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Introducción a la Econometría

129 Pro fesor Genaro Sánchez Barajas

X. EFECTO SOBRE LOS ESTIMADORES DE LA VIOLACIÓN DE LAS HIPÓTESIS O SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL: MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS. Como se recordará, este modelo se usa para obtener estimadores contenidos en la ecuación de regresión, considerando que se cumplen ciertos supuestos que sustentan sus propiedades de ser: a).- insesgados; b).- eficientes, c).- suficientes y d).- consistentes. Dicho modelo se apoya, entre otros, en las siguientes hipótesis o supuestos: 1.- la varianza de las Ui es constante y por ello se dice que hay homocedasticidad, que viene del griego: homos ( igual ) y cedastitis ( dispersión ) entre los miembros de la serie estadística, razón por la cual tienen la varianza mínima, que a su vez corresponde a los estimadores que hemos dado en llamar eficientes. 2.- No existe autocorrelación entre las perturbaciones, iµ , y 3.- No existe multicolinialidad entre las variables explicativas de la ecuación de regresión. 4.- El modelo de regresión esta perfectamente especificado, de manera que no existe ningún Sesgo de especificación (Gujarati,1991:210). Cuando se cumplen estos y otros supuestos ( en mi opinión menos importantes ) se tiene una buena inferencia estadística y se está en condiciones de hacer una adecuada estimación y mejores pruebas de hipótesis. ¿ Pero qué sucede cuando se violan estos supuestos ? definitivamente se pierde calidad en los estimadores y disminuye el rigor técnico con que se maneja la información ya que dejan de ser insesgados, eficientes, consistentes y suficientes, afectando la estimación que se hace con la ecuación de regresión y orillando al investigador a la toma equivocada de decisiones porque las t`s y las F´s cambian de valor, en la forma que se indica a continuación: X.1 HETEROCEDASTICIDAD Uno de los principales análisis que se realizan sobre la violación de los supuestos en que se basa el método de MCO para determinar el valor y por consiguiente la calidad de los estimadores, se refiere a la verificación, Ho, de si las perturbaciones iµ de la función de regresión poblacional, son o no homocedásticas, ergo, que todas tienen la misma varianza; en otras palabras, es conveniente señalar que hasta el momento hemos establecido el supuesto de homocedasticidad, es decir, que las distorsiones o errores iµ de la ecuación de regresión tienen la misma varianza. Ahora bien, cuando dichos errores no observan una misma varianza se acepta la Ha y se dice que hay heterocedasticidad



o que las iµ son heterocedásticas. En otras palabras los iµ no tienen una varianza constante, que es lo mismo que decir que la varianza del error no es constante para todas las observaciones de la serie histórica a partir de la que se determinó la ecuación de regresión. ¿Qué efecto o consecuencia trae la heterocedasticidad? • Las estimaciones $a y $b de mínimos cuadrados son insesgados pero no consistentes ni eficientes,

es decir, no poseen varianza mínima, algunos datos tienen una varianza más grande; además el valor del estimador no tiende al del parámetro a medida que crece el tamaño de la muestra, se dice que es inconsistente.

• Las varianzas estimadas var ( $a ), var ( $b ) no son insesgadas. Al ser sesgados los estimadores de las

varianzas, invalidan las pruebas de significación sobre las hipótesis que se establezcan. ¿Cómo se detecta? Señala Gujarati (1991:275) que no es fácil detectarla, que “ no existen reglas fijas y seguras para detectarlo, sino sólo unas cuantas reglas generales”.por ello se han creado algunos métodos informales y de aproximación para detectar la presencia de heterocedásticidad, reglas a las que llama algunos remedios ( o sea que ni siquiera califica o eleva al rango de métodos o técnicas), los cuales generalmente examinan los residuos obtenidos de la aplicación de MCO para identificar en ellos patrones sistemáticos. Lo anterior en palabras de Carrascal ( 2001:227): “ no existen reglas fijas para saber si en un modelo existe heterocedasticidad; pues en todos los contrastes estadísticos se plantea la hipótesis nula de homocedasticidad. Además, dado que las perturbaciones aleatorias no son observables, las formas de detección se basan en los errores de la estimación por mínimos cuadrados ordinarios. En concreto, la mayor parte de los contrastes van a utilizar el cuadrado de dichos errores como indicativo de la varianza de cada perturbación o el valor absoluto de dicho error para aproximar la desviación típica.” Derivado de lo anterior podemos decir que en general se pueden realizar cualesquiera de las siguientes pruebas: 1. Método gráfico 2. Ramsey 3. Glejser 4. Breusch y Pagan 5. White 6. Goldfeld y Quant 7. Razón de verosimilitades



Al respecto sobre el método gráfico, G.S Maddala en su obra “Introducción a la Econometría; Segunda Edición de la Editorial Prentice Hall, capítulo 5, hoja 229, pone un ejemplo sencillo pero ilustrativo a través del cual se identifica la heterocedastidad con el método gráfico. El autor hace función el consumo (y) del ingreso (x). Para ello presenta la información de 20 familias, misma que aparece en la siguiente tabla, cuyo ingreso y consumo se expresa en miles de dólares.

FAMILIA

Y

Yc

X

Y-Yc=Ui RESIDUO

1 19.9 20.9019921708 22.3 -1.00 2 31.2 29.8952390494 32.3 1.30 3 31.8 33.7623352071 36.6 -1.96 4 12.1 11.7288803547 12.1 0.37 5 40.7 38.8884859279 42.3 1.81 6 6.1 6.42286469639 6.2 -0.32 7 38.6 41.0468651788 44.7 -2.45 8 25.5 24.3194259847 26.1 1.18 9 10.3 10.1100959166 10.3 0.19 10 38.8 36.9999040834 40.2 1.80 11 8.0 8.13158160331 8.1 -0.13 12 33.1 31.8737533626 34.5 1.23 13 33.5 35.0213897701 38.0 -1.52 14 13.1 13.5275297304 14.1 -0.43 15 14.8 15.5959765125 16.4 -0.80 16 21.6 22.520776609 24.1 -0.92 17 29.3 27.9167247361 30.1 1.38 18 25.0 26.297940298 28.3 -1.30 19 17.9 17.2147609506 18.2 0.69 20 19.8 18.9234778576 20.1 0.88

Con estos datos y trabajando con el Programa Eviews, se procede a crear la base de datos: vamos a “File”, luego a New Workfile periodicidad: ponemos de inicio (start: 1) y de final (end:12) ok abre nuevamente el workfile, hacemos doble clic y se abre el archivo en el que registramos los datos de Y e X, en name le ponemos el nombre del grupo01. También podemos ir a Quick Empty Group (edit series) y registramos los datos de Y e X, luego guardamos con Save. Ahora ya estamos listos para



hacer análisis econométrico. Fijámos el cursor en Quick, aparece un cuadro o caja de diálogo, ahí se pulsa Estimate equation, se especifica: y_c_x, oprimimos la palabra ok y se obtiene la siguiente ecuación de regresión:

Y = 0.847 + 0.899X R2 = 0.986

(0.703) (0.0253) RSS = 31.074 Para calcular Ui: en el cuadro de la ecuación, está la palabra view, ahí pulsamos el cursor y aparece, entre otros, actual fitted residuals, pedimos actual fitted table, oprimimos el lado izquierdo del ratón y parecen los valores originales de Y, los de cada una de las Y´s calculadas con la ecuación de regresión anterior y Ui= Yi-Yc donde i=1,2,3,…….18,19,20 Con esos datos procedemos a identificar la heterocedasticidad:

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 11/22/04 Time: 19:46 Sample: 1901 1920 Included observations: 20

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.847052 0.703355 1.204302 0.2441 X 0.899325 0.025309 35.53360 0.0000

R-squared 0.985944 Mean dependent var 23.55500 Adjusted R-squared 0.985164 S.D. dependent var 10.78691 S.E. of regression 1.313895 Akaike info criterion 3.478509 Sum squared resid 31.07377 Schwarz criterion 3.578082 Log likelihood -32.78509 F-statistic 1262.637 Durbin-Watson stat 2.582686 Prob(F-statistic) 0.000000

a). Método Gráfico Estando en la pantalla de este archivo, vamos a view, ahí pedimos actual fitted residuals, luego, actual fitted graph, decimos ok, y aparece la gráfica de residuos siguiente



-3

-2

-1

0

1

20

10

20

30

40

50

02 04 06 08 10 12 14 16 18 20

Residual Actual Fitted

Ahora vamos a Quick Estimate Equation; U- C X, ok y sale la ecuación. Ahora vamos a View Actual, Fitted, Residual, Actual Fitted Table y sale:

obs Actual Fitted Residual Residual Plot 1 19.9 20.9019921708 -1.00199217083 | .* | . | 2 31.2 29.8952390494 1.30476095063 | . | * | 3 31.8 33.7623352071 -1.96233520714 | * . | . | 4 12.1 11.7288803547 0.371119645276 | . | * . | 5 40.7 38.8884859279 1.8115140721 | . | . * | 6 6.1 6.42286469639 -0.322864696388 | . * | . | 7 38.6 41.0468651788 -2.44686517875 |* . | . | 8 25.5 24.3194259847 1.18057401532 | . | * | 9 10.3 10.1100959166 0.189904083412 | . |* . |

10 38.8 36.9999040834 1.80009591659 | . | . * | 11 8 8.13158160331 -0.13158160331 | . *| . | 12 33.1 31.8737533626 1.22624663735 | . | * | 13 33.5 35.0213897701 -1.52138977013 | *. | . | 14 13.1 13.5275297304 -0.427529730432 | . * | . | 15 14.8 15.5959765125 -0.795976512495 | . * | . | 16 21.6 22.520776609 -0.920776608968 | .* | . | 17 29.3 27.9167247361 1.38327526391 | . | .* |



18 25 26.297940298 -1.29794029795 | * | . | 19 17.9 17.2147609506 0.685239049368 | . | * . | 20 19.8 18.9234778576 0.876522142446 | . | * . |

Lo anterior ahora visto en términos de dispersión de las Ui con respecto a X’s: Continuando con el análisis gráfico ahora sí representamos la relación Xi con Ui vamos a Quick ahí pedimos Graph, aparece la pantalla Series List con Group01, lo borramos y en su lugar ponemos X U, damos ok y aparece Line Graph: seleccionamos Scatter Diagram, ok aparece la siguiente gráfica.

-3

-2

-1

0

1

2

0 10 20 30 40 50

X

U

que es la figura típica que resulta al graficar los valores de los residuos versus los valores de X, ingreso, obteniéndose el diagrama que indica o permite identificar que hay un problema de heterocedastidad, puesto que hay una alta dispersión de Ui a medida que aumenta el valor de X, mismo que debe resolverse para recuperar la bondad estadística de los estimadores. Conviene reiterar, como se estableció antes, que los datos entre paréntesis que acompañan la ecuación de regresión, corresponden a los errores estándar de los coeficientes. Así, a partir de la ecuación de regresión se calcularon los residuos en la forma ya familiar en esta etapa del conocimiento econométrico. Su análisis reveló que dichos residuos ( en valores absolutos ) eran más grandes a medida que crecía el valor de X, ingreso, y pequeños a medida que X tomaba valores pequeños. Esta evidencia le permitió señalar a Maddala que las varianzas de los errores no son las mismas, constantes, y por consiguiente hay heterocedasticidad, de tal manera que los estimadores â y b ya no son eficientes (pero si insesgados) y cuestionan seriamente los resultados a que se llega cuando se hacen pruebas de significación sobre las hipótesis en materia de regresión y correlación.



b).- Con la prueba F, estableciendo la Ho: E(Ui2)= σ2 constante, que significa que hay

homocedasticidad, misma que contrasta con Ha: E(Ui2) ≠ de σ2 constante, que indica que hay

heterocedasticidad y donde i= 1,2,……19,20. ¿Cómo se corrige o resuelve la heterocedastidad? Con: • La aplicación de la técnica de mínimos cuadrados ponderados; • La deflactación de los datos mediante alguna medida de “tamaño”; • La transformación de los datos en la forma funcional denominada logarítmica. X.1.1 Identificación numérica de la heterocedasticidad Tomando como referencia los datos anteriores, se corren las regresiones y se establece la hipótesis nula de homocedasticidad y se prueba que los coeficientes son o no significativos.

X.1.1.1 La prueba de Ramsey Se hace la regresión de tu sobre $yt

2 , $yt3 ... y la prueba de significación de los coeficientes. Así, dado

que existe una sola variable explicativa x, se puede utilizar en lugar de $y para identificar la heterocedasticidad. Se hace la regresión de iu sobre x x xi i i

n2 3, .. . . Los resultados fueron: $ . . ( . )( )u x x= − + −− −0 379 0 236 10 0549 102 2 4 3 R 2 0 034= .

Como ninguno de los coeficientes tuvo una relación t>1, se toma la decisión de aceptar la hipótesis nula, es decir, que no hay heterocedasticidad, además que al ser R2 pequeña indica que no es fuerte la relación entre X, µi, i.e,, no hay heteroscedasticidad..

X.1.1.2 La prueba de White Se hace la regresión de $ut sobre todas las variables explicativas, sus cuadrados y sus productos cruzados. Así cuando 2 variables explicativas x x1 2, , White establece la regresión $ut

2 sobre x x x x x x1 2 1

222

1 2, , , , . Los valores que se obtuvieron considerando una sola variable explicativa, fueron: $ . .u x2 1 370 0116= − + R 2 0 7911= . (0.390) (0.0014) $u = 0.493 - 0.071x + 0.0037x2 R 2 0878= .



(0.620) (0.055) (0.0011) En los dos casos R2 es grande y por consiguiente se rechaza la hipótesis nula y se concluye diciendo que hay heterocedasticidad. X.1.1.3. La prueba de Goldfeld y Quandt Cuando las muestras no son grandes, se recomienda utilizar esta prueba. En este caso los errores obtenidos en el primer ejercicio, se clasifican en dos grupos; el primero comprende los 10 valores pequeños de Ui obtenidos con respecto a x; el segundo, los valores más grandes de Ui. Enseguida se corre la regresión para cada uno de los dos grupos y, con estos datos, se hace la prueba F, mediante la cual se contrasta la hipótesis nula de la igualdad de las varianzas del error. Para hacer más firme la toma de decisiones para aceptar o rechazar la hipótesis de homocedasticidad, Salvatore ( 1993:152) y Gujarati ( 1991:266) recomiendan sacar o quitar algunos datos centrales de la distribución con objeto de “acentuar la diferencia entre el grupo de varianza pequeña y el grupo de varianza grande”. Sin embargo, en este caso no omitiremos ningún dato porque como dice Gujarati mismo: “ la habilidad de la prueba de Goldfeld-Quant para llevar a cabo lo anterior en forma exitosa depende de la manera como se escoja c”, que es el número de datos a omitir. Así, tenemos tenemos que obtener dos grupos de datos: el primero, con los residuos pequeños , el segundo, con los residuos grandes; debemos clasificar esos residuos, para ello usando Eviews: Process Sort Series para Y e X y sus valores aparecen en orden ascendente, ahí luego, sample, doble clic, 1 10 Estimate Equation name: Group01; igual hacemos para Group02, donde sample: 11 20,

Primer Grupo SegundoGrupo Número de observación

Y1 Valor de X1

Residuo ui

Número de observación

Y2 Valor de X2

Residuo ui

6 6.1 6.2 -0.32 8 25.5 26.1 1.18 11 8.0 8.1 -0.13 18 25.0 28.3 -1.30 9 10.3 10.3 0.19 17 29.3 30.1 1.38 4 12.1 12.1 0.37 2 31.2 32.3 1.30 14 13.1 14.1 -0.43 12 33.1 34.5 1.23 15 14.8 16.4 -0.80 3 31.8 36.6 -1.96 19 17.9 18.2 0.69 13 33.5 38.0 -1.52 20 19.8 20.1 0.88 10 38.8 40.2 1.80 1 19.9 22.3 -1.00 5 40.7 42.3 1.81 16 21.6 24.1 -0.92 7 38.6 44.7 -2.45

Se estiman estas dos regresiones 1Y y 2Y



1Y = 1.0533 + 0.876x R2 = 0.985 ; 2Y = 3.279 + 0.835x R2 = 0.904 (0.616) (0.038) σ=0.689519 475.0ˆ2 =σ (3.443) (0.096) σ=1.775825 $ .σ 2 3154= El desglose estadístico de estas dos regresiones es, empezando con Y1 , X1 :

Dependent Variable: Y1 Method: Least Squares Date: 11/19/04 Time: 13:37 Sample(adjusted): 1 10 Included observations: 10 after adjusting endpoints


C 1.053316 0.616164 1.709474 0.1257 X1 0.876016 0.037939 23.09013 0.0000


Significado S.E. of Regressión= YXσ que antes usamos; es distinto de Std. Error que suele ser menor porque corresponde a cada parámetro muestral. De igual manera para Y2, X2

Dependent Variable: Y2 Method: Least Squares Date: 11/19/04 Time: 21:27 Sample(adjusted): 1 10 Included observations: 10 after adjusting endpoints


C 3.278963 3.443383 0.952250 0.3689 X2 0.834637 0.096213 8.674885 0.0000


Con los dos S .E. of regresión calculamos las dos varianzas y F:



Se calcula FVarianza de residuos grandesVarianza de residuos pequeñ os

= = =31540 475

6 64..

.

Para calcular los grados de libertad, gl, de la F téorica Salvatore( 1993:152) y Gujarati (1991:266) señalan que los grados de libertad tanto para el numerador como para el denominador se calculan con la fórmula: n-d- 2k/2, donde n= número de observaciones= 20, d= número de observaciones omitidas, en este caso ninguna, luego d=0, k= número de parámetros= 2 en cada grupo, luego tanto para el numerador como para el denominador gl= 20-0 -2(2)/2= 20-4/2= 8 gl Así, la F teórica se obtiene en tablas para α = 1% con 8 y 8 grados de libertad, y es F Fα = < =6 03 6 64. . , por lo que se rechaza la hipótesis de homocedasticidad y se acepta que hay un problema de heterocedasticidad. Gráficamente

X.1.2 Solución al problema de heterocedasticidad X.1.2.1 Transformación de los datos en logaritmos, usando una forma funcional doble logarítmica. En ocasiones se resuelve haciendo la regresión en forma doble logarítmica lineal. Así usando los 20 datos originales y convirtiéndolos en logaritmos: usando Eviews vamos a Quick Generate Series enter equation, ponemos lx=log(x); también ly=log(Y) y aparece la siguiente tabla:

obs LX LY

Zona de aceptación de Ho:

Zona de rechazo de Ho:

Fα=6.03



1 3.10458667847 2.99071973173 2 3.47506723023 3.44041809482 3 3.60004824041 3.45946628979 4 2.4932054526 2.4932054526 5 3.74478708605 3.70622809245 6 1.82454929205 1.80828877118 7 3.79997350162 3.65325227647 8 3.26193531433 3.23867845216 9 2.33214389524 2.33214389524

10 3.69386699562 3.65842024663 11 2.09186406168 2.07944154168 12 3.54095932404 3.49953328238 13 3.63758615973 3.51154543883 14 2.64617479738 2.57261223021 15 2.79728133483 2.69462718077 16 3.1822118405 3.07269331469 17 3.40452517175 3.37758751602 18 3.34286180465 3.21887582487 19 2.90142159408 2.88480071285 20 3.00071981507 2.9856819377

Vamos a Quick: Estímate Equation: LY C LX, ok Se corre la regresión y se obtiene: Log y = 0.0757 + 0.9562 log x R2 =0.9935 (0.0574) (0.0183) RSS = 0.03757

Dependent Variable: LY Method: Least Squares Date: 11/19/04 Time: 22:01 Sample: 1 20 Included observations: 20


C 0.075672 0.057393 1.318496 0.2039 LX 0.956186 0.018255 52.38022 0.0000

R-squared 0.993482 Mean dependent var 3.033911 Adjusted R-squared 0.993120 S.D. dependent var 0.550836 S.E. of regression 0.045689 Akaike info criterion -

3.239278 Sum squared resid 0.037575 Schwarz criterion -

3.139705 Log likelihood 34.39278 F-statistic 2743.688 Durbin-Watson stat 2.166013 Prob(F-statistic) 0.000000



Para calcular los residuos con Eviews se estima la regresión, en el menú de View, seleccionar Actual, Fitted, Residual, después nos vamos a Actual Fitted, Table:

Observación: en la gráfica de la tabla, última columna, no aparecen unidos los puntos, pero si en la pantalla del monitor. Enseguida clasificamos las Ui en función de X, en los dos siguientes grupos: Número de observación

Log Y1 calculada

Log de x1

Residuo ui

Número de observación

Log Y2 calculada

Log de x2

Residuo ui

6 1.8 1.82 -0.12 8 3.24 3.26 0.44



11 2.08 2.09 0.04 18 3.22 3.34 -0.53 9 2.33 2.33 0.27 17 3.38 3.40 0.47 4 2.49 2.49 0.34 2 3.44 3.48 0.42 14 2.57 2.65 -0.33 12 3.5 3.54 0.38 15 2.69 2.80 -0.56 3 3.46 3.60 -0.59 19 2.88 2.90 0.35 13 3.51 3.64 -0.42 20 2.99 3.00 0.41 10 3.66 3.69 0.51 1 2.99 3.20 -0.54 5 3.7 3.74 0.50 16 3.07 3.18 -0.46 7 3.65 3.80 -0.56

Una vez calculados los residuos de los dos grupos se corren sus dos regresiones y se obtiene, para el primero: Quick, Estimate Equation: LY- C- LX1, ok

Dependent Variable: LY1 Method: Least Squares Date: 11/22/04 Time: 20:33 Sample(adjusted): 1 10 Included observations: 10 after adjusting endpoints


C 0.122770 0.083001 1.479135 0.1774 LX1 0.935596 0.031083 30.09966 0.0000




Y para el segundo grupo: Quick Estimate Equation: LY2 –C- LX2, , ok

Dependent Variable: LY2 Method: Least Squares Date: 11/22/04 Time: 20:58 Sample(adjusted): 1 10 Included observations: 10 after adjusting endpoints


C 0.320335 0.358071 0.894614 0.3971 LX2 0.889170 0.100780 8.822901 0.0000


2.831958



Sum squared resid 0.023116 Schwarz criterion -2.771441

Log likelihood 16.15979 F-statistic 77.84358 Durbin-Watson stat 2.189455 Prob(F-statistic) 0.000021

Se dice que hay una solución porque se observa que no hay un aumento significativo en el valor de los residuos ( ui ) a medida que crecen los valores de x, es decir, se reduce la heterocedasticidad en las varianzas del error. X.1.2.2 Aplicación de F De las dos regresiones anteriores tenemos: con los cálculos de Maddala:

Grupo 1 Grupo 2

log y = 0.122 + 0.936x R2 = 0.991; (0.083) (0.031) σ=0.041927 $ .σ 2 0 001596=

log y = 0.320 + 0.889x R2 = 0.907 (0.358) (0.100) σ=0.053754 $ .σ 2 0 002789=

Así, F = =0 0027890 001596

175..

. ; Como Fα = 344. para α = 5% y con α= 1% tenemos F téorica= 6.03

con 8 y 8 grados de libertad. En los dos casos vemos que no se rechaza la hipótesis de homocedasticidad; se dice que desapareció la heterocedasticidad, que los estimadores ahora son insesgados y eficientes y ratifican los motivos por los cuales en el capítulo IX se prefirió esta forma funcional. En resumen, se debe señalar que es conveniente detectar si existe o no heterocedasticidad, ya que de identificarse este problema, ello ocasiona que: a) Los estimadores de mínimos cuadrados sean ineficientes, aun cuando siguen siendo insesgados; es

decir, cuando son ineficientes tienen una varianza más grande. b) Los estimadores de las varianzas son sesgados. Ello nulifica (mejor dicho, altera los resultados de)

las pruebas de significación que se realizan para probar la bondad de los estimadores. c) Se relaja el supuesto de que la varianza del término de error ( ui ) es constante. X.2 AUTOCORRELACION Si hablamos en términos de la hipótesis nula, ésta se establece diciendo que los términos de error ( ui ) en el modelo de regresión son independientes, es decir: Ho: r=0, no hay correlación.



Lo contrario, es decir la hipótesis alternativa es el relajamiento de este supuesto (hipótesis nula), es decir Ha: r distinto de cero, donde r es el coeficiente de correlación entre las µi, lo cual indica que dichos términos de error, son dependientes unos de otros. Lo anterior significa que hay relación entre ellos, que están correlacionadas, mismas que vistos en función de las SERIES DE TIEMPO, revelan que hay AUTOCORRELACION entre ellas. Ejemplo, si analizamos el ingreso de las personas en varios años, el ingreso del año uno influye en el ingreso del año dos, este en el del año tres, y así sucesivamente, esto origina una autocorrelación en el tiempo. X.2.1 Identificación de autocorrelación se hace con la r y la estadística de Durbin-Watson. a). Aquí como en la heterocedasticidad se usa r, cuando su valor es alto: cercano a más uno o a menos uno, se dice que hay autocorrelación. b). Prueba de Durbin y Watson Como el término de error ( tu ) de un año está autocorrelacionado con el del año inmediato anterior

( tu −1 ), Durbin y Watson elaboraron la estadística “d”, que sirve para detectar la autocorrelación y se

determina con la fórmula:

dt t

n

t

n

u u

u=

−−∑

∑

( $ $ )

$

1

2

2

2

1

en la que tu$ se define como el residuo estimado para el período o año t.

Si desarrollamos el cuadrado de la fórmula de d, obtenemos

∑∑ Σ−Σ+ −−=

uuuuu

t

ttttdˆ

ˆˆ2ˆ2

12

12

Tomando en cuanta que cuando la muestra es grande se observa que tu2$∑ y tu −∑ 12$ son casi iguales

ya que difieren en una observación, tal que podemos decir 1+1= 2; en otras palabras ambas

sumatorias son iguales, y si factorizamos tenemos que d= 2( 1- la segunda parte del desarrollo), dividida entre el denominador que ahí aparece; luego, si decimos que r representa la autocorrelación entre ellos, es decir que r representa la segunda y última parte de la ecuación, entonces podemos establecer que la fórmula se puede expresar como: d ≅ 2( 1 - r )



Ahora bien, puesto que sabemos que r oscila entre –1 y +1, con desigualdades podemos decir lo siguiente: -1 1+≤≤ r Derivado de lo anterior, podemos establecer las siguientes igualdades: cuando r = + 1, se dice que d = 0; hay autocorrelación positiva; cuando r = -1, se dice que d = 4; hay autocorrelación negativa; y cuando r = 0, se dice que d = 2; no hay autocorrelación. Por consiguiente cuando d tenga valores cercanos a 0 o 4, diremos que los residuos están altamente correlacionados. Es importante decir que la distribución muestral de d depende del valor de las variables explicativas. Durbin y Watson calcularon los valores de los limites superior ( ud ) e inferior ( Ld ) para diferentes

niveles de significación de d. Estos valores están en tablas mediante las cuales se prueban hipótesis nulas: autocorrelación cero versus las hipótesis alternativas: autocorrelación positiva de primer orden ( entre tu y tu −1 ); cuando la autocorrelación es negativa se intercambian ud y Ld . Luego si:

d < d L , se rechaza la hipótesis nula de no autocorrelación, hay autocorrelación, debe corregirse. d > d u , no se rechaza la hipótesis nula de independencia, no se hace nada. d L < d < d u , la prueba no es concluyente, es decir no sabemos si los términos de error ui

están autocorrelacionados o son independientes. Lo anterior dicho en palabras de Dominick Salvatore(9): (“Econometría” Editorial Mc Graw Hill, página 153). Si d < d L , se acepta la hipótesis de autocorrelación, Ha: r ≠ 0 y se rechaza Ho: r=0 d > d u , se rechaza la hipótesis de autocorrelación, Ha: r ≠ 0 y se acepta Ho: r=0 Para probar la Ho se compara la d calculada con la d en tablas partiendo de que está demostrado que la esperanza matemática de d, cuando r = 0, está dada por la fórmula:

E(d) = 2 + kn

k−− )1(2

K es igual al número de parámetros de regresión estimados (se incluye el término constante). Dominick Salvatore(9) dice que k = número de variables explicativas + 1 ( término constante ), ver Anexo.5 en el anexo de todas las tablas estadísticas, y si n es el tamaño de la muestra, vamos a A.5 y encontramos k 1´ , que necesitamos para obtener diferentes valores de d. Con estos datos se buscan



en la tabla de Durbin Watson los valores d L y d u y se comparan con la d calculada para identificar si hay o no autocorrelación entre los residuos. Ejemplo del uso de la prueba de Durbin, Watson: G. S. Maddala corre la ecuación logarítmica lineal para explicar la producción (x) en función de los insumos de capital K y trabajo (L) en Estados Unidos. (página 114 de obra citada) y halla:

Log X = -3.938 – 1.451 log L1 + 0.384 log K1 (0.237) (0.083) (0.048) R2 = 0.9946 ; DW = 0.88 r=0.559= coeficiente de autocorelación, que enseguida usamos para eliminar la autocorrelación. Con K1 = k-1 = 3 – 1= 2 y n = 39 con α = 5% se halla en tablas d L = 1.38. Puesto que la d = 0.88 < d L = 1.38, se rechaza la hipótesis nula de no autocorrelación, en otras palabras se rechaza la hipótesis nula de r = 0 con α = 5%. Ello significa que hay autocorrelación positiva de primer orden entre los residuos de mínimos cuadrados, ergo no son independientes ut

y ut 1− entre si.

La existencia de autocorrelación también se ratifica con el alto valor que toma R2 = 0.9946 X.2.2 Consecuencia de la autocorrelación Como indica Dominick Salvatore(9) , la presencia de autocorrelación es común en “Series de Tiempo y lleva a errores estándar sesgados hacia abajo (y así a pruebas estadísticas e intervalos de confianza incorrectos)”. Gujarati (1991: 298) por su parte dice que “ aun cuando los estimadores MCO continuan siendo lineales, insesgados y consistentes, pero dejan de ser eficientes”, situación que provoca las mismas consecuencias que Salvatore señaló. X.2.3 Corrección de autocorrelación

a) Dominick Salvatore (*) dice que para corregir la autocorrelación se debe estimar r, por ser el indicador de la autocorrelación serial. Así se determina a partir de d= 2(1-r); despejando obtenemos r=2-d/2, de manera que cuando d=0.88,vemos que r= 2-0.88/2=1.12/2=0.56, valor a utilizar para reducir o eliminar la autocorelación.

Así, según el valor que tome r será la reducción o eliminación de la autocorrelación (Gujarati,1991:323). b) El mismo autor Gujarati ( 1991: 330) comenta que Theil y Nagar sugieren que en muestras

pequeñas r se debe estimar con la fórmula:



22

22 )2/1(kN

kdNr

−+−

=

En que: N: Número total de observaciones d=d de Durbin Watson K= Número de coeficientes a estimar Luego, en el ejemplo anterior calculamos r con las dos fórmulas y obtenemos el mismo resultado: r = 0.56,

• 56.044.01288.0

12

1 =−=−=−=d

r , valor igual al mostrado inicialmente por

Maddala.

• 22

22 )2/1(kN

kdNr

−+−

= =

5665.01512860

15129851

915219)56.0(1521

3)39()3()56.0()39(

22

22

==+

=−

+=

−+

=

Una vez conocido r se puede corregir la autocorrelación partiendo del siguiente razonamiento: De acuerdo con Gujarati ( 1991:317) si, denominamos como ecuación #1, ttt XY µββ ++= 21 Si #1 se cumple en el periodo t, se cumple también en el período t-1, por tanto La ecuación #2:

11211 −−− ++= ttt XY µββ ahora multiplicando la ecuación #2 por ρ (nuestra r) en ambos lados de la ecuación, obtenemos la ecuación #3: 11211 −−− ++= ttt XY ρµρβρβρ . Ahora restando la ecuación #3 de la #1 obtenemos: la ecuación #4:

)()1()( 112211 −−− −+−+−=− tttttt XXYY ρµµρββρβρ ttt XX ερβρβ +−+−= − )()1( 121

donde se usó un esquema autorregresivo de primer orden tti ερµµ += −1 ttt XY εββ ++= **2

*1

* , de manera que ahora podemos expresar la ecuación anterior como la siguiente ecuación #5

ttXY εββ ++= **2

*1

*1 donde )(),1( 1

*1

*1 −−=−= ttt YYY ρρββ y )( 1

*−−= ttt XXX ρ , que nos da la

pauta para los cálculos que se muestran a continuación. Señala Gujarati que para no perder la primera observación en el proceso de diferenciación, se

utilizan ry ˆ2

11− y rx ˆ2

11− para la primera observación transformada de Y y X,

respectivamente. Así, en el caso de que 1ˆ ≈r , la autocorrelación puede corregirse volviendo a calcular la regresión en forma de diferencia y omitiendo el término de la ordenada en el origen.

1* log5665.0log −−= tXXLogX



1* log5665.0log −−= tLLLogL

logY (con asterisco)=logY-0.5665logY del año anterior logB del presente año(con asterisco)=logB del presente año-logB del año anterior Así, también:

1* log5665.0log −−= tKKLogK

En seguida se estimará la nueva ecuación de regresión y es seguro que se obtendrá una d con valor distinto a 0.88, que al compararse con du y dL (valores teóricos) se aceptará Ho: es decir que ya no hay autocorrelación. X.2.3.1 Ejemplo numérico para corregir la autocorrelación a) D. Salvatore. D. Salvatore presenta el nivel de inventarios, Y, y ventas X, los dos en miles de millones de dólares para la industria de manufacturas de los E.E. U.U., del año 1959 al de 1978. Hace la regresión de Y con X con los siguientes datos:

Año 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978

Y 52.9 53.8 54.9 58.2 60.0 63.4 68.2 78.0 84.7 90.6 98.2 101.7 102.7 108.3 124.7 157.9 158.2 170.2 180.0 198.0

X 30.3 30.9 30.9 33.4 35.1 37.3 41.0 44.9 46.5 50.3 53.5 52.8 55.9 63.0 73.0 84.8 86.6 98.8 110.8 124.7

Obtiene xy tt

63.161.6 += R2 = 0.98

(1.98) (32.0) d = 0.69 (3.33) (0.05) hecho con Eviews Que en detalle es :

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 11/22/04 Time: 21:13 Sample(adjusted): 1959 1978 Included observations: 20 after adjusting endpoints


C 6.608085 3.329150 1.984917 0.0626 X 1.631438 0.050975 32.00487 0.0000




Dado que con n = 20 y K1 =2-1= 1 y α = 5% 20.1=d L tenemos que d = 0.70 < 20.1=d L

se

acepta la hipótesis de autocorrelación. Así, para corregir la autocorrelación, se dice que una estimación de r esta dada por r= 2-d/2 = 2-0.70/2= 1.30/2=0.65 Con la otra fórmula se obtiene r= 0.67 Si usamos r=0.67 para transformar las variables originales y utilizando el dato del año de 1959 :

52.9 )67.0(12

− = 39.27 y del mismo año el valor de las ventas,

30.3 49.22)67.0(12=− para la primera observación transformado de Y y X, respectivamente.

Para el resto de los valores transformados de Y e X se calcula de la siguiente manera: Puesto que con r= 0.67 obtenemos r cuadrada= 0.4489, entonces

usamos ry ˆ2

11− para el primer dato de Y, que corresponde a 1959, y para no desecharlo

27.39)74(9.525511.9.521 21

*1 ===−= rYY para el primer término de Y

36.1844.358.53)9.52(67.08.5312*

2 =−=−=−= rYYY para el segundo y subsecuentes Y´s, ver ecuaciones

85.18)8.53(67.09.5423*

3 =−=−= rYYY 41.21)9.54(67.02.5834

*4 =−=−= rYYY

01.21)2.58(67.00.6045*

5 =−=−= rYYY 20.23)0.60(67.04.6356

*6 =−=−= rYYY

72.25)4.63(67.02.6867*

7 =−=−= rYYY 31.32)2.68(67.00.7878

*8 =−=−= rYYY

44.32)0.78(67.07.8489*

9 =−=−= rYYY 85.33)7.84(67.06.90910

*10 =−=−= rYYY

50.37)6.90(67.02.981011*

11 =−=−= rYYY 91.35)2.98(67.07.1011112

*12 =−=−= rYYY

56.34)7.101(67.07.1021213*

13 =−=−= rYYY 49.39)7.102(67.03.1081314

*14 =−=−= rYYY

14.52)3.108(67.07.1241415*

15 =−=−= rYYY 35.74)7.124(67.09.1571516

*16 =−=−= rYYY

41.52)9.157(67.02.1581617*

17 =−=−= rYYY 21.64)2.158(67.02.1701718

*18 =−=−= rYYY

97.65)2.170(67.00.1801819*

19 =−=−= rYYY 40.77)0.180(67.00.1981920

*20 =−=−= rYYY



Hacemos lo mismo para la transformación de las X´s con r=0.67 y r cuadrada=0.4489

usamos rx ˆ2

11− para el primer dato de X, que corresponde a 1959, y para no desecharlo

49.22)74.0(3.305511.03.304489.013.301 21

*1 ===−=−= rXX para el primer término de X

60.10)3.30(67.09.3012*2 =−=−= rXXX ;para el segundo y subsecuentes X´s, seguir ecuaciones

20.10)9.30(67.09.3023*3 =−=−= rXXX

70.12)9.30(67.04.3334*4 =−=−= rXXX

72.12)4.33(67.01.3545*5 =−=−= rXXX

78.13)1.35(67.03.3756*6 =−=−= rXXX

00.16)3.37(67.00.4167*7 =−=−= rXXX

43.17)0.41(67.09.4478*8 =−=−= rXXX

42.16)9.44(67.05.4689*9 =−=−= rXXX

15.19)5.46(67.03.50910*10 =−=−= rXXX

80.19)3.50(67.05.531011*11 =−=−= rXXX

96.16)5.53(67.08.521112*12 =−=−= rXXX

52.20)8.52(67.09.551213*13 =−=−= rXXX

55.25)9.55(67.00.631314*14 =−=−= rXXX

79.30)0.63(67.00.731415*15 =−=−= rXXX

89.35)0.73(67.00.841516*16 =−=−= rXXX

78.29)8.84(67.06.861617*17 =−=−= rXXX

78.40)6.86(67.08.981718*18 =−=−= rXXX

60.44)8.98(67.08.1101819*19 =−=−= rXXX

46.50)8.110(67.07.1241920*20 =−=−= rXXX

Con los datos nuevos, transformados de Y e X, a partir de r, ahora corremos nuevamente la regresión sobre las variables transformadas (que identificaremos con *), sin omitir los datos de 1959, y se obtienen:

xy tt

**52.165.4 += R2 = 0.94

(2.42) (0.08) d = 1.32 De manera detallada: Dependent Variable: YCALC Method: Least Squares Date: 11/20/04 Time: 14:32 Sample: 1959 1978 Included observations: 20




C 4.656444 2.423902 1.921053 0.0707 XCALC 1.526495 0.089229 17.10764 0.0000


Vemos en la tabla de Durbin y Watson que con α = 5%, n = 20 y K1 = 1 se obtiene dU = 1.41 y dL=1.20. Por consiguiente decimos que d = 1.32, esta entre estos dos valores anteriores, lo cual significa que la autocorrelación esta indefinida. Por otra parte, es interesante señalar que cuando omitimos los datos de Y e X del primer año, 1959, al correr la ecuación de regresión se obtiene el siguiente valor de d cuyas “estadísticas” no difieren sustancialmente de la anterior.

Dependent Variable: YTRNSF Method: Least Squares Date: 11/21/04 Time: 09:21 Sample(adjusted): 1960 1978 Included observations: 19 after adjusting endpoints


C 4.526473 2.479092 1.825859 0.0855 XTRNSF 1.519796 0.094774 16.03594 0.0000


b) Ejemplo de Gujarati.

A manera de comparación y de ilustración de los diversos métodos recién analizados, adicionalmente considérese el ejemplo siguiente elaborado por Gujarati ( 1990:323). (Véase la siguiente tabla )

Tabla con los datos originales Relación entre el índice de vacantes (IV) y la tasa de desempleo (U)



IV 1957-1959=100 U%1962 1 104.66 5.631962 2 103.53 5.461962 3 97.30 5.631962 4 95.96 .5.601963 1 98.83 5.831963 2 97.23 5.761963 3 99.06 5.561963 4 113.66 5.631964 1 117.00 5.461964 2 119.66 5.261964 3 124.33 5.061964 4 133.00 5.061965 1 143.33 4.831965 2 144.66 4.731965 3 152.33 4.461965 4 178.33 4.201966 1 192.00 3.831966 2 186.00 3.901966 3 188.00 3.861966 4 193.33 3.701967 1 187.66 3.661967 2 175.33 3.831967 3 178.00 3.931967 4 187.66 3.96

Año y trimestre

Fuente: Damodar Gujarati, « fhe Relation between Help-Wanted Index and the Unemployment Rate: A Statistical Analy sis, 1962-1967» , The Quarterly Review of Economics and Business, vol. 8,1968, pp. 67-73.

El modelo de regresión seleccionado para la investigación empírica fue ln IVt = β1 + β2ln Ut + υt donde IV es el índice de vacantes y U la tasa de desempleo1. A priori, se espera que β2 sea negativo. (¿Por qué?) Suponiendo que se cumplen todos los supuestos MCO, se puede escribir la regresión estimada como:

lnVI = 7.3084 - 1.537510 lnUt (0.1110) (0.0711) N = 24 t = (65.825) (-21.612) r2 = 0.9550 d = 0.9021 De la regresión estimada, se observa que el d de Durbin-Watson indica la presencia de correlación serial positiva, Para 24 observaciones y 1 variable explicativa, la tabla Durbin-Watson al 5% muestra que dL = 1.27 Y du = 1.45 Y el d estimado es de 0.9021 y está por debajo del límite crítico.' Puesto que la regresión arriba citada está contaminada de correlación serial, no se puede confiar en los errores estándar estimados y en las razones t por los argumentos ya anotados. Por consiguiente, es necesario aplicar medidas remediales. El remedio, por supuesto, depende de que p (coeficiente de 1Por el momento, no debe preocupar el problema de simultaneidad, es decir si U ocasiona el IV o viceversa.



correlación) pueda ser estimado mediante uno o más de los métodos ya analizados. Para nuestro ejemplo ilustrativo el p estimado a partir de los diversos métodos es el siguiente:

Método utilizado P Comentario

d de Durban-Watson 0.5490 Véase (12.6.12) d de Theil-Nagar Cochrane-Orcutt 0.5598 Véase ejercicio 12.6 Iteración I 0.54571 Iteración II 0.57223 Iteración III 0.57836 Iteración IV 0.57999 Iteración V 0.58040 Dos etapas, de Durban 0.7952

Como puede ver el lector, el d de Durbin-Watson, el d modificado de Theil-Nagar, el paso l del procedimiento de dos etapas de Cochrane-Orcutt y el procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt todos producen estimaciones de p que son bastante similares; pero la obtenida de Durbin, dos etapas, es bastante diferente2.

La pregunta práctica es entonces: ¿Cuál método de estimación de p se debe seleccionar en la práctica? Se dará respuesta a esta pregunta en breve. Por el momento, se continuará con nuestro ejemplo y se ilustrará la forma de estimar la ecuación en diferencia generalizada (o estimación MCG factible) utilizando uno de estos P. Se utiliza la aproximación de d en muestras pequeñas de Theil-Nagar. Utilizando la fórmula dada en el ejercicio dos hojas atrás, se obtiene ρ = 0.5598. Con esta estimación, se transforma la información de la siguiente manera:

1* ln5554.0ln −−= ttt IVIVInIV

1* 5554.0 −−= ttt inUInUInU

Es decir, se resta 0.5554 veces el valor anterior de la variable de su valor actual. Puesto que la primera observación no tiene un valor precedente, se tienen dos opciones: (1) eliminarla del análisis, o (2) incluirla mediante la transformación de Prais-Winsten, la cual, en el presente caso, se convierte en

2 Puede haber una razón técnica para esta diferencia. Si se examina (12.6.19) cuidadosamente, se verá que hay dos estimaciones de p, una obtenida directamente del valor rezagado de Y y otra obtenida al dividir el coeficiente del valor rezagado de X por el coeficiente de X. No hay garantía de que las dos estimaciones sean idénticas. El problema real aquí es que (12.6.19) es intrínsecamente un modelo de regresión no lIneal (en parámetros) y debe ser estimado mediante procedimientos de estimación de regresión no lIneal, que están por fuera del alcance de este lIbro.



( )[ ]125554.01 InIV•− y ( )[ ]1

25554.01 InU•− . Se presentan los resultados en las dos formas. Omitiendo la primera observación

*ln tIV = 3.1284- 1.4672 In *tU N = 23

ee = (0.0886) (0.1328) r2 = 0.9685

t = (35.326) (-11.045) d=1.77 donde las variables con asterisco son las transformadas. como se indicó anteriormente. Obsérvese que 3.1284 = ( ) ( )5554.01ˆˆ1ˆ

11 −=− βρβ de donde se obtiene =1β 7.3084. que es comparable con el 1β de la regresión original (12.7.1). Incluyendo la primera observación (transformación Prais- Winsten)339

*ln tIV = 3.1361 - 1.4800 In *tU N = 24

ee = (0.0813) (0.1198) r2 = 0.9684 t = (38.583) (-12.351) d = 1.83 (12.7.3) Comparando la regresión original (contaminada de autocorrelación) con la regresión transformada y la regresión Prais-Winsten se observa que los resultados son generalmente comparables4. La pregunta práctica es: ¿se ha resuelto el problema de autocorrelación? Si se toman los valores Durbin-Watson estimados reportados por sus valores observados, parecería que ya no hay autocorrelación de (primer orden) (¿Por qué?) Sin embargo, como lo anota Kenneth White en su SHAZAM (p.86).las tablas de Durbin-Watson pueden no ser apropiadas para probar la presencia de correlación serial en la información, que ya ha sido ajustada por autocorrelación. Por consiguiente, se puede utilizar una de las pruebas no paramétricas analizada anteriormente. Para la regresión original puede demostrarse que con base en la prueba de rachas, no se puede rechazar la hipótesis de que no hay correlación serial en los residuales de esa regresión. (Véase ejercicio 12.20). Para la regresión Prais-Winsten (12.7.3) puede también demostrarse que los residuales estimados de esa regresión están libres del problema de correlación serial. (Verífiquese esto explícitamente. Como información. hay 11 residuales positivos. 13 residuales negativos y el número de rachas es 12. Si se desea probar hipótesis sobre los parámetros. se puede proceder en la forma usual. Pero 3 Un punto técnico: El término de intercepto en la regresión Prais-Winsten es algo complicado. Como resultado, se debe efectuar esta regresión a través del origen. El término de intercepto reportado en (12.7.3) no ha sido mezclado. Para mayores detalles, véase Kenneth J. White y Linda T.M. Bui, Computer Handhook Using SHAZAM, McGraw-Hill, New York, 1985, p. 86. Para detalles teóricos, véase Jan Kmenta. Elements o/ Econometrics, 2a. ed., Macmillan, New York, 1986. pp. 303-305. 4 Pero recuérdese que en muestras pequeñas. los resultados podrían ser sensibles a la inclusión o exclusión de la primera observación.



obsérvese que como se está estimando p. las pruebas usuales de significancia serán estrictamente válidas solamente en muestras grandes. En muestras pequeñas, los resultados de las pruebas serán solo aproximados. Por ejemplo, de (12.7.2) se puede concluir que el verdadero coeficiente de pendiente es estadísticamente diferente de cero. Pero se debe tener cautela aquí puesto que nuestra muestra de 23 observaciones no es demasiado grande.

Comparación de los métodos. Retornando a la pregunta planteada anteriormente: ¿Cuál método de estimación de p se debe utilizar en la práctica para efectuar la regresión en diferencia generalizada o MCG factible? Si se está tratando con muestras grandes (digamos, por encima de 60-70 observaciones). no hay gran diferencia en cuál método sea seleccionado. ya que todos producen más o menos resultados similares. Pero generalmente este no es el caso en muestras finitas o pequeñas ya que los resultados pueden depender de cuál método se seleccione. En muestras pequeñas, entonces, ¿cuál método es preferible? Desafortunadamente, no hay una respuesta definitiva a esta pregunta porque los estudios de muestras pequeñas realizados mediante los diversos métodos, a través de las simulaciones de Monte Carlo, no favorecen consistentemente ninguno de los métodos. En la práctica, sin embargo, el método frecuentemente utilizado es el método iterativo de Cochrane-Orcutt, que ya ha sido incorporado a diversos programas de computado tales como ET; SHAZAM, TSP Y SAS. A medida que el software de computador se hace más sofisticado, se pueden utilizar métodos de estimación de p orientados específicamente para tratar con tales muestras pequeñas. De hecho, en la actualidad, paquetes como SAS contienen MV y algunos procedimientos no lineales de estimación de p (Véase el procedimiento AUTOREG de SAS). Por otra parte es conveniente señalar que para llegar a estos resultados transformando las variables originales, al igual que en el ejemplo anterior, se utilizó el algoritmo que se expresa en la siguiente tabulación. IVt Ut LnIVt LnUt 1

* ln5598.0ln −−= ttt IVIVInIV 1* ln5598.0 −−= ttt UInUInU

104.66 5.63 103.53 5.46 .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. 187.66 3.96 Mediante estas transformaciones se obtuvieron las ecuaciones de regresión que permitieron, primero, identificar la autocorrelación y segundo, eliminarla. Así, para verificar la eliminación de autocorrelación, hacemos lo siguiente: a)Con N=23 y k-1=1 α=5% tenemos que dL=1.257 y du=1.437, comparamos y vemos que: d=1.77



>du=1.437, luego como d>du no hay correlación y aceptamos Ho: r=0. b)Con N=24, y k-1=1 α=5% obtenemos en tablas dL=1.273 y du=1.446, comparamos d=1.8342 >du=1.446, como d>du , decimos que no hay correlación y aceptamos Ho: r=0. X.3 MULTICOLINEALIDAD Se dice que existe multicolinealidad cuando dos o más variables explicativas están altamente correlacionadas en el modelo de regresión; esta alta correlación impide conocer el efecto individual de cada una de estas variables explicativas sobre la variable dependiente. X.3.1 Consecuencias de la correlación entre variables explicativas. Los coeficientes estimados con el método de mínimos cuadrados ordinarios, en opinión de D. Salvatore (misma obra citada anteriormente, página 151), “pueden ser estadísticamente insignificantes”, aun cuando se vea que R2 tenga valores muy altos y, lo que es más importante, los coeficientes estimados aun siguen siendo INSESGADOS. Es más, Salvatore menciona que si el propósito principal de la regresión es el PRONOSTICO “la multicolinealidad no es un problema si el mismo patrón de multicolinealidad persiste durante el período pronosticado”. X.3.2 ¿Cómo se identifica la multicolinealidad? 1. Cuando se observa que alguno o ninguno de los coeficientes de las variables explicativas es estadísticamente significativo, además de que R2 resulta alto y F muestra que en conjunto si son significativos estadísticamente. Carrascal (2001:162). 2. También se detecta la multicolinealidad cuando se obtienen elevados coeficientes de correlación simple o parciales, entre las variables explicatorias; sin embargo, esto no es muy seguro porque puede presentarse multicolinealidad “suficiente aun si los coeficientes de correlación simple o parciales son relativamente bajos (menores que 0.5)”. Derivado de lo anterior es que Carrascal (2001:174) propone calcular la matriz de correlaciones entre cada par de regresores, es decir hacer análisis de correlación simple; si la correlación es elevada (próxima a ± 1) es indicativo de que hay multicolinealidad.

X.3.3 Métodos para reducir o eliminar la multicolinealidad a) Se amplia el tamaño de los datos muestrales; b) Utilizar información a priori; c) Se transforma la relación funcional: incrementando o deflactando las variables del modelo.



d) Se omite una de las variables altamente colineales. En este caso puede surgir un problema de especificación o error si la teoría señala que dicha variable omitida se debe incluir en el modelo, por ello no es recomendable.

NOTA: La transformación de variables incluidas en el modelo para que la nuevas variables transformadas presenten correlaciones lineales más bajas se hace incrementando las variables, como ya se indicó y, en el caso de la deflactación de las mismas, se hace con INPC u otro apropiado, de modo que el modelo ahora se expresa a precios constantes y con ello se elimina la multicolinealidad. X.3.4 Ejemplos numéricos para identificar y resolver la multicolinealidad. D. Salvatore en la página 155 de la obra citada plantea el siguiente caso: La producción en toneladas, Q, los insumos de trabajo en horas-hombre, L, así como los insumos de capital en horas-máquina, K, así como sus logaritmos naturales, lnQ, InL. lnK, respectivamente, de 15 empresas norteamericanas.

Empresa Q L K LnQ Lnl LnK 1 2,350 2,334 1,570 7.76217 7.75534 7.35883 2 2,470 2,425 1,850 7.81197 7.79359 7.52294 3 2,110 2,230 1,150 7.65444 7.70976 7.04752 4 2,560 2,463 1,940 7.84776 7.80914 7.57044 5 2,650 2,565 2,450 7.88231 7.84971 7.80384 6 2,240 2,278 1,340 7.71423 7.73105 7.20042 7 2,430 2,380 1,700 7.79565 7.77486 7.43838 8 2,530 2,437 1,860 7.83597 7.79852 7.52833 9 2,550 2,446 1,880 7.84385 7.80221 7.53903 10 2,450 2,403 1,790 7.80384 7.78447 7.48997 11 2,290 2,301 1,480 7.73631 7.74110 7.29980 12 2,160 2,253 1,240 7.67786 7.72002 7.12287 13 2,400 2,367 1,660 7.78322 7.76938 7.41457 14 2,490 2,430 1,850 7.72004 7.79565 7.52294 15 2,590 2,470 2,000 7.85941 7.81197 7.60090

a) Con esos datos ajustó una función de producción Cobb – Douglas de la forma eKLb ubbQ 21

0=

y encontró R 2 así como el coeficiente de correlación simple entre lnL y lnK; para ello transformó los datos en forma de logaritmo natural y obtuvo:

lnQ = 0.50 + 0.76 lnL + 0.19 lnK R2 = 0.969

(1.07) ( 1.36) 964.02 =R



992.0lnln

=r KL

Detalladamente:

Dependent Variable: LQ Method: Least Squares Date: 11/22/04 Time: 21:29 Sample: 1 15 Included observations: 15


C 0.500430 4.480020 0.111703 0.9129 LL 0.757561 0.707327 1.071019 0.3052 LK 0.188009 0.138676 1.355744 0.2001




b) Relacionó lnQ con lnL solamente y halló:

LnQ = -5.50 + 1.71 lnL R2 =0.964 (0.71) (0.09)

Dependent Variable: LQ Method: Least Squares Date: 11/21/04 Time: 18:48 Sample: 1 15 Included observations: 15


C -5.501022 0.711105 -7.735877 0.0000 LL 1.708958 0.091442 18.68891 0.0000






c) Relaciono lnQ con lnK solamente

lnQ = 5.33 + 0.33 lnK R2 = 0.966 (0.13) (0.01)

Dependent Variable: LQ Method: Least Squares Date: 11/21/04 Time: 18:49 Sample(adjusted): 1 15 Included observations: 15 after adjusting endpoints


C 5.331671 0.131934 40.41163 0.0000 LK 0.330505 0.017778 18.59031 0.0000




d) Analizó los resultados anteriores en relación con la multicolinealidad y señaló: Que en a) ni b1

ni b2 eran estadísticamente significativas con %5=α y como R2 = 0.97, concluyó

que había multicolinealidad, es decir, las empresas más grandes eran propensas a usar más trabajo y más capital que las empresas pequeñas. Esta situación se confirmó por el valor muy alto de 0.992 para el coeficiente de correlación simple entre lnL y lnK. En b) y c) al reestimarse la regresiones simples con lnL ó lnK como la única variable explicatoria, se vio que tanto los coeficientes de lnL como lnK ahora eran estadísticamente significativas con α = 1% y con R2 superior a 0.96. Estos mejores resultados usando una sola variable explicativa podrían inducir a usar una sola de ellas en la regresión. Ello no es aconsejable, ya que omitirla en la regresión múltiple genera una estimación de pendiente con mínimos cuadrados ordinarios sesgada para la variable explicativa utilizada, debido a que la teoría de la empresa establece que el trabajo como el capital deben incluirse en la función de producción. e) ¿Cómo superar lo anterior, cómo eliminar la multicolinialidad trabajando con las dos variables independientes ?, para ello supone que en esta industria no existen economías de escala (es decir, b1

+ b2=1); ahora bien en palabras de Gujaratí (1991:234): “si se espera obtener retornos a escala constante, entonces b1+b2=1”.



Se recurre a la transformación de las variables sabiendo que sin economías de escala, la función de

producción Cobb – Douglas se puede plantear como eKLbQ ubb 111

0

−= , ecuación en la que se

observa al compararla con la ecuación inicial, que b2 ahora se obtiene a partir de b1. Al expresar la nueva ecuación en forma doble – Log y reordenándola, se tiene:

uKLQ bbb +−++= ln)1(lnlnln110

uKLKQ bb +−+=− )ln(lnlnlnln10

Enseguida se establece lnQ* = lnQ – lnK y lnL* = lnL – lnK y luego relacionando y corriendo en la computadora lnQ* con lnL*, para calcular b1, se obtiene la siguiente ecuación de regresión:

LnQ* = 0.07 + 0.83 lnL* R2 0.990

(0.008) (0.022) Dependent Variable: Q1 Method: Least Squares Date: 11/21/04 Time: 20:13 Sample: 1 15 Included observations: 15


C 0.071856 0.008354 8.601163 0.0000 L1 0.830859 0.022073 37.64117 0.0000




luego 17.083.011 ˆˆ 12=−=−= bb , de manera que b1+b2=1 es decir 0.83 +

0.17=1

Por consiguiente al hacer la prueba de significación, se recurre a la columna de probabilidad que indica un valor de cero, indicativo de que son estadísticamente significativas ambas variables, esto es debido a la probabilidad de α=0.05 que maneja el programa, y por ello ya no existe multicolinealidad.



La solución al problema de la multicolinealidad que se presenta podemos decir que es de manera parcial, ya que es necesario contar con más información (datos) para estimar nuevamente y llegar a la solución del problema, en donde se puedan usar las dos variables explicativas, ya que como se recordará el problema de la multicolnealidad “es una cuestión de grado y no de clase. La distinción significativa no es entre la presencia o ausencia de este fenómeno en un modelo, sino entre sus varios grados. Como la multicolinealidad se refiere a una condición sobre las variables explicativas o independientes que se supone no estocásticas, entonces es una característica de la muestra y no de la población bajo estudio”.[Luis O, 1992]

Cabe señalar que la detección de multicolinealidad es la mitad de la batalla (Gujarati, 1991:241). La otra mitad esta relacionada con hallar como deshacerse del problema. Nuevamente, no existen método seguro, solamente unas pocas reglas generales. Algunas de estas son las ya mencionadas en el punto XI.3.3. Naturalmente, para saber cual de estar regla utilizar en la practica tenemos que conocer la naturaleza de los datos y la severidad del problema de multicolinealidad.

El archivo maestro o nuestra base de datos para llegar a estos resultados es. obs Q L K LQ LL LK LQ*1 L*1

1901 2350 2334 1570 7.76217060714 7.75533881285 7.35883089834 0.41 0.4 1902 2470 2425 1850 7.81197342962 7.79358680337 7.52294091807 0.29 0.27 1903 2110 2230 1150 7.65444322647 7.70975686445 7.04751722136 0.61 0.66 1904 2560 2463 1940 7.84776253747 7.80913539812 7.57044325206 0.28 0.24 1905 2650 2565 2450 7.88231491898 7.8497137576 7.80384330354 0.08 0.05 1906 2240 2278 1340 7.71423114485 7.73105314401 7.20042489294 0.51 0.53 1907 2430 2380 1700 7.79564653633 7.77485576667 7.43838353004 0.36 0.33 1908 2530 2437 1860 7.83597458172 7.79852305363 7.52833176671 0.31 0.27 1909 2550 2446 1880 7.84384863815 7.80220931625 7.53902705582 0.3 0.26 1910 2450 2403 1790 7.80384330354 7.78447323574 7.48997089883 0.31 0.29 1911 2290 2301 1480 7.73630709655 7.74109909004 7.29979736676 0.44 0.44 1912 2160 2253 1240 7.67786350068 7.72001794043 7.1228666586 0.56 0.6 1913 2400 2367 1660 7.78322401634 7.76937860951 7.41457288135 0.37 0.36 1914 2490 2430 1850 7.82003798946 7.79564653633 7.52294091807 0.3 0.28 1915 2590 2470 2000 7.85941315469 7.81197342962 7.6009 0.26 0.21

XI . MODELO DE ECUACIONES SIMULTANEAS: APLICACIONES ECONÓMICAS A ECUACIONES DE EQUILIBRIO 2. Con los uniecuacionales se establece una relación unidireccional, de causa a efecto; donde X es la causa y Y el efecto: No obstante hay situaciones en que Y influye también X, en este caso es preciso considerar dos ecuaciones : a un modelo de ecuaciones simultaneas, en el que hay más de dos ecuaciones , una para cada variable dependiente se le llama modelo de ecuaciones simultaneas.



En este caso el método MCO, es generalmente inaplicable para estimar los parámetros de cada una de las ecuaciones en el modelo. Por otra parte si en este modelo existen dos o más ecuaciones no es posible obtener valores numéricos de cada parámetro en cada ecuación porque las ecuaciones no son observacionalmente distinguibles, es decir se parecen mucho entre si , entonces se tiene el problema de IDENTIFICACIÓN; por ejemplo en la regresión de la cantidad Q sobre el precio P ¿es la ecuación resultante una función de oferta o de demanda¿ ya que Q y P son parte de las dos funciones. Luego es importante resolver el problema de identificación antes de proceder ala estimación . para ello hay diversos métodos, como también los hay para estimar los modelos de ecuaciones simultaneas. El metodo de MCO no es aplicale porque uno de sus supuestos es que X no es estocàstica, y si lo es, esta distribuida independientemente del termino de perturbación (Ui) estocàstico . si no se cumple lo anterior, entonces los estimadores de MCO son sesgados e inconsistentes: cuando n tiende a N, el valor del estimador no converge con el valor del parámetro poblacional, dado que hay correlación entre X y U i. Métodos para la Estimación Para estimar los parámetros de los modelos existen diversos métodos, destacan: a) Uniecuacionales o de información limitada; b) Métodos de sistemas conocidos como Métodos de información completa.ç En los uniecuacionales cada ecuación ( en el sistema de ecuaciones simultáneas) se estima individualmente considerando las restricciones impuestas sobre ella ( tales como la exclusión de algunas variables ) sin preocuparse de las restricciones sobre las otras ecuaciones en el modelo, de ahí el nombre de métodos de información limitada . En el segundo grupo de métodos , se estiman todas las ecuaciones en el modelo de manera simultanea, teniendo en cuenta ,las restricciones ocasionadas por la omisión o ausencia de algunas variables sobre dichas ecuaciones, por eso se llaman métodos de información completa. Idealmente se deberían usar los métodos de sistemas, dentro de los que destaca el método de máxima verosimilitud con información completa, pero en la pràctica no se usan por: a) El gran numero o volumen de datos, b) Conducen a soluciones que son altamente no lineales en los parámetros y por ende, difíciles de determinar y c) Si hay un héroe de especificación, este se trasmite al resto del sistema. En consecuencia estos métodos se vuelven muy sensibles a los errores de especificación. Por consiguiente, en la practica, se usan los métodos uniecuacionales con mucha frecuencia, los cuales son:

1. Mínimos cuadrados ordinarios, MCO; 2. Mínimos cuadrados indirectos, MCI; y 3. Mínimos cuadrados de dos etapas .

Sobre uno, antes se hablò de sus limitaciones, sin embargo hay una situación en que puede aplicarse apropiadamente: En los modelos recursivos, triangulares o causales, donde las perturbaciones de



diferentes ecuaciones no están correlacionadas, es decir existe cero correlación contemporánea ( el mismo periodo. Con el dos, se usa cuando la ecuación estructural esta exactamente identificada; donde las estimaciones de los parámetros se conocen como estimaciones de mínimos cuadrados indirectos, cuyos parámetros son consistentes y, bajo los supuestos apropiados, eficientes. El método numero tres se usa cuando una variable”representante” de la variable explicativa estocàstica Y t, tal que aunque se parece a ella ( ambas están altamente correlacionadas), no esta correlacionada con U-i. Tal variable también se le conoce como estructural, ¿Còmo se obtiene esta variable? Con el método de mínimos cuadrados en dos etapas, MC2E. ROSARIO AQUÍ VAN LAS 3 HOJAS DE SALVATORE









A manera de reit eración, como se indicó, el s is t ema de ecuaciones s imult áneas es el fundament o de los mode l os mul ti e cuaci onal e s , que a diferencia de los modelos uniecuacionales vis t os has t a el moment o, se caract eriz an p or lo s iguient e: a) Exis t e más de una variable dep endient e; b) Exis t e más de una ecuación; c) Una variable dep endient e de una ecuación p uede ap arecer como variable exp licat iva en ot ra ecuación del s is t ema de ecuaciones s imult áneas . Por ello, en op inión de Gujarat i (1990,275), dicha variable dependiente explicativ a se conviert e en es t ocás t ica, es t ando p or lo general correlacionada con el t érmino de p ert urbación de la ecuación en la que ap arece como exp licat iva. En es t a s it uación el mét odo M CO no debe ap licarse p orque los es t imadores obt enidos no son cons is t ent es , lo que imp lica que no t ienden a su valor cerdadero, cualquiera que sea el t amaño de la mues t ra. A cont inuación se exp one la cons t rucción de un modelo mult iecuacional con ap licaciones a la economía. XI .1 Teoría de l os Preci os XI.1.1 In troducci ón: Funci ones y Model os La may oría de las p rop os iciones bás icas de la t eoría económica t ienen que ver con relaciones funcionales y se p ueden rep resent ar o formular mat emát icament e. En la t eoría de los p recios p odemos emp ez ar con dos sup ues t os s imp les : i ) La cant idad (Q o) de un bien ofrecido p ara venderse en un moment o dado dep ende del p recio (p ). En lenguaje mat emát ico, la cant idad ofrecida es función del p recio.

Q 0=f1(p ) Además , se sup one que la cant idad ofrecida aument ará s i el p recio aument a y disminuirá s i és t e desciende. i i ) La cant idad Q d de un bien que los consumidores demandarán dep ende del p recio (p ), luego Q d=f2(p ). Se sup one que la cant idad demandada aument ará s i el p recio disminuy e y disminuy e s i el p recio aument a. El p roblema es encont rar funciones mat emát icas que rep resent en la funciones de ofert a (Q 0) y de demanda (Q d). Si el p recio se mide en el eje vert ical y la cant idad demandada en el eje horiz ont al; sabemos que la curva normal de la ofert a t endrá p endient e p os it iva y la curva de demanda será negat iva.



d q

010203040506070

0 20 40 60

dq

Las funciones serán : Q 0=3p Q d=40-2p Es t as dos ecuaciones p roducen líneas rect as de la ofert a y la demanda. Dos ecuaciones de segundo grado serán, p ara la misma relación económica: Q 0=p 2+2 Q

pd = 12

La p rimera es una p arábola y la segunda es una hip érbola rect angular. En ambas , p art e de la curva es irrelevant e. Precios y cant idades negat ivos no son de int erés p ara el economis t a, p or ello los gráficos y diagramas en economía generalment e mues t ra las secciones p os it ivas de las funciones ilus t radas , el res t o es s imp lement e ignorado en las funciones ant eriores P y Q. Las cons t ant es que det erminan la relación exact a de P y Q se conocen como p arámet ros de las funciones . En la función lineal de demanda ant erior 40 y -2 son los dos p arámet ros . XI.1.2 El aboraci ón de un Model o. Una vez que escogimos las dos funciones adecuadas p ara rep resent ar las relaciones de la ofert a y demanda, enseguida p rocedemos a elaborar un modelo. Un modelo es s imp lement e un s is t ema de ecuaciones s imult áneas describiendo algunos asp ect os de la vida económica. Para encont rar los valores de las diferent es variables cont enidas



en el modelo es necesario que el número de incógnit as en el modelo sea exact ament e igual al número de ecuaciones . T omemos el segundo p ar de ecuaciones de demanda y ofert a

Q 0=p 2+2 Qp

d = 12

El modelo no es t á comp let o y a que t enemos dos ecuaciones p ero t res incógnit as : Q 0, Q d, y p . Como nosot ros buscamos una s it uación de equilibrio, es decir, los valores de P y Q p ara los cuales la cant idad ofrecida en vent a es exact ament e igual a la cant idad que los consumidores comp raran. Lo ant erior nos da la t ercera ecuación, la de equilibrio.

Q 0=Q d

Ahora el modelo es t á comp let o y graficando las funciones p odemos encont rar los valores de P y Q, y hallar que el p recio y la cant idad son 2 y 6 resp ect ivament e. Es t e enfoque que requiere es t ablecer un s is t ema de ecuaciones s imult áneas cuy a solución es p ara encont rar los valores de equilibrio de las variables es una de las herramient as bás icas de los economis t as . Nat uralment e los modelos serán más comp lejos que el ut iliz ado, p ero los p rincip ios son los mismos . 1. Ejercicio: De las s iguient es ecuaciones indique cuales rep resent an adecuadament e a las ecuaciones de demanda y ofert a. Q =155-25p Q= 50p P=0.10Q 2 PQ=20 5Q-50-200P=0 Q=1200-p 2 ¿Que sup ues t os hiz o sobre las caract erís t icas de la forma de las funciones de ofert a y demanda? 2.- Comp let e los 2 modelos y encuent re el p recio y cant idad de equilibrio, dadas las s iguient es ecuaciones .



a) Q d=100-20p b) Q d=1000-p 2 Q 0=-5+15p Q 0=30 p SOLUCIÓN: Q=155-25p es ecuación de demanda Q= 50p es ecuación de ofert a P=0.10Q 2 es ecuación de ofert a PQ=20 es ecuación de demanda es ecuación de ofert a 5Q-50-200P=0 es ecuación de demanda Q = 1200-p 2 Sup ues t os p ara la demanda: A medida que el p recio aument a, la cant idad demandada baja. Sup ues t os p ara la ofert a: A medida que el p recio aument a, la cant idad ofrecida aument a. Función de Ofert a P Q Función de demanda P Q Si P=0.10Q 2 1 .31 Si Q=155-25p 1 130 Q 2=P/0.10 2 .44

Q-155+25p =0 2 105 Q P= 10 3 .54

25p =-Q+155 P Q= − + 155

25

Función de demanda P Q PQ=20 1 20 Q=20/P 2 10 3 6 Cuando Q=1200-P 2 Función de Demanda P Q 1 1999



2 1996 3 1961 a) Q d=100-20P Q d=1000-P 2

Q 0=-5+15P Q 0=30P Q 0=Q d Q 0=Q d

P=3; Q=40 P=20; Q=600 XI .1.3 Construcci ón de un Model o de Equi l i bri o Preci o-Demanda-Oferta2 Sup onga que sabíamos que a un p recio de 10 p esos la cant idad demandada de un bien det erminado es de 250 unidades , y que la cant idad demandada aument ará en 50 unidades p or la reducción de cada p eso p or abajo de 10 p esos , y disminuirá en 50 unidades la cant idad p or el aument o de cada p eso p or arriba de 10 p esos . La demanda es una línea rect a como se mues t ra en el s iguient e diagrama, donde la relación es t e la cant idad demandada (Q d) y el p recio (p ) p uede describirse as í: Q d=a-bP

D

-5

0

5

10

15

20

25

0 200 400 600 800Q

p

Si la demanda se ext iende al eje de las equis (línea p unt eada), ello imp licaría que una cant idad finit a hip ot ét ica sería demandada s i se t rat ara de un bien librement e comerciable en el mercado. No nos int eresa dicha s it uación s ino la p orción rep resent ada p or la línea cont inua. La ext ens ión al p unt o en que P=0 nos p rop orciona el valor de la cons t ant e “ a” en la ecuación ant erior; s i P=0; Q d=a. Además sabemos que (-b)es la p endient e dela rect a. Emp ez ando en el p unt o P=0, sabemos que p or cada aument o de un p eso en el p recio, la cant idad demandada disminuirá en 50 unidades , es decir, b=50, luego p odemos escribir Q d=a-50p



Y como sabemos p or la información que recibimos que cuando P=10, Q d=250, p odemos hallar el valor de “ a” sus t it uy endo es t os valores . 250 = a-50(10) a = 750 luego la ecuación de demanda es : Q d=750-50p . Ahora analicemos el lado de la ofert a en el mercado. Sup onga que sabemos que s i el p recio fuera t an bajo como cinco p esos nadie ofrecería nada de la mercancía p ara la vent a, y que p or cada p eso de aument o arriba de ese nivel ($5.00), se ofrecerán 20 unidades del bien p ara vent a en el mercado. La ecuación de la ofert a p uede escribirse as í: Q 0=c+dp

O

0

2

4

6

8

10

12

0 50 100 150

Q

p

luego d=20. Como sabemos que Q 0=0 cuando P=5, det erminamos el valor de “ C” haciendo: 0=C+(20)(5) C=-100 As í la ecuación de ofert a es : Q 0=-100+20p Ahora det erminemos los valores de equilibrio de P , Q d, Q o, es decir encont rar el p recio al cual la cant idad demandada es igual a la cant idad ofrecida en el mercado. Para ello se debe encont rar el p unt o de int ersección de las dos rect as , con Q d=Q 0 As í 750-50p =-100+20p =70P=850 P =12.14



Int erp ret ación: El p recio de equilibrio en es t e mercado es de 12.14. La cant idad comp rada y vendida a ese p recio se det ermina sus t it uy endo el valor de P=12.14 en cualquiera de las ecuaciones de ofert a y demanda. Q 0=-100+(20)(12.14) Q 0=-100+242.80 Q 0=Q d=142.80 XI .1.4 Vari abl es Endógenas y Exógenas2 T omemos como referencia el modelo lineal ant erior t rabajando con las lit erales de las ecuaciones : Q d=a-bP Q 0=c+dP Q d=Q 0

Las variables en el modelo P y Q es t án int errelacionadas y el valor de una dep ende del valor de la ot ra, y a que cuando resolvimos el s is t ema de ecuaciones s imult áneas p udimos encont rar el valor de P y luego el de Q p or sus t it ución. Ahora sup óngase que se t rat a de un p roduct o agrícola y deseamos aument ar el realismo del modelo incluy endo la p recip it ación p luvial mensual (R) en la ecuación de la ofert a, la cual se conviert e en:

Q 0=c+dP+eR Es t a nueva variable es de diferent e nat uralez a de las variables P y Q. Los valores de P y Q se det erminan dent ro del modelo y p or ello se denominan como VARIABLES ENDOGENAS . La lluvia mensual s in embargo, no se det ermina p or ninguna variable dent ro del s is t ema, los cambios en P o Q no afect aron el valor de R. Pues t o que el valor de R se det ermina p or fuerz as ext rañas al modelo, se conoce como VARIABLE EXOGENA.



Es int eresant e la int erp ret ación gráfica de un cambio en el valor de las variables exógenas . Para ello sup onga que la ecuación de ofert a Q 0=C+dP+eR t iene los s iguient es p arámet ros :

Q 0=4+3p +2R

En ciert o mes la p recip it ación p luvial fue de 2 p ulgadas , t al que la función de ofert a fue:

Q 0=4+3p +2(2) =8+3p Q1 En el mismo mes del s iguient e año la p recip it ación fue 3.5 p ulgadas , la función de ofert a fue: Q 0=4+3p +2(3.5) Q 0=11+3p Q2 graficando las dos ecuaciones t enemos:

O2

O1

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60

p

Q

El cambio en el valor de la variable exógena p rodujo un cambio en la función de ofert a. Si, s in embargo le damos diferent es valores a las variables endógenas P y Q, ent onces sup oniendo que no cambie los valores de los p arámet ros , la rect a de la ofert a no cambia. Diferent es valores de P y Q s imp lement e rep resent an diferent es p unt os en la ecuación de ofert a act ual. Para Q 1, t enemos Q 0=8+3p cuando p =2, Q=14; cuando p aument a a 3, Q aument a a 17, ot ro p unt o en la rect a. Similarment e p ara cualquier rect a de demanda de la forma Q d=f(p ), los cambios en cualquier variable exógena: ingreso, gas t o, et c., cambiarán la rect a de la demanda; los cambios en los p recios no la modificarán.



XI.2 Teoría del Ingreso2 XI .2.1 El Model o S i mpl e Keynesi ano. La t eoría de ingreso nacional p uede diseñarse p ensando en dos ident idades . La p rimera es t ablece que p ara una economía cerrada (s in comercio ext erior) el gas t o t ot al (E) es la suma de los gas t os de consumo, (C), gas t o de invers ión (I) y el gas t o del gobierno (G). E=C+1+G La segunda ident idad describe el desglose del ingreso nacional en la forma en que se recibe en la economía; el ingreso (Y) se usa p ara comp rar bienes de consumo (C), p ara el ahorro (A), y p ara p agar imp ues t os al gobierno (T ):Y=C+A+T Para un det erminado p eriodo de t iemp o, el gas t o t ot al debe ser exact ament e igual al ingreso nacional recibido.E=Y y p or cons iguient e : C+I+G=C+A+T Si sup onemos que el gobierno gas t a exact ament e lo que recibe como ingreso p or los imp ues t os que cobra, t enemos que (G=T ), luego como (C) ap arece en los dos lados de la economía, t enemos las ident idades : I=A y C=C. Es t as ident idades mues t ran que p ara cualquier p eriodo p asado de t iemp o el t ot al de gas t o debió ser igual al ingreso recibido, y p or cons iguient e que la invers ión fue igual al ahorro. Sin embargo no hay raz ón alguna p ara sup oner que al p rincip io del p eriodo, la cant idad de dinero que los hombres de negocios desean invert ir sea igual a la cant idad que desean ahorrar las p ersonas . Es t as últ imas p ueden desear ahorrar más de lo que p iensan invert ir los hombres de negocios , es t os p ueden p lanear invert ir más de que las p ersonas p iensan ahorrar. En el p rimer caso la p res ión deflacionaria disminuirá el ingreso nacional has t a que alcance el p unt o de equilibrio; en el segundo caso, la p res ión inflacionaria aument ará el ingreso nacional has t a un nivel de equilibrio en que el ahorro sea igual a la invers ión. La economía sólo es t ará en equilibrio cuando, a ciert o nivel de ingreso, cuando la invers ión p laneada sea igual al ahorro p laneado; en es t e caso, el gas t o t ot al p laneado será igual al ingreso t ot al esp erado. El p rofesor Key nes ilus t ra su t eoría con el s iguient e modelo mat emát ico. Ejemp lo: Si la p rop ens ión p romedio a ahorrar en un p aís es t á dada p or la exp res ión: A=.2Y-50 y el nivel de invers ión es t á dado p or I=.1Y, encuent re el nivel de equilibrio del ingreso.



Has t a el moment o el modelo es t á incomp let o, t enemos t res incógnit as (A, I, Y) y solo dos ecuaciones . La t ercera ecuación es la de equilibrio: A=I, resolviendo p ara Y 0.2Y-50=.1Y 0.1Y=50 Y=500 Sup onga que la p rop ens ión p romedio a ahorrar aument a y que la función de ahorro cambia a: A=.2y -35. Si la función de invers ión p ermanece cons t ant e, debemos esp erar p res iones deflacionarias p ara reducir el nivel de ingresos . Digamos que A ′=I 0.2Y-35=.1Y 0.1Y=35 Y=350. Es t as dos s it uaciones diferent es se p ueden most rar gráficament e:

A'A

I

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 500 1000 1500 2000y

A, I

Si A=.2 y -5 0

Y A o - 5 0 5 0 0 5 0

Si A’=.2 y -3 5 Y A’ 0 - 3 5 3 5 0 3 5

Si I=.1 y y I 0 0

3 5 0 3 5 5 0 0 5 0

A=I Ot ro diagrama usado frecuent ement e en la t eoría del ingreso mide el gas t o nacional (E) en el eje vert ical y el ingreso (Y) en el eje horiz ont al. Hemos vis t o que en equilibrio E=Y



Los p unt os de equilibrio se encuent ran a lo largo de la línea con ángulo de 450 que es equidis t ant e de los dos ejes . A medida que el gas t o nacional aument a p or un aument o en el gas t o de consumo, en la invers ión o en el gas t o del gobierno, el p unt o de equilibrio se moverá hacia arriba y el ingreso nacional (medido en el eje horiz ont al) aument ará.

Y0 Y1 Y

E

4500

(C+I+G)'

C+I+G

C+IC

Un hecho imp ort ant e que des t aca la t eoría del ingreso y que se ve clarament e en es t e diagrama, es que un aument o en uno de los comp onent es del gas t o p úblico p rovocará un cambio más que p rop orcional en el ingreso (Y), que se denomina EFECT O M ULT IPLICADOR. XI.3 Un Model o de Creci mi ento Equi l i brado2. Los modelos cons t ruidos has t a el moment o se refiere a condiciones es t át icas , s in embargo es p os ible usar un conjunt o de ecuaciones s imult áneas p ara es t ablecer las condiciones p ara el crecimient o equilibrado de la economía. Usemos los s iguient es s ímbolos : Y= Ingreso nacional=p roduct o=gas t o C= Consumo A= Ahorro c, a= p rop ens ión a consumir y ahorrar desp ués de cap t ar el ingreso. Así tenemos: C= cY; A = aY; c+a= 1 I= invers ión K= disp onibilidad de cap it al



v= raz ón cap it al/p roduct o (p or ejemp lo s i v=4, ello s ignifica que p or cada unidad adicional de p roduct o (Y) se requieren 4 unidades adicionales de cap it al. Si sup onemos que el valor de v es cons t ant e de t al manera que t oman el mismo valor las raz ones marginal y p romedio p roduct o/cap it al, ent onces p ara la economía como un t odo Y=K/v Ello imp lica que la disp onibilidad de cap it al es un fact or limit ant e de la cap acidad de la economía p ara generar el p roduct o, y no la disp onibilidad de mano de obra ni de recursos nat urales . Nues t ro conocimient o de la t eoría del ingreso nacional nos cap acit a p ara decir que el gas t o t ot al es : Y=C+I Y=cY+I Y-cY=I Y(1-c)=I Y=I/1-c Como a=1-c t enemos que

Y=I/a. (1) La ecuación (1) es la ecuación del mult ip licador que mues t ra como el nivel de invers ión y la p rop ens ión a ahorrar ent re ellos det erminen el nivel de ingreso. Para el p roduct o hemos es t ablecido que con una raz ón (cap it al/p roduct o) cons t ant e

Ykv

= . (2)

Combinando las ecuaciones (1) y (2) p odemos most rar que el gas t o conduce a la ut iliz ación p lena de la cap acidad de la economía s i y sólo s i:

Ia

Kv

= .(3)

Cons t it uy endo el fundament o conciso de las condiciones p ara el uso p leno de los recursos disp onibles . La suma del t ot al de gas t os generados I

a

debe comp rar el

p roduct o generado cuando la cap acidad de la economía es t ot alment e ut iliz ada Kv

.

Si la raz ón Ia

es demas iado p equeña t al que

I

aKv

⟨ la demanda es insuficient e y la

economía op era s in ut iliz ar t oda su cap acidad ins t alada. En es t as circuns t ancias los remedios key nes ianos recomiendan aument ar el p roduct o has t a el límit e es t ablecido



p or la cap acidad de la economía. Las dos p os ibilidades son: Aument ar la invers ión o aument ar el consumo lo que s ignifica disminuir el ahorro. Cualesquiera de es t os dos p asos t endería a increment ar la raz ón I

a

y en su

moment o la cap acidad, el ingreso y el gas t o. Desafort unadament e el p roblema p ara los p aíses p obres como M éxico es mucho más serio. A menudo la dificult ad no es t rabajar p or abajo de la cap acidad p lena, s ino que aún a cap acidad p lena, el p roduct o p or p ersona es demas iado p equeño. El remedio s imp le de ahorrar menos (y gas t ar más) no es suficient e; p ara aument ar el p roduct o se debe aument ar la cap acidad de p roducir. En t érminos del modelo (k) debe crecer. De la ecuación (3) s i sup onemos que (a) y (v) son cons t ant es , es claro que I t ambién debe crecer. Reordenando la ecuación (3) t endremos:

I av K= .(3a)

Que es el nivel de invers ión que usa p lenament e los ahorros generados p or el ingreso obt enido a cap acidad t ot al de la economía. Dividiendo los dos lados de la ecuación p or K,

va

K

I= . (3b)

Es t a ecuación es más ilus t rat iva p ues t o que I rep resent a la adición net a al cap it al en un p eriodo de t iemp o dado y K rep resent a el cap it al exis t ent e en ese mismo p eriodo, I

K es la t asa de crecimient o de la disp onibilidad de cap it al. Es t a t asa debe

ser a

v anualment e.

Con lo ant erior hemos es t ablecido las condiciones p ara una t asa de crecimient o de la economía. Si la disp onibilidad de cap it al crece a una t asa de a

v ent onces el p roduct o

ext ra generado será absorbido p or el increment o en el gas t o t ot al. De hecho p uede most rarse que no solament e la disp onibilidad de cap it al, p ero la invers ión y el

ingreso t ambién deben crecer a una t asa de a

v anualment e p ara que se mant enga el

equilibrio en la economía.



XI .4 Ejerci ci os 1.- La economía de un p aís p uede describirse con las s iguient es ecuaciones : C= 15+0.9Y I= 20+0.05Y G= 25 (a) Comp let e el modelo y encuent re los valores de equilibrio Y, C, I y G. (b) Dibuje la gráfica de las t res funciones C, C+I y C+I+G y de los niveles de equilibrio del ingreso con y s in el gas t o del gobierno. 2.- El ingreso nacional de Arcadia p uede describirse con las s iguient es ecuaciones : A=0.25Y-100 I=250 a) Comp let e el modelo y encuent re los niveles de equilibrio del ingreso y el ahorro. b) Grafíque la información ant erior en un diagrama. c) Demues t re algebraicament e que sucede con la función de ahorro y el nivel de equilibrio del ingreso cuando: i ) La gent e decide ahorrar 75 unidades adicionales en t odos los niveles de ingreso. i i ) La gent e decide ahorrar 50 unidades menos en t odos los niveles de ingreso. Solución del pr imer problema a) Y =C+I+G



Y = [15+0.9Y]+ [20+0.05Y]+25 Y=35+0.95Y+25 Y=0.95Y+60 Y-0.95Y=60 Y(1-0.95)=60

05.0

60Y =

Y=1200 C=15+.9(1200) C=15+1080 =1095 I=20+.05(1200) I=20+60 I=80 G=25 b) Para dibujar las gráficas de las 3 funciones , les damos valores y t enemos: Y=C Y=C+I Y=15+0.9Y 35+0.95Y=Y Y-0.9Y=15 35=Y-0.95Y 0.1Y=15

1501.0

15Y == 700

05.0

35Y ==

Y=C+I+G

Y =6005.

=1200

Y=1, 200 Los niveles de equilibrio son: con gas t o del gobierno Y=1200; s in gas t o Y=700. Sol uci ón del Segundo Probl ema a) Comp let e el modelo: I=A en condiciones de equilibrio, los niveles de equilibrio del ingreso (Y) y del ahorro (A) son: 0.25Y-100=250 0.25Y=250+100



Y = 350025.

Y=1400 Para el ahorro t enemos A=0.25Y-100 A=0.25(1400)-100 A=350-100 A=250 b) Grafíque la información ant erior decimos: Y A 1400 250 0 -100

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500y

A, I A=0.25Y-100

C) Demues t re algebraicament e que sucede con la función de ahorro (A) y (Y) cuando: i) La gent e decide ahorrar 75 unidades más . 0.25Y-25=250 0.25Y=275 Y = 275

025.

Y=1, 100 ii) La gent e decide ahorrar 50 unidades menos ent onces 0.25Y-150=250 0.25Y=400 Y = 400

025.



Y=1, 600 Probl ema Tres: Un t rabajador del Dis t rit o federal es t á obligado a gas t ar 110 p esos como consumo necesario fijo p ara p oder vivir. Las encues t as de ingreso y gas t o del Banco de M éxico indican que p or cada 10 p esos ext ra de ingreso (Y) el t rabajador ahorra 1.50 p esos al mes (A). Con es t os dat os ¿Cuál es la ecuación de la función consumo del t rabajador? R. Es C=110+0.85Y Probl ema Cuatro: a)Exp lique clarament e la relación ent re la función consumo y la función ahorro en una economía, s i la función consumo es C=30+0.8Y Exp licación como C+A=Y, t enemos que a medida que aument e C disminuy e A y viceversa, p or cons iguient e A=0.2Y-30; grafiquelos . b)Ahora sup onga que la invers ión es igual a 20, mues t re gráficament e que el nivel de equilibrio de C+I es t á en el p unt o donde A=I. Demost ración s i A = 0.2 y -30; I = 20 con A=I 0.2y -30=20 Y=50/.2 Y=250 Comp robación con: 0.2y -30=20 0.2(250)-30=20 20=20 A=I

X1.4.1 Aplicaciones de Eviews en la obtención de los coeficientes de un modelo multiecuacional

En la actualidad la estimación de los coeficientes de las variables que integran un modelo multiecuacional se realiza fácilmente con la aplicación del software llamado Econometric Views, Eviews, como se demuestra enseguida.



Se empieza con el encendido de la PC, enseguida se busca y accede al software Eviews, dentro del cual nos vamos en forma secuenciada a File,new, workfile,data: Start (primer año), end( último año),ok. Con esas especificaciones vamos a quick,empty group (edit series) en la que aparece una pantalla con los años arriba enunciados y con celdas que llenamos con los datos de la demanda, la oferta y el precio, ahí mismo, una vez que capturamos los datos, vamos a name para darle un nombre al archivo, puede ser el que aparece por default:

obs OFERTA PRECIO DEMANDA

1999 11 5 12 2000 15 6 13 2001 17 6 14 2002 20 7 15 2003 25 8 16 2004 28 8 17 2005 28 8 18

Con esas referencias nos vamos a la barra principal al comando objects , pulsamos new object, luego system, ok y aparece una pantalla en la que escribimos para cada una de las dos ecuaciones así:

Demanda=c(1)-c(2)*precio

Oferta=c(3)+c(4)*precio

En esa misma pantalla está el comando “estimate”,pulsamos el cursor una vez y nos preguntan que método de estimación queremos usar, seleccionamos entre varios de ellos a LS, ok y aparecen los valores de los cuatro coeficientes: el de c1,c2,c3 y c4, como se muestra en la siguiente tabla. Con esos datos enseguida podemos encontrar el precio de equilibrio que iguala la oferta con la demanda.

System: MINCUADRADOS Estimation Method: Least Squares Date: 11/07/04 Time: 00:18 Sample: 1999 2005 Included observations: 7 Total system (balanced) observations 14

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(1) 3.387097 1.682653 2.012950 0.0718 C(2) -1.693548 0.242150 6.993786 0.0000 C(3) -16.25806 3.336441 -4.872876 0.0006 C(4) 5.370968 0.480147 11.18609 0.0000

Determinant residual covariance 0.139566

Equation: DEMANDA=C(1)+C(2)*PRECIO Observations: 7 R-squared 0.907258 Mean dependent var 15.00000



Adjusted R-squared 0.888710 S.D. dependent var 2.160247 S.E. of regression 0.720663 Sum squared resid 2.596774 Durbin-Watson stat 1.710980

Equation: OFERTA=C(3)+C(4)*PRECIO Observations: 7 R-squared 0.961576 Mean dependent var 20.57143 Adjusted R-squared 0.953892 S.D. dependent var 6.654751 S.E. of regression 1.428963 Sum squared resid 10.20968 Durbin-Watson stat 2.021480

0

5

10

15

20

25

30

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

OFERTA PRECIO DEMANDA

System: UNTITLED Estimation Method: Weighted Least Squares Sample: 1999 2005 Included observations: 7 Total system (balanced) observations 14


C(1) 3.387097 1.422101 2.381755 0.0385 C(2) 1.693548 0.204654 8.275159 0.0000 C(3) -16.25806 2.819808 -5.765664 0.0002 C(4) 5.370968 0.405798 13.23556 0.0000


Equation: DEMANDA = C(1) + C(2)*PRECIO Observations: 7



R-squared 0.907258 Mean dependent var 15.00000 Adjusted R-squared 0.888710 S.D. dependent var 2.160247 S.E. of regression 0.720663 Sum squared resid 2.596774 Durbin-Watson stat 1.710980

Equation: OFERTA =C(3)+C(4)*PRECIO Observations: 7 R-squared 0.961576 Mean dependent var 20.57143 Adjusted R-squared 0.953892 S.D. dependent var 6.654751 S.E. of regression 1.428963 Sum squared resid 10.20968 Durbin-Watson stat 2.021480

System: UNTITLED Estimation Method: Seemingly Unrelated Regression Sample: 1999 2005 Included observations: 7 Total system (balanced) observations 14


C(1) 3.387097 1.422101 2.381755 0.0385 C(2) 1.693548 0.204654 8.275159 0.0000 C(3) -16.25806 2.819808 -5.765664 0.0002 C(4) 5.370968 0.405798 13.23556 0.0000


Equation: DEMANDA = C(1) + C(2)*PRECIO Observations: 7 R-squared 0.907258 Mean dependent var 15.00000 Adjusted R-squared 0.888710 S.D. dependent var 2.160247 S.E. of regression 0.720663 Sum squared resid 2.596774 Durbin-Watson stat 1.710980

Equation: OFERTA =C(3)+C(4)*PRECIO Observations: 7 R-squared 0.961576 Mean dependent var 20.57143 Adjusted R-squared 0.953892 S.D. dependent var 6.654751 S.E. of regression 1.428963 Sum squared resid 10.20968 Durbin-Watson stat 2.021480

Comentarios finales: Puesto al final de cada libro es conveniente poner un epílogo que cierre la descripción de su contenido, yo aprovecho para reiterar que esta obra fue escrita para que los alumnos a manera de autodidactas aprendan econometría, ya que hice mi mejor esfuerzo por simplificar los procedimientos matemáticos, por explicar casi en palabras llanas los conceptos y



métodos que esta disciplina utiliza para hacer estimaciones con MCO. Mi mayor deseo es que así sea.

Curso de introducción a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM Dr. Genaro Sánchez Barajas : Quinto examen parcial. Nombre del alumno………………………………………………………calif_______ Tema: Modelos multiecuacionales basados en el sistema de ecuaciones simultáneas. A.-Conteste con una “ X” en SI cuando la afirmación sea verdadera y también con una “ X” en NO cuando la afirmación sea falsa: 1.-Los modelos uniecuacionales sonn unidireccionales porque sólo la variable regresora, X, influye en la regresada,Y: Si___; No____. 2.-En un modelo multiecuacional, por el contrario, existe la situación en que la variable regresada, Y, influye en la regresada: SI_____;NO_____. 3.-Derivado de 2, es necesario considerar sólo una ecuación para estimar los parámetros de la población : Si_____; No________ 4.-En un modelo multieccuacional el método de MCO es apropiado para estimar los parámetros de cada una de las ecuaciones del modelo, porque sus estimadores son insesgados y consistentes: SI:_______; NO:___________ 5.-Para estimar los parámetros consistentes, se deben obtener primero los estimadores de las ecuaciones de forma reducida del modelo : SI:__; NO__. 6.-La IDENTIFICACION se refiere a la posibilidad de calcular los parámetros de una ecuación estructural a partir de los coeficientes de una ecuación de forma reducida : SI___; NO____. 7.-Una ecuación de un sistema de ecuaciones simultáneas está exactamente identificada si el número de variables exógenas excluidas de la ecuación es igual al número de variables endógenas en la ecuación menos 1, Está sobreidentificada o subidentificada si el número de variables exógenas excluidas en la ecuación excede o es menor que el número de variables endógenas incluidas en la ecuación menos 1 :: SI____; NO______: 8.-El método de mínimos cuadrados indirectos, MCI, no se usa para calcular los valores de los parámetros consistentes de ecuaciones exactamente identificadas : SI____;NO_____. 9.-Los MCI suponen el uso de MCO para obtener las ecuaciones de forma reducida: del sistema, para luego usar sus coeficientes en el cálculo de los parámetros estructurales:SI_____; NO____. : 10.-El método de mínimos cuadrados en dos etapas,MC2E, se usa para estimar parámetros estructurales consistentes en ecuaciones sobreidentificadas. Cuando están exactamente identificadas con este método se obtienen los mismos resultados que con el MCI: SI____; NO______.



B. O bservaciones: Cada una de las respuestas correctas vale 10 puntos en escala de 0 a 100. No se puede usar la calculadora, ni las tablas estadísticas ni la bibliografía correspondiente a cada tema.

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X. EFECTO SOBRE LOS ESTIMADORES DE LA … · insesgados; b).- eficientes, c).- suficientes y d).- consistentes. ... estimadores y disminuye el rigor técnico con que se ... a los