Właściwości energetyczne sygnałów

Właściwości energetycznesygnałów

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

•Definicja energii i mocy sygnału

•Energia sygnału w dziedzinie częstotliwości

•Moc sygnału w dziedzinie częstotliwości

•Zmienna losowa, proces losowy

•Analiza widmowa procesów losowych

•Podsumowanie, przykłady

Definicja energii sygnału


R

txdttxdttituE ,2

i(t) = x(t)

u(t) = x(t)

E

R = 1

C

txdttxtxdttxE ,*2

Sygnał nazywamy energetycznym,jeżeli E < .

Definicja mocy sygnału


i(t) = x(t)

u(t) = x(t)

P = E/T

R = 1

C

txdttxT

dttxT

TEPT

T

T

,11 2

2

2

2

C txtxdttx

TP

TT,

1lim

22

Sygnał nazywamy sygnałem mocy,jeżeli P < .

Uśrednianie po czasie


TTdttv

Ttvv

1lim~

Uśrednianie po czasie zastępuje wielkość fluktuującąwielkością stałą równoważną w sensie całki oznaczonej.

v(t)

v~

Tt0 t0 + T

Moc sygnału okresowego


0

2

0

2

0

11lim

TTTdttx

Tdttx

TP

Ttxtx

Moc sygnału okresowego jest równajego mocy za jeden okres.

Moc sygnału okresowego -sygnał harmoniczny


22 22

1

sin

aaP

tatx

2a

a

Energia sygnałuw dziedzinie częstotliwości


0

222 1

2

1

dXdXdttxE

tx R

2 XS

Twierdzenie Parsevala

Widmowa gęstość energii (widmo gęstości energii):

Funkcja korelacji dla sygnału energetycznego


2 XS

dttxtx

dtdeXtxdedtetxX

deXXdeXX

tjjtj

jj

*

**

*221

2

1

2

12

1

2

1F

dttxtxRXS *2

Funkcja korelacji dla sygnału energetycznego


dttxtxRXS

tx

2

R

Funkcja korelacji jest parzysta:

RR

Funkcja korelacji jest ograniczona z maksimum R(0):

ERR 0

Widmowa gęstość energii dla sygnałów rzeczywistychjest funkcją parzystą:

SS

Funkcja korelacji jako miarapodobieństwa sygnałów


dtt

dtttxc

dttctxec

2opt

22 min

dtt

dtttxdttxe

dtt

dtttxc

2

2

22min

2opt



NierównośćSchwarza

dttdttxdtttx 22

2

0

dttxe 22

min0

dtt

dtttxdttxe

2

2

22min

ttx

dtttx

0

ttx

ttx



Z nierównościSchwarza:

dttdttxdtttx 22

2

dttdttx

dtttx

22

wynika: 1

Współczynnik jest określany jako współczynnik korelacjiczyli podobieństwa sygnałów x(t) oraz (t).

dtt

dtttxc

2opt



dttdttx

dtttx

22

Analiza korelacji (podobieństwa) może uwzględniaćprzesunięcie sygnałów względem siebie.

dtttxR

Funkcja interkorelacji sygnałów x(t) oraz (t):

Funkcja autokorelacji sygnału x(t):

dttxtxR

Funkcja korelacji i widmowa gęstość energii - filtracja


)(H)(tx ty

xx SR yy SR

xy SHS

XHY

XHY

2

22

Widmowa gęstość energii jest modyfikowana przez kwadratch-aki a-cz.Cha-ka f-cz nie zmienia widmowej gęstości energii.

Moc sygnałuw dziedzinie częstotliwości


d

ST

XP

dXT

dttxT

P

txT

dttxT

P

Tttt

Tttttxtx

T

T

TT

TT

T

T

2

22

22

00

00

lim2

1

2

1lim

1lim

1lim

,,0

,,

Twierdzenie Parsevala

widmo gęstości mocy

txT

tx

0t Tt 0

Moc sygnałuw dziedzinie częstotliwości


d

ST

XP T

T

2

lim2

1

Widmowa gęstość mocy (widmo gęstości mocy):

T

XS T

T

2

lim

Funkcja autokorelacji sygnału mocy:

txtxdttxtx

TR

TT

**1lim

posiada identyczne właściwości jak funkcja autokorelacjisygnału energetycznego, w szczególności:

SR

Zmienna losowa


Zmienna losowa x jest w istocie rzeczy funkcją (losową)przyporządkowującą zdarzeniom elementarnymliczby (rzeczywiste).

W zastosowaniach telekomunikacyjnych mamy do czynieniaze zmiennymi losowymi w takich sytuacjach jak: napięcie wukładzie elektronicznym (z uwzględnieniem szumów), liczbarozmów telefonicznych w ustalonym przedziale czasu czyliczba przekłamanych bitów w słowie kodowym.Zmiena losowa jest wygodnym modelem, gdy nie jesteśmyw stanie uchwycić w modelu wszystkich mechanizmów.

R

x()

Dystrybuanta zmiennej losowej


i ixxF PrPrPr Ax

i

RPr{x() x} x

A


xxF xPr

Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej



xxF xPr

xxfxxx

xxxxFxxF

x

x

Pr

Pr

dx

xdF

x

xFxxFxf x

0

Kształt funkcji gęstości prawdopodobieństwa wskazujena „preferowany” zakres wartości zmiennej losowej x.


Momenty zmiennej losowejWartość średnia zmiennej losowej

dxxxfxxx E

Wartość średniokwadratowa zmiennej losowej

dxxfx222E xx

Wariancja zmiennej losowej

dxxfx 2222E xxxxxx

Odchylenie standardowe zmiennej losowej

2xxx


Momenty zmiennej losowej

Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu wartościzmiennej losowej wokół jej wartości średniej.

xx

xx xx

xx

xx xx

Im mniejsza jest wartość współczynnika

rozproszenia zmiennej losowej cx, tymbardziej zmienna losowa „przypomina”

stałą deterministyczną (cx = 0).

xxx c


Zmienna losowa normalna

22 2exp2

1:,

xxfN

2exp2

1:1,0 2xxf

N

0

+

+2

- +3

-2

-3

9999,041,0Pr

997,031,0Pr

95,021,0Pr

68,01,0Pr

N

N

N

N


x(t,)

x(t=const,=var) – zmienna losowax(t=var,=const) – realizacja procesu losowegox(t=var,=var) – zbiór realizacji procesu losowegox(t=const,=const) – liczba

Realizacja procesu losowego x(t,) jest zwykłym, deterministycznymprzebiegiem czasowym; losowość procesu nie jest nieodłączną właściwościątej funkcji, a przejawia się wyłącznie w losowym jej wyborze.

Procesylosowe x(t,)

x(t,)x(t,)

Gęstości prawdopodobieństwa procesu losowego


xtxfxxtx ;,Pr xGęstość prawdopodobieństwa I rzędu

Gęstość prawdopodobieństwa II rzędu

2121

222111

,;,

,,Pr

xxtxxf

xxtxxxtx

xx

2x

22 xx

t11 xx

1xt

txftxxf ,0,;, 21

Wartości średnie procesu losowego


Wartość średnia procesu losowego

dxtxxftt ;xx

Wartość średniokwadratowa procesu losowego

dxtxfxt ;22x

ttRtR

dxdxtxxfxxtR

2

212121

0,

,;,,

xxx

x

Funkcja autokorelacji procesu losowego

212121 ,;,, dxdxtxxftxtxtC

xxx

Funkcja autokowariancji procesu losowego

Wartości średnie procesu losowego


Wartości średnie procesu są średnimi „po zbiorze”(ensamble averages), gdyż są wyliczane

Wartości średnie „po czasie”(time averages) są wyliczanez pojedynczych realizacjiprocesu losowego.

dla ustalonych chwil czasu ze zbioru wszystkich realizacjiprocesu losowego na podstawie rozkładu wartości procesu reprezentowanych przez gęstości prawdopodobieństwa.

Wartości średnie „po czasie” procesu losowego


2

2

1lim~ T

TTdtt

Tt xxx

Wartość średnia „po czasie” procesu losowego

Autokorelacja „po czasie” procesu losowego

2

2

1lim

~ T

TTdttt

TRtt xxxx x

Symbol ~ podkreśla, że operacja uśredniania po czasiezostała wykonana dla pojedynczej realizacji procesu losowego.Wartość średnia po czasie jest zmienną losową,a autokorelacja po czasie jest procesem losowym.

Wartości średnie „po czasie” procesu losowego


2

2

1lim~ T

TTdtt

Tt xxx

Wartość średnia „po czasie” procesu losowego

Autokorelacja „po czasie” procesu losowego

2

2

22

2

2

1lim0

~

1lim

~

T

TT

T

TT

dttT

t

dtttT

tt

xx

xxxx

x

x

R

R

Istnienie granic wartości średniej po czasie orazautokorelacji po czasie gwarantują twierdzenia ergodyczne.

Konsekwencja:realizacje procesu losowego są sygnałami mocy.

Stacjonarny proces losowy


dxxxfxx

Proces losowy jest stacjonarny (w szerszym sensie), jeżelijego wartość średnia nie zależy od czasu:

a funkcja korelacji zależy wyłącznie od długościhoryzontu obserwacji , a nie od jego położenia na osi czasuczasu (t, t + ):

dxxfxR

dxdxxxfxxR

22

212121

0

;,

x

x

x

Ergodyczny proces losowy


Losowy proces stacjonarny jest ergodyczny, jeżelijego wartości średnie po zbiorze są równewartościom średnim po czasie.

-x

xxx

dxxxf

dttT

tT

TT

1Pr

1Pr2

2

1lim~ Ergodyczność

wartościśredniej

212121

1Pr

1Pr

;, dxdxxxfxxR

Rtt

x

xxx Ergodycznośćfunkcjikorelacji

Analiza widmowaprocesów losowych


Realizacje procesu losowego są sygnałami mocy, więckażdej realizacji można przyporządkowaćfunkcję korelacji własnej,

2

2

1lim

~ T

TTdttt

Tttt xxxxx xR

a przez przekształcenie Fouriera widmo gęstości mocy:

det jxxxx RSR

~~~ F


Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowegootrzymujemy w wyniku uśredniania (w zbiorze realizacji)widm gęstości mocy poszczególnych realizacji.

detRdettS

dettS

deS

det

jj

j

j

j

,E

E

~~

~~~

EE

xx

x

xxx

xxx

xx

xx

x

RS

RSRF

Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego


Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego

Twierdzenie Wienera – ChinczynaWidmo gęstości mocy stacjonarnego procesu losowegojest transformatą Fouriera funkcji korelacji.

xx StR F,

xx SR F

Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jest trans-formatą Fouriera funkcji korelacji uśrednionej po czasie.


Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego –metoda alternatywna

T

XS T

Tx

2

lim

Widmo gęstości mocy deterministycznego sygnału mocy:

Widmo gęstości mocy procesu losowego:

2

2

~E

1lim

~

limE

TT

T

T TTS X

Xx

można otrzymać w wyniku uśredniania (po zbiorze)widm gęstości mocy poszczególnych realizacji, a te sądeterministycznymi sygnałami mocy.

Podsumowanie


• Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć energię/mocsygnału w dziedzinie częstotliwości.• Widmowa gęstość energii/mocy określa energię/moc sygnałuprzypadającą na poszczególne częstotliwości sygnału.• Widmowa gęstość energii/mocy jest transformatą Fourierafunkcji autokorelacji.• Funkcja autokorelacji opisuje podobieństwo sygnału dojego opóźnionej w czasie repliki.• Funkcja autokorelacji sygnału mocy jest określona podobniedo funkcji autokorelacji sygnału energii; definicja uwzględniadodatkowo uśrednianie po czasie.• Filtracja sygnału powoduje przekształcenie widmowejgęstości energii/mocy przez kwadrat cha-ki a-cz.• Realizacje procesu losowego są deterministycznymisygnałami mocy.• Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jesttransformatą Fouriera funkcji autokorelacji (uśrednionej – wprzypadku procesów losowych niestacjonarnych).

Właściwości widma gęstościenergii/mocy


•Widmo gęstości energii/mocy jest zawsze transformatąFouriera funkcji autokorelacji: xx SR F

•Widmo gęstości energii/mocy pozwala określić energię/mocsygnału w wybranym pasmie częstotliwości oraz energię/moccałkowitą:

dSP

dSdSP

x

xx

2

12

1

2

1,

d

g

d

ggd

•Widmo gęstości energii/mocy jest funkcją parzystą dlasygnałów rzeczywistych: xx SS

)( jH xS 2 jHSx

Podsumowanie – właściwościfunkcji autokorelacji


Niezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy)funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmiennysposób posiadają identyczne właściwości.

•Deterministyczny sygnał energii:

dttxtxRx *

•Deterministyczny sygnał mocy:

txtx

dttxtxT

RTT

x

*

*1lim

Podsumowanie – właściwościfunkcji autokorelacji


Niezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy)funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmiennysposób posiadają identyczne właściwości.

ttR

tttR

dxdxtxxfxxtR

xx

xx

x

x

x

E

E,

,;,, 212121

• Niestacjonarny proces losowy:

ttER

dxdxxxfxxR

xxx

x

212121 ;,• Stacjonarny proces losowy:

Przykład – modulacja amplitudy


amplitudy modulacjacos

0~losowy, procesy stacjonarn

0

ttt

t

x

xx

tRRtR

ttRtR

tttttR

tttttR

00

00

00

00

2cos2

1cos

2

1,

coscos,

coscosE,

coscosE,

xx

x

xx

xx

00

2

0

4

12

10

2

10

cos2

1,

xx

x

x

x

SSS

RRP

RtRR

Przykład – kod transmisyjny bipolarny NRZ


nkqpaEaE

nkaEaaE

pqa

pa

nk

nnk

n

n

,

,1

11Pr

1Pr

22

2

Symbole an sąniezależne.

T 2T 4T 6T

+1

-1

t

x(t)

nT (n+1)T

an

Kod transmisyjny bipolarny NRZ -funkcja korelacji


T 2T 3T 4T

t

+1

(p – q)2

-T

,tRx

T- 2T- 3T-

T0

T

TT

qpTtRR

2

2

111

,xx

Kod transmisyjny bipolarny NRZ -funkcja korelacji


T

qptRR

22,xx

T 2T 3T 4T

t

+1

(p – q)2

-T

,tRx

T- 2T- 3T-

T

Kod transmisyjny bipolarny NRZ -uśredniona funkcja korelacji& widmowa gęstość mocy


T 2T 3T 4T

t

+1

-T

xR

T- 2T- 3T-

2

Sa12

1

222

222

TTRS

R T

xx

x

F

2

Kod transmisyjny bipolarny NRZ -widmowa gęstość mocy


f [Hz]

T2T1 T3

Widmo gęstości mocy sygnału cyfrowego jest skupione wpasmie 0 < f < 1/T; twierdzenie Nyquista orzeka, że pasmodwukrotnie węższe 0 < f < 1/2T jest wystarczające.

21

Sa2

Sa 22

2

qp

fTTT

TRS

R T

xx

x

F

Kody transmisyjne - kod Millera


„0”

• zachowanie polaryzacji przy przejściu„1” „0”• zmiana polaryzacji przy przejściu„0” „0”

„1”

• zachowanie polaryzacji przy przejściu„1” „1”• zachowanie polaryzacji przy przejściu„0” „1”

1 0 001 1 00 00 1 1 1



„1”

„0” „1”

„1”

„0”

„0”

Właściwości kodu Millera:• eliminacja składowych n-cz widma• istotny poziom timing content• koncentracja widma w wąskim pasmie• sekwencje „0...” lub „1...” – rozproszenie widma• sekwencja „0 1 1...” – istotny poziom składowej dc



fTTf

fTfTfTfT

fTTf

fTfTfTfTS

8cos8172

8cos27cos86cos25cos12

8cos8172

4cos53cos122cos22cos223

22

22

x

kod bipolarny NRZ

kod Millera

Przykład – szum gaussowski


~THz

SR F R

Szum biały ma płaskie widmo gęstości mocy w bardzoszerokim zakresie częstotliwości.Funkcja korelacji szumu białego ma charakter impulsowy;wartości szumu białego w dowolnie bliskich chwilach czasunie są skorelowane ze sobą.

Przykład – szum gaussowski


~THz

W

Idealny filtr pasmowo-przepustowy Szum gaussowski po filtracji jest

nadal szumem gaussowskim.

W

WdN

12

2

2

2

1 x

exf

WW

R Sa

Documents

Właściwości energetyczne sygnałów