Μαθηματικά και Παιδεία στην Ύστερη Αρχαιότητα:

Το έργο του Διοφάντου του Αλεξανδρέως

Γιάννης Χριστιανίδης

Μουσείο Κυκλαδικής ΤέχνηςΚύκλος διαλέξεων «Πρόσφατες εξελίξεις στη μελέτη των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών»

Τετάρτη, 1Δεκεμβρίου 2010

Ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών: η κατηγορία του “contextualization” και η σημασία της

1. Ένα παράδειγμα ερμηνείας με αναφορά σε «πλαίσιο» που διαμορφώθηκε από μεταγενέστερες εξελίξεις στην ιστορία των μαθηματικών: Η ερμηνεία του Διοφάντου μέσω της Αλγεβρικής Γεωμετρίας.

2. Ένα παράδειγμα σωστής χρήσης του “contextualization”: Η ερμηνεία του Στομαχίου του Αρχιμήδη ως έργου Συνδυαστικής.

Το κύριο εμπόδιο για να εκτιμήσουμε το Στομάχιον ως έργο Συνδυαστικής βρίσκεται αλλού: μέχρι πολύ πρόσφατα, η ευρέως διαδεδομένη άποψη ήταν ότι δεν υπήρχε ελληνική Συνδυαστική. Μια σειρά από πολύ πρόσφατες δημοσιεύσεις άλλαξε δραματικά αυτή την άποψη, με αποτέλεσμα η απόδοση στον Αρχιμήδη μιας πραγματείας περί Συνδυαστικής να φαίνεται τώρα πραγματικά δυνατή. Η βασική μαρτυρία είναι ότι ο Πλούταρχος αναφέρει σε δύο χωρία έναν υπολογισμό που έκανε ο Ίππαρχος …, που προσδιόριζε τον αριθμό των συνδυασμών που επιτρέπει η στωϊκή λογική με δέκα προκείμενες, χωρίς άρνηση (103049) ή με άρνηση (310954). Δύο μαθηματικές μελέτες έδειξαν ότι οι αριθμοί αυτοί έχουν πολλή σαφή σχέση με τη Συνδυαστική. Αργότερα ο Fabio Acerbi ξεκαθάρισε με λεπτομέρειες ποιο ήταν το φιλοσοφικό και μαθηματικό πλαίσιο μέσα στο οποίο θα μπορούσε αυτό το αποτέλεσμα του Ιππάρχου να προέρχεται πραγματικά από έναν υπολογισμό σχετικό με το πρόβλημα που θέτει η δήλωση του Χρυσίππου. Η ύπαρξη επομένως εκλεπτυσμένης ελληνικής Συνδυαστικής δεν αμφισβητείται πλέον.

ΤΑ ΕΡΓΑ ΤΟΥ AL-KHWĀRIZMĪ

1. Algoritmi de numero indorum. (Υπάρχει αντίστοιχο βυζαντινό βιβλίο με τίτλο «Ψηφηφορία κατ’ Ἰνδούς», 1253.)

2. Kitāb sūrat al-ard («Η εικόνα της Γης» – αποδίδεται ως «Γεωγραφία»). Δίνει τις συντεταγμένες διαφόρων τόπων όπως παρουσιάζονται στη Γεωγραφία του Κλαύδιου Πτολεμαίου, αλλά με βελτιώσεις για πόλεις Ασίας-Αφρικής.

3. Zīj. Αστρονομικοί πίνακες από διάφορες ελληνικές και ινδικές πηγές.

4. Al-kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa’l-muqābala (Ευσύνοπτο βιβλίο του λογισμού με jabr και muqabala).

3. Ένα παράδειγμα σύνθετου “contextualization”: Το συνολικό έργο ενός μαθηματικού ως «πλαίσιο» για την ερμηνεία ενός μεμονωμένου έργου του. Η περίπτωση του al-Khwārizmī.

ΜΙΑ ΑΔΟΚΙΜΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ Νο 4

Ο AL-KHWĀRIZMĪ ΚΑΙΝΟΤΟΜΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΗΣ

… Σε αυτήν την εισαγωγή δεν θα ξεστρατίσουμε αναζητώντας τις ‘απαρχές’ (origines). Το μόνο που μας ενδιαφέρει είναι το σχέδιο του al-Khwārizmī: να θεμελιώσει μια μαθηματική διδασκαλία με τα αναγκαία θεωρητικά και τεχνικά μέσα. Ποιες είναι οι συνθήκες που έκαναν δυνατή τη σύλληψη αυτού του σχεδίου; Πώς το διατύπωσε ο al-Khwārizmī; Πώς προχώρησε στη υλοποίησή του; Ποια εμπόδια συνάντησε; Να με τι θα ασχοληθούμε εδώ … (R. Rashed, 2007)

Τα Αριθμητικά του Διοφάντου: Ένα μαθηματικό κείμενο με διττό χαρακτήρα

1. Ένα κείμενο στο οποίο ο Διόφαντος λύνει προβλήματα.2. Ένα κείμενο στο οποίο ο Διόφαντος διδάσκει πώς να λύνουμε προβλήματα.

Αλλιώς διατυπωμένο: Λύνοντας προβλήματα ο Διόφαντος διδάσκει πώς να λύνουμε προβλήματα.

Άρα: Δύο πλαίσια μέσα από τα οποία μπορούμε να διαβάσουμε τον Διόφαντο:Πλαίσιο Α: Ο Διόφαντος ως μαθηματικός που λύνει προβλήματα (χρησιμοποιώντας άλγεβρα). Πλαίσιο Β: Ο Διόφαντος ως δάσκαλος που διδάσκει πώς να λύνουμε προβλήματα (χρησιμοποιώντας άλγεβρα).

4. Τα πολλαπλά «πλαίσια»: Η περίπτωση του Διοφάντου.

Ο διττός χαρακτήρας των Αριθμητικών φαίνεται ευθύς αμέσως από την εισαγωγή του έργου.

Σχόλιο: Στο παρελθόν οι ιστορικοί των Μαθηματικών προσέγγιζαν τα Αριθμητικά από τη μαθηματική σκοπιά μόνο και όχι από τη σκοπιά της διδακτικής. Η προσέγγιση και από τη διδακτική σκοπιά μας επιτρέπει να θέσουμε στο κείμενο του Διοφάντου νέου τύπου ερωτήματα και να εκμαιεύσουμε από αυτό απαντήσεις που δεν μας δίνει η στενά μαθηματική προσέγγιση.

Το μαθηματικό πλαίσιο: Ο Διόφαντος ως μαθηματικός που λύνει προβλήματα μέσω άλγεβρας

Το υπόβαθρο: Η επίλυση προβλημάτων χωρίς χρήση άλγεβρας1. Παραδείγματα προβλημάτων 2. Μέθοδοι επίλυσης: απλή μέθοδος

των τριών, μέθοδος απλής και διπλής παραδοχής κ.λπ.

3. Η αριθμητική (μη αλγεβρική) επίλυση προβλημάτων

Από το πρόβλημα της λογιστικής στο διοφαντικό πρόβλημα

Πρόβλημα της λογιστικήςΠόσο με απάτησε ο αδελφός μου, μοιράζοντας με άδικο τρόπο τα 5 τάλαντα της πατρικής κληρονομιάς! Από τα επτά ενδέκατα που πήρε εκείνος εγώ έλαβα κλαίγοντας το ένα πέμπτο. Ζευ, έχεις βαθύ ύπνο.

Σύγχρονη διατύπωση του προβλήματος:

Διοφαντικό πρόβλημα(Βιβλίο Ι, πρβλ. 2)

Σύγχρονη διατύπωση του προβλήματος:

Ο Διόφαντος άντλησε από τα προβλήματα της αρχαίας λογιστικής υλικό για να κατασκευάσει τα προβλήματα που επιλύει στα Αριθμητικά

Χ + Y = 5 X : Y = 711 : 5

Χ + Y = 60 X : Y = 3 : 1

Διαφορές λογιστικού και διοφαντικού προβλήματος

• Το πρόβλημα του Διοφάντου είναι αρχικά γενικό και αφηρημένο (αντιστοιχεί στο στάδιο που οι αρχαίοι ονόμαζαν «πρότασις») και στη συνέχεια γίνεται ειδικό και αφηρημένο (αντιστοιχεί στο στάδιο που οι αρχαίοι ονόμαζαν «έκθεσις»).

• Το πρόβλημα της λογιστικής είναι ειδικό και συγκεκριμένο.

Πρόβλημα γενικό: Δεν κατονομάζονται οι αριθμητικές τιμές των δεδομένων.Πρόβλημα ειδικό: Κατονομάζονται οι αριθμητικές τιμές των δεδομένων.Πρόβλημα αφηρημένο: Δεν αναφέρονται περιστάσεις και πρόσωπα. Πρόβλημα συγκεκριμένο: Αναφέρονται περιστάσεις και πρόσωπα.

Η ερμηνεία του Tannery (1896) για τη μετάβαση από το λογιστικό πρόβλημα στο διοφαντικό πρόβλημα («Sur la religion des derniers mathématiciens de l’antiquité»).Η ερμηνεία μέσω της ρητορικής διάκρισης «θέσεως» και «υποθέσεως» (Νεύσις 2008)

Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Το σύνολο των όρων που υπεισέρχονται στην εκφώνηση των προβλημάτων:• Μονάδα• Αριθμός• Πλευρά• Τετράγωνος <αριθμός>• ΚύβοςΧρησιμοποιούνται επίσης συνδυασμοί όρων, όπως:Τετράγωνος επί ΤετράγωνοΤετράγωνος επί Κύβο (από της ίδιας πλευράς)Κύβος επί κύβο

Το σύνολο των όρων που χρησιμοποιούνται στην εκφώνηση των προβλημάτων αποτελείται από ουσιαστικά της καθημερινής γλώσσας

1: Η κατασκευή προβλημάτων

1: Η κατασκευή προβλημάτωνΟ ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2: Η επίλυση προβλημάτων – A

Το σύνολο των όρων με τους οποίους γίνεται η επίλυση των προβλημάτων:• Μονάδα• Αριθμός• Δύναμις• Κύβος• Δυναμοδύναμις• Δυναμόκυβος• Κυβόκυβος

Το σύνολο των όρων που χρησιμοποιούνται στην επίλυση των προβλημάτων είναι κύρια ονόματα (ἐπωνυμίαι) της τεχνικής γλώσσας της Αριθμητικής Θεωρίας (όπως Σωκράτης, Κώστας κ.λπ.)

Εκφώνηση προβλήματος Επίλυση προβλήματος

Χρησιμοποιούνται όροι από το σύνολο Α:• Μονάδα• Αριθμός• Πλευρά• Τετράγωνος• Κύβος

Χρησιμοποιούνται όροι από το σύνολο Β:• Μονάδα Μο (x0)• Αριθμός ς (x1)• Δύναμις ΔΥ (x2)• Κύβος ΚΥ (x3)• Δυναμοδύναμις ΔΥΔ (x4)• Δυναμόκυβος ΔΥΚ (x5)• Κυβόκυβος ΚΥΚ (x6)

Επίλυση ενός προβλήματος σημαίνει μετάβαση από τους όρους του συνόλου Α (όροι της εκφώνησης) στους όρους του συνόλου Β (όροι της Αριθμητικής Θεωρίας).

Ισοδύναμα: Η διοφαντική επίλυση ενός προβλήματος επιτυγχάνεται με την απομάκρυνσή του από την κοινή γλώσσα στην οποία είναι

διατυπωμένο και τη μεταφορά του στην τεχνητή γλώσσα της Αριθμητικής Θεωρίας.

Α + B = 100, A – B = 40B = xA = x + 40A + B = 2x + 40Αλλά A + B = 100Άρα: 2x + 40 = 100

Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2: Η επίλυση προβλημάτων – B

Α2 × B = C, Α × B = C3

A2 = x2

A = xB = 8/xA2 × B = 8xA × B = 8Άρα: 8x = 2

Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2: Η επίλυση προβλημάτων – Γ • Η μεταφορά του προβλήματος εντός της Αριθμητικής Θεωρίας (ΑΘ) οδηγεί στον

σχηματισμό μιας εξίσωσης.• Στη συνέχεια η εξίσωση απλοποιείται για να καταλήξει στη μορφή

«ένας όρος της ΑΘ» = «ένας όρος της ΑΘ» (π.χ. 8 ΔΥ = 5 ς, με σύγχρονους όρους, 8x2 = 5x)ή στη μορφή «δύο όροι της ΑΘ» = «ένας όρος της ΑΘ»(π.χ. 8 ΔΥ + 7 Μο = 5 ς, με σύγχρονους όρους, 8x2 + 7 = 5x)

• Η απλοποίηση γίνεται με την εφαρμογή δύο πράξεων που είναι γνωστές με τα αραβικά τους ονόματα: al-jabr (αποκατάσταση) και al-muqabala (αντιστάθμιση).

• Το τελευταίο στάδιο είναι η επίλυση της εξίσωσης.

110 + 2x2 – 22x = 54

110 + 2x2 = 54 + 22x (al-jabr)

56 + 2x2 = 22x (al-muqabala)

Σύνοψη της διοφαντικής επίλυσης ενός προβλήματος

Πρόβλημα

Μεταφορά του προβλήματος εντός της ΑΘ – μετατροπή σε εξίσωση.Απλοποίηση της εξίσωσης.Λύση της εξίσωσης.

Απάντηση στο πρόβλημα

Η αρχιτεκτονική της επίλυσης ενός προβλήματος, ο τρόπος δηλαδή της μετάβασης από το στάδιο Α (διατύπωση του προβλήματος) στο στάδιο Γ (απάντηση του προβλήματος) περιλαμβάνει ένα ενδιάμεσο στάδιο Β που

εκτυλίσσεται σε μια γλώσσα διαφορετική από τη γλώσσα στην οποία διατυπώνεται και απαντιέται το πρόβλημα.

Στάδιο Α Στάδιο Β Στάδιο Γ

Το ενδιάμεσο στάδιο Β δεν υπάρχει στις βαβυλωνιακές και αιγυπτιακές επιλύσεις προβλημάτων, ούτε στις επιλύσεις στο πλαίσιο της προ-διοφαντικής ελληνικής

λογιστικής. Αυτό το στάδιο καθιστά την επίλυση του Διοφάντου ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ.

Πρόβλημα Εξίσωση Απάντηση

Ομοιότητες με την αραβική και μεσαιωνική άλγεβρα

Τα τρία στάδια της επίλυσης ενός προβλήματος στην αραβική και ιταλική μεσαιωνική άλγεβρα:Στάδιο 1: Ονοματίζεται ένας άγνωστος (συνήθως με το όνομα «πράγμα») και εκτελούνται οι πράξεις που αναφέρονται στην εκφώνηση του προβλήματος ώσπου να δημιουργηθεί μια εξίσωση.Στάδιο 2: Απλοποιείται η εξίσωση ώσπου να φτάσει σε μια κανονική μορφή.Στάδιο 3: Επιλύεται η εξίσωση με τον κατάλληλο αλγόριθμο.

Ονόματα αλγεβρικών αριθμών στη μεσαιωνική άλγεβρα και στον Διόφαντο

Jeffrey Oaks (Historia Mathematica 2005):

Το παιδαγωγικό πλαίσιο: Ο Διόφαντος ως μαθηματικός (με την αρχαία σημασία του όρου) που διδάσκει πώς να λύνουμε προβλήματα

Η παιδαγωγική δραστηριότητα των λογίων τηςΎστερης Αρχαιότητας: 1. Εκδόσεις κειμένων. (Την εποχή αυτή διαμορφώνονται τα συγγράμματα.) 2. Συγγραφή σχολίων που συνοδεύουν τα κείμενα στη διδασκαλία.

Λόγιοι της ΥΑ: Νικόμαχος, Ιάμβλιχος, Πάππος, Αμμώνιος, Θέων ο Αλεξανδρεύς, Υπατία, Πρόκλος, Ευτόκιος, Σιμπλίκιος, Ιωάννης Φιλόπονος, Ισίδωρος ο Μιλήσιος.

1η προσπάθεια σχηματισμού εξίσωσης:Θέτει Χ = 8x, Y = x2 + 1. Τότε ΧΥ – Χ = 8x(x2 + 1) – 8x = (2x)3

Όμως η δεύτερη συνθήκη δίνει: ΧΥ – Υ = 8x(x2 + 1) – (x2 + 1) = = 8x3 + 8x – x2 – 1, το οποίο γράφει ο Διόφαντος, δεν γίνεται κύβος.1η προσπάθεια σχηματισμού εξίσωσης:Θέτει Χ = 8x + 1, Y = x2. Τότε ΧΥ – Y = (2x)3 αλλά και XY – X = = 8x3 + x2 – 8x – 1, το οποίο γίνεται κύβος με πλευρά (2x – 1)

Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ 1: Η φροντίδα για παροχή μάθησης

Πρόβλημα IV.27 XY – X U3 XY – Y V3

Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ 2: Η παιδαγωγική δομή του έργου

Βιβλίο 1 Βιβλίο 2

Βιβλίο 3

Από τη μελέτη Alain Bernard, Jean

Christianidis, «A new interpretation of

Diophantus’s Arithmetica, I-III:

Nature and structure of Diophantus’s

project», υπό δημοσίευση στο

περιοδικό Archive for History of Exact

Sciences