Zadaci Iz Matematike II (Prvi Dio)

8/18/2019 Zadaci Iz Matematike II (Prvi Dio)

1/195


2/195

(ova stranica je ostavljena prazna)

3

(ova stranica je ostavljena prazna)

4


3/195


4/195


5/195

9 10


6/19511 12


7/19513 14


8/195


9/19517 18


10/195


11/19521 22


12/19523 24


13/19525 26


14/19527 28


15/19529 30


16/195

31 32


17/195

33 34


18/195

35 36


19/195

37 38


20/195

39 40


21/195

41 42


22/195

43 44


23/195


24/195

47 48


25/195

49 50


26/195

51 52


27/195


28/195

55 56


29/195

57 58


30/195

59 60


31/195


32/195

63 64


33/195

65 66


34/195

67 68


35/195


36/195

71 72


37/195

73 74


38/195

75 76


39/195

77 78


40/195

79 80


41/195

81 82


42/195

83 84


43/195

85 86


44/195

87 88


45/195

89 90


46/195

91 92


47/195

93 94


48/195

95 96


49/195

97 98


50/195

99 100


51/195

101 102


52/195

103 104


53/195

105 106


54/195

107 108


55/195

109 110


56/195

111 112


57/195

113 114


58/195

115 116


59/195

117 118


60/195

119 120


61/195

121 122


62/195

123 124


63/195

125 126


64/195

127 128


65/195

129 130


66/195

131 132


67/195

133 134


68/195

135 136


69/195

137 138


70/195

139 140


71/195

141 142


72/195

143 144


73/195

145 146


74/195

147 148


75/195

149 150


76/195

151 152


77/195

153 154


78/195

155 156


79/195

157 158


80/195

159 160


81/195

161 162


82/195

163 164


83/195

165 166


84/195

167 168


85/195

169 170


86/195

171 172


87/195

173 174


88/195

175 176


89/195

177 178


90/195

179 180


91/195

181 182


92/195

183 184


93/195

185 186


94/195

187 188


95/195

189 190


96/195

191 192


97/195

193 194


98/195

195 196


99/195

197 198


100/195

199 200


101/195

201 202


102/195

203 204


103/195

205 206


104/195

207 208


105/195

209 210


106/195


107/195

213 214


108/195

215 216


109/195

217 218


110/195

219 220


111/195

221 222


112/195

223 224


113/195

225 226


114/195

227 228


115/195

229 230


116/195

231 232


117/195

233 234


118/195

235 236


119/195

237 238


120/195

239 240


121/195

241 242


122/195

243 244


123/195

245 246


124/195

247 248


125/195

249 250


126/195

251 252


127/195

253 254


128/195

255 256


129/195

257 258


130/195

259 260


131/195

261 262


132/195

263 264


133/195

265 266


134/195

267 268


135/195


136/195

271 272


137/195

273 274


138/195

275 276


139/195

277 278


140/195

279 280


141/195

281 282


142/195

283 284


143/195

285 286


144/195

287 288


145/195

289 290


146/195

291 292


147/195

293 294


148/195

295 296


149/195

297 298


150/195

299 300


151/195

301 302


152/195

303 304


153/195

305 306


154/195

307 308


155/195

309 310


156/195

311 312


157/195

313 314


158/195

315 316


159/195

71317 318


160/195

319 320


161/195

321 322


162/195

323 324

1. Izraunaj trostruki integral .

2

0

11

1

)4(2

dz z dydx I x

Rješenje:

3

40

3

410)

3

22(10)

3(10)1(10

10)28(2

4)4(

1

1

31

1

1

1

2

11

1

1 1

1

2

0

2

0

1

1

22

0

111

1 2222

x xdx x

dx ydydxdy z

z dxdz z dydx I

x x x x

2 Izraunaj trostruki integral dxdydz

gdje je G ograniena ravnima :

x+y=1

z= 1-x-y

y x z

x y

x

10

10

10

Sa slike projekcije odredimo granice:

2

1

2

11

2

)1())1(1

1(

1

1

11

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

x x

dx xdx ydydxdy y x y x

dx

dy z y x

dxdz y x

dydx

y x

dxdydz

x x x

y x x y x

x

G

b) dxdydz

1 x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.


163/195

2. Izraunaj trostruki integral G y x1

, gdje je G ograniena ravnima :

a) x+y+z=1, x=0, y=0, z=0;

b) x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.

Rješenja:

a) G

y xdxdydz

1 x=0, y=0, z=0

Skicirajmo oblast G (vidi sliku desno).

x+y+z=1 1111

z y x

x= 0 je yOz ravany= 0 je xOz ravan

z= 0 je xOy ravan

Odredimo projekciju oblasti na xOy ravan: Nacrtati sliku (uputa: pogledati xoy ravan sa

slike desno).

x+y+z=1

z= 0

325

G

y x1

Skicirajmo oblast G (vidi sliku).

dx xdx x

dx x xt t

dt dx

xt y

xt y

dt dy

t y x

y x

dydx

y x

dy z dxdz

y x

dydx

x

x

x

x

1

0

1

0

1

0

4

1

1

0

1

0

4

1

1

0

5

2

4

2

1

0

5

2

4

2

1

0

5

2

1ln24ln2

1ln4ln2ln22

45

12

1

12

11

326


164/195

327 328


165/195

329 330


166/195

331 332


167/195

333 334


168/195

335 336


169/195

337 338


170/195

339 340


171/195

68341 342


172/195

343 344


173/195

345 346


174/195

347 348


175/195

349 350


176/195

351 352


177/195

353 354


178/195

355 356


179/195

357 358


180/195

359 360


181/195

361 362


182/195

363 364


183/195

365 366


184/195

367 368


185/195

369 370


186/195

371 372


187/195

373 374


188/195


189/195

377 378

Pismeni dio ispita iz Matematike II (MF), 02.02.2012.

Grupa A

1.

22arctg3

2

tg2 .

2sin cos 1

x

A dx x x

2. Odrediti ekstreme funkcije2 2

5.

2 2

y x z x

x y x

3. Dat je trostruki integral

242 2

3

0 0 0

d d dz

i oblast

4. ,S

I ydydz xdzdx zdxdy ako je S donja strana dijela

površi2 2

z x y kojeg isjeca površ 2 2 . x y y

Grupa B

1.

2arctg3 tg2 .

2sin 6cos 7

x

B dxx x

Pismeni dio ispita iz Matematike II (MF), 17.02.2012.

GRUPA A1. astaje rotacijom oko x –

22 ( 0) y ax a i pravama 0, . y x y a

2. 2 2

2 2

1,

2 D

xy x y

I dx x y

ako je D dio kruga

2 21 x y u

prvom kvadrantu.

3. 2 3

5 5

5 5, , 0 1.

1 1

at at x y t

t t

4.

2 21

2

2 20

ln 11

1

x I dx

x x

.

GRUPA B1. acijom oko x – ose figure u drugom kvadrantu

2 ( 0)2

ax y a i pravama 0, . y y x a

1


190/195

2arctg22sin 6cos 7 x x

2. Odrediti ekstreme funkcije 2 2 31

.9

x y

z x y e

3. 2 2 2 , I x y z dx dydz

unutrašnjost lopte2 2 2 . x y z x

4. nati površinski integral 2 2 2 ,S

I x dydz y dzdx z dxdy ako je S vanjska strana tijela

0, 0, x y z h i dijelom konusa2 2 2

x y z u prvom oktantu.

Stari program:

1. Ispitati konvergenciju reda

2

1

13 .

n

n

n

n

n

2. 2

cos .iv y y x x

3. 2 2 2 , I x y z dx dydz

unutrašnjost lopte2 2 2 . x y z x

4. 2 2 2

,S

I x dydz y dzdx z dxdy ako je S vanjska strana tijela

0, 0, x y z h i dijelom konusa2 2 2 x y z u prvom oktantu.

379

2.

2 2 2 231

,1 D

I dx x y x y

ako je oblast D

2 2 2 2

0, 1 4. x y x y

3. I

2

4 4, ,0 1.

1 1

at at x y t

t t

4.

1

20

arctg0

1

x I dx

x x

.

Stari program:

1. reda:

2

3 2 21

1 1

.3 1 4

n

nn

n x

n

2.

20.

22 1

xy x y

y x

3.

2

4 4, ,0 1.

1 1

at at x y t

t t

4.

1

20

arctg

0 .1

x

I dx x x

ferenciranja po parametru .

380

GRUPA A

Drugi parcijalni ispit, 08.06.2012.

2 2 2 2 2 2

: 36, , 0. x y z x y z z 2 ,

c

y ds ako je c kriva2 31 1, , , 0 1.

2 3 x t y t z t t

2 23 , : 2 , 0.S

I zdS S z x y z

GRUPA B Drugi parcijalni ispit, 08.06.2012.

2 2 2 2 2 2 2: 4, 3 , . x y z x y z z x y

,c

x z ds ako je c kriva2 33

, , ,0 1.2

x t y t z t t

21 ,S

E z z dS 2 2 2: , 0 1.S z x y z

Pismeni dio ispita iz Matematike II, 21.06.2012.

GRUPA A

1. lom2

2 , 0 y ax a i normalom na

parabolu koja zaklapa ugao od 1350

2.

sa x – osom.

, z ax by ako je 2 2 1. x y

3. 2 2

, x y

I

dxdydz a z

ako je

0, 0, , , 0. x y x y z a x y z a a

4. 2 2 2 ,S

I x dydz y dzdx z dxdy ako je S vanjski

dio površi2 2 2

2 2 , 0 4. z x y z

GRUPA B

1. 3

2

2 2, 2 , 0.

b y by x b

b x

2. 2 , z cxy 1,0, 4 A c i

k it j


191/195

381

okomita je na ravan . x y

3. I 2 2

, y z

I dxdydz a x

ako je

0, 0, , , 0. y z x y z a y z x a a

4.

2 22 sin 2 4 sin 2 ,S

I xz z x x y dydz yz x y z dzdx x y z dxdy ako je S

ovršima2 2 2

4 2 , . z x y z x

Stari program

1. 1

1.

3 1 3 2 3 5n n n n

2. 2 21 2 0. x x y y x x y

3. 2 2

, y z

I dxdydz a x

ako je oblas

0, 0, , , 0. y z x y z a y z x a a

4.

2 22 sin 2 4 sin 2 ,S

I xz z x x y dydz yz x y z dzdx x y z dxdy ako je S

2 2 2

4 2 , . z x y z x

382


192/195


GRUPA A

1. Nai površinu figure k oja je ograniena linijama 02 , 2 y x x y . 2. Nai ek streme funk cije 3 23 15 12 z x xy x y .

3. Nai zapreminu tijela ogranienog ravnima

1, 3, 1, 5, 2 1 0, 0. x x y y x y z z

4. Izraunati k rivolinijsk i integral 2 2 22 , I c

z x y z ds ak o je c k riva

2 2

cos , cos , sin , 0, .

2 2

r r x t y t z r t t

GRUPA B

1. Izraunati površinu rotacionog tijela k oje se dobije rotacijom parabole2 4 y x

od tak e 0 x do tak e 2. x

2. Nai uslovne ek streme funk cije y6 4 3 z x uz uslov 2 2 1. x y

3. Nai zapreminu tijela ogranienog ravnima1, 2, 2, 2, 4 3 2 0, 0. x x y y x y z z

4. Izraunati k rivolinijsk i integral 2 2 24 , I c

y x y z ds ak o je c k riva

6 3a a

GRUPA B

1. Izraunati integrale:4 4

1 2

0 0

sin, .

sin cos1 2 1

dx x I I dx

x x x

2. Izmjeniti poredak integracije u integralu

21 2

0

,

x

x

I dx f x y dy

.

3. Izraunati površinsk i integral

2 4S

x dS , gdje je (S) omota površi

2 2 2

,0 3.

4 4 9

x y z z

4. Izraunati pomou diferenciranja po parametru integral

2

2 2 2

0

ln sin cos , 0. I x x dx


GRUPA A

1 xe


193/195

6 3sin , cos , sin , 0, .

3 3 2

a a x t y a t z t t

Pismeni dio ispita iz Matematike II, 18.02.2011

GRUPA A

1. Izraunati integrale:3 2

3 2

1 2

1 0

1 ,1 sin cos

dx I x x dx I .

x x

2. Izmjeniti poredak integracije u integralu 22 2

1 2

,

x x

x

I dx f x y dy

.

3. Izraunati površinsk i integral 2 1S

P z d ,S S je dio sfere

u prvom ok tantu.2 2 2 4 x y z

4. Izraunati integral 2

2 x

e

0

1 x I dx

xe pomou diferenciranja po parametru

ak o je 1.

385

1. Izraunati dužinu luk a k rive1

ln1 x

e y

e

od tak e sa apscisom 1 do tak e sa

apscisom 2. x 2. Izraunati pomou dvostruk og integrala zapreminu tijela k ojeg ograniavaju

površi 2

2 2 2 2 2 2 22 0, , x y az x y a x y a 0.

3. Izraunati pomou Greenove formule k rivolinijsk i integral

2 2 2 2ln ,c

I x y dx y xy x x y dy ak o je c k ontura k oja

ograniava oblast

.2 2 2, 2, 0 y x x y

4. Izraunati površinsk i integral 2 ,S

I x y z dS ak o je S polulopta

2 2 2 9, 0. x y z z

GRUPA B

1. Izraunati dužinu luk a k rive2

2 2ln ( 0)

a y a a

a x

od tak e 0,0 A do tak e

4, ln .

2 3

a B a

2. Izraunati pomou dvostruk og integrala zapreminu tijela k ojeg ograniavaju

površi 2 2 2 2 24 ( 0), 1 1 , 4 0 x y x x y x z x z i ravan 0. z

386


194/195

1 2

1 22 2 2 2, ,

c c

dy ydx xdy ydx I I

4. Dati su k rivolinijsk i integrali

y x y

gdje je 1c duž , AB

1,2 , 1, 4 A B i

1, 2 , 1,4 , A B prolazi k roz tak e

orjentisana od tak

e A prema tak

i B, a je parabolak

oja2c1 11

, .2 4

C

Dok azati da je

1 2 I I i izra

taj broj.

RUPA Bi površinu k rivolinijsk og etverougla omeenog parabolama

unati

G1. Izraunat

2

2 2 2, , 2 , 3 . x3

y x y y x y x

2. Promijeniti poredak integracije i izraunati dvostruk i integral

2 2

lna a ya

2

0 0

. x x a dx

I ydy

x a

3. Izraunati površinu dijela sfere22 2 2 x y z a k oji se nalazi u unutrašnjosti

cilindra

2 2

1, 0 .

x yb a

2 2a b

4. Izraunati k rivolinijsk i integral 31

arctg , y y

I dx y e dyx x

ak o je c pozitivno


195/195

c x x

ene isjek om k ružnog prstenaorjentisana k ontura oblasti odre2 21 4, 0 . y y x

Pismeni dio ispita iz Matematike II, ok tobar 2011.

1. Odrediti jednainu tangentne ravni na površ2 2 2

2 2 21

x y z

a b

c , k oja je normalna na

pravoj1 2 3

x y z .

2. Promijeniti poredak integracije i izraunati dvostruk i integral

2 2

lna a ya

2

0 0

. x a dx

I ydy

x a

3. Izraunati k rivolinijsk i integral ,c

xds ak o je c lemnisk ata

4. Dato je vek torsk o polje

, 0 x y a x y a 2

2 2 2 2 2

2 2

.2 2 2 2(2 ( ) , 2 ( ) ,2 ( ) ) A x y z yz y z x xz z x y xy .

tencijalno i odrediti mu potencijal. Izraunati fluk s

Pok azati da je polje A po

vek torsk og polja A

k roz spoljnu stranu polusfere 2 2 2: 2 0, 0 x y z z y .

389

Documents

Zadaci Iz Matematike II (Prvi Dio)