11/26/2016

1

OSNOVNI POJMOVI O SKALARNIM IVEKTORSKIM VELIČINAMA

Za kvantitativno opisivanje pojava uelektrotehnici koristi se određenimatematički aparat. Pretpostavlja se dačitalac vlada većinom tog matematičkogaparata, a ovaj i sledeći dio treba da budupodsetnik na neka poglavlja matematike,koja su neophodna za bolje opisivanjepojava u elektrotehnici

Kao što je čitaocu verovatno poznato, osim skalarnihveličina (temperatura, snaga, energija i sl.), definisanimsamo brojnom vrednošću, postoje i veličine koje nemogu dovoljno dobro da se opišu samo brojnomvrednošću.

Kretanje automobila, na primer, nije dovoljno opisanosamo brojnom vrijednošću brzine kretanja, već jepotrebno definisati i pravac i smer tog kretanja.

U cilju što preciznije definicije svih sličnih veličina, uvodise pojam vektorske veličine ili vektora, kome se, osimbrojne vrijednosti ili intenziteta vektora, pridružuju ipravac i smjer vektora. Najčešće korišćene vektorskeveličine su sila, brzina, ubrzanje, putanja i slično.

11/26/2016

2

Dio prostora, kome je, u svakoj tački, uopštem slučaju, pridružena samo brojčanavrijednost, naziva se skalarno polje, dok sedio prostora, čije stanje se opisujevektorskim vrijednostima u svakoj tački,naziva vektorsko polje.

Vektorske veličine se obično obeležavajustrelicom iznad oznake vektora, kao, na primer, ,, , i slično. Intenzitet vektora se običnoobeležava kao apsolutna vrijednost, ili,jednostavno, F (bez strelice, koja ga označavakao vektor). Grafički se vektor običnopredstavlja strelicom, kao što je to prikazano naSl. 1.2, pri čemu se definiše početna tačkavektora M i krajnja tačka N, koja se naziva krajili glava vektora.

11/26/2016

3

Vektorsko polje takođe može da se prikažegrafički.

Linije polja su, u opštem slučaju krive linije, kojeimaju osobinu da je pravac vektorske veličinekoja opisuje polje, u svakoj tački linije polja,tangentan na tu liniju.

Uobičajeno je, takođe, da se skup linija poljaopremi strelicama, koje definišu smer vektora, agustina nacrtanih linija polja je proporcionalnaintenzitetu vektora u svakom delu prostora.

11/26/2016

4

Od operacija sa vektorima, najvećuvažnost u tehnici uopšte, imaju zbir irazlika dva ili više vektora, kao i skalarni ivektorski proizvod dva vektora.Podsjećanju na te operacije će bitiposvećen naredni dio teksta.

1.1.1. Vektori i skalari Skalar – veličina opisana samo iznosom Npr: temperatura, volumen, masa ...

Vektori – veličine određene smjerom ,iznosom i orjentacijom

v1

v2 Dva vektora na istompravcu koji određujenjihov smjer.Orjentacija određujekao gledaju vektori.

11/26/2016

5

1.1.1. Vektori i skalari

Smjer vektora – određuje pravac nakojemu leže vektoriOrjentacija vektora – smjer strelice

vektora; određuje kako gledaju vektori Iznos – označavamo s v ili |v| Kolinearni vektori – vektori koji leže na

istom pravcu

Zbrajanje vektora Zbrajanje kolinearnih vektora koji leže na istom pravcu:

11/26/2016

6

Zbrajanje nekolinearnih vektora pravilom paralelograma:

Zbrajanje vektora

Zbrajanje nekolinearnih vektora pravilom trokuta:

Zbrajanje više nekolinearnih vektora pravilom poligona:

Zbrajanje vektora

11/26/2016

7

11/26/2016

8

Oduzimanje vektora Oduzimanje vektora se definira kao operacija zbrajanja sa suprotnim

vektorom:

Množenje vektora skalarom: vektor a prvo je pomnožen sa 2, azatim sa – 0,5:

Množenje vektora skalarom

11/26/2016

9

11/26/2016 17

Vektorski način prikazivanja električnih veličina često jeprihvatljiviji od prikazivanja veličina kao funkcijavremena.

Matematičke osnove kompleksnog računa

Međutim grafički vektorski način rješavanja mreža nemože udovoljiti povećanim zahtjevima točnosti, pa sekoristi kompleksna simbolička metoda, gdje se električneveličine predočuju u kompleksnoj ravnini kompleknimbrojevima

11/26/2016 18

Kompleksna ravnina

Svaka točka kompleksne ravnine može se jednoznačnoodrediti pripadnim realnim i pripadnim imaginarnimbrojem, dakle jednim kompleksnim brojem.

Imaginarna jedinica :

11/26/2016

10

11/26/2016 19

Kompleksni broj može se prikazati na tri načina:

A = a1 + j . a2

a1 = A . cos a2 = A . sin

A = A ( cos + j . sin )

e ja = cos + j . sin

A = A. e ja

1.

2.

3.

11/26/2016 20

Međusobna povezanost parametara sva tri oblika:

11/26/2016

11

11/26/2016 21

Konjugirano kompleksni brojevi

Dva kompleksna broja su konjugirano kompleksni akoimaju iste module, a argumenti su im po iznosujednaki, ali suprotnih predznaka (označuju sezvjezdicom - *).Broju konjugirano kompleksni broj je:

A = A. e ja

A* = A. e -ja

A * = A ( cos - j . sin )

A * = a1 - j . a2

(sl. 15.3)

11/26/2016

12

11/26/2016

13

11/26/2016

1

Elektrostatika

Naelektrisanja u mirovanju

Naelektrisanje

Osnovna osobina materije (kao masa) Svojstvo elementarnih čestica Dve vrste

Pozitivno Negativno

Oznaka Q, jedinica kulon (C) e=1,602·10-19C, proton +e, elektron -e

11/26/2016

2

Elektrostatička sila među česticama

Privlačna među česticama naelektrisanim različitimvrstama naelektrisanja

Odbojna među česticama naelektrisanim istom vrstomnaelektrisanja

Osnova i suština cele elektrotehnike, tera naelektrisanjada se kreću, što mi koristimo

Elektrostatička sila među česticama

Pravac duži koja spajamaterijalne tačke

Smer: vrsta naelektrisanja Intenzitet: Kulonov

zakon

Dielektrična konst:

11/26/2016

3

Elektrostatička energija interakcije među česticama

Potencijalna energija elektrostatičke interakcije (sile) Znamo da postoji jer elektrostatička sila ubrzava čestice, povećava

im kinetičku energiju

Rad sila elektrostatičkog polja

Osnova svih praktičnih primena

Nije moguće napraviti elektrostatički motor koji radi u ciklusu

Rad sila elektrostatičkog poljapo bilo kojoj zatvorenoj putanji

je jednak nuli A

Rad elektrostatičkog polja zavisi samo od krajnih tačaka putanje, ane od njenog oblika

11/26/2016

4

Elektrostatičko polje čestica

Fizičko polje koje postoji oko naelektrisane čestice “Paukova mreža” čestice

Elektrostatičko polje

Opisuje sve dvema lokalnim i dvema integralnimveličinama Lokalne: govore o osobinama polja u tački

Vektorska veličina: jačina polja Skalarna veličina: potencijal

Integralne: govore o osobinama polja u nekoj oblasti Fluks (kroz neku površinu) Cirkulacija (po nekoj liniji)

11/26/2016

5

Jačina električnog polja

Vektor koji opisuje električno polje Govori o sili koju polje može da stvori

Jačina električnog polja čestice naelektrisanja Q

Jačina električnog polja

Grafičko predstavljanje linijama sile Pravac linija pokazuje pravac polja (sile) Gustina pokazuje intenzitet polja (sile) Počinju u pozitivnim naelektrisanjima Završavaju se u negativnim naelektrisanjima

Linije sila električnog polja čestice

+Q -Q

11/26/2016

6

11/26/201611

ELEKTROSTATIKA

HOMOGENO ELEKTRIČNO POLJE

11/26/201612

Električno polje pločastog kondenzatora

I nakon uspostave statičke ravnoteže u izolacionom prostoru između dvasuprotno nabijena tijela, postoje značajne fizikalne pojave - promatrat ćemoih na primjeru pločastog kondenzatora priključenog na izvor istosmjernog

napona.

11/26/2016

7

11/26/201613

• Izolator ⇒ vakuum• Između ploča uvodi se pokusni

naboj - + Q,

• na naboj djeluje sila F• prostor između ploča kondenzatorau kojem su naboji izvrgnuti djelovanju

mehaničkih sila je - ELEKTRIČNOPOLJE

11/26/201614

Općenito je električno polje prostor u kojem na mirujućeelektrične naboje djeluju mehaničke sile.

⇓Ako je sila F na pokusni naboj u električnom polju na

svakom mjestu jednaka, takvo polje naziva se:HOMOGENO ELEKTRIČNO POLJE

11/26/2016

8

11/26/201615

jačina ELEKTRIČNOG POLJA

Gibanje naboja pod djelovanjem sile je rad:A= F . l

W=U . I . t =U . Q,

A=W ⇒ F . l= U . Q, ⇒ F= Q

,. U/l

U/l=E - jačina električnog polja ⇒ F= Q,

. E

E = F/Q

Jedinica - E = U/l (V/m)

11/26/201616

Primjenom jednadžbi E=U/l i Q = C .U, uz C = ε0. S/l, izlazi:

Gustoća naboja na pločamakondenzatora:

11/26/2016

9

11/26/201617

SILNICE ELEKTRIČNOG POLJA

Prema Faradayu električno poljese može predočiti pomoću

silnica polja, a to su zamišljenelinije koje koje karakteriziraju

vektor jačinai polja E.

Idealizirana slika silnica el. Poljapločastog kondenzatora

11/26/201618

Sile električnog polja na električne naboje.Električna influencija.

Kao što sila djeluje na elementarne el. naboje u el. polju,tako će djelovati i na elementarne čestice materijala koji

se nalazi u električnom polju.Različito će sila djelovati na električki vodljive materijale,

nego na izolatore.

Vodiči ⇒ električna influencijaGustoća influenciranog naboja - Q’/S’

Izolatori ⇒ polarizacija

11/26/2016

10

11/26/201619

11/26/201620

Ako kod izolatora jačina električnog polja preraste unutarnju električnusilu, elektroni se odvajaju od jezgre, izolator postaje vodljiv, odnosno

došlo je do proboja izolatora.

11/26/2016

11

11/26/201621

Vektor gustoće električnog pomaka

Učinak influencije ovisi o kutu polja E i površine materijala,pa gustoća influenciranog naboja ima vektorski karakter - D.

D - vektor gustoće električnog pomaka.

D =Q’/S’

D = ε0. E

Qi = D . S = ε0. E . S

11/26/201622

Električni potencijalNaboj +Q’ pomaknut u homogenom električnom polju

za udaljenost z prema pozitivnoj ploči, zbog suprotnogdjelovanja sile F potrošio je rad:

A’=F .z = Q’ .U/l .zAko je naboj u položaju z0 imao energiju A0, onda u

položaju z vrijedi:

A = A0 + Q’ .U/l .z /: +Q’

A/Q’ = A0 /Q’ + U/l .zElektrični potencijal homogenog električnog polja:

ϕ = U/l .z + ϕ 0

11/26/2016

12

11/26/201623

∆ϕ =ϕ - ϕ 0 = U/l .z

Ekvipotencijalne ravnine

11/26/201624

Napon - razlika električnih potencijala

U = ϕ 1- ϕ 0UAB = ϕ A- ϕ B

11/26/2016

13

Potencijal električnog polja

Skalar koji opisuje električno polje Govori o energiji koju imaju čestice u polju

Potencijal električnog polja čestice naelektrisanja Q

Potencijal električnog polja

Grafički se opisuje ekvipotencijalnim linijama Linije koje spajaju tačke jednakog potencijala Normalne na linije sila Gustina govori o jačini polja

Ekvipotecijalne linije naelektrisanih čestica

11/26/2016

14

Napon električnog polja

Govori o radu koji može da izvrši električno polje

U12

1 2

U

1 2

+ U

1 2

11/26/201628

NEHOMOGENO ELEKTRIČNO POLJEElektrično polje u kojem se jakost polja E mijenja od

točke do točke naziva se nehomogeno električno polje.

Sve do sada izvedene zakonitosti za homogeno polje vrijedei za nehomogeno, ali se mijenjaju prostorno - pa je potrebno

u nehomogenom polju izdvojiti infitezimalno mali dio, zakoji se može tvrditi da u njemu vladaju prilike homogenog

polja.

11/26/2016

15

11/26/201629

Kuglastikondenzator

U = ϕ 1- ϕ 2

11/26/201630

Jednadžba:

postaje: ⇒

⇒ ⇒

11/26/2016

16

11/26/201631

Kapacitet osamljene kugle

Kapacitet kuglastog kondenzatora radijusa R:

11/26/201632

Jakost električnog polja kuglastogkondenzatora

Električno polje točkastog naboja

11/26/2016

17

Fluks električnog polja

Fluks = protok grafički: broj linija sila koje prolaze kroz neku površinu matematički:

Fluks električnog polja

Gausov zakon Određuje fluks električnog polja kroz zatvorenu površinu Fluks je pozitivan ako linije izlaze iz zatvorene površine, a negativan

ako linije ulaze u nju Fluks električnog polja kroz neku zatvorenu površinu proporcionalan je

količini naelektrisanja zatvorenoj u njoj

Fluks kroz zatvorenu površinu ne zavisi od oblika površine Ako u zatvorenoj površini nema naelektrisanja, fluks kroz nju je jednak

nuli

11/26/2016

18

Cirkulacija električnog polja

Cirkulacija = kruženje grafički: usaglašenost linija polja i izabrane linije matematički:

Cirkulacija elektrostatičkog polja

Cirkulacija po nekoj liniji proporcionalna je radu koji elektrostatičkopolje izvrši pri kretanju naelektrisanja po toj putanji

Napon je cirkulacija električnog polja po nekoj putanji između dvetačke

Cirkulacija elektrostatičkog polja po bilo kojoj liniji koja spaja dvetačke je jednaka

Zakon konzervacije elektrostatičkog polja:

Cirkulacija električnog poljapo bilo kojoj zatvorenojputanji je jednaka nuli

11/26/2016

19

11/26/201637

ENERGIJA ELEKTROSTATSKOGPOLJA

•PRIKLJUČAK KONDENZATORA NA ISTOSMJERNI NAPON

•ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA

•SILE U ELEKTRIČNOM POLJU PLOČASTOG KONDENZATORA

•ODNOS ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE PRI NABIJANJUKONDENZATORA

Predavanje br. 13

11/26/201638

Budući da na naboje u električnom polju djelujemehanička sila F, očito je da električno polje posjeduje odeđenu

količinu energije⇒ ELEKTRIČNA ENERGIJA

11/26/2016

20

11/26/201639

PRIKLJUČAK KONDENZATORA NA ISTOSMJERNI NAPON

Na izvor istosmjernog napona Usklopkom se uključuje kondenzator

C, uz otpor strujnog kruga R.

PRIJELAZNA POJAVA

u

11/26/201640

Uvid u strujne i naponske prilike omogućuje nam primjenadrugog Kirchhoffovog zakona:

Σ napona = Σ i . R

U - u = i . R

11/26/2016

21

11/26/201641

Uz:

Naponska jednačina glasi:

Ili:

11/26/201642

Iz naponske diferencijalne jednadžbe koja prikazuje ovisnost napona nakondenzatoru o vremenu, pa se može odrediti u = f (t), a zatim i q (t), i (t).

Konstanta RC, ima dimenziju vremena:(RC) = Ω As/V = s

pa se naziva vremenska konstanta ⇒ τ = R . C

11/26/2016

22

11/26/201643

Naponska jednačina sada ima oblik:

Integriranjem kojega se dobije:

Odnosno u eksponencijalnom obliku:

11/26/201644

Konačno slijedi:

Kao i za ostale veličine:

11/26/2016

23

11/26/201645

Sve promjenljive veličine prikazanog strujnog kruga mijenjaju se poeksponencijalnom zakonu.

11/26/201646

Kada bi se kondenzator nabijen na napon U ispraznio preko otpora R, napon istruja se mijenjaju kao:

Smjer struje pražnjenja suprotan je smjerustruje nabijanja

11/26/2016

24

11/26/201647

ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA

Cilj: Izračunati energiju nabijenog kondenzatora.

Opća formula za energiju: W = U . I . t = U . Q

Naponska jednačina: U = I .R + u

i . dt = dq

U = I .R + u / i . dt

U . i . dt = i2 . R . dt + q/C . dq

W izv = i2 . R . dt + 1/C . q. dqEnergija izvora:

11/26/201648

Ukupna energija dobit će se integriranjem u granicama,za t, od 0 do ∞, i za q, od 0 do Q.

11/26/2016

25

11/26/201649

Električna energija nabijenog kondenzatora je:

11/26/201650

Prostorna gustoća električne energije, odnosno količinaenergije po jedinici volumena, w, je:

Uz supstituciju, D = εE :

11/26/2016

26

11/26/201651

SILE U ELEKTRIČNOM POLJU PLOČASTOG KONDENZATORA

Ako se pozitivna ploča pomakne zadl, sila F izvrši rad: dA = Fdl, čime jepotrošena energija el. polja sadržana

u volumenu dV = Sdl

11/26/201652

⇒ sila za cijelu ploču:

11/26/2016

27

11/26/201653

Sila na jedinicu površine, ili električni tlak:

11/26/201654

ODNOS ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE PRINABIJANJU KONDENZATORA

Iz energetske jednadžbe nabijanja kondenzatora

slijedi:⇒

11/26/2016

28

11/26/201655

ZADATAK

Tri nenabijena kondenzatora kapaciteta C1= 10 µF, C2= 6 µF i C3= 4 µF, spojenasu u kombinaciju prema slici a) i priključena na izvor napona U = 100 V.

Nakon toga kondenzator C3 se odspaja, preokreće i uz očuvan naboj ponovnopriključuje paralelno kondenzatoru, kao na slici b).

Koliku promjenu napona na C1 uzrokuje takav postupak?

11/26/201656

11/26/2016

29

Naelektrisanje tela

Naelektrisanje tela Suma naelektrisanja svih čestica Ako postoji višak naelektrisanja jedne vrste kažemo da je telo

naelektrisano

Naelektrisavanje Dodirom Trenjem Influencijom

Električni materijali

Provodnici i izolatori Provodnici: naelektrisanje se po njima kreće i raspoređuje po

celoj površini Izolatori: naelektrisanje ostaje na mestu gde je nastalo

Provodnici su materijali koji sadrže pokretnanaelektrisanja metali (elektroni) elektroliti - tečni rastvori soli (pozitivni i negativni joni soli) jonizovani gasovi (elektroni i pozitivni joni)

Izolatori su materijali koji ne sadrže pokretnanaelektrisanja

Poluprovodnici – izolatori u kojima pod određenimuslovima nastaju pokretna naelektrisanja

11/26/2016

30

Provodnici

Naelektrisanje na provodniku Naelektrisanja istog znaka se međusobno odbijaju Ukoliko mogu da se kreću, raspoređuju se što dalje mogu

Naelektrisanje se raspoređuju po površini provodnika

Idealni provodnik se ne suprotstavlja kretanju naelektrisanja Raspoređivanje se vrši dok se ne postigne ravnoteža U ravnoteži je sila na svako naelektrisanje jednaka nuli, a

energija svih naelektrisanja je jednaka

Potencijal svih tačaka idealnog provodnika je isti

Provodnici

Potencijal svih tačaka idealnog provodnika je isti vrapčevo pravilo: napon između dve tačke idealnog provodnika

je jednak nuli

Dve tačke spojene provodnikom imaju jednak potencijal “Kratki spoj” “kurz schluss” Uzemljenje

V=0

V=0

11/26/2016

31

Provodnici Kapacitivnost provodnika

Koliki je potencijal provodnika?

Što više naelektrisanja na provodniku, veće je odbijanje Što veće odbijanje, veća je energija koju naelektrisanja imaju Što je veća energija, veći je potencijal provodnika

Kapacitivnost pokazuje u kojoj meri provodnik “podnosi”naelektrisanje

Provodnici Raspored naelektrisanja na provodniku Naelektrisanja se lakše razdvajaju na ispupčenjima nego

na ravnim delovima jer su tada pri istim gustinamameđusobno dalja

Posebno se nakupljaju na šiljcima “efekat šiljka”

Za namerno, kontrolisano izazivanje varničenja radi ukljanjanjanaelektrisanja Gromobrani “Češljevi” za naelektrisanje

11/26/2016

32

Provodnici

Provodnik u spoljašnjem električnom polju ekranizacija spoljašnjeg polja

Elektrostatičko polje ne prodire u unutrašnjost provodnika

Unutrašnje polje u provodniku poništava spoljašnje polje Faradejev kavez

Metalna konstrukcija koja služi zaštiti od spoljašnjegelektričnog polja

Izolatori

Izolator u spoljašnjem električnom polju slabljenje električnog polja

proboj izolatora dielektrična čvrstoća materijala vazduh Ekr oko 3MV/m

11/26/2016

33

Indukcija električnog polja

Gausov zakon ne može da se primeni u materijalnojsredini jer postoje i indukovana naelektrisanja

pojam indukcije električnog polja definicija indukcije električnog polja diskusija

linije sila jačine električnog polja u materijalu linije sila indukcije električnog polja u materijalu

Generalisani Gausov zakon

11/26/2016

1

Kondenzatori

Elektrotehničke opruge

Pojam kondenzatora Sistem

elektrotehnički element dva provodnika naelektrisani jednakim količinama naelektrisanja suprotnog

znaka između kojih se nalazi izolator

+Q -Q

11/26/2016

2

Namena i svrha kondenzatora Prikupljanje naelektrisanja Prikupljanje potencijalne energije električnog polja “Električna opruga”

mirovanje i potencijalna energija

kretanje i kinetička energija

Kapacitivnost kondenzatora Opisuje koliko kondenzator “podnosi” naelektrisanje

Nije isto (mada je slično) što i kapacitivnost provodnika Kapacitivnost kondenzatora je mnogo veća nego kap. provodnika

11/26/2016

3

Energija kondenzatora Rad koji treba uložiti da bi se kondenzator “napunio” (“nabio”)

naelektrisanjem To je potencijalna energija Ako se ploče kondenzatora spoje žicom, naelektrisanja će kroz žicu

“poleteti” jedna drugima u susret, pretvoriće se potencijalna energijau kinetičku

Konstrukcija kondenzatora Ravni kondenzator

d

11/26/2016

4

Konstrukcija kondenzatora Sferni kondenzator

Konstrukcija kondenzatora Cilindrični kondenzator

11/26/2016

5

Vezivanje kondenzatora Kondenzatori se povezuju

Namerno Nenamerno

Načini povezivanja Paralelno Redno Kombinovano

Povezivanje kondenzatoraParalelna veza Dva električna elementa su paralelno povezana ako su naponi na

njima jednaki

Oba kraja paralelno vezanih električnih elemenata su neposrednopovezana

11/26/2016

6

Povezivanje kondenzatora Česte (smrtonosne) greške

Paralelno nacrtani ne znači paralelno vezani

JESU PARALELO VEZANI NISU PARALELO VEZANI

Povezivanje kondenzatoraParalelna veza Povezani kondenzatori se mogu zameniti kondenzatorom ekvivalentne

kapacitivnosti

11/26/2016

7

Povezivanje kondenzatoraParalelna veza Slučaj paralelnog povezivanja većeg broja kondenzatora

Paraleno povezivanje povećava kapacitivnost sistema u odnosu nakapacitivnost komponenti

Povezivanje kondenzatoraRedna veza Dva električna elementa su redno povezana ako su količine

naelektrisanja koje kroz njih protiču jednake

Samo po jedan kraj redno vezanih električnih elemenata jeneposredno povezan

JESU REDNO VEZANI

11/26/2016

8

Povezivanje kondenzatoraRedna veza Povezani kondenzatori se mogu zameniti kondenzatorom ekvivalentne

kapacitivnosti

Povezivanje kondenzatoraRedna veza Slučaj rednog povezivanja većeg broja kondenzatora

Redno povezivanje smanjuje kapacitivnost sistema u odnosu nakapacitivnost komponenti

11/26/2016

1

ELEKTROSTATIKAVEŽBE

1. ZADATAKTri tačkasta opterećenja Q1 ,Q2 i Q3 nalaze se u temenimajednakostraničnog trougla stranice , kao na sl.1. Odreditivektor Kulonove sile na naelektrisanje . Sistem se nalazi uvakuumu. Numerički podaci:

11/26/2016

2

2. ZADATAKDva tačkasta naelektrisanja Q1 i Q2 nalaze se na međusobnom rastojanju d, u

vakuumu. Izračunati električno polje u tački A, koja se nalazi na rastojanju r1 odnaelektrisanja Q1 i r2 od naelektrisanja Q2 . Numerički podaci:

11/26/2016

3

3. ZADATAK1. Četiri tačkasta naelektrisanja iste vrednosti QA=QB=QC=QD=Q raspoređena su

u temenima A, B, C i D kvadrata stranice , kao na slici. Sistem se nalazi uvakuumu. Odrediti:

• potencijal u tački E (presek dijagonala kvadrata) i u tački F (sredina jedne odstranica kvadrata), u odnosu na referentnu tačku u beskonačnosti.

• potencijalnu razliku između tačaka E i F.Numerički podaci:

Rešenje:

a) Potencijal u tački E

11/26/2016

4

Tražena razlika potencijala je

4. ZADATAKRavan vazdušni kondenzator priključen je na izvor jednosmernog napona U.Površina elektroda je S, a razmak između ploča d. Odrediti: a) kapacitivnostkondenzatora; b) količinu elektriciteta na oblogama kondenzatora; c) privlačnusilu između obloga kondenzatora; e) energiju kondenzatora. Poznato je:

a)

b)

c)

d)

11/26/2016

5

5. ZADATAKOdrediti ekvivalentne kapacitivnosti za veze kondenzatora prikazane šemama

na slikama:

a) b)

c) d)

6. ZADATAK

Ravan vazdušni kondenzator kapacitivnostipovršine jedne elektrode priključen je na napon

a) Odrediti količinu elektriciteta, površinsko naelektrisanje, električno polje ienergiju kondenzatora.b) Ako se u kondenzator ubaci dielektrik relativne dielektrične konstantea napon je i dalje priključen, odrediti koliko će se promeniti kapacitivnost,količina elektriciteta, električno polje i energija u odnosu na veličine pod a).Poznato je:

a) b)

11/26/2016

6

7. ZADATAKTri kondenzatora poznatih kapacitivnosti, priključena su na izvor napona U ipovezana kao na slici.

Odrediti:a) količine elektriciteta, b) napone i c) energije svih kondenzatora;

Poznato je:

11/26/2016

1

Stranica:I-1

Elektrostatika Coulombov zakon. Homogeno i nehomogeno električno polje. Električno polje nabijene beskonačne ravnine. Električno polje točkastog naboja. Električno polje vrlo dugog ravnog vodiča. Električno polje nabijene kugle. Električno polje nabijenog valjka.

Početna stranica

Stranica:I-2

1. zadatakDva točkasta naboja istog predznaka nalaze se u zraku na udaljenosti rjedan od drugoga. Odrediti iznos, smjer i orijentaciju djelovanja sileizmeđu naboja.

Q1 = 85 [µC] Q2 = 16.6 [nC] r = 6.5 [cm]

11/26/2016

2

Početna stranica

Stranica:I-3

Dva točkasta naboja, istog predznaka, djeluju jedan nadrugoga odbojnom električnom silom i to:

• Naboj Q1 djeluje na naboj Q2 odbojnom silom F12.

• Naboj Q2 djeluje na naboj Q1 odbojnom silom F21.

Uvodni pojmovi

Dva točkasta naboja različitog predznaka, djeluju jedanna drugoga privlačnom električnom silom i to:

• Naboj Q1 djeluje na naboj Q2 privlačnom silom F12.

• Naboj Q2 djeluje na naboj Q1 privlačnom silom F21.

F12F21

F12F21

Početna stranica

Stranica:I-4

Po iznosu sile F12 i F21 su jednake po iznosu:

Električna sila je veličina koja je predstavljana vektoromkoji ima svoj iznos, smjer i orijentaciju.

• - dielektrična konstanta medija u kojem se problem promatra. = 0· r ; 0 je tzv. apsolutna dielektrična konstanta (vrijednost8.854×10-12 [As/Vm]) i predstavlja dielektričnost vakuuma, dok rpredstavlja relativnu dielektričnu konstantu koja ovisi o samommediju (za vakuum r =1).

• r - udaljenost između naboja Q1 i Q2

11/26/2016

3

Početna stranica

Stranica:I-5

Naboji su istog predznaka tako da su sile odbojne:

Po iznosu sile su jednake i iznose:

Rješenje zadatka

F21 F12

Početna stranica

Stranica:I-6

2. zadatakPozitivni točkasti naboj Q1 i negativni točkasti naboj Q2 nalaze se odpozitivnog točkastog naboja Q0 na udaljenosti r1 = r2. Njihov međusobnipoložaj prikazan je na slici. Odredite iznos rezultantne sile na naboj Q0te skicirajte vektorski dijagram sila za taj naboj.

Q1 = 10-6 [C] Q2 = - 2⋅10-6 [C] Q0 = 10-6 [C] r1 = r2 = 3 [cm]

11/26/2016

4

Početna stranica

Stranica:I-7

Ako na točkasti naboj djeluje više naboja tada se zaizračunavanje ukupne sile primjenjuje principsuperpozicije.

Princip superpozicije kaže da je rezultatno djelovanje svihnaboja jednako zbroju doprinosa pojedinih naboja.

Uvodni pojmovi

Ukupna sila na naboj Q0 jednaka je vektorskom zbrojusvih sila koje djeluju na naboj Q0:

Početna stranica

Stranica:I-8

Na naboj Q0 djeluju dva naboja, Q1 i Q2. Naboj Q1 djelujeodbojnom silom F10:

Rješenje zadatka

Naboj Q2 djeluje privlačnom silom F20.

Rezultantna sila jednaka je vektorskom zbroju sila F10 iF20.

F10

F20Frez

α

11/26/2016

5

Početna stranica

Stranica:I-9

Budući da su vektori sila F10 i F20 međusobno okomitivrijedi:

Iznos sila F10 i F20:

Iznos rezultantne sile Frez:

Budući da je sila vektor njen smjer i orijentacija seodređuje iz pravokutnog trokuta, odnosno:

Početna stranica

Stranica:I-10

3. zadatakTri mala tijela, električnih naboja Q1 = + 4⋅10-11 [C], nepoznati električninaboj Q2 i Q3 = +10-11 [C], zauzimaju u vakuumu položaj kao što jeprikazano na slici. Odredite položaj i električni naboj Q2 tako da se svatijela pod djelovanjem Coulomb-ovih sila nalaze u mirovanju. Zadano:

r13 = 5 [cm]

11/26/2016

6

Početna stranica

Stranica:I-11

Da bi električni naboj bio u mirovanju ukupna električnasila koja na njega djeluje mora biti jednaka 0.

Rješenje zadatka

Pretpostavimo predznak naboja Q2 > 0.

Iz slike je vidljivo da se uvjet mirovanja može ispuniti zanaboj Q2, ali uz pozitivan naboj Q2 naboji Q1 i Q3 neće bitiu mirovanju. Zbog toga naboj Q2 mora biti negativan.

Početna stranica

Stranica:I-12

Uvjeti mirovanja:

odnosno:

11/26/2016

7

Početna stranica

Stranica:I-13

Rješenjem ovog sustava jednadžbi kao rješenja dobije se:

Budući da znamo da je naboj Q2 negativan, vrijedi:

Početna stranica

Stranica:I-14

4. zadatakU točke A i B nekog već formiranog polja unešeni su naboji Q1 i Q2. Pritome je na naboj Q1 opažena sila FA1 u smjeru jediničnog vektora x1,dok je na naboj Q2 opažena sila FB2, u smjeru jediničnog vektora x2(kao na slici). Ako naboji Q1 i Q2 zamijene mjesta u prostoru (Q1 dođe utočku B, a Q2 u točku A), odredite iznose i smjerove sila na njih.Međusobno djelovanje naboja Q1 i Q2 i obrnuto zanemarujemo.

Q1 = -2 [µC] Q2 = 5 [µC] FA1 = 0.04 [N], u smjeru vektora x1

FB2 = 0.05 [N], u smjeru vektora x2

11/26/2016

8

Početna stranica

Stranica:I-15

Ako se točkasti naboj stavi u prostor u kojem djelujeelektrično polje, na naboj će djelovati električna sila. Vezaizmeđu vektora električnog polja i električne sile je:

Rješenje zadatka

U zadatku iz poznatih vektora sila na naboje Q1 i Q2 moguse odrediti vektori električnog polja u točkama A i B.

Kod pozitivnog naboja vektor sile i polja su u istomsmjeru, a kod negativnog naboja vektor sile i polja su usuprotnom smjeru:

EA EB

Početna stranica

Stranica:I-16

Formirano električno polje u točkama A i B ima smjerprema slici:

Zapisano pomoću vektora smjera:

EA

EB

Nakon što naboji zamijene mjesta, na njih djeluju sile :

11/26/2016

9

Početna stranica

Stranica:I-17

Vektori sila na naboje u točkama A i B:

Iz slike je vidljivo da je sila na negativan naboj Q1suprotnog smjera od polja u točki B, a na pozitivan nabojQ2 istog smjera kao i polje u točki A.

FA2

FB1

Početna stranica

Stranica:I-18

5. zadatakIspred ravnine nabijene nabojem plošne gustoće σ nalazi se naudaljenosti, a negativan točkasti naboj Q. Odredite izraz za vektorjakosti električnog polja E (koordinatne osi zadane prema slici) kojeravnina i točkasti naboj stvaraju u točki T, a također odredite i iznospolja E. Zadano:

σ = + 2 [nAs/m2] Q = - 4⋅π [nAs] a = 1 [m]

11/26/2016

10

Početna stranica

Stranica:I-19

HOMOGENO ELEKTRIČNO POLJE je polje koje u svimtočkama prostora ima jednak iznos i smjer (primjer;ravnomjerno nabijena beskonačna ravnina).

Uvodni pojmovi

NEHOMOGENO ELEKTRIČNO POLJE je polje koje usvim točkama prostora ima različit iznos i/ili smjer (primjer;točkasti naboj, kugla, valjak, itd.).

Gauss-ov teorem:

Primjena Gauss-ovog teorema za izračunavanje el. poljatočkastog naboja:

Početna stranica

Stranica:I-20

Primjeri homogenog električnog poljaBeskonačna ravnina nabijena plošnim nabojem σ. U okolini pozitivno nabijene ravnine polje izgleda kao na

slici: Po iznosu polje je:

Funkcija ovisnosti polja o udaljenosti od ravnine izgledakao na slici:

11/26/2016

11

Početna stranica

Stranica:I-21

Dvije suprotno nabijene paralelne ravnine Za ovaj slučaj polje izgleda kao:

Po iznosu polje između dvijeravnine je,

Funkcija ovisnosti polja o udaljenosti od pozitivnonabijene ravnine izgleda kao na slici:

dok izvan nema polja.

Početna stranica

Stranica:I-22

Primjeri nehomogenog električnog poljaTočkasti naboj U okolini pozitivno nabijenog točkastog naboja električno

polje za označene točke ima prikazane smjerove: Električno polje ovisi o

udaljenosti od točkastognaboja:

Za prikazano polje točkastognaboja vrijedi:

• r - udaljenost od naboja Q dopromatrane točke.

11/26/2016

12

Početna stranica

Stranica:I-23

Vrlo dugi ravni vodič nabijen linijskim nabojem λ

U okolini pozitivno nabijenog ravnog vodiča električnopolje za označene točke ima prikazane smjerove:

Električno polje ovisi oudaljenosti od vodiča

Za prikazano polje ravnogvodiča:

• r - udaljenost od vodiča dopromatrane točke.

Početna stranica

Stranica:I-24

Pozitivno nabijena kugla U okolini pozitivno nabijene kugle polumjera R električno

polje za označene točke ima prikazane smjerove :

Unutar kugle nema polja, aizvan se mijenja po zakonu:

Za prikazano polje kuglevrijedi:

• r - udaljenost od središta kugle

11/26/2016

13

Početna stranica

Stranica:I-25

Pozitivno nabijeni valjak

U okolini pozitivno nabijenog valjka polumjera R električnopolje za označene točke ima prikazane smjerove:

Unutar valjka nema polja, aizvan se mijenja po zakonu:

Za prikazano polje valjka :

• r - udaljenost od središta valjka

Početna stranica

Stranica:I-26

Polje u točki T stvaraju dva nabijena tijela, pozitivnonabijena ravnina i negativni točkasti naboj.

Polje je u smjeru osi x i iznosi:

Rješenje zadatka

Ukupno polje određuje se metodom superpozicije:

Pozitivna nabijena ravnina stvara polje u točki T:

Za svako pojedinačno tijelo određuje se njegov doprinos(polje koje bi stvorilo bez drugih nabijenih tijela u blizini).

Ukupno polje jednako je vektorskoj sumi pojedinih polja.

11/26/2016

14

Početna stranica

Stranica:I-27

Negativno nabijeni točkasti naboj stvara polje u točki T:

Polje je u smjeru osi -y i iznosi:

Ukupno polje jednako je vektorskom zbroju polja:

Početna stranica

Stranica:I-28

Uvrstivši vrijednosti za pojedina polja dobiva se ukupnopolje u točki T:

Iznos vektora polja određuje se kao:

Na drugi način zapisan vektor polja:

11/26/2016

15

Početna stranica

Stranica:I-29

6. zadatakDva duga ravna vodiča, polumjera r0 zanemarivo malog u odnosu nanjihov međusobni razmak, nabijena su linijskim nabojima λ1 i λ2,predznaka prikazanih na slici. Ako se u točku A postavi negativantočkasti naboj Q, odredite silu koja djeluje na taj naboj. Zadano:

λ1 = + 2 [nAs/m] λ2 = - 4 [nAs/m] Q = - 4 [pAs] d = 1 [m] d1 = 0.25 [m]

Početna stranica

Stranica:I-30

Na naboj Q djeluje el. polje koje stvaraju dva vodiča.

Rješenje zadatka

Električno polje EA određuje se metodom superpozicije.

Lijevi vodič stvara el. polje E1, a desni vodič el. polje E2:

Ukupno el. polje u točki A, EA:

E1

E2

11/26/2016

16

Početna stranica

Stranica:I-31

Ukupno polje najlakše je odrediti ako oba vektora poljaprikažemo pomoću jediničnih vektora:

Kuteve α i β određujemo iz slike:

Ukupno el. polje u točki A, EA:

Početna stranica

Stranica:I-32

Ako se uvrste poznate vrijednosti dobije se:

11/26/2016

17

Početna stranica

Stranica:I-33

Sila na negativan naboj Q u točki A onda ima smjer kaona slici:

Vektor sile je:

EA

FA

Početna stranica

Stranica:I-34

7. zadatakTočkasti naboj nalazi se u središtu šuplje metalne nenabijene kuglevanjskog polumjera R2 i unutrašnjeg polumjera R1. Odredite el. polje utočkama A i B za sljedeće slučajeve:

točkasti naboj Q u središtu nenabijene kugle kugla nabijena nabojem Q bez točkastog naboja u središtu točkasti naboj Q u središtu kugle nabijene nabojem Q točkasti naboj Q u središtu kugle nabijene nabojem Q istog

iznosa, ali suprotnog predznaka

Zadano: Q = + 9 [nAs] R1 = 14 [mm] R2 = 17 [mm] rA = 1 [cm] rB = 2 [cm]

11/26/2016

18

Početna stranica

Stranica:I-35

Prvi slučaj: točkasti naboj Q u središtu nenabijene kugle.

Rješenje zadatka

U točki A (unutar šuplje kugle)el. polje stvara točkasti naboj.

Pod utjecajem el. polja koje stvara točkasti naboj dolazido influencije naboja na kugli (-Q na unutarnjoj plohi kuglei +Q na vanjskoj plohi kugle).

El. polje u točki B onda iznosi:

Početna stranica

Stranica:I-36

Drugi slučaj: nabijena kugla bez točkastog naboja u središtu

Unutar kugle nema nabojatako da nema ni polja u točkiA:

El. polje u točki B stvara nabijena kugla:

11/26/2016

19

Početna stranica

Stranica:I-37

Treći slučaj: točkasti naboj Q u središtu nabijene kugle (Q)

Unutar kugle el. polje stvaratočkasti naboj Q:

Pod utjecajem el. polja koje stvara točkasti naboj dolazido influencije naboja na kugli (-Q na unutarnjoj plohi kuglei +Q na vanjskoj plohi kugle).

El. polje u točki B onda iznosi:

Početna stranica

Stranica:I-38

Četvrti slučaj: točkasti naboj Q u središtu nabijene kugle (-Q)

Unutar kugle el. polje stvaratočkasti naboj Q:

Pod utjecajem el. polja koje stvara točkasti naboj dolazido influencije naboja na kugli (-Q na unutarnjoj plohi kuglei +Q na vanjskoj plohi kugle).

El. polje u točki B onda iznosi:

11/26/2016

1

Stranica:II- 1

Elektrostatika Veza električnog polja i potencijala. Električni potencijal. Potencijalna energija. Rad. Zakon o očuvanju energije.

Početna stranica

Stranica:II- 2

1. zadatakNa slici su prikazane ekvipotencijalne plohe nekog elektrostatskogpolja. Odredite u kakvom su odnosu iznosi sila FA i FB koje djeluju napozitivan točkasti naboj. Također, odredite smjerove vektora sila FA i FB.

11/26/2016

2

Početna stranica

Stranica:II- 3

Svakoj točki prostora u kojoj postoji električno polje možese pridijeliti skalarna veličina - električni potencijal. Pritome je el. potencijal funkcija el. polja:

Uvodni pojmovi

Potencijal promatrane točke:

Ako se el. polje mijenja samo u smjeru osi x, onda vrijedi:

Potencijal neke točke se definira u odnosu na referentnutočku za koju vrijedi:

Početna stranica

Stranica:II- 4

Ovisnost polja o potencijalu:

Uvodni pojmovi

Smjer porasta električnogpotencijala suprotan jesmjeru vektora električnogpolja.

Polje električnog potencijala prikazuje se ekvipoten-cijalnim plohama (plohama istog potencijala).

Iznos električnog polja jejednak brzini promjeneelektričnog potencijala.

El. polje se također može prikazati kao funkcijapotencijala:

11/26/2016

3

Početna stranica

Stranica:II- 5

Da bi se odredio smjer sile na naboj q potrebno je prvoodrediti smjer električnog polja.

Rješenje zadatka

Smjer električnog polja je suprotan od smjera porastapotencijala tako da za prikazano elektrostatsko poljevektori polja u točkama A i B su sljedeći:

EB EA

Kako se radi o silama na pozitivan naboj i smjerovi sila utočkama A i B su istog smjera kao i vektori polja.

Početna stranica

Stranica:II- 6

Iznosi polja su proporcionalni brzini promjene potencijala.Za prikazano polje vrijedi:

Kako je sila proporcionalna polju vrijedi:

11/26/2016

4

Početna stranica

Stranica:II- 7

2. zadatakNacrtajte funkciju promjene potencijala između dvije raznoimenonabijene ravnine uz različito definirane referentne točke:

a) xref = 0b) xref = d/2c) xref = d

Početna stranica

Stranica:II- 8

Polje između dvije ravnine je homogeno:

Rješenje zadatka

Potencijal bilo koje točke izmeđudvije ravnine je:

za xref = 0:

za xref = d/2:

za xref = d:

11/26/2016

5

Početna stranica

Stranica:II- 9

3. zadatakTočkasti naboj Q nalazi se u točki C. Položaj dviju točaka A i B prikazanje na slici. Odredite napon UAB. Ukoliko se točka A nalazi na potencijaluϕA odredite točku na x osi u kojoj će potencijal imati vrijednost 0 [V].Zadano:

Q = 27.82·√2 ·10-9 [As] ϕA = - 46 [V] a = 1 [m] b = 3 [m] h = 2 [m] ε = ε0

Početna stranica

Stranica:II- 10

Polje potencijala u nekom prostoru može se odrediti nadva načina:

Uvodni pojmovi

1 Najprije se na osnovu zadane raspodjele naboja odredielektrično polje ( na osnovu poznatih postupaka dosadarazmatranih) u prostoru. Zatim se uz zgodno* odabranureferentnu točku polje potencijala traži po definiciji:

2 Zadana raspodjela naboja promatra se kao skup točkastihnaboja ("model točkastog naboja"). Ukupan potencijal nalazise superpozicijom, skalarni doprinosi (sumom ili integralom),doprinosa tih elementarnih naboja. Osim modela točkastognaboja, nekada se mogu koristiti i drugi modeli čijepotencijale znamo ili smo ih prethodno izračunali (nabijeništap, prsten, ploča).

* različitim izborom referentne točke dobit ćemo različite iznosepotencijala, ali će razlike potencijala uvijek biti jednake za bilokoje dvije točke prostora.

11/26/2016

6

Početna stranica

Stranica:II- 11

Polje potencijala u okolini točkastog naboja može seodrediti na sljedeći način:

Uvodni pojmovi

Za definiranu referentnu točku u beskonačnosti vrijedi:

Napon između dviju točaka u polju točkastog naboja:

Početna stranica

Stranica:II- 12

Potencijal točka A i B može se izračunati kao:

Rješenje zadatka

Napon UAB je onda:

11/26/2016

7

Početna stranica

Stranica:II- 13

Iznos napona UAB:

Napon se može odrediti bez određivanja referentne točke,jer je razlika potencijala između dvije točke u prostoruneovisna o odabranoj referentnoj točki.

Iz poznatog potencijala točke A može se odreditiudaljenost ekvipotencijalne plohe referentnog potencijalau zadatku:

Na osi x to je točka:

Početna stranica

Stranica:II- 14

4. zadatakOdredite rad prilikom pomicanja pokusnog točkastog naboja Q0 iz točkeA u točku B. Točke A i B predstavljaju vrhove zamišljenog kvadrata kojileži u ravnini okomitoj na dva paralelna i suprotno nabijena ravnavodiča (slika). Zadano:

Q0 = - 4⋅10-12 [As/m] λ =1.77⋅10-8 [As/m] ε = ε0

11/26/2016

8

Početna stranica

Stranica:II- 15

Polje potencijala u okolini nabijenog ravnog vodiča možese odrediti na sljedeći način:

Uvodni pojmovi

Napon između dviju točaka u polju ravnog vodiča:

Početna stranica

Stranica:II- 16

Potencijalna energija točkastog naboja u električnom poljuu točki A:

Uvodni pojmovi

pri čemu je el. polje stvorilo neko drugo nabijeno tijelo (točkastinaboj, ravni vodič, kugla, ploča, itd.).

Rad pri pomicanju točkastog naboja definiran je kao:

Predznak rada: A>0; pomicanje pod utjecajem sile električnog polja =

smanjenje potencijalne energije A<0; pomicanje pod utjecajem vanjske sile = povećanje

potencijalne energije

11/26/2016

9

Početna stranica

Stranica:II- 17

Rad pri pomicanju pokusnog naboja Q0 je:

Rješenje zadatka

Potencijalu u točki A doprinose oba vodiča:

Da bi se odredili potencijalitočaka A i B potrebno jeodrediti referentnu točku.Pretpostavimo da se onanalazi u središtu kvadrata.

Početna stranica

Stranica:II- 18

Potencijal u točki B određuje se na isti način:

Rad pri pomicanju naboja onda iznosi:

gdje nam pozitivan predznak govori o dobivenom radu.

11/26/2016

10

Početna stranica

Stranica:II- 19

5. zadatakZadana su dva točkasta naboja Q na udaljenosti d prema slici. Kolikomora iznositi minimalna brzina elektrona u točki A udaljenoj 2d odspojnice naboja, da bi on mogao stići u točku B (udaljenu d od spojnicenaboja) s druge strane spojnice. Elektron se giba po simetrali spojnice.Zadano:

Q = -10 ⋅10-11 [C] d = 0.1 [m] me = 9.1⋅10-31 [kg] qe = -1.6 ⋅10-19 [C]

Početna stranica

Stranica:II- 20

Funkcija potencijala mijenja se kao štoje prikazano na slici:

Rješenje zadatka Potencijal u nekoj točki na spojnici A-B može se izračunati

kao:

Budući da je r1 = r2 i uz pretpostavljenureferentnu točku u beskonačnosti, zapotencijal vrijedi:

Da bi elektron stigao do točke Bpotrebno je nadvladati potencijalnubarijeru prikazanu na slici.

11/26/2016

11

Početna stranica

Stranica:II- 21

Elektron se od točke 0 do točke B giba pod utjecajemelektričnog polja.

Međutim, da bi elektron stigao do točke 0 na elektron semora djelovati vanjskim utjecajem, odnosno vrijedisljedeće:

Početna stranica

Stranica:II- 22

6. zadatakU metalnoj kuglinoj ljusci (R2, R3) koncentrično se nalazi metalna kuglapolumjera R1 (slika). Kuglina ljuska nabijena je nabojem Q2, a metalnakugla nabojem Q1. Nacrtajte dijagrame funkcije promjene el. polja E(r) ipotencijala ϕ(r) u zavisnosti o udaljenosti r od središta sustava ako je:

1) Q1 = - 2 [nC], Q2 = 0, rref =∞2) Q1 = +2 [nC], Q2 = +2 [nC] , rref =∞3) Q1 = +2 [nC], Q2 = -2 [nC] , rref =∞

Zadano: R1 = 2 [cm] R2 = 4 [cm] R3 = 4.5 [cm]

11/26/2016

12

Početna stranica

Stranica:II- 23

Prvi slučaj: E(r)Rješenje zadatka

Za r<R1:

Zbog el. influencije polje zar>R3 iznosi:

Za R1< r <R2:

Unutar metala nema polja; zaR2< r <R3:

Početna stranica

Stranica:II- 24

Prvi slučaj: ϕ(r)Referentna točka nalazi se ubeskonačnosti:

Za R1< r <R2 :

Za r>R3 :

Za R2< r <R3 potencijal jekonstantan jer u metalu nemapolja:

Za r<R1 potencijal je konstantan:

11/26/2016

13

Početna stranica

Stranica:II- 25

Drugi slučaj: E(r)Za r<R1:

Zbog nabijene vanjske kugle iel. influencije polje za r > R3:

Za R1< r <R2:

Za R2< r <R3:

Početna stranica

Stranica:II- 26

Drugi slučaj: ϕ(r) Referentna točka nalazi se ubeskonačnosti:

Za R1< r <R2 :

Za r>R3 :

Za R2< r <R3 potencijal jekonstantan jer u metalu nemapolja:

Za r<R1 potencijal je konstantan:

11/26/2016

14

Početna stranica

Stranica:II- 27

Treći slučaj: E(r)Za r<R1:

Zbog nabijene vanjske kugle iel. influencije polje za r > R3:

Za R1< r <R2:

Za R2< r <R3:

Početna stranica

Stranica:II- 28

Treći slučaj: ϕ(r) Referentna točka nalazi se ubeskonačnosti:

Za R1< r <R2 :

Budući da izvan sustava nemapolja, za r>R3 :

Za R2< r <R3 potencijal jekonstantan jer u metalu nemapolja:

Za r<R1 potencijal je konstantan:

11/26/2016

1

Stranica:III- 1

Elektrostatika Električno polje na granici dva dielektrika. Pločasti kondenzator. Cilindrični kondenzator. Kuglasti kondenzator.

Početna stranica

Stranica:III- 2

1. zadatakDvije metalne ploče sa zrakom kao izolatorom bile su spojene na izvornapona U, a zatim odspojene od njega. Nakon toga je razmak pločapovećan na dvostruki iznos, a zrak je zamijenjen tinjcem (εr = 6).Odredite što se događa s električnim poljem, naponom između ploča,kapacitetom kondenzatora, nabojem na pločama i energijom ukondenzatoru.

11/26/2016

2

Početna stranica

Stranica:III- 3

Za pločasti kondenzator vrijedi:

Uvodni pojmovi

El. polje je konstantno.

Potencijal je linearna funkcija.

Početna stranica

Stranica:III- 4

Na ploče kondenzatora je bio spojen napon U i ploče suse nabile nabojem Q.

Rješenje zadatka

Nakon toga je kondenzator odspojen, povećan je razmakmeđu pločama i ubačen je dielektrik.

Budući da je kondenzator odspojen od izvora napajanjanakon ubacivanja izolatora vrijedi:

11/26/2016

3

Početna stranica

Stranica:III- 5

Vektor dielektričnog pomaka D:

Energija W:

El. polje E:

Napon U:

Kapacitet C:

Početna stranica

Stranica:III- 6

2. zadatakNa slici su prikazane dvije ploče nabijene nabojem površinske gustoćeσ između kojih se nalaze dva sloja dielektrika uz njih te sloj metala usredini.

a) Skicirajte funkcije jakosti polja E(x) i potencijala ϕ(x).b) Izvedite izraze za funkciju potencijala ϕ(x) za 0 < x < c uz

pretpostavku da su poznati σ, a, b, c te ε1 > ε2 .

11/26/2016

4

Početna stranica

Stranica:III- 7

Pločasti kondenzator s dva dielektrika (serija):

Uvodni pojmovi

Za εr1 < εr2 el. polje i potencijal izgledaju kao na slici:

Početna stranica

Stranica:III- 8

Pločasti kondenzator s dva dielektrika (paralela):

Uvodni pojmovi

El. polje i potencijal izgledaju kao na slici:

11/26/2016

5

Početna stranica

Stranica:III- 9

Prvo određujemo el. polje.

Rješenje zadatka

El. polje u prvom dielektrikuiznosi:

El. polje u metalu:

El. polje u drugom dielektrikuiznosi:

Početna stranica

Stranica:III- 10

El. potencijal određuje se na sljedeći način:

Ref. točka je u ishodištu:

Za 0 < x < a:

Za x = a:

11/26/2016

6

Početna stranica

Stranica:III- 11

Za a < x < b:

Za b < x < c:

Za x = c:

Početna stranica

Stranica:III- 12

3. zadatakPločasti kondenzator sadrži dva sloja dielektrika prema slici. Odreditemaksimalnu vrijednost napona U pri kojem neće doći do proboja, ako jezadano:

E1p = 10 [kV/m] E2p = 20 [kV/m] d1 = 7 [mm] d2 = 3 [mm] εr1 = 5 εr2 = 2

11/26/2016

7

Početna stranica

Stranica:III- 13

Probojno polje označava maksimalno el. polje kod kojeg uodređenom dielektriku neće doći do proboja.

Rješenje zadatka

Ako pretpostavimo da će el. polje u prvom dielektrikuimati svoju maksimalnu vrijednost vrijedi:

Za serijski spojene kondenzatorevrijedi:

Ovaj slučaj ne zadovoljava, jer iako ne dolazi do proboja uprvom dielektriku u drugom dolazi.

Početna stranica

Stranica:III- 14

Uz pretpostavku da je u drugom dielektriku maksimalnopolje vrijedi:

Znači el. polja u prvom i drugom dielektriku iznose:

Maksimalni napon onda iznosi:

11/26/2016

8

Početna stranica

Stranica:III- 15

4. zadatakZa koaksijalni kabel s polietilenskom izolacijom kao na slici (negativanlinijski naboj na unutrašnjem vodiču) potrebno je odrediti:

Zadano: εr = 2.3 λ = 1.15⋅10-8 [As/m] 2 ⋅ R1 = 2.6 [mm] 2 ⋅ R2 = 9.5 [mm] Emax = 30 [MV/m] l = 500 [m]

a) potencijal unutarnjeg vodičab) ako el. polje u polietilenu ne smije prijeći vrijednost od 3⋅107 [V/m]

koliki je maksimalni napon koji se smije priključiti između vodičakabela

c) kapacitet, ako je zadana dužina kabela l

Početna stranica

Stranica:III- 16

Uvodni pojmovi Cilindrični kondenzator s dva dielektrika (serija):

El. polje i potencijal izgledaju kao na slici:

11/26/2016

9

Početna stranica

Stranica:III- 17

Rješenje zadatka

El. polje i potencijal izgledaju kaona slici:

Potencijal se određuje u odnosu naref. točku koja se nalazi na R2:

Potencijal unutarnjeg vodiča:

U kondenzatoru (R1 < r < R2) se el. polje mijenja kao :

Početna stranica

Stranica:III- 18

Maksimalni napon će se postići u slučaju kada el. poljeima maksimalni iznos. Da ne bi došlo do probojadielektrika to max. polje je na mjestu R1:

Maksimalni napon je jednak:

Kapacitet kondenzatora:

11/26/2016

10

Početna stranica

Stranica:III- 19

5. zadatakKuglasti kondenzator s dva sloja dielektrika priključen je na napon Uprema slici. Odredite polumjer granične površine (R2) da bi na oba slojavladao jednak napon. Koliki se najveći napon može priključiti na takavkondenzator a da ne dođe do proboja. Nacrtajte dijagrame promjenepotencijala i iznosa vektora jakosti el. polja u zavisnosti o udaljenosti rod središta kondenzatora, ϕ(r), E(r), s karakterističnim vrijednostimapolja i potencijala za taj slučaj. Zadano:

εr1 = 4 εr2 = 2 R1 = 1 [cm] R3 = 6 [cm] E1P = 200 [kV/m] E2P = 75 [kV/m]

Početna stranica

Stranica:III- 20

Uvodni pojmovi Kuglasti kondenzator s dva dielektrika (serija):

El. polje i potencijal izgledaju kao na slici:

11/26/2016

11

Početna stranica

Stranica:III- 21

Rješenje zadatka Napon na prvom i drugom dielektriku su jednaki:

Maksimalno polje u prvom dielektriku je na mjestu R1, a udrugom na mjestu R2.

Početna stranica

Stranica:III- 22

Pretpostavimo da je u prvom dielektriku el. polje jednakoprobojnom polju:

Uz takvo polje provjeravamo koliko je polje na granici (R2)u drugom dielektriku:

El. polje u prvom dielektriku na granici (R2) iznosi:

Uvrštavanjem poznatih vrijednosti el. polje drugomdielektriku na granici iznosi:

11/26/2016

12

Početna stranica

Stranica:III- 23

Uz maksimalno polje u prvom dielektriku, u drugom bidošlo do proboja.

Ukoliko je pak u drugom dielektriku polje jednakoprobojnom u prvom dielektriku polje iznosi:

Količina naboja na kuglama može se odrediti kao:

Maksimalni napon određuje se:

Početna stranica

Stranica:III- 24

Uvrštenjem poznatih vrijednosti dobijemo maksimalninapon:

Za el. polje znamo sljedeće:

11/26/2016

13

Početna stranica

Stranica:III- 25

Pomoću izračunatih vrijednosti polja mogu se odreditifunkcije promjene el. polja, E(r):

Dijagram promjene jakosti el. polja:

Budući da Q nije zadan,on se može odrediti kao:

Početna stranica

Stranica:III- 26

Dijagram potencijala određujemo uz referentnu točku naudaljenosti R3 (pogledati sliku).

Potencijal u drugom dielektriku, za R2 < r < R3, se mijenjakao:

Potencijal u prvom dielektriku:

11/26/2016

14

Početna stranica

Stranica:III- 27

Potencijal, ϕ(r):

Dijagram promjene potencijala:

11/26/2016

1

Stranica: IV-1

Elektrostatika Spojevi kondenzatora.

Početna stranica

Stranica: IV-2

1. zadatak

C1 = 4 [µF] C2 = 6 [µF] C3 = 2 [µF] U = 1200 [V]

Na kondenzatorsku mrežu na slici priključen je izvor napajanja koji dajeistosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti ekvivalentni(ukupni) kapacitet mreže, napone koji vladaju na pojedinim elementima(kondenzatorima) kao i pripadne naboje. Zadano je:

11/26/2016

2

Početna stranica

Stranica: IV-3

Uvodni pojmovi

U slučaju serijskog spoja dva prethodno nenabijenakondenzatora vrijedi:

U1

U2

Q1

Q2

+

-+

-

Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske inabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu sdva osnovna zakona i to:

Početna stranica

Stranica: IV-4

Uvodni pojmovi

U slučaju paralelnog spoja dva prethodno nenabijenakondenzatora vrijedi:

Za paralelu prethodno nenabijenih kondenzatora općenitovrijedi:

U1U2 Q1Q2

Za seriju prethodno nenabijenih kondenzatora općenitovrijedi:

+

-

+

-

11/26/2016

3

Početna stranica

Stranica: IV-5

Ukupni (ekvivalentni) kapacitet mreže:

Rješenje

Naponi na kondenzatorima:

Početna stranica

Stranica: IV-6

Naboji na kondenzatorima:

11/26/2016

4

Početna stranica

Stranica: IV-7

2. zadatak

C1 = 4 [µF] C2 = 6 [µF] C3 = 2 [µF] Q10 = 1 [mC] U = 1200 [V]

Na kondenzatorsku mrežu priključuje se izvor napajanja koji dajeistosmjerni napon od 1200 [V]. Potrebno je odrediti napone koji vladajuna pojedinim elementima (kondenzatorima) kao i pripadne naboje, akoje kondenzator C1 prethodno nabijen nabojem Q10 prikazanogpolariteta. Zadano je:

Početna stranica

Stranica: IV-8

Priključivanjem skupine kondenzatora na istosmjerni izvor(ili izvore) električne energije uspostavljaju se naponske inabojske prilike na pojedinim kondenzatorima u skladu sdva osnovna zakona i to:

Uvodni pojmovi

U slučaju priključenja serijskog spoja dva kondenzatorana istosmjerni izvor, pri čemu je prije toga kondenzator C1nabijen na Q10, vrijedi:

U1

U2

Q1

Q2

+

-+

-

11/26/2016

5

Početna stranica

Stranica: IV-9

Uvodni pojmovi U slučaju priključivanja na izvor istosmjernog napajanja

serijsko-paralelnog spoja tri kondenzatora, gdje su obakondenzatora prethodno nabijena prema slici vrijedi:

U3U2 Q3Q2

+

-

+

-

+ -

Q1 U1

Početna stranica

Stranica: IV-10

Nakon zatvaranja sklopke u mreži se kondenzatori nakonnekog vremena nabiju nabojima prikazanim na slici:

Rješenje

Za mrežu vrijedi:

11/26/2016

6

Početna stranica

Stranica: IV-11

Rješenjem sustava tri jednadžbe s tri nepoznanice iuvrštenjem poznatih vrijednosti konačni naboji nakondenzatorima iznose:

Naponi na kondenzatorima:

Početna stranica

Stranica: IV-12

3. zadatakU mreži prema slici kondenzator C5 ima početni naboj Q50 naznačenogpredznaka. Koliku će promjenu napona ∆U1 na kondenzatoru C1uzrokovati zatvaranje sklopke S? Zadano:

C1 = 18 [µF] C2 = 20 [µF] C3 = 14 [µF] C4 = 16 [µF] C5 = 5 [µF] U = 12 [V]

11/26/2016

7

Početna stranica

Stranica: IV-13

Mreža prije zatvaranja sklopke može se pojednostaviti(kondenzatori nisu prethodno nabijeni):

Rješenje zadatka

Budući da kondenzatori nisu prethodno nabijeni vrijedi:

Početna stranica

Stranica: IV-14

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 i Cekv su nabijenipočetnim nabojem Q10, a kondenzator C5 nabojem Q50prikazanih polariteta.

Za mrežu nakon zatvaranjasklopke vrijedi:

11/26/2016

8

Početna stranica

Stranica: IV-15

Napon na C5:

Rješenjem sustava tri jednadžbe dobije se Q5:

Prije zatvaranja sklopke kondenzatori C1 nabijen je nanapon UC10:

Nakon zatvaranja sklopke kondenzator C1 nabijen je nanapon UC1:

Razlika napona na C1 prije i poslije zatvaranja sklopke:

Početna stranica

Stranica: IV-16

4. zadatakSredišta dviju usamljenih metalnih kugli A i B polumjera RA i RBrazmaknuta su d metara, s tim da je d >> RA. Na kugle su dovedeninaboji QA0 i QB0, a nakon toga one se međusobno povezuju vrlotankom metalnom niti. Odredite, za taj slučaj, iznose polja EA i EB tik uzpovršinu kugli ako je ε = ε0.

RA = 9 [cm] RA = 1 [cm] QA0 = -2.4 [nC] QB0 = +3.2 [nC]

11/26/2016

9

Početna stranica

Stranica: IV-17

Nakon zatvaranja sklopke potencijali kugli seizjednačavaju (dolazi do preraspodjele naboja):

Rješenje zadatka

Kugle čine sustav prikazan na slici, za koji vrijedi:

Uz referentnu točku ubeskonačnosti:

Početna stranica

Stranica: IV-18

Rješenjem sustava jednadžbi:

Budući da je d >> RA el. polja nakon zatvaranja sklopkeiznose: