LQ'

P'

P

Q

L

P'

P

Q ( x

2 ,y

2)

P ( x

1 ,y

1)

x

y

1

เรขาคณิตวเิคราะห์

1. โปรเจคชัน่ ( Projection )

P' เป็นโปรเจคชัน่ของ P และ Q' เป็นโปรเจคชัน่ของ Q บนเสน้ตรง L

2. ระยะระหวา่งจุดสองจุด

กำาหนดให ้ P(x1 , y1) และ Q(x2 , y2) เป็นจุดในระนาบ

PQ=√ (x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2

m

n

R ( X ,Y)

Q ( x

2 ,y

2)

P ( x

1 ,y

1)

O

x

y

m

n

R(x ,y)

Q(x

2 ,y

2)

P(x

1 ,y

1)

X

y

2

นัน่คือกำาหนด P(x1 , y1) และ Q(x2 , y2) เป็นจุดในระนาบ ถ้า R เป็นจุดบน

PQ โดย เป็นจุดกึ่งกลางของ PQ แล้ว R จะมพีกิัดเป็น ( x1+x22,y1+ y22 )

นัน่เอง

3. จุดแบง่ของสว่นของเสน้ตรงตาม

กำาหนดให ้ P(x1 , y1) และ Q(x2 , y2) เป็นจุดในระนาบ ถ้า R เป็นจุดบน PQ โดย

PRRQ=mn

ให ้R มพีกิัด ( x , y ) โดยจะได้วา่

x=n x1+m x2n+m

, y=n y1+m y2n+m

ถ้า m=nแล้ว R ( x , y ) จะได้วา่

x=n x1+n x2n+n

, y=n y1+n y2n+n

x=x1+x22

, y=y1+ y22

R เป็นจุดแบง่ภายใน PQ

R เป็นจุดแบง่ภายนอก PQ

x=mx1−n x2m−n

y=m y2−n y1m−n

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

C: (3,

-4

)

B: (5,

6)

A: (-2

,

3)

3

4. การหาพื้นท่ีของรูปหลายเหล่ียมเมื่อกำาหนดพกิัดของจุดยอดของรูป หลายเหล่ียมมาให้ตัวอยา่ง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหล่ียมเมื่อกำาหนดจุดยอดเป็น ( 5,6) , ( -2 , 3 ) และ ( 3 , -4 )

3 5 -2 3-4 6 3 -4

พื้นท่ีของรูปสามเหล่ียม = 12 (20+12−9+18+15+8 )=1

2(64 )=32

เสน้ตรง1. ความชนัของเสน้ตรง ( slope)

ให ้mAB แทนความชนัของเสน้ตรง AB

mAB=y2− y1

x2−¿ x1=y1− y2x1−¿ x2¿

¿

12พื้นท่ีของรูป

20 12 -9

18 15 8

y

O (0,0)

B (

x2

,y

2)

A (

x1, y

1)

B (

x2

,y 2)

A (

x1, y 1)

A (

x1, y

1)

B (

x2

,y

2)

xO (0,0)

4

รูปท่ี 1 m หา

รูปท่ี 2 m > 0 เมื่อ

0 < < π2

A (

x1, y

1) B (

x2

,y

2)

y

xO (0,0)

A (

x1, y 1)

B (

x2

,y 2)

y

xO (0,0)

5

2. ความสมัพนัธซ์ึ่งมกีราฟเป็นเสน้ตรง1. เสน้ตรงขนานแกน x

3. เสน้ตรงผ่านจุด ( 0 ,0 )

รูปท่ี 3 m

รูปท่ี 4 m<0 เมื่อ π2 <θ<π

จากรูปท่ี 3 และ 4 ให ้ เป็นมุมท่ีวดัทวนเขม็นาฬิกา จากแกน x ไปยงัเสน้ตรง tanθ=m

x

( 0, c) y = c

y

x

( c ,0)

x = c

y

2.เสน้ตรงขนาน

x4. เสน้ตรงผ่านไม่

6

วธิกีารสรา้งสมการเสน้ตรง1. ถ้าโจทยก์ำาหนดความชนัของเสน้ตรง ( m ) มาให ้ และทราบจุดท่ีผ่าน 1 จุด คือจุด (x1 , y1 )

เขยีนสมการได้เป็น y− y1=m (x−x1 )

2. ทราบจุดท่ีเสน้ตรงผ่าน 2 จุด คือจุด (x1 , y1 ) และ (x2 , y2 )

หาค่าความชนั ( m ) จากสตูร m=y2− y1x2−x1

จากนัน้เขยีนสมการเสน้ตรงจาก y− y1=m (x−x1 )

หรอื y− y2=m (x−x2 )

13. เสน้ขนาน และเสน้ตัง้ฉากกำาหนดให ้m1 ,m2 เป็นความชนัของเสน้ตรง L1 และ L2 ตามลำาดับ

1. เสน้ตรง L1 ขนานกับเสน้ตรง L2 ก็ต่อเมื่อ m1=m2

y = mx

x

y

สมการคือ

y = mx +c หรอืax + by + c = 0a 0 , b 0 , c 0

จุดตัดแกน x คือจุด ที่ y = 0

จุดตัดแกน x คือจุด ที่ x = 0

x

yL1 L2

7

2. เสน้ตรง L1 ตัง้ฉากกับเสน้ตรง L2 และ m1≠0 ,m2≠0 ก็ต่อเมื่อ m1 ∙m2 = -1

4. ระยะระหวา่งจุดกับเสน้ตรง กำาหนดใหเ้สน้ตรง L มสีมการเป็น ax+by+c=0 โดย a≠0 , b≠0 ม ีP (m,n ) เป็นจุดซึ่ง ไมอ่ยูบ่นเสน้ตรง L ให ้ d เป็นระยะทางจากจุด P ไปยงัเสน้ตรง L

5. ระยะหา่งระหวา่งเสน้ขนาน กำาหนดให ้ เสน้ตรง L1 ขนานกับเสน้ตรง L2 โดยสมการของ L1 คือ ax+by+c1=0

สมการของ L2 คือ ax+by+c2=0 เมื่อ a≠0 , b≠0 ให ้ d เป็นระยะหา่งระหวา่งเสน้ตรง L1 กับเสน้ตรง L2

x

yL2 L1

x

y

P(m,n)

ax+by+c=0

d d=|am+bn+c|

√a2+b2

x

y

d=|c1−c2|√a2+b2

L1

L2

21

y

X

8

6. มุมระหวา่งเสน้ตรงสองเสน้กำาหนดให ้ เสน้ตรง L1 ตัดกับเสน้ตรง L2 ที่จุด P โดย สมการของ L1 คือ ax+by+c=0 ,m1=tan θ1 สมการของ L2 คือ mx+ny+ p=0 ,m2= tanθ2

แบบฝึกเรขาคณิตวเิคราะหชุ์ดที่ 1 1. ถ้าระยะทางระหวา่งจุด ( 3 , a ) และจุด ( -4 , 5 ) เท่ากับ 7 แล้วจงหาค่าของ a……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

y

θ1=α+θ2 α=θ1−θ2

tanα=tan (θ1−θ2 )

tan α=tan θ1− tan θ21+ tanθ1 tanθ2

tan α=m1−m21+m1m2

α=tan−1( m1−m21+m1m2 )

9

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………2. ถ้าจุด A( m ,1) อยูห่า่งจากจุด B( 0 , 4 ) และ C( -1 , 3) เป็นระยะทางเท่ากันแล้ว จงหาค่าของ m……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………3. เสน้ตรง AB ม ีP( -2 ,-1) เป็นจุดกึ่งกลาง ถ้า A มพีกิัดเป็น ( -2,-6) แล้ว จงหาพกิัดของจุด B………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………4. พื้นท่ีของรูปสามเหล่ียมท่ีมจุีดยอดท่ี A( 0 ,2) , B( 4 ,6) และ C (8,1) มพีื้นที่กี่ตารางหน่วย……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10

5. เสน้ตรงที่เอียงทำามุม 60 องศากับแกน X ( มุมวดัจากแกน X ในทิศทางทวนเขม็นาฬิกา ) จะมคีวามชนัเท่ากับเท่าใด………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ถ้าเสน้ตรงท่ีผ่านจุด ( -5 , n ) และ ( 6 , 2 ) มคีวามชนั 27 แล้ว n มค่ีาเท่าใด…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7. จงหาสมการเสน้ตรงท่ีผ่านจุด ( -4 , 2 ) และ ( 5 , -1 )………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………8. จงหาสมการของเสน้ตรงที่ผ่านจุด ( 2 ,4 ) และตัง้ฉากกับเสน้ตรง 2x + 9y -4 = 0………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11

9. ถ้ารูปสามเหล่ียม ABC มจุีดยอดเป็น A(-5,6) ,B(-1 , 6) และ C( 3,2) แล้วจงหาสมการของเสน้มธัยฐาน AD……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………10. เสน้ตรง 3x -4y -12 = 0 ตัดแกน X ท่ีจุด A ตัดแกน Y ท่ีจุด B พื้นท่ีของรูปสามเหล่ียม AOB เท่ากับ กี่ตารางหน่วย……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11. จงหาสมการเสน้ตรงท่ีหา่งจากจุด A( 1 , 2 และจุด B( 6 ,7) เท่าๆ กัน ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………12. ถ้าระยะหา่งระหวา่งจุด ( 2 , -1 ) กับเสน้ตรง 12x + 5y +a = 0 เท่ากับ 2 แล้ว จงหาค่าของ a……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………13. จงหาสมการเสน้ตรงท่ีขนานกับเสน้ตรง 7x +24y -56 = 0 และอยูห่า่งจากจุด ( 2 , 3 ) เป็นระยะทาง 3 หน่วย……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………14. ถ้าเสน้ตรง x -2y +5 = 0 และเสน้ตรง x-2y+m = 0 อยูห่า่งกัน 2√5 หน่วยแล้ว m มค่ีาเท่าไร……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1 แบบฝึกเรขาคณิตวเิคราะหชุ์ดที่จำานวนจรงิ 1. วงกลมมจุีดศูนยก์ลางอยูท่ี่จุด O( 5 ,-3) และมพีื้นท่ี 154 ตารางหน่วยและผ่านจุด A( -2 , k ) จงหา 1. ค่าของ k 2. สมการของเสน้ตรงที่สมัผัสวงกลมน้ีท่ีจุด A……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………2. กำาหนด A(1,2) , B( 5,6) , C(9 ,2 ) และ D(5 ,-2) เป็นจุดยอดของสีเ่หล่ียมรูปหนึ่งโดยม ี P , Q , R ,S เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB , BC , CD ,DA ตามลำาดับจงหา

1. ความยาวเสน้รอบรูปของสีเ่หล่ียม PQRS ยาว2. พื้นท่ีของสีเ่หล่ียม ABCD3. พื้นท่ีของสีเ่หล่ียม PQRS

14

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. กำาหนดจุด P(3,1) , Q(7 , 1) และ R( 5 ,4) เป็นจุดกึ่งกลางของด้านของรูปสามเหล่ียม ABC แล้วพื้นท่ี ของสามเหล่ียม ABC เท่ากับกี่ตารางหน่วย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

15

………………………………………………………………………………………………4. จงหาสมการของเสน้ตรง L ซึ่งผ่านจุดตัดของเสน้ตรง 2x + y -10 = 0 และเสน้ตรง 2x – 3y +6 = 0 และ ตัง้ฉากกับเสน้ตรง x +2y +9 = 0……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5. วงกลมวงหน่ึงมจุีดศูนยก์ลางที่ ( -1 , 1) และสมัผัสเสน้ตรง ที่ผ่านจุด ( -2 , 4 ) และ ( 2 , -1 ) จะมพีื้นที่กี่ ตารางหน่วย……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………6. เสน้ตรง L มคีวามชนัเท่ากับ 12 ผ่านจุด C( -3 , 0) และตัดแกน Y ท่ีจุด A เสน้ตรง AB ตัง้ฉากกับ เสน้ตรง L โดยมเีสน้ตรงผ่านจุด B ขนานกับแกน Y และตัดแกน X ท่ีจุด C เสน้มธัยฐานของสามเหล่ียม

16

ABC ท่ีลากจากจุด C ไปยงัเสน้ตรง AB ยาวกี่หน่วย……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7. เสน้ตรง x+y = 5 ตัดแกน X และแกน Y ท่ีจุด A และ B ตามลำาดับ ถ้า P เป็นจุดซึ่งแบง่สว่นของ เสน้ตรง AB ออกเป็นอัตราสว่น 1 : 3 และอยูบ่นเสน้ตรง 15x -17y = c แล้ว c มค่ีาเท่าใด……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………8. เสน้ตรงผ่านจุดกำาเหนิดและเอียงทำามุม 30 องศากับแกน X โดยวดัมุมจากแกน X ของด้านบวกไปในทิศ ตาม เขม็นาฬิกา จะหา่งจากจุด (−√3 ,4 ) กี่หน่วย…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

17

…………………………………………………………………………………9. เสน้ตรง L มสีมการเป็น 3x +ky -2 = 0 และมรีะยะตัดแกน Y เป็น 3 แล้วจุด ( 5 , 3) อยูห่า่งจากเสน้ตรง ท่ีตัง้ฉากกับเสน้ตรง L และผ่านจุด ( -1 , 4) เป็นระยะทางกี่หน่วย……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………10. ให ้A( -1 , 2 ) , B( 3 ,0 ) และ C( 5 , 4 ) เป็นจุดยอดทัง้สามของสามเหล่ียม ABC จงหาสมการเสน้ตรง ท่ีมคีวามชนัเท่ากับ 1 และผ่านจุดตัดของเสน้มธัยฐานของสามเหล่ียม ABC………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11. กำาหนดให ้ A( a , 3 ) , B( 7 , -3 ) และ C ( -4 , -2 ) เป็นจุดยอดของสามเหล่ียมท่ีมมุีม A เป็นมุมฉาก

18

a < tan 600 ถ้า แล้วจงหาสมการเสน้ตรงที่ผ่านจุด A และ C………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………12. กำาหนดใหเ้สน้ตรง L1 ลากผ่านจุดกำาเหนิด และทำามุม 60 ° กับแกน X ทางด้านบวกถ้าเสน้ตรง L2 หา่ง จากจุด กำาเหนิด 6 หน่วย และตัง้ฉากกับเสน้ตรง L1 ในควอดแรนท์ท่ีหน่ึง แล้วจงหาสมการของ เสน้ตรง L2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

19

20

21