CAŁKA POTRÓJNA

Rozważmy prostopadłościan P, określony w przestrzeni OXYZ nierównoś-ciami:

a 6 x 6 b, c 6 y 6 d, e 6 z 6 foraz funkcję trzech zmiennych f (x, y, z) określoną i ograniczoną w tymprostopadłościanie.Prostopadłościan P dzielimy na n prostopadłościanów Pk o objętościach∆Vk, k = 1, 2, ..., n. Podział ten oznaczymy przez ∆n.

Definicja 1 (średnicy podziału).Niech dk oznacza długość przekątnej prostopadłościanu Pk. Liczbę

δn = max16k6n

dk

nazywamy średnicą podziału ∆n.

W każdym z prostopadłościanów Pk wybieramy punkt Ak(xk, yk, zk) ibierzemy pod uwagę sumę

Sn =n∑

k=1f (xk, yk, zk) · ∆Vk

nazywaną sumą całkową funkcji f (x, y, z) w prostopadłościanie P.Rozważmy następnie ciąg normalny podziałów (∆n) prostopadłościanuP.

Definicja 2 (ciągu normalnego podziałów).Ciąg podziałów (∆n) nazywamy ciągiem normalnym podziałów jeżeliodpowiadający mu ciąg średnic (δn) dąży do zera.

Definicja 3 (całki potrójnej po prostopadłościanie).Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu Pciąg sum całkowych (Sn) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej,niezależnej od wyboru punktów Ak, to tę granicę nazywamy całką pot-rójną funkcji f (x, y, z) w prostopadłościanie P i oznaczamy symbolem∫∫

P

∫f (x, y, z)dV lub

∫∫P

∫f (x, y, z)dxdydz

Stąd ∫∫P

∫f (x, y, z)dxdydz

de f= lim

δn→0

n∑k=1

f (xk, yk, zk) · ∆Vk

Jeżeli całka powyższa istnieje, to funkcję f (x, y, z) nazywamy całkowalnapo prostopadłościanie P. Symbol dV nazywamy elementem objętości.

Niech funkcja f (x, y, z) będzie funkcją całkowalną w prostopadłościanieP o objętości V .

Definicja 4.Liczbę

µ =1V

∫∫P

∫f (x, y, z)dV

nazywamy wartością średnią funkcji f (x, y, z) w prostopadłościanie P.

Twierdzenie 1 (całkowe o wartości średniej).Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła w prostopadłościanie P, to istniejetaki punkt C ∈ P, że ∫∫

P

∫f (x, y, z)dV = f (C) · V

Twierdzenie 2 (o liniowości całki potrójnej).Jeżeli funkcje f (x, y, z) i g(x, y, z) są całkowalne na prostopadłościanieP, to∫∫

P

∫[ f (x, y, z)+g(x, y, z)]dxdydz =

∫∫P

∫f (x, y, z)dxdydz+

∫∫P

∫g(x, y, z)dxdydz

∫∫P

∫[C· f (x, y, z)]dxdydz = C·

∫∫P

∫f (x, y, z)dxdydz, gdzie C ∈ R

Twierdzenie 3 (o addytywności całki wzg. obszaru całkowania).Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest całkowalna na prostopadłościanie P, to dladowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany P1 iP2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość∫∫

P

∫f (x, y, z)dxdydz =

∫∫P1

∫f (x, y, z)dxdydz+

∫∫P2

∫f (x, y, z)dxdydz

Twierdzenie 4 (o zamianie całki potrójnej na całkę iterowaną).Jeżeli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na prostopadłościanie P: a 6 x 6 b,c 6 y 6 d i e 6 z 6 f (z wyjątkiem co najwyżej zbioru punktów, dającegosię pokryć skończoną liczbą prostopadłościanów, których suma objętościjest dowolnie mała), to

(1)∫∫

P

∫f (x, y, z)dxdydz =

b∫a

d∫

c

f∫

e

f (x, y, z)dz

dy

dx

Całkę występującą po prawej stronie wzoru (1) nazywamy całką dwu-krotnie iterowaną funkcji po prostopadłościanie.

Uwaga 1.W przypadku spełnienia założeń powyższego twierdzenia, całka (1) jestrówna każdej z pozostałych całek dwukrotnie iterowanych, różniącychsię od niej tylko kolejnością całkowania.

Uwaga 2.Umownie pisze się również

b∫a

dx

d∫c

dy

f∫e

f (x, y, z)dz zamiast

b∫a

d∫

c

f∫

e

f (x, y, z)dz

dy

dx

Wniosek 1 (całka potrójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych).Jeżeli funkcja f jest funkcją o zmiennych rozdzielonych postaci

f (x, y, z) = ϕ(x) · ψ(y) · γ(z)gdzie funkcje ϕ, ψ i γ są ciągłe odpowiednio na przedziałach 〈a, b〉,〈c, d〉 i 〈e, f 〉, to całka potrójna po prostopadłościanie P: a 6 x 6 b,c 6 y 6 d i e 6 z 6 f równa się iloczynowi trzech całek pojedynczych,tj. ∫∫

P

∫f (x, y, z)dxdydz =

b∫

a

ϕ(x)dx

·

d∫c

ψ(y)dy

·

f∫e

γ(z)dz

Całka potrójna w obszarze normalnym

Definicja 5 (obszaru normalnego względem płaszczyzny).Obszar domknięty Ω, określony nierównościami

ϕ1(x, y) 6 z 6 ψ1(x, y), (x, y) ∈ DXY

gdzie DXY jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OXY, a funkcjeϕ1(x, y) oraz ψ1(x, y) są w nim ciągłe, nazywamy obszarem normalnymwzględem płaszczyzny OXY.Obszar domknięty Ω, określony nierównościami

ϕ2(x, z) 6 y 6 ψ2(x, z), (x, z) ∈ DXZ

gdzie DXZ jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OXZ, a funkcjeϕ2(x, z) oraz ψ2(x, z) są w nim ciągłe, nazywamy obszarem normalnymwzględem płaszczyzny OXZ.

Obszar domknięty Ω, określony nierównościami

ϕ3(y, z) 6 x 6 ψ3(y, z), (y, z) ∈ DYZ

gdzie DYZ jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OYZ, a funkcjeϕ3(y, z) oraz ψ3(y, z) są w nim ciągłe, nazywamy obszarem normalnymwzględem płaszczyzny OYZ.

Uwaga 3.Jeżeli Ω jest obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY, to DXYjest rzutem tego obszaru na tę płaszczyznę.Analogicznie dla dwóch pozostałych przypadków.

Twierdzenie 5 (całki iterowane po obszarach normalnych).Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym Ω, określonym na-stępująco

Ω = (x, y, z) : (x, y) ∈ DXY , ϕ(x, y) 6 z 6 ψ(x, y)

normalnym względem płaszczyzny OXY, gdzie funkcje ϕ i ψ są ciągłena obszarze regularnym DXY , to∫∫

Ω

∫f (x, y, z)dxdydz =

∫DXY

∫ ψ(x,y)∫ϕ(x,y)

f (x, y, z)dz

dxdy

Prawdziwe są również analogiczne wzory dla całek iterowanych po ob-szarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układu współ-rzędnych.

Uwaga 4.Jeżeli obszar Ω normalny względem płaszczyzny OXY można zapisać wpostaci

Ω = (x, y, z) : a 6 x 6 b, f (x) 6 y 6 g(x), ϕ(x, y) 6 z 6 ψ(x, y)

to zachodzi równość∫∫Ω

∫f (x, y, z)dxdydz =

b∫a

g(x)∫

f (x)

ψ(x,y)∫ϕ(x,y)

f (x, y, z)dz

dy

dx

Definicja 6 (obszaru regularnego w przestrzeni).Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn ukła-du współrzędnych o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszaremregularnym w przestrzeni.

Wniosek 2.Niech obszar regularny Ω będzie sumą obszarów normalnych Ω1, Ω2,..., Ωn o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f będziecałkowalna na Ω. Wówczas∫∫Ω

∫f (x, y, z)dxdydz =

∫∫Ω1

∫f (x, y, z)dxdydz+...+

∫∫Ωn

∫f (x, y, z)dxdydz

Zamiana zmiennych w całce potrójnej

Twierdzenie 6 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej).Niech przekształcenie

(2)

x = x(u, v,w)y = y(u, v,w)z = z(u, v,w)

odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wnętrze U obszaru regularnegoU na wnętrze Ω obszaru regularnego Ω, przy czym każda z funkcji (2)jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym U w swym wnętrzu.

Jeżeli ponadto f (x, y, z) jest funkcją ciągłą w obszarze U oraz jakobianprzekształcenia (2) postaci

(3)D(x, y, z)D(u, v,w)

d f=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣jest różny od zera w obszarze U, to∫∫

Ω

∫f (x, y, z)dxdydz =

=

∫∫U

∫f (x(u, v,w), y(u, v,w), z(u, v,w)) ·

∣∣∣∣∣D(x, y, z)D(u, v,w)

∣∣∣∣∣ dudvdw

Współrzędne sferyczne

Definicja 7 (współrzędnych sferycznych, typ I).Położenie punktu P w przestrzeni można opisać trójką liczb (ρ, ϕ, ψ),gdzie

ρ – oznacza odległość punktu P od początku układu współrzędnych,przy czym 0 6 ρ < ∞,

ϕ – oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu Pna płaszczyznę OXY a dodatnią częścią osi OX, przy czym 0 6 ϕ <2π,

ψ – oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym a płaszczyznąOXY, przy czym −π2 6 ψ 6

π2.

Trójkę liczb (ρ, ϕ, ψ) nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu prze-strzeni.

Wniosek 3.Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współ-rzędnych sferycznych (ρ, ϕ, ψ) określone są zależnościami

(4)

x = ρ cosϕ cosψy = ρ sin ϕ cosψz = ρ sinψ

Przekształcenie, które punktowi (ρ, ϕ, ψ) przyporządkowuje punkt (x, y, z)określony powyższymi wzorami nazywamy przekształceniem sferycznym.Jakobian przekształcenia sferycznego jest równy

J(ρ, ϕ, ψ) = ρ2 cosψ

Definicja 8 (współrzędnych sferycznych, typ II).Położenie punktu można opisać również trójką liczb (ρ, ϕ, θ), gdzie ρ iϕ oznaczają jak poprzednio, natomiast

θ – oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu P a do-datnim kierunkiem osi OZ, przy czym 0 6 θ 6 π.

Wniosek 4.Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współ-rzędnych sferycznych (ρ, ϕ, θ) określone są zależnościami

(5)

x = ρ cosϕ sin θy = ρ sin ϕ sin θz = ρ cos θ

gdzie 0 6 ρ < +∞, 0 6 ϕ < 2π i 0 6 θ 6 π.Jakobian tego przekształcenia sferycznego jest równy

J(ρ, ϕ, θ) = ρ2 sin θ

Współrzędne sferyczne uogólnione, typ Ix = aρ cosϕ cosψy = bρ sin ϕ cosψz = cρ sinψ

Maksymalny zakres zmiennych:

0 6 ρ < ∞, 0 6 ϕ < 2π, −π

26 ψ 6

π

2Jakobian:

J(ρ, ϕ, ψ) = abcρ2 cosψ

Współrzędne sferyczne uogólnione, typ IIx = aρ cosϕ sin θy = bρ sin ϕ sin θz = cρ cos θ

Maksymalny zakres zmiennych:

0 6 ρ < ∞, 0 6 ϕ < 2π, 0 6 θ 6 π

Jakobian:J(ρ, ϕ, θ) = abcρ2 sin θ

Współrzędne walcowe (cylindryczne)

Definicja 9 (współrzędnych walcowe).Położenie punktu P w przestrzeni można opisać trójką liczb (ρ, ϕ, h),gdzie

ρ – oznacza odległość rzutu punktu P na płaszczyznę OXY od początkuukładu współrzędnych, przy czym 0 6 ρ < ∞,

ϕ – oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu Pna płaszczyznę OXY a dodatnią częścią osi OX, przy czym 0 6 ϕ <2π,

h – oznacza odległość (dodatnią dla z > 0 i ujemną dla z < 0) punktuP od płaszczyzny OXY, przy czym −∞ 6 h 6 ∞.

Trójkę liczb (ρ, ϕ, h) nazywamy współrzędnymi walcowymi.

Wniosek 5.Współrzędne kartezjańskie (x, y, z) punktu przestrzeni danego we współ-rzędnych walcowych (ρ, ϕ, h) określone są zależnościami

(6)

x = ρ cosϕy = ρ sin ϕz = h

Przekształcenie, które punktowi (ρ, ϕ, h) przyporządkowuje punkt (x, y, z)określony powyższymi wzorami nazywamy przekształceniem walcowym.Jakobian przekształcenia walcowego jest równy

J(ρ, ϕ, ψ) = ρ

Współrzędne walcowe uogólnionex = aρ cosϕy = bρ sin ϕz = h

Maksymalny zakres zmiennych:

0 6 ρ < ∞, 0 6 ϕ < 2π, −∞ < h < ∞

Jakobian:J(ρ, ϕ, h) = abρ

Wniosek 6 (Zastosowanie geometryczne całek potrójnych).Objętość obszaru regularnego V ⊂ R3 wyraża się wzorem

|V | =∫∫

V

∫dxdydz