Zadatak 081 (Filip, više nije srednja škola · težinom. Mica Sjekira osu đena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je osu đena na 15 godina, stara

1

Zadatak 081 (Filip, više nije srednja škola ☺☺☺☺)

Tri zatvorenice dobile su poklon tvornice Zvečevo u kojem se nalazilo 109 čokolada.

Dogovorile su se da čokolade podijele u skladu s dužinom zatvorske kazne, godinama starosti i

težinom. Mica Sjekira osuđena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je

osuđena na 15 godina, stara je 20 godina i teška 38 kilograma. Đurđa je osuđena na 8 godina, ima 60

godina i teška je 65 kilograma. Koliko će čokolada dobiti svaka zatvorenica?

Rješenje 081 Ponovimo!

Složenim računom diobe služimo se kada su dijelovi veličine koju treba podijeliti razmjerni s više

veličina. Kada neku veličinu trebamo podijeliti na dijelove x1, x2, x3, …, xn upravo razmjerno s trima

veličinama zadanim nizovima brojeva:

, , , ... , , , , ... , , , , ... ,1 2 3 1 2 3

, ,1 2 3

a a a a b b b b c c c cn n n

tada je

1 1 1 1 2 2 2 2 3, , ..

3.

3 3,x k a b c x k a b c x k a b c x k a b cn n n n= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

gdje je k koeficijent razmjernosti.

Označimo broj čokolada prve zatvorenice Mice Sjekire s x1, broj čokolada druge zatvorenice Lolite s

x2 i treće zatvorenice Đurđe s x3.

Tada je:

109.1 2 3

x x x+ + =

Veličine su upravo razmjerne (više godina zatvora – više čokolada, više godina starosti – više

čokolada, veća težina – više čokolada).

Prva zatvorenica Mica Sjekira dobila je:

20 42 105 88000 .1 1

x k x k= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Druga zatvorenica Lolita dobila je:

15 20 38 11400 .2 2

x k x k= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Treća zatvorenica Đurđa dobila je:

8 60 65 31200 .3 3

x k x k= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Ukupno je

88000 11400 31200 130 600 .1 2 3 1 2 3

x x x k k k x x x k+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ + + = ⋅

Računamo k koeficijent razmjernosti.

metoda/ : 130 600

komparacije

130 6001 2 3

130 600 109 130 600 109109

1 2 3

x x x kk k

x x x

+ + = ⋅⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

+ + =

109

.130 600

k⇒ =

Broj čokolada iznosi:

• Prva zatvorenica Mica Sjekira

2

880001

10988000 73.109 1 1130 600

130 600

x k

x xk

= ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ ==

• Druga zatvorenica Lolita

114002

10911400 10.109 2 2130 600

130 600

x k

x xk

= ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ ==

• Treća zatvorenica Đurđa

312003

10931200 26.109 3 3130 600

130 600

x k

x xk

= ⋅

⇒ = ⋅ ⇒ ==

Vježba 081 Tri zatvorenice dobile su poklon tvornice Zvečevo u kojem se nalazilo 218 čokolada.

Dogovorile su se da čokolade podijele u skladu s dužinom zatvorske kazne, godinama starosti i

težinom. Mica Sjekira osuđena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je

osuđena na 15 godina, stara je 20 godina i teška 38 kilograma. Đurđa je osuđena na 8 godina, ima 60

godina i teška je 65 kilograma. Koliko će čokolada dobiti svaka zatvorenica?

Rezultat: 146, 20, 52.

Zadatak 082 (Željko, srednja škola)

Prosječna visina djevojčica u nekom razredu je 164 cm, a dječaka 172 cm. Ako je prosječna

visina u razredu 167 cm, koliki je omjer broja djevojčica i broja dječaka u razredu?


Neka je dan skup n pozitivnih brojeva { }, , , ... , .1 2 3

a a a an Tada je aritmetička sredina ili prosjek

An brojeva a1, a2, a3, … , an definirana izrazom

...1 2 3 .

a a a anAn

n

+ + + +=

Ako su a1, a2, a3, … , an veličine čiji se prosjek traži i imamo

f1 veličine a1

f2 veličine a2

………….….

fn veličine an,

tada je prosječna vrijednost vagana (ponderirana) aritmetička sredina:

....1 1 2 2 3 3

...1 2 3

f a f a f a f an nAn

f f f fn

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅=

+ + + +

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Neka je x broj djevojčica, a y broj dječaka u razredu. Budući da je prosječna visina djevojčica u

razredu 164 cm, dječaka 172 cm, a prosječna visina svih u razredu 167 cm, slijedi:

( )164 172 164 172

167 7 /16x y x y

x y xx

yy

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= ⇒ = ⋅

++ ⇒

+

( )164 172 167 164 172 167 167x y x y x y x y⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

3

172 167 167 164 5 3 3 5 3 51

/3

y y x x y x y x yy

x⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅= ⋅⋅

⋅ ⇒

5: 5 : 3.

3

xx y

y⇒ = ⇒ =

Vježba 082

Prosječna visina djevojčica u nekom razredu je 164 cm, a dječaka 172 cm. Ako je prosječna

visina u razredu 167 cm, koliki je omjer broja dječaka i broja djevojčica u razredu?

Rezultat: 3 : 5.

Zadatak 083 (4A, TUPŠ)

Voda čini 3

5 mase odrasloga čovjeka. Koliko je kilograma bjelančevina u tijelu čovjeka mase

60 kg ako je omjer bjelančevina i vode u njegovu tijelu 3 : 10?


1.

nn =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k,

tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Kako zapisati od ?a

xb

.a

xb

⋅

Ako voda čini 3

5 mase odrasloga čovjeka, onda u tijelu čovjeka mase 60 kg ima 36 kg vode.

603 3 3

60 12 35 5

6.1

⋅ = ⋅ = ⋅ =

Iz omjera bjelančevina b i vode v u čovjekovu tijelu izračunamo broj kilograma bjelančevina.

: 3 : 10: 36 3 : 10 10 108 10 108 1/ : 1 0.8

60 .

3

b vb b b b

v

=⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

=

U tijelu čovjeka ima 10.8 kg bjelančevina.

4

Vježba 083

Voda čini 3

5 mase odrasloga čovjeka. Koliko je kilograma bjelančevina u tijelu čovjeka mase

50 kg ako je omjer bjelančevina i vode u njegovu tijelu 3 : 10?

Rezultat: 9 kg.

Zadatak 084 (4A, TUPŠ)

Za brojeve c, d vrijedi da je c : d = 2 : 5 i d = 2 · c + 10. Koliko je c?

Rješenje 084

Ponovimo!

Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina

: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:

a – prvi član omjera,

b – drugi član omjera,

k – vrijednost (količnik) omjera.


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

1.inačica

Iz sustava jednadžbi dobije se c.

( )metoda

supstit

: 2 : 5 5 25 2 2 10

2 uc j2 e1 i0 10

c d c dc c

d c d c

= ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⇒

= ⋅ + = ⋅ +

5 4 20 5 4 20 20.c c c c c⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =

2.inačica

Izračunamo faktor razmjernosti ili proporcionalnosti k.

( )metoda

faktor razmjernostisup

2 , 5: 2 : 5

5 2stitucije

2 102 10

2 10

c k d kc d

k kd c

d

k

c

= ⋅ = ⋅=

⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⇒= ⋅ +

= ⋅ +

−

5 4 10 5 4 10 10.k k k k k⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =

Broj c iznosi:

22 10 20.

10

c kc c

k

= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ =

=

Vježba 084

Za brojeve c, d vrijedi da je c : d = 2 : 5 i d = 2 · c + 10. Koliko je d?

Rezultat: 50.

5

Zadatak 085 (4A, 4B, TUPŠ)

Omjer duljina dviju dužina bio je 2 : 5. Svaka dužina skraćena je za 1.6 cm te je omjer

skraćenih dužina 2 : 7. Kolika je bila razlika njihovih duljina prije skraćivanja?

. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm

Rješenje 085

Ponovimo!


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Neka su x i y duljine zadanih dužina. Tada vrijedi sustav jednadžbi.

( ) ( ) ( ) ( )

: 2 : 5 5 2 5 2

1.6 : 1.6 2 : 7 7 1.6 2 1.6 7 11.2 2 3.2

x y x y x y

x y x y x y

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒

− − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ −

5 2 0 5 2 0

7 2 3.2 11.2 7 2

metoda suprotnih

koeficijenat8 a

x y x y

x y x y

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ − ⋅ = − + ⋅ − ⋅ =

( )/ 15 2 0 5 2 02 8 2 8 4.

7 2 87 2/ : 2

8

x y x yx x x

x yx y

⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅

⋅ −

=

Računamo y.

( )5 2 0

5 4 2 0 20 2 0 2 20 2 2 / : 20 10.4

x yy y y y y

x

⋅ − ⋅ =⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒

=− =

Razlika duljina dužina prije skraćivanja iznosila je:

410 4 6 .

10

x cmy x cm cm cm

y cm

=⇒ − = − =

=

Odgovor je pod C.

Vježba 085



. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm

Rezultat: C.

6

Zadatak 086 (Lucija, graditeljska tehnička škola)

Broj 2400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8.

Rješenje 086

Ponovimo!


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Ako postoji n jednakih omjera

:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =

produženi razmjer je

: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=

Produženi razmjer ima sljedeća svojstva:

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 1 1

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 2 2

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 3 3

a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =

...

( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3

.a a a a b b b b a bn n n n± ± ± ± ± ± ± ± =

1.inačica

Broj 2400 podijelit ćemo na tri broja a, b i c u zadanom omjeru. Zato pišemo:

metoda

supstitucijekoeficijent propo

3

5: : 3 : 5 : 8

82 40

rcionalnos0

2 40

ti

0

a k

b ka b c

c ka b c

a b c

k

= ⋅

= ⋅=

⇒ = ⋅ ⇒ ⇒+ + =

+

−

+ =

3 5 8 2 400 16 2 400 16 / : 12 400 150.6k k k k k k⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Tada je:

[ ]

3 3 150 450

5 5 150 750 .

8 8 150 0

150

12 0

k

a k a a

b k b b

c k c c

=

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ =

= ⋅ = ⋅ =

2.inačica

Broj 2400 podijelit ćemo na tri broja a, b i c u zadanom omjeru. Uporabit ćemo svojstvo produženog

razmjera.

Broj a

• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =

7

( ) ( ): 3 5 8 : 3 2 400 : 16 : 3 16 7 200a b c a a a+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ :1 16 7 200 450.6a a⇒ ⋅ = ⇒ =

Broj b

• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =

( ) ( ): 3 5 8 : 5 2 400 : 16 : 5 16 12 000a b c b b b+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/16 12 00 :0 750.16b b⇒ ⋅ = ⇒ =

Broj c

• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =

( ) ( ): 3 5 8 : 8 2 400 : 16 : 8 16 19 200a b c c c c+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒

/ :1 16 19 200 120 .6 0c c⇒ ⋅ = ⇒ =

Ili

( ) ( ) ( )2 400 450 750 2 400 1200 1200.c a b c a b= + + − + = − + = − =

3.inačica

Traženi brojevi su:

• 3 3

2 400 2 400 4503 5 8 16

⋅ = ⋅ =+ +

• 5 5

2 400 2 400 7503 5 8 16

⋅ = ⋅ =+ +

• 8 8

2 400 2 400 1200.3 5 8 16

⋅ = ⋅ =+ +

Vježba 086

Broj 4800 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8.

Rezultat: 900, 1500, 2400.

Zadatak 087 (Matea, hotelijerska škola)

U miješanome je voćnom soku omjer količina soka jabuke i soka naranče 1 : 4, a omjer

količina soka limuna i soka naranče 2 : 5. Koji je omjer količina soka jabuke i soka limuna?

. 1 : 2 . 3 : 9 . 4 : 5 . 5 : 8A B C D

Rješenje 087

Ponovimo!

Omjer je kvocijent dviju istovrsnih veličina

: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:



k – vrijednost (kvocijent) omjera.

Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.

( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Ako postoji n jednostavnih omjera, takvih da je

8

:1 2 1

:2 3 2

:3 4 3

....................

:1 1

a a k

a a k

a a k

a a knn n

=

=

=

=− −

produženi omjer je

: : : : ... : :1 3 4

.2 1

a a a a a ann−


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Svojstvo razmjera

: : : .:a b c d b a d c= ⇒ =


:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =


: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=

Produženi razmjer ima svojstvo:

( ) ( ) ( ) ( ): : : ... : : : : ... : , 01 2 3 1 2 3

.a a a a b n b n b n b n nn n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≠

: :: : : :

: :, , .

a b a b x ya b a c a ca b c x y z

c d b c y zc d b d b d

= = ⋅⇒ = ⇒ = ⋅ =

= = ⋅

: .a c a d a d

b d b c b c

⋅= ⋅ =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ Neka je:

a – količina soka jabuke

b – količina soka naranče

c – količina soka limuna.

1.inačica

metod: 1 a

z

: 4 42 4 5 8 5

: amjen2 : 5 2 e5

a b b aa c a c

c b b c

= = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

= ⋅ = ⋅

9

1/

8

58 5 : 5 : 8.

8c

aa c a c

c⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =⋅

⋅

Odgovor je pod D.

2.inačica

podijelimo

jednak

1

: 1 : 4 1 2 1 54: :

: 2 : 5 2 4 5

5

o 4 2sti

a

a b a c a bb

c b c b b b c

b

==

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒=

=

1 5 5: 5 : 8.

4 2 8

a ac

cba

b

c⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod D.

3.inačica

( ) ( )

( ) ( )

: 1 5 : 4 5: 1 : 4 : 1 : 4 : 5 : 20

: 2 : 5 : 5 : 2 : 20 : 8: 5 4 : 2 4

a ba b a b a b

c b b c b cb c

= ⋅ ⋅= = =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= = == ⋅ ⋅

: : 5 : 20 : 8 : : : 20 : : 5 :8 8.5a b bac c a c⇒ = ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod D.

Vježba 087

U miješanome je voćnom soku omjer količina soka jabuke i soka naranče 1 : 4, a omjer

količina soka limuna i soka naranče 2 : 5. Koji je omjer količina soka limuna i soka jabuke?

. 2 : 1 . 9 : 3 . 5 : 4 . 8 : 5A B C D

Rezultat: D.

Zadatak 088 (Petra, ekonomska škola)

Ako je 3 : 5 7 : 11, koliko je : ?x y x y=

Rješenje 088

Ponovimo!


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

.1,a c a c a b

b d b d b a

⋅⋅ = ⋅ =

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

10

1.inačica

3 7 3 7 353 : 5 7 : 11 : 35 : 33.

5 11 5 1

5/

1 333

x x xx y x y

y y y

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = =⋅= ⇒ ⇒

⋅ ⋅

2.inačica

353 : 5 7 : 11 33 35 33 35 : 35 : 33.

3

1/

33 3

xx y x y x y x y

yy= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =⋅

⋅ Vježba 088

Ako je 4 : 5 7 : 11, koliko je : ?x y x y=

Rezultat: 35 : 44.

Zadatak 089 (ABC, ekonomska škola)

Tri prijatelja dijele dobit u omjeru 5 : 6 : 9. Razlika između onoga koji je dobio najviše i onoga

koji je dobio najmanje je 2540 kn. Koliko je iznosila njihova ukupna dobit?

. 8890 . 10160 . 12 700 . 16933A kn B kn C kn D kn

Rješenje 089

Ponovimo!


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =


: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=

Kako se računa od ?a

xb

.a

xb

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

1.inačica

Neka je:

• a iznos dobiti prvog prijatelja

• b iznos dobiti drugog prijatelja

• c iznos dobiti trećeg prijatelja.

Prema uvjetima zadatka dobije se:

11

koeficij

5

6: : 5 :

ent proporciona

6 : 9 .9

lnosti

a

k

k

b ka b c

c k

= ⋅

−

= ⋅= ⇒

= ⋅

Iz razmjera vidi se da je treći prijatelj dobio najviše, a prvi najmanje. Budući da je razlika između

onoga koji je dobio najviše i onoga koji je dobio najmanje 2540 kn, vrijedi jednadžba:

2540 9 5 2540 4 2540 4 2540 6 5./ : 4 3c a k k k k k− = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Sada je:

55 635 3175 kn

66 635 3810 kn .

99 635 5715 kn

635

a ka a

b kb b

c kc c

k

= ⋅= ⋅ =

= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ =

= ⋅= ⋅ =

=

Ukupna dobit iznosila je:

3175 3810 5715 12 700 .a b c kn kn kn kn+ + = + + =

Odgovor je pod C.

2.inačica

Budući da tri prijatelja cjelokupnu dobit dijele u omjeru 5 : 6 : 9, podijelit ćemo dobit na 20

(20 = 5 + 6 + 9) jednakih dijelova. Tada će prvi prijatelj dobiti pet dvadesetina, drugi šest dvadesetina

i treći prijatelj dobit će devet dvadesetina cjelokupnog iznosa. Najviše je dobio treći, a najmanje prvi

prijatelj. Razlika među njima je

9 5 4 1.

20 20 2

4

200 5− = = =

jedna petina cjelokupne dobiti i iznosi 2540 kn

Ako sa x označimo cjelokupnu dobit tada vrijedi jednadžba:

1 12540 2540 12700 .

5 5/ 5x x x kn⋅⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

Vježba 089

Tri prijatelja dijele dobit u omjeru 9 : 6 : 5. Razlika između onoga koji je dobio najviše i onoga

koji je dobio najmanje je 2540 kn. Koliko je iznosila njihova ukupna dobit?

. 8890 . 10160 . 12 700 . 16933A kn B kn C kn D kn

Rezultat: C.

Zadatak 090 (Ivana, gimnazija)

U nekoj šumi omjer stabala graba i stabala hrasta iznosi 11 : 14. Koliki će biti omjer stabala

graba i stabala hrasta u toj šumi kada se posiječe 4

11 stabala graba, a sadnjom poveća broj stabala

hrasta za 1

?6

12

. 3 : 7 . 7 : 12 . 11 : 24 . 25 : 36A B C D

Rješenje 090

Ponovimo!

,1

, , .

a

a c a c a d n a c a d b cb ncb d b d b c b d b d

d

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ = = = − =

⋅ ⋅ ⋅

.a c a d b c

b d b d

⋅ + ⋅=

⋅+


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je: a – prvi član omjera,



Kako se računa od ?a

xb

.a

xb

⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

11 : 14

Ako slovom g označimo broj stabala graba, a slovom h broj stabala hrasta, onda se njihov omjer može

zapisati kao

11: 11 : 14 .

14

gg h

h= ⇒ =

Kada se u toj šumi posiječe 4

11 stabala graba ostat će:

4 4 1 4 11 4 71 .

1 1 1 1 111 11 1 11 11 11g g g g g g g g g g g

−= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

Kada se u toj šumi sadnjom poveća za 1

6 broj stabala hrasta bit će:

1 1 1 1 6 1 71 .

1 1 1 1 16 6 1 6 6 6h h h h h h h h h h h

+= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

13

Računamo novi omjer.

7 1

6 61 11 1 11 1 11 1 17 1 11 11

1 1 1 1 16 6 6

7

7

g g gg g g g gg g

h h h h h h hh h h

⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒⋅

⋅ ⋅ ⋅

11 6 11

14 11 14

6 11 3 1 31 1 1 1 : 3 : 7.1 111 14 1 7 7

1 1 1 1

g g g g gg h

h h h hh⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ ==

Odgovor je pod A.

Vježba 090

U nekoj šumi omjer stabala graba i stabala hrasta iznosi 22 : 28. Koliki će biti omjer stabala

graba i stabala hrasta u toj šumi kada se posiječe 4

11 stabala graba, a sadnjom poveća broj stabala

hrasta za 1

?6

. 3 : 7 . 7 : 12 . 11 : 24 . 25 : 36A B C D

Rezultat: A.

Zadatak 091 (Dražen, srednja škola)

U kojem omjeru treba pomiješati 5 – postotnu i 50 – postotnu otopinu neke tvari da bi se

dobila 25 – postotna otopina te tvari?

. 7 : 5 . 5 : 4 . 3 : 2 . 2 : 3A B C D

Rješenje 091

Ponovimo!

.a a c

cb b

⋅⋅ =


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj

jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine.

Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa ''... p% od x...''?

.100

px⋅

14

Označimo slovom x količinu prve, a slovom y količinu druge otopine. Tada će vrijediti:

( ) ( )5 50 25 5 50 25

100 100 100 100 100/

00

02

1x y x y x y x y⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ ⇒

( )10 5 10 5 5 5 5 10 4 5x y x y x y x y x x y y x y⇒ + ⋅ = ⋅ + ⇒ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ − ⋅ = − ⋅ ⇒

( )5 5 5

4 5 : 5 : 4.4 4

1/ 4

4: /

xx y x y x y x

yy

y⇒ − ⋅ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =⋅⋅−

Odgovor je pod B.

Vježba 091

U kojem omjeru treba pomiješati 1 – postotnu i 10 – postotnu otopinu neke tvari da bi se

dobila 5 – postotna otopina te tvari?

. 7 : 5 . 5 : 4 . 3 : 2 . 2 : 3A B C D

Rezultat: B. Zadatak 092 (Josip, gimnazija)

Ako je omjer razlike, zbroja i umnoška dvaju brojeva jednak 1 : 2 : 6, koliki je kvocijent tih

brojeva?

Rješenje 092

Ponovimo!


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





:1 1

a b k=

:2 2

a b k=

:3 3

a b k=

...

: ,a b kn n =


: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3

a a a a b b b bn n=


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Neka su a i b dva broja za koje vrijedi uvjet zadatka.

( ) ( ) ( ): : 1 : 2 : 6 2 .

6

koeficijent razmjernosti

a b k

a b a b a b a b k

a b k

k

− =

− + ⋅ = ⇒ + = ⋅ −

⋅ = ⋅

Računamo broj b.

15

metoda suprotnih 1/

koeficijena

32 3 2 3 .

ta 22 2

a b ka k a k a k

a b k

− =⇒ ⇒ ⋅ ⋅= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

+ = ⋅

Promatramo sustav:

2/

33 3

6 6 4.22 2

63

a kk b k k b k b

a b kk

= ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =

⋅ =

⋅⋅

⋅

Broj a možemo izračunati na tri načina.

1.inačica

4 42

4 2 2

metoda s

4

uprotnih

koeficijenat4

a

a b ka k a k

a b ka k a k

b

− =− = − =

+ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒+ = ⋅ − ⋅ = −

=

( )( )

4 2 2 812 12 12.

2 42

/ 2/

41

a k a ka a a

a ka k

− = − ⋅ + ⋅ = −⇒ ⇒ ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =

−

⋅ −⋅

⋅ =− ⋅ = −−

−

Tada je

: 12 : 4 : 3.a b a b= ⇒ =

2.inačica

4 4 46

4 6 4 6

metoda

/ : 2 2 34

zamjene

a b ka k a k a k

a b ka k a k a k

b

− =− = − = − =

⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

=

( )2 3 4 2 3 12 2 3 12 12a a a a a a a⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ − = − ⇒

( )12 12/ 1 .a a⋅ −⇒ − = − ⇒ =

Tada je

: 12 : 4 : 3.a b a b= ⇒ =

3.inačica

24 2 2 4 metoda suprotni

64 6 4 6 0

4

h

koeficijenata

a b ka k a k

a b ka k a k

b

+ = ⋅+ = ⋅ − ⋅ = −

⋅ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ =

=

( )2 4 3 6 1212.

4 60

3

04

/

6

a k a ka

a ka k

− ⋅ = − − ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ =

⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ =

⋅ −

Tada je

: 12 : 4 : 3.a b a b= ⇒ =

Vježba 092

Ako je omjer razlike, zbroja i umnoška dvaju brojeva jednak 2 : 4 : 12, koliki je kvocijent tih

brojeva?

Rezultat: : 3.a b =

Zadatak 093 (Lara, gimnazija)

Površina slike na platnu u kinu proporcionalna je kvadratu udaljenosti projektora od platna.

Kada je projektor udaljen 6 m, površina slike je 5.76 m2.

a) Kolika je površina slike, ako je projektor udaljen 20 m?

b) Kolika je udaljenost projektora, ako je površina slike 10 m2?

16

Rješenje 093

Ponovimo!


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

2, 0, , .

nna a

a b a b a a anbb

= ⋅ = ⋅ = ≥

a2

a1

P2

P1

a)

22 2 2 2 2 2 2: :

1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 21

1/

21

aP P a a P a P a P P P P

aa

a a= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ = ⋅⋅= ⋅ ⇒

2 2 21

2

1

2

1

5.76 5.762 1 2 2

5.7620

2020

6 66

P P P P

Pa

a

aa

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

=

=

=

⇒

210 2

5.76 64 .2 23

P P m⇒ = ⋅ ⇒ =

b)

17

2 2 2 2 2 2 2 22: :1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1

1

1/

1

PP P a a P a P a P

Pa P a a a

P= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ = ⋅⋅= ⋅ ⇒

2 2 2 22 2 22 1 2 2

1 1

/1 1

1

P P Pa a a a a a

P P P⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

61

102

5.7

2102 6 7.91 .

2 1 2 25.761

61

Pa a a a m

PP

a

P⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅= ⇒

=

=

=

Vježba 093

Površina slike na platnu u kinu proporcionalna je kvadratu udaljenosti projektora od platna.

Kada je projektor udaljen 3 m, površina slike je 5.76 m2. Kolika je površina slike, ako je projektor

udaljen 10 m?

Rezultat: 64 m2.

Zadatak 094 (Leon, gimnazija)

Imamo dvije bačve s otopinom octa u vodi. U prvoj je bačvi omjer octa i vode 1 : 2, a u

drugoj, dvostruko većoj, omjer je 1 : 3. Ako sadržaje obje bačve izlijemo u neku treću, koliki će omjer

octa i vode biti u njoj?

Rješenje 094

Ponovimo!


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

1, , .

a c a d b c n a c a d b cn

b d b d b d b d

⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅+ = = − =

⋅ ⋅

Kako zapisati da je broj b dvostruko veći od broja a?

2 22

, , .b b

b a aa

= ⋅ = =

Neka je V volumen prve bačve. Druga će imati volumen 2 · V. Kada sadržaje obje izlijemo u neku

treću u njoj će biti volumen 3 · V.

U prvoj bačvi je omjer 1 : 2. To znači da je octa

1,

3V⋅

18

a vode

2.

3V⋅

U drugoj bačvi je omjer 1 : 3. To znači da je octa

1 12

4

12 ,

4 2V V V⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

a vode

3 32

4

32 .

4 2V V V⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Miješanjem u trećoj bačvi dobije se volumen 3 · V. U njoj je octa

1 1 2 3 5,

3 2 6 6

V VV V V

⋅ + ⋅⋅ + ⋅ = = ⋅

a vode

5 3 5 18 5 133 .

6 1 6 6 6

V VV V V V V

⋅ − ⋅⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = = ⋅

Računamo omjer octa i vode u trećoj bačvi:

5 13 5 6 13 6 6 6

6

5 13: : : 5 : 13.

6 6 6 66V V

VV V V

V V VV⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1 : 31 : 2

Vježba 094

Imamo dvije bačve s otopinom octa u vodi. U prvoj je bačvi omjer octa i vode 2 : 4, a u

drugoj, dvostruko većoj, omjer je 2 : 6. Ako sadržaje obje bačve izlijemo u neku treću, koliki će omjer

octa i vode biti u njoj?

Rezultat: 5 : 13.

Zadatak 095 (4B, TUPŠ)



. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm

Rješenje 095

Ponovimo!


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:





a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


19

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Neka su x i y duljine dviju dužina prije skraćivanja. Tada vrijede razmjeri:

( ) ( ) ( ) ( )

: 2 : 5 2 5

1.6 : 1.6 2 : 7 7 1.6 2 1.6

x y y x

x y x y

= ⋅ = ⋅⇒ ⇒

− − = ⋅ − = ⋅ −

5 52 5

2 27 11.2 2 3.2

7 2 3.2 11.2 7 2 8

/ : 2y x y x y x

x yx y x y

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ − = ⋅ −⋅ − ⋅ = − + ⋅ − ⋅ =

5 57 2 8 7 8 7 5 8

2

metoda2

zamjene 2x x x x x x⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒

2 8 2 8 / : 2 4 .x x x cm⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo y.

55 5

4 10 .22

4

42

y xy y y cm

x

= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

=

Razlika duljina dužina prije skraćivanja iznosila je:

10 4 6 .y x cm cm cm− = − =

Odgovor je pod C.

Vježba 095



. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm

Rezultat: C.

Zadatak 096 (MP, TUPŠ)

Zadani omjer 3 12

:4 18

napiši u obliku omjera prirodnih brojeva.

Rješenje 096

Ponovimo!

, .1

n a c a cn

b d b d

⋅= ⋅ =

⋅


: ili ,a

a b k kb

= =

gdje je:




Vrijednost omjera se ne mijenja ako se članovi omjera pomnože (proširivanje omjera) s nekim realnim

20

brojem različitim od nule.

( ) ( ) .: :a b k a n b n k= ⇒ ⋅ ⋅ =


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅ omjer pomnožimo najmanjim

drugi razlomak 12zajedničkim višekra

3 12 3 3 2: : :

4 18 4 4 3tnikom

skratimo brojem 6 18nazivnika 4 i 3, tj. brojem 12

= = = = =

3 2 3 12 2 12 312 : 12 : :

12 2 12

4 34 3 4 1 3 1 1 1= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

3 3 2 4: 9 : 8.

1 1 1 1= ⋅ ⋅ =

Vježba 096

Zadani omjer 3 1

:4 5

napiši u obliku omjera prirodnih brojeva.

Rezultat: 15 : 4.


Težina nekog objekta obrnuto je proporcionalna kvadratu njegove udaljenosti od središta

Zemlje. Na Zemljinoj površini, što je 6400 km od središta Zemlje, težina astronauta je 824 N. Koliko

je taj astronaut udaljen od Zemljine površine ako mu je težina 74 N?

. 1918 . 14956 . 82 467 . 447 634A km B km C km D km

Rješenje 097

Ponovimo!

1 2: ,, , 0.a a b a b a b a a a

b= ⋅ ⋅ = ⋅ = ≥

Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.


( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

hR

A

21

Neka je h udaljenost astronauta od Zemljine površine. Tada je njegova udaljenost od središta Zemlje

jednaka .R h+

Vrijedi razmjer:

( )( ) ( )

1 1 2 22 2: :

1 1 12 2G G G R G R h G R h G R

R R h

= ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒+

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

11

1/ /

1 1

G GG R h G R R h R R h R

G GG⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅⋅ ⇒

2 2

1 1 1 1

G G G GR h R R h R R h R h R R

G G G G⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒

6 400

824

7

8241 6 400 1 14956 .

741 4

1

R km

G N

G N

G Nh R h km h km

G N⇒ = ⋅ − ⇒

=

=

=

⇒ = ⋅ − ⇒ =

Odgovor je pod B.

Vježba 097

Težina nekog objekta obrnuto je proporcionalna kvadratu njegove udaljenosti od središta

Zemlje. Na Zemljinoj površini, što je 6400 km od središta Zemlje, težina astronauta je 1648 N. Koliko

je taj astronaut udaljen od Zemljine površine ako mu je težina 148 N?

. 1918 . 14956 . 82 467 . 447 634A km B km C km D km

Rezultat: B.


Ivica i Marica dijele određenu svotu novca u omjeru 4 : 5. Na kraju Marica ima 60 kn. Koliko

su novca imali?

Rješenje 098

Ponovimo!



( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅

1.inačica

Maričin udio je 60 kn, a to je 5 dijelova pa svaki dio iznosi 12 kn.

60 : 5 12 .kn kn=

Ukupno je bilo 9 dijelova (4 + 5) što iznosi 108 kn.

12 9 108 .kn kn⋅ =

2.inačica

Neka je x Ivičina svota novca. Tada vrijedi razmjer.

22

: 60 4 : 5 5 240 5 240 / : 45 8 .x x x x kn= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Ivica i Marica imali su 108 kn.

60 48 108 .kn kn kn+ =

Vježba 098

Ivica i Marica dijele određenu svotu novca u omjeru 2 : 3. Na kraju Marica ima 60 kn. Koliko

su novca imali?

Rezultat: 100 kn.

Zadatak 099 (Mario, srednja škola)

Ako je a : b = 2 : 3 i c : b = 5 : 6, koliko je a : c?

. 4 : 5 . 5 : 4 . 2 : 5 . 3 : 5A B C D

Rješenje 099

Ponovimo!

, .

a

a b a b a db

cc d c d b c

d

= ⋅⇒ = =

= ⋅



( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅

( ) ( ): : : .:a b a n b n=

Produženi omjer je skraćeni način pisanja n jednostavnih omjera.

Ako postoji n jednostavnih omjera, takvih da je

:1 2 1

:2 3 2

:3 4 3

...

:1 1,

a a k

a a k

a a k

a a knn n

=

=

=

=− −

produženi omjer je:

: : : ... :1 2

.3

a a a an


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


jedinice

23

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

1.inačica

( ) ( ): 2 2 : 3 2: 2 : 3 : 2 : 3 : 4 : 6

: 5 : 6 : 6 : 5 : 6 : 5: 6 : 5

a ba b a b a b

c b b c b cb c

= ⋅ ⋅= = =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= = ==

: 4 :: 4 : 5.

: : 5

6

6

b

b

aa c

c

=⇒ ⇒ =

=

Odgovor je pod A.

2.inačica

podijelimo 3

jed

2 2 2: 2 : 3 3 3

5 5: 5 : 6 na5

66

kosti

6

a a a

a b b b

c cc b c

bb

b

b

==

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒=

=

2

41 : 4 : 5.5 5

2

a aa c

c c⇒ = ⇒ = ⇒ =

Odgovor je pod A.

Vježba 099

Ako je a : b = 2 : 3 i c : b = 5 : 6, koliko je c : a?

. 4 : 5 . 5 : 4 . 2 : 5 . 3 : 5A B C D

Rezultat: B.

Zadatak 100 (Katarina, maturantica)

Umnožak dvaju pozitivnih brojeva je 640. Koliki je njihov zbroj ako im je omjer 2 : 5?

. 42 . 48 . 56 . 64A B C D

Rješenje 100

Ponovimo!

,1

.n m n m

a a a a a+

= ⋅ =

Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.


a : b = k i c : d = k,


a : b = c : d.


.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

1.inačica

Neka su x i y traženi pozitivni brojevi. Tada možemo zapisati sustav od dvije linearne jednadžbe sa

dvije nepoznanice.

24

640640 640 640

5: 2 : 5 2

metoda

/ : 2 zamjen2

e5 2 5

x yx y x y x y

x y y x y x y x

⋅ =⋅ = ⋅ = ⋅ =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

5 5 5 2 22 2 2 2640 640 640 640

2 2 2 5

2/ 640

5 5x x x x x x⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⇒

2 2 2120 2 256 2

u56 25

vjet6 16/

0.x x x x x

x⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ ⇒ =

>

Računamo y.

165 5

16 516 8 40.2

22

5

x

y y y yy x

=

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ == ⋅

Njihov zbroj iznosi:

16 40 56.x y x y+ = + ⇒ + =

Odgovor je pod C.

2.inačica

Neka su x i y traženi pozitivni brojevi. Iz zadanog omjera slijedi:

2: 2 : 5 .

5

x tx y

y t

= ⋅= ⇒

= ⋅

Dalje je:

2 22/640 2 5 640 10 640 10 : 10640

5x y t t t t

x t

y t⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ =

⋅⇒

= ⋅

=

2 264 64 6/ 4 8.t t t t⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Njihov zbroj iznosi:

2 5 7 7 8 52

65

.x t

y tx y t t t+ = = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅

==

=

⋅

Odgovor je pod C.

Vježba 100

Odmor!

Rezultat: …

Documents

Zadatak 081 (Filip, više nije srednja škola · težinom. Mica Sjekira osu đena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je osu đena na 15 godina, stara