sprawdziany: 24-03-2006 21-04-2006 2-06-2006

„Funkcja” delta Diraca

Oznaczenie: δ(t)

Definicja: δ(t)=0 dla wszystkich t≠0

oraz

1dt)t(

Dla dowolnej funkcji u(t) mamy: 00 tudttttu

tudtuttu

Transformata funkcji δ(t)

1edtet 0jtj

czyli δ(t)↔1

t

δ(t)

u(t) U()

1

Na mocy dualizmu dla sygnału stałoprądowego mamy

δ(t)↔1() czyli 1(t)↔2π δ(-)

1↔2πδ()

Jeśli , to Utu u2tU

Z własności:

Jeżeli u(t)↔U(), to exp(j0t)u(t)↔U(-0),

0 – liczba rzeczywista.

wynika: exp(j0t)1(t)↔δ(-0)

czyli exp(j0t) ↔δ(-0)

i możemy obliczyć transformatę funkcji cos

00tjtj

0 21

ee21

tcos 00

5 2.5 0 2.5 51

0.5

0

0.5

1

cos 2 t( )

t

cos(0t)

0-0

000 j21

tsin

5 2.5 0 2.5 51

0.5

0

0.5

1

sin 2 t( )

t

sin(0t)

jU()

0

-0

Transformata funkcji u(t)=sign(t)

108 6 4 2 0 2 4 6 8101

0.5

0

0.5

1

sign x( )

x

sign(t)

t

Tworzymy ciąg: tsigntexptu

tsigntsigntexplimtulim00

108 6 4 2 0 2 4 6 8101

0.5

0

0.5

1

sign x( )

u x 0.01( )

u x 0.1( )

u x 1( )

x

u0.01(x)

u0.1(x)

u1(x)

0

tj0tj

0

tjt0

tjt

je

je

dteedteeU

j1

j1

U

j2

tsign

j2

U

j1

j1

UlimU0

108 6 4 2 0 2 4 6 8100

10

20

30

40

2

x

x

Charakterystyka amplitudowa widma

Widmo fazy jest stałe i wynosi –π/2

Transformata skoku jednostkowego 1(t)

t

u(t)

1

Zapiszemy: 1(t)=0.5+0.5sign(t)

i mamy: 1(t)↔

j1

5.0

108 6 4 2 0 2 4 6 8100

10

20

30

40

2

x

x

0.5δ()+1/||

Tt

exp1Utu 0 dla t≥0 i u(t)=0 dla t<0

Tj1T

jT1

tjT1

expdtee

0

0

tjTt

Tj1

Tj1

5.0UUtu m

Widmo amplitudy:

2

2

2

2m T1

TT

1

T1

1T5.0

TUU

108 6 4 2 0 2 4 6 8100

5

10

15

20

w x( )

x

TU

U

m

Widmo fazy:

T1

T2arctg

108 6 4 2 0 2 4 6 8102

1

0

1

2

x( )

x

()

Transformata funkcji exp(j0t)

Korzystając z twierdzenia o przesunięciu:

Jeżeli u(t)↔U(), to exp(j0t)u(t)↔U(-0),

0 – liczba rzeczywista.

mamy dla u(t)=1: exp(j0t)↔δ(-0)

Transformata funkcji okresowej u(t)=u(t+T0)

o okresie T0.

Dla funkcji okresowej mamy rozwinięcie w zespolonyszereg Fouriera:

n

n

tjnn

0ectu

gdzie

0

0

0 dtetu2

c

T2

tjn0n

00

Rozważmy funkcję impulsową ui(t) zdefiniowaną:

00

00i

,tdla0

tdlatu

tu

Funkcję u(t) można zapisać:

k

k0i kTtutu

a współczynnik cn możemy zapisać korzystając z definicji funkcji ui(t) w postaci:

0i0tjn

i0tjn0

n nU2

dtetu2

dtetu2

c 00

0

0

gdzie

dtetuUtu tjiii

Ui() jest transformatą funkcji ui(t) dla częstotliwości 0.

Podstawiając do zależności:

n

n

tjnn

0ectu

0i0

n nU2

c

współczynnik

otrzymujemy:

n

n

tjn0i

0 0enU2

tu

lub biorąc pod uwagę:

k

k0i kTtutu

mamy:

n

n

tjn0i

0n

n0i

0enU2

nTtu

a ponieważ 0tjn ne 0

mamy transformatę:

n

n00i

0n

n0i nnU

2nTtu

Jako przykład rozważmy idealną funkcję próbkującą

Mamy funkcję:

m

m0T mTtt

0

)t(0T

t

Idealna funkcja próbkująca jest również nazywana

funkcją grzebieniową Diraca

0 T0

ponieważ dla funkcji: 1t

więc zgodnie ze wzorem

n

n00i

0n

n0i nnU

2nTtu

mamy:

n

n0

0m

m0 n

2mTt

)t(F0T

0 0

Transmisja sygnałów przez układy liniowe

Definicja

Układem (systemem) nazywamy urządzenie lub obiekt

fizyczny, który w odpowiedzi na sygnał na wejściu

generuje sygnał wyjściowy

układ

sygnałwejściowy

wymuszenie

x(t)

sygnałwyjściowy

odpowiedź

y(t)

Definicja

System nazywamy liniowym, jeżeli spełnia zasadę

superpozycji, tzn. jeżeli dla wymuszenia x1(t)

odpowiedzią jest y1(t), a dla wymuszenia x2(t)

odpowiedzią jest y2(t), to mówimy, że spełniona

jest zasada superpozycji jeżeli dla wymuszenia

α1x1(t)+α2x2(t) odpowiedzią jest α1y1(t)+α2y2(t).

W telekomunikacji przykładami układów liniowych są

filtry i kanały telekomunikacyjne

Filtr

jest układem częstotliwościowo selektywnym.

Kanałem telekomunikacyjnym

nazywamy wszystkie urządzenia transmisyjne

łączące nadajnik z odbiornikiem.

Naszym zadaniem jest zbadanie efektów wynikającychz transmisji sygnałów przez filtry liniowe i kanały telekomunikacyjne. Analizę można przeprowadzić na dwa sposoby: 1. analiza czasowa 2. analiza częstotliwościowa

Analiza czasowa

System liniowy opisuje się w dziedzinie czasu za pomocą

odpowiedzi impulsowej,

która jest zdefiniowana jako odpowiedź układu o zerowych warunkach początkowych na jednostkowyimpuls w postaci funkcji δ(t), przyłożony do wejścia

układu.

System jest stacjonarny, jeżeli kształt jego odpowiedziimpulsowej nie zależy od chwili przyłożenia impulsu δ(t)

na jego wejście.

Dla systemu stacjonarnego możemy przyjąć, że impuls δ(t) jest przyłożony na wejście w chwili t=0.

Niech h(t) będzie odpowiedzią układu na impuls δ(t)

δ(t) h(t)

Określić odpowiedź układu na wymuszenie x(t).

Oznaczymy odpowiedź układu przez y(t).

x(t) y(t)

t

x(t)

τk τ

x(τk)

Traktując x(τ)τ jako impuls jednostkowy δ(t) z wagą x(τ)τ otrzymujemy odpowiedź układ liniowego w postaci: h(t-τk) x(τk)τ, a sumując po wszystkich kmamy:

Nk

1kkk

Nthxlimty

W granicy otrzymujemy:

t

0

dxthty

Odpowiedź y(t) układu liniowego stacjonarnego, którego

odpowiedź na impuls δ(t) jest h(t) na dowolne wymuszenie

x(t) wyraża się całką splotową.

System nazywamy przyczynowym, jeżeli odpowiedź nie

pojawia się, dopóki nie zostanie przyłożone pobudzenie.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym,

aby system był przyczynowy jest aby

h(t)=0 dla t<0.

Warunkiem aby system działający w czasie rzeczywistymbył realizowalny fizycznie, to musi być systemem

przyczynowym.

System nazywamy stabilnym, jeżeli sygnał wyjściowy

jest ograniczony dla wszystkich ograniczonych

sygnałów wejściowych.

Jest to tzw. kryterium stabilności wejście - wyjście

skrótowo system jest oznaczany BIBO

bounded input – bounded output

Warunkiem koniecznym i dostatecznym aby systembył stabilny jest:

Niech sygnał wejściowy x(t) będzie ograniczony, czyli

|x(t)|≤M

gdzie M – dodatnia liczba rzeczywista.

wtedy z t

0

dxthty wynika

t

0

t

0

t

0

dhMdxthdxthty

Pamiętając, że h(t)=0 dla t<0 i x(t)=0 dla t<0 możemy

całkę spoltową zapisać w postaci:

i stosując transformatę Fouriera

mamy: Y()=H()X()

a więc aby odpowiedź y(t) była ograniczona musi

zachodzić:

dtth

Analiza częstotliwościowa

t

0

dxthty

dxthty

H() nazywamy transmitancją częstotliwościową lub

charakterystyką częstotliwościową systemu.

Zapisując H()=|H()|ej()

nazywamy |H()| - charakterystyką amplitudową systemu () - charakteryską fazową systemu.

Często stosuje się lnH()=α()+j(),

gdzie α()=ln|H()| jest nazywane wzmocnieniem układu

i jest mierzone w neperach [Np]

Często wzmocnienie układu mierzy się w decybelach

α’()=20log|H()| [dB]

Hln69.8Hlog20

Hln4343.0HlnelogHlog

elog

HlogHln

a więc: 1Np=8.69dB

Pasmo układu jest definiowane jako 3dB pasmo

wzmocnienia układu

Modulacja ciągła

Zadaniem systemu telekomunikacyjnego jest przesłanie

sygnału informacyjnego

Sygnał informacyjny jest nazywany sygnałem w

pasmie podstawowym

Pasmo podstawowe określa zakres częstotliwości w jakim leży sygnał dostarczony przez źródło informacji

Dla prawidłowego wykorzystania kanału informacyjnegokoniecznym jest przesunięci pasma podstawowego w inny

zakres częstotliwości dogodny do transmisji sygnału

Przesunięcie zakresu częstotliwości sygnału jest

realizowane za pomocą modulacji

Modulacją nazywamy proces, w którym pewien

parametr fali nośnej jest zmieniany zgodnie z sygnałem

informacyjnym (falą modulującą)

Najczęściej jako falę nośną stosuje się przebiegsinusoidalny i w tym przypadku modulację nazywamy

modulacją ciągłą

W zależności od zmienianego parametru fali nośnejAsin

mówimy o:

Asin

1. zmianie ulega amplituda A i mówimy o modulacji

amplitudy,

2. zmianie ulega kąt i mówimy o modulacji kąta.

Dla fali sinusoidalnej mamy: =2πft+αmożemy zmieniać albo częstotliwość f –modulacja

częstotliwości albo zmieniać kąt fazowy α – modulacjafazy.

Modulacja amplitudy

Fala nośna – c(t)=Accos(2πfct)

Ac – amplituda fali nośnejfc - częstotliwość fali nośnej

Sygnał modulujący – m(t)

Źródła sygnałów c(t) i m(t) są fizycznie niezależne

Fala zmodulowana amplitudowo ma postać:

tf2costmk1Ats cac

ka – jest nazywane czułością amplitudową modulatora

0 0.002 0.004 0.0062

0

2

m t( )

t

0 0.002 0.004 0.00620

0

20

s t( )

tModulacja przy warunku |kam(t)|<1 dla wszystkich t

0 0.002 0.004 0.00650

0

50

s t( )

t

|kam(t)|>1 fala nośna przemodulowana

zmiana fazy

Niech W – oznacza największą częstotliwość sygnałumodulującego m(t).

W jest nazywane szerokością pasma sygnału informacyjnego

Koniecznym jest spełnienie warunku:

fc>>W

Transformata Fouriera fali zmodulowanej amplitudowo

tf2costmk1Ats cac

ma postać:

ccca

ccc ffMffM

2

Akffff

2

AfS

gdzie M(f)↔m(t)

f

M(f)

-W W

-fc fc-fc-W -fc+W fc-W fc+W

0.5Acδ(f+fc) 0.5Acδ(f-fc)

dolna wstęgaboczna

górna wstęgaboczna

dolna wstęgaboczna

górna wstęgaboczna

Szerokość pasma transmisji BT=2W

Przykład modulatora

Modulator przełączajacy

m(t)

c(t)=Accos(2πfct)

u1(t) u2(t)R1

Przyjmujemy diodęidealną o rezystancji

w kierunku przewodzeniaRd i dobieramy R1>>Rd

wtedy:

tmtf2cosAtu cc1

u1

u2

π/4

tmtf2cosAtu cc1

Jeżeli |m(t)|<<Ac, to napięcie u2(t) opisuje zależność:

0tcdla0

0tcdlatutu 1

2

co można krótko zapisać:

tgtmtf2cosAtu cc2

gdzie funkcja g(t) reprezentuje falę prostokątną o okresie Tc=1/fc i połówkowym współczynniku wypełnienia

0 0.002 0.004 0.0061

0

1

c t( )

t

c(t)

g(t)

Tc

Szereg Fouriera funkcji g(t) jest:

1n

c1n

1n2

1n2tf2cos1221

tg

i podstawiając mamy:

1n

c1n

cc2 1n21n2tf2cos12

21

tmtf2cosAtu

Składnik: tf2costmA4

12

Ac

c

c

reprezentuje pożądany zmodulowany amplitudowosygnał

reszta:

2nc

1n

cc 1n2tf2cos1n2

1tmtf2cosA

2tm

zawiera w widmie funkcje δ[(fc -2nfc)], gdzie n=1,2,...

i δ(0). Eliminujemy te częstotliwości za pomocą

filtru środkowoprzepustowego o częstotliwości

środkowej fc i szerokości 2W.

Demodulacja

Prosty demodulator zwany detektorem obwiedni

s(t)

Rs

C

R uwyj(t)

Sygnał zmodulowany amplitudowo

u(t)=Um[1+msin(0t)]sin(t)

uwyj(t)

Zalety, ograniczenia i modyfikacje modulacji amplitudy

1. Modulacja amplitudy jest nieekonomiczna ze względu na moc. Strata mocy przy przesyle fali nośnej

2. Modulacja amplitudy jest nieekonomiczna ze względu na szerokość pasma. Wstęgi boczne górna i dolna są ze sobą związane symetryczne względem nośnej, co oznacza, że wystarczy znajomość tylko jednej wstęgi co pozwoliło- by ograniczyć szerokość kanału do W.

Stosuje się trzy modyfikacje modulacji amplitudy:

1. Modulacja dwuwstęgowa ze stłumioną falą nośną

DSB-S.C.

2. Modulacja z częściowo stłumioną wstęgą boczną

VSB

3. Modulacja jednowstęgowa

DCB-SC