of 21/21
L Q ' P ' P Q L P ' P Q ( x 2 , y 2 ) P ( x 1 , y 1 ) x y 1 เเเเเเเเเเเเเเเเเ 1. เเเเเเเเเเ ( Projection ) P ' เเเเเเเเเเเเเเเเเ P เเเ Q ' เเเเเเเเเ เเเเเเเเ Q เเเเเเเเเ L 2. เเเเเเเเเเเเเเเเเเเเ เเเเเเเเเ P ( x 1 ,y 1 ) เเเ Q ( x 2 ,y 2 ) เเเเเเเเเเเเเเ PQ = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2

45501jiratchayaporn.files.wordpress.com€¦  · Web viewP' P. Q. L. P' P. P ' เป็นโปรเจคชั่นของ P และ Q ' เป็นโปรเจคชั่นของ

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of 45501jiratchayaporn.files.wordpress.com€¦  · Web viewP' P. Q. L. P' P. P '...

1

เรขาคณิตวิเคราะห์

1.โปรเจคชั่น ( Projection )

L

Q'

P'

P

Q

L

P'

P

เป็นโปรเจคชั่นของ และ เป็นโปรเจคชั่นของ บนเส้นตรง L

2. ระยะระหว่างจุดสองจุด

กำหนดให้ และ เป็นจุดในระนาบ

Q ( x

2

,y

2

)

P ( x

1

,y

1

)

x

y

R เป็นจุดแบ่งภายใน PQ

3. จุดแบ่งของส่วนของเส้นตรงตามอัตราส่วนที่กำหนดให้

กำหนดให้ และ เป็นจุดในระนาบ ถ้า R เป็นจุดบน PQ โดย

ให้ R มีพิกัด โดยจะได้ว่า

ถ้า แล้ว R จะได้ว่า

m

n

R ( X ,Y)

Q ( x

2

,y

2

)

P ( x

1

,y

1

)

O

x

y

นั่นคือกำหนด และ เป็นจุดในระนาบ ถ้า R เป็นจุดบน PQ โดย เป็นจุดกึ่งกลางของ PQ แล้ว R จะมีพิกัดเป็น นั่นเอง

R เป็นจุดแบ่งภายนอก PQ

m

n

R(x ,y)

Q(x

2

,y

2

)

P(x

1

,y

1

)

X

y

4. การหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเมื่อกำหนดพิกัดของจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมมาให้

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

C

:

(

3

,

-4

)

B

:

(

5

,

6

)

A

:

(

-2

,

3

)

ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเมื่อกำหนดจุดยอดเป็น ( 5,6) , ( -2 , 3 ) และ ( 3 , -4 )

20 12 -9

3

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม =

5

-2

3

-4

6

3

-4

18 15 8

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม =

เส้นตรง

1. ความชันของเส้นตรง ( slope)

ให้ แทนความชันของเส้นตรง AB

y

O (0,0)

B (

x

2

,y

2

)

A (

x

1

, y

1

)

B (

x

2

,y

2

)

A (

x

1

, y

1

)

รูปที่ 1 m หาค่าไม่ได้

รูปที่ 2 m > 0 เมื่อ 0 < <

A (

x

1

, y

1

)

B (

x

2

,y

2

)

x

O (0,0)

รูปที่ 3 m = 0

A (

x

1

, y

1

)

B (

x

2

,y

2

)

y

x

O (0,0)

รูปที่ 4 เมื่อ

A (

x

1

, y

1

)

B (

x

2

,y

2

)

y

x

O (0,0)

จากรูปที่ 3 และ 4 ให้ เป็นมุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกา จากแกน x ไปยังเส้นตรง

2. ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง

2.เส้นตรงขนานแกน y

1. เส้นตรงขนานแกน x

y

x = c

( c ,0)

x

x

y

y = c

( 0, c)

4. เส้นตรงผ่านไม่จุด ( 0 ,0) )

3. เส้นตรงผ่านจุด ( 0 ,0 )

y

x

สมการคือ

y = mx +c หรือ

ax + by + c = 0

a 0 , b 0 , c 0

จุดตัดแกน x คือจุด ที่ y = 0

จุดตัดแกน x คือจุด ที่ x = 0

y

x

y = mx

วิธีการสร้างสมการเส้นตรง

1. ถ้าโจทย์กำหนดความชันของเส้นตรง ( m ) มาให้ และทราบจุดที่ผ่าน 1 จุด คือจุด

เขียนสมการได้เป็น

2. ทราบจุดที่เส้นตรงผ่าน 2 จุด คือจุด และ

หาค่าความชัน ( m ) จากสูตร

จากนั้นเขียนสมการเส้นตรงจาก

หรือ

1

3. เส้นขนาน และเส้นตั้งฉาก

กำหนดให้ เป็นความชันของเส้นตรง และ ตามลำดับ

1. เส้นตรง ขนานกับเส้นตรง ก็ต่อเมื่อ

y

x

2. เส้นตรง ตั้งฉากกับเส้นตรง และ ก็ต่อเมื่อ = -1

y

x

4. ระยะระหว่างจุดกับเส้นตรง

กำหนดให้เส้นตรง มีสมการเป็น โดย มี เป็นจุดซึ่ง

ไม่อยู่บนเส้นตรง

y

x

ให้ เป็นระยะทางจากจุด ไปยังเส้นตรง

P(m,n)

d

5. ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน

กำหนดให้ เส้นตรง ขนานกับเส้นตรง โดย

สมการของ คือ

สมการของ คือ

เมื่อ ให้ เป็นระยะห่างระหว่างเส้นตรง กับเส้นตรง

y

x

6. มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

กำหนดให้ เส้นตรง ตัดกับเส้นตรง ที่จุด P โดย

สมการของ คือ

สมการของ คือ

L

1

L

2

2

1

y

X

แบบฝึกเรขาคณิตวิเคราะห์ชุดที่1

1. ถ้าระยะทางระหว่างจุด ( 3 , a ) และจุด ( -4 , 5 ) เท่ากับ 7 แล้วจงหาค่าของ a

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ถ้าจุด A( m ,1) อยู่ห่างจากจุด B( 0 , 4 ) และ C( -1 , 3) เป็นระยะทางเท่ากันแล้ว จงหาค่าของ m

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. เส้นตรง AB มี P( -2 ,-1) เป็นจุดกึ่งกลาง ถ้า A มีพิกัดเป็น ( -2,-6) แล้ว จงหาพิกัดของจุด B

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ A( 0 ,2) , B( 4 ,6) และC (8,1) มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เส้นตรงที่เอียงทำมุม 60 องศากับแกน X ( มุมวัดจากแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ) จะมีความชันเท่ากับเท่าใด

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด ( -5 , n ) และ ( 6 , 2 ) มีความชัน แล้ว n มีค่าเท่าใด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด ( -4 , 2 ) และ ( 5 , -1 )

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ( 2 ,4 ) และตั้งฉากกับเส้นตรง 2x + 9y -4 = 0

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดเป็น A(-5,6) ,B(-1 , 6) และC( 3,2) แล้วจงหาสมการของเส้นมัธยฐาน

AD

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. เส้นตรง 3x -4y -12 = 0 ตัดแกน X ที่จุด A ตัดแกนY ที่จุดB พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AOB เท่ากับ

กี่ตารางหน่วย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11. จงหาสมการเส้นตรงที่ห่างจากจุด A( 1 , 2 และจุด B( 6 ,7) เท่าๆ กัน

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12. ถ้าระยะห่างระหว่างจุด ( 2 , -1 ) กับเส้นตรง 12x + 5y +a = 0 เท่ากับ 2 แล้ว จงหาค่าของ a

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13. จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง 7x +24y -56 = 0 และอยู่ห่างจากจุด ( 2 , 3 ) เป็นระยะทาง

3 หน่วย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

14. ถ้าเส้นตรง x -2y +5 = 0 และเส้นตรง x-2y+m = 0 อยู่ห่างกัน หน่วยแล้ว m มีค่าเท่าไร

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1แบบฝึกเรขาคณิตวิเคราะห์ชุดที่จำนวนจริง

1. วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O( 5 ,-3) และมีพื้นที่ 154 ตารางหน่วยและผ่านจุด A( -2 , k ) จงหา

1. ค่าของ k

2. สมการของเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมนี้ที่จุด A

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. กำหนด A(1,2) , B( 5,6) , C(9 ,2 ) และ D(5 ,-2) เป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งโดยมี P , Q , R ,S

เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB , BC , CD ,DA ตามลำดับจงหา

1. ความยาวเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยม PQRS ยาว

2. พื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD

3. พื้นที่ของสี่เหลี่ยม PQRS

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. กำหนดจุด P(3,1) , Q(7 , 1) และR( 5 ,4) เป็นจุดกึ่งกลางของด้านของรูปสามเหลี่ยม ABC แล้วพื้นที่

ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับกี่ตารางหน่วย ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงหาสมการของเส้นตรง L ซึ่งผ่านจุดตัดของเส้นตรง 2x + y -10 = 0 และเส้นตรง 2x – 3y +6 = 0 และ

ตั้งฉากกับเส้นตรง x +2y +9 = 0

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ ( -1 , 1) และสัมผัสเส้นตรง ที่ผ่านจุด ( -2 , 4 ) และ ( 2 , -1 ) จะมีพื้นที่กี่

ตารางหน่วย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. เส้นตรง L มีความชันเท่ากับ ผ่านจุด C( -3 , 0) และตัดแกน Y ที่จุด A เส้นตรง AB ตั้งฉากกับ

เส้นตรง L โดยมีเส้นตรงผ่านจุด B ขนานกับแกน Y และตัดแกน X ที่จุด C เส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม

ABC ที่ลากจากจุด C ไปยังเส้นตรง AB ยาวกี่หน่วย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. เส้นตรง x+y = 5 ตัดแกน X และแกน Y ที่จุด A และ B ตามลำดับ ถ้า P เป็นจุดซึ่งแบ่งส่วนของ

เส้นตรง AB ออกเป็นอัตราส่วน 1 : 3 และอยู่บนเส้นตรง 15x -17y = c แล้ว c มีค่าเท่าใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. เส้นตรงผ่านจุดกำเหนิดและเอียงทำมุม 30 องศากับแกน X โดยวัดมุมจากแกน X ของด้านบวกไปในทิศ

ตาม เข็มนาฬิกา จะห่างจากจุด กี่หน่วย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. เส้นตรง L มีสมการเป็น 3x +ky -2 = 0 และมีระยะตัดแกน Y เป็น 3 แล้วจุด ( 5 , 3) อยู่ห่างจากเส้นตรง

ที่ตั้งฉากกับเส้นตรง L และผ่านจุด ( -1 , 4) เป็นระยะทางกี่หน่วย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. ให้ A( -1 , 2 ) , B( 3 ,0 ) และ C( 5 , 4 ) เป็นจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC จงหาสมการเส้นตรง

ที่มีความชันเท่ากับ 1 และผ่านจุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11. กำหนดให้ A( a , 3 ) , B( 7 , -3 ) และ C ( -4 , -2 ) เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมที่มีมุม A เป็นมุมฉาก

a < tan 600 ถ้า แล้วจงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด A และ C

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12. กำหนดให้เส้นตรง ลากผ่านจุดกำเหนิด และทำมุม กับแกน X ทางด้านบวกถ้าเส้นตรง ห่าง

จากจุด กำเหนิด 6 หน่วย และตั้งฉากกับเส้นตรง ในควอดแรนท์ที่หนึ่ง แล้วจงหาสมการของ

เส้นตรง

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………..