Click here to load reader

Vse Ross 111

  • View
    102

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Vse Ross 111

. . . . . . . . . .

19932006

. .

2007

51 74.200.58:22.1 76 : . . , . . , . . . . , . . . .

. 76 19932006: / . . . . . . . .: , 2007. 472 .ISBN 978-5-94057-262-6 ( ) 19932006 . . , . . . , , . .

74.200.58:22.1

ISBN 978-5-94057-262-6

c . . , . . , . . , . . , . . , 2007. c , 2007.

3

. , , , . 30- , . . . , . 50- 60- . , , 1960 . . 1961 . , . , 1967 . 1974 , . : , (-, , -, ). : , (), (, ) . . . . 199293 , . ( ). , , , , , , , , , .

4

2001 . ( ) : , , -, , , . . -. ( ) . , . , , , , (), , , - , , , , , , , -, , , () . , . , 90- , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. . .. , .. , .. , .. . , , . . , 19932006 . . . .

5

N ; Z ; Q ; R ; a A a A; ; B A B A; A B A B ; A B A B ; A \ B A B (. . , A, B ); f : A B f , A, B ;n i=1 n i=1

ai a1 , a2 , . . . , an ; ai a1 , a2 , . . . , an ;

[x] x, . . , x; {x} x, ({x} = x [x]); . . b b | a a b ( b a); a. a b (mod n) a b n (. . a b n); (a, b) ( (a, b)) a b; (a, b) ( [a, b]) a b; AC (ABC ) AC ( AC , B ); P (M ) PM M ; S (M ) SM M ; V (M ) VM M ; (a, b) a b; n! n-, n , n! = = 1 2 . . . n; k n k , . . k - Cn n! k n- , Cn = (n (0 k n). k)!k!

1992 1993 , 9

7

19921993 .9 1. , a b a2 + ab + b2 3(a + b 1). 2. , , 11. (. ) 3. AB BC ABC M N . AN CM O, AO = = CO. ABC , (.) ) AM = CN ; ) BM = BN ? 4. n . , . , . , ? (.) 5. , x3 + y 3 = 4(x2 y + xy 2 + 1) . (.) 6. l , . , , l, . , l , l, , l, . 7. AC ABCD E , A C , AB BC N M , AE = N E CE = M E . K AM CN . , K , E D . 8. 0. : + , 1 1993. 1993 , 1 1993 . , (.) (.)

8

.

, . (., .--) ? 10 9. AC ABC D. AM CH BD N K . , AK = BK , AN = 2KM . 10. . 2. 11. 1 = 4, x1 + x 2 1 = 1, + x 2 x 3 1 = 4, x3 + x 4 ............... 1 x99 + x100 = 4, x + 1 = 1. 100 x1(. )

(.)

12. N 30% . , . , N , (.) . 13. . 5. 3 (.) 14. , 2 + 3 + . . . 1993 1993 < 2. 15. BC CD ABCD M N . BD AM AN AM N E F , . , , K , EK AD, F K AB , (.) M N . 16. 1000 1000 2 994 (. . 1). , , , , . . , (. ) . ? 11 17. n, 5n 2n . (.)

1992 1993 , 11

9

8. (.) 19. O . O ... . ... A, B , C D * , . 1 AB , BC CD . , AD (.) . 20. 2n-. , , (.) . 21. : x3 + . . . x2 + . . . x + . . . = 0. . , . (.) ? 22. . , . , , . 23. ABC . B l, A C , l, D E . , D = = E , DEP DET , l. P T . 24. 1993 , 93 . , . , , 62 . ( (. ) .)(.) (.)

... ...

... ... ... ...

18. , n > 2 3 3 +1 n+ 3n+2

10

.

19931994 .9 25. - -, - . , . 10 22 , 2 , . , , . , , . , 5 , 3 , , . ? ( (.) ). 26. A, B , C D , C A D A, C B D B . , C , A B , (.) D . 27. P (x) , n, , P (n) (.) ? 28. 32 , 8 . , . , , . ? ( , , , (. ) ). 29. , ax5 + bx4 + c = 0 . , cx5 + bx + a = 0 . (.) 30. KLM P . S1 O1 LK LP KLP A D , S2 O2 M LP , LP B . , O1

1993 1994 , 10

11

AB . C O2 D KL. (. ) , BC ABD. 31. p, q , r s , . p2 + qs p2 + qr . ( (. ) p, q , r s .) 32. 16 . . , - ? 10 33. : , , , , , , . , . - (.) ) ; ) ? 34. x2 + ax + b = 0 . , x4 + ax3 + (b 2)x2 ax + 1 = 0 (.) . 35. O ABCD BC AD E F . AO EF K , DO EF N , BK CN M . , (.) O, K , M N . 36. m n : d a b. 2 (.)

c

, a b 3. (.) 37. , . (.) 38. P (x) , , , P (19) = P (94) = (.) = 1994.

12

.

39. ABCDE AB CD, BC DE . , AB = (.) = AE = ED = 1, BC + CD < 1. 40. n m (m n + 1). . , . : . , , (., .) . 11 41. , x, 0 < x < /3, (.) sin 2x + cos x > 1. 42. , . , , , , , . (.) 43. O ABC AB , BC AC E , F D . AO CO EF N M . , , OM N , O D (.) . 44. n- m (m > n). , , : , . , n- , , (.) n. 45. . 37. 46. f (x) x+1 (x 1)f f (x) = x x1 (.) x = 1. . 47. SA, SB SC SABC A1 , B1 C1 , A1 B1 C1 ABC . O , S , A, B C1 . , SO A1 B1 C . (.)

1994 1995 , 9

13

48. A1 , A2 , . . . , An , B1 , B2 , . . . , Bn , A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn . Ai Aj , Ai Aj Ak Bk , k = i, j . , Ap Aq . (., .--)

19941995 .9 49. , x y x y 1 . + 4 x4 + y 2 y + x2 xy 50. 1995 , ? (.) 51. R r C l A B C D (. . 3). , , ABC l (.) AB . A B 52. . 3 12- 12 ( ). , , (.) ? 53. p , p2 + 11 6 ( ). (. ) 54. S1 S2 O1 O2 A B (. . 4). , O1 , O2 A, S1 D, S2 E (.) AB C . , CD = CB = CE . 55. 5 , , 1 (. . 5). . , . , (.) , .(. )

14

.

C D B O1 S1 A. 4

E

O2 S2. 5

56. 11 11 1 121 , , , , (.) ? 10 1 57. f (x) = . f (. . . f (f (19)) . . .). (.) 3 31x

58. m n , (m, n) + (m, n) = m + n (.) , m n . 59. ABC BK S , AB BC E F . S E F . , , (.) B . 60. , ( ). , , (., .) . 61. f (x) = = ax2 + bx + c, , a < b f (x) 0 x. b+c (. ) a + ba ? 62. ABCD, AB = AD ABC = = ADC = 90 . BC CD (.) F E , DF AE . , AF BE . 63. N 3 , (. . ). N -

95

1994 1995 , 11

15

N ? 64. , . : , . , . , : , , , . , (.) . 11 65. . 57. 66. . , . 67. . 52. 68. , , k + 1 . , 2k 1 , (.) . 69. , , sin + sin + sin 2. 5. (.) , cos + cos + cos 70. a0 , a1 , a2 , . . . , m n (m n) 1 am+n + amn = (a2m + a2n ). 2 a1995 , a1 = 1. (.) 71. S1 S2 O1 E F O2 A B (. M B . 6). O1 B S2 N F , O2 B S1 O1 O2 E . , B EF , A S1 S2 M . 6 N . , M N = = AE + AF . (.) 72. . 64.(., .) (.)

16

.

19951996 .8 73. 2000 . 4005 3992 (4003 + 2 4002 + 3 400 + 4) (.) . ?1 74. 000000 999999 , 5. (.) . 75. ( 180 ) ABCDE , ABD, BCE , CDA, DEB EAC ? 76. n (n > 1). . 1 n 1, , . , . n, (.) . 77. 8 8, , (.) ? 78. , B ABC , . , 60 , , ABC , AC . 79. ( ) . ( ) . 3 (.) . ? 80. 4 , 3 , , , . , , , , . (. ) (.)

1 ,

.

1995 1996 , 9

17

, (.) ? 9 81. x2 + ax + b, x2 + cx + d , a b , c d . 82. ABC , AB = BC , AB D, ADC BDC S1 S2 . , S1 D, S2 M . , BM AC . (.) 83. a, b c . , , abc . (.) 84. n, (. . 7), . , , . , n . (.) ? . 7 85. , (. ) , 3500. 86. . 78. 87. , 0 < a, b < 1, ab(1 a)(1 b) > a + b + c, a + b + c > 3. (. )

18

.

90. , , (.) ? 91. B . M . , . . M . (.) M ? 92. n n (n 3) 1 1. , , n , 0. , n 4. 93. . 85. 94. A0 B0 C0 . A0 B0 A1 , A2 , . . . , An , B0 C0 C1 , C2 , . . . , Cn , Ai Ci+1 (i = 0, 1, . . . , n1) Ci Ai+1 (i = 0, 1, . . . , n 1) . C0 A1 , A1 C2 , A2 C1 C1 A0 , C1 A2 , A2 C3 , A3 C2 C2 A1 , . . , n 1 A0 B0 C0 . 95. . 88. 96. 1996 . , . , . , , .(.) (., .) (.)

11 97. . 81. 98. 2n , , . 2n , ? (.) 99. 1. , 1 3 . (.)

1996 1997 , 8

19

100. P (x) n n . ? 101. f (x) = 4 4|x| 2. (.) f (f (x)) = x? 102. n, a, b, c d (b c)(a d) (a b)(d c) (a c)(b d) (a c)(b d) , , , , (b c)(a d) (a c)(b d) (a d)(b c) (a b)(c d) , n. (.) 103. ABC O , COA = B + 60 , COB = A + 60 , AOB = C + 60 . , AO, BO, CO , ABC (.) . 104. , a b, , a aba b bba (, )? ( , n, i = 1, 2, . . . i- (.) (i + n)-.)(.)

19961997 .8 105. , 1 16 , , (.) . 106. 300 , , . , , , (.) . 107. AB BC ABC D K , AC E M , DA + AE = KC + + CM = AB . , DM KE 60 . 108. 50 000 . 7. (.)

20

.

( ). , , , , . , . , (. ) 97 , . 109. AB , BC CA K1 , K2 , K3 . , ABC , (.) K1 , K2 K3 . 110. 1 37 , . , 37, (.) 1? 111. p q , p3 q 5 = (p + q )2 . 112. , . 10 . , (.) ? 9 113. 1997- . , (.) . 114. 1, 2, 3, . . . , 1000. . , . , , , . ? 115. 300 , , . , , , (.) . 116. , . . , , (.) (.)

1996 1997 , 10

21

. , (.) , . 117. , 1997 , , . (.) , 0. 118. . 110. 119. ABC . B1 ABC ( AB BC ), C1 ACB , A1 CAB . A1 , B1 C1 lA , lB , lC , BAC , ABC ACB . , lA , lB lC . (.) 120. . 112. 10 121. -97 , , : ) , ; ) ; ) a b x2 + ax + b = = 0, , . . x. -97 , ? (.) 122. S1 S2 M N . , A C ABCD S1 , B D S2 , (.) M N . 123. m n. , 2n 1 (2m 1)2 , n (.) m(2m 1). 124. 4. 3 , , (.) 1 3? 125. , 100 , , . , . (.) 126. , .

22

.

10 , 2 , . , , ? 127. O1 O2 ABC (AB = BC ). , ABC O1 O2 A, A D. , BD , (.) O1 O2 A. 128. , x+a+ y+b+ z+c= y+a+ z+b+ x+c= = z+a+ x+b+ y+c (.) a, b, c, x, y , z , x = y = z a = b = c. 11 129. . 121. 130. ABC K . , ABC , (.) K . 131. S (m) m. , n , (.) S (3n ) S (3n+1 ). 132. . 124. 133. , A B ( ) A B ( C , C ). , A B A B (.) . 134. , 1 < a < b < c, (.) loga (loga b) + logb (logb c) + logc (logc a) > 0. 135. n- (n 4) , n- (., .) ? 136. f : R R, , , (.) f ((x + y )) = f (x) + f (y ) ?(.)

1997 1998 , 8

23

19971998 .8 137. n- M N , M , N , 0 9 M N , M N ? 138. ABCD M N BC CD . AM AN BAD (.) ? 139. 52 , 13 . . . , , - . , , , , (.) 13 . 140. n 9 . 9 , . , n (.) . 141. 1 9 (. . 8) , , - ( ), (.) . 142. 128 . - , : . 8 , . 64 , - . 7 . , (.) . 143. O , ABC , SA , SB , SC O, BC , CA, AB . , : SA , A, SB B SC C , 180 . (.) 144. , , ( ) , . , (.)

24

.

, , . , , (.) . 9 145. (.) . . 146. D P Q. P A, B, C, D, . 9. , AP B = B C (.) = CQD. 147. Q , 11111 A . . 9 ? 148. 102 102 , 101 . ? , , , , (.) . 149. , . 19 (.) 98? 150. 1 101 : , . 1, 2, 3 4 . , . , . : , , (.) ? 151. 1998- A1 A2 ...A1998 . A1 A2 , , A2 A3 , A3 A4 , . . . , A1998 A1 ( (., . )

1997 1998 , 10

25

), . , (.) 1998-. 152. , 1. , , . (.) ? 10 153. f (x) = x + ax + b cos x. a b, f (x) = 0 f (f (x)) = 0 (.) . 154. ABC O B C S . OK S , D E (.) AB AC . , ADKE . 155. , , . ( (.) .) 156. 1999 : 1, 2, 4, . . . , 21998 . . , . , (. ) ? 157. {(x + 1)3 } = x3 , {z } z , . . {z } = z [z ]. (.) 158. A1 A2 A3 A4 A5 l1 , l2 , . . . , l5 A1 , A2 , . . . , A5 . l1 l2 B1 , l2 l3 B2 . ., l5 l1 B5 . B1 B2 B3 B4 B5 ?2

159. n (n 3) . , (.) ? 160. 1 144. 1 144 , -

(., .)

26

.

. 2 , 1 . , (.) ? 11 161. , 36 . . (. . , , (.) . .). 36 ? 162. S O S A B . S , S C . AC BC S , A B , E D . , DE OC . (.) 163. . 155. 164. n n, n 1 , . : , , , , , , . , (.) ? 165. . , 5 , . 71998 . 19987 ? (.) 166. , . , , , . A , B , a b . , A B = 4(a b). (.) 167. 2, . , . (.) .

1998 1999 , 8

27

168. {an }, n = 1, 2, . . ., , n m |an am | 1 < < 1998. 1998 |n m| , |an n| < 2 000 000 n.(.)

19981999 .8 169. , 33 . , 25 /, 20 / ( ). 5 /. , 3 . 170. A . 1 A. (.) A. 171. BC , CA, AB ABC A1 , B1 , C1 , A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 A1 B1 C1 AB , BC , CA. , A1 , B1 , C1 (.) ABC . 172. 40 , . , k , ; . k 40 (.) ? 173. , 1 15 : A 2 B 13 , B (.) A. 174. ABC . A1 A BC , C1 C AB . , A1 , B C1 C1 B = 2A1 B , CA1 B . (.)(.)

28

.

175. . , . , . (.) ? 176. 54 , . ( ) . (.) 3 3 3? 9 177. 1 N , N 2. , . (.) N . 178. ABC AC D E , AB = AD BE = EC (E A D). F BC , ABC . , (.) B , E , D, F . 179. x, y z 1. , 1 1 1 + + x + y + z, x y z k 1 1 1 + k + k xk + y k + z k . (.) k x y z 180. 8 8, 1 1 (, , , ). . , , . , , 90 . , 8 8, , 90 . , . (. ) 181. 5 , . , .(.)

1998 1999 , 10

29

182. . 175. 183. , , . ( 1 , , 12 (.) : 2 3.) 184. ABC (AB > BC ) K M AB AC , O . P KM CO, Q , QP KM QM ||BO. (.) , QO AC . 10 185. . 170. 186. , A, B (B = A). BXY , X Y XY A. , , BXY , (.) . 187. n ( , ). . , n 3 , , (., .) n 3 . 188. . 180. 189. 10 , , 9 ? (., .) 190. ABC , AB , AC BC C1 , B1 A1 . K , C1 , D (.) B1 C1 A1 K . , CD = CB1 . 191. n . n + 1 . , (n + 1)- , . , . 192. . , 1999 . ,(.)

30

.

, .(.)

11 193. f (x), , , a > 1 f (x)+ f (ax) . (.) , f (x) . 194. . 179. 195. . , . , (.) , . 196. . , . (.) , 6. 197. a, b c , x y |x + a| + |x + y + b| + |y + c| > |x| + |x + y | + |y |?(.) 198. 50 50 . , , (. . , , ) ( (., .) ). 199. . 184. 200. , . , , (.) .

19992000 .8 201. a b a2 b2 (a2 b2 + 4) = 2(a6 + b6 ). , . (.) 202. 3 . , . . , (.) .

1999 2000 , 9

31

203. ( ), ? 204. , , . . ( , , ) . . , . , , . , ? (.) . 205. 8 1, 2, . . . , 8 , , . , , , , (.) . ? 206. A B X (0 < X < 60). X , , A, B (.) X . 207. AD CE ABC O. , AB CE , , BC AD, K . , KO (.) AC . 208. 2000 . , (. . 1, 2, 4, 8, . . . ). A , , A , 2000 . 100 000. , .(.) (.)

9 209. x2 + ax + b = 0 ( , , ). , , (.) ?

32

.

210. a, b c, 1 , 2a + 1 b, 2b + 1 c, 2c + 1 a? (.) 211. 2n + 1 . n . , , (.) . 212. S1 S2 C F N M N . A S1 AM D A AN , S2 B S2 C , D S2 S1 M DM DN , S1 B E F , A, E , F E M N , D, B , C . 10 (. . 10). , AB = DE , A, F , C D , (., .) A D. 213. 99 101 3 3 3 , . 11. , 1 2 3 23 33 43 200. (.) 214. 2000 - 33 43 53 . . . . . 10, . . . . . .. 9,9. . 11 , , . (.) ? 215. AB ABC D. , BCD, AC M , , ACD, BC N (M, N = C ). O CM N . , OD (.) AB . 216. 200 200 , 404 , . , 2 2, .(., .)

10 217. 2000 : 11, 101, 1001, . . . , 99% . (., .)

1999 2000 , 11

33

218. 3 , , , . (.) ? 219. ABCD A, 60 . O , ABD. AO C K . (.) AO/OK . 220. n n n 40 40 49 49 , ? 221. f (x), x R x, y R (., ) |f (x + y ) + sin x + sin y | < 2? 222. a0 an {an } an+1 = a2 n 5, an , 2 , an . , a0 > 5 {an } . (.) 223. ABCD la , lb , lc , ld A, B, C, D . la lb , lb lc , lc ld , ld la K, L, M, N . , 3 , K AB , L BC , M CD . , ABCD (.) . 224. 2000 , . , N . , 2N + 2 , .(., .) (.)

11 225. , a1 , a2 , . . . , a10 , (x a1 )(x a2 ) . . . (x a10 ) = (x + a1 )(x + a2 ) . . . (x + a10 ) 5 . (.) 226. 1. 1 ?(.)

34

.

227. a1 , a2 , . . . , a2000 , n, 1 n 2000, 3 3 2 a3 1 + a2 + . . . + an = (a1 + a2 + . . . + an ) . , . 228. . 220. 229. x y , 1, , 1 1 2 + (.) . 2 2 1 + xy 1+x 1+y 230. , ABC , O AC K . O, ABC . E F AB BC , B ; B1 B2 AC , B1 A. , B , K P (.) B2 E B1 F . 231. 1, 2, . . . , N , , . , . (.) N ? 232. 2000 , . , N . , N + 2 , .(., ., .) (.)

20002001 .8 233. 1, 2, . . . , 10 , , , (. ) ? 234. N . , , ( ). N , 1 2, ?(.)

2000 2001 , 9

35

235. , . , (.) . 236. n m, m, n 2, , n m (n 1) (m 1) . , , . . , . (.) ? 237. a, b, c, d, e f , a c e = 0. , |ax + b| + |cx + d| |ex + f | (. ) x. , ad = bc. 238. n , n, n + 1, n + 2 n + 3 . (, n = 60398 .) , (.) , ? 239. 55 4 , , , (.) 3 ? 240. , 3 , .(.)

9 241. . 233. 242. : a b f = x2 + ax + + b: 1, 1 3. , , . , a (.) b ? 243. ABCD AB BC M N , AM = N C , Q AN CM . , DQ D. (.) 244. , 100 . . ,

36

.

. , . (.) ? 245. . , (.) , . 246. , ( 1 ) 2001 ? (.) 247. , O, A B , K AB . OB L , OA KL . M , KLB , AK , K . , (., .) OM . 248. , . , 100 .(.)

10 249. a1 , a2 , . . . , an . f (x) , f (a1 ) = f (a2 + . . . + an ). , A , B , f (A) = f (B ). (.) 250. ABCD AC K . s1 K AB AD (s1 AC AK ). s2 K CB CD (s2 AC KC ). , K AC , s1 s2 , . (. ) 251. , : a, b c ( ) 2000(a + b) = c, (.) , . 252. , 10 . (.) ?

2000 2001 , 11

37

253. a, b c, c = b. , ax2 + bx + c (c b)x2 + (c a)x + (a + b) ( ). , a + b + 2c 3. (.) 254. ABC . AC B1 , AB = AB1 , B1 C A. C , B1 A ABC , , ABC , Q. , , (.) Q, AC . 255. , , ( , ). , 100 , (.) . 256. , . , . (.) ? 11 257. p q , p + q = (p q )3 . 258. f (x) 2 . , f (f (x)) = 0 3 , f (f (f (x))) = 0 7 ? 259. AD ABC , l , ADB ADC M N . , , (.) BD, DC M N , l. 260. . 252. 261. {xk } , x1 = 1, xn+1 = n sin xn + + 1. , . (.) 262. , , , , , , () .(., .) (. )

38

.

263. S , 1 1 S . , A B S , X S : (.) |XA|, |XB | 0,999|AB |. 264. , , 117 , 4 (., .) , .

20012002 .8 265. 9 2002 , (.) ? 266. 9 9 . , , , , ( , ). 267. 11 . - 10 . , . , 21 . (.) ? 268. ABC . ABC1 , BCA1 , CAB1 . , A1 B1 C1 . (.) 269. , , 9; , , 0. (.) 1234 2002? 270. . , 8 . , (.) . 271. , . , , (.)

2001 2002 , 9

39

, , . , . ( . (.) .) 272. 18 , , - 99 , 100 . 99- . (.) 9 273. . 266. 274. . , (.) . 275. ABC (AB = BC ) O . M BO, M M AB . K M O AB . L BC , CLO = BLM . , O, K, B, L . (.) 276. 4 n , 3 . , n . , , . (.) 277. 1, 2, . . . , 60 , , , 2, , , 3, . . . , , (.) , 7? 278. A ABCD , AA . B , C , D . , ABCD A B C D ABCD. (.) 279. [0, 2002] d, d 1001 . , . , , (., .) ?

40

.

280. . 272. 10 281. a1 , a2 , . . . , an , 2, : a2 k +1 k = 1, 2, . . . , n? (.) 282. m2 + 1 . , m + 1 , . 283. AC ABC BC M (. . 12). AM B ABC K . , , AKM BKM , AKB . (.) 284. a0 , a1 , . . . , an : a0 = 0, 0 ak+1 ak 1 k = 0, 1, . . . , n 1. n k=1

(.)

B K M

A

C. 122

a3 k

n

akk=1

.

(.)

285. Ox X1 , . . . , Xn , n 3. , Ox ( ). y = f1 , . . . , y = fm , . , y = f1 + . . . + fm Ox . (.) 286. . 278. 287. [0, 2002] n 1 > 0 , , [0, 2002], (. . , 1). n , . ( , .) , , ?(., .)

2001 2002 , 11

41

288. 10 10 , (.) , ? 11 289. x y , p q xp + y q . , x y . (.) 290. SABCD ABCD. AA1 , BB1 , CC1 , DD1 SC , SD, SA SB . , S , A1 , B1 , C1 , D1 . , AA1 , BB1 , CC1 , DD1 . (.) 291. a0 , a1 , . . . , an : a0 = 0, ak+1 ak + 1 k = 0, 1, . . . , n 1. n k=1

a3 k

n

2

akk=1

.

(.)

292. n2 , n n . , - . , , n . (., .) 293. P (x) . , P (P (x)) = 0 , (.) P (x) = 0. 294. n > 1 . . - , ; , , . (.) ? 295. ABCD. lA , lB , lC , lD . lA lB K , lB lC L, lC lD M , lD lA N . , , ABK CDM , , , BCL DAN (.) .

42

.

296. [0, N ] 2 , , [0, N ], . A B , 3, AB 3 , A, B . , [0, N ]? (., .)

20022003 .8 297. 1 10 , . (.) ? 298. , , . , OX ( , ). , OY (.) . 299. 1 1000. 1. 2a, a + + 1, a. , . , 1000. ? (.) 300. , , , , . ( (.) ). 301. 1 8, , . (.) ? 302. a, b, c d b ab + 1 a = = . c d cd + 1 , a = c b = d. (.)

2002 2003 , 9

43

303. ABC C . AC D, BD K , ABC = KAD = (.) = AKD. , BK = 2DC . 304. 2003 , a b (a > b) a + b a b . , , (.) . 9 305. , , (.) , . 306. . 298. 307. ABC (AB = BC ) , BC , F , AC . , F C AB . 308. . , , , , 11. (.) ? 309. I ABC . A , B , C , I ABC . , , A B C , B , ABC = 60 . 310. 100 . , , . , 1 , . , 2, 3, 4, . . . , 99 . (.) ? 311. , , , , (.) . 312. , (.) , .(.) (.) (.)

44

.

10 313. , sin , sin 2, sin 3 cos , cos 2, cos 3. (.) 314. . 307. 315. 45 . , , , . (.) ? 316. n (n > 2) , O , , , . , (.) . 317. x, x2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1 ( z ) y . (.) 318. A0 BC ABC , A . A0 A . . , BC , A, (.) . 319. , , , , , . 320. 17 , . , . , 5 ? (, , .)(., .) (.)

11 321. p, x y , px = y 3 + 1. (.) 322. AC ABCD 1 K , KD = DC , BAC = 1 2 KDC , DAC = 2 KBC . , KDA = BCA KDA = KBA. (.)

2003 2004 , 8

45

x . , f (x3 ) 23 x6 x. (.) 324. A1 , A2 , . . . , An B1 , B2 , . . . , Bn . , Bi , i = j Ai Aj Bi Bj . (.) 325. P (x) = x2 + ax + b Q(x) = x2 + cx + + d , P (Q(x)) = Q(P (x)) (.) . , b = d. 326. . 310. 327. ABCD. ABC T . ABC T ABD, BCD, CAD. , AT AT BAC . (.) 328. . 320.

323. f (x) x f (x2 ) x6

20032004 .8 329. . , 17.00, 18.00 , . ? 330. : 1) 5 , . 2) . ? (.) 331. . , (.) . 332. 11 11 11 1, 2, . . . . . . 1331. . , , 8, 9. , (.) ?(.)

46

. 2 2 2

b c 333. a; b; c; a b ; c ; a , a, b, c , ?

334. ABCD AD BC ; M N AB CD . M N , , ABC ADC . , ABCD (.) . 335. {N1 , . . . , Nk } , , , N1 , . . . , Nk . (.) k . 336. , , (.) , ? 9 337. . 330. 338. ABC AA , BB , CC A0 , B0 , C0 . , M ABC AA0 . , A0 B0 C0 . (.) 339. . 332. 340. , . , (.) , . 341. 100 100 . , 100 , , 11. , 99 , (.) , 11? 342. x, y , z , 2. , xy + 1 + yz + 1 + zx + 1 > x + y + z. (.) 343. ABCD M , AM D N , M N A + M CB = = M N D + M BC = 180. , M N AB . (.)

(.)

2003 2004 , 10

47

344. n , . , . , , . , ; . (.) , ? 10 345. a, b, c /2. , (.) cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c. 346. . 338. 347. . 340. 348. N 3 . , n . , N (n + 1)2 . (.) 349. xn + a1 xn1 + a2 xn2 + . . . + an1 x + an = 0 a1 , a2 , . . . , an n . , , (.) an1 an . 350. {N1 , . . . , Nk } , , , N1 , . . . , Nk . k . (.) 351. 1 2 A B . A 1 2 l1 l2 . T1 T2 1 2 , T1 A AT2 ( ). t1 T1 1 l2 M1 . , t2 T2 2 l1 M2 . , M1 M2 , T1 , T2 . (.) 352. p < k < n. , (k + 1) n (n , k + 1 ) p . , k (n + 1) (n + 1 , k ), (.) p + 1 .

48

.

11 353. . , k , k , (.) k . 354. 1 , 2 , 3 r S R (R > r) T1 , T2 , T3 . , T1 T2 (. ) ( S ) 1 2 . 355. P (x) = an xn + an1 xn1 + . . . + a0 a0 = 0. , , P (x), a0 , . (.) 356. 2004 , , . , , - . , , ( ), , - - , . . - (.) ? 357. . 341. 358. a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 i, ai = bi . . (.) ? 359. n , , , , (.) sin n + sin n + sin n < 0? 360. ABCD. S1 , A, B , C , AD, BD, CD K , L, M ; S2 , A, B , D, AC , BC , DC P , Q, M . , KL P Q. , KM Q LM P .(.)

2004 2005 , 8

49

20042005 .8 361. 12 90 . 90 . , 60 . , . (.) 362. 1 2005 . : , 2 , 1- 4 , 2- 8 . . (k - 2k1 ). , , . (.) ? 363. 19 . , (., .) 19- , 11? 364. ABC . B C B C AC AB . P ABB ACC , A. , (. ) ABC P A. 365. , N 100, 5N 50. , N . (.) 366. ABCD A C . B AD P . BP , A BC Q. , (.) P Q CD . 367. (x, y ) , x + y = an , (.) x2 + y 2 = am a, n, m. 368. 99 . , 50 , (., .) . 9 369. . . . , -

50

.

. , , (., .) , ? 370. . 363. 371. 24 2 2 2 1, 2, 3, . . . , 24 ( ). , 8 , , . (.) ? 372. ABC (AB < BC ) I , M AC , N ABC . , IM A = IN B . (.) 373. . 365. 374. , . , , . 375. {an }nN , an . . . an+9 an + . . . + an+9 n? (.) 376. 100 . , 34 , . (., .) 10 377. . (.) . 378. , x > 0 n (2x)n 1 + xn+1 . (.) (1 + x)n1 379. . 372. 380. N 3 , 1, 2, . . . , N . . , A B , A B , . (., .) . 381. a1 , a2 , . . . , , , n an an+31 2005.(.)

2004 2005 , 11

51

, 2005? 382. . 374. 383. (a, b) , n an + bn (n + 1)- . 384. , 45 , . (.) ? 11 385. x, y 0; 2 , sin x + sin y = sin(xy ). (.) 386. , S , , a + b + c + d = S 1 + 1 + 1 + 1 = S (a, b, c, d ), 1 + a c a1 b d(.) (.)

1 + 1 + 1 = S . S . (. ) + b c1 1 d1 387. . 380. 388. AA1 BB1 ABC . , A1 B1 , AB , C . , CC , (.) ABC . 389. , P k n, P (1) + (.) + P (2) + . . . + P (n) k . 390. S , . S . (.) , S S < 3. 20 391. , 10 , : , 7, , (.) 8? 392. 100 , . , 51 , , (., ., .) .

52

.

20052006 .8 393. - N , , , , N , . , . ( (.) , .) 394. . 1, 2, 3, 4. 1, . , . ? 395. . . , , . , , 4 . ( .) 396. , . 2 2 2, 1 1 1? ( 27 , ; (.) .) 397. a1 a2 . . . a100 , a1 , . . . , a100 . 99 , . , 32 . (. ) a1 , a2 , . . . , a100 ? 398. 101 101 99 99 (, , ). , 3 3 (.) ? 399. AA0 ABC A0 BC . A1 . (., ., ., .) (.)

2005 2006 , 9

53

B1 C1 . A1 B1 C1 , (.) ABC 30 , 30 120. 400. N 5 ( ). , , , . , . , , , , , . (., .) ? 9 401. . 393. 402. 1, 2, 3, 4 , . , , ( ) , , . ?2 2 403. , x2 1 + x2 + . . . + x6 = 6 x1 + x2 + . . . + x6 = 0. 1 , x1 x2 . . . x6 (.) 2. 404. A C ABC A0 C0 . , ABC AC , A0 C0 P . , P B (.) ABC . 405. . 397. 406. ABC AD (.) BE . , CED 45 . 407. . 400. 408. N , 81, , 3. , , 3. (.)

(.)

10 409. 1 200 50 . , , (.) . 410. 8 8 , . (

54

.

3 (., .) n, | sin nx| 2 . 414. ABC , . , , (.) . 415. n , a b, a + b an + bn ?

, 3 3 2 2.) , , (.) 68 . 411. . 404. 412. n > 1 x2 a1 x + b1 , . . . , x2 an x + bn , 2n a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn . , a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ? (.) 413. , x , sin x = 0 ,

416. 2n (n 3), . , 3 , ? (.) 11 417. . 409. 418. x2 + a1 x + b1 , x2 + a2 x + b2 , . . . , x2 + an x + bn P (x) = x2n + c1 x2n1 + c2 x2n2 +. . . . . . + c2n1 x + c2n , c1 , c2 , . . . , c2n . , k (1 k n) ak bk (.) . 419. 12 n . k ak ( ak a1 > a2 > . . . > an ). n a1 , . . . , an , (.) . 420. A C ABC A1 C1 , A0 C0 . A1 C1 A0 C0 P . , , P (.) ABC , AC .

(.)

2005 2006 , 11

55

421. . 413. 422. ABCD A AB , AC , AD , CD, BD, BC . , (B C D ) (.) (BCD). 423. , N , 3, , 3. 424. 300 300, , (., .) ?(.)

56

.

19921993 .9 425. n , 2n + 1 3n + 1 . 5n + 3 ? (.) 426. AB CD 1 O, AOC = 60 . , AC + BD 1. (.) 427. f (x) 1 + 1 (x 1)2 f 1 x2 f x x 1 .

x2 + 4x + 3 x2 + + 10x + 9? (.) 428. . : , , . , , (.) , , ? 429. x, y z , (x y )(y z )(z x) = x + y + z. (.) , x + y + z 27. 430. B2 , C1 B1 A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , D1 D2 (. . 13). C2 , A1 B2 = B1 C2 = C1 D2 = = D1 A2 , , A2 A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 , D1 D2 , D1 (.) . A1 431. D2 , . 13 , (.) ? 432. n x2 + x + = 0 (n ). . . , . 3n n . , , . , -

1992 1993 , 10

57

, ?(.)

10 433. . , . (.) 434. , , . , (.) . 435. . 427. 436. . , . : ? , , . , F . F , (.) , ? 437. . 429. 438. , , , , , (.) ? 439. n2 1. n n , n , , (.--) ? 440. {ak } {ak } ak = ak +2ak+1 . : {ak }, {ak } , {ak } {ak }, . . , , {ak } . , {xk } , {x2 (.) k } . 11 441. . 425. 442. , , , . ,

58

.

. 443. f (x), x, (.) x y f (xy ) = f (x)f (y) . 444. , n, n , , n2 1, 1993n , ( , ). 445. , - .(., .--) (.)

446. 1 1993. : k , k . , (.) 1. 447. n ( ) , . n (.) ? 448. , , , , , (.) , .

(.)

19931994 .449. , (x + 9 x2 + 1)(y + y 2 + 1) = 1, x + y = 0.(.)

450. S1 S2 F . l S1 S2 A B . , l, S2 C S1 . , (.) A, F C . 451. . 100 , 200, 300. .

1993 1994 , 10

59

, , . , . : (.) ? 452. n n . , (.) . 453. a2 an a1 + + ... + = a2 (a1 + a2 ) a3 (a2 + a3 ) a1 (an + a1 ) a2 a3 a1 = + + ...+ .(.) a1 (a1 + a2 ) a2 (a2 + a3 ) an (an + a1 ) 454. 1 1000 , - 1000 11994. n , n + 1. , (.) . 455. ABCD (AB CD) , AD BC P Q , : AP B = CP D, AQB = CQD. , P Q (.) . 456. . n n, , , . , 100 100, , . ( 100 100.)(.)

10 457. : P1 (x) = x2 + p1 x + q1 , P2 (x) = = x2 + p2 x + q2 P3 (x) = x2 + p3 x + q3 . , |P1 (x)| + (.) + |P2 (x)| = |P3 (x)| . 458. . 451. 459. a, b c , ma , mb mc , , D , . , b 2 + c2 c2 + a 2 a2 + b 2 + + 6D. (.) mc ma mb

60

.

460. (6n + 1)- K , . , (.) . 461. , k , m n [k, m] [m, n] [n, k ] [k, m, n]2 ( [x, y, . . .] x, y, . . .). (.) 462. f (x) g (x) , 1000. m (x, y ), f (x) = g (y ), n , f (x) = f (y ), k , g (x) = g (y ). , 2m n + (.) + k. 463. B S1 , S2 S3 S ( A1 , B1 C1 ) B1 ABC (. . 14). , AA1 , BB1 CC1 C1 . A1 (.) A 464. 30 , C . 14 . , ? ( , ; A B , (.) C , A C .) 11 1 b+1 465. a b , a + b + a . , a b (., .) a + b. 466. k , 2 k 50. , 2k , 2k - (.) .

1993 1994 , 11

61

467. S1 S2 F . S1 S2 A B . , AB , S2 C S1 D E . , , (.) ABC BDE , F . 468. . , . . , , , . , , . 469. a1 , a2 , . . . , an , . . . , a1 5 n an+1 = an + bn , bn an . , . (.) 470. . 462. 471. AA1 , BB1 , CC1 DD1 ABCD H , A1 B1 C1 D1 . , ABCD . ( , , ). 472. A B 1994 1994. A , . . , . B , . A , , . , . , . , A (.) .(.) (.)

62

.

19941995 .9 473. , x y , y z . z x . (.) x. 474. CD O AB , AE OC . , DE BC . (.) 475. , f (x), g (x) h(x) . f (g (h(x))) = 0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8? (.) 476. 9 9 1 81 , 3 3 (.) ? 477. , (, 1, 1, 2 112, 121, 211). , 1995- , , , (. ) . 478. A2 , B2 C2 AA1 , BB1 CC1 ABC . B2 A1 C2 , C2 B1 A2 A2 C1 B2 . (.) 479. . . , , , , ( ). , . ( , .) , , . (.) ? 480. 2000 2000 1 1. , . , 1000 1000 , , (.) , , 1000.

1994 1995 , 11

63

10 481. cos cos cos cos x = sin sin sin sin x. 482. . 474. 483. , k = 1, 2, 3, . . . k (.) k ? 484. , , . (., .) 485. {ai } , (ai , aj ) = (i, j ) i = j . , ai = i i N. ( (m, n) (.) m n.) 486. AB O , C D, AB M (M B < M A, M D < M C ). K , AOC DOB . , (.) M KO . 487. . 480. 488. P (x) Q(x), 1. , P (x)Q(x) (., .) P (x) Q(x). 11 489. 1, 2, 3, . . . , 100 12 (.) ? 490. , , , , (.) . 491. 1. , , . . . (n) , n, n (., .)

64

.

. (n) , . , (.) (n)/(n) . 492. . 484. 493. , a1 > 1 a1 , a2 , a3 , . . . 2 2 , a2 1. 1 + a2 + . . . + ak a1 + a2 + . . . + ak k 494. n n . , , . , , , , . n n , n 1 (.) n? 495. . , , , (.) 2 : 1, , . 496. . 488.(.)

19951996 .9 497. 1 1 000 000 : (.) ? 498. O1 , O2 O3 O3 . O1 , O2 O3 , . , , , O1 O2 , . 15

1995 1996 , 10

65

. , (.) . 499. x, y , p, n k , xn + y n = pk . , n (n > 1) , p , n p ( ). 500. 1600 , 16000 80 . , , (.) . 501. , , 1, , 729, , (.) 10. 502. ABC (AC = BC ) O , I , D BC , OD BI . (.) , ID AC . 503. . , , k , , , k k . , , x, x ( ), , x. 504. 5 7 (. . , 2 2 ), , , , (.) ? 10 505. BC ABCD E F ( E B , F ). , BAE = = CDF EAF = F DE . , F AC = EDB . 506. , . , (.) (.--) (., .)

66

.

. , (.) . 507. n, x y k , k > 1, 3n = xk + y k . 508. , a1 , a2 , . . . , am k = 0, 1, . . . , n (n < m 1) a1 + a2 2 k + a3 3 k + . . . + am m k = 0 , a1 , a2 , . . . , am n + 1 , . (.) 509. , , . , , , ? 510. . . : 1) . 2) . 3) . 4) , , . , , (.) , ? 511. , . , , , (.) . , 180 . 512. 10 , 10 , 20 . , 10 x2 + px + q , p q , 11 ?(.) (.) (., .)

1996 1997 , 9

67

11 513. , 1 n (n > 1), (.) ? 514. . , . , . (.) 515. , n 5 , n-, (n + 1)(., .) . 516. . 508. 517. , 1 , , , (.) ? 518. ABC (AB = BC ) CD. , CD ABC , BC E . , E CD, AB (.) F . , BE = F D. 519. M , n n M, (. ) M? 520. 1 100. 50 , 50 . , (.) 100 ?

19961997 .9 521. P (x) . , x y (.) (P (xy ))2 P (x2 ) P (y 2 ).

68

.

522. M 90 . , , 2, M , M . (.) 523. a b c (a, b c ) , , . . , c , . 524. : . , . ( ). , , . , . () ? 525. b c , x2 + bx + c = 0 2x2 + (b + 1)x + c + 1 = 0 (.) ? 526. 33 . , ( ). , 0 10 . , (.) . 527. , ABC , AB , BC CA M , N K . , A N K , M N D. , A M N , N K E . , DE (.) ABC . 528. 10 10 1, 2, 3, . . . , 100 , S . S . ( , (.) , .)(., ., .--)

1996 1997 , 11

69

10 529. (.) (x2 y 2 )2 = 1 + 16y. 530. n n (n 3) . . , ( , ), (.) . 531. A B . A , C , D. M N BC BD, A, K CD. , M KN . ( , C D (.) A.) 532. 100 , 99. , 100 . 533. ax2 + bx + c (a + 1)x2 + + (b + 1)x + (c + 1) , (.) ? 534. O, ABC , AC , AB BC K , M N . BB1 M N D. , O DK . (.) 535. m, n l , m + n = = ((m, n))2 , m + l = ((m, l))2 , n + l = ((n, l))2 . (.) 536. , , (, ). : 1) n 1 n n + 1; 2) n n + 1, n 2. , , , ( (.--) ). 11 537. . 529.(.)

70

.

538. : , . , . ( ). , , . , . (.) ? 539. . 531. 540. n n n . , ( ) . , . , , , (.) . 541. x2 + + px + q , p, q , 1 p 1997, 1 q 1997. : (.) ? 542. , l P l (. . , , l , P .) , , , l P . , P , l (.) . 543. , , , , . , . 544. m n, m n , 2 1 , 1 1 () . , , ( ). , (.)

1997 1998 , 9

71

(.) .

19971998 .9 545. , y = x y = 2x x 0, y = x2 + px + q . 0x. , 1 . () 546. . , , . , . (.) 547. S (x) x. a, b c, S (a + b) < 5, S (a + c) < 5 S (b + c) < 5, (., .) S (a + b + c) > 50? 548. 8 8, . , , ; , . , , . , , (., .) ? 549. 5 . . , , . , . (.) ? 550. ABC (AB > BC ) BM BL. , M AB , BL D, , L BC , BM E . , ED BL (.) . 551. N > 3 . . ,

72

.

. (.) ? 552. a b. , |a ab ( b|

). . . , (.) .

10 553. , y B C F Ox, 3 2 y = ax + bx + cx + A D E + d: A, D E , B , C F (. . 16). , x 0 AB C D EF CD . 16 Ox (.) AB EF . 554. . , 1, 1, , 1/ 2. , . 555. A ABC BC . Ka . Kb Kc . , , Ka , Kb Kc BC , CA AB , , . (.) 556. . 2k (k ). , , (k + 1)2 , , . , (.) . 557. : . 19 98. (.)

1997 1998 , 11

73

? 558. , a b a b. , (a b) c = a + b + c a, b (.) c. , a b = a + b. 559. n- (n > 3), . , , . , () ; , , . , (.) , . 560. (2n 1) (2n 1) +1 1. , ( , ). (.) . 11 561. . 553. 562. , ABC , BC , CA, AB A1 , B1 , C1 . A2 , B2 , C2 BAC , CBA, ACB ABC . , A1 A2 , B1 B2 C1 C2 (.) . 563. S , , . , , S (., .) . 564. N 1998 ( ). , , , . 200 , . , , (. )

74

.

, (., .) . 565. y = x2 y 1 , 2 , 3 , . . . , n > 1 n n1 (. . 17). 1998 , , 1 1 (.) . 566. 1998 , (.) ? x 0 567. ABCD, . 17 100, 1. , (.) 1,01. 568. : m n , , , , ( ). , (.) .

19981999 .9 569. A ( ). (.) 9 A? 570. , N , . , (, ). - N 1 , . , . (.) 571. ABC S . A0 BC S , A; C0 AB , C . S1 A0 BC , S2

1998 1999 , 10

75

C0 AB . , I ABC (.) S1 S2 . 572. 1 1 000 000 . 1 1 000 000 , , . . (.) , ? 573. 1 , n ( n = 5). 1 . 18 , , (. ) ? 574. , n n2 k=1

k

n2 1 . 2

({k } k .) (.) 575. , A B ABC , BC D. , B C , AB E F . , A, E , D, C (.) O. , BF O . 576. 2000 , . , ( ) , , . , - , . (.) ? 10 577. - . -, . . , , . , - 1999 , -

76

.

. , - , , (.) , . 578. a1 , a2 , a3 , . . . , , , an1 + an2 . (.) an = (an1 , an2 ) 579. , ABC , AB , BC AC K , L M . , BKL, CLM AKM , , ABC . , . (.) 580. n n n2 , . , . , , . , , 2 , , n 3 (.) . 581. n 100, 44n 800. 3n? 582. ABC , A B , BC , , B C , AB K , K = B . O ABC . , (.) BKO . 583. x y (.) x2 + y 3 x3 + y 4 . , x3 + y 3 2. 584. 12 9 5 . , 6 (.) . 11 585. 19 (.) , 1999? 586. . , , (.) . 587. , ABCD, DA, AB , BC , CD K , L, M , N . (.)

1999 2000 , 9

77

S1 , S2 , S3 , S4 , AKL, BLM , CM N , DN K . S1 S2 , S2 S3 , S3 S4 , S4 S1 , ABCD. , , (.) , . 588. . 580. 589. , . , (.) . 590. , , (. . , ). 591. A ABCD , . , ABC , ACD ABD , AB CD = AC BD = AD BC . 592. 2000 , . , ( ) , , . , - , . (.) ?(.) (.)

19992000 .9 593. a, b c , x2 + ax + 1 = 0 x2 + bx + c = 0 . , x2 + x + a = 0 x2 + cx + b = 0. a + b + c. (.) 594. X 100, . M N , 100, : X + M N ? , , 7 . 595. O ABC . 1 K A,(.)

78

.

O, C AB BC M N . , L K M N . , BL AC . 596. , . 3 . , , (.) 3. 597. a1 = 1, a2 , a3 , . . . : an+1 = an 2, an 2 , an+1 = an + 3. , 3 . (.) 598. 2n 2n . , - , , - . , (.) , n2 . 599. CD ABC E . S1 , E AB A, AC M . S2 , E AB B , BC N . , CM N S1 S2 . (.) 600. 100 , . . , (.) . 10 601. 1 2 22 23 21000 + + + + ... + . (.) 3 3 3 3 3 602. 1 < x1 < x2 < . . . < xn < 1 13 13 x13 1 + x2 + . . . + xn = x1 + x2 + . . . + xn . , y1 < y2 < . . . < yn , 13 13 x13 1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn < x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn . (.) 603. ABC AA1 CC1 AB BC P Q . B , ABC (.)

1999 2000 , 11

79

AC , R. , P , B , Q R (.) . 604. . A, B C , , m(A) < m(B ) < m(C ) ( m(x) x. ). (.) , ? 605. M . , , M . (.) M ? 606. , 6, 3. , 9. ( , , , (.) 6 = 1 + 2 + 3.) 607. , N . BA BC K M . Q P AB BC , N . , BQK BP M , B1 . , BP B1 Q . (. ) 608. n , . n , - . , 2n 2 . (.) 11 609. f : R R, x, y, z R f (x + y ) + f (y + z ) + f (z + x) 3f (x + 2y + 3z ). 610. , 100 , a, b, c , a + 99b = c, . 611. ABCDE . , (., ., ., .) (., .)

C

B

E1

A1

D

D1 B1 C1 A E. 19

80

.

A1 B1 C1 D1 E1 (. . 19) . 612. a1 , a2 , . . . , an . k 1 n mk akl+1 + akl+2 + . . . + ak . max l=1,2,...,k l , > 0 k , mk > , , a1 + a2 + + an (.) . 613. sinn 2x + (sinn x cosn x)2 1. (.) 614. , 28, 7. , 49. ( , , , (.) 6 = 1 + 2 + 3.) 615. ABCD . AB CD O. 1 BC K AB CD, 2 AD L AB CD. , O, K , L . , BC , AD . 616. 100 100 4 , 25 . , , (.) .(.) (., .)

20002001 .9 617. 1 999 999 : , , , . ? 618. P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Q(x) = x2 + px + + q I 2, I . , (.) x0 , P (x0 ) < Q(x0 ).(.)

2000 2001 , 10

81

619. ABCD A K , AD K C , CD K A. N (.) BK . , N AK N CK . 620. 2000-, . 999 . , , . ( (.) .) 621. 2001 1, 2 3 . , , , . (.) ? 622. 2n + 1 n , . , (.) , . 623. AC ABC N , AN N C AB BC K M . , O ABC , (.) KBM . 624. n (n > 1) , a b n a + b 1 (.) n. 10 625. . 617. 626. 100 A1 ,A2 ,. . . ,A100 , 100 . , A1 ,A2 ,. . . ,A100 9901 ( (.) ). 627. , N . , K , A B . M AB , N . , ,

82

.

BM K , K (. ) . 628. , , . , 100 , . , 50 , . 629. P (x) = x3 + ax2 + bx + c , P (Q(x)), Q(x) = x2 + x + 2001, 1. (.) . , P (2001) > 64 630. n n, 1, 2, . . . , n2 , . , . ( , , (.) .) 631. ( ) ABC A1 , B1 , C1 , H , , ABC1 , BCA1 , CAB1 ABC . , , (.) A1 B1 C1 , H . 632. n , a b a + b 1 (.) n. 11 633. 2S . k , k , S . (.) 100 ? 634. . 627. 635. P1 P2 , P1 P2 . , , . (.) 636. n . : (.)

2001 2002 , 9

83

, . 0 , . , , , . (.) ? 637. f (x) g (x) . , , x f (x) + g (x) > 0. 638. a b , ab(a + b) a2 + ab + b2 . , |a b| > 3 ab. (.) 639. 2001 , , , . D , D D. , k . , 2001 k , (.) . 640. ABC SABC A, B C SA, SB SC A1 , B1 C1 . , A1 , B1 C1 , O. , O , SA1 B1 C1 . (.)(., .)

20012002 .9 641. 2002 2002 1 20022 , , , (.) , ? 642. O A, B C , B O C . O1 , OAB , O2 , AC OA, OC

84

.

OAC . , O1 A = O2 A, ABC (.) . 643. 6 , 6 6 , . , (.) . 644. ( ). , - A . A , A . , . N , (.) , , N . 645. 8 , . , . ( , (.) .) 646. k (k > 1) , 2n , 1 2n. . , , . n ? 647. O ABC . AB BC M N , 2M ON = AOC . , M BN (.) AC . 648. (22n , 23n ) 22n1 + 1 . , , (.) . 10 649. P , Q R , , P 2 + Q2 = R 2 . , (.) .(.)

2001 2002 , 11

85

650. ABCD, . , A, BC B K , , B , AD A M . , AM = (.) = AD BK = BC . , ABCD . 651. , n > 10 000 m, , (.) 0 < m n < 3 4 n. 652. 2002 , , , . , , . , . , , (.) , 2002. 653. a, b, c 3. , a + + b + c ab + bc + ac. (.) 654. . 646. 655. A ABC BC . a A A. b c. (.) , a, b c . 656. , , , . , (., .) . 11 657. . 649. 658. . (. . ), . , , (.) . 659. , x (0; ) n > m , n, m 2 , (.) 2| sinn x cosn x| 3| sinm x cosm x|;

86

.

660. . , . , 1014 , , ( , (.) ). 661. , 2002 2003 . (.) 662. ABCD . O AC BD. , ABO COD, K . L , BLC AKD . , BLCK , . (.) 663. . 656. 664. , n, 1 , 1 + 1 2 + . . . + n , . (.)

20022003 .9 665. M , 2003 , 2 , a, b M a + b 2 . , a M a 2 . 666. S1 S2 O1 O2 A B . S1 S2 A BO2 BO1 K L . , KL O1 O2 . 667. 2k 1 2k 1 . , k , k . , , , , (.) . 668. {an } : a1 = p , 300 , an+1 1/an , 2. a2003 .(., .) (.) (.)

2002 2003 , 10

87

669. N . , . , , , . , , , , (.) . 670. a, b, c , 1. : 1 1 2 2 2 1 + + + + . (.) 1a 1b 1c 1+a 1+b 1+c 671. , m, n > > 100 m n (.) m + n? 672. AP P D AP D B C . ABCD Q. H1 H2 AP D BP C . , H1 H2 X ABQ CDQ, Y BQC AQD. (X = Q, Y = Q.)(., .)

10 673. M , 2003 , , a, b, c M a2 + bc . , n, a M a n . (.) 674. ABCD O. S1 S2 , ABO CDO, O K S1 S2 . , O AB CD, S1 S2 L M . OL OM P Q , OP : P L = M Q : QO. , O, K , P , Q (.) . 675. n , n 2 (. . n n 1 , , , ). x1 , x2 , . . . , xn , , . S

88

.

. ,

2 2 n 1(x2 1 + x2 + . . . + xn )

2S .(.)

676. X T . , X X , 9 , T . , X (., .) T . 677. . 669. 678. an n : a0 ; an+1 = a 5 , an 5; an+1 = [ 5an ], an 5 ( [x] x, . . , x). , an . 679. ABC O, I . a AB AC K M , BC N . , P KM ABC . , O, N (.) I . 680. N , 1 400 20 20 , (.) , N . 11 681. , , , , x sin x + sin x = sin x + sin x. , = = . (., ., .) 682. . 674. 683. f (x) g (x) , m f . , a < b f (a) = = g (a) f (b) = g (b). , b > m, f g (.) . 684. . , . ( ) . , (.)

2003 2004 , 9

89

2 , , . (.) 685. . , (.) . 686. . 671. 687. 100 , . . , , . , , (.) . 688. ABCD ABC , ABD, ACD BCD D1 , C1 , B1 A1 . , A B1 C1 D1 . , , , , (.) ABCD.

20032004 .9 689. , . , . (.) 690. ABCD . A B K , B C L, C D M , D A N . K1 , L1 , M1 , N1 ABK , BCL, CDM , DAN . , (.) K1 L1 M1 N1 . 691. 2004 , . , , . , . - , () ? 692. n > 3 x1 , x2 , . . . xn , 1.

90

.

1 1 1 + + ...+ > 1. (.) 1 + x1 + x1 x2 1 + x2 + x2 x3 1 + xn + xn x1 693. m, n, p, q , m + n = p + q m + 3 n = p + 3 q > 2004? (.) 694. 2004 , . , . , (.) ? 695. 1 100 , , . , . (.) ? 696. O ABC , T AOC , M AC . AB BC D E , BDM = BEM = ABC . , BT DE .(.)

10 697. . 689. 698. 2004 , . , , . , . - , () ? 699. ABCD , , ABCD AB , BC , CD AD K , L, M , N . A B K , B C L , C D M , D A N . , KK , LL , M M N N . (., ., .) 700. . 692. 701. a1 , a2 , a3 , . . . am + an = amn m, n. , . (.) 702. 1001 , . 500 ,

2003 2004 , 11

91

500 . , 668 . , , (., .) . 703. T - M . T T P , T . , (.) T M . 704. n > 101000 , 10, , (., .) ? 11 705. . 689. 706. IA IB , BC CA ABC , P , . , , IA CP IB CP , . (., .) 707. P (x), Q(x). , R(x, y ) P (x) P (y ) = R(x, y )(Q(x) Q(y )). , S (x) , P (x) = (.) = S (Q(x)). 708. 9 2004 . 1 2004, 9 . , 3. (., .) . 709. M = {x1 , . . . , x30 } , 30 n 30) ; An (1 n M . , A15 > A10 , A1 > 1. (.) 710. , , 2N (N > 3) , : 1) N N 1 , 2N 1 ;

92

.

2) N N , 2N . 711. , , k . , . , k + 2 , . 712. , . , . , (.) .(.) (.)

20042005 .9 713. ABCD (AB < BC ). , , AP Q, P Q, BC CD , CP = CQ, (. ) , A. 714. 22 22 1 222 . , , , , , (.) 4? 715. a1 , a2 , a3 , , a2 i > S i = 1, 2, 3. , S , ai 1 1 1 1 + + > 1. (.) a1 + a2 a2 + a3 a3 + a1 716. 365 , . , . , 2000 , 365 , (.) ? 717. , , . , . (.)

2004 2005 , 10

93

718. 20 , 21 , 22 , . . . , 22005 A B , x2 S (A)x + S (B ) = = 0, S (M ) M , ? 719. ABC AA BB . ACB ABC D. AA BD P , BB AD Q. , A B P Q. (.) 720. 100 50 , . , , , (.) . 10 721. , 722. 2 n , n 1. , , 1 (.) n + 4 . 723. 2005 ( ). , . , (.) ? 724. B , C ABC (. . B C AC AB ). B B AC , C C AB . , , B C , ABC . 725. 16 8 8 . (.) ? 726. . 719. 727. x y , 2x2 1 = y 15 . , x > 1, x 5. (.)(.) (., .)

2a 2b , a, b, c, d . 2c 2d

(.)

94

.

728. , (0, 2 4) , . , , , (., .--) . 11 729. |x a1 | + . . . + |x a50 | = |x b1 | + . . . + |x b50 |, (.) a1 , a2 , . . . , a50 , b1 , b2 , . . . , b50 ? 730. . 723. 731. A , B C ABC . A B C , AB C A BC ABC C1 , A1 B1 . , A1 B1 C1 , ABC (.) . 732. x, y , z (x > 2, y > 1) , xy + 1 = = z 2 . p x, q y . , (.) p q + 2. 733. f : R R , f (1) > > 0 f (x) x, y R (.) f 2 (x + y ) f 2 (x) + 2f (xy ) + f 2 (y )? 734. 12 P1 , P2 , . . . , P12 , Ox, Oy , Oz , P2 (. . ) , P1 P3 , P3 , P2 P4 , . ., P12 , P11 P1 , P1 , P12 P2 ? ( .) (.) 735. ABCD O. , O ABCD , OA OC = OB OD. (., ., .) 736. 100 25 , 4 . , 4 ,

2005 2006 , 9

95

, .(.)

20052006 .9 737. 15 15. , , . , 200. (., .) 738. , 4 a, b, c, d, 1 000 000, 1 1 1 1 1 + + + = . (.) a b c d abcd 739. 2006 , , 17 . , ( ). , . (.) ? 740. ABC . ABC A, AB K , BC . CL , KL BC T . , (.) BT B . 741. a1 , a2 , . . . , a10 , a1 < a2 < . . . < a10 . bk ak , bk < ak . , b1 > b2 > . . . > b10 . , a10 > 500. (.) 742. AB , BC , CA ABC P , Q, R , AP = CQ RP BQ . ABC A C RP RQ X Y (.) . , RX = RY . 743. 100 100 : 1 2. . , . , , . . , . (.) ?

96

.

744. f (x) = x2 + ax + b. f (f (x)) = = 0 , (.) 1. , b 1 4. 10 745. . 737. 746. . , (.) 4. 747. . 739. 748. AB AC ABC BC K L. AK M . P Q K B C . , (. ) P M Q . 749. . 741. 750. AB BC , ABC , K L , KL AC . , (.) ABK CBL ABC . 751. . 744. 752. 3 000 3 000 (. . 1 2 ). , , ( , , ).(.)

11 753. , sin x < sin x 0 < x < (.) 2. 754. T . , (.) T . 755. 49 69 50 70 . : , . . , . , ,

2005 2006 , 11

97

, . (.) ? 756. BB1 CC1 ABC I . B1 C1 ABC M N . , M IN ABC . 757. (xn ) (yn ) 2 xn+2 = xn + x2 n+1 , yn+2 = yn + yn+1 n. , x1 , x2 , y1 , y2 1, xn > yn - n. (.) 758. I , ABC SABC , AB , BC , CA D, E , F . SA, SB , SC A , B , C , AA = AD, BB = BE , CC = CF ; S , S . , SI . , S (.) A , B , C . 759. , (x + 1)n 1 P (x) = xk + ck1 xk1 + ck2 xk2 + . . . + c1 x + c0 k , c0 , c1 , . . . , ck1 . , n k + 1. (.) 760. , 50 100 . , , 1331 , (.) 20 .(.)

1992 1993 , 9

99

19921993 .9 1. a2 + ab + b2 3(a + b 1) = a2 + (b 3)a + (b2 3b + 3) a. 3(b 1)2 , , . a2 , , , a2 + ab + b2 3(a + b 1) a b. , a = b = 1. . , , , a2 + ab + b2 3(a + b 1) = (a 1)2 + + (b 1)2 + (a 1)(b 1) a2 + ab + b2 3(a + b 1) = 1 2 (a 1 1 2 2 2 1) + 2 (b 1) + 2 (a + b 2) . , , ab =(a + b)2 (a + b)2 (a 2 + b2 ) , 2

a2 + b 2 . 2 2. . 987654321. 0 , , , , 11. , , . 987654321. , . n 0 987654321 a2k a2k1 . . . a2 a1 , a2k > a2k1 > . . . > a2 > a1 ( , , 11). (a2k a2k1 ) + (a2k2 a2k3 ) + . . . + (a2 a1 ) > 0 a2k (a2k1 a2k2 ) (a2k3 a2k4 ) . . . a1 a2k 9. a2k + a2k2 + . . . + a2 a2k1 a2k3 . . . a1 11, , , 11 a2k a2k1 . . . a2 a1 . 3. ) . . . 20 ABC , . .

100

.

AOC (AO = OC ) CB1 , ACB1 ACO. AO CB1 N . , AN C . N C B1 O, K A . , AK B1 . CK M , AK = AM = CN ( AKC = = AN C ). , ABC , AB1 C . B1 B K T L O A C A. 21

B M N M

N O C

) . . , A > C . BC K , AK = CK . L T AK CM M N (. . 21). AKC AO = OC , KO . L N KO, , KLN = KN L. , KN T < KN L = KLN < KT N = AT M < BM N . KN T = BM N , BM = BN . , A > C . , A < C . , A = C , . . ABC . 4. . n . , n . , . , (. . , ). . .

. 20

1992 1993 , 9

101

, , . . . n , n 1 . , , , , . , , , n . , , , , , n , n 1 . , , , . , , , n 1 , (. . , ). , n- , , . , n 1 , , - , , , , n . , , n . 5. (x + y )3 = 7(x2 y + xy 2 ) + 4. 4 7, . . , , x y 4, , , x + y 4. 6. . 22 , , , , , l1 l. l1 l , . 23. , l2 , , , .. 22

102

.

l2 l. 23

7. , N M (. . 24). . AN E B CM E K1 , E . N , K K1 . K M , AK1 E = AN E ( , AE ) EK1 M = ECM ( A C E EK1 M C ). ECM = AN E , , AK1 E + + EK1 M = , . . K1 AM . , K1 N C , . . K AM CN . , D N EA = N BC , N BC + N EC = . 24 = N BC + ( N EA) = , . . N BCE . , N EB = N CB , N B . N CB = KEM , KM . , N EB = KEM , , , AEN = = CEM , AEB CEK . , D B AC , AED = = AEB = KEC , , K , E D . 8. . 1993. : , , , , . ( ) , , 1993. , , 1993.

1992 1993 , 10

103

, , 1993. 996 : 1, 4, 5, 8, . . . , 4k 3, 4k, . . . , 1989, 1992 2, 3, 6, 7, . . . , 4k 2, 4k 1, . . . , 1990, 1991. , . , 996 996. 997- , 1993. , , 1 1992 1993. 1 1992 . , , 1993. 10 9. KE AB (. . 25). B , -, KE CH , -, AE = = EB , AK = KB . , EM ABC . EM AC EM = 1 E 2 AC . M H M EK ACN . K N 10. . 2. 11. . x1 = 2, x2 = 1 2 , x3 = 2, x4 = 1 1 A C D = 2 , . . . , x99 = 2, x100 = 2 . . 25 1 2 x x y : x + y y . x1 1 2 , x2 x2 x2 1 2 , x2 + x3 x3 ................ 1 x100 2 . x100 + x1 x1 , x1 +

(1)

104

.

1 1 1 x2 + . . . x100 + 2100 = 450 ; x2 x3 x1 , , . , (1) , . . 1 1 1 x1 = , x2 = , . . . , x100 = . x2 x3 x1 x1 , x2 , . . . , x100 , . 12. . . S . N , 30% S . . |X | X . () (t, s), t , s S . s0 S (t, s0 ) 0,3|N |, 0,3|S ||N |. - t0 (t0 , s) 0,3|S |, . A. S A . S , N , A. S , , , B , 30% , S . , A B . A k , N n. A B k + + 0,3 (n k ) = 0,3n + 0,7k , k 0,3n, 0,3n + 0,7 0,3n = 0,51n, . . N . . n N . , , . , N A B , , A, B , 0,5n. x1 + n(n 1) , , 2 2 n(n 1) (0,5n 0,5n) 0,5n = n. 2 2

1992 1993 , 10

105

M (M ) M . : M ,

13. . 5. n + 1 n 3. 14. 2n1 k + 1 , , n = 3 : 231 = 3 + 1, 2k1 2k 2(k + 1) > k + 2. , n 1 n + 1 2 n 3. (1) 1993 1993 , 2 > 1993, , 1993 < 2. (1), : 2+3

(n 0,3n)(n 0,3n 1) 0,49n2 0,7n ; 2 2 n(n 1) 0,51n2 0,3n , , (M ) > 2 2 0,5n2 0,5n 0,5n2 0,5n > , > n , . 2 2

,

3 + ... ...

1992

1992 +3

1993

1993 1 + nx x > 1, x = 0, 1 < n N. 15. K N D C A, B D K O, L P F P KA BD, KB AM , KD AN O L M (. . 26). E , SAEF = A B = SEMKN F . F K . 26 CD, SF P D = SKP N . , KE CB , SBLE = SMLK . , SBKD = SEMKN F . , SAOF = SBOK ( F K AB ) SAOE = SKOD ( EK AD) , SAEF = SEMKN F . , SAEF = SEMN F , K M N . 16. . .

n1

106

.

(. . 27). , a3. , a3, , . , (a1 I a2 II b3 I a3 II . . . a1 I b2 II b3 I a3 II . . .), a3 (a1 I a2 II a3 I . . . a1 I b2 II c3 I b2 II a3 I . . .). . 11 17. . n = 3. , n = 1, 2, 3, 4, 5 3 n = 3. 2 1 * , n 6 5n , ab c n 2 (. . n ). , . 27 5n , n-, , 9n. 9 n. , n 6 2n , n = 6 , n 9, , 64, , n. 18. , , n 3 3 3 + 1 = 8n + 8. n+ 3n+2 , n 3 3 8n + 7 < 3 n + 3 n + 2 < 8n + 8, . . 6n + 5 < 33

n2 (n + 2) +

3

n(n + 2)2 < 6n + 6. n+ 2 33

, n2 (n + 2) < + 2)2 < n + 4 33

n(n +

3

. , 23

n2 (n + 2) +

3

n(n + 2)22

n2 (n + 2) 3 n(n + 2)2 = 2

n(n + 2)

n(n + 2) > n + 5 n > 25 6 12 , . . n 3. 1. , : 3 3 n2 (n + 2) = 3 3 n n (n + 2) < n + n +

1992 1993 , 11

107

+ (n + 2) 3 3 n(n + 2)2 < n + (n + 2) + (n + 2) ( , n = n + 2). 2. n = 2, . 19. K , L, M N S (. . 28). . , SK , SL, SM SN D1 A , C S (S - A ND M 1 ). , K , L, M N C1 K B1 S L O SK , , B , . 28 . SO , . . , . A1 , B1 , C1 D1 (. . 28). N A D. AA1 N AA1 K , A1 K = A1 N , AK = AN ( , , ), AA1 . , AN A1 = AKA1 . BKB1 = BLB1 , CLC1 = CM C1 DM D1 = = DN D1 . , AKA1 = BKB1 , BLB1 = CLC1 CM C1 = DM D1 . AN A1 = DN D1 , , N AD. 20. . , . . , . , , 0 (. . 29). . n = 2k + 1 (. . 30). , 0. 1-, 3-, . . . , (2n 1)- . .

108

.

1 2 6

3 4. 29 . 30

5

2 2k + 1 , ,

, , , 0. n = 2k (. . 31). , . , 0. , . 0, k .

. . 32. 2n- (n 3) , n- M1 M2 . , n-. 2n-, M1 M2 (. . 33); 2 n , , 0. n , 1 0, n 2 (. . 33), . n

. 31

. 32

n

n

. 33

. 34

1992 1993 , 11

109

, , , 2n-. . (., 1736 ): , , , . , ( ). 21. . . . x2 . , x. . x. , x3 + + c = 0 , y = x3 + c . c y = x3 + bx + c. b 0, y = 3x2 + b 0 y (x) , , y (x) = 0 c. b, , , y1 (x) = x3 + bx b x m x0 = 3 x0 x x0 . c > m , x3 + bx + c = 0 . 22. S Si Si Hi , i = 1, 2, . . . , 7, Si (x), Sj , x . : 2 x0 x 0 Hi Hj x , Si (x) = Si 1 Hi . 35 0 x Hi .

110

.

(. . 35) , , x x = Sj 1 Hi Hj Hi < Hj [0, Hi ], [Hi , Hj ] ( x = Hi , x = Hj ) Si (x) ( Hi = Hj x = Hi = Hj , ). , x0 ( , , ). , . , x0 , . 23. . B , ABC . l (. . 36 38). . . 36, . N AC . P B1 Si 1 l D l A N. 372 2

M

B

E

B

l B

A

ADB , BN A, BN C BEC , ADBN BECN . , BDN = BAN = 60 , BEN = BCN = 60 , . DN E , l, AC . , T AC . P -

. 36

N T

C

C

A

N. 38

C

1993 1994 , 9

111

T = N l; BP = BN , P . , P , N , DEP l. l P B P N M D N P , N P . B , M E (. . 39). A C N T 24. . 39 . A B , A B , 63 . : A, , A , (k - , A (k 1) , ). 65 . , k = = 0, 1, . . . , 21 3k , 3k + 1 3k + 2 ( 3k , 3k + 1, (3k + 2)- ) 94 , - (3k + 1)- 93 , . , , 94 22 = 2068, .

19931994 .9 25. . 30 . , , , , . x1 y1 , x2 y2 (x1 , x2 , y1 y2 ). T , , T = 2x1 + y1 = 5x2 + 3y2 , x2 = 10 x1 , y2 = 22 y1 . , 2x1 + y1 = 50 5x1 + 66 3y1 ,

112

.

x1 116 7x1 , T = + 29. y1 = 4 4 , y1 22, 116 7x1 88, . . x1 4. . T x1 = 4 30 . 4 , 6 . 26. l CD (. . 40 41) (. . 40). CA < DA CB < DB , A, B C l. , M AB CM < DM . l A l A M M C B D C B D

27. . . P (x) = x(9x + 2). n = = 11 . . . 11, 9n + 2 = 1 00 . . . 00 1. , P (n) = = 11 . . . 11 1 00 . . . 00 1 = 11 . . . 11. , . 28. . . , . 42. , - , . , . . 42 . 43k k 1 2k k k 1

. 40

. 41

. 43 , , .

1993 1994 , 9

113

1 , 1 1 ax5 + bx4 + c = 0, x x3 1 x2 5 cx + bx + a = 0. 30. O1 D, O2 B (. . 44). O1 D O2 B , LP , , O1 DO2 B . . LDC = DBO1 . O2 E , LM . CLEO2 , , CL = O2 E = O2 B = O1 D. , DCL BDO1 , CD = = DB , , DCB DBC . DCB CBA (CD AB ). M P

29. x = 0 ax5 + bx4 + c = 0, c = 0, , . x5 = b + c = 0. , x , x x = 0, , a + x 1 2 3 5x

E

O2 B

D O1

L

C

A. 44

K

31. . p = 2, q = 7, r = 3, s = 11 p = 2, q = 7, r = 11, s = 3. , , , 2. p = 2, 2, . , p2 + qs p2 + qr (2k + 1)2 + 2(2l + 1) = 4(k 2 + k +

114

.

+ l)+3, , 4 1. , p = 2. 4 + qs = a2 , qs = (a 2)(a + 2). a 2 = 1, qs = 5, . . q = a 2, s = a + 2, , . . q s 4. , q r 4. , s = q 4, r = q + + 4, r = q 4, s = q + 4. q 4, q , q + 4 3, q 4 = 3, . . q = 7, q + 4 = 11. 32. . 4 . . 45 , , - . , . , , , , , . ( , i- i 1.) 1 2 3 4 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 3 0 0 1 0 4 0 0 1 1 5 0 1 0 0 6 0 1 0 1 7 0 1 1 0 8 0 1 1 1 9 1 0 0 0 10 1 0 0 1 11 1 0 1 0 12 1 0 1 1 13 1 1 0 0 14 1 1 0 1 15 1 1 1 0 16 1 1 1 1

, . , . 16 3 . , . , , . 10 33. . ) ; ) . ) 1, 1 . , 1 12 , . 1. 12 ) , 1, 1 1 1 1 1 1 1 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9 , 10 , . . A B a b . -

. 45

1993 1994 , 10

115

A B , 0 a + b, B A , a + b 1 1. , . 1 1 1 1 1 1 6 = {a1 + . . . + ak }, ai 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 1 , 1 . , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 . 9 10 4 5 8 9 10 , , 1 5 1 , 1 1 , 1 , 10 4 8 9 5, 4 9 . 6 1 . 1 2 3 1 6 . 34. x1 x2 x2 +ax+b = 0. , x4 + ax3 +(b 2)x2 ax +1 = (x2 x1 x 1)(x2 x2 x 1), x1 + x2 = a, x1 x2 = b. , x2 x1 x 1 = 0 x2 x2 x 1 = 0 . . x , (x2 x1 x 1) (x2 x2 x 1) = x(x2 x1 ) = 0, x = 0. x = 0 . 35. B AB P (. E . 46). OE , OP C P E . AOP F EP , F P . , K P OK + KEP = 180 , - P O M K , O, P E N . OP B = = OEB = 90 , O, P E OB , K . , A D F BKO = 90 . . 46 , CN D = 90 , . 36. , m n , m n 3. , . 47. + n , , 3. m n m 2 , a, 3 2; , b 1; , c d, 3. na nb a

116

.

m 1 m m + 1 m + 2 ...m + n 5 m + n 4 m + n 3 m + n 2 m m + 1 m + 2 m + 3 ...m + n 4 m + n 3 m + n 2 m + n 1. 47

1 2 . . .

2 3 . . .

3 4 . . .

4 5 . . .

... ... . . .

n3 n2 . . .

n2 n1 . . .

n1 n . . .

n n+1 . . .

b , 3N + 2na + nb = 3(N + nb ) + 2(na nb ), N . 2(na nb ) , , na nb 3. 37. . 5. p. p , p > 2, , p . , p , . . . , p = q + 2 p = r 2, q r , , p 2, p p + 2 . 3. , p 2, p, p + 2 . , p 2. 38. . 208. a0 P (x). P (x) = x Q(x) + + a0 , Q(x) . P (19) = = 19n + a0 , P (94) = 94m + a0 , m n . , 19n = 94m, , n = 94k , m = 19k . , 19 94k + a0 = 1994, a0 = 1994 1786k . |a0 | < 1000 , k = 1, a0 = 208. 39. AB CD, BC N M K C ED K M D B (. . 48). (, S M BC ED. , CB DE , B CDM , AB , CD, CD, .) BAE = , DEA = . - A E . 48 ABM E B > 90 , M = 90 . + < 180 , 90 . , < 90 .

1993 1994 , 11

117

, BAN + DAE = 90 2+ > , D ABN . CD AN S . CSN CN S , N SC . , CS < CN , , BC + CD < BC + CS < BC + + CN = BN = 1. 40. , 2m ( ). K , , . , , , . , , , , . K 2n , . , n , , . , K 2n 1. , , 2n 1 . 2(2n 1) < 2n+1 2m , , - , . 11 41. . 1 cos x = 2 sin2 x 2, x cos x, 2 cos x > tg x sin 2x = 4 sin x cos 2 2 2. , 2 cos x > 2 cos 3 = < 1. < tg = 1, tg x 2 6 . , sin 2x cos x 0, 3 . , f (x) = sin 2x + cos x , f (x) , (0; f (0)) 3 ; f 3 . 3 1 f (0) = 1 f 3 = 2 + 2 > 1. 42. n . n 2 . n 3, m

BC BN . ABN : 180 (360 90 ) + 90 180 ABN = = . BAN = 2 2 2 AED DAE = 180 2 .

118

.

. m n, N , , ( 3n > n). , m 2 , N , , . N , , , . K B 43. OD, OF F D (. . 49). AOD EF D M E ED, . N F N OD + N F D = 180, O, N , F , D O . , ODC = OF C = 90 , O, F , D OC . , N A D C . 49 , ON C = = 90 . , AM C = 90 . ( M EF , DOC DEF , M OD = M ED, . . M , E , O, D ). AM CN K . , AN CM AKC , OK AC , . , D OK . , OK , OM KN . 44. n- . i- ai . , a2 + an a1 + a3 an1 + a1 , a2 = , . . . , an = . a1 = 2 2 2 a + a1 ai . a1 = 2 2 an a3 , a2 = an = a1 . a2 = a1 + 2 , a1 = a2 = a3 , . . , a1 = a2 = . . . = an , n a1 . 45. . 37. +1 46. x x x 1 , : 2 f (x) f x1 x+1 x1 = x+1 . x1 (1)

1993 1994 , 11

119

(1) +1 f (x) f x x 1 . , , f (x) = 1 + 2x. , . 47. O SBC . O1 , SBC1 . SS1 . , SO1 B1 C . S S A1 B1 B S1 B 1 1 1 SB + BS1 = 180 = 90 . 2 2 2 , A1 C SO SAC (. . 51). SO A1 C SO B1 C , , SO A1 B1 C , . 48. n. n 2 . n 3. , M A1 , Ai Ap A2 , . . . , Ak A1 , A2 , . . . , An . Am Am Bm Aj Am (1 m k ), M . Am Am Bm M . Am Am . . 52 M , Am Am . Ap Ap , Ap Ap Aq . Ai , SB1 C + B1 SS1 = SC1 B + BSS1 = (. . 50),. 50 . 51

C1 B1 C

O1

C1 C A

O

120

.

Ai Bi M . , Aj , Aj Bj M (. . 52). , Ai Bi Aj Bj Ap Aq p, q = i. (n 1) A1 B1 , A2 B2 , . . . , Ai1 Bi1 , Ai+1 Bi+1 , . . . , An Bn , , A1 , A2 , . . . , Ai1 , Ai+1 , . . . , An . A1 , A2 , . . . , Aj 1 , Aj +1 , . . . , An . , Ai Aj : Ai As , s = i, j , As Aj .

19941995 .9 49. , x4 + y 2 2x2 y y 4 + x2 2y 2 x. y 1 y x x + 2 = . + 4 4 2 2 2 x +y y +x 2x y 2y x xy 50. . . , a1 , a2 , . . . , a1995 , . ak (k = 1, 2, . . . , 1995) n(k ) ( ). , k = 1, 2, . . . , 1994 n(k ) n(k + 1) , . . . , n(1), n(3), . . . , n(1995) . , a1995 a1 , n(1995) n(1) . . , . 51. , C ABC (. . 53). BC = 2 sin CAB . CBA, , D , r l BDC . A B BC = 2r sin CBA. , AC = . 53 = 2 sin CBA = 2R sin CAB . sin CAB = = r sin CBA sin CBA = R sin CAB , 2 = Rr, . . AB . 52. . .

1994 1995 , 9

121

. 54 D ( C CA CD S1 ) CO1 , . . CB = CD. , CE = CB . 55. 91. , , (. . 55). , , . , 11 4 + 1 = 45, . . -

, . , , . , , 11 10 = 55. , . . 11 2 , . , , , 12 6 = 72. 11 = 12- 12 2 = 66 < 72. , . 53. . p = 3. , p2 + 11 = p2 1 + 12 = (p 1)(p + 1) + 12. p 5 , p 1 p + 1 , . (p 1)(p + 1) 12, , p2 + 11 12, , (6 12 p2 + 11 > 12). p = 2 p = 3. : ) p = 2. p2 + 11 = 22 + 11 = 15 4 (1, 3, 5, 15); ) p = 3. p2 + 11 = 32 + 11 = 20 6 (1, 2, 4, 5, 10, 20). 54. AO1 O1 D C S1 (. . 54). AO1 O1 D D E AO1 O1 D , O1 , O2 A. , ACO1 B DCO1 , O1 O2 . , CA CD, S1 , A S2 S1 CO1 . B

122

.

. , . 56. . . , . , , , 20 , 11 . , , , 11. . 55 2 2 , m 1 m + 1 , , . m2 (m + 1)2 2m . , 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 50 . 50 11, . 57. . x , 0 1. 3

1 13 . 19

10

f (f (x)) =

13

13

(f (x))3 1

=

3

1

1 . x3

= x. 1 (f (f (x)))3 f (. . . f (f (x)) . . .) 3. 95 3 2, f (f (f (x))) = f (. . . f (f (19)) . . .) = f (f (19)) =95 3

1

1 . 193

58. . m = kd, n = ld, d = (m, n). (m, n) = kld , , kld + d = kd + ld. , (k 1)(l 1) = 0, . . k = 1 l = 1. , m, n (m, n). , n m, m n.

1994 1995 , 10

123

. , (a, b) (a, b) = ab a, b. , (m, n) ((m, n), (m, n)) x2 (m + n)x + mn = 0, . . . . . (m, n). , (m, n) . 59. B S , S B . S BH , M H ABC . L AB H BC L M (. . 56). CL AM ABC , BLH BM H . A C K N . 56 N AC . N AC ALC , LN = CN , , CLN = LCN = 90 A = LBH , N L S . , M N S . 60. , , . - , . , . , . , . 61. . 3. b2 . , a > 0 b2 4ac 0, . . c 4 ab+c A = a+ b a . , t = b a > 0, :2

A

b 2 2 2 2 a+b+ 4 a = 4a + 4ab + b = 9a + 6at + t = ba 4a(b a) 4at 2 2 3 3 3 9 a 2 t2 3 9a + t + = + = 3, = + 2 4at 2 2at 2 2

124

. 2

b t = 3a, . . b = A = 3 , c = 4 a = c = 4 a. , , 3, f (x) = ax2 + 4ax + 4a = a(x + 2)2 , a . (t + 2)2 b = . g (t) = 4(t 1) . , g a2 + 4ab + b2 . , A , = 4a 4a (b a )

g (t) t > 1. 62. . AD = a, AB = b, DE = c BF = d (. . 57). DF = b + d a, AE = a + c, AF = b + d, BE = = a + c b. DF AE AD DE , (b + d a)(a + c) = (b + d)(a + c) |a|2 = 0. AB BF , AF BE = (b + d) (a + c b) =

C F d B b A. 57

E c

D

a

= (b + d) (a + c) |b|2 . |b| = |a| , AF BE = 0, . . AF BE . . , , . : AB = AD ABC = ADC = 90 , F E 2 + AD2 = ED2 + F A2 F E 2 + AB 2 = BF 2 + + AE 2 . , , ED2 + F A2 = BF 2 + AE 2 F A2 BF 2 = AE 2 ED2 . AB AD F BA EDA. 63. . N . - 1. , . n n1 , , n2 , (. . 58). , N 3 -. ) , N . , (. . 59). N 1, N 3 , N 3 1, . . . , N 3 N + 2,

1994 1995 , 10

125

z n+1

n2

(n+1)2

N3 N + 2 y N3 1 0

n1

n

(n+1)1

(n1)2

x. 59

. 58

11 (1, 0, 1), 12 (0, 1, 0). , , . . (N 3 N + 2)1 (0, 1, N ). N 3 N : () (. . 60). . 2. (N 2 )2 (1, 0, 1), . . (N 2 )2 = 11 .N N +1 3N 2 3N 1 N2 .. .. 2N 1 2N N2 N + 1 N2 N + 2 . . . 2N 2 1 N3 . . . . . . . . . . . . N 2 +2N 1 N 2 +2N 2 . . . N 2 +3N 3 N 2 +N N 2 +N 1. 61

2 1

N 2 +1

(. . 61). (2N 2 1)2 (N 3 )1 (0, 1, 2), . . (2N 2 1)2 = (N 3 )1 . 2N 2 , . . . , 3N 2 2 2, . . . , N 2 , . . , 1 2 . , N - (N 3 N + 2)1 (N 3 N + 1)2 . . N . , (,,) (. . , , ) (,,). , -

. 60

126

.

. , . , 8 , , . , , , . , . . ) , 1 2 . , . , N = 2k + 1 . : n2 (n + 1)1 . , . , N . 64. . , , , (. . 62. 62). . 62. 62 ), ), ) ), n , n , n n . , . . 62 . 62, , , , , , . () (+) () () () . 62

(+) ()

. 62

()

(+) (+)

(+) (+) (+) (+)

()

. 62

()

. 62

1994 1995 , 10

127

. . , . , , ( , , ). ) ), . . n + n . , n + n . , 2(n n ) = 2(n + n ) 4n , , . . (, ) , A B (. . ), . , A B . (. 63. 63; ). , . , . , . (+) A (+) A B () . 63

() B . 63

. 63

(+)

A B

()

. 63

128

.

( , , , . , , , .) . 64 . 64

. 64

, (, , , ; , . 64). . (. . 63. 64). , 4. , . . ( ) . 11 65. . 57. 66. (. . 65).

1994 1995 , 11

129

L

A1 Q D1

P C1

B1

B A D C M. 65

K

K , L M AB , AA1 AD . KLA M LA (KL = LM , AL ) , KA = = M A. , KA = LA. P Q = 1 3 KM , LP Q LKM , LP A1 LKA , AA1 = 2 3 AL. 2 AM . , AB = AA = AD , , AB = 2 AK AD = 1 3 3 , . . , . , , , . 67. . 52. 68. . k = 1. 2k 1 = 1, . . , . , , . 2a, a ( - 2a, , , ). -

130

.

, , . . . , k = n 1. K0 ( , ) M1 M2 . M1 , K0 , M2 . M1 , , : , K0 , , K0 . M2 n 1 ( K0 M2 ), , , M2 2(n 1) 1 , . M1 2 , 2 + 2(n 1) 1 = 2n 1 . 69. : cos + cos + cos > 5. a = (sin , cos ), b = (sin , cos ) c = (sin , cos ) : 3 < < (sin + sin + sin )2 + (cos + cos + cos )2 = |a + b + c| |a| + + |b| + |c| = 3. . . A = (sin + sin + sin )2 + (cos + cos + cos )2 : A = (sin2 + cos2 ) + (sin2 + cos2 ) + (sin2 + cos2 )+ +2(sin sin + cos cos ) + 2(sin sin + cos cos )+ +2(sin sin + cos cos ) 3 + 3 2 = 9. (cos + cos + cos )2 = A (sin + sin + sin )2 9 4 = 5. 70. . 19952. m = n, a0 = 0. n = 0, am + am = =1 2 (a2m + a0 ). a2m = 4am . (1) ( a + a ) , m = n + 2. a2n+2 + a2 = 1 2n 2 2n+4 (1) a2n+4 = 4an+2 a2n = 4an , : (2) a2n+2 + a2 = 2(an+2 + an ). , (1) a1 = 1, : (3) a2n+2 + a2 = 4(an+1 + a1 ) = 4(an+1 + 1).

1995 1996 , 8

131

(2) (3), , (an ) an+2 = 2an+1 an + 2 a0 = 0, a1 = 1. : a2 = 4, a3 = = 9, a4 = 16, , n 0 an = n 2 . . n = 0 n = 1 . n = k 1 n = k (k 1). ak+1 = 2ak ak1 + 2 = 2k 2 (k 1)2 + 2 = (k + 1)2 , . . n = k + 1. , a1995 = 19952. 71. , O1 BE E F O2 BF - M B (EBO1 = = F BO2 ). N , E , F , O1 O1 O2 O2 S . O1 AO2 + O1 EB = A = O1 BO2 + O1 BE = 180 , A . 66 (. . 66). F EB BEA S O2 F O2 A. EF M N , M BE = F EB . , M BE = BEA, M EBA . AE = M B . , ABF N , AF = = BN . , , AE + AF = = M B + BN = M N , 72. . 64.

19951996 .8 73. . . n = 400. n5 (n 1)2 (n3 + 2n2 + 3n + 4) = = n5 (n 1)(n4 + n3 + n2 + n 4) = = n5 (n5 5n + 4) = 5n 4.

132

.

5 400 4 = 1996 < 2000. 74. . 106 10 95 . . a1 a2 a3 a4 a5 a6 . a1 10 . , 5, : 05, 16, 27, 38, 49, a1 , a2 9 ( a1 ). , a2 , a3 9 , . . 10 9 9 9 9 9 = 10 95 . 75. . . , , AC . AC AD, ACD CDA DCA. , . 76. . n = 2k (k N). n , , : , . n , , , , . , , . , , . : 1) , . . n = 2. , . 2) , 1, . . n = 4m + 2. , . 3) , . . n = 4m. , , . , . 1)3), , , n = 4 , n = 8m + 4 , n = 8m . , , n = 2, 4, 8, 16, . . . , n . 77. . . . . 67. 78. . = 30 .

1995 1996 , 8

133

. 67

< 30 . , BK AC (. . 68). M . AK = KC = KM + M C . , . > 30 , AC K L , KBC = LBA = ; T AC (. . 69). R , KT = RC . M RC LC . N , N BM = . , N AK . B B

2

M C A NK T. 69

A

K. 68

R LM C

1 N M > KM = KT + T M = CR + T M > CM + T M = T C = AC, 2 AN + M C < M N. , . = 30 . M N , M BN = = 30 (. . 70). , BN AC . ( M A , , .) C BN , D, AC ( BN AC ) (. . 71).

134

.

B B A M. 70

x x x R N C A M D. 71

N

C

BDC , , DBN = CBN = = x N C = DN . , M BD = N BM N BD = 30 x, ABM = ABC M BN N BC = 60 30 x = 30 x. ABD , BM , , AM = M D. DM N AM , M N N C , . . . 79. . 4. a , S , . S 1 1 1 a+S = = + . 3 a 3 a S 1 > 1 , . . a = 4 a = 5. a = 5 a < S , a 6 , S = 7, 5. a = 4 : S = 12 4, 5 7. 80. , , , , ( ), ( ). , , . . 1 2, 3 4. 1 3 2 4. 1 3, 3 2 , 1 4. . 2 3. , , , 4; , 1.

1995 1996 , 9

135

, 2 4, . 9 81. . x + ax, x ax, a ; x2 + x 2, x2 + x 2. a = (c + d), b = cd, c = (a + b), d = ab. a + b + c = 0, a + c + d = 0, b = cd, d = ab, a + b + c = 0, b = d, b = bc, b = ab, b = 0, d = 0, c = a, a . b = 0, a = c = 1, b = d = 2. 82. . : DAC = CDM , DC S1 . , CBM = CDM . DAC = BCA, BCA = CBM , . . BM AC . . B ABC B M S2 O. OD = OC S2 , . D , OA = OC , , O S1 . OBM = ODM = 90 , BO BM AC , O , , BM AC . A C 83. . 8, 9, 10. (a + b)(b + c)(c + a) = n abc . 72 , 2 2

(a + b)(b + c)(c + a) = n abc. (1) a, b c , , (1), a = b. (a, b) = a = 1 (1) . . c , , (1 + c)(1 + c)2 = nc. , 2 . c = 1 c = 2. n = 8, n = 9.

136

.

a, b c , , a < b < c. , , (1) , a + b = mc (2)

a + c = kb, (3) m k . a + b < 2c, mc < 2c , , m < 2, . . m = 1 , , a + b = c. (4) (3) c (4), a + b = kb a 2a = = b(k 1). . . b. , 1 a < b a b , 2 . , b > 1 , , b = 2. a = 1 c = 3. , n = 10. 84. . . , , , . , . , . . 73 . 73. , , , . , . , , , , , . 1 3 (. . 74). 85. . n = 1996. n , n = p5 (p ) . 74 n = p2 q , p q . 2 3 4 5 2 1 + p + p + p + p + p = 3500. p(1 + p + p + p3 + + p4 ) = 3500 1 = 3499. 3499 2, 3, 5 7, p > 10, p + (1 + p + p2 + p3 + p4 ) > 105 > 3499.

1995 1996 , 10

137

. 1 + + p + p2 + q + pq + p2 q = 3500, . . (1 + p + p2 )(1 + q ) = 53 7 4. 5. ( , ). , , 1 + p + p2 > 1, 1 + p + p2 = 7. , p = 2 (p = 3 ), q = 499. 2 499 . n = 22 499 = 1996. 86. . 78. 2 87. 2u ( a + ab = u ; a + b = v . , v + b 2 ab), : ab(1 a)(1 b) u2 (1 v + u2 ) u2 (1 2u + u2 ) u2 1 = = < , 2 2 2 2 2 (1 ab) (1 u ) (1 u ) (1 + u)2 4 u < 1 u < 1. 1 + u 2 88. A, B , C , D, E , F , G H . , 4 , . , , , , ( ), ( ). , , , , . A, B , C D, , A, B , E F , . , , A+B+C +D > E+F +G+H A + B + E + F > C + D + G + H. C , D, E F , , A B , G H . A + G B + H . , , A + G > > B + H ( ). B G A + H B + G. A + H > B + G, , , A, A + H < B + G, H . 10 89. : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) =

138

.

b 2 + c2 c2 + a 2 a2 + b 2 + + + 2(ab + bc + ca) 2 2 2 ab + bc + ca + 2(ab + bc + ca) = 3(ab + bc + ca) > 3(a + b + c). a + b + c > 0, a + b + c > 3. 90. , , 25 , , . 75. 7/25 > 1/4 , , . 75 . 91. . , B M B (. . ) B . ADEC , DM CM D E , ADEC (. . M ). , ABC , AC A C B . BDM = BCM ,