo prevalilo za 10 s

Rješenje 123 Trag koji bi materijalna točka ostavljala pri gibanju zovemo putanjom Put je duljina koju

tijelo prijentildee po stazi (putanji) Pomak je udaljenost na pravcu za koju se promijenio položaj tijela i

ima smjer promjene položaja

a)

x2x1

x m

t s

100

80

60

40

20

1086420

Pomak tijela za 10 s iznosi

4

2

01

0 0 0 0

21

x m

d m mm

d x x mx

= minus=

rArr rArr = minus ==

b)

x3

x2

x1

x m

t s

100

80

60

40

20

1086420

Ukupan put koji je tijelo prevalilo za 10 s iznosi

0 100 01 2 3

2 1 3 2

x m x m x m

s x x x x

= = =

rArr= minus + minus

100 0 0 100 100 100 200 s m m m m s m m s mrArr = minus + minus rArr = + rArr =

Vježba 123 Crtež prikazuje x-t graf pravocrtnoga gibanja učenice od škole do kuće x označava položaj

učenice (udaljenost učenice od škole) Učenica je stigla doma nakon 3 h

t h

x km

0 1 2 3

1

2

3

Pomak učenice za to vrijeme iznosi __________

Rezultat 3 km

Zadatak 124 (Mateja gimnazija) Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 45 minuta Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rješenje 124

s = 15 km 45 3

45 min 60 4

t h h= = = s1 = 9 km vr = vb =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

5

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije

Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela

uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se

različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo

gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram

kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela

Ako sa vb označimo brzinu brodića u odnosu na vodu a sa vr brzinu rijeke tada je

bull relativna brzina brodića niz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrb+

bull relativna brzina brodića uz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrbminus

Brodić je niz rijeku prešao put s za vrijeme t pa vrijedi

15

15 601 203 3 3

4 4

sv v v v v v v v v vr r r r rb b b b bt

+ = rArr + = rArr + = rArr + = rArr + =

Budući da rijeka nosi splav brzina splavi jednaka je brzini rijeke Brodić vraćajući se natrag susreo je

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Znači da je splav prevalila put s2

15 9 62 1

s s s km km km= minus = minus =

za vrijeme t1

62 1

s

tv vr r

= =

Za to vrijeme brodić je prevalio put do mjesta A za 3

4h i vratio se natrag na 9 km od mjesta A za

vrijeme

9

v vrbminus

pa je njegovo ukupno vrijeme gibanja do susreta jednako

3 9

2 4t

v vrb

= +minus

Sada je

6 3 9

1 2 4t t

v v vr rb

= rArr = +minus

Dobije se sustav jednadžbi

20 20metoda

3 supstit

20

6 3 9 6 3 9 2 1 3

4ucije

4 4

v v v v v vr r rb b b

v v v v v v v v vr r r r r rb b b

+ = = minus = minus

rArr rArr rArr rArr= + = + = +

minus minus minus

( ) ( )

20 2 12 32 22 1 3 2 1 3 2 2

4 20 4 20 2 4 20 2 4 20 2

v vr r

v v v v v v v v vr r r r r r r r r

minus sdot + minus sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr = rArr

minus minus minus sdot sdot minus sdot sdot minus sdot

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

2 16 16 162 2 28 10 16

4 2 10 4 102 4 10

2v v vr r rv v vr r r

v v v v v vr r r r r r

sdot minus sdot minus minusrArr = rArr = rArr = rArr sdot minus = sdot minus rArr

sdot sdot minus sdot sdot minus sdot minus

6

2 2 280 8 16 80 8 16 0 24 80 0v v v v v v v vr r r r r r r rrArr minus sdot = sdot minus rArr minus sdot minus sdot + = rArr minus sdot + = rArr

( )

1 24 802

24 80 02

41 24 80

12 2

a b c

v vr rb b a c

a b c vra

= = minus =

minus sdot + =rArr rArr rArr

minus plusmn minus sdot sdot= = minus = =

sdot

( )( ) ( )

( )

224 24 4 1 80 24 576 320

12 122 1 2v vr r

minus minus plusmn minus minus sdot sdot plusmn minusrArr = rArr = rArr

sdot

( ) ( )( )

( )

( )

( )

24 16 401 124 256 24 16 2 2

12 12 24 16 82 22 22 2

v vr r

v vr r

v vr r

+= =

plusmn plusmnrArr = rArr = rArr rArr rArr

minus= =

( )

( )

nema fizikalnog s2014

42

mislavrvr

vr

=rArr rArr =

=

Brzina rijeke je

4 km

vrh

=

Brzina brodića iznosi

204 20 20 4 16

4

v vrbv v vb b b

vr

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina brodića u odnosu na vodi je

16 km

vb h

=

Vježba 124 Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 075 h Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rezultat 4 16 km km

v vr bh h= =

Zadatak 125 (Cazim gimnazija) Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta A u mjesto B ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rješenje 125

∆v = 4 kmh 10 1

10 min 60 6

t h h∆ = = = s = 60 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Na putu s od mjesta A do mjesta B biciklist je vozio jednolikom brzinom v i prešao za vrijeme t1

1

st

v=

7

Pri povratku povećao je brzinu za ∆v i prešao za vrijeme t2

2

st

v v=

+ ∆

Budući da je vrijeme t2 prema uvjetu zadatka za ∆t manje od vremena t1 vrijedi

( )60 60 1 60 60 1

1 2 4 6 4 4

66

s st t t t

v v v v v v vv vminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr minus = rArr minus = rArr

+ ∆ +sdot sdot sdot +

+

( ) ( )2

360 4 360 4 360 1440 360 4v v v v v v v vrArr sdot + minus sdot = sdot + rArr sdot + minus sdot = + sdot rArr

2 2 2 21440 4 1440 4 4 1440 4360 3 440 00 16 v v v v vv v v vvrArr + = + sdot rArr = + sdot rArr + sdot =sdot minus sdot rArr + sdot minus = rArr

( )1 4 1440 22 4 4 4 1 14404 1440 0

24 12 2 11 4 1440

12 2

a b c

v vv

b b a ca b c v

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

4 16 5760 4 5776 4 76

12 12 122 2 2v v v

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr

4 76 72361 12 2 1

36 4 76 80 40

22 2

nema smisl

2 2

a

v vv

kmv

v hv v

minus += = =

rArr rArr rArr rArr =minus minus = minus

= = minus

v + ∆∆∆∆v

v

A B

BA

Vježba 125 Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta B u mjesto A ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rezultat 40 km

h

Zadatak 126 (Ana strukovna škola) Automobil prijentildee u prva dva sata 120 km a u sljedeća tri sata još 150 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 126

t1 = 2 h s1 = 120 km t2 = 3 h s2 = 150 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

8

Prosječnu brzinu izračunamo tako da ukupni put podijelimo ukupnim vremenom

120 1501 2 54 2 3

1 2

1 2

1 2

s ss km km kmv v

t t t h h

s s s

t t t h

+= +

= +

+= rArr rArr = = =

+ +

Odgovor je pod D

Vježba 126 Automobil prijentildee u prva četiri sata 240 km a u sljedećih šest sati još 300 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat D

Zadatak 127 (Branka srednja škola) Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 60 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 40

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 127

1

1 2

s s= sdot v1 = 60 kmh 1

2 2

s s= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo vrijeme potrebno za prvu i drugu polovicu puta

1 1

1 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2

1 1 1 2 2 2

s ss ss st t t t t t

v v v v v v

sdot sdot

= rArr = rArr = = rArr = rArr =sdot sdot

Budući da je ukupan put s a ukupno vrijeme potrebno za taj put t1 + t2 srednja brzina v iznosi

1

1 1 1 11 22 2 2 21 2 1 2 1 2

s

s s sv v v v

s st t s s

v vv v v v

= rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +sdot sdot

1

2 21 11 11 1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 1 21 2 1 2

v v v vv v

v v v vv v v v

s

s

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

9

22 60 402

1 1 2 48

1 2 1 2 60 40

1 2

km km

v v kmh hv v

v v km kmv v h

h hv v

sdot sdotsdot sdotrArr = rArr = = =

+ ++

sdot

vv2v1

P

Odgovor je pod D

Vježba 127 Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 80 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 20

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

40 38 32 35km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat C

Zadatak 128 (Branka srednja škola) U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 128

1

1 2t t= sdot v1 = 60 kmh

1

2 2t t= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo put prijentildeen u prvoj i drugoj polovici vremena pomoću zadanih brzina

1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

t ts v s v t s v s v t= sdot rArr = sdot sdot = sdot rArr = sdot sdot

Budući da je ukupan put s1 + s2 a ukupno vrijeme potrebno za taj put t srednja brzina v iznosi

( ) ( )1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2v t v t t v v v vs s

v v v v

t

tt t t

sdot sdot + sdot sdot sdot sdot + sdot sdot ++= rArr = rArr = rArr = rArr

( )1 1

60 40 50 1 22 2

km km kmv v v

h h hrArr = sdot + = sdot + =

Odgovor je pod A

Vježba 128 U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

4

2

01

0 0 0 0

21

x m

d m mm

d x x mx

= minus=

rArr rArr = minus ==

b)

x3

x2

x1

x m

t s

100

80

60

40

20

1086420

Ukupan put koji je tijelo prevalilo za 10 s iznosi

0 100 01 2 3

2 1 3 2

x m x m x m

s x x x x

= = =

rArr= minus + minus

100 0 0 100 100 100 200 s m m m m s m m s mrArr = minus + minus rArr = + rArr =

Vježba 123 Crtež prikazuje x-t graf pravocrtnoga gibanja učenice od škole do kuće x označava položaj

učenice (udaljenost učenice od škole) Učenica je stigla doma nakon 3 h

t h

x km

0 1 2 3

1

2

3

Pomak učenice za to vrijeme iznosi __________

Rezultat 3 km

Zadatak 124 (Mateja gimnazija) Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 45 minuta Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rješenje 124

s = 15 km 45 3

45 min 60 4

t h h= = = s1 = 9 km vr = vb =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

5

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije

Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela

uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se

različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo

gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram

kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela

Ako sa vb označimo brzinu brodića u odnosu na vodu a sa vr brzinu rijeke tada je

bull relativna brzina brodića niz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrb+

bull relativna brzina brodića uz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrbminus

Brodić je niz rijeku prešao put s za vrijeme t pa vrijedi

15

15 601 203 3 3

4 4

sv v v v v v v v v vr r r r rb b b b bt

+ = rArr + = rArr + = rArr + = rArr + =

Budući da rijeka nosi splav brzina splavi jednaka je brzini rijeke Brodić vraćajući se natrag susreo je

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Znači da je splav prevalila put s2

15 9 62 1

s s s km km km= minus = minus =

za vrijeme t1

62 1

s

tv vr r

= =

Za to vrijeme brodić je prevalio put do mjesta A za 3

4h i vratio se natrag na 9 km od mjesta A za

vrijeme

9

v vrbminus

pa je njegovo ukupno vrijeme gibanja do susreta jednako

3 9

2 4t

v vrb

= +minus

Sada je

6 3 9

1 2 4t t

v v vr rb

= rArr = +minus

Dobije se sustav jednadžbi

20 20metoda

3 supstit

20

6 3 9 6 3 9 2 1 3

4ucije

4 4

v v v v v vr r rb b b

v v v v v v v v vr r r r r rb b b

+ = = minus = minus

rArr rArr rArr rArr= + = + = +

minus minus minus

( ) ( )

20 2 12 32 22 1 3 2 1 3 2 2

4 20 4 20 2 4 20 2 4 20 2

v vr r

v v v v v v v v vr r r r r r r r r

minus sdot + minus sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr = rArr

minus minus minus sdot sdot minus sdot sdot minus sdot

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

2 16 16 162 2 28 10 16

4 2 10 4 102 4 10

2v v vr r rv v vr r r

v v v v v vr r r r r r

sdot minus sdot minus minusrArr = rArr = rArr = rArr sdot minus = sdot minus rArr

sdot sdot minus sdot sdot minus sdot minus

6

2 2 280 8 16 80 8 16 0 24 80 0v v v v v v v vr r r r r r r rrArr minus sdot = sdot minus rArr minus sdot minus sdot + = rArr minus sdot + = rArr

( )

1 24 802

24 80 02

41 24 80

12 2

a b c

v vr rb b a c

a b c vra

= = minus =

minus sdot + =rArr rArr rArr

minus plusmn minus sdot sdot= = minus = =

sdot

( )( ) ( )

( )

224 24 4 1 80 24 576 320

12 122 1 2v vr r

minus minus plusmn minus minus sdot sdot plusmn minusrArr = rArr = rArr

sdot

( ) ( )( )

( )

( )

( )

24 16 401 124 256 24 16 2 2

12 12 24 16 82 22 22 2

v vr r

v vr r

v vr r

+= =

plusmn plusmnrArr = rArr = rArr rArr rArr

minus= =

( )

( )

nema fizikalnog s2014

42

mislavrvr

vr

=rArr rArr =

=

Brzina rijeke je

4 km

vrh

=

Brzina brodića iznosi

204 20 20 4 16

4

v vrbv v vb b b

vr

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina brodića u odnosu na vodi je

16 km

vb h

=

Vježba 124 Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 075 h Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rezultat 4 16 km km

v vr bh h= =

Zadatak 125 (Cazim gimnazija) Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta A u mjesto B ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rješenje 125

∆v = 4 kmh 10 1

10 min 60 6

t h h∆ = = = s = 60 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Na putu s od mjesta A do mjesta B biciklist je vozio jednolikom brzinom v i prešao za vrijeme t1

1

st

v=

7

Pri povratku povećao je brzinu za ∆v i prešao za vrijeme t2

2

st

v v=

+ ∆

Budući da je vrijeme t2 prema uvjetu zadatka za ∆t manje od vremena t1 vrijedi

( )60 60 1 60 60 1

1 2 4 6 4 4

66

s st t t t

v v v v v v vv vminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr minus = rArr minus = rArr

+ ∆ +sdot sdot sdot +

+

( ) ( )2

360 4 360 4 360 1440 360 4v v v v v v v vrArr sdot + minus sdot = sdot + rArr sdot + minus sdot = + sdot rArr

2 2 2 21440 4 1440 4 4 1440 4360 3 440 00 16 v v v v vv v v vvrArr + = + sdot rArr = + sdot rArr + sdot =sdot minus sdot rArr + sdot minus = rArr

( )1 4 1440 22 4 4 4 1 14404 1440 0

24 12 2 11 4 1440

12 2

a b c

v vv

b b a ca b c v

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

4 16 5760 4 5776 4 76

12 12 122 2 2v v v

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr

4 76 72361 12 2 1

36 4 76 80 40

22 2

nema smisl

2 2

a

v vv

kmv

v hv v

minus += = =

rArr rArr rArr rArr =minus minus = minus

= = minus

v + ∆∆∆∆v

v

A B

BA

Vježba 125 Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta B u mjesto A ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rezultat 40 km

h

Zadatak 126 (Ana strukovna škola) Automobil prijentildee u prva dva sata 120 km a u sljedeća tri sata još 150 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 126

t1 = 2 h s1 = 120 km t2 = 3 h s2 = 150 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

8

Prosječnu brzinu izračunamo tako da ukupni put podijelimo ukupnim vremenom

120 1501 2 54 2 3

1 2

1 2

1 2

s ss km km kmv v

t t t h h

s s s

t t t h

+= +

= +

+= rArr rArr = = =

+ +

Odgovor je pod D

Vježba 126 Automobil prijentildee u prva četiri sata 240 km a u sljedećih šest sati još 300 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat D

Zadatak 127 (Branka srednja škola) Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 60 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 40

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 127

1

1 2

s s= sdot v1 = 60 kmh 1

2 2

s s= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo vrijeme potrebno za prvu i drugu polovicu puta

1 1

1 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2

1 1 1 2 2 2

s ss ss st t t t t t

v v v v v v

sdot sdot

= rArr = rArr = = rArr = rArr =sdot sdot

Budući da je ukupan put s a ukupno vrijeme potrebno za taj put t1 + t2 srednja brzina v iznosi

1

1 1 1 11 22 2 2 21 2 1 2 1 2

s

s s sv v v v

s st t s s

v vv v v v

= rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +sdot sdot

1

2 21 11 11 1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 1 21 2 1 2

v v v vv v

v v v vv v v v

s

s

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

9

22 60 402

1 1 2 48

1 2 1 2 60 40

1 2

km km

v v kmh hv v

v v km kmv v h

h hv v

sdot sdotsdot sdotrArr = rArr = = =

+ ++

sdot

vv2v1

P

Odgovor je pod D

Vježba 127 Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 80 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 20

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

40 38 32 35km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat C

Zadatak 128 (Branka srednja škola) U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 128

1

1 2t t= sdot v1 = 60 kmh

1

2 2t t= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo put prijentildeen u prvoj i drugoj polovici vremena pomoću zadanih brzina

1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

t ts v s v t s v s v t= sdot rArr = sdot sdot = sdot rArr = sdot sdot

Budući da je ukupan put s1 + s2 a ukupno vrijeme potrebno za taj put t srednja brzina v iznosi

( ) ( )1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2v t v t t v v v vs s

v v v v

t

tt t t

sdot sdot + sdot sdot sdot sdot + sdot sdot ++= rArr = rArr = rArr = rArr

( )1 1

60 40 50 1 22 2

km km kmv v v

h h hrArr = sdot + = sdot + =

Odgovor je pod A

Vježba 128 U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

5

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Gibanje je svuda oko nas Nema apsolutnog mirovanja To je jedno od osnovnih svojstava materije

Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu Gibanje tijela

uvijek promatramo u odnosu prema okolišu S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se

različito pa gdjekad čak i kao mirovanje Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo

gibanje Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram

kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela

Ako sa vb označimo brzinu brodića u odnosu na vodu a sa vr brzinu rijeke tada je

bull relativna brzina brodića niz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrb+

bull relativna brzina brodića uz rijeku u odnosu na obalu jednaka

v vrbminus

Brodić je niz rijeku prešao put s za vrijeme t pa vrijedi

15

15 601 203 3 3

4 4

sv v v v v v v v v vr r r r rb b b b bt

+ = rArr + = rArr + = rArr + = rArr + =

Budući da rijeka nosi splav brzina splavi jednaka je brzini rijeke Brodić vraćajući se natrag susreo je

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Znači da je splav prevalila put s2

15 9 62 1

s s s km km km= minus = minus =

za vrijeme t1

62 1

s

tv vr r

= =

Za to vrijeme brodić je prevalio put do mjesta A za 3

4h i vratio se natrag na 9 km od mjesta A za

vrijeme

9

v vrbminus

pa je njegovo ukupno vrijeme gibanja do susreta jednako

3 9

2 4t

v vrb

= +minus

Sada je

6 3 9

1 2 4t t

v v vr rb

= rArr = +minus

Dobije se sustav jednadžbi

20 20metoda

3 supstit

20

6 3 9 6 3 9 2 1 3

4ucije

4 4

v v v v v vr r rb b b

v v v v v v v v vr r r r r rb b b

+ = = minus = minus

rArr rArr rArr rArr= + = + = +

minus minus minus

( ) ( )

20 2 12 32 22 1 3 2 1 3 2 2

4 20 4 20 2 4 20 2 4 20 2

v vr r

v v v v v v v v vr r r r r r r r r

minus sdot + minus sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr = rArr

minus minus minus sdot sdot minus sdot sdot minus sdot

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

2 16 16 162 2 28 10 16

4 2 10 4 102 4 10

2v v vr r rv v vr r r

v v v v v vr r r r r r

sdot minus sdot minus minusrArr = rArr = rArr = rArr sdot minus = sdot minus rArr

sdot sdot minus sdot sdot minus sdot minus

6

2 2 280 8 16 80 8 16 0 24 80 0v v v v v v v vr r r r r r r rrArr minus sdot = sdot minus rArr minus sdot minus sdot + = rArr minus sdot + = rArr

( )

1 24 802

24 80 02

41 24 80

12 2

a b c

v vr rb b a c

a b c vra

= = minus =

minus sdot + =rArr rArr rArr

minus plusmn minus sdot sdot= = minus = =

sdot

( )( ) ( )

( )

224 24 4 1 80 24 576 320

12 122 1 2v vr r

minus minus plusmn minus minus sdot sdot plusmn minusrArr = rArr = rArr

sdot

( ) ( )( )

( )

( )

( )

24 16 401 124 256 24 16 2 2

12 12 24 16 82 22 22 2

v vr r

v vr r

v vr r

+= =

plusmn plusmnrArr = rArr = rArr rArr rArr

minus= =

( )

( )

nema fizikalnog s2014

42

mislavrvr

vr

=rArr rArr =

=

Brzina rijeke je

4 km

vrh

=

Brzina brodića iznosi

204 20 20 4 16

4

v vrbv v vb b b

vr

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina brodića u odnosu na vodi je

16 km

vb h

=

Vježba 124 Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 075 h Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rezultat 4 16 km km

v vr bh h= =

Zadatak 125 (Cazim gimnazija) Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta A u mjesto B ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rješenje 125

∆v = 4 kmh 10 1

10 min 60 6

t h h∆ = = = s = 60 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Na putu s od mjesta A do mjesta B biciklist je vozio jednolikom brzinom v i prešao za vrijeme t1

1

st

v=

7

Pri povratku povećao je brzinu za ∆v i prešao za vrijeme t2

2

st

v v=

+ ∆

Budući da je vrijeme t2 prema uvjetu zadatka za ∆t manje od vremena t1 vrijedi

( )60 60 1 60 60 1

1 2 4 6 4 4

66

s st t t t

v v v v v v vv vminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr minus = rArr minus = rArr

+ ∆ +sdot sdot sdot +

+

( ) ( )2

360 4 360 4 360 1440 360 4v v v v v v v vrArr sdot + minus sdot = sdot + rArr sdot + minus sdot = + sdot rArr

2 2 2 21440 4 1440 4 4 1440 4360 3 440 00 16 v v v v vv v v vvrArr + = + sdot rArr = + sdot rArr + sdot =sdot minus sdot rArr + sdot minus = rArr

( )1 4 1440 22 4 4 4 1 14404 1440 0

24 12 2 11 4 1440

12 2

a b c

v vv

b b a ca b c v

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

4 16 5760 4 5776 4 76

12 12 122 2 2v v v

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr

4 76 72361 12 2 1

36 4 76 80 40

22 2

nema smisl

2 2

a

v vv

kmv

v hv v

minus += = =

rArr rArr rArr rArr =minus minus = minus

= = minus

v + ∆∆∆∆v

v

A B

BA

Vježba 125 Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta B u mjesto A ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rezultat 40 km

h

Zadatak 126 (Ana strukovna škola) Automobil prijentildee u prva dva sata 120 km a u sljedeća tri sata još 150 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 126

t1 = 2 h s1 = 120 km t2 = 3 h s2 = 150 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

8

Prosječnu brzinu izračunamo tako da ukupni put podijelimo ukupnim vremenom

120 1501 2 54 2 3

1 2

1 2

1 2

s ss km km kmv v

t t t h h

s s s

t t t h

+= +

= +

+= rArr rArr = = =

+ +

Odgovor je pod D

Vježba 126 Automobil prijentildee u prva četiri sata 240 km a u sljedećih šest sati još 300 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat D

Zadatak 127 (Branka srednja škola) Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 60 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 40

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 127

1

1 2

s s= sdot v1 = 60 kmh 1

2 2

s s= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo vrijeme potrebno za prvu i drugu polovicu puta

1 1

1 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2

1 1 1 2 2 2

s ss ss st t t t t t

v v v v v v

sdot sdot

= rArr = rArr = = rArr = rArr =sdot sdot

Budući da je ukupan put s a ukupno vrijeme potrebno za taj put t1 + t2 srednja brzina v iznosi

1

1 1 1 11 22 2 2 21 2 1 2 1 2

s

s s sv v v v

s st t s s

v vv v v v

= rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +sdot sdot

1

2 21 11 11 1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 1 21 2 1 2

v v v vv v

v v v vv v v v

s

s

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

9

22 60 402

1 1 2 48

1 2 1 2 60 40

1 2

km km

v v kmh hv v

v v km kmv v h

h hv v

sdot sdotsdot sdotrArr = rArr = = =

+ ++

sdot

vv2v1

P

Odgovor je pod D

Vježba 127 Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 80 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 20

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

40 38 32 35km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat C

Zadatak 128 (Branka srednja škola) U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 128

1

1 2t t= sdot v1 = 60 kmh

1

2 2t t= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo put prijentildeen u prvoj i drugoj polovici vremena pomoću zadanih brzina

1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

t ts v s v t s v s v t= sdot rArr = sdot sdot = sdot rArr = sdot sdot

Budući da je ukupan put s1 + s2 a ukupno vrijeme potrebno za taj put t srednja brzina v iznosi

( ) ( )1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2v t v t t v v v vs s

v v v v

t

tt t t

sdot sdot + sdot sdot sdot sdot + sdot sdot ++= rArr = rArr = rArr = rArr

( )1 1

60 40 50 1 22 2

km km kmv v v

h h hrArr = sdot + = sdot + =

Odgovor je pod A

Vježba 128 U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

6

2 2 280 8 16 80 8 16 0 24 80 0v v v v v v v vr r r r r r r rrArr minus sdot = sdot minus rArr minus sdot minus sdot + = rArr minus sdot + = rArr

( )

1 24 802

24 80 02

41 24 80

12 2

a b c

v vr rb b a c

a b c vra

= = minus =

minus sdot + =rArr rArr rArr

minus plusmn minus sdot sdot= = minus = =

sdot

( )( ) ( )

( )

224 24 4 1 80 24 576 320

12 122 1 2v vr r

minus minus plusmn minus minus sdot sdot plusmn minusrArr = rArr = rArr

sdot

( ) ( )( )

( )

( )

( )

24 16 401 124 256 24 16 2 2

12 12 24 16 82 22 22 2

v vr r

v vr r

v vr r

+= =

plusmn plusmnrArr = rArr = rArr rArr rArr

minus= =

( )

( )

nema fizikalnog s2014

42

mislavrvr

vr

=rArr rArr =

=

Brzina rijeke je

4 km

vrh

=

Brzina brodića iznosi

204 20 20 4 16

4

v vrbv v vb b b

vr

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina brodića u odnosu na vodi je

16 km

vb h

=

Vježba 124 Pored pristaništa prolazi splav U tom trenutku iz pristaništa isplovi brodić koji se giba niz

rijeku do mjesta A udaljenog 15 km u koje stiže za 075 h Zatim se brodić vraća natrag i susreće

splav na udaljenosti 9 km od mjesta A Kolika je brzina rijeke i kolika je brzina brodića u odnosu na

vodu

Rezultat 4 16 km km

v vr bh h= =

Zadatak 125 (Cazim gimnazija) Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta A u mjesto B ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rješenje 125

∆v = 4 kmh 10 1

10 min 60 6

t h h∆ = = = s = 60 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Na putu s od mjesta A do mjesta B biciklist je vozio jednolikom brzinom v i prešao za vrijeme t1

1

st

v=

7

Pri povratku povećao je brzinu za ∆v i prešao za vrijeme t2

2

st

v v=

+ ∆

Budući da je vrijeme t2 prema uvjetu zadatka za ∆t manje od vremena t1 vrijedi

( )60 60 1 60 60 1

1 2 4 6 4 4

66

s st t t t

v v v v v v vv vminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr minus = rArr minus = rArr

+ ∆ +sdot sdot sdot +

+

( ) ( )2

360 4 360 4 360 1440 360 4v v v v v v v vrArr sdot + minus sdot = sdot + rArr sdot + minus sdot = + sdot rArr

2 2 2 21440 4 1440 4 4 1440 4360 3 440 00 16 v v v v vv v v vvrArr + = + sdot rArr = + sdot rArr + sdot =sdot minus sdot rArr + sdot minus = rArr

( )1 4 1440 22 4 4 4 1 14404 1440 0

24 12 2 11 4 1440

12 2

a b c

v vv

b b a ca b c v

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

4 16 5760 4 5776 4 76

12 12 122 2 2v v v

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr

4 76 72361 12 2 1

36 4 76 80 40

22 2

nema smisl

2 2

a

v vv

kmv

v hv v

minus += = =

rArr rArr rArr rArr =minus minus = minus

= = minus

v + ∆∆∆∆v

v

A B

BA

Vježba 125 Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta B u mjesto A ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rezultat 40 km

h

Zadatak 126 (Ana strukovna škola) Automobil prijentildee u prva dva sata 120 km a u sljedeća tri sata još 150 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 126

t1 = 2 h s1 = 120 km t2 = 3 h s2 = 150 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

8

Prosječnu brzinu izračunamo tako da ukupni put podijelimo ukupnim vremenom

120 1501 2 54 2 3

1 2

1 2

1 2

s ss km km kmv v

t t t h h

s s s

t t t h

+= +

= +

+= rArr rArr = = =

+ +

Odgovor je pod D

Vježba 126 Automobil prijentildee u prva četiri sata 240 km a u sljedećih šest sati još 300 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat D

Zadatak 127 (Branka srednja škola) Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 60 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 40

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 127

1

1 2

s s= sdot v1 = 60 kmh 1

2 2

s s= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo vrijeme potrebno za prvu i drugu polovicu puta

1 1

1 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2

1 1 1 2 2 2

s ss ss st t t t t t

v v v v v v

sdot sdot

= rArr = rArr = = rArr = rArr =sdot sdot

Budući da je ukupan put s a ukupno vrijeme potrebno za taj put t1 + t2 srednja brzina v iznosi

1

1 1 1 11 22 2 2 21 2 1 2 1 2

s

s s sv v v v

s st t s s

v vv v v v

= rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +sdot sdot

1

2 21 11 11 1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 1 21 2 1 2

v v v vv v

v v v vv v v v

s

s

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

9

22 60 402

1 1 2 48

1 2 1 2 60 40

1 2

km km

v v kmh hv v

v v km kmv v h

h hv v

sdot sdotsdot sdotrArr = rArr = = =

+ ++

sdot

vv2v1

P

Odgovor je pod D

Vježba 127 Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 80 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 20

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

40 38 32 35km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat C

Zadatak 128 (Branka srednja škola) U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 128

1

1 2t t= sdot v1 = 60 kmh

1

2 2t t= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo put prijentildeen u prvoj i drugoj polovici vremena pomoću zadanih brzina

1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

t ts v s v t s v s v t= sdot rArr = sdot sdot = sdot rArr = sdot sdot

Budući da je ukupan put s1 + s2 a ukupno vrijeme potrebno za taj put t srednja brzina v iznosi

( ) ( )1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2v t v t t v v v vs s

v v v v

t

tt t t

sdot sdot + sdot sdot sdot sdot + sdot sdot ++= rArr = rArr = rArr = rArr

( )1 1

60 40 50 1 22 2

km km kmv v v

h h hrArr = sdot + = sdot + =

Odgovor je pod A

Vježba 128 U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

7

Pri povratku povećao je brzinu za ∆v i prešao za vrijeme t2

2

st

v v=

+ ∆

Budući da je vrijeme t2 prema uvjetu zadatka za ∆t manje od vremena t1 vrijedi

( )60 60 1 60 60 1

1 2 4 6 4 4

66

s st t t t

v v v v v v vv vminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr minus = rArr minus = rArr

+ ∆ +sdot sdot sdot +

+

( ) ( )2

360 4 360 4 360 1440 360 4v v v v v v v vrArr sdot + minus sdot = sdot + rArr sdot + minus sdot = + sdot rArr

2 2 2 21440 4 1440 4 4 1440 4360 3 440 00 16 v v v v vv v v vvrArr + = + sdot rArr = + sdot rArr + sdot =sdot minus sdot rArr + sdot minus = rArr

( )1 4 1440 22 4 4 4 1 14404 1440 0

24 12 2 11 4 1440

12 2

a b c

v vv

b b a ca b c v

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

4 16 5760 4 5776 4 76

12 12 122 2 2v v v

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr

4 76 72361 12 2 1

36 4 76 80 40

22 2

nema smisl

2 2

a

v vv

kmv

v hv v

minus += = =

rArr rArr rArr rArr =minus minus = minus

= = minus

v + ∆∆∆∆v

v

A B

BA

Vježba 125 Biciklist vozi iz mjesta A u mjesto B jednolikom brzinom Pri povratku povećao je brzinu za 4

kmh i došao 10 minuta ranije Kojom se brzinom gibao iz mjesta B u mjesto A ako su ona

mentildeusobno udaljena 60 km

Rezultat 40 km

h

Zadatak 126 (Ana strukovna škola) Automobil prijentildee u prva dva sata 120 km a u sljedeća tri sata još 150 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 126

t1 = 2 h s1 = 120 km t2 = 3 h s2 = 150 km v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

8

Prosječnu brzinu izračunamo tako da ukupni put podijelimo ukupnim vremenom

120 1501 2 54 2 3

1 2

1 2

1 2

s ss km km kmv v

t t t h h

s s s

t t t h

+= +

= +

+= rArr rArr = = =

+ +

Odgovor je pod D

Vježba 126 Automobil prijentildee u prva četiri sata 240 km a u sljedećih šest sati još 300 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat D

Zadatak 127 (Branka srednja škola) Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 60 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 40

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 127

1

1 2

s s= sdot v1 = 60 kmh 1

2 2

s s= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo vrijeme potrebno za prvu i drugu polovicu puta

1 1

1 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2

1 1 1 2 2 2

s ss ss st t t t t t

v v v v v v

sdot sdot

= rArr = rArr = = rArr = rArr =sdot sdot

Budući da je ukupan put s a ukupno vrijeme potrebno za taj put t1 + t2 srednja brzina v iznosi

1

1 1 1 11 22 2 2 21 2 1 2 1 2

s

s s sv v v v

s st t s s

v vv v v v

= rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +sdot sdot

1

2 21 11 11 1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 1 21 2 1 2

v v v vv v

v v v vv v v v

s

s

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

9

22 60 402

1 1 2 48

1 2 1 2 60 40

1 2

km km

v v kmh hv v

v v km kmv v h

h hv v

sdot sdotsdot sdotrArr = rArr = = =

+ ++

sdot

vv2v1

P

Odgovor je pod D

Vježba 127 Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 80 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 20

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

40 38 32 35km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat C

Zadatak 128 (Branka srednja škola) U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 128

1

1 2t t= sdot v1 = 60 kmh

1

2 2t t= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo put prijentildeen u prvoj i drugoj polovici vremena pomoću zadanih brzina

1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

t ts v s v t s v s v t= sdot rArr = sdot sdot = sdot rArr = sdot sdot

Budući da je ukupan put s1 + s2 a ukupno vrijeme potrebno za taj put t srednja brzina v iznosi

( ) ( )1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2v t v t t v v v vs s

v v v v

t

tt t t

sdot sdot + sdot sdot sdot sdot + sdot sdot ++= rArr = rArr = rArr = rArr

( )1 1

60 40 50 1 22 2

km km kmv v v

h h hrArr = sdot + = sdot + =

Odgovor je pod A

Vježba 128 U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

8

Prosječnu brzinu izračunamo tako da ukupni put podijelimo ukupnim vremenom

120 1501 2 54 2 3

1 2

1 2

1 2

s ss km km kmv v

t t t h h

s s s

t t t h

+= +

= +

+= rArr rArr = = =

+ +

Odgovor je pod D

Vježba 126 Automobil prijentildee u prva četiri sata 240 km a u sljedećih šest sati još 300 km Kolika mu je

prosječna brzina na cijelom putu

60 75 125 54km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat D

Zadatak 127 (Branka srednja škola) Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 60 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 40

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 127

1

1 2

s s= sdot v1 = 60 kmh 1

2 2

s s= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo vrijeme potrebno za prvu i drugu polovicu puta

1 1

1 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2

1 1 1 2 2 2

s ss ss st t t t t t

v v v v v v

sdot sdot

= rArr = rArr = = rArr = rArr =sdot sdot

Budući da je ukupan put s a ukupno vrijeme potrebno za taj put t1 + t2 srednja brzina v iznosi

1

1 1 1 11 22 2 2 21 2 1 2 1 2

s

s s sv v v v

s st t s s

v vv v v v

= rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +sdot sdot

1

2 21 11 11 1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 1 21 2 1 2

v v v vv v

v v v vv v v v

s

s

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

9

22 60 402

1 1 2 48

1 2 1 2 60 40

1 2

km km

v v kmh hv v

v v km kmv v h

h hv v

sdot sdotsdot sdotrArr = rArr = = =

+ ++

sdot

vv2v1

P

Odgovor je pod D

Vježba 127 Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 80 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 20

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

40 38 32 35km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat C

Zadatak 128 (Branka srednja škola) U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 128

1

1 2t t= sdot v1 = 60 kmh

1

2 2t t= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo put prijentildeen u prvoj i drugoj polovici vremena pomoću zadanih brzina

1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

t ts v s v t s v s v t= sdot rArr = sdot sdot = sdot rArr = sdot sdot

Budući da je ukupan put s1 + s2 a ukupno vrijeme potrebno za taj put t srednja brzina v iznosi

( ) ( )1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2v t v t t v v v vs s

v v v v

t

tt t t

sdot sdot + sdot sdot sdot sdot + sdot sdot ++= rArr = rArr = rArr = rArr

( )1 1

60 40 50 1 22 2

km km kmv v v

h h hrArr = sdot + = sdot + =

Odgovor je pod A

Vježba 128 U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

9

22 60 402

1 1 2 48

1 2 1 2 60 40

1 2

km km

v v kmh hv v

v v km kmv v h

h hv v

sdot sdotsdot sdotrArr = rArr = = =

+ ++

sdot

vv2v1

P

Odgovor je pod D

Vježba 127 Prvu polovicu puta automobil prijentildee brzinom v1 = 80 kmh a drugu polovicu brzinom v2 = 20

kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

40 38 32 35km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat C

Zadatak 128 (Branka srednja škola) U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rješenje 128

1

1 2t t= sdot v1 = 60 kmh

1

2 2t t= sdot v2 = 40 kmh v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da je srednja (prosječna) brzina jednaka količniku cijelog puta s i ukupnog vremena t slijedi

s

vt

=

Računamo put prijentildeen u prvoj i drugoj polovici vremena pomoću zadanih brzina

1 1

1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2

t ts v s v t s v s v t= sdot rArr = sdot sdot = sdot rArr = sdot sdot

Budući da je ukupan put s1 + s2 a ukupno vrijeme potrebno za taj put t srednja brzina v iznosi

( ) ( )1 1 1 1

1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2v t v t t v v v vs s

v v v v

t

tt t t

sdot sdot + sdot sdot sdot sdot + sdot sdot ++= rArr = rArr = rArr = rArr

( )1 1

60 40 50 1 22 2

km km kmv v v

h h hrArr = sdot + = sdot + =

Odgovor je pod A

Vježba 128 U prvoj polovici vremena automobil se giba brzinom v1 = 60 kmh a u drugoj polovici

brzinom v2 = 40 kmh Kolika je srednja brzina automobila na cijelom putu

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

10

50 45 42 48km km km km

A B C Dh h h h

Rezultat A

Zadatak 129 (Ivana medicinska škola)

Koliki je obujam kocke stranice 2 cm Izrazite obujam u litrama

Rješenje 129 a = 2 cm = 002 m V =

Obujam kocke duljine stranice a dan je formulom

3V a=

Obujam kocke iznosi

( )33 3 6 3

002 002 002 002 0000008 8 10 V a m m m m m mminus

= = = sdot sdot = = sdot

Izrazimo obujam u litrama

3 31 1000

3 3 30000008 0000008 1000 0008V m dmm dm dm= = = sdot == =

[ ]0008 0008 1000 8 3

1 1 1 1000ldm l l ml ml ml= == = = = sdot =

Vježba 129

Koliki je obujam kocke stranice 4 cm Izrazite obujam u litrama

Rezultat 64 ml

Zadatak 130 (Ivana medicinska škola)

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Kamion stoji pa automobil prijentildee veći put

C Automobil prijentildee veći put

D Kamion prijentildee veći put

2

1

t1 t s

v m

s

Rješenje 130 Ako je zadan v t ndash graf prijentildeeni put tijela brojčano je jednak površini ispod v t ndash grafa

Sa slika vidi se da je površina pravokutnika (put kamiona) veća od površine pravokutnog trokuta (put

automobila) Kamion je prešao veći put Odgovor je pod D

v m

s

t st1

1

2

v m

s

t st1

1

2

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

11

Vježba 130

Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2) Kakav je odnos

prijentildeenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t1

A Kamion i automobil prijentildeu jednake putove

B Put kamiona je dva puta veći od puta automobila

C Put automobila je dva puta veći od puta kamiona

D Put kamiona je dva puta manji od puta automobila

2

1

t1 t s

v m

s

Rezultat B

Zadatak 131 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola vremena giba brzinom 2 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rješenje 131

2 7 3 1 1 2 2 3 32 2 2

t m d m d mt v s v s v v

s s s= = = = = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Budući da se tijelo pola ukupnog vremena gibalo brzinom v1 prijentildeeni put iznosi

1 1 1 1 1 2

ts v t s v= sdot rArr = sdot

Nakon toga tijelo se pola prijentildeenog puta gibalo brzinom v2 a drugu polovicu brzinom v3 Srednja

brzina v23 na te dvije polovice puta s23 iznosi

23 2 3 2 3 2 223 23 23 23 23

1 1322 3 2 32 2

22 3 2 32 3

d ds s s s s d

v v v v vs d dst t t t d

v v v vv v

++ += rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ ++ sdot +

+

1 2 2

23 23 23 231 11 1 1 1 1 3 2

2 2 2 3 2 32 3 2 3

v v v vv v

v

d

v vv v

d

vv v

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr+

+sdot + sdot +

sdot

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

12

22

2 31 23 23

2 3 2 3

2 3

v v

v vv v v v

v v

sdot sdotrArr = rArr =

+ +

sdot

Put s23 jednak je

22 3 2 3 2 3

23 23 23 23 232 22 3 2 2 3

2

23

v v v v v vt t ts v s s s t

v v v v v v

sdot sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

+ + +

Prosječna brzina tijela na cijelom putu ima vrijednost

1 12 3 2 32 31 11 2 221 23 2 3 2 32 3

v v v vv vtt v vv t

s s v v v vv v

v v v vt t

t

tt

sdot sdotsdotsdot sdot + sdot sdot +sdot + sdot

+ + ++= rArr = rArr = rArr = rArr

7 31 12 3 2 31

12 22 3 7 3

m m

v v m ms sv v

m mv v s s

s s

sdotsdotrArr = sdot + = sdot + =

++

Vježba 131

Tijelo se pola vremena giba brzinom 4 ms Nakon toga se pola prijentildeenog puta giba brzinom

od 7 ms a drugu polovicu brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na cijelom putu

Rezultat 41 ms

Zadatak 132 (Tina gimnazija)

Tijelo se pola puta giba brzinom 2 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rješenje 132

1 2

2 7 3 1 1 2 2 3 32 3 3

s m m ms v t t v t t v v

s s s= = = sdot = = sdot = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

ukupni prijentildeeni put

ukupno vrijeme giba tj

n a

j

sv

tv ==

Na drugoj polovici cijelog puta tijelo se trećinu preostalog vremena giba brzinom v2 a druge dvije

trećine vremena brzinom v3 Srednja brzina v23 na toj polovici je

1 21 22 32 3 3 32 3 2 2 3 3 3 3

23 23 23 231 22 3 2 3

3 3

t v vv t v ts s v t v t

v v v vt t t t t

t t

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot sdot + sdot + sdot

= rArr = rArr = rArr = rArr+ +

sdot + sdot

1 222 3 1 23 3 2 3

23 23 2 3 233 3 3

v vv v

v v v

t

tv v

sdot sdot + sdot + sdot rArr = rArr = sdot + sdot rArr =

Druga polovica ukupnog puta s23 jednaka je

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

13

23 2

22 3

23 23 23 3

ss

v v

s v t s t

=

+ sdot= sdot rArr = sdot

Srednja brzina tijela na cijelom putu s iznosi

1 23 2 2

23 1 1 1 11 12 2

2 21 23 1 23 1 231 23

s ss s

s sv v v v v

s s st t ss

v v v v v vv v

s

s

++= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

++ sdot + sdot +

+

221 2 2 1 231

1 123 1 1 231 1 1 1 23

1 232 1 23 1 231 23

v v

v v v v vv v v v v v

v vv v v vv v

sdot sdotrArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

+ + ++

sdot +sdot sdot

( ) ( )2 2 2 22 1 2 3 1 2 32 321 3 3

2 3 2 3 22 3 1 2

3

3

3 1 2 31 3 3

v v v v v vv v

v

v v vv v v v v v v v

v

sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot+ sdotsdot sdot

rArr = rArr = rArr = rArr+ sdot sdot + + sdot sdot + + sdot

+

( ) 2 2 7 2 32 2

1 2 3274

3 21 2 3 3 2 7 2 3

m m m

v v v ms s sv

m m mv v v s

s s s

sdot sdot + sdotsdot sdot + sdot

rArr = = =sdot + + sdot

sdot + + sdot

Vježba 132

Tijelo se pola puta giba brzinom 4 ms Nakon toga se trećinu preostalog vremena giba

brzinom od 7 ms a druge dvije trećine vremena brzinom 3 ms Kolika je njegova prosječna brzina na

cijelom putu

Rezultat 416 ms

Zadatak 133 (Sanja gimnazija)

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 5 7 Kolike su brzine v1 i v2

Rješenje 133

t = 14 s s = 147 m v1 v2 = 5 7 v1 = v2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Ako su a i b brojevi kažemo da je količnik a b b ne 0 omjer brojeva a i b

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem

( ) ( ) a b a n b n= sdot sdot

( ) ( ) a b a n b n=

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

14

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Za vrijeme t prijentildeeni put tijela iznosi

bull za prvo tijelo

1 1s v t= sdot

bull za drugo tijelo

2 2

s v t= sdot

Budući da je ukupni put s vrijedi sustav jednadžbi

( ) ( )1 2 1 21 2 1 25 5 7 7 5 7 51 2 1 2 1 2 1

1

7

7 2

t v v s t v v ss s s v t v t s

v v v v v v v v

sdot + = sdot + =+ = sdot + sdot =rArr rArr rArr rArr

= sdot = sdot sdot = sdot = sdotsdot

5 5 5 11

2 2 2 2

metoda

sup 7 7 7 1stitucijet v v s t v s t v srArr rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr sdot sdot + = rArr

7

12

5 7 12 12 7 7 147613

2 2 2 27 7 7 12 12 14

s m mt v s t v s t v s v

t s st

+ sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = = = =

sdot sdotsdot rArr

sdot

Računamo iznos brzine v1

5

1 2 57613 438

1 7613

2

v vm m

vm s s

vs

= sdot

rArr = sdot =

=

Vježba 133

Dva tijela počnu se istodobno gibati jednoliko po pravcu Za vrijeme t = 14 s oba su tijela

prešla ukupni put s = 147 m pri čemu je omjer njihovih brzina v1 v2 = 10 14 Kolike su brzine v1 i

v2

Rezultat 438 613 1 2

m mv v

s s= =

Zadatak 134 (Blacky strukovna škola)

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 60 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 40 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rješenje 134

s1 = 60 m t1 = 6 s s2 = 300 m t2 = 10 s s3 = 40 m t3 = 4 s v =

Srednja brzina tijela u vremenskom intervalu ∆t jest količnik dijela puta ∆s što ga je tijelo prešlo za to

vrijeme i vremenskog razmaka ∆t

s

vt

∆=

∆

Ako je taj količnik stalan za svaki ∆s i odgovarajući ∆t duž nekog puta s onda kažemo da se na tom

putu tijelo giba jednoliko te vrijedi

s

vt

=

Srednja (ili prosječna) brzina tijela (pri nejednolikom gibanju) definira se

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

15

prijentildeeni dio puta ukupni prijentildeeni put

pripadni

dio vremena ukupno vrijeme gibanja

s sv v v v

t t

∆= = = =

∆

Srednja brzina tijela je količnik ukupno prijentildeenog puta i proteklog vremena

60 300 401 2 3 20 6 10 4

1 2 3

s s ss m m m mv v

t t t t s s s s

+ + + += rArr = = =

+ + + +

Odgovor je pod C

Vježba 134

Gibajući se pravocrtno u istom smjeru tijelo prvi dio puta dug 80 m prijentildee za 6 s sljedećih

300 m prijentildee za 10 s a posljednjih 20 m za 4 s Kolika je srednja brzina tijela na cijelom putu

12 16 20 15m m m m

A B C Ds s s s

Rezultat C

Zadatak 135 (Blacky strukovna škola)

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 1 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rješenje 135

s = 1 km = 1000 m c = 3 108 ms v = 340 ms t1 = t2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

v

c

Računamo vrijeme za koje će do nas stići

bull svjetlost upaljene rakete

1000 6333 10

1 1 8

1

13 10

s m

s c t s c t t smcc

s

minus= sdot rArr = sdot rArr = = = sdotsdot

sdot

bull zvuk praska

1000294

2 2 2340

1

s ms v t s v t t s

v

s

v m= sdot rArr = sdot rArr = = =sdot

Vježba 135

Promatramo vatromet iz udaljenosti od 2 km Za koje će vrijeme do nas stići svjetlost upaljene

rakete a za koje vrijeme zvuk njezina praska (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms a zvuka

v = 340 ms)

Rezultat t1 = 667 10-6 s t2 = 588 s

Zadatak 136 (Mira srednja škola)

Pretpostavimo da se Sunce ugasi Nakon koliko vremena bi na Zemlji nastupio mrak ako je

udaljenost Zemlja ndash Sunce jednaka 152 106 km (Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

16

C Nakon 844 minute

D Nakon 8 s

Rješenje 136

s = 152 106 km = 152 109 m c = 3 108 ms t =

11 min 60 1 min

6

0s s= rArr =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Računamo vrijeme nakon kojega bi na Zemlji nastupio mrak

[ ]9

152 1050667 844 min

83 1

1 50667 60

0

s ms c t s c t t s

mc

s

c

sdot= sdot rArr = sdot rArr = = = = =

sdot

sdot

Odgovor je pod C

Vježba 136 Pretpostavimo da neka zvijezda eksplodira Nakon koliko vremena bi se na Zemlji vidio

bljesak eksplozije ako je udaljenost Zemlja ndash zvijezda jednaka 270 107 km

(Brzina svjetlosti je c = 3 108 ms)

A Istog trena

B Nakon nekoliko godina

C Nakon 150 minuta

D Nakon 50 s

Rezultat C

Zadatak 137 (Sanja gimnazija)

Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 60 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 100 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rješenje 137

t = 2 h v1 = 60 kmh v2 = 100 kmh s =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s

s v t tv

= sdot rArr =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Vrijeme za koje put s izmentildeu dviju postaja prijentildee

bull putnički vlak je

11

st

v=

bull brzi vlak je

2

2

st

v=

Budući da putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dulje od brzog vlaka vrijedi

1 1 2 1 2 11 2

1 2 1 2 1

1 2

1

2 2 12

v v

v

v v v vs st t t t s t s t s t

v v v v v v v vv

minus minusminus = ∆ rArr minus = ∆ rArr sdot minus = ∆ rArr sdot = ∆ rArr sdot = ∆ rArr

sdotsdot

minussdot

sdot

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

17

60 1001 2 2 300

2 1 100 60

km km

v vh h

s t h kmkm kmv v

h h

sdotsdotrArr = ∆ sdot = sdot =

minusminus

Vježba 137 Putnički vlak prelazi put izmentildeu dviju postaja dva sata dulje od brzog vlaka Ako je prosječna

brzina putničkog vlaka 120 kmh a prosječna brzina brzog vlaka 200 kmh koliko iznosi udaljenost

izmentildeu postaja

Rezultat 600 km

Zadatak 138 (Mario gimnazija)

Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 22 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 2 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rješenje 138

v = 22 km h vr = 2 kmh v1 = v =

Brzinu vode u rijeci označimo sa vr Brzinu glisera u odnosu na mirnu vodu obilježimo sa v1

vr

v1

relativna brzina glisera uzvodno 1

v vr

rarr rarrminus

Kada se gliser giba uzvodno njegova je relativna brzina v razlika brzina v1 i vr

22 2 24 1 1 1

km km kmv v v v v v vr r

h h h= minus rArr = + rArr = + =

Brzina glisera u odnosu na mirnu vodu je

24 1

kmv

h=

v1

vr

relativna brzina glisera nizvodno 1

v vr

rarr rarr+

Kada se gliser giba okrenut u smjeru struje (ide nizvodno) njegova je relativna brzina zbroj brzina v1 i

vr

24 2 26 1

km km kmv v vr

h h h= + = + =

Vježba 138 Gliser uzvodno plovi rijekom brzinom 24 kmh s obzirom na obalu Brzina rijeke je 4 kmh

Kojom bi brzinom gliser plovio nizvodno uz istu snagu motora

Rezultat 32 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

18

Zadatak 139 (Franka gimnazija)

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s

a) Koliki put prijentildee za 75 s

b) Nacrtaj s ndash t i v ndash t graf gibanja

Rješenje 139

s1 = 50 m t1 = 20 s t2 = 75 s s2 =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

v s v tt

= = sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

a) Pomoću prijentildeenog puta s1 i proteklog vremena t1 izračunamo brzinu v

501 25 20

1

s m mv

t s s= = =

Put s2 koji je tijelo prešlo za vrijeme t2 iznosi

25 75 1875 2 2

ms v t s m

s= sdot = sdot =

b) Grafički prikaz brzine kao funkcije vremena (prikaz brzine u v t ndash dijagramu) bit će pravac

usporedan (paralelan) s osi t jer je brzina v za svako vremensko razdoblje t jednaka

t s

v m

s

3

2

1

8070605040302010

Kako se iz formule za put

s v t= sdot

vidi put je linearna funkcija vremena To znači da će grafički prikaz puta kao funkcije vremena

(prikaz puta u s t ndash dijagramu) biti pravac kroz ishodište s nagibom prema osi vremena (t ndash osi) a

nagib je ovisan o brzini v

s m

t s

200

175

150

125

100

75

50

8070605040302010

25

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh

19

Vježba 139

Tijelo se giba jednoliko po pravcu i prijentildee 50 m za 20 s Koliki put prijentildee za 150 s

Rezultat 375 m

Zadatak 140 (Renata gimnazija)

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 50 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 375 kmh

Rješenje 140

1

50 375 1 2 13

km kms s v v v

h h= sdot = = =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijede izrazi

s

s v t tv

= sdot =

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

Budući da automobil prijentildee prvu trećinu puta s1 brzinom v1 vrijeme t1 iznosi

1

31 1 1 1 3

1 1 1

ss s

t t tv v v

sdot

= rArr = rArr =sdot

Ostatak puta s2 prevali brzinom v2 pa je vrijeme t2 jednako

2

232 2 2 2 3

2 2 2

ss s

t t tv v v

sdotsdot

= rArr = rArr =sdot

Iz formule za prosječnu brzinu (ukupni put dijelimo ukupnim vremenom) dobijemo brzinu v1

2 1 2 1 21 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2

s s sv v v v

s st t

sv v

v v v v

s

s

= rArr = rArr = rArr = rArrsdot+

+ sdot + sdot +sdot sdotsdot sdot sdot sdot

1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 3 3 31 2 1 2

3 31 2

a c b d

b d av

v v v v v v

v v

crArr = rArr rArr = + rArr + == rArr rArr

sdot sdot=

sdot sdot+

sdot sdot

3 2 31 1 2 1 2 2313 3 3 3 3 2

1 2 1 2 2

a c b d

b d a c

v v v v

vv v v v v v v v

sdot minus sdot sdot sdotrArr = minus rArr = rArr rArr sdot = rArr

sdot sdot sdot= rArr

sdot minus sdot=

sdot sdot

375 5032 23 25

1 13 2 3 22 2 3 50 2 37

3

5

km km

v v v v kmh hv v

km kmv v v v h

h h

sdotsdot sdot sdotrArr sdot = rArr = = =

sdot minus sdot sdot minus sdotsdot minus sdot

Vježba 140

Automobil prijentildee prvu trećinu puta brzinom v1 a ostatak brzinom 100 kmh Kolika je brzina

v1 ako je prosječna brzina automobila na cijelom putu bila 75 kmh

Rezultat 50 kmh