Click here to load reader

Wyk ad 7 Teoria · PDF file 2017. 5. 17. · Wykład 7 Teoria eksperymentu Magdalena Frąszczak Wrocław, 19.04.2017r Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Wyk ad 7 Teoria · PDF file...

  • Wykład 7 Teoria eksperymentu

    Magdalena Frąszczak

    Wrocław, 19.04.2017r

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Układ niekompletnych bloków losowych

    Zrównoważone niekompletne bloki: Gdy wszystkie porównania wyników są jednakowo ważne należy tak wybrać kombinacje czynników pojawiających się w blokach, aby każda para czynników pojawiała się razem taką samą ilość razy. Taki układ zrównoważonych niekompletnych bloków otrzymamy gdy: a - czynnników k - ilość czynników w każdym z bloków (k < a)(

    a k

    ) - liczba sposobów, na które możemy wybrać czynniki do

    bloku

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Układ niekompletnych bloków losowych

    Analiza statystyczna

    a - poziomów badanego czynnika

    b - bloków

    każdy blok zawiera k poziomów czynnika

    każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

    N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

    każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku

    λ = r(k − 1) a− 1

    gdy a = b - układ symetryczny

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Układ niekompletnych bloków losowych

    Analiza statystyczna

    a - poziomów badanego czynnika

    b - bloków

    każdy blok zawiera k poziomów czynnika

    każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

    N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

    każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku

    λ = r(k − 1) a− 1

    gdy a = b - układ symetryczny

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Układ niekompletnych bloków losowych

    Analiza statystyczna

    a - poziomów badanego czynnika

    b - bloków

    każdy blok zawiera k poziomów czynnika

    każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

    N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

    każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku

    λ = r(k − 1) a− 1

    gdy a = b - układ symetryczny

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Układ niekompletnych bloków losowych

    Analiza statystyczna

    a - poziomów badanego czynnika

    b - bloków

    każdy blok zawiera k poziomów czynnika

    każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

    N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

    każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku

    λ = r(k − 1) a− 1

    gdy a = b - układ symetryczny

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Układ niekompletnych bloków losowych

    Model statystyczny

    yij = µ+ τi + βj + �ij

    τi - efekt i-tego poziomu czynnika βj - efekt j - tego bloku �ij ∼ N(0, σ2) - iid. - błąd losowy.

    Całkowitą zmienność można zapisać:

    SST = SSczynnik dopasowany + SSB + SSE = a∑

    i=1

    b∑ j=1

    y2ij − y2.. N

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Układ niekompletnych bloków losowych

    Model statystyczny

    yij = µ+ τi + βj + �ij

    τi - efekt i-tego poziomu czynnika βj - efekt j - tego bloku �ij ∼ N(0, σ2) - iid. - błąd losowy.

    Całkowitą zmienność można zapisać:

    SST = SSczynnik dopasowany + SSB + SSE = a∑

    i=1

    b∑ j=1

    y2ij − y2.. N

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Układ niekompletnych bloków losowych

    Model statystyczny

    Uwaga

    Suma kwadratów dla czynników jest dostosowana tak aby odseparować wpływ czynników od wpływu bloków. Taka poprawka jest konieczna ponieważ każdy poziom czynnika jest reprezentowany w różnych zbiorach r bloków. Bez wzięcia pod uwagę poprawki sumy y1., y2., . . . , ya. podlegają wpływom różnic między blokami.

    SSB = ∑b

    j=1 y2.j k −

    y2.. N

    SScz dop = k ∑a

    i=1 Q2i

    λa

    Qi = yi . − 1k ∑b

    j=1 nijyij , i = 1, 2, . . . , a

    nij =

    { 1 czynnik i występuje w j− tym bloku 0 poza tym

    Qi - dopasowana całókowita suma dla i-tego poziomu czynnikaMagdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Układ niekompletnych bloków losowych

    źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F czynnik

    dopasowany k ∑a

    i=1 Q2i

    λa a− 1 SSczdop a−1

    MSczdop MSE

    do bloków

    bloki ∑b

    j=1 y2.j k −

    y2.. N b − 1

    błąd dopełnienie N − a− b + 1 SSEN−a−b+1

    całkowita ∑a

    i

    ∑b j y 2 ij −

    y2.. N N − 1

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Przykład 7.1

    Inżynier chemik uważa, że czas reakcji pewnego procesu chemicznego jest funkcją użytego katalizatora. W użyciu są cztery katalizatory. Eksperyment polega na wybraniu próbek substancji biorących udział w reakcji i przeprowadzeniu oddzielnych procesów przy użyciu każdego z katalizatorów pomiaru czasu reakcji. Inżynier traktuje próbki pochodzące od różnych producentów jako bloki. Niestety każda próbka pochodząca od jednego producenta wystarcza na przeprowadzenie trzech kataliz. Chemik postanawia skorzystać z układu zrównoważonych niekompletnych bloków.

    producent materiału katalizator 1 2 3 4 yi .

    1 73 74 − 71 218 2 − 75 67 72 214 3 73 75 68 − 216 4 75 − 72 75 222 y.j 221 224 207 218 y.. = 870 Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Przykład 7.1 - cd

    a = 4; b = 4; k = 3; r = 3; λ = 2; N = 12 SST =

    ∑4 i

    ∑4 j y 2 ij −

    y2.. N = 63.156−

    8702 12 = 81

    SSB = ∑4

    j=1 y2.j 3 −

    y2.. 12 = 55

    Q1 = 218− 13(221 + 224 + 218) = − 9 3

    Q2 = 214− 13(207 + 224 + 218) = − 7 3

    Q3 = 216− 13(221 + 207 + 224) = − 4 3

    Q4 = 222− 13(221 + 207 + 218) = 20 3

    SScz dop = 3 ∑4

    i=1 Q2i

    2·4 = 22.75 SSE = SST − SSB − SScz dop = 81− 22.75− 55 = 3.25

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Przykład 7.1 - cd

    źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F katalizator 22.75 3 7.58 11.66 producent 55 3 - błąd 3.25 5 0.65 całkowita 81 11

    F0 = 11.66 > 5.41 = F0.05(3, 5) - odrzucamy H0

    Katalizatory użyte w reakcjach mają istotny wpływ na czas przebiegu reakcji.

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Przykład 7.1 - cd

    źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F katalizator 22.75 3 7.58 11.66 producent 55 3 - błąd 3.25 5 0.65 całkowita 81 11

    F0 = 11.66 > 5.41 = F0.05(3, 5) - odrzucamy H0

    Katalizatory użyte w reakcjach mają istotny wpływ na czas przebiegu reakcji.

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Przykład 7.1 - cd

    źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F katalizator 22.75 3 7.58 11.66 producent 55 3 - błąd 3.25 5 0.65 całkowita 81 11

    F0 = 11.66 > 5.41 = F0.05(3, 5) - odrzucamy H0

    Katalizatory użyte w reakcjach mają istotny wpływ na czas przebiegu reakcji.

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów

    Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnych bloków mają postać: µ : Nµ̂+ r

    ∑a i=1 τ̂i + k

    ∑b j=1 β̂j = y..

    τi : r µ̂+ r ˆτi=1 + ∑b

    j=1 nij + β̂j = yi ., i = 1, 2, . . . , a

    βj : kµ̂+ ∑a

    i=1 nij τ̂i + kβ̂j = y.j , j = 1, 2, . . . , a

    Przy założeniu, że ∑ τ̂i −

    ∑ β̂j dostajemy µ̂ = y..

    Następnie korzystając z równania na {βj} aby wyeliminować efekty bloków z równania na {τi} otrzymujemy: (?)rk τ̂i − r τ̂i −

    ∑b j=1

    ∑a p=1;p 6=i nijnpj τ̂p = kyi . −

    ∑b j=1 nijy.j

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów

    Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnych bloków mają postać: µ : Nµ̂+ r

    ∑a i=1 τ̂i + k

    ∑b j=1 β̂j = y..

    τi : r µ̂+ r ˆτi=1 + ∑b

    j=1 nij + β̂j = yi ., i = 1, 2, . . . , a

    βj : kµ̂+ ∑a

    i=1 nij τ̂i + kβ̂j = y.j , j = 1, 2, . . . , a Przy założeniu, że

    ∑ τ̂i −

    ∑ β̂j dostajemy µ̂ = y..

    Następnie korzystając z równania na {βj} aby wyeliminować efekty bloków z równania na {τi} otrzymujemy: (?)rk τ̂i − r τ̂i −

    ∑b j=1

    ∑a p=1;p 6=i nijnpj τ̂p = kyi . −

    ∑b j=1 nijy.j

    Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

  • Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów

    Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnych bloków mają postać: µ : Nµ̂+ r

    ∑a i=1 τ̂i + k

    ∑b j=1 β̂j = y..

    τi : r µ̂+ r ˆτi=1 + ∑b

    j=1 nij + β̂j = yi ., i = 1, 2, . . . , a

    βj : kµ̂+ ∑a

    i=1 nij τ̂i + kβ̂j = y.j , j = 1, 2, . . . , a Przy założeniu, że

    ∑ τ̂i −

    ∑ β̂j dostajemy µ̂ = y..

    Następnie korzystając z równania na {βj} aby wyeliminować efekty bloków z równ