8/3/2019 William R. Bauer, Russell A. Lund and James H. White- Twist and writhe of a DNA loop containing intrinsic bends

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P r o c . N a d l . A c a d . S c i . USAV o l . 9 0 , p p . 8 3 3 - 8 3 7 , F e b r u a r y 1 9 9 3B i o c h e m i s t r y

T w i s t a n d w r i t h e o f a DNA l o o p c o n t a i n i n g i n t r i n s i c b e n d sW I L L I A M R . B A U E R * , R U S S E L L A . L U N D t , AND J A M E S H . WHITEt* D e p a r t m e n t o f M i c r o b i o l o g y , S c h o o l o f M e d i c i n e , S t a t e U n i v e r s i t y o f Ne w Y o r k , S to n y B r oo k , NY 1 1 7 9 4 - 5 2 2 2 ; a n d t D e p a r t m e n t o f M at h e m a ti c s , U n i v e r s i t yo f C a l i f o r n i a a t L o s A n g e l e s , CA 9 0 0 2 4 - 1 5 5 5C o m m u n i c a t e d b y P e t e r H . v o n H i p p e l , O c t o b e r 1 2 , 1 9 9 2ABSTRACT T h e f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d o f s o l i d m e c h a n i c si s a p p l i e d t o c a l c u l a t i o n o f t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e o fc l o s e d c i r c u l a r DNA, m o d e l e d a s a n e l a s t i c r o d s u b j e c t t o l a r g em o t i o n s . T h e r e s u l t s p r e d i c t t h e m i n i m u m e l a s t i c e n e r g y c o n -f o r m a t i o n o f a d o s e d l o o p o f DNA a s a f u n c t i o n o f r e l a x e de q u i l i b r i u m c o n f i g u r a t i o n a n d l i n k i n g n u m b e r ( L k ) . W e a p p l yt h e m e t h o d t o f o u r d i f f e r e n t s t a r t i n g s t a t e s : a s t r a i g h t r o d , t w or o d s c o n t a i n i n g e i t h e r o n e o r t w o 2 0 ' b e n d s , a n d a c i r c u l a rO - r i n g . T h e r e s u l t s , h e r e a t l o w s u p e r h e l i x d e n s i t y , s h o w t h ec h a n g e s i n w r i t h e ( W r ) a n d i n t w i s t ( T w ) a s Lk i s p r o g s i v e l yl o w e r e d . T h e p r e s e n c e o f e v e n a s i n g l e i n t r i n s i c b e n d r e d u c e ss i g n i f i c a n t l y t h e l i n k i n g n u m b e r c h a n g e a t w h i c h W r f i r s ta p p e a r s , c o m p a r e d t o a n i n i t i a l l y s t r a i g h t , b e n d - f r e e r o d . T h ep r e s e n c e o f t w o i n - p h a s e b e n d s , s i t u a t e d a t o p p o s i t e e n d s o f ad i a m e t e r , l e a d s t o t h e f o r m a t i o n o f a t l e a s t t w o d i s t i n c t r e g i o n so f d i f f e r e n t b u t r e l a t i v e l y u n i f o r m T w i n c r e m e n t . T h e 0 - r i n gb e g i n s t o w r i t h e i m m e d i a t e l y u p o n r e d u c t i o n o f L k , a n d t h e T wi n c r e m e n t d i s t r i b u t i o n i s s i n u s o i d a l a l o n g t h e r o d . T h e m e -c h a n i c s c a l c u l a t i o n s , u n l i k e o t h e r t h e o r e t i c a l a p p r o a c h e s , p e r -m i t u s t o c a l c u l a t e T w a n d W r i n d e p e n d e n t o f t h e c o n s t r a i n t o fc o n s t a n t L k .T h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e o f c l o s e d c i r c u l a r DNA h a sb e e n m u c h s t u d i e d , b o t h e x p e r i m e n t a l l y a n d t h e o r e t i c a l l y ,b u t a c o h e r e n t p i c t u r e i s o n l y b e g i n n i n g t o e m e r g e . F r o m t h et h e o r e t i c a l p o i n t o f v i e w , t h e f i r s t r e q u i r e m e n t i s s p e c i f i c a t i o no f a m o d e l t o r e p r e s e n t t h e DNA a t t h e d e s i r e d l e v e l o fc o m p l e x i t y . I t h a s l o n g b e e n c l e a r t h a t m a n y o f t h e t e r t i a r ys t r u c t u r a l p r o p e r t i e s o f DNA i n g e n e r a l , a n d o f c l o s e d DNAi n p a r t i c u l a r , may b e r e p r e s e n t e d b y a n e l a s t i c i s o t r o p i c r o do f c i r c u l a r c r o s s s e c t i o n ( 1 ) , o r a w o r m l i k e c h a i n ( 2 ) . T h e r o di s s u b j e c t t o b e n d i n g , t o r s i o n a l , a n d e x t e n s i o n d i s t o r t i o n s a n dp o s s e s s e d o f t h e c o r r e s p o n d i n g t h r e e s t r u c t u r a l m o d u l i ( 3 ) .T h i s i s t h e m o d e l t h a t i s c o m m o n l y u s e d t o r e p r e s e n t DNAf o r d i d a c t i c p u r p o s e s , a n d t h e o b j e c t o f t h e p r e s e n t s t u d y i st o d e t e r m i n e t h e o r e t i c a l l y w h a t a r e t h e e q u i l i b r i u m c o n f o r -m a t i o n s o f s uc h a c l o s e d c i r c u l a r DNA a t v a r i o u s i m p o s e dd e f o r m a t i o n s .

F o r a n a l y t i c a l p u r p o s e s , i t i s c o n v e n i e n t t o d i v i d e t h ec a l c u l a t i o n s i n t o t w o r e g i o n s . A t v e r y l o w l i n k i n g - n u m b e rc h a n g e s ( A L k ) , t h e d e f o r m a t i o n s o f t h e DNA a r e m o d e r a t ea n d d i s t a l p a r t s o f t h e m o l e c u l e r e m a i n s e p a r a t e d . A t m o d -e r a t e t o h i g h A L k , h o w e v e r , d i s t a n t c h a i n s e g m e n t s a r eb r o u g h t i n t o p r o x i m i t y a n d t h e p r o b l e m o f f o r b i d d e n s e l f -p a s s a g e a r i s e s . W e w i l l t r e a t o n l y t h e f i r s t c a s e , t h a t o f l o wA L k , i n t h e p r e s e n t a r t i c l e ; t h e p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t hs e l f - p a s s a g e w i l l b e t r e a t e d e l s e w h e r e . T h i s c a s e i s o f i m p o r -t a n c e i n i t s own r i g h t , s i n c e i t a l l o w s u s t o d e a l w i t h t h el o o p i n g o f s e g m e n t s o f a l o n g , l i n e a r DNA, i n w h i c h c l o s e dc i r c u l a r t o p o l o g i c a l d o m a i n s o f l o w ALk a r e f o r m e d ( 4 , 5 ) .I t i s w e l l k n o w n t h a t a c l o s e d c i r c u l a r DNA h a s a l i n k i n gn um b e r , L k , a n d t h a t t h i s t o p o l o g i c a l p r o p e r t y s u b d i v i d e si n t o t h e t w o g e o m e t r i c p r o p e r t i e s ( 6 , 7 ) : t w i s t , T w ( d u p l e xd i s t o r t i o n ) , a n d w r i t h e , W r ( a x i s d i s t o r t i o n ) . W e a n a l y z e how

a s m a l l ALk a p p l i e d t o a c l o s e d c i r c u l a r DNA i s d i s t r i b u t e db e t w e e n T w a nd W r . F o u r c l a s s e s o f DNA a r e c o n s i d e r e d .T wo a r e t h e e x t r e m e c a s e s : f i r s t , a DNA t h a t i s s t r a i n - f r e e a sa l i n e a r m o l e c u l e , t h e n b e n t s m o o t h l y t o f o r m a s t r a i n e dc i r c l e ; s e c o n d , a DNA t h a t i s n a t u r a l l y s t r a i n - f r e e i n t h ec i r c u l a r f o r m . T h e f i r s t c a s e i s r e p r e s e n t e d b y a s t r a i g h te l a s t i c r o d , a n d t h e s e c o n d b y a n 0 - r i n g . R e p r e s e n t a t i o n s o ft h e s e i n t h e i r s t r a i n - f r e e s t a t e s a r e s h o w n i n F i g . 1 , w h i c h a l s od e f i n e s t h e t e r m i n o l o g y u s e d t o d e s c r i b e t h e s t r u c t u r e s . T h e0 - r i n g i s t h e l i m i t i n g c a s e p r o d u c e d b y a c o n t i n u o u s , i n - p h a s es e q u e n c e o f i d e n t i c a l i n t r i n s i c b e nd s . S h o r t DNA m o l e c u l e sh a v i n g a n 0 - r i n g s t r u c t u r e h a v e b e e n s y n t h e s i z e d ( 8 ) . I n t r i n -s i c a l l y b e n t r e g i o n s a r e f o u n d i n DNA ( 9 , 1 0 ) , a s a r e b e n d si n d u c e d b y p r o t e i n b i n d i n g ( 1 1 ) , a n d o n e o f o u r m a j o r o b j e c -t i v e s i s t o d e t e r m i n e t h e e f f e c t o f b e n d s o n t h e s t r u c t u r e o fc i r c u l a r DNA. W e t h e r e f o r e a n a l y z e t w o c a s e s i n w h i c h t h eDNA c o n t a i n s e i t h e r o n e o r t w o i n t r i n s i c b e n d s : a n e l a s t i c r o dw i t h o n e 2 0 0 b e n d , a n d a n e l a s t i c r o d w i t h t w o i n - p h a s e 2 0 b e n d s . I n - p h a s e m e a n s t h a t t h e b e n d s l i e i n t h e s a m e p l a n e a n da r e o r i e n t e d t h e s a m e w i t h r e s p e c t t o t h e i n t e r i o r o f t h e l o o p .I n o r d e r t o r e p r e s e n t a c l o s e d DNA, a l l m o d e l s t h a t a r e i n i t i a l l yo p e n a r e f i r s t c l o s e d , p r o d u c i n g s h a p e s s h o w n i n F i g . 2 .W e f i n d t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f ALk b e t w e e n T w a n d W rv a r i e s m a r k e d l y a m o n g t h e f o u r c a s e s . F o r t h e i n i t i a l l ys t r a i g h t r o d , a c o n s i d e r a b l e c h a n g e i n ALk i s r e q u i r e d t oi n t r o d u c e W r . I n a d d i t i o n , t h e c h a n g e i n T w i s s e e n t o b eu n i f o r m l y d i s t r i b u t e d a l o n g t h e l e n g t h o f t h e r o d . T h e p r e s -e n c e o f a s i n g l e i n t r i n s i c b e n d i s s e e n t o c o nv e r t a p o r t i o n o fT w i m m e d i a t e l y i n t o W r , b u t t h e r e m a i n i n g T w i s s t i l l d i v i d e du n i f o r m l y . T h e a d d i t i o n o f a s e c o n d i n t r i n s i c b e n d , i n - p h a s ea n d d i a m e t r i c a l l y o p p o s i t e , r e s u l t s i n o n l y a s m a l l c h a n g e i nt h e p o i n t a t w h i c h T w i s c o n v e r t e d i n t o W r . T h e T w i n c r e -m e n t d i s t r i b u t i o n , h o w e v e r , i s s t r i k i n g l y a l t e r e d : t h e T w i s n ol o n g e r u n i f o r m b u t i s d i s c o n t i n u o u s a t t h e b e n d l o c a t i o n s .F i n a l l y , i n t h e 0 - r i n g c a s e a l a r g e p o r t i o n o f AL k i s c o n v e r t e di n t o W r , a n d t h e T w i n c r e m e n t i s s i n u s o i d a l l y d i s t r i b u t e da l o n g t h e 0 - r i n g a x i s . I n s u m m a r y , b e n t DNA c o n v e r t s T wi n t o W r m u c h m o r e e f f i c i e n t l y t h a n u n b e n t DNA, a n d t h ep r e s e nc e o f b e n d s c a u s e s n o n u n i f o r m i t i e s i n t h e l o c a l T wi n c r e m e n t . B o t h o f t h e s e f e a t u r e s may w e l l h a v e s i g n i f i c a n ts t r u c t u r a l c o n s e q u e n c e s f o r i n t e r p r e t i n g t h e b i o l o g i c a l e f f e c t so f l o o p i n g a n d o f o t h e r p h e n o m e n a i n v o l v i n g t h e t h r e e -d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e o f DNA.

T H E O R Y AND MODELSW e m o d e l t h e DNA a s a l i n e a r l y e l a s t i c r o d h a v i n g t h ea p p r o p r i a t e c r o s s s e c t i o n a n d m a t e r i a l m o d u l i , i n c l u d i n g t h em o d u l u s o f e l a s t i c i t y a n d t h e s h e a r m o d u l u s . T h e c r o s ss e c t i o n i s t a k e n t o b e c i r c u l a r o f r a d i u s 1 n m , f o r w h i c h t h emoment o f i n e r t i a , I , i s e q u a l t o i r / 4 n m 4 . T h e m o d u l u s o fe l a s t i c i t y , E , i s e s t i m a t e d f r o m t h e p e r s i s t e n c e l e n g t h , A , w i t ht h e e x p r e s s i o n E = A k k T / I , w h e r e k B i s t h e B o l t z m a n nc o n s t a n t a n d T t h e t e m p e r a t u r e ( 2 9 8 K ) . F o r a DNA p e r s i s -t e n c e l e n g t h ( a t m o d e r a t e i o n i c s t r e n g t h ) o f 2 0 0 b p ( 3 , 1 2 ) t h eA b b r e v i a t i o n s : L k , l i n k i n g n u m b e r ; T w , t w i s t ; W r , w r i t h e ; FEM,f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d .

8 3 3

T h e p u b l i c a t i o n c o s t s o f t h i s a r t i c l e w e r e d e f r a y e d i n p a r t b y p a g e c h a r g ep a y m e n t . T h i s a r t i c l e m u s t t h e r e f o r e b e h e r e b y m a r k e d " a d v e r t i s e m e n t "i n a c c o r d a n c e w i t h 1 8 U . S . C . 1 7 3 4 s o l e l y t o i n d i c a t e t h i s f a c t .

8/3/2019 William R. Bauer, Russell A. Lund and James H. White- Twist and writhe of a DNA loop containing intrinsic bends

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P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 0 ( 1 9 9 3 )

LiLF I G . 1 . M o d e l s f o r c l a s s e s o f s t r a i n - f r e e DNA. F o u r i n i t i a lc o n f i g u r a t i o n s w i t h n o i n t e r n a l s t r a i n e n e r g y a r e s h o w n : 0 - r i n g ,s t r a i g h t l i n e a r , l i n e a r w i t h s i n g l e 2 0 0 b e n d , a n d l i n e a r w i t h t w o i n - p h a s e2 0 " b e n d s s e p a r a t e d b y o n e - h a l f t h e l e n g t h o f t h e r o d . T h e l e n g t h o fe a c h m o d e l , L , i s 2 1 0 0 b p i n t h e c a l c u l a t i o n s p e r f o r m e d h e r e .

v a l u e o f E i s 3 . 4 0 x 1 0 9 d y n e - c m - 2 . T h e s h e a r m o d u l u s , G ,i s o b t a i n e d f r o m t h e t o r s i o n a l r i g i d i t y , C , w i t h t h e e x p r e s s i o nG = C / 2 I . F o r t h e v a l u e o f C = 2 . 5 x 1 0 - 1 9 e r g - c m ( 1 3 , 1 4 ) ,t h e v a l u e o f G i s 1 . 5 9 x 1 0 9 d y n e - c m 2 . T h e c a l c u l a t i o n s a r ep e r f o r m e d f o r a DNA o f l e n g t h 6 3 0 n m , o r 2 1 0 0 b p , a b o u t h a l ft h e l e n g t h o f p B R 3 2 2 DNA ( 4 3 6 1 b p ) .To a p p l y t h e e l a s t i c r o d m o d e l t o c l o s e d c i r c u l a r DNA, wem u s t s p e c i f y how t o i n t r o d u c e c h a n g e s i n A L k . T h e t h r e ec l a s s e s o f DNA t h a t a r e s t r a i g h t , s i n g l y b e n t , a n d d o u b l y b e n ti n t h e i r s t r a i n - f r e e f o r m m u s t f i r s t b e c l o s e d ( F i g . 2 ) . T h e0 - r i n g m o d e l i s a l r e a d y c l o s e d i n i t s s t r a i n - f r e e s t a t e . E a c hr o d i s t h e n c u t p e r p e n d i c u l a r t o i t s a x i s . T h e t w o f a c e s o f t h i sc u t a r e n e x t c a u s e d t o r o t a t e r e l a t i v e t o o n e a n o t he r a b o u t t h el o c a l t a n g e n t t o t h e r o d a x i s a n d t h e n r e s e a l e d . T h i s p r o c e s sh a s t h e e f f e c t o f c h a n g i n g A L k f r a c t i o n a l l y b y t h e a m o u n t o fr o t a t i o n i m p o s e d .In r e s p o n s e t o t h e i m p o s e d c h a n g e i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s ,a s r e p r e s e n t e d b y a c h a n g e i n A L k , t h e v a r i o u s r o d m o d e l su n d e r g o d e f o r m a t i o n . T h e p r o b l e m i s t o c a l c u l a t e t h e newc o o r d i n a t e s o f e a c h r o d - i . e . , i t s new s h a p e . T h i s i s a c c o m -p l i s h e d b y t h e m e t h o d s o f s o l i d m e c h a n i c s . S o l i d - m e c h a n i c sp r i n c i p l e s g i v e r i s e t o n o n l i n e a r c o n t i n u o u s d i f f e r e n t i a l e q u a -t i o n s w i t h b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S o l i d m e c h a n i c s i n c l u d e s t h er e q u i r e m e n t o f m e c h a n i c a l e q u i l i b r i u m ( b a l a n c e o f f o r c e s ) , i na d d i t i o n t o t h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p s s u c h a s H o o k e ' sL a w . A t s t a b l e e q u i l i b r i u m , t h e t o t a l p o t e n t i a l e n e r g y o f a ne l a s t i c s t r u c t u r e i s l o c a l l y m i n i m u m . T h e c o o r d i n a t e s t h a td e s c r i b e e a c h r o d f o l l o w i n g c u t , r o t a t i o n , a n d r e s e a l i n g a r eo b t a i n e d f r o m t h e n e w l y c a l c u l a t e d d i s p l a c e m e n t f i e l d , w h i c hc o n s i s t s o f t h e v e c t o r s j o i n i n g p o i n t s o n t h e i n i t i a l c o n f i g u r a -t i o n t o t h e i r c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n t h e new c o n f i g u r a t i o n .S o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s t o o b t a i n t h e d i s p l a c e m e n t f i e l dr e q u i r e s , d u e t o t h e i r c o m p l e x i t y , n u m e r i c a l t e c h n i q u e s s u c ha s p r o v i d e d b y t h e f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d ( F E M ) .NUMERICAL MODELS AND M E T H OD S

D i s p l a c e m e n t - b a s e d FEM i s a p o w e r f u l a n d w e l l - e s t a b l i s h e dt e c h n i q u e f o r o b t a i n i n g s o l u t i o n s t o p r o b l e m s i n n o n l i n e a r

2 4 ` .F I G . 2 . M o d e l s f o r c l a s s e s o f c l o s e d DNA. T h e s t r u c t u r e s s h o w nh e r e w e r e o b t a i n e d f r o m t h e t h r e e o p e n f o r m s s h o w n i n F i g . 1 b yc l o s i n g e a c h r o d i n t h e x - z p l a n e . C l o s u r e w a s a c c o m p l i s h e d b yg r a d u a l l y m o v i n g o n e e n d o f t h e r o d r e l a t i v e t o t h e o t h e r a n de n f o r c i n g e q u i l i b r i u m t h r o u g h o u t t h e p r o c e s s . T h e b e n d a n g l e i n -

c r e a s e s t o 2 3 . 5 i n t h e s i n g l y b e n t r o d a n d t o 2 4 . 0 i n t h e d o u b l y b e n tr o d .s o l i d m e c h a n i c s . Numerous d i s p l a c e m e n t - b a s e d f i n i t e -e l e m e n t p r o g r a m s h a v e b e e n w r i t t e n , a n d m a n y a r e a v a i l a b l ec o m m e r c i a l l y . T h e i n i t i a l c o n f i g u r a t i o n s a r e m o d e l e d , i n t h eF E M c o n t e x t , a s t h r e e - d i m e n s i o n a l c o n t i n u a . T h e DNA r o di s d i v i d e d a l o n g i t s a x i s i n t o a d i s c r e t e n u m b e r o f a p p r o p r i -a t e l y c u r v e d s e g m e n t s , h e r e t a k e n t o b e 4 0 . E a c h o f t h e s ec u r v e d c y l i n d r i c a l s e g m e n t s i s f u r t h e r s u b d i v i d e d i n t o f o u re q u a l q u a d r a t i c e l e m e n t s ( F i g . 3 ) i n o r d e r t o c a p t u r e t h eg e o m e t r y o f t h e i n i t i a l c o n f i g u r a t i o n . T h e f o u r e l e m e n t s j o i na t t h e c e n t r o i d o f t h e r o d , a n d e a c h e l e m e n t i s d e s c r i b e d b y2 0 n o d a l p o i n t s . T h i s d i v i s i o n p r o d u c e s 1 6 0 f i n i t e e l e m e n t sa n d 1 2 2 1 d i s t i n c t n o d a l p o i n t s . T h e DNA r o d i s c o n s t i t u t e d o fl i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l w i t h E , G , a n d c r o s s - s e c t i o n a l r a d i u s a sg i v e n a b o v e .I n d i s p l a c e m e n t - b a s e d F E M t h e f u n d a m e n t a l v a r i a b l e s a r et h e d i s p l a c e m e n t s ( 1 5 ) . T h e c o n t i n u o u s d i s p l a c e m e n t v e c t o rf i e l d i s a p p r o x i m a t e d b y a c o l l e c t i o n o f i n d i v i d u a l e l e m e n td i s p l a c e m e n t f i e l d s t h a t d e p e n d o n v a l u e s o f d i s p l a c e m e n t s a tt h e n o d a l p o i n t s . I n t h e p r e s e n t w o r k t h e c o m p o n e n t s o f t h ei n d i v i d u a l e l e m e n t d i s p l a c e m e n t f i e l d s a r e g i v e n b y q u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s . D i s p l a c e m e n t s a r e c o n t i n u o u s a c r o s si n t e r e l e m e n t b o u n d a r i e s , a n d n o r e s t r i c t i o n i s p l a c e d o n t h ed i s p l a c e m e n t m a g n i t u d e s . A f t e r i m p o s i n g d i s p l a c e m e n tb o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e m o d e l s h a v e - 3 5 0 0 d i s p l a c e m e n td e g r e e s o f f r e e d o m ( i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s ) . T h e n u m b e r o fe l e m e n t s p e r DNA i s v a r i e d t o p i c k c o n d i t i o n s f o r w h i c h t h er e s u l t s a r e r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o t h e e l e m e n t s i z e a n d f o rw h i c h t h e c h o ic e o f q u a d r a t i c i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s i sa d e q u a t e f o r b o t h t h e g e o m e t r y a n d t h e n o d a l d i s p l a c e m e n t s .I n s o l v i n g n o n l i n e a r p r o b l e m s w i t h FEM, o n e e f f e c t i v ea p p r o a c h i s t o a p p l y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n c r e m e n t a l l y .

8 3 4 B i o c h e m i s t r y : B a u e r e t a l .

8/3/2019 William R. Bauer, Russell A. Lund and James H. White- Twist and writhe of a DNA loop containing intrinsic bends

3/5

P r o c . N a t i . A c a d . S c i . USA 9 0 ( 1 9 9 3 ) 8 3 5C o n t i n u o u s Rod

C )t i o n c o n v e r g e n c e w a s a s s e s s e d b y c o n s i d e r a t i o n o f c h a n g e i nc o n f o r m a t i o n a s m e a s u r e d b y W r , a m e a s u r e i n t h i s c a s e o ft h e o u t - o f - p l a n e m o t i o n o f t h e a x i s o f t h e r o d . T h r e e o r f o u ri t e r a t i o n s w e r e t y p i c a l l y r e q u i r e d f o r s u i t a b l e c o n v e r g e n c e ;f o r s i t u a t i o n s o f s u b s t a n t i a l m o t i o n w i t h a p p l i e d r o t a t i o ni n c r e m e n t a s many a s 1 2 i t e r a t i o n s w e r e r e q u i r e d . T y p i c a li n c r e m e n t s u s e d 8 0 - 9 0 s e c o f c e n t r a l - p r o c e s s i n g - u n i t t i m e .

0.0(LI n d i v i d u a l E l e m e n t

F I G . 3 . C h o i c e o f f i n i t e e l e m e n t s f o r a n e l a s t i c r o d . T h e c a s ed e p i c t e d i s t h a t o f t h e s t r a i g h t r o d , w h i c h i s h e r e d i v i d e d i n t o t h r e ed i s c r e t e s e c t i o n s . E a c h s e c t i o n i s d i v i d e d i n t o f o u r e q u a l p a r t s , a ss h o w n . I t i s t h e s e q u a d r a n t s t h a t f o r m t h e f i n i t e e l e m e n t s . T w e n t yn o d a l p o i n t s , s h o w n a s f i l l e d c i r c l e s o n t h e e l e m e n t s k e t c h , a r e u s e df o r t w o p u r p o s e s : t o d e f i n e i n d i v i d u a l e l e m e n t g e o m e t r y a n d t od e t e r m i n e t h e q u a d r a t i c e l e m e n t - d i s p l a c e m e n t f i e l d p a r a m e t e r s . I nt h e a n a l y s i s p r e s e n t e d h e r e , e a c h DNA r o d i s d i v i d e d i n t o 4 0s e c t i o n s , a n d t h e r e f o r e i n t o 1 6 0 f i n i t e e l e m e n t s .T h e n o n l i n e a r e q u a t i o n s may t h e n b e s o l v e d b y a s e q u e n c e o fl i n e a r a p p r o x i m a t i o n s t o t h e g o v e r n i n g r e l a t i o n s . T h i s i sa c c o m p l i s h e d b y e l i m i n a t i n g h i g h e r - o r d e r t e r m s i n t h e d i s -p l a c e m e n t i n c r e m e n t s . I n e a c h i nc r e m e n t a n i t e r a t i v e p r o c e -d u r e i s u s e d t o c o r r e c t f o r t h e e r r o r s i n t r o d u c e d b y l i n e a r -i z a t i o n .S o l u t i o n s r e p o r t e d h e r e w e r e o b t a i n e d b y u s i n g t h e MARCc o m p u t e r p r o g r a m ( 1 6 ) , a w e l l - k n o w n g e n e r a l - p u r p o s e d i s -p l a c e m e n t - b a s e d f i n i t e - e l e m e n t c o d e w i t h b o t h l i n e a r a n dn o n l i n e a r c a p a b i l i t i e s . T h e u p d a t e d L a g r a n g i a n f o r m u l a t i o nw a s u s e d t o t r e a t l a r g e d i s p l a c e m e n t s . S e v e r a l b e n c h m a r kp r o b l e m s w e r e a n a l y z e d t o v e r i f y p r o g r a m c a p a b i l i t i e s . T h ep r o g r a m w a s r u n o n a n I BM 3 0 9 0 m o d e l J c o m p u t e r . C o n -v e r g e n c e c r i t e r i a i n t e r n a l t o t h e M A R C p r o g r a m i n c l u d e am e a s u r e o f t h e e q u i l i b r i u m e r r o r a n d t h e m a x i m u m d i s p l a c e -m e n t d u r i n g a n i t e r a t i o n . I n a d d i t i o n t o t h e s e c r i t e r i a , i t e r a -

y

z" k I..b yI oI . . yg e = : = 7

R E S U L T SG e o m e t r y . E a c h o f t h e c l o s e d c o n f i g u r a t i o n s was s u b j e c t e d

t o r e l a t i v e r o t a t i o n ( c h a n g e i n L k ) u p t o t h e p o i n t a t w h i c hi n i t i a l l y r e m o t e s e g m e n t s o f t h e m o d e l b e g i n t o come i n t oc o n t a c t . F i g . 4 s h o w s e x a m p l e s o f e a c h o f t he f o u r c a s e s ,c h o s e n s o t h a t W r - 0 . 0 3 f o r a l l . T h r e e v i e w s are d e p i c t e df o r e a c h , i n o r d e r t o i l l u s t r a t e v a r i o u s g e o m e t r i c p r o p e r t i e s .T h e v i e w a l o n g t h e y a x i s c l e a r l y d i s t i n g u i s h e s t h e t h r e em o d e l s . T h e e l l i p t i c a l s h a p e c h a r a c t e r i z e s t h e i n i t i a l l ys t r a i g h t m o d e l a n d c o n t r a s t s m a r k e d l y w i t h t h e egg s h a p ei n t r o d u c e d b y t h e s i n g l e b e n d . In t h e d o u b l e - b e n d m o d e l , t h etwo f l a t t e n e d p o r t i o n s o f t h e curve i n d i c a t e t h e l o c a t i o n s o ft h e b e n d s . T h e f l a t t e n e d r e g i o n i n t h e O - r i n g c o r r e s p o n d s t ot h e l o c a t i o n o f t h e c u t . T h e v i e w a l o n g t h e x x i s i n d i c a t e s t h emaximum i n t h e p r o j e c t e d W r a n d b e s t s h o w s t h e d i s t o r t i o ni n e a c h .W r . F i g . 5 p r e s e n t s a p l o t o f W r as a f u n c t i o n o f t o t a lr e l a t i v e r o t a t i o n f o r e a c h m o d e l . T h e i n i t i a l l y s t r a i g h t con-f i g u r a t i o n , w h i c h f o r m s a c i r c u l a r s h a p e upon c l o s u r e , i sc a p a b l e o f s u s t a i n i n g a r e l a t i v e l y l a r g e amount o f r o t a t i o np r i o r t o t h e o n s e t o f m e a s u r a b l e w r i t h e . No W r i s o b s e r v e dt o occur u n t i l t h e r e l a t i v e r o t a t i o n r e a c h e s a b o u t - 1 . 8 0 t u r n s( F i g . 5 B ) . T h i s i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h o t h e r a n a l y s e s i nt h e l i t e r a t u r e , w h i c h p r e d i c t t h e o n s e t o f W r a t -V J ( E / 2 G ) =- 1 . 8 5 t u r n s ( 1 7 , 1 8 ) . T h e O - r i n g c o n f i g u r a t i o n , i n c o n t r a s t ,b e g i n s t o w r i t h e i m m e d i a t e l y upon i m p o s i t i o n o f r e l a t i v er o t a t i o n t o c h a n g e A L k .T h e two i n i t i a l l y b e n t c o n f i g u r a t i o n s b e h a v e i n t e r m e d i a t eb e t w e e n t h a t o f t h e r o d a n d o f t h e O - r i n g . The r e s u l t s showt h a t a c h a n g e i n AL k i n e i t h e r causes d e f o r m a t i o n b y a namount i n t e r m e d i a t e b e t w e e n t h e two e x t r e m e m o d e l s . Event h e s i n g l y b e nt m o l e c ul e b e g i n s t o w r i t h e d i r e c t l y upona p p l i c a t i o n o f r o t a t i o n , a f e a t u r e more i n common w i t h t h eO - r i n g t h a n w i t h t h e l i n e a r r o d . T h e p o i n t a t w h i c h Tw i sr a p i d l y c o n v e r t e d t o W r occurs a t a s i g n i f i c a n t l y l o w e ra p p l i e d r o t a t i o n t h a n f o r t h e i n i t i a l l y s t r a i g h t m o d e l . T he

yI m n !y y

z

y

z

x

( b ) ( c ) ( d )

b y

F I G . 4 . R e p r e s e n t a t i v e c l o s e dZ DNA structures, h a v i n g s i m i l a rW r , a t v a r i o u s a p p l i e d r o t a t i o n s .( a ) I n i t i a l l y s t r a i g h t , r o t a t i o n o f2 . 0 7 5 t u r n s . ( b ) S i n g l e b e n d , 1 . 6 2 5t u r n s . ( c ) Double b e n d , 1.50 turns.( d ) O - r i n g ( i n i t i a l l y c i r c u l a r ) , 0 . 3 7 5t u r n . For each c o n f i g u r a t i o n ,t h r e e p r o j e c t e d v i e w s are s h o w n :p r o c e e d i n g f r o m t o p t o b o t t o mt h e s e are a l o n g t h e x , z , a n d y a x e s ,r e s p e c t i v e l y .

( I )Rod D i s c r e t i z e d i n t o F i n i t e E l e m e n t s

B i o c h e m i s t r y : B a u e r e t a L

( a )

8/3/2019 William R. Bauer, Russell A. Lund and James H. White- Twist and writhe of a DNA loop containing intrinsic bends

4/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 0 ( 1 9 9 3 )A

0 . 7

O . ,

0 . 2

B

G ) D 4

1 -

P 5 -

' 5

: 5 -

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 .- R o t a t i o n , t u r n s

5

2 . 5- R o t a t i o n , t u r n s

F I G . 5 . V a r i a t i o n o f W r w i t h A L k ( a p p l i e d r o t a t i o n ) . I n A t h er e s u l t s a r e s h o w n o v e r t h e r a n g e 0 t o - 1 i n W r . B , a t a n - 5 0 - f o l dm a g n i f i e d s c a l e , s h o w s t h a t b o t h b e n t m o l e c u l e s b e g i n t o w r i t h ei m m e d i a t e l y u p o n e v e n a v e r y s m a l l a p p l i e d r o t a t i o n . T h i s i s i nc o n t r a s t t o t h e i n i t i a l s t r a i g h t r o d , i n w h i c h t h e o n s e t o f W r i sc o n s i d e r a b l y d e l a y e d . T h e b e h a v i o r o f t h e d o u b l e - b e n d c u r v e i n t h er e g i o n b e t w e e n 0 . 7 5 a n d 1 . 2 5 t u r n s i s p o s s i b l y c a u s e d b y t h e f a c t t h a tc l o s u r e o f t h i s s t r u c t u r e r e s u l t e d i n a s l i g h t r e l a t i v e o u t - o f - p l a n em o t i o n o f t h e b e n d s . T h e c u r v e s r e f e r t o t h e v a r i o u s m o d e l s a sf o l l o w s : o , i n i t i a l l y s t r a i g h t r o d ; O , s i n g l y b e n t r o d ; a , d o u b l y b e n tr o d ; a n d o , 0 - r i n g . T h e v e r t i c a l d o t t e d l i n e i n B r e p r e s e n t s t h e l i n e a re l a s t i c i t y t h e o r e t i c a l t h r e s h o l d f o r t h e o n s e t o f W r ( 1 7 , 1 8 ) .b e h a v i o r o f t h e m o l e c u l e c o n t a i n i n g t w o i d e n t i c a l b e n d s ,d i a m e t r i c a l l y o p p o s i t e a n d i n p h a s e , i s g e n e r a l l y s i m i l a r t o t h es i n g l y b e n t DNA. W e e x p e c t t h e c o n v e r s i o n o f T w i n t o W rt o d e p e n d u p o n t h e m a g n i t u d e a n d r e l a t i v e o r i e n t a t i o n a n dl o c a t i o n o f t h e b e n d s ; t h i s w i l l r e q u i r e f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n .T h e F E M a n a l y s i s o f t h e c o n t i n u o u s m o d e l o f c l o s e d DNAc l e a r l y p r e d i c t s t h a t e v e n a s i n g l e i n t r i n s i c b e n d c a n h a v e al a r g e e f f e c t u p o n t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s t r u c t u r e o f a l o o p e dDNA.T w . An i m p o r t a n t f a c e t o f t h e p r e s e n t w o r k i s t h e a b i l i t y t oc o m p u t e d i r e c t l y AT w f r o m t h e i n i t i a l c o n f i g u r a t i o n t o t h ef i n a l c o n f i g u r a t i o n . T w i s d e f i n e d t o b e t h e t w i s t o f ab a c k b o n e c h a i n , B , a b o u t t h e c e n t r a l a x i s , A . T h e b a c k b o n ec u r v e may b e t h o u g h t o f a s a h e l i c a l c u r v e w i n d i n g a b o u t t h ea x i s o n t h e s u r f a c e o f t h e e l a s t i c r o d . I f t h e r o d m o d e l s i n F i g .2 a r e m a d e t o r e s t o n t h e s u r f a c e o f a p l a n e , we m a y d e f i n ea c u r v e C a s t h e c u r v e o f c o n t a c t o f e a c h m o d e l w i t h t h ep l a n e . E a c h o f t h e s e i s a c l o s e d c u r v e t h a t t r a v e r s e s t h e l e n g t ho f t h e r o d . T h e a x i s o f t h e r o d i s t h e n t h e c u r v e o f h e i g h t 1n m a b o v e t h e c u r v e C . O n e may s h o w , u s i n g t h e m e t h o d o f

t w i s t d i f f e r e n c e a n a l y s i s ( 1 9 ) , t h a t t h e c h a n g e i n T w o f Ba b o u t A i s t h e s a me a s t h a t o f C a b o u t A . F o r t h e i n i t i a lc o n f i g u r a t i o n t h e T w o f C a b o u t A i s c l e a r l y z e r o . T h u s , ATwi s g i v e n b y t h e T w o f t h e d e f o r m e d C a b o u t t h e d e f o r m e d A .T h i s c a n b e c o m p u t e d b y u s i n g t h e c o r r e s p o n d e n c e t e c h -n i q u e s d e s c r i b e d b y u s p r e v i o u s l y ( 2 0 ) . AT w i s c o m p u t e dp i e c e w i s e b y d i v i d i n g e a c h o f t h e 4 0 c u r v e d e l e m e n t s i n t o t wos t r a i g h t s e g m e n t s . B e c a u s e T w i s a n a d d i t i v e f u n c t i o n , t h et o t a l T w i s g i v e n b y t h e s u m o f t h e s e 8 0 i n c r e m e n t a l T wv a l u e s .I n a d d i t i o n t o t h e t o t a l A T w , t h e d i s t r i b u t i o n o f AT w a l o n ge a c h DNA r o d i s s t r o n g l y i n f l u e n c e d b y t h e n a t u r e o f t h ei n i t i a l , s t r a i n - f r e e c o n f i g u r a t i o n . F o r t h e i n i t i a l l y s t r a i g h tm o d e l AT w i s d i s t r i b u t e d u n i f o r m l y a l o n g t h e l e n g t h o f t h eDNA ( F i g . 6 ) . F o r t h e 0 - r i n g , AT w v a r i e s s i n u s o i d a l l y a l o n gt h e r o d w i t h maximum a n d m i n i m u m a b s o l u t e v a l u e s a td i a m e t r i c a l l y o p p o s i t e l o c a t i o n s . F o r t h e s i n g l y b e n t DNA, a sf o r t h e i n i t i a l l y s t r a i g h t m o d e l , AT w r e m a i n s u n i f o r m . F o r t h ed o u b l y b e n t m o d e l , h o w e v e r , AT w i s n o n u n i f o r m . T h e a d -d i t i o n o f a s e c o n d b e n d i n t o t h e DNA d i v i d e s t h e DNA i n t otwo r e g i o n s o f r e l a t i v e l y u n i f o r m T w , w i t h e a c h b e n d c a u s i n ga d i s c o n t i n u i t y i n t h e t w i s t . T h e AT w d i s t r i b u t i o n s i n F i g . 6a r e p l o t t e d w i t h r e f e r e n c e t o t h e l o c a t i o n o f t h e c u t , w h i c h i st a k e n t o b e t h e o r i g i n . T w d i s t r i b u t i o n s a r e f i x e d r e l a t i v e t ot h e c u t l o c a t i o n b y F E M b o u n d a r y c o n d i t i o n s . S i n c e t h e r m a lf l u c t u a t i o n s a r e n o t m o d e l e d , t h e r e s u l t s a r e e f f e c t i v e l y a t 0K . I f t h e t e m p e r a t u r e o f t h e i n i t i a l l y s t r a i g h t o r O - r i n g DNAw e r e r e v e r s i b l y i n c r e a s e d a n d t h e m o l e c u l e s i n c u b a t e d a t( s a y ) room t e m p e r a t u r e , t h e n r e v e r s i b l y d e c r e a s e d a g a i n t o 0K , t h e s h a p e o f t h e T w i n c r e m e n t d i s t r i b u t i o n s w o u l d b eu n c h a n g e d b u t w o u l d b e s h i f t e d r a n d o m l y r e l a t i v e t o e a c h c u tl o c a t i o n .

DISCUSSIONT h e F E M - b a s e d c a l c u l a t i o n s y i e l d t h e DNA s t r u c t u r e o fm i n i m u m e l a s t i c e n e r g y a t 0 K . T h e e n e r g y i n v o l v e d i s o n eo f t h e t w o c o m p o n e n t s o f t h e H e l m h o l t z f r e e e n e r g y ( w o r kf u n c t i o n ) , a n d a t c o n s t a n t DNA l e n g t h i s i d e n t i c a l t o t h e

0 . 0 0 -

- )0 - 0 . 0 1 -U002

5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0B a s e P a i r sF I G . 6 . V a r i a t i o n o f t h e T w i n c r e m e n t a s a f u n c t i o n o f d i s t a n c ea l o n g t h e DNA f o r a p a r t i c u l a r A L k f o r r e p r e s e n t a t i v e e x a m p l e s o ft h e v a r i o u s m o d e l s . T h e i n i t i a l l y s t r a i g h t a n d t h e s i n g l y b e n t r o d se x h i b i t u n i f o r m T w . T h e d o u b l y b e n t r o d s h o w s r e g i o n s o f r e l a t i v e l yu n i f o r m T w s e p a r a t e d b y d i s c o n t i n u i t i e s . T h e O - r i n g s h o w s s i n u s o i -d a l v a r i a t i o n i n T w a l o n g i t s l e n g t h . T h e t o t a l A T w , W r , a n d a p p l i e d

r o t a t i o n f o r e a c h a r e a s f o l l o w s : s t r a i g h t r o d ( 0 ) , AT w = - 2 . 0 3 8 , W r= - 0 . 0 3 7 , A L k = - 2 . 0 7 5 ; s i n g l y b e n t r o d ( C ) , AT w = - 1 . 6 9 5 , W r= - 0 . 1 7 9 , A L k = - 1 . 8 7 5 ; d o u b l y b e n t r o d ( A ) , AT w = - 0 . 9 9 4 , W r= - 0 . 0 0 4 , A L k = - 1 . 0 0 0 ; O - r i n g ( o ) , AT w = - 0 . 4 8 3 , W r = - 0 . 2 6 5 ,A L k = - 0 . 7 5 0 .

( S )C C ) %( 9( 5 )( P ( b( 5 ) ( ; bA A A R R A R O I Q R o o m R )r, ( S ) VAM 4 A i A1 * 1 2 q b o

rinnF-Ino..

8 3 6 B i o c h e m i s t r y : B a u e r e t a l .

8/3/2019 William R. Bauer, Russell A. Lund and James H. White- Twist and writhe of a DNA loop containing intrinsic bends

5/5

P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 9 0 ( 1 9 9 3 ) 8 3 7e nt ha l p y o f s u p e r h e l i x f o r m a t i o n . P r e v i o u s t h e o r e t i c a l e x -a m in a t i o n s o f t h e s t r u c t u r e o f c l o s e d DNA h a v e e m p l o y e de i t h e r s m a l l d i s p l a c e m e n t e l a s t i c m o d e l s or s t o c h a s t i c c a l c u -l a t i o n s . I n t h e f o r m e r s t u d i e s , l i n e a r a p p r o x i m a t i o n s w e r eu s e d t o e s t i m a t e t h e e l a s t i c response o f s m a l l DNAs ( 2 1 - 2 4 ) .S t o c h a s t i c a p p r o a c h e s h a v e e m p l o y e d e i t h e r M o n t e C a r l os i m u l a t i o n s o r a n n e a l i n g b y m o l e c u l a r d y n a m i c s . M o n t eC a r l o m e t h o d s h a v e b e e n u s e d t o d e s c r i b e t h e e x p e c t e dv a r i a n c e i n W r ( 2 5 , 2 7 ) a n d i n t h e e q u i l i b r i u m c o n f i g u r a t i o n( 2 8 ) . T h e y r e p r e s e n t a c o m p r o m i s e , i n w h i c h b e n d i n g occursa t f i n i t e t e m p e r a t u r e s b u t T w i s a s s u m e d t o b e u n i f o r m , ase x p e c t e d f o r a n i n i t i a l l y s t r a i g h t r o d , e x c l ud i n g t h e r m a lf l u c t u a t i o n s . T h e m o l e c u l a r d y n a m i c s c a l c u l a t i o n s a t t e m p t t of o l l o w t h e c o n t o r t i o n s o f a s i n g l e m o l e c u l e t h r o u g h t i m e a tf i n i t e t e m p e r a t u r e . T h e y w o u l d , i n p r i n c i p l e , b e c o m p l e t e i fa p p l i e d t o a r e a l m o l e c u l a r m o d e l o f t h e DNA. S i n c e t h i s i sp r o h i b i t e d b y t h e c o m p l e x i t y o f t h e a t o m i c s t r u c t u r e , t h ep r o c e d u r e s o f m o l e c u l a r m e c h a n i c s a n d d y n a m i c s h a v e b e e na p p l i e d t o m o d e l s t h a t are h i g h l y s i m p l i f i e d i n s t r u c t u r e .E x a m p l e s i n c l u d e t h r e e p o i n t s i n c o n n e c t e d p l a n e s ( 2 9 ) a n dd i s c r e t e p o i n t s j o i n e d b y B s p l i n e curves ( 3 0 ) . I n p r i n c i p l e ,

b o t h t h e M o n t e C a r l o a n d t h e m o l e c u l a r d y n a m i c s m e t h o d sa l l o w f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e f r e e energy.I n c o n t r a s t t o t h e a b o v e m e t h o d s , a p p l i c a t i o n o f s o l i dm e c h a n i c s v i a t h e f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d a v o i d s t h e u s e o fs t o c h a s t i c m e t h o d s a n d o f s m a l l d i s p l a c e m e n t a p p r o x i m a -t i o n s . F E M p r e d i c t s c o n f o r m a t i o n s f o r p a r t i c u l a r p r e s c r i b e dl o a d i n g s . I n s t e a d o f s a m p l i n g c o n f i g u r a t i o n space, t h e c a l -c u l a t i o n s are d e t e r m i n i s t i c . T h u s , f o r e x a m p l e , F E M pro-v i d e s s p e c i f i c e q u i l i b r i u m c o n f o r m a t i o n s as a f u n c t i o n o f ALkf o r c l o s e d m o l e c u l e s , w h e r e a s t h e M o n t e C a r l o t e c h n i q u e sy i e l d a l a r g e n u m b e r o f c o n f o r m a t i o n s a t a g i v e n A L k . T h ev a r i o u s c o n f o r m a t i o n s are c o n s i d e r e d t o vary a b o u t t h ee q u i l i b r i u m s h a p e , w i t h v a r i a t i o n s a t t r i b u t e d t o t h e r m a l f l u c -t u a t i o n s . W h i l e F E M a n a l y s i s ca n b e n u m e r i c a l l y i n t e n s i v e ,t h e n u m b e r o f c a l c u l a t i o n s i s f i n i t e f o r a g i v e n l e v e l o faccuracy. T h e s t o c h a s t i c m e t h o d s , h o w e v e r , m u s t b e r e -p e a t e d f o r a s u f f i c i e n t l y l a r g e n u m b e r o f t r i a l c o n f o r m a t i o n st o o b t a i n a r e l i a b l e e s t i m a t e o f t h e average c o n f o r m a t i o n .E l a s t i c p r o p e r t i e s are d i r e c t l y i n c o r p o r a t e d i n t h e F E Ms o l u t i o n , i n c o n t r a s t w i t h r i g i d - l i n k M o n t e C a r l o m e t h o d s , f o rw h i c h r e s t r i c t i o n s are p l a c e d on p o s s i b l e v a l u e s o f d i s c r e t ea n g l e s b e t w e e n a d j o i n i n g s e g m e n t s o f t h e m o d e l . T h e s e l a t t e rr e s t r i c t i o n s are i n t e n d e d t o r e f l e c t i n t e r n a l energy n m i n i m i z a -t i o n p r i n c i p l e s b u t d o n o t r e q u i r e s a t i s f a c t i o n o f m e c h a n i c a le q u i l i b r i u m f o r i n d i v i d u a l c o n f o r m a t i o n s .P r e v i o u s i n v e s t i g a t i o n s u s e d m o d e l s f o r w h i c h T w i s u n i -f o r m a l o n g t h e DNA, a l t h o u g h a n a p p r o x i m a t i o n t o T w w a sc o m p u t e d i n o n e s t u d y ( 2 9 ) . I n t h e M o n t e C a r l o , s p l i n e , a n dm o l e c u l a r d y n a m i c s t e c h n i q u e s , t h i s a s s u m p t i o n i s necessaryb e c a u s e AT w i s o b t a i n e d f r o m t h e r e l a t i o n s h i p : T w = Lk -W r . I n g e n e r a l , t h e s t o c h a s t i c m e t h o d s are n o t w e l l s u i t e d t oc a l c u l a t e l o c a l AT w w i t h i n a DNA m o l e c u l e . T h e FEMc a l c u l a t i o n s s h o w , i n c o n t r a s t , t h a t t h e l o c a l T w ca n varys i g n i f i c a n t l y a n d t h a t t h i s v a r i a t i o n i s s e n s i t i v e t o t h e p r e s -ence o f i n t r i n s i c b e n d s .T h e c l o s u r e o f DNA r o d s i n t o c i r c l e s or l o o p s i s i n c r e a s -i n g l y r e c o g n i z e d t o b e a n i m p o r t a n t m e c h a n i s m i n t h e regu-l a t i o n o f c e r t a i n m e t a b o l i c p a t h w a y s ( 4 ) . In t h i s process t h eDNA s e g m e n t f o r m s a t o p o l o g i c a l d o m a i n t h a t may c o n t a i n

b e n d s , e i t h e r i n t r i n s i c o r p r o t e i n - i n d u c e d ( 3 1 ) . T h e f o r m a t i o no f a l o o p g e n e r a l l y o c c u r s w i t h o n l y a s m a l l amount o f n e ti n t e r s t r a n d r o t a t i o n ( e . g . , t o p e r m i t a l i g n m e n t o f p r o t e i nf a c e s ) ; h e n c e , t h e r e s u l t s o b t a i n e d b y u s a r e r e l e v a n t t ou n d e r s t a n d i n g t h e g e o m e t r y a n d e n e r g e t i c s o f l o o p f o r m a -t i o n . T h u s , a DN A l o o p c o n t a i n i n g a b e n d i s e x p e c t e d t ow r i t h e , a s t h e e n d s a r e r o t a t e d , b e f o r e t h e same l o o p w i t h o u ta b e n d . T h e p r e s e n c e o f t w o b e n d s m i g h t p r o d u c e a r e g i o n o fg r e a t e r t h a n a v e r a g e s t r a i n ( a s s h o w n b y t h e i n c r e a s e d T wi n c r e m e n t s ) . T h i s m i g h t , i n t u r n , i n f l u e n c e t h e b i n d i n g o fp r o t e i n s o r o t h e r a s p e c t s o f r e a c t i v i t y .

T h i s r e s e a r c h w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y G r a n t G M 3 7 5 2 5 f r o m t h eN a t i o n a l I n s t i t u t e s o f H e a l t h . C o m p u t e r s u p p o r t w a s s u p p l i e d b y t h eO f f i c e o f A c a d e m i c C o m p u t i n g a t t h e U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , L o sA n g e l e s .1 . L a n d a u , L . D . & L i f s c h i t z , E . M . ( 1 9 5 8 ) S t a t i s t i c a l P h y s i c s( A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , M A ) .2 . K r a t k y , 0 . & P o r o d , G . ( 1 9 4 9 ) R e c l . T r a v . C h i m . P a y s - B a s 6 9 ,1 1 0 6 - 1 1 2 2 .3 . M an ni n g , G . S . ( 1 9 8 8 ) B i o p o l y m e r s 2 7 , 1 5 2 9 - 1 5 4 2 .4 . S c h l e i f , R . ( 1 9 8 8 ) S c i e n c e 2 4 0 , 1 2 7 - 1 2 8 .5 . L o b e l l , R . B . & S c h l e i f , R . F . ( 1 9 9 0 ) S c i e n c e 2 5 0 , 5 2 8 - 5 3 2 .6 . W h i t e , J . H . ( 1 9 8 9 ) i n M a t h e m a t i c a l M e t h o d s f o r DNA S e -q u e n c e s , e d . W a t e r m a n , M . S . ( C R C , B o c a R a t o n , F L ) , p p .2 2 5 - 2 5 3 .7 . W h i t e , J . H . ( 1 9 6 9 ) Am . J . M a t h . 9 1 , 6 9 3 - 7 2 8 .8 . U l a n o v s k y , L . , B o d n e r , M . , T r i f o n o v , E . N . & C h o d e r , M .( 1 9 8 6 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 8 3 , 8 6 2 - 8 6 6 .9 . M a r i n i , J . C . , L e v e n e , S . D . , C r o t h e r s , D . M . & E n g l u n d ,P . T . ( 1 9 8 2 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 9 , 7 6 6 4 - 7 6 6 8 .1 0 . W u , H . M . & C r o t h e r s , D . M . ( 1 9 8 4 ) N a t u r e ( L o n d o n ) 3 0 8 ,5 0 9 - 5 1 3 .1 1 . T r a v e r s , A . A . ( 1 9 8 9 ) A n n u . R e v . B i o c h e m . 5 8 , 4 2 7 - 4 5 2 .1 2 . B a r k l e y , M . D . & Z i m m , B . H . ( 1 9 7 9 ) J . C h e m . P h y s . 7 0 ,2 9 9 1 - 3 0 0 7 .1 3 . H o r o w i t z , D . S . & W a n g , J . C . ( 1 9 8 4 ) J . M o l . B i o l . 1 7 3 , 7 5 - 9 1 .

1 4 . S h o r e , D . & B a l d w i n , R . L . ( 1 9 8 3 ) J . M o l . B i o l . 1 7 0 , 9 5 7 - 9 8 1 .1 5 . B a t h e , K . - J . ( 1 9 8 2 ) F i n i t e E l e m e n t s i n E n g i n e e r i n g A n a l y s i s( P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s , N J ) .1 6 . MARC ( 1 9 8 3 ) G e n e r a l P u r p o s e F i n i t e E l e m e n t P r o g r a m , V o l .A (MARC A n a l y s i s R e s . C o r p . , P a l o A l t o , C A ) .1 7 . B e n h a m , C . J . ( 1 9 8 9 ) P h y s . R e v . A 3 9 , 2 5 8 2 - 2 5 8 6 .1 8 . L e B r e t , M . ( 1 9 7 9 ) B i o p o l y m e r s 1 8 , 1 7 0 9 - 1 7 2 5 .1 9 . W h i t e , J . H . & B a u e r , W. R . ( 1 9 8 8 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA8 5 , 7 7 2 - 7 7 6 .2 0 . W h i t e , J . H . & B a u e r , W. R . ( 1 9 8 6 ) J . M o l . B i o l . 1 8 9 , 3 2 9 - 3 4 1 .2 1 . S h i m a d a , J . & Y a m a k a w a , H . ( 1 9 8 5 ) J . M o l . B i o l . 1 8 4 , 3 1 9 - 3 2 9 .2 2 . B e n h a m , C . J . ( 1 9 8 3 ) B i o p o l y m e r s 2 2 , 2 4 7 7 - 2 4 9 5 .2 3 . H u n t , N . G . & H e a r s t , J . E . ( 1 9 9 1 ) J . C h e m . P h y s . 9 5 , 9 3 2 9 -9 3 3 6 .2 4 . S c h l i c k , T . & O l s o n , W. K . ( 1 9 9 2 ) J . M o l . B i o l . 2 2 3 , 1 0 8 9 - 1 1 1 9 .2 5 . K l e n i n , K . V . , V o l o g o d s k i i , A . V . , A n s h e l e v i c h , V . V . ,K l i s h k o , V . Y . , D y k h n e , A . M . & F r a n k - K a m e n e t s k i i , M . D .( 1 9 8 9 ) J . B i o m o l . S t r u c t . D y n . 6 , 7 0 7 - 7 1 4 .2 6 . C h e n , Y . - D . ( 1 9 8 1 ) J . C h e m . P h y s . 7 5 , 2 4 4 7 - 2 4 5 3 .2 7 . S h i m a d a , J . & Y a m a k a w a , H . ( 1 9 8 8 ) B i o p o l y m e r s 2 7 , 6 5 7 - 6 7 3 .2 8 . H a o , M . - H . & O l s o n , W. K . ( 1 9 8 9 ) M a c r o m o l e c u l e s 2 2 , 3 2 9 2 -3 3 0 3 .2 9 . T a n , R . K . Z . & H a r v e y , S . C . ( 1 9 8 9 ) J . M o l . B i o l . 2 0 5 ,5 7 3 - 5 9 1 .3 0 . H a o , M . H . & O l s o n , W. K . ( 1 9 8 9 ) J . B i o m o l . S t r u c t . D y n . 7 ,6 6 1 - 6 9 2 .3 1 . L o b e l l , R . B . & S c h l e i f , R . F . ( 1 9 9 1 ) J . M o l . B i o l . 2 1 8 , 4 5 - 5 4 .

B i o c h e m i s t r y : B a u e r e t a l .