WYKŁAD 6 O DDZIAŁYWANIE ŚWIATŁA Z MATERIĄ

WYKŁAD 6

ODDZIAŁYWANIE

ŚWIATŁA Z MATERIĄ

PLAN WYKŁADU Pola elektryczne i magnetyczne w próżni i ośrodkach materialnych - równania Maxwella

Energia i moc w polu elektromagnetycznym

Fale elektromagnetyczne w próżni

Monochromatyczne fale płaskiew ośrodkach materialnych; zespolony

współczynnik załamania

PODSUMOWANIE

Pola elektryczne i magnetyczne w próżni i ośrodkach materialnych - równania Maxwella

Klasyczna teoria elektromagnetyzmu:

v = j

Bv+Eq = FqBE

natężenie pola elektrycznegoindukcja magnetyczna

ładunek elektrycznysiła Lorentza

gęstość prądu elektrycznego

Równania Maxwellapostać różniczkowa, układ SI

Gaussa, prawo - = E0



Faradaya, prawo - tB- = E




ych,magnetyczn ładunków ma nie - 0 = B





a, Ampére'prawo anezmodyfikow - tEj = Bc

0

2





a, Ampére'prawo anezmodyfikow - tEj = Bc

0

2

gęstości ładunku i prądu, źródła pól. Co w próżni? Co w ośrodkach materialnych?

,j

vj

tj

równanie ciągłości

tj


równania tego-4 z div - tEj = Bc

0

2

tj



0

2

0F

tj



0

2

0F

t1j1 = E

tj =

tEj = 0

0000

Ładunki i prądy polaryzacyjne w ośrodkach materialnych

Model Lorentza atomu, ładunek dodatni (ciężkie jądro) i ujemny (lekkie elektrony), q niekoniecznie

równe +Ze, elektrony silnie i słabo związane

Nq = P

Nq = Pwektor polaryzacji, wyindukowany przez pole

zewnętrzne moment dipolowy na jednostkę objętości

,P



,P

ładunek przesunięty przez jednostkową

powierzchnię zależy od P i cosinusa kąta pomiędzy N i P



,P

ładunek przesunięty przez jednostkową

powierzchnię zależy od P i cosinusa kąta pomiędzy N i P

Zamiast δ musimy wstawić δcosα

SNPSQpol

S

pol dSNPQ

wstawiamy minus bo polaryzacja „wypycha” ładunek dodatni z objętości V

S

pol dSNPQ

V

pol dVPQ

stosujemy twierdzenie Gaussa


S

pol dSNPQ

V

pol dVPQ


VV

polpol dVPdVQ


S

pol dSNPQ

V

pol dVPQ


VV

polpol dVPdVQ

Ppol

w 1-szym równaniu Maxwella całkowity ładunek dzielimy na „swobodny” i „polaryzacyjny”

0

polswob = E


0

polswob = E

0

swob

0 = PE

podstawiając za gęstość ładunku polaryzacyjnego wyrażenie z P otrzymamy:


0

polswob = E

0

swob

0 = PE

podstawiając za gęstość ładunku polaryzacyjnego wyrażenie z P otrzymamy:

PED 0

Jeśli wprowadzimy nowy wektor:

otrzymamy nową wersję I-ego równania Maxwella z wektorem indukcji elektrycznej

swob = D

e


By rozwiązać to równanie musimy uwzględnić zależność P od E. W najprostszym wypadku możemy przyjąć:

gdzie

swob = D

E = P e

e

e

jest podatnością elektryczną ośrodka mat.


By rozwiązać to równanie musimy uwzględnić zależność P od E. W najprostszym wypadku możemy przyjąć:

gdzie

swob = D

E = P e

e jest podatnością elektryczną ośrodka mat.

Mamy wówczas: EE = EE = D 0re0

0er 1 gdzie stała εr to stała dielektryczna, aε przenikalność elektryczna ośrodka materialnego

CO Z PRĄDAMI?

tEj = Bc

0

2

DIELEKTRYKI

CO Z PRĄDAMI?

tEj = Bc

0

2

t- = j pol

pol

Z równania ciągłości:

DIELEKTRYKI

CO Z PRĄDAMI?

Korzystając z:

tEj = Bc

0

2

t- = j pol

pol


Ppol

DIELEKTRYKI

CO Z PRĄDAMI?

Korzystając z:

tEj = Bc

0

2

t- = j pol

pol


Ppol

tP = P

t = jpol

Otrzymamy:

DIELEKTRYKI

CO Z PRĄDAMI?

Korzystając z:

tEj = Bc

0

2

t- = j pol

pol


Ppol

tP = P

t = jpol

Otrzymamy:

tP = jpol

DIELEKTRYKI

CO Z PRĄDAMI?

tEj = Bc

0

2

MATERIAŁY MAGNETYCZNE

CO Z PRĄDAMI?

tEj = Bc

0

2


NM namagnesowanie a momenty

magnetyczne atomów

CO Z PRĄDAMI?

Można pokazać, że:

tEj = Bc

0

2



magnetyczne atomów

M = jmag

Feynman, tom II, cz. 2, podrozdz. 36.1

CO Z PRĄDAMI?

Można pokazać, że:

tEj = Bc

0

2

Całkowity prąd:



magnetyczne atomów

M = jmag

swobmagpol jjjj

Feynman, tom II, cz. 2, podrozdz. 36.1

Uwzględniamy wszystkie prądy

tEj = Bc

0

2

swobmagpol jjjj


i otrzymujemy:

tEj = Bc

0

2

swobmagpol jjjj

= tEM

tPj1 = Bc swob

0

2


i otrzymujemy:

tEj = Bc

0

2

swobmagpol jjjj

= tE

tP1Mj1 =

= tEM

tPj1 = Bc

0swob

0

swob0

2


i otrzymujemy:

tEj = Bc

0

2

swobmagpol jjjj

EPt

1Mj1 =

= tE

tP1Mj1 =

= tEM

tPj1 = Bc

00

swob0

0swob

0

swob0

2

Ostatecznie:

tDj = MBc swob

20

Ostatecznie:

tDj = MBc swob

20

MBc = H 20

Wprowadzamy nowe pole (natężenie pola magnetycznego):

Ostatecznie:

tDj = MBc swob

20

MBc = H 20

Wprowadzamy nowe pole (natężenie pola magnetycznego):

tDj = H swob

i otrzymujemy 4-te równanie Maxwella:

[H] = A/m, inne definicje H: Feynman, t.II, cz.2, podrozdz. 36.2

Potrzebny jest związek pomiędzy M i H, przyjmujemy:

H = M m

gdzie: m to podatność magnetyczna ośrodka


MBc = H 20

H = M m


Wykorzystując:

i wprowadzając nową stałą: 20

0 c1 =

nazywaną przenikalnością magnetyczną próżni,


MBc = H 20

H = M m


Wykorzystując:


0 c1 =


HH = H1 = MH = B 0rm00

mamy:


MBc = H 20

H = M m


Wykorzystując:


0 c1 =


HH = H1 = MH = B 0rm00

mamy:

gdzie: 0r to przenikalność magnetyczna ośrodka

mr 1 a to względna przenikalność mag. ośrodka

DYGRESJA; wyznaczanie stałej c




Coulomba prawo ,rqQ

41 = F qE, = F ,Q1 = Er4 2

00

2



Coulomba prawo ,rqQ

41 = F qE, = F ,Q1 = Er4 2

00

2


a, Ampére'prawo - j = Bc0

2


Coulomba prawo ,rqQ

41 = F qE, = F ,Q1 = Er4 2

00

2

rII2

4

rII2

c41 BI F ,

cI r2B 21021

022

02

1



2


Coulomba prawo ,rqQ

41 = F qE, = F ,Q1 = Er4 2

00

2

Mierząc te siły możemy wyznaczyć wartość c:

rII2

4

rII2

c41 BI F ,

cI r2B 21021

022

02

1



2


72

0

0 100,1c4

14

obecnie przyjmujemy


72

0

0 100,1c4

14

obecnie przyjmujemy

9

0109,0

41

z eksperymentu


72

0

0 100,1c4

14

obecnie przyjmujemy

9

0109,0

41

z eksperymentu

s/m103c 8

Pomiar μ0 i ε0: 1856 W. Weber i R. Kohlrausch, Lipsk

RÓWNANIA MAXWELLA w ośrodkach materialnych


B i H ,D ,E


B i H ,D ,E

swob = D

tB- = E

0 = B

tDj = H swob


B i H ,D ,E

swob = D

tB- = E

0 = B

tDj = H swob

HH = B

EE = D

0r

0r

plus równania materiałowe:

przenikalności elektryczne i magnetyczne próżni, skalary

ośrodka materialnego – mogą być tensorami

ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM

Moc przekazana cząstce:


vF = P



vF = P

i

ii vF = P Moc przekazana układowi cząstek:



vF = P

i


Moc przekazana ciągłemu rozkładowi ładunku:

Vdvf = P


W polu elektrycznym i magnetycznym:


vF = P

i


Moc przekazana ciągłemu rozkładowi ładunku:

Vdvf = P

BvEf

Ponieważ: BvEf

V

dvf = P i

v = j

Ponieważ: BvEf

0Bvv

V

dvf = P i

oraz: i

Mamy:

v = j

Ponieważ: BvEf

V V

dEj = dEv = P

0Bvv

V

dvf = P i

oraz: i

. tBH- = EH

tDE+Ej = HE

Z 2-iego i 4-tego równania Maxwella, po przemnożeniu:

. tBH- = EH

tDE+Ej = HE

BHt2

1 = HHt2

1 = tBH

; DEt2

1 = EEt2

1 = tDE

; BAAB = BA

Z 2-iego i 4-tego równania Maxwella, po przemnożeniu:

Wykorzystamy następujące związki:

Otrzymujemy:

BHDE21

t+Ej = HE

Otrzymujemy:

Uwzględniając twierdzenie Gaussa:

BHDE21

t+Ej = HE

SV

dnA = dA

Otrzymujemy:

Uwzględniając twierdzenie Gaussa:

BHDE21

t+Ej = HE

SV

dnA = dA

VVS

n dBHDE21

tdEj = dHE

otrzymamy:

VVS

n dBHDE21

tdEj = dHE

BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M

moc chwilowa tracona przez pole e-m na rzecz układu ładunków

VVS

n dBHDE21

tdEj = dHE

Ej



VVS

n dBHDE21

tdEj = dHE

wektor Poyntinga, gęstość mocy wypływającej z układu

Ej

HE = S



VVS

n dBHDE21

tdEj = dHE

wektor Poyntinga, gęstość mocy wypływającej z układu

Ej

HE = S

BHDE21 = u

gęstość energii pola e-m


Dla próżni:


BEc = BE1 = S 20

0

220

20 BcE

21 = u

A dla ośrodka materialnego:


HE = S

MHHPEE21 = u 00

MHPEHE21 = u 0

20

20

Energia pola w próżni plus energia na polaryzację i namagnesowanie



0 = E = D 0


0 = E = D 0

tB- = E


0 = E = D 0

tB- = E

0 = B


0 = E = D 0

tB- = E

0 = B

.tE =

tD = B1 = H 0

0


w próżni nie ma ładunków i prądów

0 = E = D 0

tB- = E

0 = B

.tE =

tD = B1 = H 0

0



0 = E = D 0

tB- = E

0 = B

.tE =

tD = B1 = H 0

0

weźmiemy rotację z obu stron



0 = E = D 0

tB- = E

0 = B

.tE =

tD = B1 = H 0

0

weźmiemy rotację z obu stron

i wykorzystamy równanie 4-te


2

2

0000 tE- =

tE

t- = B

t- = E


wykorzystujemy następującą tożsamość:

2

2

0000 tE- =

tE

t- = B

t- = E

FFdivgradFrotrot 2


wykorzystujemy następującą tożsamość:

2

2

0000 tE- =

tE

t- = B

t- = E

FFdivgradFrotrot 2

i otrzymujemy:

2

2

002

tE- = E-E


2

2

002

tE- = E-E


ponieważ:

2

2

002

tE- = E-E

0Ediv


ponieważ:

2

2

002

tE- = E-E

0Ediv

2

2

002

tE = E

więc:

Podobnie dla pola B

Podobnie dla pola B

tE =

tD = B1 = H 0

0

r-nie 4, bierzemy rotację z obu stron

Podobnie dla pola B

tB- = E

tE =

tD = B1 = H 0

0


i wykorzystujemy równanie 2-gie

Podobnie dla pola B

tB- = E

tE =

tD = B1 = H 0

0


i wykorzystujemy równanie 2-te

otrzymując:

,tH = H lub ,

tB = B 2

2

002

2

2

002

Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych

Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnychOśrodki jednorodne i izotropowe

z prądami i ładunkami



= D

tB- = E

0 = B

tD+j = H



= D

tB- = E

0 = B

tD+j = H

H = B ,E = D 0r0r

równania materiałowe



= D

tB- = E

0 = B

tD+j = H

H = B ,E = D 0r0r

E = j

PRAWO OHMA,przewodnictwo właściwe

równania materiałowe

Szukamy rozwiązań w tej postaci:

tis

tis

tis

tis

tis

ej = j ,eH = H

,eM = M ,eP = P ,eE = E


tis

tis

tis

tis

tis

ej = j ,eH = H

,eM = M ,eP = P ,eE = E

z częścią czasową i przestrzenną



tis

tis

tis

tis

tis

ej = j ,eH = H

,eM = M ,eP = P ,eE = E


t- = jdive s

ti



tis

tis

tis

tis

tis

ej = j ,eH = H

,eM = M ,eP = P ,eE = E


t- = jdive s

ti

po scałkowaniu: t = jei1

sti

Z 1-ego równania:

= D

Z 1-ego równania:

po wstawieniu: sti je

i1 = t

= D

i:

Z 1-ego równania:

po wstawieniu: sti je

i1 = t

= D

E = D

i:

Z 1-ego równania:

po wstawieniu:

otrzymamy równanie:

sti je

i1 = t

= D

E = D

0 = E i

i:

Z 1-ego równania:

po wstawieniu:

otrzymamy równanie:

sti je

i1 = t

= D

E = D

0 = E i

albo podobne, tylko na część przestrzenną:

0 = E is

2-gie i 3-cie równanie dadzą:

ss Hi = E

po zróżniczkowaniu po t

0 = Hs

2-gie i 3-cie równanie dadzą:

ss Hi = E

po zróżniczkowaniu po t

0 = Hs

.E ii- = E i- = H sss

a 4-te:

po uwzględnieniu prawa Ohma i zróżniczkowaniu po t

Równania 1-sze i 3-cie (z div), dla ośrodków jednorodnych:

0 = Hs

0 = Es


0 = Hs

0 = Es

rki expH = H oraz ,rki expE = E z0sz0s

Szukamy rozwiązań w postaci fal płaskich:


0 = Hs

0 = Es

rki expH = H oraz ,rki expE = E z0sz0s

Szukamy rozwiązań w postaci fal płaskich:

zkykxkrk zzzyzxz ponieważ:

.ki

ik z

;ik y

;ik x

z

zzzzyyzxx

Zatem równania:

0 = Hs

0 = Es

sprowadzą się do:

0 = Hk 0, = Ek 0z0z

E, H prostopadłe do k

Zatem równania:

0 = Hs

0 = Es

sprowadzą się do:

ki

Podobnie dla rotacji:

0 = Hk 0, = Ek 0z0z

a więc:

000z Hc

c = H = Ek

E, H prostopadłe do k

oraz:

00z Ec

cic- = Hk

oraz:

00z Ec

cic- = Hk

Podstawiając 2-gie do 4-tego:

02

2

0zz Ec

cicc- = Ekk

oraz:

00z Ec

cic- = Hk


02

2

0zz Ec

cicc- = Ekk

C BAB CACBA

Korzystając z tożsamości:

oraz:

00z Ec

cic- = Hk


02

2

0zz Ec

cicc- = Ekk

C BAB CACBA

Korzystając z tożsamości:

oraz wykorzystując: μ = μrμ0; ε = εrε0; ε0μ0 = c2

otrzymamy:

Ponieważ:

Mamy:

02

2

0

rrr0zzz0z E

ci+- = Ekk-kEk

0Ek 0z

020

0

rrr0

2z Eki+- = Ek

gdzie 220 ck

Równanie to będzie spełnione gdy:

gdzie

to zespolony współczynnik załamania

2z

20

2z nk = k

0

rr2z i = n

zn

i+n = nz ai+k = kz

Niech i

mamy wówczas:

in2nk = i ak2+ak 2220

22

Stąd mamy dalej:

nk = ak

nk = ak20

2220

22

Stąd mamy dalej:

nk = ak

nk = ak20

2220

22

wobec tego:

0zz00 kn = k , k = a , kn = k

Stąd mamy dalej:

nk = ak

nk = ak20

2220

22

wobec tego:

0zz00 kn = k , k = a , kn = k

ncT2c

nnk2k 0

Stąd mamy dalej:

nk = ak

nk = ak20

2220

22

wobec tego:

0zz00 kn = k , k = a , kn = k

ncT2c

nnk2k 0

ncvT

trknirk00z0

00 eeE = trkni expE = E

Rozwiązanie w ośrodku materialnym:

i

trknirk00z0


tB- = E

Ek1 = B

v

EEcnB


i

tłumiona amplituda:

trknirk00z0


tB- = E

Ek1 = B

v

EEcnB

rkexpEraexpE 000


i

tłumiona amplituda:

trknirk00z0


tB- = E

Ek1 = B

v

EEcnB

rkexpEraexpE 000


zmodyfikowana część przestrzenna:

rkinexpE = E 00s

PODSUMOWANIE Pełny opis pól elektrycznych i magnetycznych w

ośrodkach materialnych, w tym fal elektromagnetycznych rozchodzących się w takich

ośrodkach, wymaga wprowadzenia czterech pól wektorowych:

B i H ,D ,E

Pole elektryczne E i magnetyczne H wywołują w ośrodku materialnym polaryzację P (podatność elektryczna ) i namagnesowanie M (podatność

magnetyczna ) tworząc pola D i B.

PODSUMOWANIE Dzięki zapisowi zespolonemu różniczkowe

równania Maxwella dla fal harmonicznych opisanych częstością ω i zespolonym wektorem

falowym stają się równaniami algebraicznymi. Z równań tych wynika, że:

gdzie:

2z

20

2z nk = k

0

rr2z i = n

PODSUMOWANIE Rozwiązanie w postaci fali płaskiej harmonicznej

ma w ośrodku materialnym tłumioną amplitudę (urojona część współczynnika załamania) i

zmodyfikowaną część przestrzenną (rzeczywista część współczynnika załamania):

rkexpE 00

rkinexpE = E 00s

Documents

WYKŁAD 6 O DDZIAŁYWANIE ŚWIATŁA Z MATERIĄ