Wzór Maxwella-Mohra

Wzór Maxwella-Mohra

Wyznaczanie przemieszczeńWzór Maxwella-Mohra:

( )∫∫ +

−+ ot

gdt dxtNdxh

ttMα

α

+++=⋅

−⋅+⋅ ∫∫∫∑∑lllj j

jj

jjj dx

AG

TTdx

AE

NNdx

JE

MM

k

RRR κ∆δ1

δ

P 1=iP

Belka z rzeczywistymobciążeniem

Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie

∫∫ll h

q

Wzór służy do wyznaczenia przemieszczenia od obciążenia rzeczywistego. Wrównaniu występują wielkości, wywołane obciążeniem rzeczywistym ijednostkowym obciążeniem wirtualnym, działającym na kierunkuwyznaczanego przemieszczenia.

Wyznaczanie przemieszczeń

Wzór Maxwella-Mohra:

( )− ttMα

+++=⋅

−⋅+⋅ ∫∫∫∑∑lllj j

jj

jjj dx

AG

TTdx

AE

NNdx

JE

MM

k

RRR κ∆δ1

( )∫∫ +

−+

l

ot

l

gdt dxtNdxh

ttMα

α

N – siła normalna,T – siła tnąca, M – moment zginający , R – reakcje,A – poleprzekroju, J – moment bezwładności przekroju względem osi prostopadłej dopłaszczyzny zginania,E – moduł Younga (odkształcenia podłużnego), G – modułKirchoffa (odkształcenia postaciowego),αt – współczynnik rozszerzalności cieplnej,h –wysokość przekroju, ∆ – obciążenia geometryczne,to – temperatura w osi,td i tg –temperatura górna i dolna

Wielkości z nadkreśleniem są wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym

Twierdzenia wykorzystywane we wzorze Maxwella-Mohra

Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń: Jeżeli na konstrukcję działają dwieniezależne uogólnione siły jednostkowePi=1 i Pj=1, wywołujące odpowiednioprzemieszczeniawji (przemieszczenie w punkciej na kierunku siłyPj wywołane siłą Pi) i wij

(przemieszczenie w punkciei na kierunku siłyPi wywołane siłą Pj), to te przemieszczenia sąsobie równe.

P w = P w oraz P=1 i P=1 ⇒ w = wPi wij = Pj wji oraz Pi=1 i Pj=1 ⇒ wij = wji

Pi

wiiwji

Pj

Pi=1

wiiwji

Pj=1

wijwjj

wij wjj

Ugięcie belki od siły Pi=1Ugięcie belki od siły Pj=1

Praca siły Pj Praca siły Pi


Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń

ijji uu ⋅=⋅ 11

Pj=1Belka z rzeczywistymobciążeniem

Belka z wirtualnym obciążeniem 1=iP

ui uj

iu ju

ui

Pj=1

uj

Praca obciążenia wirtualnego na rzeczywistym przemieszczeniu

iu

1=iP

ju

ji u⋅1 ij u⋅1=

Praca obciążenia rzeczywistego na wirtualnym przemieszczeniu


Zasada prac wirtualnych dla ciał odkształcalnych:Suma prac sił zewnętrznychPik na przemieszczeniach wirtualnych

i naprężeń rzeczywistych σσσσi na odkształceniachwirtualnych jest równa zero. Pi

iku

iε

∫∫∑ +=⋅V

ji

V

jik

ikik dVdV γτεσuP

ui

iu

0T =−⋅ ∫∑V

jik

ikik dVεσuP

czyli

∫∑ =⋅V

jik

ikik dVεσuP T

Dla układów prętowych


Twierdzenie Maxwella o wzajemności przemieszczeń

ijji uu ⋅=⋅ 11

∫∫ +=⋅=⋅ jijijiij dVdVuu γτεσ11

Zasada prac wirtualnych

∫∫VV

∫∫ +=⋅V

ji

V

jiji dVdVu γτεσ1 ∫∫ +=⋅V

ji

V

jiji dVdVu γτεσ1lub

ui

Pj=1

uj

Belka z rzeczywistymobciążeniem

Belka z wirtualnym obciążeniem

iu

1=iP

ju

Twierdzenia wykorzystywane we wzorze Maxwella-MohraPraca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym jest równa

pracy naprężeń na odkształceniach wirtualnych

lub praca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistymjest równa pracynaprężeń wirtualnychnaodkształceniachrzeczywistych

∫∫ +=⋅V

ji

V

jiji dVdVu γτεσ1

naprężeń wirtualnychnaodkształceniachrzeczywistych

∫∫ +=⋅V

ji

V


ui

Pj=1

uj

Belka z rzeczywistymobciążeniem Belka z wirtualnym

obciążeniem

γετσ ,,,σ, τ, ε, γ − naprężenia normalne i styczne orazodkształcenia podłużne i postaciowe odobciążenia rzeczywistego

- naprężenia normalne i styczneoraz odkształcenia podłużne i postaciowe odobciążenia wirtualnego

iu

1=iP

ju

Twierdzenia wykorzystywane we wzorze Maxwella-MohraWzór Maxwella-Mohra

( )∫∫ +

−+

l

ot

l

gdt dxtNdxh

ttMα

α

+++=⋅

+⋅+⋅ ∫∫∫∑∑lllj j

jj

jjj dx

AG

TTdx

AE

NNdx

JE

MM

k

RRR κ∆δ1

wynika z twierdzenia, że praca siły wirtualnej na przemieszczeniurzeczywistym jest równa pracy naprężeń na odkształceniach wirtualnych lubpraca siły wirtualnej na przemieszczeniu rzeczywistym jest równa pracynaprężeń wirtualnych na odkształceniach rzeczywistych

∫∫ +=⋅V

ji

V

jiji dVdVu γτεσ1 ∫∫ +=⋅V

ji

V

jiji dVdVu γτεσ1lub

Wyprowadzenie wzoru Maxwella-Mohra wymaga znajomościzależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami a siłamiwewnętrznymi

Naprężenia i odkształcenia a siły wewnętrzne

Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie ∫∫ +=⋅

V

ji

V


Naprężenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:

• normalne od momentu zginającego

wz WW =

Pα

αα−α z

( )J

zMz ασ =

M – moment zginający, A – pole przekroju,J – moment bezwładności przekrojuwzględem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania,b – szerokość przekroju

z

A, J

b

h

z

( )∫=A

zdAzM σα

σ(z)

= Μα


V

ji

V



• normalne od siły normalnej

wz WW =

Pα

α

α−α z

A

Nασ =

N – siła normalna,A – pole przekroju,b – szerokość przekroju

z

A, J

b

h

α−α

( )∫=A

dAzN σα

zσ(z)

= Να


V

ji

V



•styczne od siły tnącej przy zginaniu

wz WW =

Pα

αα−α z

τ(z)

( ) ( )bJ

zSTz

ˆατ =

M – moment zginający, A – pole przekroju,J – moment bezwładności przekrojuwzględem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania,b – szerokość przekroju,

moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z( )zS

z

A, J

( )zSb

h

α

= Τα

( )∫=A

dAzT τα


V

ji

V


Naprężenia od zewnętrznych siłrzeczywistych:


• normalneodsiły normalnej

( )J

zMz ασ =Nασ =

z

A, J

h

wz WW =

α−α

• normalneodsiły normalnej

• styczne od siły tnącejA

Nασ =

( ) ( )bJ

zSTz

ˆατ =

N – siła normalna,T – siła tnąca,M – moment zginający, A – pole przekroju,J – momentbezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania,b –szerokość przekroju, moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z( )zS

( )zSb

ui

P

uj

α

α


V

ji

V


Naprężenia od zewnętrznych sił wirtualnych:


• normalne od siły normalnej( )

J

zMz ασ =

Nασ =z

A, J

h

wz WW =

α−α

• styczne od siły tnącej Aασ =

( ) ( )bJ

zSTz

ˆατ = ( )zS

b

iu

1=iP

ju

α

α

N – siła normalna,T – siła tnąca,M – moment zginający, A – pole przekroju,J – momentbezwładności przekroju względem osi prostopadłej do płaszczyzny zginania,b –szerokość przekroju, moment statyczny od krawędzi przekroju do współrzędnej z

Odkształcenia od zewnętrznych sił rzeczywistych:• odkształcenie liniowe od obciążeń statycznych

• odkształceniepostacioweodobciążeń statycznych

Wzór Maxwella-Mohra -wyprowadzenie

( ) ( )EA

N

EJ

Mz

E

zz +== σε

wz WW =

∫∫ +=⋅V

ji

V


• odkształceniepostacioweodobciążeń statycznych

• od temperatury w osi

• od różnicy temperatur

EAEJE

tot αε =

( ) ( ) ( )h

ttzztz tgd

t

ααε

−==

( ) ( ) ( )bJG

zST

G

zz

ˆ== τγ

to

tg

td

z

Odkształcenia od zewnętrznych sił wirtualnych:• odkształcenie liniowe od obciążeń wirtualnych


V

ji

V


( ) ( )EA

N

EJ

zM

E

zz +== σε

wz WW =

• odkształcenie postaciowe od obciążeń wirtualnych

( )EAEJE

z +==ε

( ) ( ) ( )bJG

zST

G

zz

ˆ== τγ

z


1

δ=? Ptgtd

∆Układ z obciążeniem:∆ – obciążenie geometrycznetg, td – obciążenie temperaturąP – obciążenie statyczne

R

Stan wirtualny

Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistychrówna jest pracy naprężeń rzeczywistych na odkształceniachwirtualnych:

wz WW =

∫∫∫∫ +=+=−+⋅V

ji

V

ji

V

ji

V

jiji dVdVdVdVk

RRRu γτεσγτεσ∆1

Podpora sprężysta

Podpora sprężysta – podparcie sprężyste, na którym możenastąpić osiadanie. Wektor osiadania ma kierunek reakcji R, azwrot tego wektora jest przeciwny do reakcji. Wartość osiadaniawynosi ∆=Rd, gdzie d jest podatnością lub ∆=R/k, gdziek jestsztywnością.sztywnością.

P

∆

R

dk

1=

Podpora sprężysta

Podpora sprężysta – podparcie sprężyste, na którym możenastąpić osiadanie. Podporę mogą charakteryzować:d [m/kN] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżelireakcjaR=1kNk [kN/m] – sztywność, która mówi ile wynosi siła, którak [kN/m] – sztywność, która mówi ile wynosi siła, któraspowoduje,że osiadanie wyniesie∆=1m

P

∆

Rk

RRd ==∆Osiadanie wynosi co do wartości

a wektorowok

dR

R∆ −=−=

Rodzaje podpór sprężystych

Podpora sprężysta z osiadaniem – podpora przesuwna, możliwośćosiadania wzdłuż reakcji

Podpora sprężysta z obrotem – niepełna blokada obrotu

Podporęmogą charakteryzować:d [rad/kNm] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli reakcjaM=1kNmk [kNm/rad] – sztywność , która mówi ile wynosi siła, która spowoduje,że osiadanie wyniesieϕ=1

M

Rodzaje podpór sprężystych

Podpora sprężysta z obrotem – niepełna blokada obrotu

Mϕ

Podporęmogą charakteryzować:d [rad/kNm] – podatność, która mówi o ile osiądzie podpora, jeżeli reakcjaM=1k [kNm/rad] – sztywność , która mówi ile wynosi siła, która spowoduje,że osiadanie wyniesieϕ=1

M

k

MMd −=−=ϕObrót wynosi co do wartości

a minus we wzorze oznacza,że obrót będzie miał zwrot przeciwny do reakcjiM

P


δUkład obciążonyrzeczywistym obciążeniem z

wz WW =

Wyznaczenie części wzoru dla układu z podporą sprężystąod obciążenia statycznego

P

∆

1

δ

R

rzeczywistym obciążeniem z osiadaniem podpory

Stan wirtualny

Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych

k

RRRWz ⋅−δ⋅=∆⋅+δ⋅= 11

Rk

RRd −=−=∆


δ∆Układ obciążony

rzeczywistym obciążeniem

wz WW =

Wyznaczenie części wzoru od obciążenia geometrycznego

1

δ

R

rzeczywistym obciążeniem geometrycznym

Stan wirtualny

Praca sił wirtualnych na przemieszczeniach rzeczywistych

∆⋅+⋅= RWz δ1 ∑ ∆⋅+⋅=j

jjRWz δ1


1

δ=?P

Układ z rzeczywistymobciążeniem statycznym

Stanwirtualny

wz WW =

τσ ,

γε ,

RStanwirtualny

Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamirzeczywistymi na odksztaceniach wirtualnych:

( ) ( )∫∫∫ ++=VVV

wp dVbJG

zST

bJ

zSTdV

EA

N

A

NdV

JE

zM

J

MzW

ˆˆ

∫∫ +=V

ji

V

jiwp dVdVW γτεσ


Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamirzeczywistymi na odkształceniach wirtualnych:

wz WW =

∫∫ +=V

ji

V

jiwp dVdVW γτεσ

- naprężenia rzeczywiste

- odkształcenia wirtualne

( ) ( )∫∫∫ ++=VVV

wp dVbJG

zST

bJ

zSTdV

EA

N

A

NdV

JE

zM

J

MzW

ˆˆ

( )J

Mzz =σ

A

N=σ ( ) ( )bJ

zSTz

ˆ=τ

( ) ( )EA

N

EJ

zM

E

zz +== σε ( ) ( ) ( )

bJG

zST

G

zz

ˆ== τγ


Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamiwirtualnymi na przemieszczeniach od obciążeń statycznych:

( ) ( ) =++= ∫∫∫VVV

wp dVbJG

zST

bJ

zSTdV

EA

N

A

NdV

JE

Mz

J

zMW

ˆˆ∫∫∫VVV bJGbJEAAJEJ

( )( ) =++= ∫∫∫VVV

dVGJb

zSTTdV

EA

NNdVz

EJ

MM22

2

22

2

ˆ

( )( ) =++= ∫∫∫∫∫∫lAlAlA

dAdxGJb

zSTTdAdx

EA

NNdAdxz

EJ

MM22

2

22

2

ˆ

( )( )∫ ∫∫∫∫∫ ++=A llAlA

dxAG

TTdA

Jb

zSAdx

EA

NNdAdx

EJ

MMdAz

22

2

222

ˆ



( )( )∫ ∫∫∫∫∫ ++= dx

TTdA

zSAdx

NNdAdx

MMdAzW

2

2ˆ( )

∫ ∫∫∫∫∫ ++=A llAlA

wp dxAG

dAJb

dxEA

dAdxEJ

dAzW2222

2

∫=A

dAzJ 2∫=A

dAA ∫=A

dAb

S

J

A2

2

2

ˆκ

Ponieważ

to otrzymujemy

∫∫∫ ++=lll

wp dxAG

TTdx

AE

NNdx

JE

MMW κ

z

A, J

( )zSb

h



∫∫∫∫∫ ++=llAlA

wp dxAG

TTdx

EA

NNdAdx

EJ

MMdAzW κ

222

llAlAAGEAEJ

∫=A

dAb

S

J

A2

2

2

ˆκgdzie stała

zależy od kształtu np.:

z

A, J

( )zSb

h

• prostokąt κ=1.2;• koło κ=32/27• dwuteownik κ= ~A/As; A- pole całkowite przekroju; A- pole środnika.


1

δ=? tgtd

Układ z obciążeniemtemperaturą

Stanwirtualny

wz WW =

R

Stanwirtualny

Praca sił wewnętrznych wywołanych obciążeniamiwirtualnymi na przemieszczeniach od temperatury:

∫=V

jiwt dVW εσ

( )∫∫ +

−=

V

ot

V

gdtwt dVt

A

NdV

h

ttz

J

zMW α

α

( )J

zMz =σ

A

N=σ tot αε = ( ) ( ) ( )h

ttzztz tgd

t

ααε

−==



wz WW =

∫=V

jiwt dVW εσ

Naprężeniaodobciążeń wirtualnych ( ) zMz =σN=σ

( )=+

−= ∫∫∫∫

lA

ot

lA

gdt dxdAtA

NdxdAz

Jh

ttMα

α 2

tot αε = ( ) ( )( )

h

ttz

ztz

tgd

t

ααε

−=

==

( )=+

−= ∫∫

V

ot

V

gdtwt dVt

A

NdV

h

ttz

J

zMW α

α

Naprężeniaodobciążeń wirtualnych

Odkształcenia od temperatury

( )J

z =σA

=σ

to

tg

tdSpody na belce

h



wz WW =

( )=+

−= ∫∫∫∫ ot

gdtwt dxdAt

NdxdAz

ttMW α

α 2 =+= ∫∫∫∫lA

ot

lA

wt dxdAtA

dxdAzJh

W α

( )∫∫∫∫ +

−=

l

ot

Al

gdt

A

dxA

tNdAdx

Jh

ttMdAz

αα2

( )∫∫ +

−=

l

ot

l

gdt dxtNdxh

ttMα

αto

tg

tdSpody na belce


Praca wirtualnych sił zewnętrznych na przemieszczeniachrzeczywistych

wz WW =

k

RRRW

jjjz −⋅+⋅= ∑ ∆δ1

Praca sił wewnętrznych, wywołanych obciążeniem

( )∫∫ +

−=

l

ot

l

gdtwt dxtNdx

h

ttMW α

α

∫∫∫ ++=lll

wp dxAG

TTdx

AE

NNdx

JE

MMW κ

wirtualnym, na odkształceniach od obciążenia rzeczywistego

Praca sił wewnętrznych, wywołanych obciążeniemwirtualnym, na odkształceniach od temperatury


Ponieważ praca wirtualnych sił zewnętrznych naprzemieszczeniach rzeczywistych równa się pracy naprężeńwirtualnych na odkształceniach rzeczywistych:

wz WW =

wtwp WWWz +=

( )∫∫ +

−+

l

ot

l

gdt dxtNdxh

ttMα

α

wtwp WWWz +=

+++=−⋅+⋅ ∫∫∫∑lllj

jj dxAG

TTdx

AE

NNdx

JE

MM

k

RRR κ∆δ1

to otrzymujemy wzór Maxwella Mohra w następującej formie:

Wzór Maxwella-Mohra dla ram płaskich

( )∫∫∫∑ α+

−α+=−∆⋅+δ⋅ ot

gdtjj dxtNdx

ttMdx

MMRRR1

W układach ramowych uwzględniamy wpływ momentówzginających oraz obu rodzajów temperatury:

∫∫∫∑ α++=−∆⋅+δ⋅l

ot

lljjj dxtNdx

hdx

JEkR1

1P

tgtd

∆

q

Rama z obciążeniem Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnymdo obliczeń yA

A

k

Wzór Maxwella-Mohra dla ram przestrzennych

( ) ( )∫∫∫∑

−α−α

+++=−∆⋅+δ⋅lllj

jj

ttMttM

dxEJ

mmdx

EJ

MMdx

EJ

MM

k

RRR

2

11

3

33

2

221

W układach ramowych uwzględniamy wpływ momentów zginających w dwóchpłaszczyznach zginania i moment skręcający oraz oba rodzaje temperatury:

( ) ( )∫∫∫ α+

−α+

−α+

l

ot

l

gdt

l

gdt dxtNdxh

ttMdx

h

ttM 32

P

∆

q

Rama z obciążeniem

1

Rama z jednostkowym obciążeniem wirtualnymdo obliczeń xA

A

Wzór Maxwella-Mohra dla krat

∫∫∑ +=−⋅+⋅l

ot

ljjj dxtNdx

AE

NN

k

RRR α∆δ1

Ponieważ siły normalne są stałe w elementach kratowych to

W układach kratowych uwzględniamy wpływ sił normalnychoraz temperatury w osi:

Ponieważ siły normalne są stałe w elementach kratowych to można wzór zapisać w formie:

∑∑∑ +=−⋅+⋅n

nnotn

k

kkk

jjj ltN

AE

lNN

k

RRR α∆δ1

P to

∆ k

to

Wzór Maxwella-Mohra dla łuków

+++=−⋅+⋅ ∫∫∫∑ jj dxAG

TTdx

AE

NNdx

JE

MM

k

RRR κ∆δ1

W łukach uwzględniamy wpływ wszystkich sił wewnętrznychoraz temperatury:

( )∫∫ +

−+

l

ot

l

gdt dxtNdxh

ttMα

α

∫∫∫∑lllj

jj AGAEJEk

∆ k

q

tgtd

Wzór Maxwella-Mohra dla łuków

( )∫∫∫∑ +

−+=−⋅+⋅

l

ot

l

gdt

ljjj dxtNdx

h

ttMdx

JE

MM

k

RRR α

α∆δ1

Łuki wyniosły czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l> 1/5 spełniające warunekh/l<1/10:

Łuki płaskie czyli stosunek strzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunekh/l<1/30:

Pozostałełuki płaskieczyli stosunekstrzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunek

f

l

h ( )∫∫ +

−+

l

ot

l

gdt dxtNdxh

ttMα

α

+++=−⋅+⋅ ∫∫∫∑lllj

jj dxAG

TTdx

AE

NNdx

JE

MM

k

RRR κ∆δ1

Pozostałełuki płaskieczyli stosunekstrzałki do rozpiętości f/l<1/5 spełniające warunekh/l>1/30:

Całkowanie na przykładzie belki swobodnie podpartej

Wyznaczenie obrotu punktu B.

1

tg

td

q

Bl

x

Belka z obciążeniemRama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym

1

l

xM =

l

M [kNm] [/]M

8

2ql

Równania momentów zginających

( )2

2xlx

qM −=

( )lll

l

B l

xx

JE

qdx

l

xx

JE

qdx

l

xxlx

q

JEdx

JE

MM

0

43

0

32

0

2

4

1

3

1

222

11

−=

−=

−==⋅ ∫∫∫ϕ

JE

ql

l

ll

JE

qB 24

04

1

3

1

21

343 =

−

−=⋅ϕ


Całkowanie uproszczone dla iloczynu funkcji liniowej i dowolnej

( ) baxxM +=

( ) ( )xfxM =Wykres dowolnej funkcji

Wykresfunkcji liniowej

xśrodek ciężkości figury

xs

( ) baxxM +=

Wyznaczanie całki( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )ss

llll

xMAbaxAbA

SaA

bAaSdxxbfxdxxafdxxfbaxMdxM

=+=

+=

=+=+=+= ∫∫∫∫

Wykresfunkcji liniowej

l

( )∫=l

xdxxfS

( )∫=l

dxxfA

- moment statyczny figury, opisanej funkcją f(x)

- pole figury, opisanej funkcją f(x)

A

Sxs = - współrzędnaśrodka ciężkości figury, opisanej funkcją f(x)

( )sxM


Wyznaczenie obrotu punktu B.

1

tg

td

q

Bl

x

Belka z obciążeniemRama z jednostkowym obciążeniem wirtualnym

1

l

M [kNm] [/]M

8

2ql

JEdx

JE

MM

l

B

11 ==⋅ ∫ϕ

l1

8

2ql

JE

qll

ql

JE 241

2

1

83

21 32

=⋅

=

Pola i środki ciężkości podstawowych figur

aa/2

b/2bs

Prostokąt abA =

b/3 b

Trójkąt abA2

1=

s

a2a

a

a32

Parabola 2o

aa/2

s b

abA3

2=

Parabola 2o

a

s b

abA3

2=

a85

Parabola 2o

a

s b

abA3

1= a43

Koniec

Documents

Wzór Maxwella-Mohra