WAJ3105 LITERASI NOMBOR TAJUK 5 ANALISIS DAN INTERPRETASI DATA SINOPSIS Tajuk ini memperkenalkan bidang statistik yang asas. Perwakilkan data seperti carta dan graf, seterusnya membaca dan mengintepretasi maklumat dari perwakilan data dibincangkan. Menganalisis dan mentafsir data seperti mengenalpasti ukuran kecenderungan memusat, serakan atau jenis taburan turut dibincangkan. Selain itu tajuk ini juga memberi pendedahan tentang idea kebarangkalaian. HASIL PEMBELAJARAN Membaca dan mengintepretasi maklumat data kuantitatif. Melaksana statistik asas, seperti mengumpul, menganalisis, dan mentafsir data bernombor. Meneroka peristiwa berkaitan dengan peluang (idea kebarangkalian). KERANGKA TAJUK-TAJUK ANALISIS DAN INTERPRETASI DATA MEMBACA DAN MENGINTEPRETASI MAKLUMAT DATA KUANTITATIF YANG TELAH DIWAKILKAN MENGUMPUL, MENGANALISIS DAN MENTAFSIR DATA BERNOMBOR MENEROKA PERISTIWA BERKAITAN PELUANG 76 WAJ3105 LITERASI NOMBOR 5.1 MEMBACA DAN MENGINTEPRETASI MAKLUMAT DATA KUANTITATIF YANG TELAH DIWAKILKAN DALAM BENTUK JADUAL, CARTA ATAU GRAF Data boleh diwakilkan dalam bentuk jadual, carta atau graf. Walau bagaimanapun sebelum boleh membaca dan mengintepretasi maklumat data kuantitatif kefahaman tentang jenis data dan jenis perwakilan data adalah penting. 5.1.1 Pembahagian Data Data kuantitatif boleh dibahagi kepada empat jenis skala pengukuran. Skala boleh ditakrifkan sebagai angka yang digunakan untuk mengkelas atau menunjukkan tahap/nilai sesuatu ukuran. Suatu data dikelaskan dalam skala berikut. i. nominal ii. ordinal iii. sela iv. nisbah i. Data Nominal Nominal ialah skala yang dianggap paling mudah dan mempunyai ketepatan yang paling rendah. Skala ini mengkategorikan pembolehubah berdasarkan persamaan dan seterusnya memberikan nama kepada pembolehubah berkenaan. Jantina, ras dan warna adalah contoh data nominal. Misalnya, jantina diwakilkan dengan 1 bagi lelaki dan 2 bagi perempuan. Nilai nombor 1 bukan bermaksud lebih kecil dari 2 atau lebih baik dari 2. Nilai nombor 1 dan 2 hanyalah melambangkan atau mewakili kategori bagi lelaki dan perempuan. Begitu juga bagi ras dimana 1 mewakili kaum Melayu, 2 mewakili kaum Cina, 3 mewakili kaum India dan 4 mewakili kaum-kaum lain. Nombor hanya perwakilan sesuatu kumpulan data. Begitu juga bagi warna dimana kita boleh menyatakan 1 sebagai merah, 2 sebagai kuning, 3 sebagai hijau dan sebagainya. 77 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Ciri-ciri utama skala nominal adalah: a. Setiap ahli hanya dimiliki oleh satu kategori sahaja, misalnya, individu yang dikelaskan ke dalam kategori lelaki tidak boleh menjadi ahli kategori jantina lain. b. Nombor yang mewakili setiap kategori tidak mempunyai nilai pemeringkatan, tetapi dianggap sebagai nama kategori sahaja. c. Pengkelasan data asal bagi data nominal bersifat satu kepada satu. ii. Data Ordinal Ordinal ialah skala yang memberikan nilai pemeringkatan atau pangkatan. Data ordinal boleh disusun sama ada daripada yang terendah kepada nilai yang tertinggi atau daripada yang lemah kepada yang cemerlang. Nombor atau kategori yang diguna menggambarkan ukuran asal pembolehubah mengikut susunan daripada kecil kepada yang besar atau dari kategori yang kurang baik kepada kategori yang lebih baik. Kedudukan, gred dan jawatan adalah contoh data ordinal. Murid yang mendapat nombor 1 dalam kelas tentunya lebih baik dari murid yang mendapat nombor 2, 3 dan seterusnya. Gred A juga lebih baik dari gred B, C dan D. Sarjan lebih berpangkat berbanding koperal dan lanskoperal. Ciri-ciri utama data ordinal adalah : a. Kategori yang digunakan bagi mengkelaskan data ordinal adalah saling eksklusif. b. Ukuran yang digunakan, memperlihatkan pemeringkatan secara logik. c. Ukuran mempunyai pemberat dimana setiap kategori mempunyai pemberat yang kurang atau lebih berbanding kategori lain. Markah, ketinggian, berat, gred, dan jawatan adalah contoh data ordinal. Markah 80% tentunya lebih baik dari 50%. 160 cm sudah pasti lebih tinggi dari 100 cm. Objek yang beratnya 60 kg tentunya lebih berat dari 25 kg. 78 WAJ3105 LITERASI NOMBOR iii. Data Sela Skala sela mempunyai ciri pemeringkatan dan juga mempunyai perbezaan bagi setiap unit sela yang sama nilai. Skala ini berupaya menunjukkan perbezaan antara beberapa kategori dan ia boleh menunjukkan kesamaan dalam unit ukuran yang digunakan. Contoh ukuran berskala sela ialah ukuran suhu. Dalam hal ini, perbezaan suhu antara 25C dengan 35C adalah sama dengan perbezaan suhu antara 5C dengan 15C, iaitu perbezaan 10 darjah. Nilai perbezaan ini sama kerana ia dikira dari titik asalan iaitu 0C. Nilai sifar (0) merupakan suatu nilai yang arbitrari, yang tidak menggambarkan nilai kuantiti kosong, iaitu skala sela tidak mempunyai nilai mutlak. Misalnya, suhu 0C merupakan nilai permulaan sistem pengukuran suhu dalam C. Suhu 0C di sini bukan bermakna tidak ada kepanasan. Begitu juga dengan markah pencapaian. Katakan pelajar A mendapat markah 90 dan pelajar B mendapat markah 75. Bezanya adalah 15 markah. Jika pelajar C mendapat 60 markah dan pelajar D mendapat 45 markah, bezanya juga adalah 15 markah. Kita boleh kata perbezaan pelajar A dengan B dan perbezaan C dengan D adalah sama. Kita tidak boleh katakan kepandaian pelajar A dua kali ganda pelajar D walau pun pelajar A mendapat 90 markah dan pelajar D mendapat 45 markah. Sekiranya seorang pelajar memperolehi 0 markah, tidak bererti dia tiada kepandaian kerana nilai sifar (0) ini bukan mutlak dan hanya sebagai permulaan ukuran sahaja. Ciri-ciri skala sela adalah : i. Kategori yang digunakan bagi mengkelaskan data sela adalah saling eksklusif. ii. Ukuran yang diguna menggambarkan susunan pemeringkatan secara logik. iii. Ukuran yang diguna mempunyai pemberat, iaitu sesuatu ukuran sama ada lebih kecil atau lebih besar daripada yang lain. iv. Ukuran dalam skala sela bernilai arbitrari (tidak mutlak). Nilai sifar (0) juga adalah arbitrari. 79 WAJ3105 LITERASI NOMBOR v. Perbezaan satu unit ukuran mempunyai nilai yang sama bagi semua perbezaan ukuran. iv. Data Nisbah Skala nisbah ialah skala yang mempunyai semua ciri skala sela dan juga nilai mutlak. Dalam skala nisbah nilai sifar (0) adalah kosong dan mutlak. Jarak, berat dan wang adalah contoh data berskala nisbah. Jarak 6 km adalah dua kali jarak 3 km. Nilai wang RM10 adalah dua kali ganda nilai wang RM5. Nilai sifar (0) bagi jarak 0 km dan RM0 adalah benar-benar tiada jarak dan tiada wang. Apakah jenis data bagi makanan kegemaran? Apakah jenis data bagi saiz kasut? Apakah jenis data bagi kedudukan dalam kelas? Apakah yang dimaksudkan dengan skala Likert? Berikan contoh yang sesuai bagi data yang menggunakan skala Likert. 5.1.2 Perwakilan Data Perwakilan data boleh dibuat dalam bentuk carta dan graf. Antaranya ialah piktograf, carta palang, histogram, graf garis, carta pai dan ogif. Lihat contoh- contoh berikut. 80 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Jualan Setem Mengikut Bulan Januari Februari Mac 50 keping setem Rajah 5.1 Piktograf Umur Rajah 5.2 Histogram Anda dikehendaki mengumpul beberapa keratan perwakilan data dari bahan bercetak seperti akhbar, majalah, buletin dan sebagainya dan buat ulasan mengenai perwakilan tersebut. Perwakilan data mestilah pelbagai seperti piktograf, carta palang, histogram, graf garis, carta pai dan ogif. 81 Kekerapan WAJ3105 LITERASI NOMBOR Dapatkan maklumat tentang bagaimana cara mewakilkan data menggunakan stem and leaf, box-plot dan scattergram. Jadual 5.1 Data dalam Jadual 5.1 berikut menunjukkan data pemilikan kereta bagi 26 keluarga. Maksud data dan interpretasinya dijelaskan dalam para berikut. Bilangan kereta Gundal Kekerapan 0 3 1 8 2 12 3 1 4 2 Pembacaan data Data dibaca secara terus mengikut bilangan kereta dan kekerapan yang diberi. Tiga keluarga tidak memiliki kereta. Lapan keluarga memiliki sebuah kereta dan dua belas keluarga memiliki dua buah kereta. Manakala hanya satu keluarga memiliki sebuah kereta dan dua keluarga memiliki empat buah kereta. Intepretasi data Data diterjemah mengikut tujuan. Kebanyakan keluarga memiliki satu dan dua buah kereta. Sejumlah 12 keluarga memiliki dua buah kereta dan 8 keluarga memiliki sebuah kereta. Terdapat 3 keluarga yang kurang mampu untuk memiliki kereta manakala ada 3 keluarga lain mampu memiliki tiga dan empat buah kereta. 82 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Data dalam Jadual 5.1 boleh diwakilkan dalam bentuk carta palang. Bilangan kereta (buah) Bilangan kereta (buah) Bilangan kereta (buah) Jadual 5.2 berikut adalah contoh data terkumpul yang menunjukkan umur bagi 200 orang yang berada dalam satu dewan orang ramai. Perwakilan data dalam bentuk histogram ditunjukkan dalam Rajah 5.4. Jadual 5.2 Umur Gundal Kekerapan 0-9 8 10-19 12 20-29 24 30-39 43 40-49 41 50-59 27 60-69 23 70-79 18 80-89 3 90-99 1 83 Rajah 5.3 Carta Palang Pemilikan Kereta Setiap Keluarga Kekerapan (keluarga) WAJ3105 LITERASI NOMBOR Umur (tahun) Rajah 5.4 Histogram Pengunjung Dewan Orang Ramai Nyatakan perbezaan antara carta palang dan histogram? Bincangkan ciri-ciri carta palang dan histogram. Berikan 2 contoh data yang sesuai dipaparkan menggunakan carta palang dan histogram. Jadual berikut menunjukkan data rancangan TV yang diminati oleh sebilangan pelajar SMK Jalan Merab. Jumlah pelajar sekolah ini adalah 840 orang. A 46 B 32 C 28 D 25 E 23 F 21 G 25 Rancangan Bilangan Pelajar 84 Kekerapan (orang) WAJ3105 LITERASI NOMBOR a. Berapakah saiz sampel yang digunakan? b. Dalam peratus terhampir, berapa peratuskah Rancangan A diminati oleh pelajar sekolah ini? c. Berapa ramaikah pelajar sekolah ini berkemungkinan meminati rancangan A? d. Sekiranya Jamal kurang setuju dengan hasil dapatan ini dan dia membuat kajian ke atas 35 orang pelajar perempuan dalam kelas Pendidikan Jasmani beliau. Adakah sampel kajian Jamal rawak? Jelaskan. 5.2 MENGUMPUL, MENGANALISIS DAN MENTAFSIR DATA BERNOMBOR 5.2.1 Mengumpul Data Data asal atau data mentah boleh digunakan terus atau dikumpulkan terlebih dahulu untuk diwakilkan dalam bentuk yang dikehendaki. Data yang digunakan terus atau tidak perlu dikumpulkan. Lazimnya dalam kuantiti yang kecil atau mempunyai julat yang kecil. Misalnya data mengenai cita-cita pelajar dalam sesuatu kelas. Perwakilan data boleh digambarkan secara terus samada melalui piktograf, carta palang atau apa saja perwakilan yang sesuai (telah dibincangkan dalam 5.1). Bagi kuantiti data yang banyak atau besar julatnya, maka adalah lebih baik dikumpulkan dahulu data tersebut dalam sela mengikut saiz kelasnya. Perwakilan data boleh digambarkan melalui histogram atau apa saja perwakilan yang sesuai. Misalnya data mengenai umur orang yang datang ke dewan orang ramai. Data ini elok dikumpulkan dahulu. Jika umur 1-5 tahun dikumpulkan, maka saiz 85 WAJ3105 LITERASI NOMBOR kelasnya adalah 5. Secara umum data boleh dikumpul dalam kelas umur mengikut jadual berikut: Umur (Tahun) Gundalan Kekerapan 1 - 5 3 6 - 10 8 11 -15 12 16 - 20 1 2 Secara statistik, bilangan kelas dan saiz kelas dapat ditentukan dengan lebih baik melalui rumus berikut. Bilangan kelas, K 1 + 3 .3 log(n) K = bilangan kelas yang sesuai, n = jumlah data Saiz kelas = K terkecil Nilai - terbesar Nilai 35 65 65 70 74 75 70 62 50 62 65 66 78 70 45 62 60 80 72 52 68 72 47 55 55 55 95 70 55 68 66 85 68 60 82 60 66 90 56 80 62 70 40 48 75 80 68 72 5 75 Kirakan berapa bilangan kelas (K) dan saiz kelas yang sesuai bagi data di atas? 5.2.2 Menganalisis dan Mentafsir Data Selain menterjemah perwakilan data, kita juga boleh mengira nilai ukuran-ukuran kecenderungan memusat iaitu nilai min, mod dan median. Sebaran data pula boleh dilihat melalui nilai julat, sisihan piawai dan varians. 86 WAJ3105 LITERASI NOMBOR i. Ukuran Kecenderungan Memusat Secara umumnya, min adalah purata, median adalah nilai di tengah-tengah kumpulan data yang tersusun. Mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi atau paling kerap berlaku. Mencari Nilai Min, Mod dan Median Data Tidak Terkumpul Contoh berikut menunjukkan pengiraan min, median dan mod bagi data berikut. Data : 13, 18, 13, 14, 13, 16, 14, 21, 13 a. Min adalah purata = (13 + 18 + 13 + 14 + 13 + 16 + 14 + 21 + 13) 9 = 15 b. Median adalah nilai ditengah-tengah. Data perlu disusun dalam susunan menaik atau menurun terlebih dahulu. 13, 13, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 21 Jumlah data ialah sembilan, Maka, nilai di tengah-tengah adalah nilai ke (9+1) 2 = 10 2 = 5 (nilai kelima). 13, 13, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 21, maka median adalah 14. C c. Mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi. Dalam senarai ini mod adalah 13. Bagi dua set data berikut, cuba anda kirakan nilai-nilai kecenderungan memusat nya. Set A : 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8 Set B : 2, 3, 3, 4, 6, 7 87 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Bandingkan nilai-nilai yang telah anda kira dengan yang berikut. Ukuran Set A : 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8 Set B : 2, 3, 3, 4, 6, 7 Min Untuk mengira min, kita perlu jumlahkan semua data dan bahagi dengan bilangan data. Median Untuk mengira median, kita perlu susunkan data secara menaik atau menurun. Nilai ditengah- tengah adalah median. Jika terdapat dua nilai ditengah, maka puratanya adalah median. Mod Mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi. Mod boleh jadi lebih dari satu nilai samada dwimod atau multimod mengikut nilai pada data. Jumlahkan: 2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 7 + 8 = 32 Terdapat 7 data, maka perlu dibahagi 7: 32 7 = 4.57... Jadi min adalah 4.57 Susunkan secara menaik: 2 , 2 , 3 , (5) , 5 , 7 , 8 Nombor ditengah ditandakan dalam kurungan adalah 5. maka median adalah 5 Data : 2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8 Nilai yang kerap pada data adalah 2 dan 5. Kedua-duanya adalah nilai mod. maka mod adalah 2 dan 5 (dwimod) Jumlahkan: 2 + 3 + 3 + 4 + 6 + 7 = 25 Terdapat 6 data, maka perlu dibahagi 6: 25 6 = 4.166... Jadi min adalah 4.17 Susunkan secara menaik: 2 , 3 , (3 , 4) , 6 , 7 Nampaknya terdapat dua nilai ditengah dan puratanya adalah median. (3 + 4) 2 = 3.5 maka median adalah 3.5 Data : 2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 7 hanya nilai 3 sahaja yang kerap berbanding nilai lain. maka mod adalah 3 (unimod) 88 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Apakah yang anda faham bagi situasi berikut. Min bagi matapelajaran matematik kelas 5 Cempaka adalah 85 dan kelas 5 Mawar adalah 70 pada Ujian semester satu. Mencari Nilai Min, Mod dan Median Data Terkumpul Bagi data terkumpul, pengiraan ukuran kecenderungan memusat, seperti min, mod, median boleh dilakukan menggunakan rumus. Anda digalakkan secara berkumpulan membuat pembelajaran kendiri mengenai ukuran kecenderungan memusat bagi data terkumpul. Dilampirkan bersama sedikit panduan untuk anda. a. Min Min adalah purata dan ia dikira menggunakan nilai titik tengah. Pengiraannya boleh menggunakan rumus berikut. Mf ii fib. Median Nilai median bagi data tidak terkumpul adalah nilai yang terletak ditengah-tengah apabila data tersebut disusun secara menaik. Bagi data yang terkumpul, pengiraan median agak rumit dan boleh menggunakan rumus berikut: p 2 Ncf - L Median W fmed di mana L = had bawah selang kelas median cfp = jumlah terkumpul kekerapan sehingga kelas tersebut, tetapi tidak melibatkan kekerapan kelas median f = kekerapan median med89 WAJ3105 LITERASI NOMBOR W = keluasan selang kelas median (had atas kelas had bawah kelas) N = jumlah bilangan kekerapan c. Mod Kelas mod adalah selang kelas yang mempunyai kekerapan yang tertinggi. ii. Ukuran Serakan Ukuran serakan menerangkan sebaran atau taburan sesuatu set data. Menggunakan ukuran serakan bersama-sama ukuran kecenderungan memusat dapat memperihalkan perwakilan data dengan lebih lengkap. Rajah 5.5 menunjukkan tiga taburan dengan min sampel yang sama tetapi serakan berbeza. =50 Rajah 5.5 a. Julat Julat adalah perbezaan di antara nilai terbesar dan nilai terkecil. Walaupun ia hanya nilai nombor tunggal tetapi merupakan ukuran serakan kasar yang dapat menerangkan taburan sesuatu data. Julat = Nilai terbesar Nilai terkecil 2b. Varian Varian ialah purata jumlah kuasa dua sisihan antara min dan set nombor. Populasi varian ditandakan dengan huruf Greek, dan rumusnya ialah, 90 WAJ3105 LITERASI NOMBOR 2 2 N ) - (X Menggunakan set nombor seperti berikut, kita boleh mengira variannya. X X - ( X - )2 5 -8 64 9 -4 16 16 +3 9 17 +4 16 18 +5 25 X = 65 (X - ) = 0 (X - )2 = 130 Varian = 2 2 N ) - (X N ) - (X 130 26.0 5 c. Sisihan Piawai Sisihan piawai ialah punca kuasa dua varian. Sisihan piawai populasi ditandakan sebagai , dan dikira sebagaimana berikut. 2 2 Berdasarkan kepada contoh di atas, nilai sisihan piawai ialah 25.1 26 Ukuran Serakan Data Terkumpul i. Sisihan Piawai bagi Populasi dan Sampel Bagi data terkumpul, ukuran serakan seperti varian dan sisihan piawai dikira menggunakan rumus seperti dalam contoh berikut. Varian bagi sampel ditandakan sebagai s2 dan sisihan piawai ialah s. Pengiraan varian dan sisihan piawai bagi sampel berbeza sedikit daripada pengiraan varian dan sisihan piawai untuk populasi. Tujuan utama 91 WAJ3105 LITERASI NOMBOR pengiraan varian dan sisihan piawai untuk sampel adalah untuk menganggar varian dan sisihan piawai untuk populasi. Menggunakan (n 1) sebagai pembahagi (denominator) bagi sampel berbanding N untuk populasi, menghasilkan penganggaran yang lebih baik untuk nilai populasi. Varian untuk sampel: 2 2 s1 - n )X - (X Sisihan piawai untuk sampel: s s2 dan, Varian untuk populasi: 2 2N ) - f(M di mana, f = kekerapan M = titik tengah kelas N = f atau jumlah kekerapan populasi = min kumpulan bagi populasi. Apa yang anda faham bagi situasi berikut . Markah matematik kelas Cempaka berjulat 40 manakala kelas Mawar berjulat 60. Sisihan piawai untuk populasi: 292 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Berdasarkan min, mod dan median seperti yang terdapat pada serakan data dalam rajah-rajah berikut, bincangkan i) sifat-sifat data, dan ii) berikan contoh- contoh yang berkaitan. a) Taburan normal b) Pencong positif (positively skewed) c) Pencong negatif (negatively skewed) 93 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Apakah sifat-sifat yang ada pada taburan normal? Bincangkan tentang serakan data berikut . a) Lengkung berikut mempunyai serakan yang berbeza tetapi min yang sama. lengkung 2 lengkung 1 b) Lengkung berikut mempunyai serakan yang sama tetapi nilai minnya berbeza. lengkung 4 lengkung 3 94 WAJ3105 LITERASI NOMBOR 5.3 MENEROKA PERISTIWA BERKAITAN PELUANG Meneroka peristiwa berkaitan peluang dapat memberikan idea intuitif tentang kebarangkalian. 5.3.1 Kebarangkalian Aida melakukan ujikaji melambung sebiji dadu adil di atas meja dan dicatatkan kesudahannya. Adakah nombor 0 ialah kesudahannya? Mungkin jawapannya ialah barangkali atau kurang pasti atau mustahil. Daripada kenyataan di atas unsur-unsur ketidakpastian berlaku dan berlaku dalam kehidupan harian. Oleh itu adalah penting untuk kita memperoleh pengetahuan dan kemahiran dalam menentukan sejauh mana sesuatu kejadian itu mungkin berlaku. Dalam matematik unsur ketidakpastian dikaji dalam bidang kebarangkalian. Kebarangkalian berlaku daripada permainan yang melibatkan peluang seperti perjudian, kajian fizik, genetik, insuran dan sebagaimya. Beberapa terminologi yang berkaitan dengan kebarangkalian seperti ujikaji, kesudahan yang mungkin, ruang sampel dan peristiwa akan diberi tumpuan dalam modul ini. 5.3.2 Ujikaji dan Kesudahan Ujikaji ialah satu proses atau tindakan yang dilakukan untuk melihat kepada hasil. Misalnya aktiviti melambung duit syiling, kita akan memperhatikan kepada hasil yang berlaku. Dalam ujikaji melambung duit syiling, terdapat dua keputusan yang mungkin terjadi iaitu muka angka dan muka gambar dan setiap keputusan 95 WAJ3105 LITERASI NOMBOR ini dikenali sebagai kesudahan. Dengan kata lain kesudahan bagi suatu ujikaji ialah keputusan yang mungkin terjadi dalam ujikaji. 5.3.3 Ruang Sampel Ruang sampel ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu ujikaji. Ruang sampel diwakili oleh S a ta u d a n b ol eh di tuli s d e n g an menggunakan tata tanda set. Misalnya ruang sampel bagi ujikaji melambung sekeping duit syiling mempunyai 2 titik sampel. Semua kesudahan yang mungkin ialah gambar (g) dan angka (a), S = { g, a }. Begitu juga dengan ujikaji melambung sebiji dadu iaitu semua kesudahan yang mungkin 1, 2, 3, 4, 5, 6 iaitu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dalam suatu ujikaji kita boleh menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin untuk mendapatkan ruang sampel secara aktiviti dan penaakulan. Contoh Sebuah beg mengandungi guli yang berwarna putih, biru, dan hijau. Sebiji guli dikeluarkan secara rawak daripada beg itu. Kita boleh menentukan semua kesudahan yang mungkin bagi ujikaji mengambil sebiji guli daripada aktiviti. Sebaliknya kita boleh juga menentukan kesudahan yang mungkin secara penaakulan iaitu kita menganalisis ujikaji atau situasi berkenaan dan mempertimbangkan secara teliti semua kesudahan yang mungkin berlaku. Setiap kali guli diambil, guli berwarna putih atau biru atau hijau mungkin dipilih. Maka semua kesudahan yang mungkin ialah { putih, biru, hijau}. Begitu juga kita boleh meramalkan keputusan perlawanan hoki secara penaakulan, Terdapat 3 keputusan yang mungkin dicapai oleh perlawanan tersebut iaitu menang atau seri atau kalah. Maka kesudahan yang mungkin ialah { menang, seri, kalah }. 96 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Terdapat dua kaedah untuk menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin dengan menggunakan (a) Jadual (b) Gambar rajah pokok (a) Jadual Contoh 2 biji dadu dilambung serentak, maka ruang sampelnya adalah seperti berikut. Dadu 2 Dadu 1 1 2 3 4 5 6 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 3 4 5 6 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } (b) Gambar rajah pokok Gambar rajah pokok biasanya digunakan untuk membantu menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji yang melibatkan pemilihan secara berturut-turut. 97 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Contoh Dalam suatu permainan tertentu, seseorang pemain perlu memilih secara rawak dua keping kad dari sebuah kotak yang mengandungi dua keping kad yang masing-masing berlabel a dan b. Setelah kad pertama dipilih, kad tersebut perlu dimasukkan semula ke dalam kotak sebelum kad kedua dipilih. a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin. b) Tuliskan ruang sampel dengan menggunakan tatatanda set. Pilihan 1 Pilihan 2 Kesudahan a (a,a) a b (a,b) a (b,a) b b (b,b) S = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b) } 5.3.4 Peristiwa Menurut bahasa peristiwa bermaksud kejadian atau perkara yang menarik perhatian. Tanggal 31 Ogos 1957, adalah suatu peristiwa dalam sejarah negara kita. Dalam matematik, perkataan peristiwa menunjukkan kesudahan yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Peristiwa adalah subset bagi ruang sampel. Contoh Apabila sebiji dadu dilambung, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jika A : Peristiwa mendapat nombor genap Jika B : Peristiwa mendapat nombor perdana 98 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Jika C : Peristiwa mendapat nombor ganjil Maka A = { 2, 4, 6}, B = { 2, 3, 5 }, C = {1, 3, 5 } Cuba dapatkan jawapan bagi yang berikut. S E R A M Lima keping kad seperti yang ditunjukkan di atas telah dimasukkan ke dalam sebuah kotak. Sekeping kad itu adalah dipilih secara rawak daripada kotak itu. Nyatakan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi setiap syarat berikut. (a) Sekeping kad berhutruf vokal dipilih (b) Sekeping kad berhuruf konsonan dipilih Sesuatu peristiwa A adalah mungkin bagi suatu sampel jika SA dan A F . Jika A = F , maka peristiwa A adalah tidak mungkin berlaku. Contoh Satu nombor dua digit adalah dibentukkan daripada digit-digit 1, 2, 3. Tentukan sama ada setiap peristiwa yang berikut adalah mungkin bagi suatu ruang sampel atau tidak. a) A : Peristiwa mendapat satu nombor genap, b) B : Peristiwa mendapat satu nombor di antara 10 dan 34. c) C : Peristiwa mendapat satu nombor dengan keadaan hasil tambah digit- digitnya adalah lebih besar daripada 6. Penyelesaian S = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} a) A = {12, 22, 32} , SA Maka, peristiwa A adalah mungkin. 99 WAJ3105 LITERASI NOMBOR b) B = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}, B = S Maka, peristiwa B adalah mungkin. c) C = { } = F Maka, peristiwa C adalah tidak mungkin. 5.3.5 Kebarangkalian Kebarangkalian bagi peristiwa A berlaku ialah nisbah bilangan unsur dalam peristiwa A kepada bilangan unsur dalam ruang sampel, S P( A ) = An)( )( SnP( A ) = An)( )( Sn n ( A ) = bilangan unsur dalam peristiwa A atau bilangan kesudahan bagi peristiwa A n ( S ) = bilangan unsur dalam ruang sampel atau bilangan cubaan Kebarangkalian mempunyai nilai dari 0 hingga 1 iaitu 0 = P( A) = 1 P (A) = 0, bermakna peristiwa A tidak akan berlaku atau mustahil berlaku. P (A) = 1, bermakna peristiwa A pasti atau tentu berlaku. Contoh Sebiji dadu adil dilambung. A ialah peristiwa mendapat nombor perdana. Cari kebarangkalian A. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, n( S ) = 6 A = { 2, 3, 5 }, n( A ) = 3 = = 6 32 1 100 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Kebarangkalian tidak dapat meramalkan peristiwa secara pasti atau mutlak. Pada amnya, bilangan kesudahan yang dijangkakan bagi peristiwa A = (Bilangan cubaan) P(A) Contoh Dua keping duit syiling dilambung sebanyak 200 kali. Tentukan bilangan kali untuk mendapat dua gambar. Bilangan kali untuk mendapat dua gambar = x 200 = 50 5.3.6 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam suatu ruang sampel S terdiri daripada semua kesudahan S yang bukan kesudahan A. Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A biasanya ditandakan sebagai A . Jika A ialah sebarang peristiwa bagi ruang sampel S dan A ialah peristiwa pelengkapnya, iaitu kebarangkalian bagi peristiwa A tidak akan berlaku P( A ) = 1 P ( A ) Contoh Sa tu h u r u f d ipi li h se ca ra r a wa k d a ri p a da p e r ka ta an NKR A . Ji ka V mewakili peristiwa mendapatkan vokal, nyatakan pelengkap V S = { N, K, R, A } V = { A } V = { N, K, R } 5.3.7 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan daripada kesatuan atau persilangan dua peristiwa atau lebih. 101 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Peristiwa bergabung A atau B dan A dan B masing-masing dihasilkan daripada kesatuan dan persilangan dua peristiwa itu. Oleh itu, kita boleh menyenaraikan semua kesudahan bagi a) Peristiwa A atau B sebagai unsur set A B b) Peristiwa A dan B sebagai unsur set A n B. Contoh Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak dua kali. Senaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi peristiwa a) Mendapat angka pada lambungan pertama atau kedua. b) Mendapat angka pada lambungan pertama dan kedua. S = { (a,a), (a,g), (g,a), (g,g) } A : Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama A = { (a,a), (a,g) } B : Peristiwa mendapat angka pada lambungan kedua B = { (a,a), (g,a) } Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama atau kedua ialah peristiwa A atau B . Pe r i sti wa A atau B = A B = {(a, a) , (a, g) , (g, a)} Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama dan kedua ialah peristiwa A dan B . Pe r i sti wa A dan B = A n B = {(a, a)} 102 WAJ3105 LITERASI NOMBOR Ji ka ki ta d ap a t me n ye n a r ai ka n se t ke su d a ha n b a gi p e ri sti wa b e r g ab u n g A atau B d a n A dan B , ma ka ki ta b ol e h me n g i r a ke b a r an g kali a n d en g a n rumus berikut. P(A atau B) = P(A B) = BAn)( )( Sn , dan P(A dan B) = P(A B) = BAn)( )( Sn . Satu pemerhatian di pintu pagar sekolah telah dilakukan untuk mencatat bilangan penumpang setiap kereta yang masuk ke kawasan sekolah. Berikut adalah histogram yang dibina hasil dari pemerhatian tersebut. Bincangkan perkara berikut. Bilangan penumpang (orang) i. Berapa buah kereta yang membawa empat penumpang? ii. Berapa jumlah kereta yang masuk ke sekolah? 103 Kekerapan (bil kereta) WAJ3105 LITERASI NOMBOR Perwakilan data berikut telah dipetik daripada beberapa penerbitan. Bincangkan apakah kesilapan atau kekeliruan yang terdapat dalam perwakilan data tersebut. Chua Yan Piaw (2006). Kaedah Dan Statistik Penyelidikan. The McGraw-Hill companies, Malalaysia. Hopkins, K.D. (1998). Educational and Psycological Measurement and Evaluation. (8 th. Ed). Boston: Allyn and Bacon. Jerry Howett (2000). Number power ( a real world approach toMaths). Contemporary Books. USA Mohd Majid Konting (2000). Kaedah Penyelidikan Pendidikan. Kuala Lumpur, Noll, V.H. & Scannel, D.P. (1992). Introductions to Educational Measurement. Boston: Houghton Mifflin Company. Popham, W.J. (2000). Modern Educational Measurement, Practical Guidelines for Educational Leaders. (3rd. Ed). Boston: Allyn and Bacon. Siti Rahayah Ariffin (2003). Teori, Konsep dan Amalan Dalam Pengukuran dan Penilaian. Penerbitan Pusat Pembangunan Akademik, Bangi, Universiti Kebangsaan Malaysia. Yap Yee Khiong, Wan Chwee Seng, Ismail Abu Bakar (1985). Pengukuran Dan Penilaian dalam Pendidikan. Kuala Lumpur, Heinemann Asia. Percetakan Dewan Bahasa Dan Pusaka. 104