masudiman1purwodadi.files.wordpress.com€¦ · Web view(RPP) Nama Sekolah : MAN PURWODADI. Kelas : XII (Dua Belas) Semester : Gasal. Program Keahlian : IPA. Mata Pelajaran : Matematika

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN(RPP)

Nama Sekolah : MAN PURWODADI

Kelas : XII (Dua Belas)

Semester : Gasal

Program Keahlian : IPA

Mata Pelajaran : Matematika

Jumlah Pertemuan : 2 x pertemuan ( 4 x 45 menit)

1. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

2. Kompetensi Dasar : 1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integrasi tentu.

3. Indikator : a. Mengenal arti integral tak tentu.

b. Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu dari turunan.

c. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

d. Mengenal arti integral tentu.

e. Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral.

f. Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak tentu.

4. Tujuan Pembelajarana. Pertemuan ke-1

Siswa mampu mengenal arti integral tak tentu, menurunkan sifat-sifat integral tak tentu dari turunan, dan

menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

b. Pertemuan ke-2Siswa mampu mengenal arti integral tentu, menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral,

dan mampu menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak tentu.

5. Materi Pembelajarana. Pengertian Integral Tak Tentu

Menentukan fungsi f(x) dari , berarti menentukan antiturunan dari , sehingga integral merupakan

antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.

Jika f(x) adalah fungsi yang bersifat , maka f(x) merupakan antiturunan atau integral dari .

Integral tak tentu dari dilambangkan dengan .

Bentuk umum:

dengan f(x) : fungsi integral umum dan c : konstanta sembarang.

Rumus-rumus integral:

1) = dengan n -1

2) = dengan n -1

3) = ax + c

Sifat-sifat integral:

1) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx

2) (f(x) - g(x)) dx = f(x) dx - g(x) dx

RPP Matematika MAN PURWODADI Kelas XII Program IPA 1

3) a f(x) dx = a f(x) dx

4) =

5) dx = x + c

Contoh:

1) = =

2) = =

b. Aturan Integral TrigonometriRumus integral fungsi trigonometri sebagai berikut.

sin x dx = - cos x + c sec2 x dx = tan x + c

cos x dx = sin x + c cosec2 x dx = -cotan x + c

sin ax dx = cos ax + c sec x tan x dx = sec x + c

cos ax dx = sin ax + c

Contoh:

(sin 2x + cos x) dx = cos 2x + sin x + c

2 sin 4x cos 2x dx = (sin 6x + sin 2x) dx =

c. Integral TentuJika f(x) dan g(x) adalah fungsi kontinu dan terdefinisi dalam interval [a, b] maka integral tertentu f(x) dan g(x)

dari x = a sampai x = b memenuhi sifat-sifat berikut.

1) = 4) , k konstanta

2) 5)

3) = , dengan a < c < b 6)

Contoh:

= = =

= = =

6. Metode Pembelajaran/PendekatanModel pendekatan CTL dan life skill

7. Alokasi Waktu : 2 x Pertemuan ( 4 x 45 menit)


8. Kegiatan Pembelajaran (Langkah-Langkah Pembelajaran)Pertemuan ke-1a. Kegiatan awal

Penjelasan dan tanya jawab sekitar wawasan siswa mengenai materi yang akan disajikan untuk apersepsi dan

motivasi peserta didik.

b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan arti integral tak tentu, sifat-sifat integral tak tentu dari turunan, dan cara menentukan

integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang arti integral tak tentu, sifat-sifat integral tak tentu dari turunan, dan

cara menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

3) Konfirmasi

Guru menanyakan tanggapan siswa untuk diakomodasi, kemudian disimpulkan.

c. Kegiatan akhir

Penugasan Terstruktur (PT) dengan mengerjakan latihan.

Pertemuan ke-2a. Kegiatan awal



b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan arti integral tentu, cara menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat

integral, dan menjelaskan cara menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak

tentu.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang arti integral tentu, cara menentukan integral tentu dengan

menggunakan sifat-sifat integral, dan cara menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral

tentu dan tak tentu.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir


9. Penilaiana. Teknik : Tertulis

b. Bentuk Instumen : Uraian

c. Contoh instrumen :

Tes tertulisUntuk nomor 1 sampai dengan 3, tentukan integral tak tentu di bawah ini!

1.

2.

3.


Untuk nomor 4 dan 5, tentukan nilai tiap-tiap integral berikut!

4.

5.

Norma Penilaian:Jawaban kosong 0

Jawaban salah 1

Jawaban agak betul 5

Jawaban betul kurang sempurna 8

Jawaban betul sempurna 10

Nilai tes tertulis = total skor x 2

Kunci Jawaban:

1.

2.

3.

4. = = = 3 - 2 - 10 = -9

5. = = = = = =

10. Alat/Media/Sumber Belajara. Buku Paket dan Buku Referensi Matematika Kelas XII IPA yang relevan.

b. Buku latihan soal.

Mengetahui Purwodadi, 18 Juli 2011

Kepala MAN Purwodadi Guru Mata Pelajaran

(Drs. Mashudi, M.Ag) (Masudi, S.Si)

NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002





Semester : Gasal





2. Kompetensi Dasar : 1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi

trigonometri yang sederhana.

3. Indikator : a. Menentukan integral dengan cara substitusi.

b. Menentukan integral dengan cara parsial.

c. Menentukan integral dengan cara substitusi trigonometri.


Siswa mampu menentukan nilai integral dengan cara substitusi.

b. Pertemuan ke-4Siswa mampu menentukan nilai integral dengan cara parsial.

c. Pertemuan ke-5Siswa mampu menentukan nilai integral dengan cara substitusi trigonometri.

5. Materi Pembelajarana. Integral Substitusi

Misalkan f(x) adalah fungsi yang terdiferensialkan maka berlaku aturan berikut.

= = , dengan n -1

Contoh:

= = =

= = =

b. Integral Parsial

Jika y = u v, maka = atau

Jika kedua ruas diambil antiturunannya, maka:

sehingga

Contoh:

Selesaikan !

Jawab: =


c. Integral Substitusi Trigonometri

Bentuk dapat diubah ke dalam bentuk fungsi trigonometri dengan substitusi variabel trigonometri,

dengan demikian:

1) =

2) =

Contoh:

Hitunglah nilai

Jawab:

Misalkan x = 3 sin t, maka sin t = dan dx = 3 cos t dt.

= = =

= = = =

= =






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan nilai integral dengan cara substitusi.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan nilai integral dengan cara substitusi.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan nilai integral dengan cara parsial.


2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan cara menentukan nilai integral dengan cara parsial.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan nilai integral dengan cara substitusi trigonometri.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan cara menentukan nilai integral dengan cara substitusi trigonometri.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan Akhir





Tes tertulisSelesaikan integral berikut!

1.

2.

3.

4.

5.


Jawaban salah 1


Jawaban betul kurang

sempurna

8



Kunci Jawaban:

1. = = = =


2. = = =

3. = x + cos 2x + c

4. = = = cos 6x + c

5. = =






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002





Semester : Gasal





2. Kompetensi Dasar : 1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan

volume benda putar.

3. Indikator : a. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.

b. Menghitung volume benda putar.

4. Tujuan Pembelajarana. Pertemuan ke-6, 7, dan 8

Siswa mampu menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.

b. Pertemuan ke-9, 10, dan 11Siswa mampu menghitung volume benda putar.

5. Materi Pembelajarana. Menghitung Luas Daerah

Luas daerah dirumuskan sebagai: L =

Luas daerah antara kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a, dan garis x = b dapat dihitung menggunakan rumus:

L =

Contoh:

1) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x - 2, sumbu x, garis x = 4, dan sumbu y!

Jawab:

-2

-1

1

1 2 3 5 6 7 84

x = 4y = x - 21

4x

Daerah tersebut adalah daerah S. Luas daerah S adalah:

L(S) = =

= = -(2 - 8) = 6

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 6 satuan.

Daerah tersebut adalah daerah S. Luas daerah S adalah:


L(S) = = = = -(2 – 8) = 6

2) Tentukan luas daerah berikut ini:y

y = x - 4x + 32

x3 4Jawab:

L = = =

= = satuan luas

b. Menghitung Volume Benda Putar1) Jika y = f(x) dibatasi pada a x b, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o maka:

V =

2) Jika x = f(y) dibatasi pada a x b, diputar pada sumbu y sejauh 360o maka:

v =

3) Jika f(x) g(x) pada interval [a, b], volume benda putar mengelilingi sumbu x sejauh 360o maka:

v =

4) Jika f(y) g(y) pada interval [a, b], volume benda putar mengelilingi sumbu y sejauh 360o maka:

v =

Contoh:

Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) = 4 - x2, sumbu x, dan sumbu y

diputar 360o bila diputar terhadap sumbu x.y

f(x ) = 4 - x2

1 2-2 -1x

R

Jawab: Volumenya adalah:

V = = =

= =

Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu x adalah satuan volume.

6. Metode Pembelajaran/Pendekatan


Model pendekatan CTL dan life skill


8. Kegiatan Pembelajaran (Langkah-Langkah Pembelajaran)Pertemuan ke-6, 7, dan 8a. Kegiatan awal



b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada

koordinat.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan

sumbu-sumbu pada koordinat.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir


Pertemuan ke-9, 10, dan 11a. Kegiatan awal



b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menghitung volume benda putar.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menghitung volume benda putar.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis

1. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 4 - x2, sumbu-x, garis x = 0, dan x = 1!y

x

x = 14

-2 -1 0 1 2

Rf(x) = 4 - x 2

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) = -sin x, 0 x 2 , dan sumbu x!


y

x0

3. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 4 - x2, garis x = 0, dan di atas garis y = 1!

1

4

y

f(x) = 4 - x2

y = 1

U

x20

4. Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) = x - 2, sumbu x, garis x = 0, dan

garis x = 4 diputar 360o mengelilingi sumbu y!

5. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 4 - x2, sumbu x, dan garis y = 2

diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360o.


Jawaban salah 1





Kunci Jawaban:

1. L = = = =

Jadi, luas daerah adalah satuan luas.

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) = -sin x, 0 x 2 dan sumbu-x adalah:

L = L(A1) + L(A2)

= = = (cos - cos ) – (cos - cos 0)

= (1 - (-1)) - (-1 - 1) = 2 + 2 = 4

Jadi, luas daerah tersebut adalah 4 satuan luas.

3. L(U) = = = =

= = =

4. V = =

= =


=

=

=

5. V= = = = 6 satuan volume

10. Alat/Media/Sumber Belajara.Buku Paket dan Buku Referensi Matematika Kelas XII IPA yang relevan.

b.Buku latihan soal.




NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002





Semester : Gasal




1. Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linear.

2. Kompetensi Dasar : 2.1 Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

3. Indikator : a. Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

b. Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

4. Tujuan PembelajaranPertemuan ke-12Siswa mampu mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan menentukan penyelesaian sistem

pertidaksamaan linear dua variabel.

5. Materi Pembelajarana. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut.

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

an1x1 + an2x2 + ... + amnxn = bn

dengan x1, x2, ..., xn adalah variabel.

a11, a12, ..., a1n, a21, a22, ..., a2n, ..., amn adalah konstanta real.

Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan linear, tanda “=” diganti

dengan “ ”, “<“, “ ”, “>”.

Jika sebuah sistem pertidaksamaan terdiri dari dua pertidaksamaan atau lebih disebut sistem pertidaksamaan

linear dua variabel. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear merupakan irisan dari daerah

penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan yang membentuknya.

b. Menentukan Titik Potong dan Persamaan Garis LurusUntuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat menggunakan metode substitusi, eliminasi,

eliminasi dan substitusi.

Contoh:Tentukan titik potong dari garis g : x + y = 8 dan garis l = 2x + y = 5.

Jawab:Untuk mencari titik potong kedua garis dapat digunakan metode eliminasi dan substitusi diperoleh nilai x = -3

dan nilai y = 11.


Bila kedua garis digambar dalam Bidang Cartesius terlihat titik (-3, 11) merupakan titik potong kedua garis.y

x

(-3 , 11 )

lg

c. Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan LinearLangkah-langkah menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.

a. Gambarlah garis lurus pada koordinat Cartesius, dengan cara mengubah relasi pertidaksamaan menjadi

relasi persamaan.

ax + by = c, untuk relasi atau garisnya lurus.

relasi < atau > garisnya putus-putus.

b. Tentukan sembarang titik P(x0, y0) yang posisinya di luar garis ax + by = c.

c. Substitusikan P(x0, y0) ke dalam pertidaksamaan.

d. Jika pertidaksamaan benar, daerah yang memuat P(x0, y0) adalah daerah himpunan penyelesaian.

Sebaliknya, untuk pertidaksamaannya salah maka daerah lain yang tidak memuat P(x0, y0) merupakan

daerah himpunan penyelesaian.

Contoh:

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari x + y 6.

Jawab:

D ae ra h pe ny e le sa ia n

y

x

6

60 1

1 (1, 1 )

Ambil titik P(1, 1) P(1, 1) x + y 6

1 + 1 6 (benar)

Jadi, P(1, 1) pada daerah himpunan penyelesaian.






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi


Guru menjelaskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan menjelaskan cara menentukan

penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan menjelaskan cara

menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut.

1. x - 5y 10 ; x 5

2. -2 x < 3, 0 y 4

3. 8x - 4y 56, x 0, y 0

4. 4x - 2y 10, x - 6y 12, x 0, y -4.

5. Dengan grafik, tentukan daerah penyelesaian dari

Tes tertulis


Jawaban salah 1



sempurna

8



Kunci Jawaban:

1. x - 5y = 10x 0 10y -2 0 (0, -2) dan (10, 0)

5x

y

10

x = 5

2. -2 x < 3, 0 y 4


x

x y

3. 8x - 4y = 56x 0 7y -14 0 (0, -14) dan (7, 0)

x

y

7

-14

4. 4x - 2y = 10

x 0

y -5 0

104

(0, -5) dan (5, 5/2)x - 6y = 12

x 0 12y -2 0 (0, -2) dan (12, 0)

x-2-5

12

y

5.

x

y

0

Daerah

penye lesaian

4

2x + y = 8x + y = 8

8







NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Gasal




1. Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linear..

2. Kompetensi Dasar : 2.2 Merancang model matematika dari masalah program linear

3. Indikator : a. Mengenal masalah yang merupakan program linear.

b. Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linier.

c. Menggambar daerah fisibel dari program linear.

d. Merumuskan model matematika dari masalah program linear.


Siswa mampu mengenal masalah yang merupakan fungsi objektif dan menentukan fungsi objektif dan kendala

dari program linier.

b. Pertemuan ke-14Siswa mampu menggambar daerah fisibel dari program linear.

c. Pertemuan ke-15Siswa mampu merumuskan model matematika dari masalah program linear.

5. Materi PembelajaranSistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari

dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika.

Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses

pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada

mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin

II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya

perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari

setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan

merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai

kendala sebagai berikut.

Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang

diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaan

itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut.

Pada mesin I : 2x + 5y 800 .... Persamaan 1


Pada mesin II : 8x + 4y 800 .... Persamaan 2

Pada mesin III : 10x 800 .... Persamaan 3

x, y bilangan asli : x 0, y 0 .... Persamaan 4

Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan adalah f(x, y) = 40.000x + 30.000y.

Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah

program linear.






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru mendefinisikan masalah yang merupakan fungsi objektif dan menjelaskan cara menentukan fungsi

objektif dan kendala dari program linier.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang masalah yang merupakan fungsi objektif dan cara menentukan fungsi

objektif dan kendala dari program linier.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menggambar daerah fisibel dari program linear.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menggambar daerah fisibel dari program linear.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara merumuskan model matematika dari masalah program linear.

2) Elaborasi


Siswa memberikan tanggapan tentang cara merumuskan model matematika dari masalah program linear.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis1. Umar Bakri adalah pedagang roti. Ia menjual roti menggunakan gerobak yang hanya dapat memuat 600 roti. Roti

yang dijualnya adalah roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing Rp5.500,00 dan Rp4.500,00 per

bungkusnya. Dari penjualan roti-roti ini, ia memperoleh keuntungan Rp500,00 dari sebungkus roti manis dan

Rp600,00 dari sebungkus roti tawar. Jika modal yang dimiliki Umar Bakri Rp600.000,00, buatlah model matematika

dengan tujuan untuk memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!

2. Sebuah pabrik pembuat boneka akan memproduksi boneka Si Unyil dan Pak Ogah dengan menggunakan dua

mesin. Waktu yang diperlukan untuk memproduksi kedua boneka ini dapat dilihat pada tabel berikut.

Mesin I Mesin IISi Unyil 20 10Pak Ogah 10 20

Jenis Boneka Waktu untuk membuat sebuah boneka

Mesin I dan mesin II masing-masing beroperasi 8 jam per hari. Jika pabrik tersebut menjual boneka Si Unyil dan

boneka Pak Ogah dengan keuntungan masing-masing Rp10.000,00 dan Rp8.500,00 per buah, buatlah model

matematika dari permasalahan ini agar pabrik tersebut dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!

3. Seorang pedagang sepatu mempunyai modal Rp8.000.000,00. Ia merencanakan membeli dua jenis sepatu,

sepatu pria dan sepatu wanita. Harga beli sepatu pria adalah Rp20.000,00 per pasang dan sepatu wanita harga

belinya Rp16.000,00. Keuntungan dari penjualan sepatu pria dan sepatu wanita berturut-turut adalah

Rp6.000,00 dan Rp5.000,00. Mengingat kapasitas kiosnya, ia akan membeli sebanyak-banyaknya 450 pasang

sepatu. Buatlah model matematika yang sesuai dengan permasalahan ini!

4. Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak-banyaknya 240 orang. Penumpang kelas utama dapat

membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi seberat 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat memuat bagasi

paling banyak 7.200 kg. Harga sebuah tiket kelas utama Rp 200.000,00 dan sebuah tiket kelas ekonomi Rp

100.000,00. Harapan pengelola kapal untuk dapat memperoleh harga jual tiket yang setinggi-tingginya. Buatlah

model matematikanya!

5. Seorang pengusaha sepeda ingin membeli sepeda balap dan sepeda gunung sebanyak 25 buah untuk persediaan.

Harga sebuah sepeda balap Rp350.000,00 dan sepeda gunung Rp700.000,00. Modal yang tersedia

Rp15.000.000,00. Jika tiap sepeda balap didapat untung Rp5.000,00 dan untuk tiap sepeda gunung untung

Rp50.000,00, tunjukkan model matematikanya (misal sepeda balap: x, sepeda gunung: y)!


Jawaban salah 1






Kunci Jawaban:

1. Misal: roti manis : x

roti tawar : y

Model matematikanya:

2. Misal: Boneka si unyil : x

Boneka Pak Ogah : y


3. Misal: sepatu pria = x; sepatu wanita = y

Sepatu pria Sepatu w anita Kapasitas/modalBanyaknya 1 1 450Harga beli 20.000 16.000 8.000.000

Keuntungan 6.000 5.000

Karena kapasitas kios tidak lebih dari 450 pasang sepatu dan pedagang tersebut hanya memiliki modal

Rp8.000.000,00, maka didapat pertidaksamaan (model matematika) sebagai berikut,

x + y 450 .... (1)

20.000x + 16.000y 8.000.000

5x + 4y 2.000 .... (2)

X 0 .... (3)

Y 0 .... (4)

(x, y) = 6.000x + 5.000y

4. Misal: Kelas utama: x

Kelas ekonomi: y


Fungsi objektif f(x, y) = 200.000x + 100.000y.

5.

Fungsi sasaran f(x, y) = 5000x + 50000y.






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002





Semester : Gasal




1. Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linear.

2. Kompetensi Dasar : 2.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear

dan penafsirannya.

3. Indikator : a. Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif.

b. Menafsirkan solusi dari masalah program linear.

4. Tujuan Pembelajarana. Pertemuan ke-16 dan 17

Siswa mampu menentukan nilai optimum dari fungsi objektif.

b. Pertemuan ke-18 dan 19Siswa mampu menafsirkan solusi dari masalah program linear.

5. Materi Pembelajarana. Nilai Maksimum dan Minimum dalam Daerah Penyelesaian

1) Metode Uji Titik Pojok

Nilai optimum bentuk objektif terletak pada salah satu titik pojok daerah penyelesaiannya. Oleh karena itu,

untuk menentukan nilai optimum sebuah fungsi dapat dilakukan dengan menyubsitusikan titik-titik pojok

daerah penyelesaian ke fungsi objektifnya.

Jika yang menjadi tujuan adalah nilai minimum, maka nilai terkecil merupakan penyelesaian. Jika yang

menjadi tujuan adalah nilai maksimum, maka nilai terbesar merupakan penyelesaian.

Langkah-langkah menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan metode uji titik pojok:

1) Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.

2) Tentukan titik-titik pojok dan daerah penyelesaian itu.

3) Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.

4) Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari

fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).

2) Metode Garis Selidik

Untuk menentukan nilai optimum fungsi f(x, y) = ax + by dengan garis selidik, digunakan langkah sebagai

berikut.

1) Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear.

2) Gambarlah garis selidik ax + by = k.

3) Buatlah garis-garis yang sejajar dengan garis selidik tersebut, sehingga melalui titik-titik pojok daerah

penyelesaiannya.

4) Tentukan nilai optimum.


Nilai maksimum adalah nilai k garis selidik yang letaknya paling jauh dari titik pangkal dan nilai

minimum adalah nilai k garis selidik yang letaknya paling dekat dari pangkal. Nilai k diperoleh dengan

menyubstitusikan titik yang dilalui garis selidik ke fungsi objektifnya.

Contoh:

Tentukan nilai maksimum dan minimum bentuk objektif x + 2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x

0, y 0, 2x + y 8, dan x + 3y 9 untuk x, y R.

Jawab:

x 0 4 x 0 9y 8 0 y 3 0

(x, y) (0, 8) (4, 0) (x, y) (0, 3) (9, 0)

2x + y = 8 x + 3y = 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 00

123456789

y

x

P

x + 2 y = 0

x + 2y = 2

x + 2 y = 4

x + 2y = 7

Untuk menentukan nilai maksimum bentuk objektif x + 2y dapat dilakukan dengan cara membuat garis-garis

sejajar dengan x + 2y = k, untuk x R. Kita selidiki beberapa garis sebagai berikut.

- Untuk k = 0 diperoleh garis yang melalui titik pangkal, yaitu x + 2y = 0, yang memberikan nilai minimum

nol dari x + 2y.

- Untuk k = 2 diperoleh garis memotong daerah penyelesaian.

- Untuk menentukan nilai maksimum bentuk objektif x + 2y dapat dilakukan dengan cara membuat garis

yang sejajar dengan garis x + 2y = 0, melalui P di titik yang terujung dan daerah penyelesaian yang

mungkin. Garis yang dicari adalah x + 2y = 7. Jadi, nilai maksimum dari bentuk objektif x + 2y adalah 7.

c. Langkah-langkah Menyelesaikan Program Linear1) Buatlah model matematikanya (sistem pertidaksamaan).

2) Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika tersebut.

3) Tentukan nilai optimumnya, yaitu maksimum dan minimum dengan menggunakan rumus pada fungsi tujuan

f(x, y) = ax + by.

4) Membuat kesimpulan.

Contoh:Seorang agen sepeda ingin membeli dua jenis sepeda untuk persediaan. Setiap sepeda jenis biasa harganya

Rp 150.000,00 dan jenis sepeda balap harganya Rp 200.000,00. Sepeda yang dibeli paling banyak 25 buah

dan modal yang tersedia Rp 4.200.000,00. Laba yang diperoleh tiap sepeda biasa Rp 68.000,00 dan sepeda

balap Rp 70.000,00.

Tentukan:

1) Model matematikanya.

2) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan.

3) Fungsi tujuan atau sasaran serta nilai optimumnya.

4) Nilai keuntungan maksimum.

Jawab:Misal: sepeda biasa: x dan sepeda balap: y


a. Model matematika x 0 ; y 0 ; x + y 25 ; 150.000x + 200.000y 4.200.000 15x + 20y 420

b.

2825

x + y = 25

Himpunan penyelesaian

15x + 20y = 420

21

25

0

C

y

x

B (16, 9)

Koordinat titik pojok O (0, 0), A (25, 0), C (0, 21) , B( 16, 9).

c. Fungsi sasaran f(x, y) = 68.000x + 70.000y

Nilai optimumTitik Pojok Fungsi Sasaran 68.000x + 70.000y Nilai

O(0, 0) 68.000(0) + 70.000(0) 0

A(25, 0) 68.000(25) + 70.000(0) 1.700.000

B(16, 9) 68.000(16) + 70.000(9) 1.718.000 Maksimum

C(0, 21) 68.000(0) + 70.000(21) 1.470.000

Jadi, nilai maksimum Rp 1.718.000,00.

Dengan laba Rp 1.718.000,00 terjual 16 buah sepeda biasa dan 9 buah sepeda balap.



8. Kegiatan Pembelajaran (Langkah-Langkah Pembelajaran)Pertemuan ke-16 dan 17a. Kegiatan awal



b.. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan nilai optimum dari fungsi objektif.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan nilai optimum dari fungsi objektif.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir


Pertemuan ke-18 dan 19a. Kegiatan awal



b. Kegiatan Inti


1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menafsirkan solusi dari masalah program linear.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menafsirkan solusi dari masalah program linear.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir




c. Contoh instrumen:

Tes tertulis

Seorang penjahit mempunyai 120 m bahan wol dan 80 m bahan katun. Penjahit akan membuat dua model

pakaian seragam. Setiap pakaian seragam model I memerlukan 3 m bahan wol dan 1 m bahan katun. Setiap

pakaian seragam model II memerlukan 2 m bahan wol dan 2 m bahan katun.

a. Misalkan, banyak pakaian seragam model I adalah x buah dan banyaknya pakaian seragam model II

adalah y buah, buatlah model matematikanya!

b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan itu!

c. Jika keuntungan yang diharapkan untuk setiap model yaitu Rp30.000,00, tentukan bentuk objektifnya!

d. Berapa masing-masing model harus dibuat agar memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya?

e. Hitunglah keuntungan itu!


Jawaban salah 1





Kunci Jawaban:a. model I x

model II y

Model matematika:

b.


x

60

B(20, 3 0)C (0, 40 )

0 A(40, 0 )80 x

x + 2 y = 803x + 2y = 12 0

Hp

c. f(x, y) = 30.000x + 30.000y

d. O(0, 0) 30.000x + 30.000y 30.000(0) + 30.000(0) = 0

A(40, 0) 30.000(40) + 0 = 1.200.000

B(20, 30) 30.000(20) + 30.000(30) = 1.500.000

C(0, 40) 0 + 30.000(40) = 1.200.000

e. Keuntungan yang terbesar adalah Rp 1.500.000,00.






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002





Semester : Gasal




1. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

2. Kompetensi Dasar : 3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu

matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain.

3. Indikator : a. Mengenal matriks persegi.

b. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks.

c. Menurunkan sifat-sifat operasi matriks persegi melalui contoh.

d. Mengenal invers matriks persegi.


Siswa mampu mengenal matriks persegi dan melakukan operasi aljabar dua matriks.

b. Pertemuan ke-21Siswa mampu menurunkan sifat-sifat operasi matriks persegi dan mengenal invers matriks persegi.

5. Materi Pembelajarana. Pengertian Matriks

Bentuk umum A =

A = (aij) dengan i menunjukkan baris ke-i = 1, 2, 3, ...., m

j menunjukkan kolom ke-j = 1, 2, 3, ...., n

b. Jenis-Jenis Matriks1) Matriks Baris,

Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris, misalnya A = .

2) Matriks KolomRPP Matematika MAN PURWODADI Kelas XII Program IPA 27

Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom, misalnya A = .

3) Matriks PersegiMatriks persegi adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya, misalnya

A = .

4) Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol, misalnya A = .

5) Matriks IdentitasMatriks identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1,

sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0, misalnya I = .

6) Matriks SkalarMatriks skalar adalah matriks persegi yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di

luar elemen diagonalnya sama dengan 0, misalnya K = .

7) Matriks DiagonalMatriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol, misalnya

M = .

8) Matriks Segitiga AtasMatriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol,

misalnya O = .

9) Matriks Segitiga BawahMatriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol,

misalnya R = .

c. Transpose Matriks

Transpose matriks A atau AT adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A

menjadi kolom ke-j dan sebaliknya menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-i. Misalnya:

A = maka AT =

Sifat-sifat matriks transpose adalah sebagai berikut.

(A + B)T = AT + BT

(AT)T = A

(cA)T = c(AT), c adalah konstanta

(AB)T = BTAT

d. Operasi Matriks


1) Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat suatu matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika:

a) ordonya sama,

b) A + B = aij + bpq, untuk i = p dan j = q, (unsur seletak dijumlahkan)

c) A - B = aij – bpq

Contoh:Diketahui matriks berikut.

A = B =

Tentukan: a) A + B b) A - B

Jawab:

a) A + B = + =

b) A - B = - =

2) Perkalian Matriks

Untuk k R, kA = (k aij) untuk setiap i dan j.

Perkalian dua matriks yaitu sebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A

sama dengan banyak baris matriks B. Adapun elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil

kali elemen-elemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks B.

A = dan B =

A x B =

Contoh:

Diketahui A = B = C =

Tentukanlah: 1) AB 2) BA 3) AC

Jawab:

1) AB = = =

2) BA = = =

3) AC = = =







b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan tentang definisi matriks persegi dan menjelaskan cara melakukan operasi aljabar dua

matriks.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang definisi matriks persegi dan melakukan operasi aljabar dua matriks.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menurunkan sifat-sifat operasi matriks persegi dan mengenalkan invers matriks

persegi.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menurunkan sifat-sifat operasi matriks persegi dan invers

matriks persegi.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis

1. Diketahui matriks: A = .

Tentukanlah: a. banyaknya baris dan kolom

b. elemen-elemen pada setiap baris

c. elemen-elemen pada setiap kolom

2. Tentukanlah transpos dari setiap matriks berikut!


a. P = b. Q =

3. Tentukan nilai a dan b dari:

4. Jika matriks B = , carilah f(B), untuk f(x) = x2 + 2x!

5. Carilah matriks X, untuk X2 x 2 dari .


Jawaban salah 1



sempurna

8



Kunci Jawaban:

1. a. Banyaknya baris = 4

Banyaknya kolom = 4

b. Elemen-elemen pada baris pertama = 1, 1, -2, 4

Elemen-elemen pada baris kedua = 0, 1, 1, -3

Elemen-elemen pada baris keempat = 3, 1, 2, 5

c. Elemen-elemen pada kolom pertama = 1, 0, 2, 3

Elemen-elemen pada kolom kedua = 1, 1, -1, 1

Elemen-elemen pada kolom keempat = 4, -3, 0, 5

2. dan

3.

a + b = 5 a + b = 5

a - b = 1 + a - b = 1 -

2a = 6 2b = 4

a = 3 b = 2

Jadi, nilai a = 3 dan b = 2.

4. f(B) = B2 + 2B =

= =

5.

=


X = =






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Gasal





2. Kompetensi Dasar : 3.2 Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2

3. Indikator : a. Menentukan determinan matriks 2 x 2.

b. Menentukan invers dari matriks 2 x 2.


Siswa mampu menentukan determinan matriks 2 x 2.

b. Pertemuan ke-23 dan 24Siswa mampu menentukan invers dari matriks 2 x 2.

5. Materi Pembelajarana. Determinan Matriks 2 x 2

Jika A = determinan A ditulis atau determinan A atau

Nilai = ad – bc

Contoh:

Tentukan nilai determinan dari A = .

Jawab:= 4(2) - 1(-1) = 8 + 1 = 9

b. Invers Matriks 2 x 2

Jika AB = I, dikatakan B invers dari matriks A, atau A invers dari matriks B.


Jika A = , invers matriks A ditulis A-1. A ada invers jika l A l 0 (nonsingular).

Invers matriks A = adalah .

Catatan:

1) Jika = 0, A tak punya invers.

2) AA-1 = A-1A = I

Sifat-sifat invers matriks:

1) (A-1)-1 = A

2) (AB)-1 = B-1A-1

3) (AT)-1 = (A-1)T

Contoh:

Tunjukkan bahwa A = dan B = saling invers!

Jawab:Kita harus membuktikan bahwa AB = BA = I2x2

AB = =

BA = =

Perhatikan bahwa bentuk AB = BA = I2 x 2 sehingga dapat dikatakan bahwa A dan B saling invers.






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan determinan matriks 2 x 2.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan cara menentukan determinan matriks 2 x 2.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan invers matriks 2 x 2.


2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan invers matriks 2 x 2.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis

1. Diketahui matriks tentukan:

a. l A l b. Determinan B

2. Jika AB = I dengan B = , tentukan matriks A!

3. Diketahui tentukan:

a. A-1 b. B-1

4. Tentukan determinan dari .

5. Tentukan x, dari = 21.


Jawaban salah 1



sempurna

8



Kunci Jawaban:

1. l A l = 5(1) - 10(2) = 5 - 20 = -15

det B = 2(-1) - 2(-1) = -2 + 2 = 0

2. AB = I

ABB-1 = I x B-1


AI = IB-1

A = B-1

Jadi, A = =

3. a. A-1 = =

b. B-1 = =

4. = 2 + 0 - 30 - (0) = -28

5.

4x + 1 + 24 - (2x + 8 + 6) = 21

4x + 25 - 2x - 14 = 21

2x = 21 - 25 + 14

2x= 10

x = 5






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002





Semester : Gasal





2. Kompetensi Dasar : 3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear

dua variabel.

3. Indikator : a. Menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linear.

b. Menyelesaikan system persamaan linear dua variabel dengan matriks invers.


Siswa mampu menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linear.

b. Pertemuan ke-27 dan 28Siswa mampu menyelesaikan sistem persamaaan linear dua variabel dengan matriks invers.

5. Materi Pembelajarana. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Invers

Sistem persamaan linear

Sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam matriks .

Misalnya A = , B = , dan C = dengan sifat AB = C maka B = A-1C

Contoh:

Tentukan x dan y pada sistem persamaan

Jawab:


=

= = =

Jadi, nilai x = 13 dan y = -32.

b. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Determinan

Sistem persamaan linear

Penyelesaiannya

Dengan : determinan variabel x, : determinan variabel y, dan : determinan utama.






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linear.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linear.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks invers.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan

matriks invers.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir






Tes tertulis1. Tulislah bentuk matriks dari sistem persamaan linear berikut!

a. b.

2. Tentukan nilai x dan y dari persamaan linear dengan menggunakan invers!

3. Tentukan nilai x dan y dari persamaan linear dengan menggunakan determinan!

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari


Jawaban salah 1





Kunci Jawaban:

1. a. b.

2. =

= =

3. x = = = 2 y = = = 1

4. x = = = 2 y = = = 1 z = = = 3


5. x = = y = z =






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Gasal




1. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan

masalah.

2. Kompetensi Dasar : 3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.

3. Indikator : a. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memiliki besaran dan arah.

b. Mengenal vektor satuan.

c. Menentukan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor.

d. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri.

e. Menggunakan rumus perbandingan vektor.


Siswa mampu menjelaskan vector sebagai besaran yang memiliki besaran dan arah dan mengenal vektor

satuan.

b. Pertemuan ke-30Siswa mampu menentukan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan

suatu vektor.

c. Pertemuan ke-31Siswa mampu menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri.

d. Pertemuan ke-32Siswa mampu menggunakan rumus perbandingan vektor.

5. Materi Pembelajaran


a. Pengertian VektorVektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Vektor di bidang dapat dinyatakan sebagai

atau . Vektor di ruang dapat dinyatakan sebagai atau

Secara geometris, vektor di bidang dan di ruang dapat dinyatakan:

2

3 a (2 , 3 )

i

j

Vektor

b

2 3

5

= (2 , 3 , 5 )

i

j

k

Vektor

Panjang vector dinotasikan dengan .

Jika , maka = . Jika , maka = .

Contoh:Tentukan panjang vektor berikut.

1) = (2, -1) 2) = (2, 1, 2)

Jawab:

1)

2)

b. Operasi dalam Vektor1) Penjumlahan Vektor

ba

b

a

b+a

Contoh:

Diketahui dan ,


maka

2) Pengurangan Vektor

b

a b

a

Contoh:

Jika dan , maka

3) Perkalian Vektor

Jika maka

a

a

4Contoh:Diketahui vektor-vektor a = (0, -2, -1), b = (2, 3, 4), dan c = (-3, 0, 3)

Tentukan:

1) a + b 3) c - b 5) (a + b) + c

2) b + c 4) a + 0 6) a + (b + c)

Jawab:1) a + b = (0, -2, -1) + (2, 3, 4)

= (0 + 2, -2 + 3, -1 + 4)

= (2, 1, 3)

2) b + c = (2, 3, 4) + (-3, 0, 3)

= (2 - 3, 3 + 0, 4 + 3)

= (-1, 3, 7)

3) c - b = (-3, 0, 3) - (2, 3, 4)

= (-3 - 2, 0 - 3, 3 - 4)

= (-5, -3, -1)

4) a + 0 = (0, -2, -1) + (0, 0, 0)

= (0 + 0, -2 + 0, -1 + 0)

= (0, -2, -1) = a

5) (a + b) + c = (2, 1, 3) + (-3, 0, 3)

= (2 - 3, 1 + 0, 3 + 3)

= (-1, 1, 6)

6) a + (b + c) = (0, -2, -1) + (-1, 3, 7)

= (0 - 1, -2 + 3, -1 + 7)

= (-1, 1, 6)

c. Pembagian Ruas Garis dalam Ruang


Z

Q

Y

P

X

0

p

R

m

nq

r

Vektor masing-masing vektor posisi titik P, Q, dan R. Titik R terletak antara garis PQ dan membagi ruas

garis PQ, sehingga = atau

Dari = didapat sebagai berikut:

=

=

=

=

=

Contoh:

1) Jika = 3 , tentukan vector posisi r!

Jawab:

Q

O

RP

pr

q

3 1

=

2) Jika , tentukan vektor posisi s!

Jawab:

S

O

QP

ps

q

5

3

= 5 : -3

S =







b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan vektor sebagai besaran yang memiliki besaran dan arah serta mengenal vektor satuan.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang vektor sebagai besaran yang memiliki besaran dan arah serta

mengenal vektor satuan.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menyelesaiakan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan

skalar, dan lawan suatu vektor.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menyelesaiakan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil

kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menggunakan rumus perbandingan vektor.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menggunakan rumus perbandingan vektor.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis

1. Diberikan vektor m = 18i - 12j + 5k

Tentukan: a. Vektor m dalam bentuk kolom.

b. l m l

2. Misalkan . Tentukan komponen dari:

a. a - c b. 7b + c

3. Diberikan m = (2 0 1) dan n = (1 1 2). Tentukan:

a. l m - n l b. l m + n l

4. Diketahui a = (3 2 - 1), b = (1 2 5), dan c = (2 -1 5) adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan C.

Tentukan koordinat titik A, B, dan C.

5. Tentukan koordinat titik R yang terletak pada ruas garis PQ jika P(5, 3, 2), Q(1, 2, 0), dengan

= 1 : 3.


Jawaban salah 1



sempurna

8



Kunci Jawaban:

1. a. m =

b.

2. a. a – c =


b.7 b + c =

3. a. m – n = maka =

b. m + n = maka =

4. a. Titik A(3, 2, -1)

B(1, 2, 5)

C(2, -1, 5)

5. r = = = P

QR

31

Koordinat titik R .






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Gasal





2. Kompetensi Dasar : 3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam

pemecahan masalah.

3. Indikator : a. Menentukan hasil kali skalar dua vektor di bidang dan ruang.

b. Menjelaskan sifat-sifat perkalian scalar dua vektor.


Siswa mampu menentukan hasil kali skalar dua vektor di bidang dan ruang.


b. Pertemuan ke-34Siswa mampu menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor.

5. Materi Pembelajarana. Perkalian Skalar Dua Vektor

O

A

B

a

b

Jika sudut antara vektor a dan b maka atau

Jika dan maka

Contoh:

Diketahui = 6 dan = 10, sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah . Hitunglah perkalian skalar

antara a dan b !

Jawab:

= = 6(10) cos = .

b. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain

O R

P

Qrq

p

Proyeksi vektor p pada q adalah vektor r.

Panjang vektor r adalah (proyeksi skalar).

Contoh:

Diketahui , . Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor ortogonal vektor a pada b!

Jawab:

O

a

br

Proyeksi skalar = = =


Proyeksi vektor ortogonal =






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan hasil kali skalar dua vektor di bidang dan ruang.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan hasil kali skalar dua vektor di bidang dan ruang.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir

Terstruktur (PT) dengan mengerjakan latihan.




b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan tentang sifat-sifat perkalian skalar dua vektor.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang sifat-sifat perkalian skalar dua vektor.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis

1. Diketahui a = dan b = . Tentukan proyeksi vektor a pada b!

2. Diketahui dan . Jika vektor a tegak lurus b, tentukan nilai m!


3. Jika dan , tentukan kosinus sudut antara vektor v dan w!


Jawaban salah 1



sempurna

8



Kunci Jawaban:1. r merupakan proyeksi vektor a pada b

r = = = = =

2. Syarat ab = 0

2m + 10 + 4 = 0

2m = -14

m = -7

3. cos = = =






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Gasal






2. Kompetensi Dasar : 3.6 Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks

dalam pemecahan masalah.

3. Indikator : a. Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang.

b. Melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi.

c. Menentukan persamaan matriks dari transformasi pada bidang.


Siswa mampu memahami arti geometri dari suatu transformasi bidang.

b. Pertemuan ke-36 dan 37Siswa mampu melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi.

c. Pertemuan ke-38Siswa mampu menentukan persamaan matriks dari transformasi pada bidang.

5. Materi Pembelajarana. Pengertian Transformasi

Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membicarakan hal perubahan. Hal-hal yang berubah

adalah kedudukan atau letak ataupun bentuk serta penyajiannya. Perubahan ini didasarkan dengan gambar

dan matriks. Sedangkan objek yang dapat diubah berupa titik, garis, bidang maupun persamaan fungsi. Jenis

transformasi ada empat, yaitu: translasi/pergeseran, refleksi/pencerminan, rotasi/perputaran, dan

dilatasi/perbanyakan.

b. Matriks Transformasi Geometri


Contoh:

1) Translasi T1 = artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan

mentranslasikan titik-titik dari segitiga ABC dengan translasi T1, Anda memperoleh segitiga

sebagai berikut.

A(1, 2)

B(3, 4)

C(-5, 6)

Jadi, bayangan segitiga ABC adalah segitiga dengan titik

2) Tentukan bayangan titik A(2, -1) jika dicerminkan terhadap:

a) sumbu x, c) garis y = x, e) garis x = 6,

b) sumbu y, d) garis y = -x, f) garis y = 8.

Jawab:

a) A(2, -1) (2, 1) d) A(2, -1) (1, -2)

b) A(2, -1) (-2, -1) e) A(2, -1) (10, -1)

c) A(2, -1) (-1, 2) f) A(2, -1) (2, 17)

3) Jika titik A(2, 6) didilatasikan terhadap titik pusat O(0, 0) dengan faktor skala 3, tentukan hasil dari dilatasi

tersebut!

Jawab:

Jadi, hasil dilatasinya .







b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru mendefinisikan arti geometri dari suatu transformasi bidang.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara definisi geometri dari suatu transformasi bidang.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan tentang cara melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi, refleksi, dilatasi,

dan rotasi.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi,

refleksi, dilatasi, dan rotasi.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan persamaan matriks dari transformasi pada bidang.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan persamaan matriks dari transformasi pada

bidang.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir






Tes tertulis

1. Jika persamaan garis 2x - y + 6 = 0 ditranslasikan oleh T = , tentukan bayangannya!

2. Tentukan persamaan bayangan garis x - 3y = 5 jika direfleksikan terhadap:

a. sumbu x b. garis y = -x c. garis y = x

3. Jika persamaan garis 2x + y + 3 = 0 dirotasikan dengan pusat O sebesar 90o, tentukan bayangan

garis tersebut!

4. Diketahui segi empat ABCD dengan titik sudut A(3, 1), B(6, 2), C(5, 4), dan D(1, 5). Tentukan

bayangan segi empat ABCD yang digeser oleh T = !

5. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(-5, 2), dan C(0, 5) yang direfleksikan

terhadap garis y = -x, kemudian gambarkan hasil bayangan segitiga ABC tersebut!


Jawaban salah 1



sempurna

8



Kunci Jawaban:1. = x + 4 maka x = - 4

= y + 3 y = - 3

Hasil bayangannya: 2x - y + 6 = 0 adalah 2x – y + 1 = 0

2. a. Hasil bayangan x + 3y = 5

b. Hasil bayangannya 3x - y = 5

c. Hasil bayangannya -3x + y = 5

3. Bayangannya -x + 2y + 3 = 0

4. A(3, 1) (7, -1)

B(6, 2) (10, 0)

C(5, 4) (9, 2)

D(1, 5) (5, 3)

5. A(1, 2) (-2, -1)


B(-5, 2) (-2, 5)

C(0, 5) -5, 0)

B’C

AB

C ’A’

x

y = -x

y






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002





Semester : Gasal




1. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan

masalah.

2. Kompetensi Dasar : 3.7 Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks

transformasinya.

3. Indikator : a. Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi.

b. Menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi pada bidang.


Siswa mampu menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi.

b. Pertemuan ke-41 dan 42Siswa mampu menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi pada bidang.

5. Materi Pembelajarana. Pengertian Komposisi Transformasi

Transformasi T1 dilanjutkan T2 memetakan titik P(x, y) , yang dapat dituliskan:

T2 o T1 : P(x, y)

T2 o T1 disebut komposisi transformasi atau komposisi majemuk.

T2 o T1 dibaca T2 komposisi T1.

b. Komposisi Dua Translasi Berurutan

P l

P P l l

T1 T2

T o T2 1

Dua translasi (T2 o T1) (x, y), dengan T1 = dan T2 = dapat dinyatakan transformasi tunggal

T = .

Jadi, (T2 o T1) (x, y) = T(x, y) =


Sifat komposisi dua translasi berurutan bersifat komutatif (T1 o T2) (x, y) = (T2 o T1) (x, y).

c. Komposisi Dua Refleksi Berurutan1) Refleksi Terhadap Dua Sumbu yang Sejajar dengan Sumbu X

2) Refleksi Terhadap Dua Sumbu yang Sejajar dengan Sumbu Y

3) Refleksi Terhadap Sumbu yang Saling Tegak Lurus

4) Refleksi Terhadap Dua Sumbu yang Berpotongan

Pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi yang bersifat sebagai

berikut:

a) Titik potong sumbu l dan sumbu k merupakan pusat rotasi.

b) Besar sudut sama dengan dua kali sudut yang dibentuk oleh kedua sumbu pencerminan (sumbu l dan

sumbu k).

c) Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

d) Jika ml gradien sumbu l dan mk gradien sumbu k, besar sudut kedua sumbu:

tg = , sudut antara kedua sumbu

Untuk : M1 pencerminan terhadap sumbu l. M2 o M1 = rotasi [T, 2]

M2 pencerminan terhadap sumbu k.

Keterangan: T : titik potong kedua sumbu.

: sudut antara kedua sumbu.

5) Komposisi Dua Rotasi yang Sepusat

Jika R1 = R[O, o] dan R2= R[O, o]

maka R2 o R1 = R[O, ()o]

= x cos () - y sin ()

= x sin () + y cos ()

Contoh:

Tentukan bayangan titik A(4, -6) jika dirotasikan 70o dilanjutkan dengan rotasi -40o dengan pusat O!

Jawab:

= 70o, = -40o , + = 70o - 40o = 30o

= 4 cos 30o - (-6) sin 30o = 4 sin 30o + (-6) cos 30o

= 4 x + 6 x = = =

Jadi, bayangannya







b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa

transformasi.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan tentang cara menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi pada bidang.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi

pada bidang.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis

1. T1 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y = -x. T2 adalah transformasi perputaran setengah

putaran terhadap titik asal. Tentukan bayangan titik P(3, -5) yang ditransformasikan terhadap T1 dan

dilanjutkan terhadap T2!

2. Tentukanlah persamaan bayangan dari garis 3x - y + 2 = 0 oleh refleksi terhadap garis y = x dilanjutkan

dengan rotasi 90o terhadap O.

3. Titik P(x, y) direfleksikan terhadap y = x menghasilkan bayangan titik Q. Kemudian diputar 90 o dengan

titik pusat O, sehingga bayangan akhirnya adalah R(1, -2).

Tentukan: a. koordinat titik P b. koordinat titik Q.


Jawaban salah 1






Kunci Jawaban:

1. M1 =

Transformasi T2 o T1 :

P” = =

Jadi, bayangan akhir titik P(3, -5) terhadap transformasi T1 dan T2 adalah (-5, 3).

2.

= =

Jadi, persamaan garisnya: 3(-x) - y + 2 = 0 atau -3x - y + 2 = 0.

3.

Q (y, x) = =

Titik R(1, -2) = R(-x, y)

-x = 1 y = -2

x = -1

Jadi, titik P(-1, -2) dan Q(-2, -1).






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002





Semester : Genap




1. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.

2. Kompetensi Dasar : 4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri.

3. Indikator : a. Menjelaskan arti barisan dan deret.

b. Menemukan rumus barisan dan deret aritmatika.

c. Menemukan rumus barisan dan deret geometri.

d. Menghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmatika dan deret geometri.


Siswa mampu menjelaskan arti barisan dan deret.

b. Pertemuan ke-44Siswa mampu menemukan rumus barisan dan deret aritmatika.

c. Pertemuan ke-44Siswa mampu menemukan rumus barisan dan deret geometri.

d. Pertemuan ke-45Siswa mmapu menghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmatika dan deret geometri.

5. Materi Pembelajarana. Pola Bilangan

Pola bilangan sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada suatu perjamuan ketika belum ada

tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan. Jika satu tamu datang, maka terjadi 1 kali jabat

tangan, jika kemudian ada 1 tamu lagi datang (3 orang di ruangan), maka terjadi 3 kali jabat tangan. Jika

selanjutnya di dalam ruangan 4 orang, maka terjadi 6 jabat tangan. Dari cerita di atas, bagaimana pola bilangan

dalam kasus di atas? Berapa banyak jabat tangan bila sudah ada tamu sebanyak 10 orang?

Jawab:

Banyak orang Banyak jabat tangan

1 0 = 02 0 + 1 = 13 0 + 1 + 2 = 34 0 + 1 + 2 + 3 = 6… …n 0 + 1+ 2 + … + n - 1

Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah = 11 orang di ruangan itu.

Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali jabat tangan.


b. Barisan BilanganBarisan bilangan adalah susunan bilangan-bilangan yang memiliki aturan tertentu dan dipisahkan dengan

koma.

Misalnya: U1, U2, U3, U4, ...

Keterangan: U1 disebut suku ke-1, sering ditulis a.

U2 disebut suku ke-2, U3 disebut suku ke-3, dan seterusnya.

Contoh:

1) Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya dirumuskan dengan Un = 2n + 9!

Jawab:Un = 2n + 9

U1 = 2(1) + 9= 11

U2 = 2(2) + 9= 13

U3 = 2(3) + 9= 15

Jadi, tiga suku pertama : 11, 13, 15.

2) Suku umum ke-n dari suatu barisan ditentukan oleh Un = 4n2 - 3n.

a) Tentukan suku ke-8

b) Suku ke berapakah yang nilainya sama dengan 10?

Jawab:

1) Un = 4n2 - 3n

U10 = 4(8)2 - 3(8) = 232

2) 10 = 4n2 - 3n

4n2 - 3n - 10 = 0

(n - 2)(4n + 5) = 0

n = 2 atau n = (tidak mungkin)

c. Barisan AritmatikaBarisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Bentuk umum:

U1, U2, U3, ..., Un atau a, (a + b), (a + 2b), ..., (a + (n - 1)b)

Beda suku ke-n dengan suku sebelumnya pada barisan aritmetika adalah Un - Un - 1 = 1.

Pada barisan aritmetika, berlaku Un - Un - 1 = b sehingga Un = Un - 1 + b.

Contoh:1) Barisan 15, 20, 25, 30, ... bedanya adalah 20 - 15 = 25 - 20 = 30 - 25 = 5

2) Barisan 10, 6, 2, -2, ... bedanya adalah 6 - 10 = 2 - 6 = -2 - 2 = -4

3) Barisan 6, 4, 2, ... bedanya adalah 4 - 6 = 2 - 4 = -2

Rumus suku ke-n barisan aritmatika:

Un = a + (n - 1)b

di mana Un : suku ke-n, b : beda, a : suku pertama, n : banyaknya suku

Contoh:


1) Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-10 dari barisan 4, 7, 10,13, ...!

Jawab:Suku pertama adalah 4

bedanya adalah 7 - 4 = 3

Suku ke-10 adalah:

Un = a + (n - 1)b

U10 = 4 + (10 - 1)3

= 4 + 9(3)

= 31

Jadi, suku ke-10 adalah 31.

2) Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4 sama dengan 20 dan suku ke-10 sama dengan 68.

Tentukan beda barisan tersebut dan suku ke-15!

Jawab :U4 = 20 dan U10 = 68

U10 = U4 + 6b 68 = 20 + 6b

48 = 6b

b = 8

U15 = U10 + 5b U15 = 68 + 5 x 8

U15 = 108

3) Diketahui barisan 5, -2, -9, -16, ... tentukan:

a) rumus suku ke-n

b) suku ke-25

Jawab:Selisih dua suku berurutan pada barisan 5, -2, -9, -16, ... adalah tetap, yaitu b = -7 sehingga barisan

bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.

a) Rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah:

a + (n - 1)b

Un = 5 + (n - 1)(-7)

= 5 - 7n + 7

= 12 - 7n

b) Suku ke-25 barisan aritmetika tersebut adalah

U25 = 12 - 7(25)

= 12 - 175

= -163

d. Deret AritmatikaApabila suku-suku suatu barisan aritmetika dijumlahkan disebut deret aritmetika. Jumlah n suku dari deret

tersebut disebut sebagai Sn.

Jadi: Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un

Sn = n (a + Un)

Contoh:1) Diketahui deret aritmetika 4 + 8 + 12 + 16 + ...


a) Tentukan rumus jumlah n suku pertama

b) Hitung jumlah 25 suku pertama

Jawab:Diketahui a = 4

b = 8 - 4 = 4

1) Sn = (2a + (n - 1)b) 2) Sn = (4 + 4n)

= (24 + (n - 1)4) S25 = (4 + 4 25)

= (8 + 4n - 4) = (104) = 1300

= (4 + 4n)

2) Tentukan p jika 2 + 4 + 6 + ... + p = 930

Jawab:

a = 2 Sn = (a + Un)

b = 2 930= (2 + p)

Sn = 930 3720 = 2p + p2

Un = a + (n - 1)b p2 + 2p - 3720 = 0

p = 2 + (n - 1)2 (p + 62)(p - 60) = 0

p = 2 + 2n - 2 p = -62 atau p = 60

p= 2n n = Jadi, p = 60.

2) Diketahui suatu barisan aritmetika dengan jumlah n suku pertama dinyatakan dengan Sn = 2n2 – n.

Tentukan besar suku ke-5 deret tersebut!

Jawab :

U5 = S5 – S4 = (2 x 52 – 5) – (2 x 42 – 4)

= 2 x 52 – 2 x 42 – 5 + 4 = 2 x 9 – 1 = 17

e. Barisan GeometriSuatu barisan bilangan dengan perbandingan dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan). Barisan bilangan

yang memiliki ciri seperti itu disebut barisan geometri dan perbandingan dua suku yang berurutan itu disebut

pembanding atau rasio dilambangkan dengan huruf r. Secara umum barisan geometri dapat dirumuskan

sebagai berikut: suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un disebut barisan geometri jika untuk tiap nilai n bilangan asli

berlaku dengan r suatu tetapan yang tidak tergantung pada n.

Rumus suku ke-n barisan geometri adalah: Un = arn - 1

Keterangan:

a : suku ke-1 (pertama), Un : suku ke-n, r : rasio, n : banyaknya suku

Contoh:RPP Matematika MAN PURWODADI Kelas XII Program IPA 61

1) Carilah suku pertama, rasio, dan rumus suku ke-n dari tiap barisan: 6, 18, 54, ...

Jawab:

a = 2, r =

Un = arn - 1

Un = 2 x 3n – 1

Un =

2) Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, ...

Tentukan: a) rumus suku ke-n

b) suku ke-8

Jawab:

Rasio dua suku berurutan pada barisan 27, 9, 3, 1, ... adalah tetap, yaitu r = sehingga barisan bilangan

tersebut merupakan barisan geometri.

1) Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah:

Un = = 33(3-1)n - 1= 33 x 3-n + 1 = 34 - n

2) Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah:

U8 = 34 - 8 = 3-4 =

f. Deret GeometriApabila suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka diperoleh deret ukur (geometri).

Sn = , untuk r < 1

Sn = , untuk r > 1

Contoh:

1) a = 2 dan r =

Sn =

510 =

510 = 2(2n - 1)

225 = 2n - 1

256 = 2n

n = 8

2) Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah

jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut!

Jawab:U2 = 8 berarti ar = 8


U5 = 64 berarti ar4 = 64

ar r3 = 64

8r3 = 64

r3 = 8

Didapat r = 2

Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan ar = 8, Anda mendapatkan a 2 = 8 sehingga a = 4.

Jumlah n suku pertama:

Sn = = = 4 2n – 4 = 22 2n – 4 = 2n + 2 - 4

Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah:

S10 = 22 + 10 - 4= 212 - 4= 4096 - 4=4092

3) Aditya memotong seutas tali menjadi 5 potong. Panjang kelima potong tali ini membentuk barisan geometri.

Jika potongan yang paling pendek 2 cm dan potongan yang paling panjang 162 cm, berapakah panjang tali

semula?

Jawab:Panjang potongan yang paling pendek merupakan U1, sedangkan panjang potongan yang paling panjang

merupakan U5.

Jadi, U1 = 2 cm dan U5 = 162 cm

Dari U1 = 2 cm didapat a = 2 cm

Dari U5 = 162 cm didapat ar4 = 162 cm

Oleh karena a = 2 cm, maka 2 r4 = 162 cm

Didapat r4 = 81

Jadi, r = 3

Panjang tali semula merupakan jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut, yaitu:

S5 =

Jadi, panjang tali semula adalah 242 cm.






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan arti barisan dan deret.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang arti barisan dan deret.

3) Konfirmasi



c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menemukan rumus barisan dan deret aritmatika.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menemukan rumus barisan dan deret aritmatika.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menemukan rumus barisan dan deret geometri.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menemukan rumus barisan dan deret geometri.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmatika dan deret geometri.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmatika dan

deret geometri.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis


1. Suku kesepuluh dari barisan aritmetika adalah 41. Jika suku ketujuhnya adalah 29, tentukan suku pertama

dan bedanya!

2. Dari suatu barisan aritmetika U2 + U7 = 26 dan U5 + U3 = 22, tentukan besarnya suku ke-10 dan suku ke-

50!

3. Nilai suatu deret aritmetika hingga n suku pertama ditentukan dengan rumus Sn = 4n2 - 3n.

Tentukan: a. rumus suku ke-n pada deret tersebut

b. suku ke-20

4. Pada suatu deret aritmetika diketahui bahwa S4 = 38 dan S10 = 185.

a. Tentukan suku pertama deret tersebut!

b. Tentukan nilai S15!

5. Suatu deret geometri rumus suku umumnya Un = 2 3n - 1. Tentukan jumlah lima suku pertamanya!


Jawaban salah 1



sempurna

8



Kunci Jawaban:1. U10 = 41, U7 = 29

41 = a + 9b .... (i)

29 = a + 6b .... (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh a = 5, b = 4

suku pertama adalah 5 dan bedanya 4.

2. U2 + U7 = 26 a + 4b = 13 ... (i)

U5 + U3 = 22 a + 3b = 11 ... (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh a = 5, b = 2

Un = 2n + 3 U10 = 23 dan U50 = 103.

3. Un = Sn - Sn - 1 - (4(n - 1)2 - 3(n - 1))

= (4n2 - 3n)

= 4n2 - 3n - (4(n2 - 2n + 1) - 3n + 3)

= 4n2 - 3n - 4n2 + 8n - 4 + 3n - 3

= 8n - 7

a. a = U1 = 8(1) - 7 = 1

b. U1 = 1,U2 = 9 b = 8

U20=1 + (19)8 = 153

4. a =

b.S15=


5. Un = 23n - 1

Lima suku pertamanya 2, 6, 18, 54, 162.

Jumlah lima suku pertamanya = 242






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Genap





2. Kompetensi Dasar : 4.2 Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam

pembuktian.

3. Indikator : a. Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma.

b. Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian.


Siswa mampu menuliskan suatu deret dengan notasi sigma.

b. Pertemuan ke-48 dan 49Siswa mampu menggunakan induksi matematika dalam pembuktian.

5. Materi Pembelajarana. Notasi Sigma

Jumlah suatu deret aritmetika dan geometri (Sn) dapat ditulis dalam notasi sigma, yaitu:

Sn =

Untuk deret aritmetika:

Sn = = a + (a + b) + ... + (a + (n - 1)b)

Untuk deret geometri:


Sn = = a + ar + ar2 + ... + arn - 1

b. Sifat-Sifat Notasi Sigma

1) = 4) =

2) = , k konstanta 5) =

3) = nk, k konstanta 6) =

c. Induksi MatematikaInduksi matematika merupakan cara pembuktian dalam matematika. Untuk membuktikannya Anda dapat

menggunakan induksi matematika yang telah Anda pelajari di kelas X. Adapun langkah dan pembuktian

sebagai berikut.

Pembuktian dengan induksi matematika.

Misalkan dibuktikan S(n) berlaku untuk n A.

Langkah 1 : Benar untuk n = 1 atau S(1) bernilai benar.

Langkah 2 : Benar untuk n = k, maka S(n) juga benar untuk n = k + 1 atau jika S(k) benar

maka S(k + 1) benar.

Contoh:Jumlah deret n bilangan asli genap pertama ditentukan dengan rumus:

2 + 4 + 6 + ... + 2i = . Buktikan rumus tersebut dengan menggunakan induksi matematika!

Jawab:

Misalkan S(n) adalah

Harus dibuktikan bahwa rumus ini berlaku untuk semua n bilangan asli.

Langkah 1:

Untuk n = 1

*) Bagian ruas kiri diperoleh

*) Bagian ruas kanan diperoleh (1)2 + 1 = 2

Jadi, S(n) benar untuk n = 1 atau S(1) benar.

Langkah 2:

Andaikan S(n) benar untuk n = k, maka diperoleh hubungan

Maka untuk n = k + 1 harus dibuktikan:

Bukti:

(ruas kiri)

=

= (k2 + k) + 2(k + 1)


= (k2 + 2k + 1) + (k + 1)

= (k + 1)2 + (k + 1) (ruas kanan)

Jadi, jika S(n) benar untuk n = k, maka S(n) juga benar untuk n = k + 1. Dengan demikian, terbukti bahwa

benar atau berlaku untuk semua n bilangan asli.






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menuliskan suatu deret dengan notasi sigma.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menuliskan suatu deret dengan notasi sigma.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menggunakan induksi matematika dalam pembuktian.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menggunakan induksi matematika dalam pembuktian.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis1. Hitunglah jumlah-jumlah berikut!

a. b.

2. Tulislah notasi sigma berikut dengan batas bawah 3!

a. b.


3. Dengan menggunakan induksi matematika, buktikan bahwa berlaku untuk semua n

bilangan asli!

Norma Penilaian:

Jawaban kosong 0

Jawaban salah 1





Kunci Jawaban:

1. a. = 33 + 53 + 73 + 93 = 1224

b. = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

2. a =

b.

3.

Bukti dengan induksi matematika:

*) n = 1

ruas kiri 4i = 4

ruas kanan 2 12 + 2 1 = 4

Jadi, S(n) benar.

*) Misal benar untuk n = k + 1

= 2k2 + 2k

*) untuk n = k + 1 harus dibuktikan

= 2(k + 1)2 + 2(k + 1)

=

= 2k2 + 2k + 4(k + 1)

= 2k2 + 6k + 2

= 2k2 + 4k + 2 + 2k + 2

= 2(k + 1)2 + 2(k + 1)







NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Genap





2. Kompetensi Dasar : 4.3 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret.

3. Indikator : a. Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret.

b. Merumuskan model matematika dari masalah deret.


Siswa mampu mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret.

b. Pertemuan ke-52 dan 53Siswa mampu merumuskan model matematika dari masalah deret.

5. Materi Pembelajarana. Bilangan-bilangan yang Membentuk Barisan Aritmetika

Bilangan-bilangan yang membentuk barisan aritmetika:

1) Jika tiga bilangan: a, b, c dalam urutan ini membentuk barisan aritmetika, maka terdapat hubungan:

2b = a + c atau 2(suku tengah) = jumlah suku tepi

2) Jika empat bilangan: a, b, c, d dalam urutan ini membentuk barisan aritmetika, maka terdapat hubungan:

b + c = a + d atau jumlah dua suku tengah = jumlah suku tepi

Memisalkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan aritmetika:


1) Tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika dapat dimisalkan: a, a + b, a + 2b atau a - b, a, a + b.

2) Lima bilangan yang membentuk barisan aritmetika dapat dimisalkan: a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b atau a -

2b, a - b, a, a + b, a + 2b.

3) Empat bilangan yang membentuk barisan aritmetika dapat dimisalkan: a, a + b, a + 2b, a + 3b atau a - 3b, a

- b, a + b, a + 3b.

Contoh:Lima bilangan bulat positif membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 30 dan hasil kalinya 3840, tentukan

bilangan tersebut.

Jawab:bilangan: I : a - 2b

II : a - b

III : a Jika dijumlahkan hasilnya 30 maka:

IV : a + b

V : a + 2b

a - 2b + a - b + a + a + b + a + 2b = 30

a = 6

Jika hasilnya 3840 maka:

(a - 2b)(a - b)(a)(a + b)(a + 2b) = 3840

a(a2 - b2)(a2 - 4b2) = 3840

6(62 - b2)(62 - 4b2) = 3840

6(36 - b2)(36 - 4b2) = 3840

(36 - b2) 4(9 - b2) = 640

(36 - b2)(9 - b2) = 160

Misal b2 = p di mana p > 0 maka diperoleh:

(3b - p)(9 - p) = 160

p2 - 45p - 164 = 0

(p - 41)(p - 4) = 0

untuk p = 41 maka b = (tidak digunakan)

untuk p = 4 maka b = 2 atau -2

Jadi, bilangan-bilangan itu adalah (a - 2b), (a - b), (a), (a + b), (a + 2b) = 2, 4, 6, 8, 10.

b. Bilangan-bilangan yang Membentuk Barisan Geometri

Jika tiga bilangan : a, b, c, membentuk barisan geometri maka berlaku b2 - ac. Jika empat bilangan: a, b, c, d,

membentuk barisan geometri berlaku bc = ad.

Contoh:Tentukan k apabila 2k - 5, k - 4, dan 10 - 3k membentuk barisan geometri.

Jawab:Misalkan a = 2k - 5, b = k - 4, dan c = 10 - 3k maka syarat:

b2 = ac

(k - 4)2 = (2k - 5)(10 - 3k)

k2 - 8k + 16 = 20k - 6k2 - 50 + 15k

k2 - 8k + 16 = -6k2 + 35k - 50

7k2 - 43k + 66 = 0

(7k - 22)(k - 3) = 0


k = atau k = 3

Jadi, k = 3 atau k =

c. Merancang dan Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Deret

Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan barisan dan

deret. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi karakteristik masalah apakah berhubungan

dengan barisan atau deret. Selanjutnya dikerjakan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1) Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel dalam barisan atau deret. Variabel-variabel ini

dilambangkan dengan huruf-huruf, misalnya a sebagai suku pertama, b sebagai beda, dan r sebagai rasio.

2) Rumuskan barisan atau deret yang merupakan model matematika dari masalah.

3) Tentukan penyelesaian dari model matematika yang diperoleh pada langkah 2.

4) Tafsirkan hasil yang diperoleh terhadap masalah semula.

Contoh:1) Andi berhasil diterima di salah satu perguruan tinggi negeri. Sebagai mahasiswa, mulai 1 Januari 2000 dia

menerima uang saku sebesar Rp1.000.000,00 untuk satu triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya, uang

saku yang diterima dinaikkan sebanyak Rp200.000,00. Berapa besar uang saku yang akan diterima Andi

pada awal 2002?

Jawab:Soal di atas berkaitan dengan deret aritmetika

a = 1.000.000,00

b = 200.000

Triwulan ke-1, U1 = a = 1.000.000

Triwulan ke-2, U2 = a + b

= 1.200.000

barisan : 1.000.000, 1.200.000, ...

Rumus umum Un = a + (n - 1)b

= 1.000.000 + (n - 1)200.000

= 800.000 + 200.000n

Pada awal 2002, berarti telah dijalani 2 tahun = 8 triwulan

U8 = 800.000 + 200.000(8)

= 2.400.000

Jadi, jumlah uang yang diterima Andi pada awal 2002 adalah Rp2.400.000,00.

2) Jumlah penduduk di sebuah kota tiap sepuluh tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan pada tahun

2000 nanti akan mencapai 3,2 juta orang. Ini berarti berapa jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950?

Jawab:Soal di atas dapat dipandang sebagai suatu barisan geometri, barisannya adalah:

1950 1960 1970 1980 2000

a 3,2 juta

r = 2

n = 6

U6 = ar5

3,2 juta = a . 25

= 32 a


a = 0,1 juta






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara merumuskan model matematika dari masalah deret.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara merumuskan model matematika dari masalah deret.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis1. Tiga buah bilangan membentuk aritmetika bila dijumlahkan maka hasilnya 18 dan hasil kali ketiga

bilangan adalah 192. Tentukan ketiga bilangan itu!

2. Lima buah bilangan membentuk sebuah deret aritmetika dengan jumlah 70. Apabila jumlah dari 5 kali

bilangan pertama dengan bilangan ketiga adalah 34, tentukan bilangan-bilangan tersebut!

3. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Hasil kali ketiga bilangan 216 dan jumlahnya 21.

Tentukan bilangan-bilangan itu!

4. Jumlah pengunjung perpustakaan di suatu daerah dari tahun 2004 sampai tahun 2009

menunjukkan kecenderungan meningkat dari tahun ke tahun dengan kelipatan perbandingan yang

tetap. Jumlah total pengunjung perpustakaan pada tahun 2004 dan 2005 adalah 80 orang dan


jumlah total pengunjung perpustakaan pada tahun 2004, 2005, 2006, dan 2007 adalah 800 orang.

Tentukan banyak pengunjung perpustakaan pada tahun 2009!

5. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari tempat yang tingginya 1 meter. Setiap kali setelah bola itu

memantul, ia mencapai ketinggian yang sama dengan dua per tiga dari tinggi yang dicapai sebelumnya.

Tentukan panjang lintasan bola itu sampai ia terhenti!


Jawaban salah 1





Kunci Jawaban:1. Misal bilangan itu a - b, a, a + b

a - b + a + a + b = 18

3a = 18

a = 6

Hasil kalinya = 192

(6 - b)6(6 + b) = 192

(6 - b)(6 + b) = 32

36 - b2 = 32

b2 = 4

b = + 2

Untuk a = 6 dan b = 2, barisan bilangan itu adalah 4, 6, 8

Untuk a = 6 dan b = -2 barisan bilangan itu adalah 8, 6, 4.

2. Lima buah bilangan membentuk deret aritmetika:

a - 2b, a - b, a, a + b, a + 2b = 70

5a = 70

a = 14

Bilangan I = a - 2b

= 14 - 2b

Bilangan III = a = 14

5(14 - 2b) + a = 34

5(14 - 2b + 14 = 34

70 - 10b + 14 = 34

50 = 10b

b = 5

Jadi, barisan bilangan tersebut adalah:

14 - 10, 14 - 5, 14, 14 + 5, 14 + 10 = 4, 9, 14, 19, 24.

3. Hasil kali ketiga bilangan 216 dan jumlahnya 21.

Misalkan bilangan-bilangan itu adalah , a, dan ap.

Hasil kalinya 216 maka:

= 216

a3 = 216


a = 6

Jumlahnya 21 maka:

+ a + ap = 21

+ 6 + 6p = 21

6 + 6p + 6p2 = 21p

6p2 - 15p + 6 = 0

2p2 - 5p + 2 = 0

(2p - 1)(p - 2) = 0

p = atau p = 2

Jadi, untuk a = 6 dan p = , maka tiga bilangan itu adalah 12, 6, 3. Untuk a = 6 dan p = 2, maka tiga

bilangan itu adalah 3, 6, 12.

4. Langkah 1:

Diketahui jumlah pengunjung perpustakaan tiap tahun meningkat dengan kelipatan perbandingan yang

tetap sehingga membentuk barisan geometri dengan r > 1.

U1, U2, U3, U4, U5, U6

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Ditanyakan jumlah pengunjung perpustakaan pada tahun 2009.

Langkah 2:Membuat model dari masalah pada soal:

U1 + U2 = 80 ... (1)

U1 + U2 + U3 + U4 = 800 ... (2)

Langkah 3:

Menyelesaikan model yang telah dibentuk.

Dari persamaan (1)

U1 + U2 = 80

S2 = U1 + U2

= 80 ... (3)

Dari persamaan (2)

U1 + U2 + U3 + U4 = 800

S4 = U1 + U2 + U3 + U4

= 800

= 800

= 800

80(r2 + 1) = 800


(r2 + 1) = 10

r2 = 9

r = + 3

Diketahui r > 1 sehingga yang memenuhi adalah r = 3.

Nilai r = 3 disubstitusikan ke persamaan (3)

= 80

= 80

8a = 160

a = 20

Banyak pengunjung pada tahun 2009 (U6) adalah:

U6 = ar6 - 1

= 20 x (3)5

= 20 x 243

= 4.860

Jadi, banyak pengunjung pada tahun 2009 adalah 4.860 orang.

5. Panjang lintasan = bola turun + bola naik

*) Bola turun = = 3

*) Bola naik = = 2

Jadi, panjang lintasan bola adalah 5 m.






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002





Semester : Genap





2. Kompetensi Dasar : 4.4 Menyelesaiakan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret

dan menafsirkan solusinya.

3. Indikator : a. Menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan dengan deret.

b. Memberikan tafsiran terhadapa hasil penyelesaian yang diperoleh.


Siswa mampu menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan dengan deret.

b. Pertemuan ke-56 dan 57Siswa mampu memberikan tafsiran terhadap hasil penyelesaian yang diperoleh.

5. Materi Pembelajaran

Merancang dan Menyelesaikan Model Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Deret


Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan barisan dan deret.

Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi karakteristik masalah apakah berhubungan dengan

barisan atau deret. Selanjutnya dikerjakan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

a. Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel dalam barisan atau deret. Variabel-variabel ini

dilambangkan dengan huruf-huruf, misalnya a sebagai suku pertama, b sebagai beda, dan r sebagai rasio.

b. Rumuskan barisan atau deret yang merupakan model matematika dari masalah.

c. Tentukan penyelesaian dari model matematika yang diperoleh pada langkah 2.

d. Tafsirkan hasil yang diperoleh terhadap masalah semula.

Contoh:Pak Imam meminjam uang di bank sebesar Rp 1.000.000,00 dalam jangka waktu 5 tahun, dengan suku bunga 5%

per tahun.

Hitunglah:

1) Bunga yang diperhitungkan atas pinjaman dari bank tersebut.

2) Jumlah uang yang harus dikembalikan saat pelunasan.

Jawab:Diketahui: M = Rp 1.000.000,00 ; p = 5% ; t = 5 tahun

1) Besarnya bunga I = Mpt

I = Rp 1.000.000,00(5%)5

I = Rp 250.000,00

Jadi, besar bunga selama 5 tahun Rp 250.000,00.

2) Besar uang saat mengembalikan:

Mn = M + I = Rp 1.000.000,00 + Rp 250.000,00

= Rp1.250.000,00

atau

Mn = M(1 + pt)

Mn = Rp 1.000.000,00(1 + 5%(5))

Mn = Rp 1.000.000,00(1 + 0,25)

Mn = Rp 1.000.000,00(1,25)

Mn = Rp 1.250.000,00

Jadi, jumlah uang saat mengembalikan Rp 1.250.000,00.






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan dengan deret.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan

dengan deret.

3) Konfirmasi



c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara memberikan tafsiran terhadapa hasil penyelesaian yang diperoleh.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara memberikan tafsiran terhadap hasil penyelesaian yang

diperoleh.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis1. Seorang petani mencatat hasil panennya selama 11 hari. Jika hasil panen hari pertama 15 dan

mengalami kenaikan tetap sebesar 2 kg setiap hari, maka berapa jumlah hasil panen yang dicatat?

2. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40, maka tentukan sisi

siku-siku yang terpendek!

3. Modal M dibungakan dengan suku bunga majemuk 18% setahun. Setelah 4 tahun modalnya menjadi

Rp1.163.266,67. Hitung besar modal awalnya!

4. Seorang karyawan menyimpan uang di bank setiap awal tahun sebesar Rp18.000,00 dari bulan

Januari 2009 sampai bulan September 2009. Bunga yang diberikan bank sebesar 5% per bulan.

Tentukan nilai akhir simpanan karyawan tersebut!

5. Hutang sebesar Rp200.000,00 akan dilunasi dengan anuitas Rp 10.000,00 per bulan dengan suku bunga

4% sebulan. Hitunglah besarnya angsuran ke-5!


Jawaban salah 1





Kunci Jawaban:1. Panen petani itu merupakan deret aritmetika

S =

= 275

Maka jumlah panen selama 11 hari adalah 275 kg.

2. Misal sisi-sisi segitiga itu adalah x, y, 40

y - x = 40 - y


x = 2y - 40 ... (i)

x2 + y2 = 402 ... (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh x = 24, y = 32

maka sisi-sisi segitiga itu adalah 24 cm, 32 cm, dan 40 cm.

3. M = Rp1.163.266,67

i = 18% per tahun = 0,18 per tahun

n = 4 tahun

NT =

=

= 1.163.266,67 x 0,5157889

= 600.000

Jadi, besarnya modal awal adalah Rp600.000,00.

4. M = Rp18.000,00

n = 9

i = 5% = 0,05 per bulan

NA =

=

=

=

= 208.402,07

Jadi, pada akhir September 2009 jumlah uang menjadi Rp208.402,07.

5. M = 200.000

A = 10.000

i = 4% = 0,04

a5 = ...?

an = (A - iM)(1 + i)n - 1

a5 = (10.000 - 0,04 x 200.000)(1 + 0,04)5 - 1

= 10.000 - 8.000)(1,04)4

= 2.000 x 1,16985856


= 2.339,71712

= 2.339,72

Jadi, besarnya angsuran ke-5 adalah Rp2.339,72.






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Genap




1. Standar Kompetensi : Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma dalam

pemecahan masalah.

2. Kompetensi Dasar : 5.1 Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan

masalah.

3. Indikator : a. Menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma.

b. Menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma.

c. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma.



Siswa mampu menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma.

b. Pertemuan ke-59Siswa mampu menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma.

c. Pertemuan ke-60Siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma.

5. Materi Pembelajarana. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel.

1) Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = 1

Untuk menyelesaiak persamaan eksponen berbentuk af(x) = 1dengan a 0 dan a 1 dapat

menggunakan sifat :

Jika af(x) = 1 af(x) = a0 f(x) = 0

2) Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = ap

Untuk menyelesaikan persamaan dengan bentuk af(x) = ap, a > 1 dan a 1 dapat menggunakan sifat:

Jika af(x) = ap (a > 0 dan a 1), maka f(x) = p

3) Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = ag(x)

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berbentuk af(x) = ag(x) (a > 0 dan a 1 dapat

menggunakan sifat:

Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x)

4) Persamaan Eksponen Berbentuk af(x) = bf(x)

Himpunan penyelesaian persamaan eksponen bentuk af(x) = bf(x) dapat ditentukan dengan menggunakan

sifat:

Jika af(x) = bf(x) (a > 0 dan a 1, b > 0 dan b 1, dan a b) maka f(x) = 0

5) Persamaan Eksponen Berbentuk f(x)g(x) = f(x)h(x)

Dalam menyelesaikan persamaan eksponen bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x) ada ketentuan atau kemungkinan

sebagai berikut.

a) g(x) = h(x)

b) f(x) = 1

c) f(x) = 0, syarat g(x) > 0 dan h(x) > 0

d) f(x) = -1, syarat h(x) dan g(x) keduanya genap atau h(x) dan g(x) keduanya ganjil.

6) Persamaan Eksponen Berbentuk f(x)g(x) = 1

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk f(x)g(x) = 1, menggunakan beberapa kemungkinan sebagai

berikut.

a) f(x) = 1

b) f(x) = -1 , untuk g(x) bilangan genap

c) g(x) = 0, untuk f(x) 0

7) Persamaan Eksponen Berbentuk A[af(x)]2 + B[af(x)] + C = 0

Persamaan bentuk A[af(x)]2 + B[af(x)] + C = 0, langkah berikutnya misalkan af(x) = p, syarat p > 0,

sehingga bentuknya menjadi Ap2 + Bp + C = 0.

8) Persamaan Eksponen Berbentuk f(x)g(x) = h(x)g(x)


Untuk menyelesaikan persamaan eksponen bentuk f(x)g(x) = h(x)g(x), menggunakan beberapa

kemungkinan antara lain,

a) f(x) = h(x)

b) g(x) = 0 syarat untuk x yang diperoleh f(x) 0 dan h(x) 0.

b. Persamaan Logaritma

1) Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog p

Untuk mencari himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog p, digunakan sifat:

Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p asalkan f(x) > 0.

2) Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = alog g(x)

Untuk mencari himpunan penyelesaian alog f(x) = alog g(x) dapat digunakan sifat:

Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) asalkan keduanya positif .

3) Persamaan Logaritma Berbentuk alog f(x) = blog f(x) dengan a b

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma alog f(x) = blog f(x) dengan a b, dapat digunakan sifat:

Jika alog f(x) = blog f(x), a b, maka f(x) = 1

4) Persamaan Logaritma Berbentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma h(x)log f(x) = h(x)log g(x) dapat digunakan sifat:

Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x)

1.

5) Persamaan Logaritma Berbentuk A{alog x}2 + B{alog x} + c = 0

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma bentuk A{alog x}2 + B{alog x} + c = 0 dapat ditentukan dengan

cara mengubah persamaan logaritma itu menjadi persamaan kuadrat dan memisahkan alog x = y sehingga

persamaan menjadi Ay2 + By + c = 0. Nilai yang didapat disubstitusikan ke alog x = y.



8. Kegiatan Pembelajaran (Langkah-Langkah Pembelajaran)Pertemuan ke-58 a. Kegiatan awal



b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi

eksponen dan logaritma.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulisTentukan himpunan penyelesaian dari:

1. 35x : 27x + 7 = 9

2. 4x2 + 5x - 11 = 4-2x - 3

3. (x - 2)x + 3 = 1

4. 5log(x2 - 2) = 0

5. 2 log2 x - 9 log x = -4


Jawaban salah 1






Kunci Jawaban:1. Himpunan penyelesaian = {11,5}

2. Himpunan penyelesaian = {1, -8}

3. Himpunan penyelesaian = {-3, 1, 3}

4. Himpunan penyelesaian = {-5, 5}

5. Himpunan penyelesaian =






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Genap





pemecahan masalah.

2. Kompetensi Dasar : 5.2 Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma.

3. Indikator : a. Menentukan nilai fungsi eksponen dan logaritma untuk menggambar grafik.


b. Menemukan sifat-sifat grafik fungsi eksponen dan logaritma.


Siswa mampu menentukan nilai fungsi eksponen dan logaritma untuk menggambar grafik.

b. Pertemuan ke-62 dan 63Siswa mampu menemukan sifat-sifat grafik fungsi eksponen dan logaritma.

5. Materi Pembelajarana. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok a > 1

Untuk memudahkan menggambar grafik, kita buat tabel nilai-nilai x dan f(x) = 2x sebagai berikut.

x -~ … -3 -2 -1 0 1 2 3 … ~

f(x) = 2x 0 … 1 2 4 8 … ~18

14

12

1 2 3-1-2-3

12345678

f(x )= 2x

y = x

g(x ) = lo g x2

Grafik f(x) = 2x dicerminkan terhadap garis y = x sehingga Anda mendapatkan grafik fungsi inversnya yaitu

g(x) = 2log x.

b. Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma dengan Bilangan Pokok 0 < a < 1Untuk memudahkan menggambar kedua grafik fungsi ini, terlebih dahulu buatlah tabel nilai-nilai x dan f(x) =

seperti berikut.

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

f(x) = 0 … 8 4 2 1 … 0

x12

12

14

18


1 2 30-1-2-3

-1

-2

-3

1

2

3

4

5

6y = x

x

g(x ) = 12 log x

f(x) = 12

x



8. Kegiatan Pembelajaran (Langkah-Langkah Pembelajaran)Pertemuan ke-61 a. Kegiatan awal



b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan cara menentukan niali fungsi eksponen dan logaritma untuk menggambar grafik.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan tentang cara menentukan niali fungsi eksponen dan logaritma untuk

menggambar grafik.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi

Guru menjelaskan sifat-sifat grafik fungsi eksponen dan logaritma.

2) Elaborasi

Siswa memberikan tanggapan penjelasan sifat-sifat grafik fungsi eksponen dan logaritma.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





Tes tertulis

1. Gambarlah grafik y = 2x untuk domain -3 x 3.


2. Gambarlah grafik f(x) = 2x + 1 untuk x R!

3. Gambarlah grafik f(x) = , untuk domain -2 x 2.

4. Gambarlah grafik y = 2log (x - 2)

5. Gambarlah grafik f(x) = 3log x + 1


Jawaban salah 1



sempurna

8



Kunci Jawaban:Kebijaksanaan guru.






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002




Semester : Genap






pemecahan masalah.

2. Kompetensi Dasar : 5.3 Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian

pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana.

3. Indikator : a. Menyelesaiakan pertidaksamaan eksponen.

b. Menyelesaiakan pertidaksamaan logaritma.


Siswa mampu menyelesaiakan pertidaksamaan eksponen.

b. Pertemuan ke-66 dan 67Siswa mampu menyelesaiakan pertidaksamaaan logaritma.

5. Materi Pembelajarana. Pertidaksamaan Eksponen

Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak

menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Dalam memecahkan pertidaksamaan

eksponen yang sederhana:

untuk a > 1 untuk 0 < a < 1

Contoh:

Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

Jawab:

x2 - x < 2x + 4

x2 - 3x - 4 < 0

(x - 4)(x + 1) = 0

x = 4 atau x = -1

b. Pertidaksamaan LogaritmaPertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung peubah x dan tidak menutup

kemugkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma

perhatikan sifat berikut.

1. Jika a > 1 alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x)

alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x)

2. Jika 0 < a < 1 alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x)

alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x)

Contoh:Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksaman log(x2 – 3x) < 1

Jawab:

log (x2 - 3x) < 1


log (x2 - 3x) < log 10

x2 - 3x < 10

x2 - 3x - 10 < 0

Pembuat nol

x2 - 3x - 10 = 0

(x - 5)(x + 2) = 0

x - 5 = 0 atau x + 2 = 0

x = 5 atau x = -2

+ +

-2 5

Jadi, x pada interval -2 < x < 0 atau 3 < x < 5.






b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi


2) Elaborasi


menggambar grafik.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir





b. Kegiatan Inti

1) Eksplorasi


2) Elaborasi


menggambar grafik.

3) Konfirmasi


c. Kegiatan akhir


9. Penilaian


a. Teknik : Tertulis



Tes tertulisTentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaaan berikut!

1. 7x2 - 8 < 49

2. 3x + 5 > 3x2 + 6x + 11

3.

4. 4log (8x - 16) < 2

5.


Jawaban salah 1





Kunci Jawaban:

1. Jadi, batas-batas nilai x adalah .

2. Jadi, himpunan penyelesaian = {x l -3 < x < -2}.

3. Jadi, batas-batas nilai x adalah .

4. Jadi, himpunan penyelesaian = {1 < x < 2}.

5. Jadi, himpunan penyelesaian x < .






NIP. 19640410 199203 1 002 NIP. 19780120 200710 1 002


Documents

masudiman1purwodadi.files.wordpress.com€¦ · Web view(RPP) Nama Sekolah : MAN PURWODADI. Kelas : XII (Dua Belas) Semester : Gasal. Program Keahlian : IPA. Mata Pelajaran : Matematika