Zadaci za vjeˇzbu - unizg.hr · 2004-10-22 · Matematiˇcko modeliranje 1 Zadaci za vjeˇzbu Matriˇcni prikaz grafa, putevi i ciklusi 1. Odredite rang matrice incidencije i rang

Matematicko modeliranje 1

Zadaci za vjezbu

Matricni prikaz grafa, putevi i ciklusi

1. Odredite rang matrice incidencije i rangmatrice susjedstva grafova na slici.

2. a) Naci nuzne i dovoljne uvjete da bi matrica ε× υ bila matrica incidencije nekoggrafa.

b) Naci nuzne i dovoljne uvjete da bi to bila matrica incidencije nekog jednostavnoggrafa.

c) Naci nuzne i dovoljne uvjete da bi matrica υ × υ bila matrica susjedstva nekoggrafa, odnosno nekog jednostavnog grafa.

3. Ispitaj da li su ovo matrice susjedstva nekog grafa, odnosno jednostavnog grafa:

a) aij = |i− j|,b) aij = sgn|i− j|,c) aij = i− j.

4. Neka je G jednostavan povezan graf. Dokazati da su ove definicije bipartitnostigrafa ekvivalentne:

a) graf nema ciklusa neparne duljine,

b) kromatski broj grafa je 2, odnosno postoji particija skupa vrhova na dva pod-skupa, tako da u svakom od njih ne postoji par susjednih vrhova.

5. Dokazati da u bipartitnom grafu vrijedi: ε ≤ υ2

4.

6. Duljina puta, odnosno ciklusa je broj bridova u putu, odnosno ciklusu. Definiramoudaljenost d(v, w) izmedu dva vrha v,w kao duljinu najkraceg puta izmedu ta dvavrha. Dokazati da je time definirana metrika na skupu vrhova, odnosno da vrijediza svaki izbor vrhova u, v, w:

a) d(u, v) ≥ 0,

b) d(u, v) = 0 ⇔ u = v,


c) d(v, w) = d(w, v),

d) d(u, w) ≤ d(u, v) + d(v, w).

7. Dokazati da je jednostavan graf u kojem je ε ≥ (υ−1)(υ−2)2

uvijek povezan.

8. Neka je A matrica susjedstva.

a) Sto znaci da je u matrici A2 aij razlicito od 0?

b) Da li je ovo nuzan, odnosno dovoljan uvjet da bi graf bio povezan: sva mjestau matrici Aυ−1 su razlicita od 0.

c) Dokazati da je graf povezan ako i samo ako su sva mjesta u matrici∑υ−1

i=1 Ai

razlicita od 0.

9. Neka je H ⊂ E neki skup bridova grafa. Dokazati da je ekvivalentno:

a) svaki brid iz H ima u svakom incidentnom cvoru neparan broj susjednih bridova,

b) H je unija disjunktnih ciklusa (ciklusa koji nemaju zajednicke bridove).

Generirajuca stabla

1. Dokazati da su ove definicije stabla ekvivalentne:

a) stablo je aciklicki (graf u kojem nema ciklusa) povezan graf,

b) stablo je graf bez petlji u kojem izmedu svaka dva vrha postoji tocno jedanput.

2. Dokazati da u svakom stablu vrijedi ε = υ − 1.

(Uputa: pokazati da u svakom stablu postoji vrh ciji je vrh stupnja tocno jedan).

3. * Dokazati obrat prethodnog zadatka, odnosno tvrdnju: neka je G jednostavanpovezan graf za koji vrijedi ε = υ − 1. Tada je G stablo.

4. Neko stablo ima 2 vrha stupnja 4, jedan vrh stupnja 3 i jedan vrh stupnja 2. Akosu ostali vrhovi stupnja 1, koliko je vrhova u grafu. (Stupanj vrha je broj njemususjednih vrhova.)

5. Dokazati da ako dodamo bilo koji brid stablu, novi graf vise nije aciklican. Doka-zati da u novom grafu postoji tocno jedan ciklus.

6. Dokazati da ako oduzmemo bilo koji brid stablu, novi graf vise nije povezan, i imatocno dvije komponente povezanosti.


7. Dokazati da ako stablu dodamo jedan novi brid, te iz ciklusa (jedinstvenog) do-bivenog na taj nacin oduzmemo bilo koji brid, da je novonastali graf takoderstablo.

8. Zadana je matrica susjedstva A, aij = 1 za i + j ≡ 0 (mod 2), a inace aij = 0.

a) Dokazati da je to matrica susjedstva nekog jednostavnog grafa,

b) Ispitati da li je graf povezan,

c) Primjenom BFS i DFS algoritma, pocevsi od cvora 1 naci razapinjuce stablo.

d) Naci rang te matrice.

e) Naci broj bridova grafa.

9. Ispitati sve kao u prethodnom zadatku za graf zadan matricom susjedstva A,aij = 1 za i + j ≡ k (mod l), a inace aij = 0 za zadane k,l prirodne brojeve.

10. Zadan je graf G, te njegovo generirajuce stablo S dobiveno BFS algoritmom pocevsiiz vrha v. Dokazati da za svaki vrh w vrijedi dG(v, w) = dS(v, w), gdje je dG

udaljenost u grafu G a dS udaljenost u grafu S.

11. Zadano je polje 4x4, te sahovski konj na polju A1. Modelirati problem u teorijigrafova te (primjenom BFS algoritma) odgovoriti na slijedeca pitanja:

a) dovedi konja na polje A4, ako je moguce.

b) U koja sva polja se moze doci iz A1 ?

c) Pronaci najmanji broj poteza u kojem se moze dovesti konj na ta polja.

12. Kule Hanoja: Zadana je slijedeca igra: tri stapica su zabodena i na njih je nabo-deno n diskova razlicitih velicina. U pocetnoj poziciji svih n diskova je smjestenona prvom stapicu, od najveceg (najdonjeg) do najmanjeg (najgornjeg). Cilj je pre-mjestiti sve diskove na treci stapic koristeci srednji stapic kao pomocni. Smije sepremjestati samo po jedan disk i to samo na disk veci od njega ili na prazan stapic.Modelirati zadani problem teorijom grafova te pronaci (koristeci BFS algoritam)najmanji broj poteza za zadani premjestaj, za razlicite n-ove.

13. Na stolu su tri lonca od 10, 7 i 4 litra. Na pocetku je 10-litreni lonac pun a ostaliprazni. Potrebno je u nekom loncu prelijevanjem bez dodatnih pomagala dobitikolicinu od dva litra. Modelirati problem teorijom grafova te BFS algoritmom nacinajmanji broj prelijevanja.

14. Tri ljubomorne zene i njihovi muzevi su stigli na obalu rijeke. Grupa mora prijecirijeku u camcu koji moze drzati najvise dvoje ljudi. Naci niz prelazaka rijeke, alitakav da ni u kojem trenutku na obali nisu sami neki muskarac i neka zena kojanije njegova. Modelirati problem i rijesiti ga odgovarajucim algoritmom.


15. Zadane su dvije prazne bacve od 3 i 5 litara, te jedna puna od 9 litara. Kojesve (cjelobrojne) kolicine vode mozemo dobiti u najvecoj bacvi bez izlijevanjavode okolo? U koliko minimalno prelijevanja ? Modelirajte problem i rijesite gaodgovarajucim algoritmom.

16. Zadane su dvije prazne bacve od 6 i 10 litara, te jedna puna od 16 litara. Nadinajmanji broj prelijevanja da se u dvije najvece bacve dobiju kolicine od po 8litara. Modelirajte problem i rijesite ga odgovarajucim algoritmom.

Minimalna generirajuca stabla

1. Zadan je ciklus. Ako je neki brid ciklusa strogo dulji od svih ostalih, tada on nijeni u kojem minimalnom generirajucem stablu. Dokazati!

2. Neka je e strogo minimalni brid. Dokazati da je on tada u svakom minimalnomgenerirajucem stablu.

3. * Dokazati da ako svi bridovi imaju razlicitu tezinu, da je tada minimalno generi-rajuce stablo jedinstveno.

4. Neka su bridovi u grafu poredani i neka Primov, odnosno Kruskalov algoritamkada ima vise mogucnosti, uzimaju brid sa manjim indeksom.

a) Dokazati da bridovi mogu biti poredani tako da Primov algoritam generirabilo koje minimalno stablo.

b) Dokazati da bridovi mogu biti poredani tako da Kruskalov algoritam generirabilo koje minimalno stablo.

c) Dokazati da ako su bridovi poredani, oba algoritma daju isti rezultat.

5. * Zadan je graf sa tezinama N sa n bridova. Konstruiramo graf GN ciji vrhoviodgovaraju minimalnim stablima od N . Dva vrha v1 i v2 u GN su susjedni ako seodgovarajuca stabla razlikuju za tocno jedan brid.

a) Konstruirati graf N sa tezinama takav da je GN ciklus sa cetiri brida.

b) Dokazati da ako su T1 T2 minimalna stabla koja se razlikuju za k bridova, datada u GN postoji put duljine k koji povezuje odgovarajuce vrhove.


Generirajuce stablo minimalnih puteva

1. Graf s tezinama zadan je sljedecom matricom tezina

0 7 ∞ 2 ∞ 37 0 4 ∞ 1 ∞∞ 4 0 2 3 ∞2 ∞ 2 0 4 2∞ 1 3 4 0 ∞3 ∞ ∞ 2 ∞ 0

Odredite stablo minimalnih puteva od vrha v1.

2. Zadana je sahovska ploca 4×4, te sahovski konj na polju A1. Polja su numeriranabrojevima: A1=1, A2=2,..., B1=5, ..., D4=16. Sklopljena je slijedeca oklada: zasvaki potez konja placa se iznos novca koji odgovara sumi brojeva na pocetnom izavrsnom polju. Modelirati problem te pronaci najjeftiniji nacin da se konj dovedena proizvoljno polje.

3. Dokazati da mozemo numerirati bridove tako da Dijsktrin algoritam generira proiz-voljan najkraci put od pocetnog vrha do nekog drugog.

4. Dokazati da Floydov algoritam, gdje je ulaz matrica tezina D tipa n×n, kao izlazdaje matricu s elementima dij = minimalna udaljenost izmedu i-tog i j-tog vrha.

Floydov algoritam:

for k=1 to nfor i=1 to nfor j=1 to n

if dik + djk < dij then dij = dik + dkj

5. Graf s tezinama zadan je sljedecom matricom tezina

∞ 2 ∞ 8 10 6 32 ∞ 7 5 4 3 8∞ 7 ∞ 2 2 2 58 5 2 ∞ 3 3 910 4 2 3 ∞ 7 56 3 2 3 7 ∞ 33 8 5 9 5 3 ∞

Odredite stablo minimalnih puteva od vrha v1.


Problem sparivanja

1. Dokazati da, ako ne postoji potpuno sparivanje, da je determinanta reduciranematrice susjedstva 0.

2. Zadana je reducirana matrica susjedstva 4 × 4 sa aij = 1 na glavnoj dijagonalite neposredno ispod i iznad nje, a inace aij = 0. Nacrtati graf, ispitati da lije povezan (i koliko je komponenti povezanosti), te naci potpuno sparivanje akopostoji.

3. Zadana je reducirana matrica susjedstva 5× 5 sa jedinicama na sporednim dijago-nalama (kao u prethodnom zadatku). Dokazati da je potpuno sparivanje nemogucetako da se nade

a) skup djevojaka kojima se ne svida dovoljan broj momaka,

b) skup momaka kojima se ne svida dovoljan broj djevojaka,

c) r × s podmatricu, uz r + s > n; n = 5,

d) 4 linije koje pokrivaju sve jedinice u matrici (dualni kriterij!).

4. Zadana je matrica n × n sa jedinicama na glavnoj i sporednim dijagonalama,a ostalo nule. Dokazati da postoji potpuno sparivanje, te da je broj razlicitihpotpunih sparivanja Fibonaccijev broj Fn, F1 = 1, F2 = 2, Fn = Fn−1 + Fn−2.

5. Dokazati poopcenje Hallovog teorema za matrice n×m, gdje je m broj djevojaka in broj momaka: ako svaki skup od r djevojaka voli barem r momaka, m sparivanjaje moguce.

6. Neka u matrici A n × n postoje u svakom stupcu i retku tocno dvije jedinice.Dokazati da je Hallov uvjet ispunjen i da postoji potpuno sparivanje. Dokazati:

a) svaka komponenta povezanosti tog grafa je paran ciklus,

b) matrica A se moze zapisati kao A = P1 + P2, gdje su P1 i P2 permutacionematrice.

Neka u svakom retku i svakom stupcu postoje bar dvije jedinice. Pokazati da tadane mora postojati potpuno sparivanje.

7. Neka je P permutaciona matrica 20× 20 podijeljena u 10× 10 manjih kvadratica(svaki 2×2). Konstruiramo 10×10 matricu A, tako da svaki kvadratic zamijenimonulom ako su na sva cetiri mjesta nule, a inace jedinicom. Dokazati da A dopustapotpuno sparivanje.


8. Zadano je sahovsko polje n × m, gdje je bar jedan od brojeva n,m paran. Tompolju oduzmemo jedno crno i jedno bijelo polje. Dokazati da se novo polje mozepokriti dominama 2× 1.

9. Zadan je bipartitni graf, gdje je G, D odgovarajuca particija skupa vrhova, i nekaje M neko sparivanje. Konstruiramo novi usmjereni graf S sa skupom vrhova Gi slijedecim skupom lukova: dva vrha u,v ∈ G su povezana lukom ako postojivrh d ∈ D takav da je brid dv u sparivanju M, a brid ud nije. Neka je GP

skup nesparenih vrhova iz G, i neka je GK skup vrhova iz G susjednih s nekimnesparenim vrhom iz D. Dokazati da sparivanje nije maksimalno ako i samo akopostoje neki gp ∈ GP i gk ∈ GK koji su usmjereno povezani u S.

10. Modificirati BFS, DFS algoritme za nalazanje razapinjuceg stabla tako da pro-nalaze usmjerene komponente povezanosti nekog usmjerenog grafa. Pokazati dasu BFS i DFS algoritmi za pronalazenje puta prosirenja ekvivalentni BFS i DFSalgoritmima za nalazenje razapinjuceg stabla pripadnog usmjerenog grafa S (proslizadatak).

11. Pronaci primjenom BFS ili DFS algoritma maksimalno sparivanje u slijedecimmatricama:

a)

1 1 1 11 1 0 01 0 0 01 0 0 0

b)

1 1 0 1 0 00 1 0 0 0 10 1 1 0 0 00 0 1 0 1 10 0 1 1 1 10 1 0 0 1 0

12. U neko mjesto je doslo 9 stranih turista koji govore slijedece jezike: T1:E, T2:F,

T3:NJ, T4:E, T5:F, T6:S, T7:T, T8:S, T9:P. U mjestu postoji 10 turistickih vodicakoji govore jezicima: V1:E i NJ, V2:E i S, V3:E, V4:F,NJ i T, V5:E i NJ, V6:E,V7:S, V8:F iP, V9:F,S i T, V10:E i NJ. Dodijeliti svim turistima vodice, tako da serazumiju.

13. Koristeci algoritam za nalazenje puta prosirenja sparivanja, nadite maksimalno


sparivanje u slijedecoj matrici, pocevsi od potcrtanog sparivanja:

1 0 1 1 0 1 10 1 0 1 0 0 11 0 0 1 0 1 10 1 0 1 0 0 00 1 0 1 0 0 01 1 0 1 0 1 10 1 0 1 0 0 0

14. Regularan graf je onaj u kojem su svi vrhovi jednakog stupnja. Dokazite da u

svakom jednostavnom povezanom bipartitnom regularnom grafu postoji potpunosparivanje.

15. Zadana je matrica tipa n × n, n ∈ N sastavljena od 0 i 1. Jedinica je na mjestuai,j, ako vrijedi

|i− j|2 ≡ 1(mod n) .

Da li postoji potpuno sparivanje?

16. Odredite maksimalno sparivanje (koristeci algoritam) pocevsi od sparivanja ozna-cenog na reduciranoj matrici susjedstva:

0 1 0 1 0 0 01 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 11 1 0 0 1 1 00 1 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 1 0

Usmjereni grafovi

U ovom poglavlju svi grafovi su usmjereni i jednostavni, te im je na prirodan nacinpridruzena struktura neusmjerenog grafa.

1. Dokazati da je relacija biti usmjereno povezan na skupu vrhova grafa

a) refleksivna i tranzitivna;

b) ako je graf bez usmjerenih ciklusa, onda je to relacija parcijalnog uredaja, tj.ima svojstva a) i antisimetricna je;

c) ako je graf takav da je svaki luk na nekom usmjerenom ciklusu, onda je torelacija ekvivalencije, tj. ima svojstva a) i simetricna je.


2. Neka je G povezan graf takav da je svaki luk na nekom usmjerenom ciklusu. Tadaje G usmjereno povezan graf.

3. Oznacimo sa d+(v) broj lukova koji zavrsavaju u vrhu v, a sa d−(v) broj lukovakoji pocinju u vrhu v. Dokazati da za graf bez usmjerenih ciklusa postoji vrh vtakav da je d−(v) = 0.

4. Dokazati da je graf usmjereno povezan ako i samo ako za svaki W podskup skupavrhova V postoji luk s pocetkom u W i krajem u V\W i postoji luk s pocetkom uV\W i krajem u W.

5. Dokazati slijedeca svojstva matrice incidencije usmjerenog grafa:

a) suma svih elemenata je nula,

b) stupnjevi d+(vi) i d−(vi) vrha vi odgovaraju broju jedinica, odnosno minusjedinica u i-tom stupcu.

6. Pri izradi nekog proizvoda potrebno jeizvrsiti 9 faza. Vrijeme izvrsavanja svake fazei relacije prethodnosti koje moraju biti zado-voljene su zadani u tablici. Odredite mini-malno vrijeme izrade proizvoda. Za svakufazu odredite vrijeme najranijeg i najkasni-jeg pocetka izvrsavanja faze tako da proizvodbude zavrsen u najkracem vremenu.

Faza Vrijeme PrethodnikA 3 B, FB 5 /C 2 D, HD 1 FE 7 A, DF 3 /G 8 EH 1 /I 9 C, E

Transportne mreze

1. Zadana je transportna mreza. Neka su (S, S) i (T, T ) minimalni i − p rezovi.Dokazati da su tada i (S∪T, S ∪ T i (S∩T, S ∩ T ) takoder minimalni i−p rezovi.

2. Zadana je transportna mreza. Neka su (S, S) i (T, T ) minimalni i − p rezovi.Dokazati da su tada kapaciteti svih lukova

a) iz S − T u S − T ,

b) iz T − S u T − S

jednaki 0.

3. Ford-Fulkersonovim algoritmomodredite maksimalan tok na zada-noj transportnoj mrezi. Naveditedva minimalna i–p reza.

i p

3

3 6 8

2

1 2 143

8 1 2 44

6


4. Ford–Fulkersonovim algoritmomzadanom toku na transportnojmrezi povecajte protok do mak-simalno moguceg. Navedite dvaminimalna i–p reza.

i p

3,1

4,2 6,2 8,2

2,2

1,12,0 1,0

4,03,1

7,21,0 2,0 4,0

4,0

6,2

5. Ford–Fulkersonovim algoritmom nadi-te maksimalan tok na zadanoj trans-portnoj mrezi. Odredite minimalani− p rez.

i p

2 4 3 5

7 4 3 3

1 2 3 4

4 2 1 4 1

2 3 3 1 2

6. Ford-Fulkersonovim algoritmom odre-dite maksimalan tok na transportnojmrezi, pocevsi od toka zadanog na slici.Odredite minimalan i− p rez.

i p

3,3 4,4 5,3 3,0

6,5 4,4 8,5 4,2

5,2 8,3 7,3 3,2

4,3 3,1 6,1 3,3 1,0

6,2 3,1 2,0 2,1 3,2

7. Ford-Fulkersonovim algoritmom odre-dite maksimalan tok na transportnojmrezi, pocevsi od toka zadanog na slici.Odredite minimalan i− p rez.

i

p

2,14,1 3,1

6,1

1,11,0

1,0

3,0 3,2 1,1 4,1

1,0

3,0 4,2 1,1 6,14,0 4,1

2,0 2,0


8. Ford–Fulkersonovim algoritmomzadanom toku na transportnojmrezi povecajte protok do mak-simalno moguceg. Navedite dvaminimalna i–p reza.

i

p

1,1

3,1 3,0

2,1

3,1 2,0 2,1 1,0

3,1

2,11,1

1,02,0

1,1

3,0 1,1

9. Nadite minimalan i−p rez transportnemreze na slici. Kapaciteti svih dija-gonalnih lukova su 3, vodoravnih 4, aokomitih 5.

i

p

10. Odredite maksimalan tok i mini-malan i−p rez transportne mrezena slici.

i

p

2

2

2

2

1 3 1 2

13

13

11. U sljedeca 4 mjeseca gradevinska tvrtka treba zavrsiti 3 projekta:

Projekt Krajnji rok Kolicina posla(broj mjeseci za koje bi 1 radnik izveo projekt)

A 3. mjesec 8B 4. mjesec 10C 2. mjesec 12

Svaki mjesec na raspolaganju je 8 radnika, ali najvise 6 moze raditi na istom pro-jektu. Modeliraj kao problem transportne mreze i odredi da li se sva tri projektamogu dovrsiti u predvidenom vremenu.

12. Modelirati sljedeci problem linearnog programiranja i rijesiti ga:

x1 + x12 − x4 − x5 = 0x2 − x12 − x13 − x6 − x7 = 0

x3 + x13 − x8 = 0x4 + x14 − x9 = 0

x5 + x6 + x15 − x14 − x10 = 0x7 + x8 − x15 − x11 = 0xi ≤ 20− i, za sve ix1 + x2 + x8 → max.


13. Ako su kapaciteti mreze cijeli brojevi i ako postoji dopustiv protok, tada postojimaksimalni tok cije su sve vrijednosti na lukovima cijeli brojevi.

14. Ford–Fulkersonovim algoritmom za-danom toku na transportnoj mrezipovecajte protok do maksimalnomoguceg. Navedite dva minimalna i–preza.

i

p

3,1

3,1

3,1

2,0

3,0 4,1 2,2 4,0

5,12,1

3,06,0

15. Ford-Fulkersonovim algoritmom odre-dite maksimalan tok na transportnojmrezi, pocevsi od toka zadanog na slici.Postoji li minimalan i − p rez (S, Sc)takav da je A ∈ S. Odgovor obra-zlozite.

i p

2,1 3,3 4,2 5,1

3,3 4,0 3,3 3,1

3,2 4,3 3,1 4,0

4,1 3,2 1,1 4,1 1,1

3,2 3,1 3,2 1,1 2,0

A

16. Ford-Fulkersonovim algoritmom odre-dite maksimalan tok na transportnojmrezi, pocevsi od toka zadanog na slici.Odredite dva minimalna i−p reza. Pos-toji li maksimalan tok koji na luku(A,B) poprima vrijednost razlicitu odnule? Odgovor obrazlozite.

i p

2,1 3,3 4,2 5,1

3,3 4,0 3,3 3,1

3,2 4,3 3,1 4,0

4,1 3,2 1,1 4,1 1,1

3,2 3,1 3,2 1,1 2,0

A

B

17. Usmjerenom grafu G i toku T na njemu pridruzimo slijedeci usmjereni graf H :skup vrhova mu je isti, a lukovi:

a) ako je (u, v) luk od G i tok na tom luku manji od kapaciteta, (u, v) je luk od H;

b) ako je (u, v) luk od G i tok na tom luku veci od nule, (v, u) je luk od H.

Dokazati da algoritam za nalazenje puta povecanja toka na G odgovara BFS al-goritmu za nalazenje usmjerenih puteva od izvora kao korijena u H.

18. Modificiraj Ford-Fulkersonov algoritam ukoliko tok na nekim lukovima nije ogra-nicen sa kapacitetima.

a) Dokazati teorem: Neka postoji dopustiv tok. Maksimalni protok je konacan akoi samo ako postoji i-p rez koji se sastoji od lukova koji su ograniceni kapacitetima.

b) Pokazati da tada vrijedi dualni teorem i da je Ford-Fulkersonov algoritam prim-jenjiv.


Elektricne mreze

1. Bridovi tetraedra predstavljaju vodice na kojima su otpornici otpora R. Odrediteotpor izmedu dva vrha tetraedra.

2. Nadi ukupan otpor elektricnog sklopa izmedu cvorova 1 i 6, gdje su cvorovi spojenislijedecim otpornicima:

R12 = R23 = R35 = R45 = R46 = 1Ω,

R13 = R24 = R56 = 2Ω.

3. Odredite otpor izmedu tocaka A i B elek-tricne mreze na slici, ako su otpori: R2 =R4 = 1Ω, R1 = 3Ω, R3 = 6Ω i R5 = 2Ω.

R1

R4

R2 R5

R3

A B

4. U elektricnoj mrezi na slici odredite otpor Rtako da njime tece struja jakosti 1A.

R

1Ω 2Ω

1V−

+1V−

+

5. Zadana je mreza otpornika kao na slici. Akoje R2 = R3 = R4 = 1Ω i R1 = 2Ω, odeditejakost struje koja prolazi otpornikom R4.

R1

R2

R3

R4

1V −+

2V−+

3V−

+

6. U zadanoj elektricnoj mrezi odrediti naponU tako da otpornikom otpora R ne tecestruja. 1Ω 2Ω

R3V−

+U−

+


7. Odredite otpor izmedu tocaka A i B elektricne mreze na slici.

1Ω

1Ω 1Ω

2Ω 1Ω

2Ω 1Ω 2ΩA B

8. Odredite potencijale cvorova u strujnom kru-gu, ako su otpori svih otpornika jednaki 1Ω,a uzemljen je vrh v4.

1V−+

2V−

+

v1 v2

v3 v4

9. Odredite R tako da otpor izmedu tocaka A iB bude jednak 1

2Ω, ako je R1 = R2 = R3 =

1Ω.

R1 R2

R

R3A B

10. Izracunajte otpor R uz koji tockom C

tece struja jakosti1

6A. Kako se ponasa

jakost struje kroz tocku C kada R →∞. Ostali otpornici su otpora 1Ω.

C

R

1V −+

11. Zadana je elektricna mreza kao na slici, R1 =R2 = R3 = R5 = 1Ω i R4 = 2Ω.

(a) Izracunajte jakost struje koja tece ot-pornikom R3, ako je V1 = 4V i V2 =8V.

(b) Koliki treba biti V2 da otpornikom R1

ne tece struja, ako je V1 = 4V?R1

R2

R3R5

R4

V2

−

+V1

−

+


12. Zadana je elektricna mreza kao na slici.Odedite R ako njime tece struja jakosti14A. Ostali otpornici su otpora 1Ω.

R

1V

−

+2V

−

+

13. Zadana je elektricna mreza kao na slici, R1 =2Ω. Koliki treba biti U da bi otpornikom R1

tekla struja jakosti 1A. Ostali otpornici suotpora 1Ω.

R1

1V−

+U−

+

14. Za elektricnu mrezu na slici odredite odnosnapona U i V uz koji je jakost stuje kroztocku A dva puta veci od jakosti struje kroztocku B, ako vrijedi R1 = 1Ω i R2 = 2Ω.

R1 R2

R1 R1

R1 R2

U−

+

V−

+

A

B

15. Za elektricnu mrezu na slici odredite svemoguce vrijednosti otpora R, uz koji tockomA tece struja jakosti 1A. Ostali otpornici suotpora 1Ω.

2V−+

3V−

+

R

A


16. Za elektricnu mrezu na slici odredite svemoguce vrijednosti otpora R, ako za U2 = 5Vtim otpornikom tece struja jakosti 1A, a zaU2 = 17V struja jakosti 2A. Ostali otpornicisu otpora 1Ω.

−

+U1

−

+U2

R

17. Odredite jakost struje kroz tocku A u stru-jnom krugu na slici, ako su otpori svih ot-pornika jednaki 3Ω. 3V

−

+

A

18. Za elektricnu mrezu na slici odredite svemoguce odnose napona U i V uz koje jejakost stuje kroz tocku A dva puta veca odjakosti struje kroz tocku B, ako su svi otpor-nici jednakog otpora. Dozvoljena je i prom-jena polariteta izvora.

U −+

V−

+

A

B


Minimizacija kvadratnog funkcionala

1. Ispitajte ekstreme (ako postoje navesti da li se radi o maksimumu ili minimumu)funkcionala f : R3 → R

f(x1, x2, x3) = −3x21 − 2x2

2 − 2x23 + 4x1x2 − 2x1x3 + 12x1 − 8x2 + 6x3 + 5.

2. Da li funkcional f : R2 → R zadan formulom

f(x) = x21 + 4x1x2 + 4x2

2 − 2x1 + x2 + 3

poprima minimum na R2? Obrazlozi odgovor!

3. Neka je A ∈ L(Rn) pozitivno definitan simetrican linearni operator, b ∈ Rn.Dokazite slijedecu ocjenu za Gaussov integral: (c, d ∈ R)

∫(c,d)n

e−(Ax,x)+(b,x)dx1dx2...dxn ≤ (d− c)ne14(A−1b,b).

4. Neka su A1, A2, ..., An simetricni, pozitivno semidefinitni operatori, Ai ∈ L(Rn).Neka je b ∈ Rn, c ∈ R. Nadi x ∈ Rn za koji je minimalan funkcional

F (x) =n∑

i=1

(Aix, x) + (x, x) + (b, x) + c.

5. Neka su A i B simetricni pozitivno semidefinitni operatori, A, B ∈ L(Rn), Bregularan i b, c ∈ Rn. U kojem x ∈ Rn funkcional

F (x) = (Ax, x) + (Bx, x) + (b, x) + c

postize svoj minimum. (Dokazati sve tvrdnje!)

6. Odredite polozaj stabilne ravnoteze sistema na slici.2m

m

k

2k

4k

↓ ~g

d

7. N opruga zanemarive mase je objeseno u gravitacijskom polju, prva je pricvrscenaza ”strop” a posljednja za ”pod” i na njihovim spojevima su postavljene mase mi,i = 1, ..., N − 1. Nadi koeficijente elasticnosti ki tako da su sve opruge u polozajuravnoteze jednako rastegnute.


8. Ako je A 6= 0 realna matrica reda n, a b ∈ R, odredite realnu matricu X reda nkoja je rjesenje sljedeceg problema

‖X‖ → minX · A = b.

(X · A =∑n

i,j=1 xi,jai,j, ‖X‖2 = X ·X)

9. Minimizirajte funkcional f : R2 → R

f(x) = ‖Ax + b‖2,

pri cemu je ‖ · ‖ euklidska norma, a

A =

1 20 21 1

, b =

−330

.

Opravdajte tvrdnje!

10. Odredite sve vektore b ∈ R3 uz koje funkcional

F (x) = (Ax, x) + (b, x)

poprima minimum na R3, pri cemu je

A =

3 2 −12 4 2−1 2 3

11. Minimizirajte funkcional f : R2 → R zadan formulom f(x) = ‖Ax− bx1 + c‖ ako

je

A =

2 10 11 2

b =

112

x =

(x1

x2

)c =

101

12. Minimizirajte funkcional f : R2 → R zadan formulom f(x) = (Ax, Bx) + (b, x)

ako je

A =

(6 24 8

)B =

(3 21 4

)b =

(2−30

)

13. Odredite ekstreme funkcije f : R3 → R zadane formulom

f(x) = ‖Ax‖2 − ‖x− b‖2

(‖·‖ je euklidska norma na R3) i ispitajte da li se radi o minimumu ili maksimumu,ako je

A =

3 1 01 3 00 0 4

b =

111

.


14. Odredite ekstreme funkcionala f : R2 → R zadanog formulom f(x) = (Ax, Bx) +(b, x) ako je

A =

(3 10 2

)B =

(−1 1

1 −2

)b =

(10

−10

)

15. Odredite minimum i maksimum (ako postoje) funkcionala f : R2 → R

f(x) = 3− ‖b− Ax‖2,

pri cemu je ‖ · ‖ euklidska norma te A =

1 20 21 1

, b =

−330

.

16. Odredite minimum i maksimum (ako postoje) funkcionala f : R3 → R

f(x) = (Ax, x + b),

pri cemu je A =

−4 1 01 −2 02 2 −5

, b =

8−24−14

.

17. Zadan je funkcional f : R2 → R

f(x) = ‖Ax− b‖2,

pri cemu je ‖ · ‖ euklidska norma, a

A =

1 2λ 22 4

, b =

224

.

(a) Odredite tocku(e) minimuma funkcije f za λ = 0.

(b) Odredite tocku(e) minimuma funkcije f za λ = 1. (Opravdajte tvrdnje!)

(c) Dokazite da za proizvoljni b ∈ R3 f ima jedinstvenu tocku minimuma ako jeλ 6= 1, odnosno beskonacno mnogo tocaka minimuma ako je λ = 1.

18. (a) Uz koje uvjete na matrice A ∈ Mm,n(R) i B ∈ Mk,n(R) te vektor c ∈ Rn

funkcionalx 7→ ‖Ax‖2 + ‖Bx‖2 + (c, x)

ima jedinstvenu tocku minimuma?

(b) Odredite sve tocke minimuma gornjeg funkcionala u slucaju

A = (−1 2) , B =

(1 −2

−2 4

), c =

(36

−72

).


19. Odredite parametre a i b tako da funkcijaa

x+ 2xb najbolje aproksimira zadane

vrijednosti (xi, yi), i = 1, . . . ,m u smislu najmanjih kvadrata, tj. tako da greska

m∑i=1

(a

x i+ 2xib− yi

)2

bude minimalna.


Uvjetna minimizacija

1. (a) Neka su c, d ∈ R, b, y ∈ Rn i A ∈ L(Rn) simetrican, pozitivno definitanoperator. Minimizirajte

1

2(Ax, x)− (b, x) + c

uz uvjet (x, y) = d.

(b) Pomocu a) dokazite nejednakost izmedu aritmeticke i geometrijske sredine

(x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n

n

)1/2

≥ x1 + x2 + · · ·+ xn

n

2. Masa m moze se gibati po kruznici oblikax2 + y2 = 1 u polju sile teze. Na masu msu pricvrscene dvije opruge koeficijenataelasticnosti k i 2k, kao na slici. Neka vri-jedi k = mg.

(a) Odredite polozaj(e) stabilne ravno-teze

(b) Odredite polozaj(e) stabilne ravno-teze zanemarujuci utjecaj sile teze.

x

y

0

m

−1 1

k2k

↓ ~g

3. Masa m moze se gibati po paraboli oblika y = x2 u vertikalnoj ravnini u poljusile teze (os y prema gore). Na masu su pricvrscene dvije opruge keoficijenataelasticnosti k i 2k, ciji su drugi krajevi ucvrsceni redom u tockama (0,−1) i (0, 1).Odredite polozaj(e) stabilne ravnoteze.

4. Masa m moze se gibati po kruznici radijusa R u vertikalnoj ravnini u polju sileteze. Za nju je pricvrscena opruga krutosti k ciji je drugi kraj ucvrscen u najvisojtocki kruznice. Odredite polozaje stabilne ravnoteze.

5. Masa m1 moze se gibati po pravcu y = x, a masa m2 po pravcu y = −x uvertikalnoj ravnini u polju sile teze (os y prema gore). Ako je udaljenost izmedumasa jednaka l odredite polozaj stabilne ravnoteze sistema.

6. Dva predmeta masa m1 i m2 povezana nerastezljivom niti duljine l mogu slobodnoklizati po krivulji y = 1 − |x| u vertikalnoj ravnini u polju sile teze (os y premagore). Odredite polozaj stabilne ravnoteze sistema.


7. Koristeci Lagrangeve multiplikatore odredite ortogonalnu projekciju tocke (1,1,1)na ravninu 3x + 2y + z = 0.

8. Pomocu Lagrangevih multiplikatora dokazi nejednakost Cauchy-Schvarz-Bunja-kovskog

(n∑

i=1

xiyi)2 ≤ (

n∑i=1

x2i )(

n∑i=1

y2i ).

9. Po kruznici radijusa r slobodno rotiraju tri materijalne tocke spojene oprugamakoeficijenata elasticnosti k12, k13, k23. Nadi polozaj stabilne ravnoteze.

10. Odredite minimum funkcije (ako postoji - obrazlozite)

f(x) = (Ax, x)

na skupu x ∈ R2 : (Cx, x) = 1, ako je A =

4 0 20 3 02 0 4

, C =

2 0 00 1 00 0 2

.

11. Odredite tocku minimuma (ako postoji - obrazlozite) funkcije zadane s

f(x) = 2‖x‖2 − ‖x− 2a‖2

na skupu x ∈ Rn : (x, b) = c, ako su zadani a, b ∈ Rn, c ∈ R.

12. Masa m moze se gibati po hiperboli

x2 − y2 = 1

u vertikalnoj ravnini u polju sile teze (os y prema gore). Za nju je pricvrscenaopruga krutosti k ciji drugi kraj slobodno klizi po osi y tako da je opruga postav-ljena uvijek horizontalno. Odredite polozaj(e) stabilne ravnoteze.

13. Odredite minimum i maksimum (ako postoje - obrazloziti) funkcionala f : Rn → R

f(x) = (Ax, x + b)

na skupu x ∈ Rn : (x, c) = d, ako su zadani b, c ∈ Rn, d ∈ R i simetricnapozitivno definitna matrica A reda n.

14. Predmet mase m = 2 vezan je za dvije opruge koeficijenata elasticnosti k = 20, cijisu drugi krajevi ucvrsceni u tockama (1, 0) odnosno (−2, 1), u vertikalnoj ravniniu polju sile teze (os y prema gore, g = 10).

(a) Odredite polozaj(e) stabilne ravnoteze predmeta.


(b) Odredite polozaj(e) stabilne ravnoteze ukoliko se predmet moze gibati samopo kruznici x2 + y2 = 1.

15. Odredite ekstreme funkcije

f(u, v) =3u2 + 2uv + 3v2

u2 + v2

na R2 \ (0, 0).[Uputa: Dokazati da je funkcija konstantna na pravcima kroz ishodiste i svestizadacu na minimizaciju (maksimizaciju) po kruznici.]

16. Odredite minimum funkcije f(x) = (x, b) na skupu x ∈ R7 : (Ax, x) = 1 pricemu je b = (3, 2, 2, 2, 2, 2, 3)τ , a matrica A ima na dijagonali i na mjestu (7,1)dvojke, a inace nule.

17. Odredite minimum i maksimum funkcije f(x) = (Ax, x) na skupu x ∈ R7 :(x, x) = 1 pri cemu matrica A ima na dijagonali i na mjestu (7,1) dvojke, a inacenule.


Stacionarno provodenje topline

1. Izracunajte stacionarni raspored topline u stapu duljine l, povrsine poprecnogpresjeka S, koeficijenta toplinske vodljivosti κ ako se na stap dovodi toplina pojedinici duljine f(x) = |x− l

2| , x∈ [0, l]. Rubni uvjeti su u′(0) = u(l) = 0.

2. Izracunajte stacionarni raspored topline u stapu duljine 2π, povrsine poprecnogpresjeka S = 1, koeficijenta toplinske vodljivosti κ = 1 ako se na stap dovoditoplina po jedinici duljine f(x) = |sin x| , x ∈ [0, 2π]. Rubni uvjeti su u(0) =1, u′(2π) = 0.

3. Izracunajte stacionarni raspored topline u stapu duljine l = 1, povrsine poprecnogpresjeka S = 1, ako se na stap dovodi toplina po jedinici duljine f(x) = cos (πx/2).Lijevi rub stapa je izoliran, a desni se odzava na temperaturi 0. Koeficijenttoplinske vodljivosti dijela [0, 1/2) je κ = 1, a dijela [1/2, 1] κ = 2.

4. Izracunajte stacionarni raspored topline u stapu duljine 2, povrsine poprecnogpresjeka 1, koeficijenta toplinske vodljivosti 1 ako se na stap dovodi toplina po je-dinici duljine f(x) = |x2−x| , x∈ [0, 2]. Lijevi kraj stapa se odrzava na temperaturinula, a desni je izoliran.

5. Na stap duljine 2, poprecnog presjeka S = 1, koeficijenta toplinske vodljivostiκ = 1, dovodi se toplina po jedinici duljine f(x) = | sin(πx)| , x ∈ [0, 2]. Rubniuvjeti su u(0) = 0, u′(2) = 1− 3

π. Odredite najtopliju tocku stapa.

6. Stap duljine l = 1, poprecnog presjeka S = 1 i koeficijenta vodljivosti κ = 1 grijese izvorom topline koji daje gustocu

f(x) =

x , 0 ≤ x ≤ 1

2

2− x , 12

< x ≤ 1

Rubni uvjeti za temperaturu su: u(0) = 0, u′(1) = −32. Odredite najtopliju tocku

stapa.

7. Izracunajte stacionarni raspored topline u stapu duljine 2, povrsine poprecnogpresjeka S = 1. Na stap se dovodi toplina gustoce

f(x) =

4 , x ∈ 〈0, 1〉

12− 6x , x ∈ 〈1, 2〉 .

Lijeva polovica stapa je koeficijenta toplinske vodljivosti κ = 2, a desna κ = 1.Rubni uvjeti su u(0) = 0, u′(2) = 0. Odredite najhladniju tocku stapa.


8. Izracunati stacionarni raspored topline u stapu duljine 3, povrsine poprecnog pres-jeka 1 i koeficijenta toplinske provodljivosti 1, ukoliko se prva trecina stapa ne grije,posljednja se trecina grije toplinom gustoce f(x) = 1, dok je gustoca topline sred-nje trecine stapa afina funkcija, koja na svom dijelu stapa raste od 0 do 1. Pret-postavimo da je lijevi kraj stapa termicki izoliran, a na desnom kraju odrzavamotemperaturu T = 0.

9. Prva polovica stapa, poprecnog presjeka S = 1 i duljine l = 2, se ne grije, adruga polovica se grije toplinom gustoce f(x) = x2 − 2x + 1, x ∈ [1, 2]. Lijevapolovica stapa ima koeficijent toplinske vodljivosti k = 2, a desna k = 1. Izracunatistacionarni raspored topline u stapu i naci najhladniju tocku stapa ukoliko se lijevikraj drzi na temperaturi T = 1, a desni je izoliran.


Slaba formulacija rubne zadace

1. Minimiziraj funkcional na prostoru funkcija C1([0, 1]) koje zadovoljavaju rubneuvjete u(0) = 0, u(1) = 0

Φ(x) =∫ 1

0

(x(t)2 + x′(t)2 + 2x(t)et

)dt.

2. Minimiziraj funkcional

F (u) =∫ π/2

0

(ex(u′(x))2 + 2ex(u(x))2 + 2ex sin(x)u(x)

)dx

na prostoru funkcija iz C1([0, π/2]) koje zadovoljavaju u(0) = u(π/2) = 0.

3. Na prostoru neprekidno diferencijabilnih funkcija na intervalu [0, l] koje zadovo-ljavaju u(0) = 0 minimiziraj funkcional

F (u) =∫ l

0e4x(u′(x))2dx +

∫ l

012e4x(u(x))2dx +

∫ l

0sin(x)e4xu(x)dx.

4. Minimizirajte funkcional

Φ(u) =∫ 1

0

(u(x)2 + u′(x)2 + 2u(x)ex

)dx

na prostoru funkcija C1([0, 1]) koje zadovoljavaju rubni uvjet u(0) = 0


Φ(u) =∫ 1

−1

(exu′(x)2 − 4u(x)|x|

)dx

na prostoru funkcija C1([−1, 1]) koje zadovoljavaju rubni uvjet u(−1) = 0.


Φ(u) =∫ 1

−1

(e−x(u′(x)2 − 2u(x)|x|)

)dx

na prostoru funkcija C1([−1, 1]) koje zadovoljavaju rubni uvjet u(1) = 0.

7. Odredite minimum i maksimum (ako postoje - obrazlozite) funkcionala

I(u) =∫ 1

0

((x− 3) u′(x)2 − 4xu(x)

)dx

na prostoru C1 funkcija na [0, 1] koje zadovoljavaju rubni uvjet u(1) = 0.


8. Odredite minimum funkcionala

I(u) =∫ 2

0(u′(x)2 − 2xu(x)) dx +

∫ 2

1u′(x)2 dx

na prostoru funkcija po dijelovima klase C1 na [0, 2] (neprekidne funkcije na [0, 2]koje su neprekidno derivabilne osim u konacno mnogo tocaka u kojima imajujednostrane limese derivacije) koje zadovoljavaju rubni uvjet u(0) = 0.

9. Odredite minimum i maksimum (ako postoje - obrazlozite) funkcionala

I(u) =∫ 1

−1

(u′(x)2

|x|+ 1− 2u(x)

x− 2

)dx

na prostoru C1 funkcija na [−1, 1] koje zadovoljavaju rubni uvjet u(−1) = 0.


Lagrangeve jednadzbe gibanja

1. Predmet mase m se moze gibati po jednoj grani cikloide

x = ϕ− sin ϕ

y = 1− cos ϕ, ϕ ∈ (0, 2π)

u vertikalnoj ravnini u polju sile teze (os y prema gore). Odredite Lagrangevejednadzbe gibanja.

2. Lagrangevom metodom odredite gibanje predmeta u polju sile teze izbacenog brzi-nom v0 pod kutem α prema horizontali (kosi hitac).

3. Predmet mase m se moze gibati po hiperbolnoj zavojnici cija je parametrizacijazadana s (a > 0 je zadan)

x = a cosh ϕ y = a sinh ϕ z = aϕ , ϕ ∈ R

u polju sile teze. Os z je postavljena vertikalno prema gore. Odredite Lagrangevejednadzbe gibanja.

4. Predmet mase m = 1 se moze gibati po pravcu y = 3x − 1 u vertikalnoj ravniniu polju sile teze (os y prema gore). Dvije opruge koeficijenata elasticnosti k = 1,ucvrscene u tockama (−2, 0) odnosno (1, 1), vezane su za predmet.

(a) Odredite polozaj stabilne ravnoteze.

(b) Odredite Lagrangeve jednadzbe gibanja i rijesite ih.

5. Odredite Lagrangeve jednadzbe gibanja za predmet mase m koji se moze gibatipo kruznici radijusa R u vertikalnoj ravnini u polju sile teze, a vezan je oprugomkrutosti k za najnizu tocku kruznice.

6. Prsten se moze gibati bez trenja po krivulji x = cos ϕ, y = sin ϕ, z = ϕ u polju sileteze (os z je usmjerena prema gore). Ako ga pustimo iz tocke (1,0,0), odredite ukojim ce se vremenima prsten naci tocno vertikalno ispod polazne tocke.

7. Covjek stoji na polovici ljestvi duljine l. Ljestve su naslonjene na zid tako da cinekut od 60 prema horizontali. U jednom trenutku donji kraj ljestvi pocne kliziti.Odredite Lagrangevu jednadzbu gibanja covjeka i njegovu brzinu u ovisnosti okutu ϕ koji ljestve cine s horizontalom. Pretpostavite da su ljestve zanemarivemase i da nema trenja izmedu ljestvi i zida odnosno poda.

(Uputa: Za odredivanje brzine covjeka Lagrangevu jednadzbu pomnoziti s ϕ iinegrirati po vremenu.)


8. Zadan je sistem kao na slici. Opruge su krutostik = 1, a predmeti mase m = 1. Odredite gibanjesustava, ako se u pocetnom trenutku lijevi predmetnalazi na polovici udaljenosti medu zidovima, adesni na udaljenosti 2 od desnog zida. Pocetnabrzina predmeta je jednaka nuli.

6

9. Predmet mase m se nalazi na glatkoj horizontalnoj ploci. Za masu je vezankonopac, koji je probacen kroz rupu u tocki O ploce. Na drugom kraju konopcavisi predmet mase M . U pocetnom trenutku masa M miruje, a masa m ima brzinu1 i nalazi se na udaljenosti 1 od tocke O. Odredite Lagrangeve jednadzbe gibanjapredmeta i izrazite akceleraciju mase M u ovisnosti o udaljenosti mase m od tockeO.

10. Masa m = 1 (g = 10) se moze gibati u vertikalnoj ravnini u polju sile teze poparaboli y = x2 (os y prema gore). Na masu je pricvrscena opruga krutostik = 40, ciji je drugi kraj ucvrscen u tocki (1,0). Odredite lineariziranu jednadzbugibanja oko polozaja stabilne ravnoteze i nadite joj opce rjesenje.

11. Zadan je sustav na slici pri cemu je m = 1,l = 2, g = 10. Stap OB ima zanemarivu masui moze slobodno rotirati oko tocke O. Odreditepolozaj stabilne ravnoteze (u ovisnosti o krutostik opruge). U slucaju k = 5 odredite lineariziranuLagrangevu jednadzbu gibanja u okolini polozajastabilne ravnoteze i rijesite je.

A

O

B m

k

l2

l2

l

↓ ~g

12. Dva predmeta masa m1 = 1 i m2 = 1 +√

3 gibaju se po kruznici radijusa 1 u ver-tikalnoj ravnini u polju sile teze. Predmeti su vezani stapom duljine 1 zanemarivemase. Odredite lineariziranu Lagrangevu jednadzbu gibanja u okolini polozajastabilne ravnoteze i rijesite je.

13. Masa m se moze gibati u polju sile teze po paraboli y = 12x2 (os y prema gore). Na

masu su pricvrscene dvije opruge koeficijenata elasticnosti k koje su ucvrscene utockama (−1,−1) i (1, 1). Odredite lineariziranu jednadzbu gibanja oko polozajastabilne ravnoteze i nadite joj opce rjesenje.

14. Odredite Lagrangeve jednadzbe gibanja za predmet mase m = 1 (g = 10) koji semoze gibati po kruznici radijusa R = 1 u vertikalnoj ravnini u polju sile teze, avezan je oprugom krutosti k = 10 za najnizu tocku kruznice. Odredite lineariziranujednadzbu gibanja u okolini polozaja stabilne ravnoteze.


15. Predmet mase m se giba bez trenja po krivulji zadanoj u polarnim koordinatamas

r = eϕ ϕ ∈ [0, 2π]

u vertikalnoj ravnini u polju sile teze (os y prema gore). Odredite lineariziranujednadzbu gibanja i izracunajte period malih titranja.

16. Predmet mase m giba se bez trenja po parametarski zadanoj krivulji

x = ln ϕ ,y = 2ϕ3 + 9ϕ2 − 24ϕ + 5 , ϕ > 0

u vertikalnoj ravnini u polju sile teze. Odredite lineariziranu Lagrangevu jed-nadzbu gibanja oko polozaja stabilne ravnoteze i odredite joj opce rjesenje.

17. Predmet mase m giba se bez trenja po elipsi

x2

a2+

y2

b2= 1

u vertikalnoj ravnini u polju sile teze. Odredite period titranja lineariziranoggibanja.

18. Predmet mase m = 1 moze se gibati bez trenja po krivulji

x = tan ϕ , y = − sin(2ϕ) , ϕ ∈ (0, π/2)

u vertikalnoj ravnini u polju sile teze (g = 10). Skicirajte krivulju i odreditepolozaj stabilne ravnoteze. Zapisite linearizirane jednadzbe gibanja u okolinipolozaja stabilne ravnoteze.

19. Prsten mase m = 1 (g = 10) moze klizati bez trenja po zici oblika paraboley = x2 + 3x u vertikalnoj ravnini u polju sile teze (os y je usmjerena prema gore).Za prsten je vezana opruga krutosti k = 10, ciji drugi kraj slobodno klizi po osi ytako da je opruga uvijek postavljena horizontalno.

(a) Odredite Lagrangevu jednadzbu gibanja prstena.

(b) Kako glasi linearizirana jednadzba gibanja u okolini polozaja stabilne ravnotezeprstena? Koliki je period malih titranja?

20. Predmet mase m se moze gibati bez trenja po konusu

x2 + y2 = z2 , z ≥ 0

u polju sile teze (os z je usmjerena vertikalno gore). Odredite Lagrangeve jed-nadzbe gibanja.


21. Predmet je objesen o malu koloturu (zanemarivemase) koja se giba po nerastezljivom konopcu

duljine√

20/3, kao na slici. Odredite lineariziranuLagrangevu jednadzbu gibanja predmeta u okolinipolozaja stabilne ravnoteze i rijesite je. (Zanimanas gibanje u ravnini slike.)

1

2

↓ ~g

22. Predmet mase m1 klize niz kosinu skutem nagiba α bez trenja. Za njegaje vezan nerastezljivi konopac o ciji jedrugi kraj objesen predmet mase m2,kao na sici. Odredite Lagrangeve jed-nadzbe gibanja i akceleracije masa.

↓ ~gm1

m2

23. Kocka duljine brida 2a, zanemarive mase, a u cijoj je sredini smjestena masa mse nalazi na vrhu nepokretne kugle radijusa b, tako da sredinom svoje stranicedodiruje vrh kugle. Kocka se moze gibati po kugli, ali bez klizanja. Radi jed-nostavnosti, zanima nas samo gibanje kocke pri kojem se masa m giba u jednojvertikalnoj ravnini.

(a) Dokazite da je u slucaju a < b opisani polozaj mase m polozaj stabilneravnoteze.

(b) Odredite linearizirane jednadzbe gibanja u okolini tog polozaja.

24. Predmet mase m giba se bez trenja po hiperboli

y2 − x2 = 1

u vertikalnoj ravnini u polju sile teze. Odredite period titranja lineariziranoggibanja u okolini polozaja stabilne ravnoteze.

25. Na krajeve stapa duljine l i zanemarive mase vezani su predmeti masa m i M(M > m). Tocka O stapa, koja je dva puta bliza masi m nego masi M je fiksna ioko nje stap moze slobodno rotirati u vertikalnoj ravnini u polju sile teze. Odreditelinearizirane jednadzbe gibanja sustava u maloj okolini polozaja stabilne ravnotezei izracunajte period malih titranja.

26. Tijelo mase m1 = 2 vezano je oprugom krutosti k1 = 4 za fiksnu tocku O u ver-tikalnoj ravnini u polju sile teze. Za taj je predmet oprugom krutosti k2 = 1


vezan drugi predmet mase m2 = 2. Odredite Lagrangeve jednadzbe gibanja sus-tava (zanima nas samo gibanje u zadanoj vertikalnoj ravnini). Ako su u pocetnomtrenutku predmeti ispusteni iz tocke O, je li gibanje periodicko?

27. Dva prstena (cije su mase m1 i m2) vezanasu oprugom krutosti k i mogu se gibati beztrenja po ravnim zicama koje medusobnozatvaraju pravi kut, kao na slici.

a) Odredite polozaj stabilne ravnoteze sis-tema. (Opravdajte tvrdnje!)

b) Zapisite Lagrangeve jednadzbe gibanjasistema i rijesite ih, ako su u pocetnomtrenutku oba prstena bila na udal-jenosti 1 od tocke O, s pocetnom brzi-nom jednakom 0.

m1m2

↓ ~g60

O

28. Masa m = 1 (g = 10) moze se gibati po kruznici radijusa R = 1 u vertikalnojravnini u polju sile teze. Za nju je pricvrscena opruga krutosti k = 15 ciji je drugikraj ucvrscen u najvisoj tocki kruznice. Odredite lineariziranu jednadzbu gibanjau okolici polozaja stabilne ravnoteze i period malih titranja. Koliki je period malihtitranja, ako se masa udvostruci?

29. Stap duljine 3 zanemarive mase moze slo-bodno rotirati oko cvrste tocke O u ver-tikalnoj ravnini u polju sile teze. Na kra-jevima stapa pricvrscene su mase m1 i m2,a opruga je krutosti k (vidi sliku). OdrediteLagrangeve jednadzbe gibanja sustava.

m1

m2

↓ ~g

O 11

1

1

k

Documents

Zadaci za vjeˇzbu - unizg.hr · 2004-10-22 · Matematiˇcko modeliranje 1 Zadaci za vjeˇzbu Matriˇcni prikaz grafa, putevi i ciklusi 1. Odredite rang matrice incidencije i rang