1

Za nosač prema slici potrebno je odrediti τ1, τ2, αc.

ZADANO: M1 = 900 Nm M2 = 150 Nm d1 = 5 cm d2 = 2,5 cm l = 1 m G = 80 G Pa ΣMX = 0 MA – M1 + M2 = 0 MA = 750 Nm

44

11 613592

32mmdI p ==

π

44

22 38750

32mmdI p ==

π

NmmNmMt 10750 750 21 ⋅==

3

331

1 255001650

16mmdWp =

⋅==ππ

τ1 =Mt1

Wp1

⋅ r1 =750 ⋅103

25500⋅25

τ1 = 30,56 MPa

2

3

332

2 31001625

16mmdWp =

⋅==ππ

τ 2 =Mt2Wp2

⋅ r2 =150 ⋅103

3100⋅12,5 =

MPa 89,482 =τ

!88,0 0153,0

32501080

10107504

3

33

1

1 ≈=⋅

⋅

⋅⋅== rad

GIlM

p

tB π

α

048892,010810101500153,0 3

33

2

2 =⋅

⋅⋅−=−=

p

tBC GI

lMαα

!92,1 0336,0 −=−= radCα

2

2

1

2

1

1

pppC GI

lMGIlM

GIlM

−−=α

32251080

1010150

32501080

1010150

32501080

10109004

3

33

43

33

43

33

⋅⋅

⋅⋅−

⋅⋅⋅

⋅⋅−

⋅⋅

⋅⋅=

πππαC

αC = 0,0183-0,0030-0,0489 αC = -0,0336 rad = - 1,92 °

3

Osovina prema slici opterećena je momentima M1 = 8 kNm i M2 = 2 kNm Dimenzionirati osovinu ako je τdop = 80 MPa

ΣMX = 0 MA – M1 + M2 = 0 MA = 6 kNm

dopp

t

WM

ττ ≤=1

11

mmM

Wdop

tp 75000

80106 6

11 =

⋅=≥

τ

7500016)2( 3

≥dπ

7500168 3

≥⋅ dπ

d ≥ 36,28 mm

dopp

t

WM

ττ ≤=2

22

1628,36

102 6

2 ⋅⋅

=π

τ

τ2 = 213,3 MPa 3

62

1 2500080102 mm

MW

dop

tp =

⋅==

τ

2500016

3

≥dπ

d ≥ 50,29 mm

4

MPa 30

16)3,502(

1063

6

1 =⋅

⋅=π

τ

5

Za zadatak prema slici potrebno je odrediti promjer na mjestu najvećih naprezanja. Zadano:

M1 = 1,0 kNm M2 = 3,0 kNm τdop = 50 MPa d = ?

ΣMX = 0 -MA + M2 – M1 = 0 MA = M2 – M1 = 3 – 1 = 2 -M1 = -1 k Nm MA = 2 k Nm

NmkNmMM At 1022 3max ⋅===

≤⋅==2

maxmaxmax

dIM

WM

p

t

p

tτ

6

dopt ddM

τπ

≤⋅2

32

4max

mM

ddop

t 0588,010501021616

36

3

3max =

⋅

⋅⋅=⋅≥

πτπ

d = 58,8 mm Uzeto: d = 60 mm

7

Na vratilu promjera d = 4 cm nalazi se pogonska remenica 3 i radne remenice 1, 2, 4 i 5. Kutna brzina rotacije vratila je ω = 80 rad/s a modul smicanja G = 8 ⋅ 104 MN/m2 (80 GPa);

dopušteno tangencijalno naprezanje )(60 60 2 MPamMN

d =τ i dopušteni kut uvijanja po

jedinici dužine αd = 2 ⋅ 10-2 rad/m. Odrediti snagu pogonskog stroja P3 u kW, ako je snaga radnih strojeva: P1 = P P2 = 4 P P4 = 3 P P5 = 2 P

2102 −⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

dopdxdα rad/

ωPM t =

DIMENZIONIRANJE NA ČVRSTOĆU: DIMENZIONIRANJE NA KRUTOST:

dpt WM τ⋅=max p

td GJ

lM ⋅≥ maxα

sNmW 11 =

ddPP

τπ

ωω⋅≤⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛→

165 3

max p

t

GIM

dxd

=α 1 Nm = 1 J

ωτπ

⋅⋅≤ ddP16

3

max

32

4

max

dG

P

lGd

πω

⋅

≥

8

80106016

)104( 632

max ⋅⋅⋅⋅⋅

≤−πP

32

4

max

ωπα

⋅⋅⋅≤

dl

GP

d

Pmax ≤ 60300 W (SP) 32

80)104(102108 42210

max⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

≤−− πP

Pmax = ≤ 60,3 kW Pmax ≤ 32200 W Pmax = 5 P Pmax ≤ 32,2 kW

WP 120605

60300=≤ Pmax = 5 P

P ≤ 12,06 kW WP 64405

32200=≤

P0 = 2 Pmax = 2 ⋅ 60,3 = 120,6 kW P≤ 6,44 kW P0 = 120,6 kW P0 = 2 Pmax = 10 P = 64,4 kW P0 = PEM P0 = 64,4 kW

( ) NmmdWM dopdoppdopt 753982601640

16

33

=⋅⋅

==≤π

τπ

τ = 754 Nm

P = M ⋅ ω

ωωPPM == 1

1

ωωPPM 42

2 ==

ω3

3P

M =

ωωPPM 34

4 ==

ωωPP

M 255 ==

ωωPP

M 255 ==

ΣMX = 0 M1 + M2 – M3 + M4 + M5 = 0

M3 = M1 + M2 + M4 + M5 ωωωωωPPPPP 10234

=+++=

P3ω

=10Pω

P3 = 10 P

Mt( )max =5Pω

NmP 7545≤

ω

(Mt)max ≤ 754 Nm

kWWP 064,12 120645

80754==

⋅≤

9

P3 = 10 P = 120,64 kW P3 ≤ 120,64 kW KRUTOST

( )dopp

t

dxd

GIM

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≤=αα max

( ) 324

3max 10102

32401080 −− ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≤πα

doppt dxdGIM

( ) NmNmmMt 402 402124max =≤ ( ) 402max ≤tM

4025≤

ωP

kWWP 43,6 64325

80402==

⋅≤

P3 = 10 P ≤ 64,3 kW (P3)MAX = 64,3 kW

10

Na vratilo prema slici, uklješteno na oba kraja, djeluju momenti uvijanja Mt u presjecima C i D. Odrediti reaktivne momente MA i MB ako je zadano: Mt, l, Jp

RAVNOTEŽA: ΣMX = 0 MA + MB – 2Mt = 0 UVJET DEFORMACIJE ϕB = 0

0

2

22

2

2=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−++⋅

⋅

GJl

GJlM

GJlM

GIlM

GJlM

GJlM

ppt

p

t

p

B

p

B

p

B

MB (2+2+1) – Mt (2+2+2) = 0

tB MM56

=

tBtA MMMM542 =−=

DIJAGRAM RASPODJELE MOMENATA UVIJANJA KUTEVI UVIJANJA

p

t

p

t

C IGlM

IG

lM

58

254

=⋅

=ϕ

p

t

p

t

D IGlM

IG

lM

56

56

=⋅

=ϕ

11

12

Na vratilo prema slici, potrebno je odrediti promjer d Zadano: τdop = 50 Mpa, M = 1 kNm

MA + MB = M (1) αB = 0

0211

=⋅

−⋅

−⋅

p

B

p

B

p GIlM

GIlM

GIlM (2)

323216 44 ππ dG

lMdG

lM BA ⋅=

⋅

MA = 16 MB

Ip1 =16d4π

32= 16 Ip2

16 /0 16 16 222

⋅=−−p

B

p

B

p IM

IM

IM

M – MB – 16 MB = 0

kNmMMB 171

171

==

tB MM171

=

kNmMM A 1716

1716

==

tA MM1716

=⇒

34max 1732

32161716

dMd

d

MCA =⋅=− π

τ

13

34max 3432

232

171

dMd

d

MBC =⋅=− π

τ

τmax A −C =3217

Md3

≤ τ dop

d ≥3217

Mτ dop

3

14

Vratilo uklješteno na oba kraja i opterećeno momentima prema slici. Odrediti: a) relativne momente u A i B, b) skicirati dijagram raspodjele momenta uvijanja, c) skicirati dijagram kuteva te presjek Zadano: Mt, d, l, G.

ΣMX = 0 -MA + Mt – Mt + MB = 0 MA = MB

Ip1 =(2d)4π32

= 16 d4π32

=d4π2

= 16

Ip2 =d4π32

15

GIM

IGlM

IGlM

IGlM

IGlM

IGlM B

p

B

p

B

p

t

p

t

p

t +⋅

+⋅

+⋅

−⋅

−⋅

21211

4916GdlM t

π−

αB = 0, αA = 0 αB = αA + αC/A + αD/C + αB/D = 0

0 16 16

)( 2222121

=++−=+−

+⋅

p

A

p

A

p

t

p

A

p

A

p

At

p

A

IM

IM

IM

IM

IGlM

IGlMM

IGlM

MA – 16 Mt + 16 MA + MA = 0 18 MA = 16 Mt

MA = MB = tM98

αA = 0

441

/ 916

298

98

0GdlM

dG

lMIG

lMtt

p

t

ACAC ππααα ==

⋅+=+=

=⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−++=++=

24//

91

9160

p

tt

CDACAD IG

lM

GdlM

παααα

444 93216

3291

916

GdlM

dG

lMGdlM ttt

πππ−

=−=

4916GdlM t

D πα −=

αB = 0

16

Na vratilo uklješteno na A djeluju momenti M1 = 400 Nm i M2 = 150 Nm. Odrediti max. tang. naprezanja u dijelovima vratila AB i BC, te zaokret presjeka C. Zadano: a = 1 m, dv = 5 cm, du = 3 cm, d = 4 cm, G = 8 · 104 Mpa.

ΣMX = 0 MA – M1 + M2 = 0 MA = M1 – M2 = 250 Nm

MPad

ddM v

uv

AAB 7,1110

25

1032

)35(250

232

(8

84444max =⋅⋅

⋅−

=⋅−

= −

−ππτ

τmaxAB = 11,7 Mpa 62

844

2max 1094,1110

24

10324150

232

⋅=⋅⋅

⋅

=⋅= −

−ππτ

ddM

BC

τmaxBC = 11,94 MPa αA= 0

αC = αA + αB /A + αC /B =−MA ⋅ aG ⋅ Ip1

+M2lG ⋅ Ip2

=−MA ⋅ a

G (dv4 − du

4 )π32

+M2l

G d4π32

444

1 4,5332

)(cm

ddI uvp =

−= π

44

2 13,2532

cmdI p ==π

αc 2264864 10746,010585,0

13,25101081150

104,53101081250 −−

−⋅+⋅−=

⋅⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅⋅

⋅−=

αC = +0,161 · 10-2 rad

17

Na vratilu promjera d nalazi se pogonska remenica i radne remenice B, C i D. Preko pogonske remenice dovodi se snaga P0 = 56 kW, a radni strojevi trebaju snage P1 = 8 kW, P2 = 16 kW i P3 = 32 kW. Broj okretaja vratila je 750 okr/min. Odrediti promjer vratila ako je zadano: τd = 60 Mpa (dopušteno trajanje naprezanja za uvijanje), αd = 2 · 10-2 rad/m (dopušteni kut uvijanja po jedinici duljine vratila), G = 8 · 104 (modul smicanja).

KUTNA BRZINA VRATILA:

30750

30ππ

ω⋅

==n

ω = 78,54 rad/sek

NmssNmPM 86,101

/54,78/108 3

11 =

⋅==

ω

NmPM 72,20354,781016 9

22 =

⋅==

ω

NmP

M 02,71300 ==

ω

NmP

M 44,40733 ==

ω

ΣMX = 0 -M1 – M2 + M0 – M3 = 0

18

PRORAČUN NA KRUTOST

p

AtAD GI

lM max/max ==αα

dt

AD dG

Ml

απ

α≤=

32

4maxmax

10210844,40732

104

⋅⋅⋅≥

πd

d ≥ 0,0401 m d = 40 mm PRORAČUN NA ČVRSTOĆU:

dt ddM

τπ

τ ≤⋅=2

32

4max

max

mM

dd

t 0356,0106044,4071616

36

3 max =⋅

⋅=≥πτπ

19

Skicirati dijagrame momenata torzije i kuteva zakreta za osovinu zadanu i opterećenu prema slici.

ΣMX = 0 -MA + 3 M – 2 M + 3 M – 2 M = 0 MA = 2 M

-MA + MX = 0

Mx = MA = 2 M

-MA + 3 M + MX = 0

20

MX = MA – 3 M = 2 M – 3 M = - kut zakreta: dAqI rp ∫= 2

2

GIlM

p ⋅

⋅=α

8324

32

44

1

4 ddIdI ppπππ

=⋅

=→=

32

4

2dI pπ

=

αA = 0

441

168202GdMl

GdlM

GIlM

pAB ππ

αα =⋅⋅

+=⋅

⋅+=

4441

8816GdMl

GdMl

GdMl

GIlM

pBC πππ

αα =−=⋅

⋅−+=

4442

24328GdMl

GdMl

GdMl

GIlM

pCD πππ

αα −=⋅

−=⋅

⋅−+=

4442

83224GdMl

GdMl

GdMl

GIMl

pDE πππ

αα =⋅

+−

=+=

441

24822GdMl

GdMl

GIlM

pEF πππ

αα =⋅

=⋅

⋅−+=

21

Odrediti relativne momente u uklještenjima za vratilo zadano prema slici i to za slučaj a) punog vratila b) šuljeg vratila

Izračunati tangencijalna naprezanja u točkama D, E i F.

Mt = MtA + MtB

32

4dI pπ

=

I p1 =π ⋅(2d)4

32=16πd

4

32

a) Puno vratilo αB = 0 uvjet deformacije

02

11

=⋅

⋅+

⋅

⋅+

⋅

⋅−

⋅

⋅−=

p

tB

p

tB

p

t

p

tB IG

aMIGaM

IGaM

IGaM

α

aGI

IGaM

IGaM

IGaM

IGaM p

p

tB

p

tB

p

t

p

t ⋅⋅=

⋅

⋅+

⋅

⋅+

⋅⋅

⋅−

⋅

⋅− 16 /0

162

16

021616 =++−− tBtBtt MMMM 18 MtB = 17 Mt

ttB MM1817

=

22

Potrebno je dimenzionirati vratilo duljine l = 0,7 m koje pri vrtnji od 1 800 okr/min prenosi snagu od P = 8 kW. Vratilo je opterećeno dinamički istosmjerno te je dopušteno naprezanje τdop = 35 MPa, a dopušteni kut uvijanja ϕdop = ¼ °. Modul smicanja materijala vrtila je G = 80 GPa. Zadano: l = 0,7 m n = 1 800 okr/min = 30 okr/s P = 8 kW = 8 000 W τdop = 35 MPa ϕdop = ¼ ° = 0,004363 rad G = 80 GPa = 80 000 MPa Rješenje: Moment uvijanja koji opterećuje vratilo:

MU = 159 ⋅ !"

= 159 ⋅ # %%%&%

= 42 400 Nmm

Iz uvjeta čistoće (τ ≤ τdop) dobiva se: '()* O τdop → Wp P

'()*

Wp P +, +%%&%

P1 211,43 mm3

-. /0

P1 211,42 → d P/0 / ,//,+&

. d ≥ 18,34 mm. Iz uvjeta krutosti (ϕ ≤ ϕdop) dobiva se:

ϕ = '( 23 4*

O ϕdop → lp P '( 2

3 56*

Ip = -. &,

≥ '( 2

3 56* , odakle je

d ≥&, '7 23 56*

8 = &, +, +%% 9%%#% %%% %,%%+&0&

8

d ≥ 30,05 mm.

Kako dimenzije vratila trebaju zadovoljiti i uvjet čvrstoće i uvjet krutosti, treba se usvojiti promjer vratila d = 32 mm.

23

Izračunajte naprezanje i kut uvijanja šupljeg vratila poprečnog presjeka dv/du = 30/20 mm duljine l = 0,4 m, koji pri vrtnji od n = 900 okr/min prenosi snagu od P = 10 kW. Modul smicanja materijala vratila je G = 80 GPa. Izračunajte naprezanje u slojevima materijala na unutarnjem promjeru poprečnog presjeka te nacrtajte kvalitativnu raspodjelu naprezanja po poprečnom presjeku. Zadano: l = 0,4 m = 400 mm dv/du = 30/20 mm n = 900 okr/min = 15 okr/s P = 10 kW = 10 000 W G = 80 GPa = 80 000 MPa Rješenje: Moment uvijanja vratila:

MU = 159 ⋅ !"

= 159 ⋅ /% %%%/:

= 106 000 Nmm Omjer unutarnjeg i vanjskog promjera:

β = -(-;

= ,%&%

= 0,667

Moment inercije površine poprečnog presjeka:

Ip = Ipv – Ipu = -;8 &,

- -(8 &,

= -;8 &,

⋅ 1 − -(-;

+

Ip = -;8 &,

⋅ (1-β4) = &%8 &,

⋅ (1 - 0,6674) = 63 813,6 mm4

Moment otpora površine poprečnog presjeka:

Wp = 2*

>?@A =

2*5;B

= , 2*-;

= , 0& #/&,0

&% = 4 254,24 mm3

τmaks = '7)* = /%0 %%%+ ,:+,,+

= 24,92 MPa

Kut uvijanja vratila:

ϕ = '( 23 4*

= /%0 %%% +%%#% %%% 0& #/&,0

= 0,008305 rad

ϕ = 0,008305 ⋅ /#%

= 0,48

24

Naprezanje u materijalu na unutrašnjem promjeru poprečnog presjeka računamo iz sličnosti trokuta kako je prikazano na slici:

5;B

>?@A =

5(B

>?@A ;; -;, >?@A

= -(, >?@A

τ1 = -(-; ⋅ τmaks = β ⋅ τmaks = 0,667 ⋅ 24,9 = 16,6 MPa

25

Izračunajte duljinu l šupljeg vratila načinjenog od čelika vanjskog promjera dv = 60 mm i unutrašnjeg promjera du = 20 mm. Zadani su modul smicanja G = 84 000 MPa i najveće dozvoljeno naprezanje čelika τdop = 94,2 MPa te kut uvijanja ϕ = 6°. Koliki moment uvijanja prenosi vratilo? Zadano: dv = 60 mm du = 20 mm G = 84 000 MPa τdop = 35 MPa

ϕdop = 6° ⋅

/#% = &% rad

____________________ l = ? MU = ? Rješenje: Iz formule za najveće dozvoljeno tangencijalno naprezanje

τdop = '7)*

dobije se: MU = Wp ⋅ τdop

Polarni moment otpora za poprečni presjek oblika kružnog vijenca izračuna se prema formuli:

Wp = /0

⋅ -;8C -(8 -;

, Wp = ,D8 /0

⋅ (1 - β4)

pa je: Wp = 4,19 ⋅ 104 mm3

i moment uvijanja je: MU = Wp ⋅ τdop = 4,19 ⋅ 104 ⋅ 94,2 MU = 3 946 980 Nmm = 3 947 Nm. Duljina osovine izračuna se iz formule za kut uvijanja, pri čemu moramo poznavati polarni moment inercije za zadani oblik poprečnog presjeka:

ϕ = '( 23 4*

i Ip = (-;8C -(8)

&,

Prvo se izračuna polarni moment inercije:

26

Ip = (0%8C ,%8)

&, = 1,257 ⋅ 10-4 m4

a nakon uvrštavanja u formulu za kut torzije dobije se duljina osovine:

l = 3 4* '7

=

&% ⋅ #+ %%% /,,:9 /%G

& H+0 H#%

l = 2 800 mm = 2,8 m

27

Čelično vratilo duljine l = 2 m i polarnog momenta inercije I? = +: ⋅ 10-4 m4 uvije se za

kut torzije ϕ1 = 1°, pod djelovanjem momenta uvijanja MU = 10 kNm. Koliko najviše smije iznositi moment uvijanja ako se isto vratilo smije uvijati najviše za ϕ2 = 2,5° ? Zadano: l? = 2 000 mm

I? = +: ⋅ 10-4 mm4

ϕ1 = 1° =

/#% rad

MU1 = 10? Nmm l? = l? = 2 000 mm

I? = I? = +: ⋅ 10-4 m4

ϕ2 = 2,5° = 2,5° ⋅

/#% rad

_______________________ MU2 = ? Rješenje: Kako u primjeru proučavamo jedno vratilo, njegov materijal, polarni moment inercije i duljina jednaki su za oba opterećenja. Iz zadanih podataka s indeksima ? izračunamo modul smicanja, kao karakteristiku materijala vratila.

ϕ1 = '(? 2?3 4*J

/#% = /%? , %%%

3 8K /%?

G = 84 000 MPa Kako su modul smicanja, polarni moment inercije i duljina vratila stalne veličine, uvrštavamo ih u formulu za drugi kut uvijanja, ϕ2 = 2,5°.

ϕ2 = '(? 2?3 4*B

iz koje ćemo dobiti moment uvijanja pri drugom kutu uvijanja.

2,5 ⋅

/#% =

'7? , %%%

# %%% 8K /%?

28

MU2 = 25 ⋅ 104 Nmm = 25 ⋅ 103 Nm = 25 kNm. Okrugli štap različitih promjera d1 i d2 te duljina l1 i l2 ukliješten je i opterećen momentom uvijanja, prema slici. Potrebno je izračunati ukupni kut uvijanja točke C.

Zadano: MU = 2 kNm = 2 000 000 Nmm d1 = 40 mm d2 = 25 mm l1 = 1 m = 1 000 mm l2 = 0,8 m = 800 mm G = 85 GPa = 85 000 MPa ____________________________ ϕ? = ? Rješenje: Zbog različitog promjera vratilo će se drukčije uvijati na dužini l1 i dužini l2. Kut zakreta točke B:

ϕB = '( 2J3 4*?

= , %%% %%% / %%%#: %%% 8L

8 .B

= 0,0936 rad

Kut zaokreta točke C u odnosu na točku B:

ϕC/B = '( 2B3 4*B

= , %%% %%% #%%#: %%% BK

8 .B

= 0,4908 rad

Ukupni kut uvijanja točke C iznosi: ϕC =ϕB + ϕC/B = 0,0936 + 0,4908 = 0,5844 rad

ϕC = 0,5844 rad ⋅ /#%

= 33,48°

!

29

!