web.hitit.edu.trweb.hitit.edu.tr/dosyalar/materyaller/[email protected] · MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 Soru 1) 1000 mm boyundaki

MUKAVEMET-1

Çözümlü Problemler

Prof. Dr. Muzaffer TOPCU PAÜ. Mühendislik Fakültesi

E D

C B A

30N/m

3m

6m 4m

F=100N

Çelik Alüminyum 10 cm

P

100 MPa 100 MPa

40 MPa

40 MPa

C

30o

50 MPa

50 MPa

MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU

1

Soru 1) 1000 mm boyundaki çubuk A ve B uçlarından iki rijit plakayla sabitlenmiştir. C noktasından P=4 kN luk kuvvet etkimektedir.

a) A ve B de doğacak reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız. b) Sıcaklık 50o C arttırılırsa reaksiyon kuvvetleri ne olur

hesaplayınız. A1=500 mm2 , A2=250 mm2 E1=E2=2.105 N/mm2 α=1,2x10-6 1/oC Çözüm: RA+ RB=P=4000 N

a) ∆L1-∆L2=0

NRNR

RR

EA

LR

EA

LR

BA

AAAB

3429,571

250

750

500

250)4000(

22

2

11

1

==

=−

⇒=

b)

∆L1=∆L2

22

22

11

11

)()(

EA

LxRLT

EA

LxRTL AB −

+∆=+

+∆ αα

5

6

5

6

10.2.250

750).571(750.50.10.2,1

10.2.500

250).3429(250.50.10.2,1

xx −+=

++ −−

x= 1714,7 N Ay=RA+x By=RB-x Ay=571+1714,7 By=3429-1714,7 Ay=2285,7 N By=1714,3 N

B

250 mm

750 mm P

A1

A2

C

A

RB

RB

RA

RA

RA

x

RB

x


2

Soru 2)

1000 mm boyundaki çubuk A ve B uçlarından iki rijit plakaya sabitlenmiştir. C noktasından P=2 kN luk kuvvet etkimektedir.

a) A ve B de doğacak reaksiyon kuvvetlerini ve gerilmeleri hesaplayınız. b) Sıcaklık 100 oC arttırılırsa meydana gelecek termik gerilmeleri hesaplayınız. A1=500 mm2, A2=250 mm2, E1=2.105 N/mm2, E2=1.105 N/mm2 α1=1,6.10-6 1/oC, α2=1.10-6 1/oC Çözüm:

N2000PRR BA ==+

a) CBAC LL ∆∆ =

N1142R,N858RN2000RR3

4

R3

4R

25010.1

250R

50010.2

750R

EA

LR

EA

LR

ABBB

BA

5B

5A

22

2B

11

1A

==⇒=+

=

=⇒=

22

21

mm/N43.3250

858

mm/N28.2500

1142

==

==

σ

σ

b) ∆L1=∆L2

22

222

11

111

EA

LxLT

EA

LxLT +=− ∆α∆α

N5430x

10.1250

250

10.2500

750

100)25010.110.6,1750(

EA

L

EA

L

T)LL(x

55

66

22

2

11

1

2211

=

+

−=

+

−=

−−∆αα

2

1

1 /86.10500

5430)( mmN

A

xT ===σ 2

2

T2 mm/N72.21250

5430

A

x)( ===σ

A A1 A2 P B

750 mm 250 mm

C


3

Soru 3) İç çapı 20 mm ve dış çapı 50 mm olan çelik boru içine çapı 20 mm olan bir bakır çubuk yerleştirilmiş üzerine rijit bir plaka oturtulmuş ve üzerinden P=2 kN luk kuvvet uygulanmıştır. Bu durumda meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız. Eb=1.105 N/mm2, Eç=2.105 N/mm2

Çözüm:

bç

bç

LL

PPP

∆=∆

=+

222

22

16504

)2050(

3144

20

mmA

mmA

ç

b

=−

=

==

π

π

bb

bb

çç

çç

EA

LP

EA

LP=

N

EA

EAP

P

bb

ççb 173

10.1.314

10.2.16501

2000

15

5=

+

=

+

=

N

EA

EA

PP

çç

bbç 1827

10.21650

10.13141

2000

15

5=

+

=

+

=

MPaA

P

ç

ç

ç 106,11650

1827===σ

MPaA

P

b

bb 55,0

314

173===σ

P

100 cm

φ20 mm

φ50 mm

Ç Ç


4

Soru 4) Verilen civata bağlantısında somun bir miktar döndürülerek çelik civata ve alüminyum boruda 50 kN’luk kuvvet oluşturuluyor. Daha sonra şekildeki görüldüğü gibi P=60 kN’luk dış kuvvet tatbik ediliyor. Cıvata ve alüminyum boruda her iki kuvvetten dolayı meydana gelen toplam gerilmeleri hesaplayınız. Eal=0,6.105 N/mm2, Eç=2.105 N/mm2 Aal=100 mm2, dç=8 mm

Çözüm:

alç

alç

LL

kNPP

∆=∆

=+ 60

alç

alç

alal

al

çç

ç

PP

PP

EA

LP

EA

LP

6

5

10.6,010010.225 55

=

=⇒=

kNPkNPNPP çalalal 273,27,727,32600006

5==⇒=+

NP

NP

topal

topç

172733272750000)(

772732727350000)(

−=+−=

=+=

MPaç 3,1537

4

64

77273==

πσ MPaal 73,172

100

17273−=−=σ

25 kN 50 kN 25 kN

25 kN 50 kN 25 kN


P


5

Soru 5) Başlangıçta boyları aynı olan alüminyum boru ile

çelik civata bir somunla sıkıştırılıyor. a) Somun 2 mm hareket ettiğine göre boru ve

civatada meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.

b) Civatanın ucundan P=1 kN luk bir kuvvet etki ettiğinde meydana gelecek gerilmeler nasıl değişir.

Eal=0,6.105 N/mm2, Eç=2.105 N/mm2 Aal=100 mm2, dç=8 mm

Çözüm:

22

265,504

8mmAç ==

π

Nq

qq

EA

Lq

EA

Lq

alalÇç

96,75187

210.6,0.100

100

10.2.265,50

100

2

55

=

=+

=+

MPaal 87,751100

96,75187−==σ MPaç 83.1495

265,50

96,75187==σ

b) MPaqp

al 8,761100

100096,75187

100−=

+=

+=σ

MPaqp

ç 72,1515265,50

100096,75187

265,50=

+=

+=σ


P


6

Soru 6) İç çapı 20 mm ve dış çapı 50 mm olan çelik boru içine çapı 20 mm olan bir bakır çubuk yerleştirilmiş üzerine rijit bir plaka oturtulmuş ve sistemin sıcaklığı

CT o100=∆ arttırılmıştır. Bu durumda bakır çubuk ile

çelik boruyu aynı hizada tutacak P kuvveti ne olmalıdır. Eb=1.105, Eç=2.105 , αç=12x10-6 1/oC, αb=16x10-6 1/oC

Çözüm:

tçpbtb LLL )()()( ∆=∆−∆

TLEA

LPTL ç

bb

b ∆=−∆ αα

NP

EA

LPTL

bb

çb

37,1256610.4

2010010).1216(

)(

52

6 =

−=

=∆−

− π

αα

P

100 cm

φ20 mm

φ50 mm

Ç Ç


7

Soru 7) 200 mm boyundaki Aliminyum çubuk ile

300 mm boyundaki çelik çubuk şekilde görüldüğü gibi bir ucundan ankastre yapılmış diğer ucundan 0,5 mm lik boşluk bırakılmıştır. Sıcaklık 20 oC den 120 oC a çıkarıldığı zaman çubuklarda oluşan gerilmeleri hesaplayınız.

EAl=70 GPa, Eç=210 GPa , αç=12.10-6 1/oC, αAl=14.10-6 1/oC

Çözüm:

CTTTT

TLL

mmTLTL

oo

ççAA

ççAA

125,7836002800

10.5,020

10).3001220014(

5,0

5,0)(

5,0

6

6=⇒

++=⇒

+=−

=∆+

=∆+∆

+

−

αα

αα

MPaTE AlAlAl 41)125,78120()10.14(10.7 64 =−=∆= −ασ

MPaTE çlçç 5,105)125,78120()10.12(10.2 65 =−=∆= −ασ

Al Çelik

200 mm 300 mm

0,5 mm


8

Soru 8) Biri bakır diğeri çelik iki çubuk

şekildeki gibi sıkıca birleştirilmiştir. Tüm çubuklara homojen etkiyen sıcaklık 200 oC arttırıldığında çubuklarda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız.

Eb=1.105 MPa, Eç=2.105 MPa αb=2.10-6 1/oC, αç=1.10-6 1/oC

Çözüm:

∆Lç=∆Lb

Ab=50 10=500 mm2

Aç=50 30=1500 mm2

bb

b

çç

çEA

LPLT

EA

LPLT −=+ ∆α∆α

N8571P

10.1500

1

10.21500

1P20010).12(

EA

P

EA

PT)(

55

6

bbçç

çb

=

+=−⇒

+=− −∆αα

40 mm

Bakır

Çelik

Çelik P/2

P/2

P

P/2

P/2

P

Bakır

Çelik

Çelik

50 mm

10 mm


9

Soru 9) Çelik ve Alüminyumdan meydana gelmiş kompozit

malzeme P yüküne maruzdur. Çelik ve Alüminyumda doğacak gerilmeleri hesaplayınız.

Eal=0,67.105 MPa, Eç=2.105 MPa Aal=300 mm2, Aç=200 mm2 Çözüm:

alçalç PPPPPP

N1000P

−=⇒+=

=

alç LL ∆∆ =

N335P,N665P

1

10.67,0300

10.2200

1000P

EA

EA

P

)PP(

EA

LP

EA

LP

alç

5

5al

alal

çç

al

al

alal

al

çç

ç

==

+=⇒=−

⇒=

MPa325,3200

665ç ==σ MPa116,1

300

335al ==σ

P=1000 N

Çelik

Alüminyum


10

Soru 10) Çelik ve Alüminyumdan meydana gelmiş kompozit malzeme P yüküne maruzdur. Çelik ve Alüminyumda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız. Aç=200mm2 , Aal=300mm2

, Eç=2.105N/mm2 , Eal=0.67.105N/mm2 , P=1000N

Çelik

Alüminyum

500mm

P

1.

.

1.

.

.

..

1000

+

=

+=

=−

=

−=

=

∆=∆

+=

aa

çça

aa

çç

a

aa

çç

a

a

aa

a

çç

ç

aç

aç

aç

EA

EA

PP

EA

EA

P

P

EA

EA

P

PP

EA

P

EA

P

PpP

NP

ll

PPP

2

2

2

2

5

5

/116,1300

335

/325,3200

665

/665

/335

110.67,0.300

10.2.200

1000

mmN

mmN

mmNP

mmNP

a

ç

ç

a

==

==

=

=

+

=

σ

σ


11

Soru11) Verilen sistemde bakır halka çelik halka üzerine basınçsız

geçirilmiştir. MPaMPabç emem 50,120 == σσ olduğuna göre sistemin dayanabileceği P

basıncını hesaplayınız. 2525 /10.1,/10.2,10,20 mmNEmmNEmmtmmt bççb ====

D=400mm

Not: 12MPa’lık basıncı dayanamayacağı için 5MPa’lık basınç olmalıdır.

( )

2

22

2

22

22

2

22

qx

tE

xD

tE

Dxq

DD

tE

xDD

tE

xD

tE

qDD

bbçç

bç

bb

b

çççç

ç

=

=−

∆=∆

=∆

−=∆

( )

MPaq

t

xD

mmNq

q

bem

b

b

ç

5

2

/12

12010.2

4002

1

22

=

≤=

=

==

σσ

σ

Çelik

Bakır

P


12

Soru 12) Ortalama çapı 100 cm olan biri bakır diğeri çelik boru başlangıçta gerilmesizdir.

CT 0100=∆ artırıldığında halkalarda doğan gerilmeleri hesaplayınız.

CmmtmmNE

CmmtmmNE

bbb

ççç

0625

0625

/110.16.....40....../10.1

/110.12......20....../10.2

−

−

===

===

α

α

D

Çelik

Bakır

( )

2

2

2

55

6

2

2

/4020.2

1000.6,1

.2

.

/2040.2

1000.6,1

.2

/6,1

)10.2.20

1

10.1.40

1(1000

10.100.12162

.

1

.

1

)(2

2

2

mmNt

Dx

mmNt

xD

mmN

EtEtD

Tx

DD

Et

xDTDD

Et

xDTDD

ç

ç

b

b

ççbb

çb

çb

çb

çç

bb

bb

===

===

=

+

−=

+

∆−=

∆=∆

+∆=∆

−∆=∆

−

σ

σ

αα

α

α


13

Soru 13) 1000 mm boyundaki çubuk A ve B uçlarından iki rijit plakaya sabitlenmiştir. C noktasından P= 2 kN’luk kuvvet etkimektedir. A ve B’ de doğacak reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız. A1=500 mm2, A2=250 mm2, E1=E2=2.105N/mm2

RB RA

RA+RB=P

RA RA

250mm 750mm

B A A2 A1 P

P

RB=P-RA

NR

NR

RPR

RPR

RPR

EA

LR

B

A

AA

AA

AA

ii

ii

1200

800

223

0)(2

3

010.2.250

250).(

10.2.500

750.

0.

.

55

=

=

−=

=−+−

=−

=

== ∑δ


14

Soru 14) Bir bakır boru içine çelik çubuk yerleştirilmiş ve her iki sistemde homojen etki eden P=3500N kuvveti tatbik edilmiştir.Aynı zamanda sistemin sıcaklığı 1000 C artırılmıştır.Bakır ve çelikte oluşacak kuvvetleri hesaplayınız. Eb= 1.105 N/mm2,Eç=2.105N/mm2, çα =1.10-61/0C,

bα =1,5.10-61/0C Verilmeyen ölçüler mm’dir.

20 10 10

Bakır

Çelik

500mm

P

2

22

22

942

4

)20(

4

)40(

3144

927

2573

)(

mmA

A

mmD

A

NP

NP

PPP

tEA

P

EA

P

EA

lPtl

EA

lPtl

lll

ll

PPP

b

b

ç

b

ç

çb

çb

bb

b

çç

ç

bb

bbbb

çç

çç

çç

bç

bç

bç

=

−=

==

=

=

−=

∆−=+

−∆=+∆

==

∆=∆

+=

ππ

π

αα

αα


15

Soru 15) Biri bakır diğeri çelik iki çubuk 200C’de birbirine kaynatılmıştır. Sıcaklık 1000C’ye çıkartıldığında çubuklarda meydana gelecek gerilmeleri hesaplayınız. Eb= 1.105 N/mm2,Eç=2.105N/mm2, çα =12.10-61/0C, bα =16.10-61/0C

( )

kNx

EAEA

tx

EA

lxtl

EA

lxtl

ççbb

çb

çç

çç

bb

bb

1610.160

10.1

1

10.1

1

80.10.4

11

..

.

...

2

88

6

==

+

=

+

∆−=

+∆=−∆

−αα

αα

2

2

/161000

16000

/32500

16000

mmN

mmN

b

ç

==

==

σ

σ

x

20mm

10mm

L 50mm

Çelik

Bakır

x

x x


16

Soru 16)

200mm boyundaki alüminyumdan (Al) yapılmış çubuk ile 300mm boyundaki çelik çubuk (Fe) şekilde görüldüğü gibi bir ucundan 0,6mm lik boşluk bırakılmıştır. Sıcaklık 30oC’den 150oC’ye çıkarıldığı zaman çubuklarda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız. αAl=14.10-6 1/C αFe=12.10-6 1/C

EAl=70GPa EFe=210GPa

2

63

2

63

6

660

/15,66

)75,123150.(10.12.10.210

/72,25

)75,123150.(10.14.10.70..

75,123

75,9330)300.12200.14(

10.6,030

)300.10.12200.10.14(

6,0

6,0)...(

6,0....

mmN

mmN

TE

CT

T

TT

Tll

TlTl

çel

çel

Al

AAAl

o

ÇÇAA

ÇÇAA

=

−=

=

−=∆=

=

+=+

+=

+=−

=∆+

=∆+∆

−

−

−−

σ

σ

σ

ασ

αα

αα

200 300 0,6

Al Fe


17

Soru 17)

Verilen sistemde AC ve BC çubuklarında doğan gerilmeleri ve çubukların şekil değiştirme miktarlarını hesaplayınız. DBC=10mm DAC=20mm P=3000N E=200GPa

k=20kN/mm

P

A

C

B

500mm

200mm

Fyay=

P

A

C

B

RA

ABC=78,54mm2 AAC=314,16mm2

NF

FFF

EA

lFP

EA

lF

k

F

LLLL

FPR

F

yay

yayyayyay

AC

ACyay

BC

BCyayyay

ACBCsistemyay

yayA

y

227,447

10.200.16,314

200).3000(

10.200.54,78

500.

10.20

.

).(

.

.

0

333

=⇒

−+=

−+=

∆+∆=∆=∆

−=

=Σ

mmEA

lFPl

mmEA

lFl

mmNA

FP

mmNA

F

AC

ACyay

AC

BC

BCyay

BC

AC

yay

AC

BC

yay

BC

3

3

2

2

10.125,8.

).(

0142,010.200.54,78

500.227,447

.

.

/1257,816,314

227,4473000)(

/6942,554,78

227,447

−=−

=∆

===∆

=−

=−

=

===

σ

σ


18

Soru 18)

Şekilde görülen biri tb=15mm olan bakır diğeri tç=10mm olan çelik iki boru iç içe geçirilerek Δt=150oC ye kadar ısıtılırsa bakır ve çelik borularda meydana gelecek gerilmeleri hesaplayınız. αb=16.10-6 (1/C) αç=12.10-6 (1/C) Eb=100GPa Eç=200GPa tb=15mm tç=10mm

Bakır daha çok genleşir ve bakır içte olduğu için basınç oluşur.

⇒∆=∆

+∆∆=∆

−∆∆=∆

çb

çç

çç

bb

bb

DD

Et

DxtD

Et

DxtD

..2

..

..2

..

2

2

α

α

2

.

/5,515,5110.2

100.3,10

.2

.

33,3415.2

100.3,10

.2

.

3,10

)...(

)..).(.).(..(2

mmNMPat

Dx

MPat

Dx

MPax

EtEtD

tEtEtx

ç

ç

b

b

bbçç

çbççbb

====

===

=

+

∆=

σ

σ

αα

Bakır Çelik

x

x

x

x

ΔD=Δα.Δt ΔD=P.D2/(2.E.t)

Bakır

Çelik

D=100mm'


19

Soru 19)

Verilen sistemde yay katsayısı 200N/m ve yayın maksimum 0,5mm çökmesine müsaade edildiğine göre BC çubuğunda meydana gelen gerilmeyi ve E noktasındaki çökmeyi hesaplayınız. (Not:AE çubuğun rijitlik katsayısı) BC çubuğu için; S0=400mm2, E=70GPa, l=500mm

mm

NFF

ES

lF

E

yayE

BCBC

BC

yayBC

833,035

93333

5,0

10.70.400

500.

3

5,0

.

.

31

3

=→=

=→=

=

⇒=

δδδ

δδ

1m 2m 2m 5k

B D E A

C


20

Soru 20)

Verilen cıvatalı bağlantıda;

a) Cıvatadaki kayma gerilmesini,

b) Levhadaki ve çataldaki normal gerilmeyi

hesaplayınız.

a) vidammNrS

FC ,/16,221

6..2

50000

..2

50

.22

22====

ππτ

b) levhammNS

FC ,/40

5.250

50000 2===σ

çatalmmNS

Fçatal ,/21

)12.55.250(

25000 2=−

==σ

LEVHA

CİVATA M12

ÇATAL

50kN

50kN

250mm

5mm

5mm


21

Soru 21)

d=10mm olan cıvata yeterince sıkıştırıldıktan sonra çapında δd=0,0001mm bir küçülme olduğu ölçülüyor. Cıvata malzemesinin mekanik özellikleri bilindiğine göre cıvata boyundaki uzamadan dolayı cıvatada meydana gelen gerilmeyi hesaplayınız. v=0,25 E=2×105N/mm2

2

5

2

55

55

5

/8

))0.(25,00.(10.2

1

10

0001,0

)).(.(1

:.

/8

10.4.10.2.

10.425,0

10

1010

0001,0

:.

mmN

Ed

d

yolII

mmNr

Er

D

d

yolI

z

z

zyxx

l

ll

lr

l

l

r

r

=⇒

+−=

+−==

=

==

=⇒==⇒=

===

−

−−

−

σ

σ

σσνσδ

ε

ε

ευ

εευ

ε

ε

δε

Φd

100m


22

Soru 22)

ABCD rijit çubuğun C ve B noktaları Al ve Cu çubuklarla sabitlenmiştir. Bu durumda Al çubuktaki gerilmeler ile A noktasındaki çökmeyi hesaplayınız. SAl=200mm2 SCu=300mm2 EAl=70GPa ECu=100GPa

a) 300200

cuAl δδ=

2

0

/12,7200

1,1425

7,30491,1425

12000).14,2.(3.2

12000.3.2

400.3000300.200.

0

)1....(..................................................14,2

300140

1000.100.300.300

300.

1000.70.200.200

200.

mmN

NFNF

FF

FF

FF

M

FF

FF

FF

Al

cuAl

AlAl

cuAl

cuAl

cuAl

cuAl

cuAl

==

==

=+

=+

=+

=Σ

=

=

=

σ

b) mmEA

lF

AlAl

AlAlAl 0203,0

1000.70.200

200.1,1425

.

.===δ

mmA

A

Al

0407,0

400

200

=

=

δ

δ

δ

F=3k

Al

Cu

20

0m

m

30

0m

m

200mm 100mm 100mm

D C B A

F=3k

FAl FCu

200mm 100mm 100mm

D C B A RDx

RDy


23

Soru 23)

E noktasından bir pimle mafsallanmış CDErijit kirişi D noktasından çapı 30mm olan prinç BD çubuğu ile desteklenmiştir. C noktasında ise bir delik açılmış ve şekilde görüldüğü gibi uç kısmında vida dişi bulunan AC çubuğu bu delikten geçirilerek bir somunla tutturulmuştur. Sistem oda sıcaklığında (20oC) gerilmesiz olduğuna göre pirinç çubuğun sıcaklığı 50oC’ye kadar ısıtılırsa bu çubukta hasıl olan gerilmeyi hesaplayınız.

MPa

NF

sekçeiF

FF

EA

LFtL

EA

LF

BD

BD

pp

p

pp

çç

ç

6,105

85,706

74636

74636

;ker'

10.105.85,706

10.3,0..

3,0

1)2050(10.8,18.310,0

10.200.13,380

10.9,0.

.

..

3.0

1..

.

..

75,0

1

3

363

3

3

=

=

=

+−=

+∆=

−

σ

σ

α

Φ22mm

0,3

m

0,9

m

0,3m 0,45

B

C

D

E

A

EP=105GPa αÇ=12.10-6

αP=18,8.10-6

EÇ=200GPa


24

Soru 24)

Bir ABCD rijit kirişi şekilde görüldüğü gibi B noktasından mafsallanıp A noktasına tatbik edilen 32kN’luk kuvveti dengelemek üzere kirişin C ve D noktalarından sırayla 10mm çaplı CE çubuğu ve 15mm çaplı DF çubuğu bağlanmıştır. Bu çubuklar elastisite modülü E=70GPa olan alüminyumdan imal edildiğine göre;

a) çubuklarda oluşan kuvvetleri b) A noktasındaki çökmeyi hesaplayınız.

mm

mm

kNF

kNF

FkN

FFkN

FF

FF

enBenzerlikt

AA

CECE

CEA

CEA

DF

CE

CE

CECE

DFCE

DFCE

DFCE

DF

CE

30,1300

873,0.450

873,0

10.70.4

)01,0.(

6,0.8000

)3.........(....................300

.450300450

24

8

18144

15.3144

)2...(.............................................................3

10.70.4

)015,0.(.5

75,0.

10.70.4

)01,0.(.3

6,0.

53500

300

;

92

32

32

=⇒=

=⇒=

=⇒=

=

=

=

+=⇒

=

=

=→=

δδ

δπ

δ

δδ

δδ

ππ

δδ

δ

δ

450

300 200 δA

δDF δCE

A B C D

E F

600m

m

750m

m

32kN

450mm 300mm 200mm

)1..(...............................5.3144

500.300.450.32

0

DFCE

DFCE

B

FFkN

FF

M

+=

+=

=Σ


25

Soru 25)

Uzunlukları ve kesit alanları eşit çubuklardan oluşan sistem görülmektedir. Çubukların mesnetlendiği duvarın rijit olduğu kabul edilerek sıcaklığın Δt kadar artması halinde çubuklarda oluşacak gerilmeleri hesaplayınız.

bç

bççb

çç

ç

çç

bb

bbb

çb

ç

b

EE

EET

A

x

EA

lxTl

EA

lxTl

ll

l

l

+

+∆=

=

+∆−=

−∆

∆=∆

∆

∆=

.2

.)..2.(

.

...

.

...2

.2

60cos

αασ

σ

αα

A

B C

D

çeli

bakır bakır 120

120


27

Soru 27) Gerilme durumu verilen elemanda

a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen

gerilmeleri hesaplayınız. Çözüm:

oo 5,22452

1100

2.50tan

=⇒=

==

αα

α

a)

MPa71,1205071,70OMR

MPa71,205071,70OMR

max

min

=+=+=

−=+−=+−=

σ

σ

b)

MPa3,6875Sin21,7075SinR

MPa3,6875Cos71,705075CosROM

C

C

−=−=−=

=+=+=

τ

σ

100 MPa 100 MPa

50 MPa

50 MPa

C

30o

MPaR

OM

xyyx

yx

71,70502

100

2

502

100

2

2

2

2

2

=+

=+

−=

==+

=

τσσ

σσ

2α

75o

a (100,50)

b (0,-50) C

M σ σmax

σmin

τ

O


28


a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.

Çözüm:

0

100

3,436050

25605050

min

max

=

=

==

=−=

σ

σ

τ

σ

MPa

MPaSin

MPaCos

C

C

100 N/mm2

C

30o

100 N/mm2

60o

σ

σmax=100 MPa

τ

b a σC


29

Soru 29) Gerilme durumu verilen elemanda a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini

b) C düzleminde meydana gelen normal ve kayma gerilmeleri hesaplayınız.

Çözüm: a (-100,40) , b(50,-40)

( )0,25OM,0,2

OMyx

−

+σσ

MPar

r xy

yx

85402

50100

2

2

2

2

2

=+

−−=

+

−= τ

σσ

a)

MPa110

MPa60

8525rOM22

min

max

2xy

2

yxyx

minmax,

−=

=

±−=±=+

−±

+=

σ

σ

τσσσσ

σ

MPa85

MPa85

r

min

max

minmax,

−=

=

±=

τ

τ

τ

533,050100

40222tan

yx

xy −=−−

=−

=σσ

τα

oo 14282 =⇒= αα

b) MPa472532Cos85OM32Cosr ooC =−=−=σ

MPa4532Sin8532Sinr ooC ===τ

30o σ

τ

b

a

σmin

c τC

τmin

τmax

M O

100 MPa 100 MPa

40 MPa

40 MPa

C

30o

50 MPa

50 MPa


30

Soru 30) a) Verilen sistemde asal gerilme ve düzlemlerini bulunuz.

b) C’de meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.

Çözüm: a (150,75) , b(-60,-75)

714,060150

75222tan

yx

xy =+

=−

=σσ

τα

oo 185,352 =⇒= αα

452

60150OM,0,

2OM

yx=

−=

+σσ

MPa129752

60150R 2

2

=+

+=

MPa8412945

MPa17412945ROM

min

max

−=−=

=+=+=

σ

σ

MPaSinR

MPaCosROM

C

C

10454

8,12054

−=−=

=+=

τ

σ

σx=150 N/mm2

σy=60 N/mm2

C

450

τxy=75 N/mm2

α=36o σ

τ

b

a

σmin

c

τC

τmin

τmax

M O 54o


31


a) Asal gerilme ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri

hesaplayınız. Çözüm: a (-120,60) , b(80,-60)

202

80120,0,

2−=

+−=

+OMOM

yx σσ

MPaR

R xy

yx

62,116602

80120

2

2

2

2

2

=+

−−=

+

+= τ

σσ

o48,1596,302

2

80120

602tan =⇒=⇒

−−= ααα

MPa

MPaROM

62,1362062,116

62,962062,116

min

max

−=−−=

=−=+=

σ

σ

MPaSinSinR

MPaCosCosR

C

C

59,7904,4362,11604,43

23,652004,4362,1162004,43

===

=−=−=

τ

σ

120 MPa

60 MPa

C

37o

80 MPa

43,04o

σ

τ

b

a

σmin

c

τC

τmin

τmax

M O 2α


32

Soru 32) a) Verilen sistemden asal gerilmeleri ve düzlemlerini bulnuz.

b) C’de meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.

Çözüm: A (150,75) B (-60,-75)

2/75 mmNxy =τ

c

b

450 a

2/150 mmNx =σ

2/60 mmNy =σ

45

2

60150

2

=

−=

+=

OM

OM

OMyx σσ

o

tg

18

5.352

60150

75.22

=

=

+=

α

α

α

2min

min

2max

max

max

/84

12945

/174

12945

mmN

mmN

ROM

−=

−=

=

+=

+=

σ

σ

σ

σ

σ

2

2

2

2

2

/10454sin

/8.12054cos

/129

752

60150

mmNR

mmNROM

mmNR

R

c

c

−=−=

=+=

=

+

+=

η

σ

α

η

σ

C b

a

M O

cη

036=α

54o


33

Soru 33)

Gerilme durumu verilen elemanda a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini; b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.

Çözüm:

100N/mm2

30o C

100N/mm2

60o

cσ a b

2max /100 mmN=σ

0

/100

/3.4360sin50

/2560cos5050

min

2max

2

2

=

=

==

=−=

σ

σ

η

σ

mmN

mmN

mmN

c

c


34

Soru 34) Gerilme durumu verilen elemanda a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini b) C düzleminde meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız Çözüm: a) b)

120MPa

60MPa

37o

c

80MPa

A(-120,60) c

B (80,-60)

α2 M

43,04o

o

yx

yx

tg

MPaR

OM

48,15

96,30

2

80120

602

62,116602

80120

2

202

80120

2

2

2

2

2

=

=−−

=

=+

−−=+

−=

−=+−

=+

=

α

α

ησσ

σσ

MPa

MPa

62,962062,116

62,1362062,116

max

min

=−=

−=−−=

σ

σ

MPaR

MPaR

c

c

59,79)04,43sin(62,116)04,43sin(

23,6520)04,43cos(62,11620)04,43cos(.

===

=−=−=

η

σ


35

Soru 35) Gerilme durumu verilen elemanda; Asal gerilmeleri hesaplayıp düzlemlerini gösteriniz. C düzlemindeki normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız. Kayma gerilmesinin max. ve min. değerlerini bulunuz.

Çözüm:

oo

yx

xy

xy

yx

yx

tg

R

MPaOM

6,402****30,2037,0)60(100

30.2.22

863080302

)60(100

2

202

40

2

)60(100

2

222

2

2

2

==−=−−

−=−

−=

=+=+

−−=+

−=

==−+

=+

=

αασσ

τα

τσσ

σσ

MPaROM

MPaROM

668620

1068620

min

max

−=−=−=

=+=+=

σ

σ

MPa

MPaROM

C

C

56,7866sin.86

97,1466cos.

==

−=+−=

τ

σ

37o

100MPa

60MPa

30MPa

30MPa

σ σ

C

b (-60;-30)

a (100;30)

M


36

Soru 36)

Gerilme durumu verilen elemanda;

a) Asal gerilmeleri ve doğrultularını hesaplayınız.

b) C1 ve C2 düzlemlerinde meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.

a(-50, 40) b(80, -40)

80,15

60,312

61,08050

40.222

32,76402

8050

22

2

2

2

=

≅

=−−

=−

=

=+

−−=+

−=

α

α

σσ

τα

τσσ

yx

xy

xy

tg

yxR

MPaR

MPa

MPaR

MPa

R

MPaR

MPaR

C

C

C

C

yx

C

yx

yx

30,364,28sin.

13,524,28cos.32,7615

30,364,28sin.

13,824,28cos.32,7615

4,28cos.2

32,6132,76152

32,9132,76152

2

2

1

1

1

min

max

−=−=

−=−=

==

=+=

++

=

−=−=−+

=

=+=++

=

τ

σ

τ

σ

σσσ

σσσ

σσσ

40MPa

50MPa 50MPa

80MPa

80MPa

40MPa

C1 C2

30o

σ

τ

C

28,4

2α M

C2

C1

τmin

τmax

b

a

τC1

-

τC2

40

-40

80

σmax=90,32

-61,32

σmin

σmax

σmax

σmin

α


37

Soru 37)


a) Asal gerilmeleri hesaplayınız ve düzlemlerini gösteriniz.

b) C düzlemindeki normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.

a(100, 40) b(-50, -40)

2/252

50100

2mmNOM yx =

−=

+=

σσ

036,14072,282

50100

40.222

/852

22

2

=⇒≅

+

−=

−−=

=+

−=

αα

σσ

τα

τσσ

yx

xy

xy

tg

mmNyx

R

a).

MPa

MPa

MPaROM

MPaROM

85

85

608525

1108525

min

max

min

max

−=

=

−=−=−=

=+=+=

τ

τ

σ

σ

b)

MPaR

MPa

ROM

C

C

C

95,8493,91sin.

14,2293,91cos.8525

93,91cos.

−=−=

=+=

+=

τ

σ

σ

40MPa

100N/mm2

100N/mm2

50N/mm2

50N/mm2

40MPa

C

30o

σ

τ

C

2α=28,07o M

τmin

τmax

b

a

τC1

-

40

-40

100

O

R

91,93o


38

Soru 38)


a) Asal gerilmeleri ve düzlemlerini hesaplayınız.

b) C1 ve C2 düzlemlerinde meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.

a(-80, 50) b(0, -50)

2/402

80

2mmNOM yx −=

−=

+=

σσ

6,253,512

25,180

50.22

/03,64502

80 22

2

=⇒≅

==

=+

−=

αα

αtg

mmNR

a).

2min

2max

/03,10403,6440

/03,2403,6440

mmNROM

mmNROM

−=−−=−=

=+−=+=

σ

σ

b)

MPaR

MPa

ROM

MPaR

MPa

ROM

C

C

C

C

C

C

65,597,68sin.

25,63

7,68cos.

65,597,68sin.

74,167,68cos.03,6440

7,68cos.

2

2

2

1

1

1

−=−=

−=

−=

==

−=+−=

+=

τ

σ

σ

τ

σ

σ

50MPa

80MPa 80MPa

50MPa

C1 C2

60o

σ

τ

C2

68,7o M

τmin

τmax

b

a

τC1

O

2α

C1


38

Soru 38) Kesiti ve yükleme durumu verilen kirişte: a) a) Meydana gelen maksimum

gerilmeleri b) b) C’de meydana gelen

normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.

Çözüm: VA=1000 N, MA=1000 0.5m=5000 Ncm

N600V1

1000

6,0

VC

C =⇒=

cmN18000Nm1802

6,0600M C ===

43

z cm50012

10.6I ==

a) 2

z

maxmax cm/N5005

500

5000y

I

M===σ

2max cm/N25

60.2

1000.3

A

V

2

3===τ

b) 2c

z

CC cm/N722

500

18000y

I

M===σ

22c

2C

C cm/N6,1244

100

500.2

600y

4

h

I2

V=

−=

−=τ

z

B

10 cm

A

1 kN/m

C 0,4 m

1 m

6 cm

y

C 2 cm

500 Nm

+ +

MC

x

V

+ +

x M

1000 N VC

1 kN/m

0,6 m C

0,4 m


39

Soru 39) Şekildeki gibi yerleştirilen AB ve AC çubuklarına A birleşme noktasından F=1000 N kuvveti etki ettiğinde meydana gelecek gerilmeleri hesaplayınız.

Çubuk çapı dç=10 mm

Çözüm:

010006060

0

12 =+−

=Σ

CosSCosS

Fx

12

0

SS

Fy

−=

=Σ

NS

NS

CosSS

1000

1000

100060)(

2

1

12

−=

=

−=−

MPaA

S

ç

AB 73,12

4

10

10002

2 −=−

==π

σ

MPaA

S

ç

AC 73,12

4

10

10002

1 ===π

σ

F=1000 N

S1 S2

60o

F=1 kN

C

A

B . .

60o


40

Soru 40) Ağırlığı ihmal edilen rijit bir çubuk A ucundan mafsallanmış olup CD bakır çubuğu ile taşınmaktadır. B ucundan 50 kN’luk yük asıldığına göre bakır çubuktaki gerilmeyi ve uzamayı hesaplayınız. Ab=200 mm2, Eb=1.105 N/mm2

Çözüm:

NF

F

M

DC

DC

A

75000

010.50.32

03

=

=−

=Σ

mm875,110.1200

50075000

EA

LF

MPa375200

75000

A

F

5bb

bDC

b

DC

===

===

δ

σ

+

50 cm

A B

D

C

2 m 1 m F=50 kN

1m 2m

F=50 kN

FDC

A B C


41

Soru 41) Verilen konsol kirişte;

a) a) Meydana gelen maksimum normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.

b) b) C noktasında meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini,

c) ) C noktasındaki asal gerilmeleri hesaplayınız.

Çözüm: a)

263

z mm/N10.512

10060I ==

2

6

6

z

maxmaxmax mm/N50

10.5

5010.5

I

yM===σ

2maxmax mm/N25,1

10060

5000

2

3

A

V

2

3===τ

b)

2

6

6

z

CCC mm/N5

10.5

1010.5,2

I

yM===σ

222

6

22

/2,1104

100

10.52

5000

42mmNy

h

I

VC

z

C =

−=

−=τ

c)

22

21

2

2

2C

2

CC2,1

mm/N27,0

mm/N27,5

2,12

5

2

5

22

−=

=

+

±=+

±=

σ

σ

τσσ

σ

10 mm z

P=5 kN

M

Mmax=5.106 Nmm

MC=2,5.106 Nmm

6 cm

y

C

A B 10 cm

C .

50 cm 50 cm

P=5 kN

V

5 kN

x

x

+ + + +

A B C .

50 cm

50 cm


42

Soru 42) Verilen çekme çubuğu d=20 mm çapında çelik malzemeden olup emniyetle taşıyabileceği gerilmeler σem=150 MPa ve τem=70 MPa olduğuna göre sistemin hasara uğramaması için minimum a uzaklığı ne olmalıdır, hesaplayınız. (Not: Siyah çerçeve rijit olarak düşünülecektir.)

Çözüm:

mm71,10aad

88,4712370

A

F

N88,47123F

4

20

F150

A

F

AF

MPa70,MPa150

em

2em

em

emem

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=

>

==

πτ

πσ

σ

τσ

a d=20 mm F

300 mm


43

Soru 43) Ağırlığı ihmal edilen rijit bir çubuk A ucundan

mafsallanmış olup biri yay diğeri bakır çubuk ile taşınmaktadır. B ucundan 50 kN’luk yük asıldığına göre bakır çubuktaki gerilmeyi ve yaydaki çökmeyi hesaplayınız. Ab=200 mm2 Eb=1.105 N/mm2 k=20000 kN/m

Çözüm:

bb

BBD

y

C

DC

D

C

EA

LF

k

F

22

1

==

=⇒=

δδ

δδ

δ

δ

By

5By

BB

BBy

F25,0F

10.2002

500F

20000

F

EA2

LF

k

F

=

=⇒=

kN68,16F,kN66,66F150F2F

0350F2F

0M

yBBy

By

A

==⇒=+

=−+

=Σ

MPa330200

66000

mm66,12

mm83,020000

680,16

BB

DCD

Cyay

=⇒=

=⇒=

===

σσ

δδδ

δδ

Fy FB

50 kN

B

δD

δC

Ay

Ax A

50 kN

50 cm D C

1 m

.

1 m 1 m

A B


44

Soru 44) Verilen basit kirişte meydana

gelen maksimum normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız.

Ayrıca C noktasından 200 mm

uzaklıktaki “e” noktasında meydana gelen normal, kayma ve asal gerilmeleri hesaplayınız.

Çözüm: a)

kNAkNB

B

M

yy

y

A

2,3900

2700

0900.700.3300.2

0

===

=−+

=Σ

2max

2

3

3maxmax

max /75,02

3/6)50(

12

10060

10.600mmN

A

VmmN

I

yM

z

===== τσ

b) kNmm600M e =

0

/4,2)20(

12

1060

10.600 2

6

3

=

==

e

e mmN

τ

σ

MPa

MPa

2,0

61,2

41,12,1

22

min

max

2,1

2

2

2,1

=

=

±=

+

±=

σ

σ

σ

τσσ

σ

- - M

+ + + +

+ +

600 kNmm

x

x

3 kN

100 mm

A

2 kN

C 300 mm

B

400 mm 200 mm

3 kN

D

e 60 mm

y

. 20 mm

z e

By

+ +

2 kN

V

C

300 mm 200 mm 200 mm 200 mm Ay

A

2 kN

B

3 kN

D

e


45

Soru 45) Şekilde levha bir ucundan rijit bir duvara (AD) sabitlenmiştir.BC ucundan üniform V=15 kN’luk kesme kuvveti etkimektedir. Bu kesme kuvveti altında CC’=BB’=5 mm olarak ölçülmüştür. Buna göre h kenar uzunluğunun kaç mm olması gerektiğini hesaplayınız. E=210MPa 3.0=υ

V h

10

C’

B’

C D

B A

500mm

mmh

h

mmNE

G

G

hA

V

857,1

)01,0)(80769(10

15000

01.0500

5

/807696,2

210000

)1(2

.

10

15000

2

21

2

1

=

=

==

==+

=

=

=

==

γ

υ

ττ

γτ

τ


46

Soru 46) Verilen sistemde kesit alanları ve elastisite modülleri aynı olan AB ve AC çubuklarındaki kuvvetleri ve boylarındaki değişimi hesaplayınız. E=2.105N/mm2, A=500mm2, L=300 mm, P=1000N

S1

S2

R

P

L

C B

A

P

45o

45cos

)3........(..........45cos

)2.....(..........045

0

)1........(045

0

2

21

2

21

ll

ll

RSinS

F

CosSSP

F

x

y

=

∆=∆

=−

=

=−−

=

∑

∑

PSPS

SP

SSP

den

SS

EA

lS

EA

lS

73,0.......37,0

0)2

12(

02

12

)'1(

2

.

2..

2

1.

.

.

12

2

22

21

21

==

=+−

=−−

=

=

mm

mmEA

lS

00157,0210.500

2300.37,370

00222,0500.10.2

300.74,740

.

.

52

51

1

==

===

δ

δ

NS

NS

74,740

37,370

2

1

=

=


47

Soru 47) AB rijid çubuğu A’dan mafsallanmış B ucundan 2 kN’luk bir kuvvet ile yüklenmiştir. C’ye yerleştirilmiş olan amorsitör yayının yay katsayısı (k)’yı hesaplayınız.

mmb 2=δ

kNF

F

M

y

y

A

4

01.2.2

0

=

=−

=∑

bc

b

c

y xkF

δδδ

δ

2

1

2

1=⇒=

=

mmNk

xk

FB

y

/40001

4000

2

1

==

== δ

2kN

bδcδ

B A

Fy

C

A B C .

1 m 1 m

P=2 kN


48

Soru 48) Verilen mil kasnak sisteminde kasnağa şekilde görüldüğü gibi birbirine dik iki

kuvvet etki etmektedir. 2/150 mmNem =σ ise daire kesitli olan çubuğun çapını hesaplayınız.

NmmM

NmmLPM

kNP

P

b5

max

22

10.3150.2000

1118000.

236,2

21

==

==

=

+=

mmD

DD

D

D

b

5

75.

16.10.3

.2

32.1118000

.

16.10.3

.

32.1118000

2

3

52

3max

3

5

3

≅

≤

+

=

=

=

ππτ

πτ

πσ

300 mm

500 mm

kNP 21 =

kNP 12 =

A

3

3

max

.

16.

.

32.

D

M

D

M

bb

e

πτ

πσ

=

=


49

Soru 49) Kesiti ve yükleme durumu verilen kayış kasnak sisteminde mil çapını hesaplayınız. 2/100 mmNem =σ

[ ]

mmD

mmr

MMMr

NmmM

NmmM

bee

b

e

44

7,21

100.

2

10.1250.400

10.81000.800

223

5

5

≅

=

++=

==

==

π

T2=700 N T1=300 N

Dk=500mm

800 mm

A


50

Soru 50) Verilen çubukta sıcaklık A ucundan itibaren B ucuna doğru lineer olarak artmaktadır. TA=0 ve TB=100oC olduğu zaman çubukta doğacak gerilmeleri hesaplayınız.

A=500mm2 , E=2x105 N/mm2 , Cx o/11020 6−=α , L=500mm

2

6

5

2

00

/200500

100000

100000

0500.50.10.20500.10.2500

02

.1

.100.)(

0.100.)(.

mmNA

F

NF

F

l

ll

EA

F

dxl

x

EA

Fdxxt

EA

Fll

−=−

==

−=

=+

=+

=

+=

∆+=

−

∫∫

σ

α

ααδ

x

T

A A B

L

TA

TB


51

Soru 51) Kesiti ve yükleme durumu verilen milde meydana gelen maksimum gerilmeleri,

C’de meydana gelen normal ve kayma gerilmelerini hesaplayınız. MPaem 10=σ için milin

emniyetli olup olmadığını kontrol ediniz.d=50mm, D=80mm Olduğundan mil emniyetlidir.

M

x

300kNmm

225kNmm

x

750N

250N

2250N

C

em

z

cC

c

z

CC

z

y

y

y

A

mmNyRI

V

mmNyI

M

mmNA

V

mmNyI

M

kNA

kNB

B

M

σσ

πη

πσ

πη

πσ

⟨

=

−

−=−=

=

−

==

=

−

==

=

−

==

=

=

=+−−

=∑

max

2

44

2222

2

44

3

2

22

maxmax

2

44

3

maxmax

max

/572,0

)5080(64

.3

)5080.(750)(

.3

.1

/40,4

)5080(64

25.10.300.

/979,0

)5080(4

.3

2250.4

.3

.4

/043,7

)5080(64

40.10.300

250,2

75,0

0800.1.400100.2

0

A

400mm 300mm 100mm

A

2 kN

C B

1 kN


52

Soru 52) Kesiti ve yükleme durumu verilen sistemde A ve B noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız.

100mm

60mm x

y

2kN

40

1m

37o

B A

x

2

66

2

66

2

32

1

46

3

/29,1510.5

50.1597270

10.5

50.2,48145

6000

63,1203

/69,1510.5

50.1597270

10.5

50.2,48145

6000

63,1203

6000

159727010.27,1597

2,4814540.63,1203

10.5

12

100.60

63,120337sin.2000

27,159737cos.2000

mmN

mmN

mmA

NmmM

NmmM

mmI

I

NP

NP

B

A

y

y

y

z

=+−−=

−=−+−=

=

==

==

=

=

==

==

σ

σ


53

Soru 53)

A-A da sabit olan çubukların uçlarına B-B rijit levhası bağlanmış ve tam ortadan 10kN’luk kuvvet uygulanmıştır. Bu durumda 1 ve 2 nolu çubuklarda meydana gelen gerilmeleri ve uzamaları hesaplayınız. a=500mm E=2×105 N/mm2 d1=10mm d2=20mm

S1=79mm2 S2=314mm2

2

2

22

2

1

11

12

2

21

/92,15314

5000

/29,6379

5000

50002

2..

0

mmNS

F

mmNS

F

NF

FF

aFaF

M

FFF

A

===

===

===

=

=Σ

+=

σ

σ

a a

10kN

500m

m

Rijit

Sabit

A A

B B

1 2

Φ20 Φ10

a a

F1 F2

A

F


54

Soru 54)

Verilen çubukta sıcaklık A ucundan itibaren B ucuna doğru lineer olarak artmaktadır. TA=0 ve TB=100oC olduğu zaman çubukta doğacak gerilmeleri hesaplayınız. S=500mm2 L=500mm E=2×105 N/mm2 α=20×10-6 1/oC

2

6

5

2

1

0

1

0

/200500

100000

100000

0500.50.10.20500.10.2.500

02

.1

.100.)(.

0..100..

.)(..

mmNA

F

NF

F

l

ll

ES

F

dxl

x

ES

Fdxxt

ES

F

−=−

==

−=

=+

=+

=

+=

∆+=

−

∫∫

σ

α

ααδ

S L

x

T

A B

TA

TB


45

Soru 45) 200x600 mm ebatlarındaki levhaya homojen olarak kenarlarından uygulanmaktadır. Boyca uzamanın 2 mm’yi geçmemesi için uygulanabilecek σ’yı hesaplayınız. Bu durumda kalınlıktaki değişme ne kadar olur hesaplayınız. E=2x105 N/mm2 , ν=0.25, t=10mm

Çözüm:

0

2

z

y

x

=

=

=

σ

σσ

σσ

a)

[ ]

[ ] 2

5/95,380)0(25.02

10.2

1

600

2

)(1

mmN

El

lzyxx

=⇒+−=

+−=∆

=

σσσ

σσνσε

b)

[ ]

[ ] mmtt

Et

tyxzz

0143,0)95,38095,380.2(25,0010.2

1

10

)(1

5−=∆⇒+−=

∆

+−==∆

σσνσε

2σ 2σ x

y

σ

σ

σ

2σ x

y

σ

2σ 200

600


46

Soru 46) t=20 mm kalınlığında kare şeklindeki gerilmesiz alüminyum plakada d=200 mm çapında bir daire çizilmiştir. Daha sonra plak düzlemine etkiyen kuvvetler σx=100 MPa ve σz=200 MPa’lık gerilmelere sebep olmaktadırlar. E=70 GPa ve ν= 0.25 olduğuna göre; a) AB çapındaki değişmeyi b) Plakanın kalınlığındaki değişmeyi

bulunuz.

Çözüm:

[ ] [ ] 3

310.7143,0)2000(25,0100

10.70

1)(

1 −=+−=+−= zyxxE

σσνσε

[ ] [ ] 3

310.0714,1)200100(25,00

10.70

1)(

1 −−=+−=+−= zxyyE

σσνσε

[ ] [ ] 0025,0)0100(25,020010.70

1)(

13

=+−=+−= yxzzE

σσνσε

a) mmDD xAB 14286,0200.10.7143,0 3 ===∆ −ε

b) mmtt y23 10.1428,220.10.0714,1 −− −=−==∆ ε

y

z x

500 mm

500 mm

σx σz

A

B


47

Soru 47) İç boyutları 20x20 mm olan rijit bir prizmatik oyuk içine aynı ebatlarda plastik bir cisim konmuştur ve üzerinden homojen şekilde etkiyecek P=50 kN’luk kuvvet uygulanmıştır. a) Bu durumda plastik cisim ile rijit duvar arasında

meydana gelebilecek gerilmeleri hesaplayınız. b) Plastik cisimde meydana gelen kısalmayı

hesaplayınız. E=2.105 MPa , ν=0,25 Çözüm:

MPa125400

10.50

A

P 3

y −=−=−=σ

simetridenzx σσ =

[ ]

[ ] 0)(25,010.2

1

)(E

10

zyx5

zyxzx

=+−

+−===

σσσ

σσνσεε

025,0)125(25,0 xx =−−− σσ

MPa66,41,MPa66,41

25,3175,0

zx

x

−=−=

−=

σσ

σ

[ ] mmOhh

Ohy 52,0)66,4166,41(25,0125

10.2

15

−=⇒−−−−==ε

P

100 cm

20 mm

20 mm

P A=400 mm2

y

x

z


48

Soru 48)

Kenar uzunlukları 50x100 mm olan ve 5 mm kalınlıklı levhanın tam ortasına 20 mm çaplı dairesel bir delik açılmıştır. Bu levhanın kısa kenarına σo ve uzun kenarına da 3σo homojen çekme gerilmeleri tatbik edilmiştir. Dairesel deliğin A-B doğrultusunda çapındaki büyümenin maksimum δ=0,01 mm olmasına müsaade edildiğine göre tatbik edilen σo gerilmesini hesaplayınız. E=2.105 MPa, ν=0,25 Çözüm:

[ ]

[ ]

[ ]

MPa400

75,010.2

110.5

)03(25,010.2

1

)(E

1

10.520

01,0

D

o

oo5

4

oo5x

zyxx

4x

=

−=

+−=

+−=

===

−

−

σ

σσ

σσε

σσνσε

δε

3σo

σo A B

y

z

x


49

Soru 49) Verilen kolonda A ve B noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız. Çözüm: 21o σσσσ ±±=

A

Pzo −=σ ,

y

11

I

yMm=σ ,

y

22

I

yMm=σ

N433086,0500030CosPPx ===

N25005,0500030SinPPz ===

43

y cm4500012

3020I ==

NcmPM x 4330001001 == , NcmPM z 25000102 ==

2/84,13145000

1525000

45000

15433000

600

2500cmNA =−+−=σ

2/16,14045000

1525000

45000

15433000

600

2500cmNB −=+−−=σ

P=5 kN

B A

Px

Pz M1

L=100 cm

10 cm

P=5 kN

30o

x x

x-x kesiti

y

x

30 cm cm

20 cm cm

B A


50

Soru 50) Ortasında d=200 mm çaplı delik bulunan 20 mm kalınlıklı Alüminyum levha şekilde görüldüğü gibi gerilmelere maruzdur. E=7.104 N/mm2 ν=1/3 olduğuna göre;

a) Verilen deliğin AB ve CD doğrultusunda çapında meydana gelecek değişmeyi hesaplayınız.

b) Levhanın kalınlığında meydana gelecek değişimi bulunuz. Çözüm:

2zy

2x mm/N150,0,mm/N85 === σσσ

[ ]

4

4x

zyxx

10.51503

185

10.7

1

)(E

1

−=

−=

+−=

ε

σσνσε

5

4y 10.12,1)85150(3

10

10.7

1 −−=

+−=ε

4

4z 10.3,17853

1150

10.7

1 −=

−=ε

( ) ( ) mm1,010.5200DD

D 4ABABx ==⇒= −∆

∆ε

mm34,010.17200 4z == −ε

mm10.24,2t)10.12,1(20t10.12,1t

t 455y

−−− −=⇒−=⇒−== ∆∆∆

ε

σx=85 N/mm2

σz=150 N/mm2 35 cm

x

35 cm

35 cm σz

A

C

D

B

y


51

Soru 51) Verilen levhada boydaki uzama miktarı %0,2’yi geçmemesi istendiğine göre σ değerini hesaplayınız. E=2.105 N/mm2 ve ν=0,25’dir.(t=1mm) σσσσ 2, == yx

500mm

1000mm

310.2

2

−=

∆=

=∆

x

xl

l

mml

ε

ε

2

5

3

/267

5,0400

))02(25,0(10.2

110.2

mmN

x

=

+=

+−−=−

σ

σσ

σσ


52

Soru 52) 250x750mm ebatlarındaki levhaya homojen olarak kenarlardan gerilmeler uygulanmaktadır. Boyca uzamanın 3 mm’yi geçmemesi için uygulanabilecek σ ’yı hesaplayınız. Bu durumda kalınlıktaki değişime ne kadar olur hesaplayınız. E=2.105N/mm2, υ =0,25, t=10mm

σ

σ2 σ2

σ

( )( )

( )

mmt

t

t

t

mmN

E

E

z

x

zyxx

017.0

)457.75,0(10.2

10

)2(25,00(10.2

1

/457

750

10.2.3

42

10

4

12

750

31

5

5

2

5

=∆

−=∆

+−=∆

=

=

=−

+−=

=+−=

σσε

σ

σσ

σσε

σσυσε


53

Soru 53) 300x500 mm ebatlarındaki levhada E=2.105N/mm2 ve υ =0,25 ise boydaki değişimin maksimum 5 mm olması istendiğinde uygulanabilecek σ gerilmesini hesaplayınız.

Kalınlık boyunca şekil değişimi yok ise zσ gerilmesini hesaplayınız.

σ3

σ σ

σ3

[ ]

[ ]

[ ]

230

5

23

5

2

/10.8

)4(25,00

)(10.2

1

/10.8

)03(25.010.2

110.1

)(1

mmN

mmN

E

z

z

yxzz

zyxx

==

−=

+−=

=

+−=

+−=

−

σσ

σσ

σσυσε

σ

σσ

σσυσε


54

Soru 54) Verilen elemanda E=2.105N/mm2, υ =0,25 ise boydaki değişimin maksimum 5 mm olması istendiğinde uygulanabilecek gerilmesini hesaplayınız.

200

200

500

x

y

0σ

z

( )( )[ ]

23

0

0052

0005

0

0

0

0

0

/24005

10.12

2.3

25,010.2.10.1

)3

1

3

1(25,0

10.2

1

500

5

3

1

25,075,0

25,025,00

)(25,00

0

0

1

mmN

E

z

yx

x

xx

xx

y

x

z

zyxx

−=−=

+−=

−−−−==

=−=

−=

+−=

−−=

=

=

−=

+−=

−

σ

σσ

σσσε

σσσ

σσ

σσσ

σσσ

ε

ε

σσ

σσυσε

Documents

web.hitit.edu.trweb.hitit.edu.tr/dosyalar/materyaller/[email protected] · MUKAVEMET I SORU ve CEVAPLARI Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 Soru 1) 1000 mm boyundaki