Wykład 2Wykład 2Pole skalarne i wektorowePole skalarne i wektorowe

1. Funkcja wielu zmiennych

2. Pochodna cząstkowa.

3. Gradient

4. Dywergencja

5. Rotacja

Funkcja jednej zmiennejFunkcja jednej zmiennej

Zmienna niezależna)sin(ty Zmienna zależna

Funkcja jednej zmiennejFunkcja jednej zmiennej

Wykres y=f(t) jest krzywą płaską

0 1 2 3 4 5 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

y

Funkcja wielu zmiennychFunkcja wielu zmiennych

)cos()sin( yxz Zmienna zależnat

Zmienna niezależna

Zmienna niezależna

Funkcja wielu zmiennychFunkcja wielu zmiennych

Wykres – powierzchnia w 3D

01

23

45

6

01

23

45

6

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x y

z

Pochodna cząstkowaPochodna cząstkowa

Pochodna z funkcji jednej zmiennej ( względem tej zmiennej) jest gradientem funkcji;

Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych to pochodna tej funkcji względem jednej ze zmiennych niezależnych;

Pochodna cząstkowaPochodna cząstkowa

Inne zmienne niezależne traktujemy jako stałe;

Pochodna cząstkowa jest gradientem powierzchni w kierunku danym przez tę zmienną, względem której liczono pochodną:

xz

pochodna cząstkowa względem x

PrzykładPrzykład Pochodna cząstkowa funkcji:

względem x (traktujemy y jako stałą):

względem y (traktujemy x jako stałą):

21),( xyxf

xxx

xf 2)1( 2

0)1( 2

yx

yf

Pole skalarne i wektorowePole skalarne i wektorowe

Pole skalarne opisuje funkcja skalarna wielu zmiennych ( np. ciśnienie, temperatura)

Pole wektorowe – funkcja wektorowa wielu zmiennych (np.prąd powietrza, ciepła, pole magnetyczne).

Pole skalarne i wektorowePole skalarne i wektorowe

Pole skalarne:

np.

),( yxff

22),( yxyxf

yzzxzyxf 2),,( 2

Pole skalarne i wektorowePole skalarne i wektorowe

Pole wektorowe (2D) :

np.

)),(),,((),( yxgyxfyx F

),(),( 2222 yxyxyx jiF

kjiF )cos(2),,( 2 yyxzzyx

Pole wektorowePole wektorowe

Przepływ wody wokół podpory mostu

Pole skalarnePole skalarne

Głębokość wody w Auckland Harbour

Pole wektorowePole wektorowe

Prądy wodne w Waitemata Harbour

Rozważmy funkcję skalarną f = f (x, y, z). Jak policzyć jak szybko f zmienia się

wzdłuż pewnej krzywej C opisanej równaniem:

s jest długością mierzoną wzdłuż C; chcemy policzyć pochodną f względem s aby stwierdzić jak szybko zmienia się ona względem C.

Niech w jest równa wartości f na krzywej C:

kjir )()()()( szsysxs

))(),(),(()( szsysxfsw

OOperator Gradientperator Gradientuu

krzywa C

Kontury f (x, y, z) = constant

OOperator Gradientperator Gradientuu

f

Aby obliczyć jak f zmienia się wzdłuż C liczymy pochodną:

Prawa strona może być też zapisana tak:

dsdz

zf

dsdy

yf

dsdx

xf

dsdw

zf

yf

xf

dsdz

dsdy

dsdx

dsdw kjikji

OOperator Gradientperator Gradientuu

Czyli:

gdzie jest jednostkowym wektorem stycznym do s:

fdsdw

τ

dsdz

dsdy

dsdx kjiτ

OOperator Gradientperator Gradientuu

zf

yf

xff kji

ffzf

yf

xf grad,,

OOperator Gradientperator Gradientuu

Operator gradientu :f

lub:

PrzykładPrzykład

Oblicz gradient funkcji:

Gradient :

331

31),( 33 yxyxyxf

yf

xff ,

12 x

xf

12 y

yf

1,1 22 yxf

grad f tworzy pole wektorowe z pola skalarnego f

Aby zinterpretować grad f piszemy:

jest kątem między wektorem stycznym i wektorem grad f . Ta pochodna jest największa gdy = 0 i cos = 1.

grad f jest wektorem, który jest równy maksimum szybkości zmian f i wskazuje kierunek maksimum szybkości zmian.

cosffdsdw

τ

OOperator perator ggradientradientuu

Wektor gradientu w punkcie P jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie P. Tak więc wektor normalnej n do powierzchni w punkcie P:

)()( PfP n

Powierzchnie wPowierzchnie w 3D 3D

C

n

P

Operator dywergencjiOperator dywergencji

Prędkość cieczy lub gazu może reprezentować wektor pola, tzn.

Dywergencja jest miarą źródłowości pola.

),,(),,,(),,,( zyxwzyxvzyxuv

Operator dywergencjiOperator dywergencji

Rozważmy skalar:

Jeśli v > 0 ciecz wypływa ze źródła

Jeśli v < 0 ciecz wpływa do pewnego punktu

zw

yv

xu

v

Operator dywergencji (div) daje skalar jeśli działa na funkcję wektorową

Operator gradientu (grad) – daje wektor jeśli działa na funkcję skalarną

zw

yv

xu

vvdiv

Operator dywergencjiOperator dywergencji

),,( wvuv

uwaga: div(grad f ) pisze się tak:

To jest operator Laplace’a

Używany jest do modelowania fal, zjawisk dyfuzji i in.

ff 2)(

2

2

2

2

2

2

)(

zf

yf

xf

zf

zyf

yxf

xf

Operator Operator LaplaLaplace’ace’a

OOperatorperator rotacji rotacji

Prędkość ruchu obrotowego (np. bryły sztywnej) można

określić stosując rotację; Niech wektor prędkości punktów

bryły reprezentuje wektor pola

),,(),,,(),,,( zyxwzyxvzyxuV

OOperatorperator rotacji rotacji

Operator rotacji wektora pola:

),,(,, wvuzyx

V

kjiV

yu

xv

xw

zu

zv

yw

Operator rotacjiOperator rotacji

W postaci macierzowej:

kji

kji

v

yu

xv

xw

zu

zv

yw

wvuzyx

kjiv xy 0101 2

kjiv zyxzyxy 2

)(2 zyxzyxyzyx

kji

v

kjiv xy 12

Przykład Przykład

Oblicz rot v dla:

Dla płynącej cieczy, rot v oznacza, że mamy do czynienia z wirami: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż

osi obrotu; jego kierunek określa reguła prawej dłoni;

Przy obrocie bryły sztywnej wokół ustalonej osi: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż

tej osi; długość rot v jest równa podwojonej

prędkości kątowej.

Sens fizyczny rotacjiSens fizyczny rotacji

PodsumowaniePodsumowanie

Gradient Maksimum szybkości zmian i kierunek

maksymalnej szybkości zmian pola skalarnego

skalar vektor Dywergencja

Wskazuje źródło pola wektor skalar

Rotacja Określa obrót wektora pola wektor wektor

f

v

v