Wyk ad 7 Teoria · PDF file 2017. 5. 17. · Wykład 7 Teoria eksperymentu Magdalena Frąszczak Wrocław, 19.04.2017r Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Wykład 7 Teoria eksperymentu

Magdalena Frąszczak

Wrocław, 19.04.2017r

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

Zrównoważone niekompletne bloki: Gdy wszystkie porównania wyników są jednakowo ważne należy tak wybrać kombinacje czynników pojawiających się w blokach, aby każda para czynników pojawiała się razem taką samą ilość razy. Taki układ zrównoważonych niekompletnych bloków otrzymamy gdy: a - czynnników k - ilość czynników w każdym z bloków (k < a)(

a k

) - liczba sposobów, na które możemy wybrać czynniki do

bloku

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

Analiza statystyczna

a - poziomów badanego czynnika

b - bloków

każdy blok zawiera k poziomów czynnika

każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku

λ = r(k − 1) a− 1

gdy a = b - układ symetryczny

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

Analiza statystyczna

a - poziomów badanego czynnika

b - bloków

każdy blok zawiera k poziomów czynnika

każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku

λ = r(k − 1) a− 1

gdy a = b - układ symetryczny

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

Analiza statystyczna

a - poziomów badanego czynnika

b - bloków

każdy blok zawiera k poziomów czynnika

każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku

λ = r(k − 1) a− 1

gdy a = b - układ symetryczny

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

Analiza statystyczna

a - poziomów badanego czynnika

b - bloków

każdy blok zawiera k poziomów czynnika

każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku

λ = r(k − 1) a− 1

gdy a = b - układ symetryczny

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

Model statystyczny

yij = µ+ τi + βj + �ij

τi - efekt i-tego poziomu czynnika βj - efekt j - tego bloku �ij ∼ N(0, σ2) - iid. - błąd losowy.

Całkowitą zmienność można zapisać:

SST = SSczynnik dopasowany + SSB + SSE = a∑

i=1

b∑ j=1

y2ij − y2.. N

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

Model statystyczny

yij = µ+ τi + βj + �ij

τi - efekt i-tego poziomu czynnika βj - efekt j - tego bloku �ij ∼ N(0, σ2) - iid. - błąd losowy.

Całkowitą zmienność można zapisać:

SST = SSczynnik dopasowany + SSB + SSE = a∑

i=1

b∑ j=1

y2ij − y2.. N

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

Model statystyczny

Uwaga

Suma kwadratów dla czynników jest dostosowana tak aby odseparować wpływ czynników od wpływu bloków. Taka poprawka jest konieczna ponieważ każdy poziom czynnika jest reprezentowany w różnych zbiorach r bloków. Bez wzięcia pod uwagę poprawki sumy y1., y2., . . . , ya. podlegają wpływom różnic między blokami.

SSB = ∑b

j=1 y2.j k −

y2.. N

SScz dop = k ∑a

i=1 Q2i

λa

Qi = yi . − 1k ∑b

j=1 nijyij , i = 1, 2, . . . , a

nij =

{ 1 czynnik i występuje w j− tym bloku 0 poza tym

Qi - dopasowana całókowita suma dla i-tego poziomu czynnikaMagdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Układ niekompletnych bloków losowych

źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F czynnik

dopasowany k ∑a

i=1 Q2i

λa a− 1 SSczdop a−1

MSczdop MSE

do bloków

bloki ∑b

j=1 y2.j k −

y2.. N b − 1

błąd dopełnienie N − a− b + 1 SSEN−a−b+1

całkowita ∑a

i

∑b j y 2 ij −

y2.. N N − 1

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Przykład 7.1

Inżynier chemik uważa, że czas reakcji pewnego procesu chemicznego jest funkcją użytego katalizatora. W użyciu są cztery katalizatory. Eksperyment polega na wybraniu próbek substancji biorących udział w reakcji i przeprowadzeniu oddzielnych procesów przy użyciu każdego z katalizatorów pomiaru czasu reakcji. Inżynier traktuje próbki pochodzące od różnych producentów jako bloki. Niestety każda próbka pochodząca od jednego producenta wystarcza na przeprowadzenie trzech kataliz. Chemik postanawia skorzystać z układu zrównoważonych niekompletnych bloków.

producent materiału katalizator 1 2 3 4 yi .

1 73 74 − 71 218 2 − 75 67 72 214 3 73 75 68 − 216 4 75 − 72 75 222 y.j 221 224 207 218 y.. = 870 Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Przykład 7.1 - cd

a = 4; b = 4; k = 3; r = 3; λ = 2; N = 12 SST =

∑4 i

∑4 j y 2 ij −

y2.. N = 63.156−

8702 12 = 81

SSB = ∑4

j=1 y2.j 3 −

y2.. 12 = 55

Q1 = 218− 13(221 + 224 + 218) = − 9 3

Q2 = 214− 13(207 + 224 + 218) = − 7 3

Q3 = 216− 13(221 + 207 + 224) = − 4 3

Q4 = 222− 13(221 + 207 + 218) = 20 3

SScz dop = 3 ∑4

i=1 Q2i

2·4 = 22.75 SSE = SST − SSB − SScz dop = 81− 22.75− 55 = 3.25

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Przykład 7.1 - cd

źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F katalizator 22.75 3 7.58 11.66 producent 55 3 - błąd 3.25 5 0.65 całkowita 81 11

F0 = 11.66 > 5.41 = F0.05(3, 5) - odrzucamy H0

Katalizatory użyte w reakcjach mają istotny wpływ na czas przebiegu reakcji.

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Przykład 7.1 - cd

źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F katalizator 22.75 3 7.58 11.66 producent 55 3 - błąd 3.25 5 0.65 całkowita 81 11

F0 = 11.66 > 5.41 = F0.05(3, 5) - odrzucamy H0

Katalizatory użyte w reakcjach mają istotny wpływ na czas przebiegu reakcji.

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Przykład 7.1 - cd

źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F katalizator 22.75 3 7.58 11.66 producent 55 3 - błąd 3.25 5 0.65 całkowita 81 11

F0 = 11.66 > 5.41 = F0.05(3, 5) - odrzucamy H0

Katalizatory użyte w reakcjach mają istotny wpływ na czas przebiegu reakcji.

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów

Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnych bloków mają postać: µ : Nµ̂+ r

∑a i=1 τ̂i + k

∑b j=1 β̂j = y..

τi : r µ̂+ r ˆτi=1 + ∑b

j=1 nij + β̂j = yi ., i = 1, 2, . . . , a

βj : kµ̂+ ∑a

i=1 nij τ̂i + kβ̂j = y.j , j = 1, 2, . . . , a

Przy założeniu, że ∑ τ̂i −

∑ β̂j dostajemy µ̂ = y..

Następnie korzystając z równania na {βj} aby wyeliminować efekty bloków z równania na {τi} otrzymujemy: (?)rk τ̂i − r τ̂i −

∑b j=1

∑a p=1;p 6=i nijnpj τ̂p = kyi . −

∑b j=1 nijy.j

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów

Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnych bloków mają postać: µ : Nµ̂+ r

∑a i=1 τ̂i + k

∑b j=1 β̂j = y..

τi : r µ̂+ r ˆτi=1 + ∑b

j=1 nij + β̂j = yi ., i = 1, 2, . . . , a

βj : kµ̂+ ∑a

i=1 nij τ̂i + kβ̂j = y.j , j = 1, 2, . . . , a Przy założeniu, że

∑ τ̂i −

∑ β̂j dostajemy µ̂ = y..

Następnie korzystając z równania na {βj} aby wyeliminować efekty bloków z równania na {τi} otrzymujemy: (?)rk τ̂i − r τ̂i −

∑b j=1

∑a p=1;p 6=i nijnpj τ̂p = kyi . −

∑b j=1 nijy.j

Magdalena Frąszczak Wykład 7 Teoria eksperymentu

Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów

Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnych bloków mają postać: µ : Nµ̂+ r

∑a i=1 τ̂i + k

∑b j=1 β̂j = y..

τi : r µ̂+ r ˆτi=1 + ∑b

j=1 nij + β̂j = yi ., i = 1, 2, . . . , a

βj : kµ̂+ ∑a

i=1 nij τ̂i + kβ̂j = y.j , j = 1, 2, . . . , a Przy założeniu, że

∑ τ̂i −

∑ β̂j dostajemy µ̂ = y..

Następnie korzystając z równania na {βj} aby wyeliminować efekty bloków z równ