POVRCHY A OBJEMY HRANATÝCH A ROTAČNÝCH TELIES

Vypracoval: Zdeno Rýs

Trieda: III.B

Školský rok: 2012/2013

Škola: GJGT

2

Register:

Úvod 1

Hranaté a rotačné telesá 2

Kocka 2

Kváder 3

Kolmý hranol 4

Ihlan 4

Zrezaný ihlan 5

Rotačné telesá 6

Rotačný valec 6

Rotačný kužeľ 7

Zrezaný rotačný kužeľ 7

Guľa 8

Guľový odsek 8

Guľový vrchlík 9

Guľová vrstva 9

Guľový pás 9

Guľový výsek 9

Záver 10

Bibliografické údaje/ použitá literatúra 11

3

Úvod:

Na našej škole Gymnáziu Jozefa Gregora Tajovského majú každý rok za

povinnosť žiaci tretieho ročníka vypracovať dva projekty z ptedmetov, z ktorých chcú vo

štvrtom ročníku maturovať. Na výber sme tento rok mali množstvo predmetov ku ktorým

bolo priradených mnoho zaujímavých tém. Pre môj prvý projekt, ktorý budem

prezentovať som si vybral matematiku a tému „ Povrchy a objemy hranatých

a rotačných telies“ je to dosť zaujímavá téma a chcel by som vám ju bližšie priblížiť.

V mojom projekte sa dočítate aké všetky hranaté a rotačné telesá poznáme ako ich

využívame a ako sa s nimi stretávame v živote. Ďalej vám chcem priblížiť ako počítame

ich obsahy a objemy, ale viac sa už dočítate v mojej práci.

4

Hranaté a rotačné telesá

Hranaté a rotačné telesá sú tiež aj priestorové telesá. Zaoberá sa nimi časť

geometrie, ktorá sa nazýva stereometria (priestorová geometria, z gréckeho slova

stereo = pevné teleso). Povrch týchto telies budeme označovať písmenom S, objem

písmenom V, obsah podstavy písmenom Sp a obsah plášťa písmenom Q.

Hranaté telesá poznáme

• Kocka

• Kváder

• Kolmý hranol

• Ihlan

• Zrezaný ihlan

Kocka

Definícia kocky: Kocka je kolmý hranol ktorého dĺžka, šírka a výška majú rovnakú

veľkosť. Objem kocky vypočítame pomocou vzorca naľavo a povrch kocky vypočítame

pomocou vzorca napravo

V = a . a . a = a3 S = 6 . a . a = 6.a2

Keď kocku chceme narysovať na papier bočnú stranu a rysujeme pod uhlom 45

stupňov a tak je to aj u kvádra a taktiež u nsledujúcich hranatých telies

5

Ak kocku chceme zostrojiť ako priestorové teleso vytvorime ju tak že si ju narysujeme

rozloženú a následne ju poskldáme

Kváder

Definícia kvádra

Kváder je kolmý hranol, ktorého podstavou je obdĺžnik. Na vypočítanie objemu kvádra

používame vzorec na ľavo a na výpočet povrchu používame vzorec na prevej strane

V = a . b . c S =2.(ab + bc + ca)

Kváder je vlastne 4-boký hranol, ale poznáme hranoly. Pri každom hranole ao aj pri

kvádri sú vždy obe podstavy zhodné a ležnia o proti sebe vo vzdialenocti c a sú na seba

vždy kolmé.

6

Kolmý hranol

Definícia kolmého hranola

Kolmý hranol je teleso, ktorého bočné hrany sú kolmé na roviny podstáv tvorené

pravidelným mnohouholníkom. Podľa toho koľko strán má podstava, hovoríme

o hranole trojbokom, štvorbokom, päťbokom,...n-bokom.

Objem Kolmého hranola vypočítame pomocov vzorca V = SP . v , čiže z toho vyplýva

obsah podstavy krát výška hranola. Pri počítaní povrchu používame vzorec S = 2SP + Q

Pričom Sp je obsah podstavy a Q čo je plášť

Ihlan

Definícia Ihlanu:

Ihlan je teleso, ktorého podstava tvorí pravidelný mnohouholník, a ktorého steny sú

trojuholníky a zbiehajú sa v jednom vrchole, pričom priamka určená stredom súmernosti

7

bočná stena

horná podstava

dolná podstava

bočná hrana

hrana podstavy

bočná stena

podstava

bočná hrana

hrana podstavy

vrchol ihlana

V

mnohouholníka a vrcholom je kolmá na rovinu podstavy. Podľa toho, koľko strán má

podstava, hovoríme o ihlane trojbokom, štvorbokom, päťbokom atď.

Ak chceme vypočítať objem ihlanu použijeme vzorec , kde Sp je

obsah podstavy ihlanu a v je výška ihlanu, táto výška je kolmá na stred podstavy ihlanu

a prechádza bodom V. Bod V je miesto kde sa stretávajú vrcholy strán trojuholníkov a

tvoria takzvaný vrchol ihlanu. Povrch ihlanu môžeme vypočítať pomocov vzorca kde Sp

je obsah podstany a Q je plášť

Na

obrázku v ľavo môžeme vidieť narysovaný ihlan a na obrázku v pravo sieť ihlanu.

Zrezaný Ihlan

Definícia zrezaného ihlanu:

Zrezaný ihlan je kolmý ihlan zrezaný rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorého každá

bočná stena je lichobežník.

8

Objem zrezaného ihlanu vypočítame pomocou vzorca kde h je vzdialenosť oboh

podstáv, S1 je obsah spodnej podstavy a S2 je obsah vrchnej podstavy.

Jeho povrch vypočítame ako súčet obsahov sponej a vrchcej podstavy a obsahu plášťa.

Na ľavej strane môžeme vidieť narysovaný zrezaný hranol a na

pravej strane je sieť zrezaného hranola.

Rotačné telesá

• Rotačný valec

• Rotačný kužeľ

• Rotačný zrezaný kužeľ

• Guľa

Rotačný valec

Definícia Rotačného valca:

Rotačný valec je teleso s rovnobežnými, kruhovými podstavami rovnakého polomeru,

pričom výška valca je kolmá na rovinu podstavy. Môžeme si ho predstaviť ako teleso,

ktoré vzniklo rotáciou obdĺžnika okolo jeho strany.

Objem počítame pomocou vzorca V = p r2 v a povrch počítame pomocou vzorca

9

S = 2 p r2 + 2 p r v

Rotačný kužeľ

Definícia rotačného kužeľa:

Rotačný kužeľ je teleso, ktorého podstavou je kruh, pričom priamka určená vrcholom

a stredom podstavy je na rovinu podstavy kolmá. Teleso vzniklo rotáciou pravouhlého

trojuholníka okolo jednej jeho odvesny.

Objem rotačného kužeľa počítame pomocou vzorca V = 1/3 p r2 v a povrch vzorcom

S = p r. (r+s)

Zrezaný rotačný kužeľ

Definícia rotačného zrezaného kužeľa:

Zrezaný rotačný kužeľ je priestorové teleso, časť kužeľa, ktorá leží medzi dvoma

rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi týmto kužeľom. Inak povedané je to „kužeľ

s odrezaným vrcholom“. Vznikne rotáciou pravouheho lichobežníka okolo jeho kolmého

10

ramena na základňu. Rotáciou základní vzniknú podstavy a rotáciou drúheho ramena

vzniká plášť zrezaného kužeľa. Výška zrezaneho kužeľa je vzdialenosť rovín jeho

podstáv.

Objem Zrezaného rotačného kužeľa počítame vzocom

Povrch Zrezaného rotačného kužeľa počítame vzocom prićom Q

vypočítame ako

Guľa

Definícia gule:

Guľa je množina všetkých bodov trojrozmerného priestoru, ktoré majú od stredu S,

vzdialenosť, ktorá je menšia alebo sa rovná polomeru r.

Objem gule vypočítame ako V = 4/3 p r3 a povrch S = 4 p r2

11

Guľový odsek: Guľový odsek je prienik gule a

polpriestoru, ktorého hraničná rovina pretína guľu v

kruhu s polomerom ρ. Tento kruh nazývame

podstava guľového odseku. Je najmenšia časť gule

Rozdelená rovinou na dve časti

Guľový vrchlík

Guľový vrchlík je prienik guľovej plochy a

polpriestoru, ktorého hraničná rovina pretína guľovú

plochu v kružnici s polomerom ρ.

S=2πrv -povrch guľového vrchlíku

Guľová vrstva

Guľová vrstva je prienik gule a vrstvy, ktorá je

určená dvoma rovnobežnými rovinami σ1 s σ2,

ktorých vzdialenosti od stredu gule S sú menšie

ako polomer gule r a pretínajú guľu v kruhoch s

polomermi ρ1 a ρ2. Tieto dva kruhy nazývame

podstavy guľovej vrstvy.

Guľový pás

Guľový pás je prienik guľovej plochy a vrstvy,ktorá

je určená dvoma rovnobežnými rovinami σ1

aσ2,ktorých vzdialenosi od stredu gľovej plochy S

sú menšie ako polomer guľovej plochy r a pretínajú

guľovú plochu v kružniciach s polomermi ρ1 aρ2. Je

to plášť guľovej vrstvy.

S=2πrv – vzorec na výpočet povrchu guľového pásu

12

Guľový výsek

Je to prienik gule rotačným kužeľom, ktorý má vrchol v strede gule a výšku väčšiu ako r

Vzorec na výpočet objemu guľového výseku je

Záver

V mojej práci som sa snažil čo najprehľadnejšie spradcovať a vysvetliť vám

jednotlivé princípy každého telesa či už rotačné alebo hranaté. Myslím, že moja úloha

sa mi podarila a dúfam, že vás môj projekt dostatočne zaujal a, že som vám mojou

prácou priblížil nové poznatky z oblasti matematiky.

13

Bibliografické údaje/ použitá literatura:

ISBN 80-08-00941-1

https://www.google.sk/search?

q=kocka&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&aq=f&um=1&ie=UTF-

8&hl=sk&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=bk2WUa_ODcnVswbxvoDgAQ&biw=

1280&bih=826&sei=cU2WUa-

KDMPStAatmoGABg#um=1&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&hl=sk&tbm=isch&sa=1&q

=ihlan&oq=ihlan&gs_l=img.12..0l8j0i24l2.62900.64735.4.67056.5.5.0.0.0.0.111.467.4j1.

5.0...0.0...1c.1.14.img.QSpjzf4nlFw&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.46751780,d.Yms&fp=d

bf7b6aca8124846&biw=1280&bih=826

ISBN 80-89160-12-3

http://www.naucteviac.sk/index.php/resources/

casti_ihlana_cvicenia_druhy_ihlanov_ihlan_ihlany_objem_plast_povrch_rozlicne_ulohy

_t.html

http://zmaturuj.zones.sk/materialy/maturitne-temy/matematika-teoria/telesa.pdf

https://www.google.sk/search?

q=kocka&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&aq=f&um=1&ie=UTF-

8&hl=sk&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=bk2WUa_ODcnVswbxvoDgAQ&biw=

1280&bih=826&sei=cU2WUa-

KDMPStAatmoGABg#um=1&rlz=1C1GTPM_enSK532SK532&hl=sk&tbm=isch&sa=1&q

=kolm

%C3%BD+hranol&oq=kolmy+hr&gs_l=img.1.0.0i24l3.52784.54726.2.56276.8.8.0.0.0.0.

97.695.8.8.0...0.0...1c.1.14.img.RkemLJl8XwE&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.46751780,d.

14

Yms&fp=4acd835e343b51d3&biw=1280&bih=826&imgrc=rhUjjXAP5PgYbM%3A

%3BQXPtsBnX-PpM7M%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.oskole.sk%252Fuserfiles

%252Fimage%252Fmatematika%252Fobjem%252520a%252520povrch

%252520hranola%252Fhranoly1.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.oskole.sk

%252F%253Fid_cat%253D2%2526clanok%253D9793%3B159%3B193

ISBN 80-89160-01-8

15