Click here to load reader

Wykład 1: Wprowadzenie. Założenia. Macierz i tensor …chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Wyklady/TSiP/1... · lecz raczej luźny (przypadkowy) zbiór rozwiązań. Uproszczenia

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Wykład 1: Wprowadzenie. Założenia. Macierz i tensor...

  • Leszek CHODOR , dr in. bud, in.arch.

    [email protected]

    Wykady opracowano na podstawie:

    [1] Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of Elasticity Mc Graw Hill, 2 nd , Oxford, 1951,

    [2] Piechnik S., Wytrzymao materiaw dla wydziaw budowlanych, PWN, Warszawa 1980,

    [3] Rakowski J., Teoria sprystoci, Almamater, Politechnika Poznaska, 2003/2004, [4] Bower A., Linear Elasticity,, Lecture Notes, Division of Engineering Brown University, Spring 2005,

    [5] Lebedev L.P., Cloud M.J., Tensor Analysis with Applications in Mechanics, World Scientific, 2010,

    [6] Chodor L., publikacje wasne - rne.

    [7] Strony www [dostpne na dzie wykadu] - rne

    Wykad 1: Wprowadzenie. Zaoenia. Macierz i tensor napre

  • Program wykadu

    Wykad : TEORIA SPRZYSTOCI I PLASTYCZNOCI Kurs : 4 rok studiw (1 rok II stopie), kierunku Budownictwo.

    Wykad 1 Wprowadzenie, Zaoenia teorii sprystoci. tydzie

    Macierz i tensor napre 1,2

    Wykad 2 Stan napre i odksztace,

    rwnania fizyczne, ujcie macierzowe ZBTS 3

    Wykad 3 Metody rozwizania ZBTS i proste przykady. 4

    Metoda Ritza

    Wykad 4 Podstawy metod wariacyjnych w TS. 5

    Metoda Ritza a MES

    Wykad 5 Wprowadzenie do MES . 6

    Przykad belki na gruncie, belka Timoshenko , tarczy i pyty 7,8

    Wykad 6 Nieliniowoci fizyczne . Typy nieliniowoci. Hipotezy. 9

    Plastyczno. Teoria nonoci granicznej 10

    Wykad 7 Prty cienkocienne, Nono nadkrytyczna 11

    Wykad 8 Orodki lepko-spryste 12

    Wykad 9 Implementacje numeryczne TSiP 13

    Wykad 10 Wybrane zagadnienia TSiP. Podsumowanie 14,15

    Program

    wykadw

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR, Teoria sprystoci i plastycznoci 2

  • Teoria sprystoci (TS); Teoria plastycznoci (TP) i Reologia

    (TR), s dziaami Mechaniki Ciaa Odksztacalnego (MCO).

    Natomiast:

    Wytrzymao materiaw (WM) jest historyczn nazw TS

    mona j nazwa techniczn MCO, bo stawia sobie zadania takie

    jak MCO , lecz akceptuje wiele uproszcze, weryfikowanych tylko

    przez dowiadczenia - nie stanowi uporzdkowanej dyscypliny,

    lecz raczej luny (przypadkowy) zbir rozwiza. Uproszczenia

    przyjmowane w wytrzymaoci materiaw nie maj czsto podstaw

    teoretycznych i dopiero po latach przyjte tam hipotezy

    inynierskie s weryfikowane i zastpowane nowymi technikami

    (Przykad: projektowanie supw mimorodowo ciskanych z

    zastosowaniem wspczynnika wyboczeniowego -- w EC3 zosta

    zastpiony metod wykorzystujc obliczenia II rzdu, model 3D

    oraz ogln metod elementw skoczonych - w miejsce

    wspczynnikw wyboczeniowych w analizie P-delta uzyskuje si

    momenty zginajce II rzdu, co jest ju teoretycznie uzasadnione).

    Miejsce Teorii Sprystoci w Mechanice

    Teoria

    Sprysto-

    ci ,

    a

    Wytrzyma-

    o

    Materiaw

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 3

  • TS rozwaa problemy, ktre byy zbyt skomplikowane do

    rozwizania w historycznej WM i standardowo byy rozwizywane

    przez badania modelowe. Wraz z rozwojem technik

    obliczeniowych, klasyczna WM stracia na znaczeniu, a wrosa

    ranga teorii sprystoci, w tym nieliniowej oraz dla cia

    niesprystych (plastycznych, kruchych, lepkich) .

    Mechanika budowli ( w tym mechanika teoretyczna, dynamika i

    stateczno) uzupeniaj TS, szczeglnie w komputerowej

    technice rozwizania zagadnie brzegowych, cho raczej

    korzystaj z oglnych praw sformuowanych w MCO i tego powodu

    mona uzna, e wspczesna mechanika, wykorzystujca metody

    komputerowe jest niezalen gazi TS.

    TSiP jest nauk zajmujc si formuowaniem oglnych praw

    rzdzcych zachowaniem cia odksztacalnych wykonanych z

    rnych materiaw i o rnych wasnociach poddanych

    rozmaitym obcieniom i pozostajcych w rodowiskach rozmaitej

    natury.

    Miejsce Teorii Sprystoci w Mechanice

    Teoria

    Sprysto-

    ci ,

    a

    Wytrzyma-

    o

    materiaw

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 4

  • TS zajmuje si ciaami sprystymi, tj. takimi, ktre powracaj do

    ksztatu pierwotnego po zdjciu obcienia.

    TS pogbia klasyczne podejcie WM z pominiciem wielu

    zaoe upraszczajcych, oraz analizuje nowe zagadnienia,

    wychodzce poza klasyczny zakres WM (np. konstrukcje

    powokowe pyty, tarcze, nieliniowoci geometryczne i fizyczne

    oraz , wprowadzenie czasu (reologia, a ostatnio rwnie

    losowoci (stochastyczna metoda elementw skoczonych, itd.)

    Przykady zada TS (nierozwizywalne przez WM):

    Zadanie Boussinesqa (pprzestrzeni sprystej)

    Zagadnienie karbu

    Rozwizanie pyty, powoki

    Miejsce Teorii Sprystoci w Mechanice [2]-str.20

    Teoria

    Sprysto-

    ci ,

    a

    Wytrzyma-

    o

    Materiaw

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 5

    [3]

    [3]

  • Podstawy Teorii Sprystoci (TS) [2]-str.21,22

    .

    Fundamentalne zaoenia klasycznej TS:

    1. O rodku cigym (kontinuum materialnym ): czsteczki ciaa

    szczelnie wypeniaj dan bry;

    Kontinuum jest :

    jednorodne (stae materiaowe nie s funkcjami miejsca)

    izotropowe (wasnoci mechaniczne nie zale od kierunku)

    Uwaga: TS zajmuje si rwnie ciaami niejednorodnymi i

    anizotropowymi, lecz nie bdzie to przedmiotem niniejszego kursu.

    2. O rwnowadze statecznej: rozwaamy takie ukady, ktre

    znajduj si w rwnowadze statecznej

    Uwaga: MCO zajmuje si rwnie ciaami w ruchu (kinetyka,

    dynamika), lecz nie bdzie to przedmiotem niniejszego kursu.

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 6

  • Podstawy Teorii Sprystoci (TS)

    .

    Fundamentalne zaoenia klasycznej TS:

    3. Zasada zesztywnienia : inaczej zaoenie maych

    przemieszcze.

    Uwaga:

    1) zaoenie nieprecyzyjne, lecz potrzebne do linearyzacji

    zagadnie dalej bdziemy jawnie pokazywa zastosowanie

    zaoenia,

    2) Zasada zesztywnienia nie jest przyjciem nieodksztacalnoci

    ciaa (zaoeniem ciaa sztywnego, ktrym zajmowaa si

    mechanika teoretyczna ).

    3a O maych pochodnych przemieszcze rozwaamy tylko takie

    przemieszczenia, ktrych pochodne s mae (i ich potgi mog

    by pominite jako wielkoci mae wyszego rzdu)

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 7

  • Podstawy Teorii Sprystoci (TS)

    .

    Fundamentalne zaoenia klasycznej TS:

    4. Zaoenie liniowo sprystego materiau klasycznej teorii

    sprystoci. Materia, z ktrego wykonane jest ciao jest liniowo

    sprysty. Uwaga:

    1) sprysto oznacza, e po zdjciu obcienia ciao powraca

    do pierwotnego stanu,

    2) liniowo oznacza, e zaleno midzy odksztaceniem, a

    napreniem jest liniowa (klasyczne Prawo Hooka),

    3) Zaoenie to pozwala zaniedba histori obciania (efekt

    Baushingera) WM Robert Hooke (1635-1703) pierwszy

    prezentuje to prawo w formie aciskiego

    anagramu CEIINOSSITTUV = UT

    TENSIO, SIC VIS

    co tumaczy si jakie wyduenie, taka

    sia lub wyduenie jest wprost

    proporcjonalne do siy.

    s=Ee Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 8

  • Podstawy Teorii Sprystoci (TS) [2] (cay wykad)

    .

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 9

    Uwaga : Rozwaania prowadzimy w ukadzie wsprzdnych matematycznym, tzn:

    kierunki i zwroty osi zgodne z ukadem z rysunku, czego skutkiem jest

    podobne znakowanie , a przede wszystkim

    zwyke matematyczne transformacje (formuy przejcia pomidzy

    rnymi ukadami wsprzdnych)

    Stosujemy oznaczenia wskanikowe

    i umow Einsteina sumowania po

    powtarzajcym si wskaniku

    [x1,x2,x3] , co uproci zapis formu.

    x3

    x1

    x2

  • Sia

    wewntrz

    na, a sia

    przekrojo

    wa

    Ukady si, a sia wewntrzna

    .

    Twierdzenie o rwnowanoci ukadw si: jeli dwa ukady s

    rwnowane, to sumy obu ukadw s rwne i rwne s momenty

    obu ukadw liczone wzgldem tego samego punktu.

    Pojcie si wewntrznych jest oglne, a w analizie poszczeglnych

    typw konstrukcji ukady si , zredukowane specyficznie dla

    rodzaju analizy te s specyficznie nazywane:

    Prt: siy wewntrzne zredukowane do rodka prta nazywamy silami

    przekrojowymi lub prtowymi. Umawiamy si, e rodkiem prta jest

    rodek cikoci jego przekroju poprzecznego paszczyzn prostopad

    do osi prta. rodek cikoci ley wic na osi prta. Siami

    przekrojowymi s: N=sia osiowa, Q=sia poprzeczna, Ms=moment

    skrcajcy, Mg=moment zginajcy, B=bimoment (w prtach

    cienkociennych)

    Pyta siy wewntrzne zredukowane do linii rodkowej pyty nazywamy

    siami pytowymi. Lini rodkow pyty jest linia rodkw cikoci jej

    przekroju poprzecznego paszczyzn prostopad do powierzchni

    rodkowej pyty.

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci

    10

  • Sia

    wewntrz

    na jako

    funkcja

    wekto-

    rowa.

    Wektor

    wodzcy,

    normalna

    zewntrz-

    na do

    przekroju

    Ukady si, a sia wewntrzna

    .

    Siy zewntrzne

    x3

    x1

    x2

    Sia wewntrzna funkcja wektorowa P=P(r, u)dwch wektorw [r i u]=[wektor wodzcy, normalna

    zewntrzna], ktra okrela wypadkow

    si midzyczsteczkowych z jakimi

    wszystkie punkty materialne odcitej

    czci ciaa dziaaj na punkt materialny

    A

    Wektor

    wodzcy

    r=[x1,x2,x3]

    A

    u[a1, a2, a3]

    Paszczyzna przekroju p

    Siy

    midzyczste

    czkowe

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci

    11

  • Naprenie,

    to gsto si

    wewntrznyc

    h i jest

    funkcj

    wektorow

    dwch

    wektorw: (r, u)

    Stan

    napre, a

    macierz

    napre

    Stan napre , a macierz napre [2] str. 77,78,79

    .

    x3

    x1

    x2

    )1()( P ii rrPP Suma si wewntrznych

    przyporzdkowanych

    powierzchni DF

    F

    Pp

    F

    lim

    0

    Sia wewntrzna P funkcja wektorowa P=P(r, u)dwch wektorw [r i u]=[wektor wodzcy, normalna zewntrzna], ktra okrela wypadkow

    si midzyczsteczkowych z jakimi

    wszystkie punkty materialne odcitej

    czci ciaa dziaaj na punkt

    materialny A

    P (=gsto si wewn.

    =naprenie p=p(r, u)

    Stan naprenia w punkcie, r=r0, to zbir wektorw napre, przyporzdkowanych wszystkim przekrojom bryy,

    przechodzcym przez punkt o wektorze wodzcym r0 , czyli stan naprenia:

    )3((),( 0 ppp rdf

    Stan naprenia jest wic funkcj wektorow tylko normalnej zewntrznej u.

    Natomiast macierz napre bdzie funkcj wektorow tylko wektora wodzcego r W celu zdefiniowania macierzy napre dokonajmy przekroju bryy tylko paszczyznami prostopadymi do osi

    kolejno: x1, nastpnie x2, a na kocu x3.

    W pierwszym przypadku ustalamy wic wektor normalny do paszczyzny u= u 1. Naprenie staje si funkcj

    wektorow tylko wektora wodzcego punktu, czyli funkcja trzech jego wsprzdnych skalarw (x1,x2,x3).

    Funkcj t oznaczamy nastpujco (patrz rysunek ):

    )4(13121111111 ),,()(),( prprpp

    [2]

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci

    12

  • Naprenia

    w

    przekrojach

    prostopad-

    ych do osi.

    Macierz

    napre

    jest zbiorem

    9-ciu

    skalarnych

    funkcji 3.

    Skalarw.

    Definicja macierzy napre [2] str. 79, 80

    k

    .

    x3

    x1

    x2

    [2] [2] [2]

    )5(13121111111 ),,()(),( prprpp

    )6(23222122222 ),,()(),( prprpp

    )7(33323133333 ),,()(),( prprpp

    Naprenia

    przekrojem ui

    (o normalnej rwnolegej

    do osi ukadu wsprzdnych)

    jest wektorem w

    przestrzeni o 3-ch wsprzdnych sij (w oglnoci niezerowych)

    Wsprzdna sij

    jest funkcj skalarn

    trzech skalarw x1, x2,

    x3,, tzn

    sij= sij (x1, x2, x3 )

    )(rpi

    Macierz napre jest zbiorem skalarnych funkcji trzech zmiennych (x1, x2, x3, ), ktre przedstawiaj wsprzdne

    napre w tym samym punkcie o

    wsprzdnych (x1, x2, x3,) uporzdkowany w taki sposb,

    e wiersze s

    wsprzdnymi napre przyporzdkowanych

    paszczyznom przekrojw

    prostopadych odpowiednio do osi x1, x2, x3,

    )8(

    333231

    232221

    131211

    ][

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci

    13

  • Naprenie,

    to gsto si

    wewntrz-

    nych i jest

    funkcj

    wektorow

    dwch

    wektorw: (r, u)

    Umowa

    znakowania

    Macierz napre : wasnoci i znakowanie [2] str. 81

    =

    k

    .

    Wasnoci macierzy napre:

    1. Skadowe, ktrych dugoci le na diagonalnej macierzy, s prostopade

    do odpowiednich paszczyzn przekrojw, pozostae za wsprzdne w

    kolejnych wierszach przedstawiaj dugoci skadowych, lecych w

    paszczyznach podziau. Std te, elementy lece na diagonalnej

    nazywa bdziemy napreniami normalnymi, pozostae za-

    napreniami stycznymi

    2. Macierz napre jest podstaw okrelania stanu naprenia w kadym

    punkcie i dlatego bdzie ona podstawowym przedmiotem poszukiwa TS,

    3. Macierz napre staje si uporzdkowanym zbiorem liczb, jeli ustalimy

    wsprzdne punktu.

    4. Macierz napre jest macierz kwadratow, symetryczn, nieosobliw

    (istnieje macierz odwrotna) i okrelon dodatnio (wyrazy diagonali s >0

    oraz minory wszystkich rzdw >0 (twierdzenie Sylwestra).

    Indeksy ij : pierwszy jest wskanikiem p

    (normalnej do paszczyzny) ,

    drugi za oznacza kolejn

    wsprzdn ukadu.

    333231

    232221

    131211

    ][

    Umowa znakowania:

    1. Naprenia normalne s dodatnie (znak (+)), jeli zwrot skadowej tego naprenia bdzie zgodny ze

    zwrotem normalnej zewntrznej paszczyzny przekroju

    2. Naprenia styczne s dodatnie(znak (+)), jeli : a) zwrot normalnej zewntrznej paszczyzny przekroju jest

    zgodny ze zwrotem osi wsprzdnych, do ktrej normalna jest rwnolega, b) zwrot skadowej naprenia

    stycznego jest zgodny ze zwrotem osi wsprzdnych do ktrej ta skadowa jest rwnolega; naprenia

    styczne sad dodatnie rwnie w tym przypadku, gdy nastpuje rwnoczesna niezgodno zwrotw obu

    wymienionych par wektorw.

    [2]

    Obraz graficzny macierzy napre na poprzednim

    slajdzie oddaje istot macierzy, jak jest

    przyporzdkowanie napre paszczyznom z

    odpowiednim wektorem normalnym, wskazujcym,

    ktra cz dziaa na ktr. Z tej istoty wynika

    rwnie konieczno specjalnej umowy znakowania,

    poniewa zgodno z osiami wsprzdnych nie jest

    jednoznaczna trzeba byoby podawa z ktra

    czci ciaa mamy do czynienia. Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci

    14

  • Graficzny

    obraz

    macierzy

    napre na

    szecianie

    jednostkow

    ym

    Przykad

    Macierz napre : graficzny obraz [2]- str. 81, 82

    k

    .

    Punkt materialny

    o wymiarach

    dx1 * dx2 * dx3

    Siy masowe G1, G2 , G3

    [2]

    A

    Z symetrii macierzy napre,

    wynika, e rwne s

    naprenia styczne na

    paszczyznach

    wzajemnie prostopadych

    i prostopade do krawdzi

    przecicia tych

    paszczyzn.

    P

    130

    321

    011

    ][

    Przykad obrazu napre

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci

    15

  • Tw: Macierz

    napre

    jest

    tensorem

    Dowd tw:

    cz.1

    Tensor napre [2] str. 83

    .

    [2]

    Tw.: Macierz

    napre jest

    tensorem

    [2]

    A(x1,x2,x3)

    Dugoci krawdzi Dx1, Dx2, Dx3

    Wektor normalnej

    zewntrznej do

    ciany BCD:

    )9(321 ],,[][ iPoniewa dugo u jest rwna 1, wic jego

    wsprzdne s kosinusami kierunkowymi

    ktw midzy wersorem, a osiami

    wsprzdnych i zachodzi rwno

    (norma)

    )10(3

    22

    21

    2 1 Dowd Tw. cz.1.:

    Jeli oznaczymy pole powierzchni cianki wynosi DF, a do osi xi DFi, to zachodzi

    )11(),cos( iii x

    F

    F

    Zgodnie z twierdzeniem o rwnowanoci ukadw si

    zewntrznych i wewntrznych, ukad si dziaajcych na

    cianki czworocianu jest rwnowany ukadowi zerowemu

    Nastpnie jeli zaoymy, e ze wszystkich napre na ciance ACD naprenie w pkt

    jest napreniem rednim i oznaczymy je przez:

    )12(32211 )1,1(),,( xxxxA )13(3221111 ),((

    xxxxpp j

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 16

  • Tw: Macierz

    napre

    jest

    tensorem

    dowd. cz.2

    Tensor napre cd. [2]- str.83,84,85

    .

    Dowd tw. cz.2.:

    Analogicznie zaoymy w pkt. naprenia s rednie ze cianek i oznaczymy je:

    Siy wewntrzne na poszczeglnych ciankach uzyskamy przez przemnoenie tego redniego naprenia przez

    pole powierzchni cianki. Poniewa ukad si wewntrznych, dziaajcych na czworocian jest ukadem zerowym,

    wic suma si S oraz moment wzgldem dowolnego punktu jest rwny 0.

    )14(32133323132322212 ),,();,,();,,( ppp

    0

    0

    0

    33332231133

    )15(23322221122

    13312211111

    FFFFS

    FFFFS

    FFFFS

    3,21, AAA FFF ,32 ,

    S=0

    3332231133

    )16(3322221122

    3312211111

    Dzielimy (15) obustronnie przez DF; korzystamy z (11),

    otrzymujemy (16), a stamtd w granicy przy Dxi 0 | (stay wektor normalnej zewntrznej do DF (u=const)

    otrzymamy wyraenia identyczne

    jak (16), lecz naprenia bd

    teraz w punkcie A(x1, x2, x3 )

    (opuszczamy znak redniej= ^)

    M=0 Postpujc analogicznie z warunkiem M=0 i przechodzc do

    granicy przy Dxi 0 , udowadniamy symetryczno

    macierzy napre, czyli

    )17(211231133223 ,,

    )18(jiji

    Wzory (16) z wykorzystaniem (17) (po opuszczeniu ^) mona

    zapisa z wykorzystaniem umowy sumacyjnej Einsteina:, czyli

    po rozpisaniu (powtarzajcy indeks nakazuje sumowanie po

    tym indeksie)

    3332231133

    )19(3232221122

    3132121111

    Wniosek 1: Jeli dana jest macierz napre w punkcie oraz dane s wsprzdne wersora

    normalnego dowolnej paszczyzny, ktr

    przecinamy bry, to za pomoc wzoru (18)

    obliczymy wsprzdne wektora naprenie

    w tym przeciciu Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci

    17

  • Tw: Macierz

    napre

    jest

    tensorem

    dowd. cz.3

    Tensor napre cd. [2] str.85,86

    k

    .

    Dowd tw. cz.3. :Rwnanie (18) zapiszmy w postaci macierzowej

    Z (18) mona odczyta, e macierz napre jest tensorem drugiego rzdu. Z definicji bowiem, tensorem drugiego

    rzdu nazywamy macierz, ktra pomnoona przez wektor , daje w wyniku wektor.

    )18(jiji p ][),19(

    1

    1

    1

    333231

    232221

    131211

    3

    2

    1

    czyli

    3

    1,

    3

    1,

    3

    1

    Przykad liczbowy. Niech w ustalonym punkcie B dana jest nastpujca macierz napre, okrelona w ukadzie (xi)

    Znale wsprzdne wektora

    naprenia pu przy przeciciu

    bryy paszczyzn

    przechodzc przez punkt B o

    normalnej zewntrznej

    130

    321

    011

    ][

    4

    0

    0

    31

    1

    1

    1

    130

    321

    011

    3

    2

    1

    Rozwizanie

    Wniosek 2: Do okrelenia stanu naprenia wystarcza znajomo macierzy napre w kadym punkcie, a wic znajomo funkcji sij (x1, x2, x3 ).

    Wniosek 3: Macierz napre jest tensorem, co ma ogromne praktyczne znaczenie, poniewa pozwala wprost wykorzysta cay formalny aparat rachunku tensorowego, w tym umow sumacyjn Einsteina.

    Jeli stosujemy zapis wskanikowy. Szczeglnie wany jest wzr transformacyjny do nowego ukadu.

    [2]

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 18

  • Prawo

    tensorowe

    transformacji

    Transformacja macierzy napre do innego ukadu [2]- str. 87

    =

    k

    .

    Macierz przejcia (20) wsprzdne wersorw nowych osi w ukadzie starym

    Kolejne wiersze macierzy przejcia (20) s wsprzdnymi wersorw

    (ei) nowych osi, odniesionymi do ukadu starego (xi), kolumny za

    przedstawiaj wsprzdne wersorw starych osi ei, okrelonych w

    ukadzie nowym (xi). Macierz przejcia jest wic ortonormalna

    wzgldem wierszy i kolumn, zachodz relacje:

    )19(' krjrikij

    )20(

    333231

    232221

    131211

    Przykad liczbowy. W ustalonym punkcie B przy

    przeciciu bryy

    'ie

    'ix )( ix

    jigdy

    jigdyij

    kjki

    jkik

    _,1

    _,0

    : elementy macierzy napre transformuj si do

    nowego ukadu wg prawa tensorowego:

    [2]

    [2]

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 19

  • Transformacja macierzy napre do innego ukadu- przykad [2] str.88,89

    k

    .

    )19(' krjrikij

    Rozwizanie a): Szukamy ....)}3,2,1(1,1{13131112121111111111'11 rkkrrk

    22

    9

    4

    1)3,2,1(

    2

    1

    2

    1

    122

    1

    112

    1

    )3,2,1(

    2

    121

    21

    21

    21

    21

    )3,2,1(

    2

    121

    21

    21

    21

    21

    ,3

    1

    3

    0

    ,2

    3

    )2(

    )1(

    ,1

    0

    )1(

    1

    rk

    rk

    rk

    W pkt B dana jest macierz

    napre

    130

    321

    011

    ][Znale: a) dugo naprenia normalnego w pkt B przy przeciciu bryy

    paszczyzn o wersorze normalnym u, b) Naprenia styczne lece w paszczynie jak w (a) i

    rwnolege do wersorw u, u

    21,

    21,

    21

    21,

    21,

    21'

    0,

    21,

    21''

    Rozwizanie b): zauwamy, e wersory u, u s

    wzajemnie ortogonalne, ich wsprzdne

    tworz macierz przejcia

    02

    1

    2

    12

    121

    21

    2

    121

    21

    Zadanie

    sprowadza si

    wic

    do znalezienia

    '13

    '12,

    co znajdziemy po rozpisaniu wzoru (19) dla

    (i=1.j=2) oraz (i=1, j=3) odpowiednio

    Przykad

    transform

    acji

    macierzy

    napre

    [2]

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 20

  • Naprenia gwne definicja,[2] str. 89 do 92

    k

    .

    Naprenie gwne s to ekstremalne

    naprenia normalne w punkcie ciaa.

    Kierunki gwne s to kierunki, na ktrych

    dziaaj naprenia gwne.

    Mona udowodni, e w paszczyznach

    gwnych (stowarzyszonych z

    napreniami gwnymi) naprenia

    styczne znikaj. Zadanie: znale takie

    Wektory i liczby

    aby

    Napren

    ia gwne

    i kierunki

    gwne ,

    to

    wartoci i

    wektory

    wasne

    Ukd

    rwna

    zadania

    wasnego

    (22) z

    warunkie

    m (10)

    Wyznacz

    nik

    charakter

    ystyczny

    (23)

    Znalezienie napre gwnych i wektorw gwnych jest znane w rachunku tensorowym , jako

    poszukiwanie wektorw wasnych i wartoci wasnych

    )(i)(i

    i

    NIEi

    ii

    )21()(

    )()(][

    Zadanie wlasne (21) moemy zapisa w postaci

    macierzowej (22)

    )22(

    )(3

    )(2

    )(1

    )()(

    3

    )(2

    )(1

    333231

    232221

    131211

    i

    i

    i

    ii

    i

    i

    )10(2)(

    32)(

    22)(

    1 1iii

    atwo mona zauway , e ukad rwna

    (22) jest jednorodny ze wzgldu na szukane kosinusy kierunkowe aj

    (j=1,2,3), a zatem rozwizanie

    niezerowe istnieje wtedy, gdy

    wyznacznik macierzy utworzony ze

    wspczynnikw przy niewiadomych

    jest rwny zero, czyli

    )23(

    )(333231

    23)(2221

    1312)(11

    i

    i

    i

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 21

  • Naprenia gwne technika i wasnoci [2] str.93do 96

    k

    .

    Warunek zerowania wyznacznika (23) po

    rozpisaniu, przyjmie posta rwnania

    charakterystycznego (lub sekularnego,

    wiekowego) (znanego z algebry liniowej)

    Rwnani

    e

    charakter

    ystyczne

    Macierz

    gwna

    Relacje

    napre

    gwnych

    constI

    constMI

    consttrI

    III

    ii

    iii

    333231

    232221

    131211

    3

    3332

    2322

    3331

    1311

    2221

    12112

    ,3322111

    )24(3)(22

    )(13

    )(

    det

    ,

    0

    Rwnanie charakterystyczne ma zawsze

    trzy pierwiastki rzeczywiste ( ze

    wzgldu na symetri macierzy napre),

    ktre oznaczymy

    321 ,, Naprenia gwne mog mie nastpujce relacje a) wszystkie rne b) dwa takie same

    c) wszystkie rwne

    W zalenoci od relacji bdziemy mieli inn technik wyznaczania

    oraz interpretacj wektorw wasnych:

    a) dla kadego pierwiastka zeruje si (23) wektory wasne

    wyznaczamy trzykrotnie z rwna (22) po pominiciu dowolnego

    i zastpieniu go przez warunek (10)

    b) wartoci wasnej pojedyczej odpowiada wektor wasny,

    wyznaczony jak w a), natomiast pierwiastkowi podwjnemu

    odpowiada caa paszczyzna wektorw wasnych prostopada do

    stowarzyszonego z pierwiastkiem pojedynczym wyznaczamy

    go najczciej z iloczynu wektorowego algebra liniowa.

    Przypadek wystpujcy w praktyce do czsto.

    c) kady wektor jest wektorem wasnym. Przy przeciciu bryy

    kad paszczyzn otrzymujemy wektor naprenie prostopady

    do tej paszczyzny.

    3

    2

    1

    00

    00

    00

    ][

    glwna

    Macierz napre w ukadzie (1,2,3)

    przyjmuje posta

    [3]

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 22

  • Naprenia gwne paski stan naprenia [2]- str. 96

    Napren

    ie i

    kierunki

    gwne w

    paskim

    stanie

    napreni

    a

    Dla przypadku paskiego rwnania i

    ilustracja graficzna ulegn

    znacznemu uproszczeniu:

    000

    0

    0

    ][ 2221

    1211

    02)(12

    )( II ii

    0,, 32

    1222112221

    1211222111 III

    212

    222112

    122112

    212

    222112

    122111

    4)(2

    4)(2

    ,0)(

    ,0)(

    222221212

    121211111

    2111

    212

    111

    )(212

    211

    111

    221112

    1

    ttt

    212

    2112

    1222

    212

    2112

    11121

    212

    2111

    11112

    212

    2111

    1211

    )(,

    )(

    )(,

    )(

    [2]

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 23

  • Ekstremalne naprenia stycznych, koo Mohra [2] str 96 do 102

    .

    Ekstrema

    lne

    napreni

    a styczne

    w

    paszczyz

    nach

    nachylon

    ych o 45o

    do

    paszczyz

    n

    gwnych

    Koo

    Mohra,

    Nierwno

    ci

    Tw. Paszczyny, ktrym przyporzdkowane

    s ekstremalne naprenia styczne,

    przechodz przez jedn z osi gwnych i

    do pozostaych s nachylone pod ktem

    45o: Dowd, np. w [2].

    Graficzn analiz stanu naprenia dokonujemy zwykle w

    konstrukcji k Mohra (znane zWM ; na tym kursie nie

    prowadzimy gbszej analizy, wskaemy tylko, e koa Mohra

    , to obraz nierwnoci , bdcych rozwizaniem TS [2])

    [2]

    [2]

    Nierwnoci stanu napre podstawa do

    konstrukcji Mohra

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 24

  • Literatura podstawowa

    Stefan Piechnik

    Wytrzymao

    materiaw, PWN

    1980,

    lub

    Mechanika

    techniczna ciaa

    staego, 2006

    [2]

    Politechnika witokrzyska , Leszek CHODOR Teoria sprystoci i plastycznoci 25