EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

La Probabilidad

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser

predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la

mayoría de los hechos están influidos por factores externos.

Además, existen aquellos sucesos que están directamente

influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está

seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos

permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las

posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales

ponderaciones.

Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la probabilidad nos llevan a

descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la

ponderación asignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información

previa que poseemos, nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos

de los factores que intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y

sistemáticas. La probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera

sistemática y más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y

confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas. A continuación te

presentamos algunas definiciones y actividades que te servirán de apoyo para reafirmar

tus conocimientos de los contenidos del programa de estudios en relación con el tema de

probabilidad.

1.1 Conteo y Diagramas de Arbol

Un recurso muy útil para conocer todos los posibles resultados de un experimento

aleatorio son los diagramas de árbol.

Ejemplo: Al lanzar dos dados, ¿cuántos resultados posibles hay en total?

¿Cuántos de los resultados posibles son favorables al evento: la suma de los números

que salen es un número impar?

Para encontrar la respuesta, en tu cuaderno elabora y completa un diagrama de árbol

como el siguiente:

Tomado de la Guía Interactiva para Secundaria 2008.

Una vez que los alumnos hayan calculado los resultados posibles de varios experimentos,

llámele “Espacio muestral” a cada uno de dichos conjuntos y pida a los alumnos que ellos

escriban su definición con sus propias palabras.

Si fuera necesario consolidar la noción de experimentos aleatorios y la descripción del

espacio muestral, se les puede pedir a los alumnos que ellos inventen experimentos

aleatorios y determinen el espacio muestral. Seguro que recordarán algunos de los que

manejaron en la escuela primaria. Pueden intercambiar experimentos para determinar los

espacios muestrales.

En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de

veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el

principio fundamental de conteo:

Si un suceso se puede presentar de n1 formas, y otro se puede presentar de n2 formas,

entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden

es de n1·n2.

Ejemplo: Al lanzar dos dados cada uno de estos puede caer de seis formas diferentes;

entonces el número de formas en que pueden caer al ser lanzados juntos es 6 x 6 = 36

En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se pueden presentar cada uno de los sucesos a observar.

1.2. Eventos

Cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un

resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este

conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.

Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es

EM={1,2,3,4,5,6}.

Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las combinaciones

de valores de cada una de las variables.

Si tomamos un subconjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo que se denomina

un evento, y si éste consta de un solo elemento entonces es un evento elemental.

Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa

el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen

otros que nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los eventos seguros, y los que nunca son los eventos imposibles.

Ejemplo: “días de la semana en que sale el sol” es un evento seguro ya que todos los

días sale el sol (aunque esté nublado)

Al lanzar un dado “el numero que cae es mayor que 6”; es un evento imposible ya que el

dado solamente tiene seis caras enumeradas.

NOTA: Solicitar a los alumnos que nombren algunos eventos seguros y otros imposibles

Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier

proceso entonces los resultados pueden tomar cualquier tipo de valor. Por esta razón, se

define como experimento aleatorio al proceso en el que se pueden predecir con certeza

la ocurrencia de sus eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay que hacer la

observación que esta definición habla en términos generales y no específicamente sobre

algún experimento en particular.

A aquélla variable que está asociada a un experimento de este tipo se le denomina

variable aleatoria.

1.3 Probabilidad empírica y teórica de un evento.

Una urna contiene 3 canicas, una azul (a), una blanca (b) y otra café (c). Después de revolver las canicas, se extrae una al azar, se anota su color y se regresa a la urna. El experimento anterior se repitió 20 veces y se obtuvieron los siguientes resultados:

a) ¿Cuál crees que será el color de la canica que se extraiga la próxima vez y por qué?

Se repitió varias veces el experimento anterior y se obtuvieron las siguientes series de 20

extracciones:

Solicitar a los alumnos que realicen el mismo experimento y anotar los resultados que

obtuvieron en la serie de 20 extracciones.

Guiar el análisis con las siguientes preguntas:

¿Obtuviste los mismos resultados que en las series anteriores?

¿Cuántas veces te salió una canica blanca?

¿Cuántas veces salió una canica azul?

¿Cuántas veces una café?

De acuerdo con el experimento, una vez que se extrae y anota el color de la canica se

regresa a la urna. Entonces, antes de realizar una nueva extracción ¿cuántas canicas y

de qué color hay en la urna?

Si un color aparece dos veces seguidas, ¿es más probable que la próxima canica sea o

no del mismo color? ¿por qué?

Si repites 10 veces el experimento podrías predecir cuántas veces extraerás una canica

café?, ¿y una blanca?

Realiza este experimento solamente 10 veces y completa la tabla siguiente:

Evento No. De veces

que se extrae

Frecuencia relativa No. De veces que

se espera extraer

Una canica azul __ /10

Una canica

blanca

__ /10

Una canica café __ /10

Total 1

El problema que se plantea en esta pregunta implica que los alumnos pongan en juego sus intuiciones y conocimientos sobre cómo determinar los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio. Particularmente se averigua sobre las reflexiones y los argumentos en los que los alumnos se basan para dar sus respuestas. En este caso, los valores de las probabilidades frecuenciales de los eventos simples: extraer una canica de color azul; extraer una canica de color blanco y extraer una canica de color café, no son iguales a los valores de sus probabilidades clásicas (que son de 1/3). Esto sucede porque 20 extracciones podrían ser “pocas” para que el valor de la probabilidad frecuencial (frecuencia relativa) se acerque o sea igual al de la clásica. Los alumnos deben saber que la probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.

Algunos alumnos considerarán que los resultados obtenidos en las 20 extracciones son

“suficientes” y “representativos” para determinar que en la próxima extracción la canica

será de color blanco. En este caso, en la retroalimentación se busca que los alumnos

reflexionen si existen otras combinaciones en que se pudieran dar las 20 extracciones.

Los alumnos que seleccionan la opción b) sólo consideran la información proporcionada por la última repetición del experimento aleatorio. Los alumnos que seleccionan la opción c), observan la aparición de una racha a favor de un resultado, por ejemplo, el número de veces que se ha extraído la canica blanca y creen que eso disminuye la probabilidad de salga blanca. Para cualquiera de esas situaciones, se le sugiere dar a los alumnos la oportunidad de resolver problemas que requieran la recolección o simulación de sus propios datos para la toma de decisiones. Lo cual significa, introducir la enseñanza de la probabilidad de modo experimental y confrontar las creencias personales de sus alumnos, de carácter determinista.

Finalmente, los alumnos deben saber que para obtener la probabilidad clásica de un evento, no se requiere de la realización de experimentos como en la probabilidad frecuencial, sino de conocer dos datos: el de todos los resultados posibles que se pueden dar en el experimento, y el de los resultados favorables del evento que se observa. Por lo que la probabilidad clásica que un evento es diferente de la probabilidad frecuencial. Después de realizar muchos experimentos, la probabilidad frecuencial debe parecerse a la clásica.

Ahora considera los 60 resultados que aparecen en las series 1, 2 y 3 al inicio del

problema y realizando el conteo completa la siguiente tabla:

Evento: extraer No. De veces que se

extrae

Frecuencia relativa

Una canica

blanca

___ /60

Una canica azul

Una canica café

Totales 1

Calcula la probabilidad clásica de cada evento

Evento: extraer No . de resultados favorables al eventoNo . total de resultados posibles

Una canica blanca

Una canica azul

Una canica café

Totales

Si comparamos el valor de la frecuencia relativa del evento ”extraer una canica azul” con

el valor de su probabilidad clásica ¿cuál valor es mayor?

Compara los demás valores y describe qué sucede:

Si la probabilidad de que ocurra un evento es mayor que cero (probabilidad de un evento

nulo) y menor que 1 (probabilidad de un evento seguro) se dice que es un evento aleatorio

a un caso especial de un experimento o acción efectuada, como lanzar una moneda, un

dado, sacar una carta, tirar un dardo a la ruleta, etc.

Ejemplo: En el diagrama siguiente aparecen marcados los resultados favorables al

evento: “que se obtenga 2 o 3 en alguno de los datos”, del espacio

muestral que corresponde al experimento de “ lanzar dos dados al aire”.

¿Cuántos resultados posibles tiene el evento: que se obtenga 2 o 3 en alguno de los

datos?

¿Qué fracción representa este conjunto del total de resultados posibles del experimento

de lanzar dos dados al aire?

El propósito de la pregunta es que los alumnos identifiquen el evento que tiene mayor probabilidad clásica (o teórica) de ocurrir. Al lanzar los dados hay 36 resultados posibles, que corresponde al espacio muestral del experimento de lanzar dos dados; cada uno con la misma probabilidad de ocurrir. Es posible que, cuando se considera la suma de los números que se obtienen, los alumnos determinen que hay 11 resultados posibles: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12; sin embargo, no todos tienen la misma probabilidad de ocurrir (para la suma 7 hay 6 formas de obtenerla y la suma 2 se obtiene de una sola forma: cuando cae 1 en ambos dados.). Pida a estos alumnos que le comenten sobre los resultados posibles hasta completar el espacio muestral del evento: que sume 2 o 3. Puede ser que estén considerando por separado el número de resultados en el que se obtiene 2 y en el que cae 3; es decir, que supongan que en el primer dado hay 6 formas de obtener 2 y 6 cuando cae 3, y que consideren la misma cantidad de resultados para el segundo dado. La conclusión errónea sería entonces que existen 24 resultados favorables. Pídales que cuenten los resultados favorables que se señalan en la retroalimentación, resalte que (3,2) y (3,3) se consideran solamente una vez.

Aunque en la primaria los alumnos ya han resuelto ejercicios semejantes, es posible que

algunos tengan dificultades para abordarlos, si esto ocurre, hay que promover una

discusión para recordar que la probabilidad de obtener un resultado puede expresarse

con la razón del número de casos favorables entre el número total de resultados posibles.

Algunos problemas un poco más complejos podrían ser los siguientes:

Al realizar el experimento de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntos obtenidos:

¿Cuál es el espacio muestral de obtener 2 puntos? ¿Cuál es el espacio muestral de obtener 10 puntos? ¿De cuántas maneras posibles se puede obtener un número mayor que 3 y

menor que 6? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o uno impar? ¿Por

qué? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número múltiplo de 2, un número

múltiplo de 3 o un múltiplo de 4? ¿Por qué? Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caen.

Obtener el espacio muestral Evento R: "En la primera moneda cae sol". ¿Cuántos resultados posibles hay? Evento S: "En la segunda moneda cae sol". ¿Cuántos resultados posibles hay?

Se tiene un disco giratorio dividido en 10 sectores circulares iguales, tres de los cuales están marcados con 1, dos con 2 y cinco con 3.

¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 1? ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 2? ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con un

número diferente a 1? ¿Qué es más probable, que el dardo se clave en un sector marcado con 1 o en

uno marcado con 3?

Al realizar el experimento de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntos obtenidos:

¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 puntos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3 y menor que 6? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o uno impar? ¿Por

qué? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número múltiplo de 2, un número

múltiplo de 3 o un múltiplo de 4? ¿Por qué?

Al realizar el experimento de lanzar un dado:

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 10? ¿Por qué?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 7? ¿Por qué?

La intención de las preguntas es que los alumnos descubran que la escala para calcular

la probabilidad clásica va desde 0, es decir desde que el evento es imposible que ocurra,

hasta el 1 cuando es seguro que el evento suceda. Algunas preguntas adicionales que

permiten este análisis son las siguientes:

¿Se podría dar el caso en que el número de resultados favorables sea mayor que el

número de resultados posibles?

¿Cuál es el mayor valor que puede tener la medida de la probabilidad? ¿Y el menor?

¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir?

¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad uno de ocurrir?

La clave para que el alumno adquiera un aprendizaje significativo tiene que ver con las

preguntas que hagamos al respecto del objeto de estudio y la reafirmación del

conocimiento adquirido.

Cuando se ha terminado el análisis de las preguntas puede pedírseles que intenten

representar las probabilidades encontradas con otras expresiones equivalentes. Concluir

que la probabilidad puede expresarse con una fracción, con un decimal o con un

porcentaje. Así la respuesta a la pregunta c) es ½, 0.5 o 50%.

2.1 Predicción

Al lanzar dos dados, ¿cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir?

a) Que la suma de los números que salgan sea parb) Que se obtenga dos o tres en alguno de los dadosc) Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7d) Que la suma de los números que salgan sea impar

Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con los

resultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral

del experimento “lanzar dos dados y sumar los puntos que salgan”; así mismo elaborar

el diagrama de árbol o arreglo cartesiano que muestre todas las posibles soluciones y

contrastarlas con los resultados reales al lanzar varias veces dos dados; entendiendo por

“salir”, las caras que quedan hacia arriba en cada dado.

a) Que la suma de los números que salgan sea par

b) Que se obtenga dos o tres en alguno de los dados

c) Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7d) Que la suma de los números que salgan sea impar

Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con los

resultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral

del experimento “ la suma de las caras superiores al lanzar dos monedas al aire”, que se

puede representar mediante un diagrama de árbol o arreglo rectangular.

La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el

número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos

elementales que componen el espacio muestral:

Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como

requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma

probabilidad de ocurrir.

3.1 Eventos independientes o mutuamente excluyentes

Determinar el espacio muestral que resulta al hacer el experimento de lanzar dos dados y

contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos dados caigan en número par?b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número?c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea un 10 o un 6?e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10 y en ambas aparezca

el mismo número?

La idea fundamental de esta actividad es retomar elementos básicos de la probabilidad

mediante diversos cálculos.

Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol son recursos que, si no surgen

espontáneamente de los alumnos, pueden sugerirse para determinar el espacio muestral

del experimento. Si se considera pertinente puede darse incompleta una de estas

herramientas para que los estudiantes la terminen, por ejemplo el arreglo rectangular

siguiente:

1 2 3 4 5 6

1 (1,1)

2 (2,5)

3 (3,4)

4 (4,3)

5 (5,2)

6 (6,6)

NOTA: Es importante que los alumnos se percaten que en los eventos d y e se están

utilizando conectivos y que para el caso del primero (o) significa que se trata de la

probabilidad de que ocurra cualquiera de dos eventos, mientras que el conectivo y implica

que deben ocurrir ambos eventos a la vez.

Si se presentan las diferentes formas de expresar la probabilidad (fracción, decimal o %),

aprovechar para analizar sus equivalencias y conversiones.

Situación 1. Representa en forma decimal las siguientes situaciones

a) Calcular la probabilidad de obtener 1 y águila al lanzar un dado y una moneda.b) Calcular la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado, sabiendo que ya salió

águila al lanzar la moneda.

Situación 2. Representa en % la probabilidad de cada evento siguiente

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor que 4 al lanzar un dado?

b) Sabiendo que ya salió par, ¿cuál es ahora la probabilidad que sea menor que 4?

Igual que en la actividad anterior, las probabilidades pedidas pueden obtenerse a partir de

la determinación del espacio muestral correspondiente. La atención de estas consignas se

centra en identificar la dependencia o independencia de los eventos que se presentan en

cada situación: en la primera se trata de eventos independientes, el resultado de uno no

tiene efecto en el resultado del otro, la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado no

depende del resultado de lanzar la moneda, siempre es 1/6, aún sabiendo que la moneda

ya cayó en águila. En cambio en la segunda situación se trata de eventos dependientes,

la probabilidad de que el número sea menor que 4 es ½ (1, 2 y 3), pero si se sabe que ya

salió par, el espacio muestra se reduce a (2, 4 y 6), de los cuales uno (el 2) es menor que

4, por lo tanto la probabilidad es 2/6 =1/3.

En ocasiones un evento o más eventos dependen de otro evento previo, es decir, un

evento A ocurre dado que ocurrió un evento B. Si existe este tipo de relación entre

eventos se dice que son eventos dependientes o condicionados (A/B) (el evento A

depende del evento B, o el resultado del evento A está condicionado al resultado del

evento B).

Por otro lado, si no existe tal relación entre eventos se dice que son eventos independientes o mutuamente excluyentes.

Es conveniente que se analicen otras situaciones que incluyan eventos independientes,

algunos ejemplos son:

1. Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha caído sol. ¿Cuál es la probabilidad de que en el sexto volado también caiga sol?

2. Se va a realizar una rifa con 200 boletos que han sido numerados del 1 al 200. Todos los boletos se han vendido. El boleto ganador será el primero que se saque de una urna. Ana compró los boletos 81, 82, 83 y 84. Juan adquirió los boletos 30, 60, 90 y 120. ¿Quién tiene más oportunidades de ganar?

3. La mamá de Enrique y la Tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz a sus bebés. ¿Qué probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón?

4. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 4?

Es muy probable que los alumnos obtengan por separado las probabilidades de cada

evento en cada problema, para el primero ½ y ½ y para el segundo 1/6 y ½; sin embargo

el asunto es averiguar cómo se relacionan estas medidas para obtener la probabilidad de

que ocurran, en cada caso, los dos eventos a la vez, para el primero ¼ y para el segundo

1/12. Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol permiten visualizar el espacio

muestral y los casos favorables de cada situación.

Otros problemas que permitirán aplicar la regla encontrada son los siguientes:

Variantes del problema 2.

¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y 2?

¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y 6?

¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un número mayor que 4?

Pedro y Mario van a extraer sin mirar una canica de una caja que contiene dos amarillas, una verde y tres rojas. Si después de cada extracción se regresa la canica a la caja, ¿cuál es la probabilidad de que Mario tome una canica roja y Pedro una amarilla?

1.2 Características de los eventos mutuamente excluyentes

Las siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una

ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus

resultados con tres de tus compañeros más cercanos.

1.- Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en...

a) el número 5?b) un número menor que 4?c) un múltiplo de 2?d) un número impar?

2.- Si se lanza el tetraedro, ¿cuál es la probabilidad de que la cara que quede sobre la

superficie plana, sea…

a) color rojo?b) verde o rojo?c) verde o blanco o rojo?

Es conveniente plantear primero el problema uno y hacer una puesta en común para

analizar los resultados de los cuatro incisos. Debe quedar claro que el espacio muestra en

el experimento de la ruleta es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y que a cada elemento le

corresponde una probabilidad de 1/8. Con base en esto se podrán contestar las cuatro

preguntas. Si los alumnos preguntan cuáles son los múltiplos de dos hay que decirles que

son todos los resultados de la tabla del dos.

En el segundo problema también conviene destacar el espacio muestra y enfatizar el

hecho de que en los incisos b y c, se trata de eventos compuestos y que los conectivos

“o” indican que se trata de la probabilidad de que suceda cualquiera de los dos o de los

tres eventos, a diferencia del conectivo “y”, que se refiere a la probabilidad de que

sucedan dos o más eventos a la vez. Por lo tanto, la probabilidad en el inciso b) es ¼ + ¼,

mientras que en c) es ¼ + ¼ + ¼.

Si dos eventos son independientes o mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren

simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma de las

frecuencias relativas de cada uno.

Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a

la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la probabilidad de que

ocurran A y B simultáneamente. Es decir,

El experimento consiste ahora en girar la ruleta y observar en qué número se detiene.

Con base en esto contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par?b) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número impar?c) ¿Pueden ocurrir al mismo tiempo los eventos a) y b)?, ¿porqué?d) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par o

un número impar?d) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par o

múltiplo de tres?e) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par y

múltiplo de tres?

(Se hace referencia al tetraedro y ruleta nuevamente).

Se lanza el tetraedro y se hace girar la ruleta simultáneamente, ¿qué probabilidad hay de

que la ruleta se detenga en el número 4 y el tetraedro caiga sobre su color verde?

En la primera consigna es importante discutir y confrontar las respuestas de los incisos d

y f, estableciendo en primer lugar la diferencia entre los conectivos “o” e “ y”. Mientras

que el conectivo o implica que suceda cualquiera de los dos eventos o ambos, el

conectivo y implica la ocurrencia de los dos eventos a la vez. En este caso el único

número que cumple con las dos condiciones (ser número par y a la vez múltiplo de tres)

es el seis, por lo tanto el resultado en el inciso e es 1/8.

El problema de la segunda consigna resultará un poco más difícil para los alumnos

porque el evento compuesto (cuatro y color verde) proviene de dos experimentos distintos

y hay que saber cómo relacionar la probabilidad particular de cada evento: P {caer 4} =

1/8; P {color verde} = ¼. Es probable que algunos alumnos sumen estos valores y

obtendrán 3/8. En tal caso se puede cuestionar: ¿Consideran que la probabilidad de que

ocurran dos sucesos a la vez puede ser mayor que la probabilidad de que ocurra sólo uno

Si dos eventos son independientes o mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren

simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma de las

frecuencias relativas de cada uno.

Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a

la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la probabilidad de que

ocurran A y B simultáneamente. Es decir,

de esos sucesos? Si los alumnos caen en cuenta de que no puede ser, hay que

explicarles que el resultado es el producto de las probabilidades particulares.

1. Si se tienen los eventos:A. Que la ruleta se detenga en un número menor que cuatro.B. Que se detenga en un número múltiplo de cuatro.

a) ¿Cuál es la probabilidad del evento A? p(A) = ___________

b) ¿Cuál es la probabilidad del evento B? p(B) = ___________

c) ¿Qué significa que ocurra A o B? ___________________________________

d) ¿Qué significa que ocurra A o B? ___________________________________

e) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? p(A o B) = ______________

f) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A y B? p( A y B)= ________________

Expliquen su respuesta en cada caso.

2. Ahora se tienen los eventos siguientes:

C. Que la ruleta se detenga en un número mayor que cuatro.D. Que la ruleta se detenga en un múltiplo de cuatro.

a) Obtengan: p(C) = __________ p(D) = ____________

Dos eventos A y B son dependientes si y sólo si la Probabilidad del evento A dado que

ocurra B es igual a la probabilidad de A; o bien, La probabilidad de B dado que ocurra A es

igual a la Probabilidad B. o lo que es lo mismo:

P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B)

Por lo tanto la probabilidad de que ocurra A y B es el producto de las probabilidades de

ambos eventos

P(A¿

B) = P(A) · P(B)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = ____________

3. Comparen los resultados de d) del ejercicio 1 y de b) del ejercicio 2 y comenten las

formas de obtenerlos.

¿Existe alguna diferencia en estos eventos? ¿Cuál?

Es conveniente que siempre que los alumnos calculen la probabilidad de un evento

compuesto obtengan primero el espacio muestra y la probabilidad particular de cada

evento, esto les permitirá apreciar si hay elementos comunes o si no los hay. Si no los hay

ya saben que el resultado es la suma de las probabilidades particulares, si los hay, es

probable que por sí solos concluyan que no se puede contar dos veces el mismo

elemento del espacio muestra.

2. Simulación

Analizar los siguientes experimentos, realizarlos y registrar sus resultados:

a) Lanzar 30 veces un dardo a una ruleta dividida en 10 sectores circulares iguales y numerados del 1 al 10.

b) Hacer girar una perinola hexagonal (comúnmente llamada toma todo), 80 veces.c) El lanzamiento de un dado 50 veces.

Es muy probable que los alumnos no entiendan en qué consiste simular los experimentos, en

tal caso el profesor podrá intervenir para dar una idea al respecto, “simular consiste en

explorar el comportamiento de una experiencia aleatoria observando otra experiencia

equivalente, pero más fácil de realizar o de estudiar”.

Ante la dificultad de tener en el momento una ruleta y un dardo, si a los alumnos no se les

ocurre como simular este experimento, se les puede sugerir meter en una bolsa o caja 10

papeles numerados del 1 al 10, extraer uno, registrar el resultado y devolverlo a la bolsa;

realizar 29 extracciones idénticas.

El experimento de la perinola puede simularse de manera semejante al de la ruleta,

únicamente que ahora serían 6 papeles y en cada uno se escribe uno de los seis posibles

resultados (toma uno, toma dos, toma todo, pon uno, pon dos y todos ponen), no olvidar

después de cada extracción, regresar el papel a la caja o bolsa.

Para registrar los resultados de cada experimento puede utilizarse una tabla, como por

ejemplo, para el caso de la perinola:

Un agente comercial sabe que cada vez que visita un cliente tiene 20% de probabilidad de

hacer dos ventas, 50% de probabilidad de hacer sólo una y 30% de no vender nada. Un día

tiene cita con cinco clientes. ¿Cuánto puede esperar ganar ese día si por cada venta que

realiza gana $200.00?

Dado que en la consigna se sugiere la simulación del problema, la dificultad radica en buscar

algún material manipulable que se adapte a las condiciones del problema. Una estrategia de

simulación consiste en colocar en una caja o bolsa dos canicas azules, cinco blancas y tres

rojas. Posteriormente, extraer una a una y al azar cinco canicas (los cinco clientes),

devolviendo cada vez la canica antes de extraer la siguiente (el profesor puede preguntar a

los alumnos por qué es necesario devolver las canicas).

Si sale canica azul, el agente hizo dos ventas y ganó $400.00

Si sale blanca, sólo hizo una venta y ganó $200.00

Si sale roja, no hizo ninguna venta y no ganó.

Una vez que cada equipo obtiene una respuesta, conviene registrarlas en el pizarrón y ver si

alguna se repite más veces. Ésta sería la mejor estimación hecha en el grupo. Es importante

agregar, que si el experimento se repitiera muchas más veces, se llegaría a estimar con

mayor exactitud la cantidad que el agente puede ganar ese día.

3. Evaluación de los aprendizajes

Problemas de Probabilidad. 1. María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos

dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es 7 gana María; y en cualquier otro caso hay empate.

a) Calcular la probabilidad de que Laura gane el juegob) Calcular la probabilidad de que gane Maríac) Que probabilidad es mayor; ¿Qué gane cualquiera de las dos o que

empaten?2. Dos parejas de novios deciden ir al cine. Si se sientan al azar en cuatro butacas

contiguas, ¿cuál es la probabilidad de cada uno esté al lado de su pareja?3. Una urna A contiene 5 bolas blancas y 4 negras; y otra urna B contiene 1 blanca

y 2 negras. Se extrae una bola al azar de la urna A y se introduce en la B. Después se extrae de la urna B una bola al azar.

a) Calcular la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea blanca.

b) Supongamos que la bola extraída de la urna A sea blanca, calcular la probabilidad de que la extraída de la urna B también sea blanca.

Eventos independientes4. Los siguientes pares de eventos son independientes, a excepción de uno de ellos.

Identifica cuál es el par de eventos que no son independientes

a) Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caen. Evento R: "En la primera moneda cae sol". Evento S: "En la segunda moneda cae sol".

b) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2

rojas, sacas primero una canica, anotas su color, la regresas y sacas otra canica.

Evento R: "En la primera extracción la canica es roja". Evento V: "En la segunda extracción la canica es verde".

c) Experimento: Lanzas dos veces una moneda y observas la sucesión de caras obtenidas. Evento S: "En el primer lanzamiento cae sol". Evento A: "En el segundo lanzamiento cae águila".

d) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas, sacas primero una canica, no la regresas a la bolsa y sacas otra canica. Evento R: "En la primera extracción, la canica es roja". Evento V: "En la segunda extracción, la canica es verde".

5. De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas, sacas primero una canica, anotas su color, la regresas y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja y en la segunda, verde?

6. ¿Cuál de los pares de eventos que se definen a continuación son mutuamente excluyentes?

a) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior. Evento S: “Cae un número mayor que 4”. Evento T: “Cae un número impar”. b) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.

Evento S: “Cae un número mayor que 5 ”. Evento T: “Cae un número impar”.

c) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior. Evento S: “Cae un número mayor que 4” Evento T: “Cae 6”.

d) Experimento: Extraer al azar una canica de una bolsa que contiene canicas grandes y chicas en color azul y blanco.

Evento J: “la canica que se extrae es blanca”.

Evento K: “la canica que se extrae es chica”.

7. Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que:

(Bc indica complemento del suceso B)a) ¿Son los sucesos A y B independientes? Argumenta tu respuesta

b) Calcular P( A∪B )=8. En la Urna1 hay 4 bolas blancas, numeradas del 1 al 4 y 2 bola negras,

numeradas del 1 al 2; mientras que en la Urna2 hay 2 bolas blancas numeradas del 1 al 2 y 4 bolas negras numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas de cada urna. Hallar:(a) La probabilidad de que tengan el mismo número(b) La probabilidad de que sean del mismo color

9. La probabilidad de que cierto equipo de futbol gane un partido es 0.4 y la de que pierda es 0.3 ¿Cuál es la probabilidad de que empate?

10. La probabilidad de que un estudiante universitario termine su carrera en los años

establecidos por el plan de estudios es de

35 y la de que su hermana finalice la

suya sin perder ningún año es de

23 . Hallar la probabilidad de:

a) Ambos terminen sus estudios en los años establecidosb) Solo el varón los termine en los años fijadosc) Al menos uno de los dos termine en los tiempos establecidos

11. Una urna contiene 3 canicas, una azul (a), una blanca (b) y otra café (c). Después de revolver las canicas, se extrae una al azar, se anota su color y se regresa a la

urna. El experimento anterior se repitió 20 veces y se obtuvieron los siguientes resultados:

b) ¿Cuál crees que será el color de la canica que se extraiga la próxima vez y por qué?

12. Al lanzar dos dados; ¿Cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir?

a) “Que la suma de los números que salgan sea par”b) “Que se obtenga 2 o 3 en alguno de los lados”c) “Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7”d) “Que el producto de los números que salga sea par”

13. Los siguientes pares de eventos son independientes, a excepción de uno de ellos. Identifica cuál es el par de eventos que no es independiente.

a) Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caenEvento R: “En la primera moneda cae sol”Evento S: “En la segunda moneda cae sol”

b) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 son rojas, sacas primero una canica , anotas su color , la regresas y sacas otra canica.Evento R: “En la primera extracción la canica es roja”Evento V: “En la segunda extracción la canica es verde”

c) Experimento: lanzas dos veces una moneda y observas la sucesión de caras obtenidas.Evento S: “En el primer lanzamiento cae sol”Evento R: “En el segundo lanzamiento cae águila”

d) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 son rojas, sacas primero una canica , no la regresas y sacas otra canica.Evento R: “En la primera extracción la canica es roja”Evento V: “En la segunda extracción la canica es verde”

14. De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 son rojas, sacas primero una canica , anotas su color , la regresas y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja y en la segunda sea verde?

15. ¿Cuál de los pares de eventos que se presentan a continuación son mutuamente excluyentes?a) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior

Evento P: “Cae un número mayor que 4”Evento Q: “Cae un número impar”

b) Experimento: Extraer una canica al azar de una bolsa, en la que 3 son verdes y 2 son rojasEvento R: “Extraer la canica roja”Evento V: “Extraer la canica verde”

c) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superiorEvento S: “Cae un número mayor que 4”Evento T: “Cae seis”

d) Extraer al azar una canica de una bolsa que contiene canicas grandes y chicas de color azul y blancoEvento C: “La canica que se extrae es blanca”Evento D: “La canica que se extrae es chica”

16. Considera el experimento y los eventos que se definen:Evento S: “Cae un número menor que 4”Evento T: “Cae un número mayor que 4”¿Cuál es la probabilidad de que el numero de la cara que cae hacia arriba sea menor que 4 o sea mayor que 4?

BIBLIOGRAFIA

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2006 Análisis sobre la teoría del estudio de las matemáticas a partir de la resolución

de problemas (Benitez, David, UA de C. 2007) Diplomado en Enseñanza de las Matemáticas Centrado en el Desarrollo de

Competencias. Apuntes. (Benitez, 2008) Secretaría de Educación y Cultura de Coahuila; Saltillo, Coahuila 2008.

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