Vremenski promenljive struje

Do sada smo razmatrali kola kod kojih su izvori napajanja bili vremenski nepromenljivi (DC direct current) i kod kojih struja protie u jednom odreenom smeru.

U okviru programa predmeta Osnovi elektrotehnike baviemo se analizom kola naizmenine sruje (AC alternating current) u kojima postoji izvor vremenski promenljivog napajanja sa vremenski promenljivim signalom (obino je to neki signal sinusnog talasnog oblika). Elektrini signal je napon ili struja koji se na odreeni nain menjaju u vremenu. Drugim reima, fluktuacija struje ili napona po odreenom ablonu se naziva talasnim oblikom.

Naizmenini napon je onaj napon kod koga se odreenom brzinom menja polaritet. Naizmenina struja je ona struja koja odreenom brzinom menja smer proticanja. Sinusni talasni oblik je osnovni i najei oblik vremenski promenljivih signala jer se svi periodini talasni oblici mogu rastaviti na odreen broj razliitih sinusnih talasnih funkcija.

Sinusni talasni oblik signala

Sinusni talasni oblici signala se mogu dobiti na dva naina: rotacionim elektrinim mainama (AC generatori) ili elektronskim oscilatornim kolima (signal generatori).

simbol za predstavljanje signala sinusnog talasnog oblika u elektrinim kolima.

)ili( iv

)ili( iv

)vreme(t

pozitivni maksimum

negativni maksimum

Na slici je prikazan sinusni talasni oblik bilo naizmeninog napona v ili struje i. Na slici je prikazan jedan ciklus promene naizmenine vrednosti signala (perioda).

Polaritet signala sinusnog talasnog oblika:

Sinusni talasni oblik menja polaritet pri prolasku kroz svoje nulte vrednosti, to znai da se menja izmeu svojih pozitivnih i negativnih vrednosti. Kada se sinusni oblik napona AC izvora (vs) primeni na neko rezistivno kolo, u kolu se pojavljuje naizmenina sinusna struja. Kada napon menja polaritet, struja na odgovarajui nain menja smer proticanja. Za vreme pozitivnih vrednosti signala vs, struja protie u smeru koji je prikazan na slici (a). Za vreme negativnih vrednosti signala vs, struja protie u smeru koji je prikazan na slici (b). Kombinovane pozitivne i negativne vrednosti ine jedan ciklus sinusnog talasnog oblika.

sv

tsv R

I

pozitivna alternacija sv

tsv R

I

negativna alternacija

(a) (b)

Perioda signala sinusnog talasnog oblika:

Vreme za koje vremenska promena signala kompletira ceo jedan ciklus se naziva perioda i oznaava se sa T. Na slici (a) je prikazana perioda sinusnog signala. Idealni sinusni signal nastavlja da se ponavlja u identinim ciklusima, kao to je prikazano na slici (b). Kako su svi ciklusi periodinog sinusnog signala isti, za jedan sinusni talasni oblik signala perioda ima konstantnu vrednost. Perioda se moe raunati polazei od nulte vrednosti signala do odgovarajue sledee nulte vrednosti; moe se meriti i izmeu dve odgovarajue maksimalne vrednosti signala.

perioda (T) 1. ciklus 2. ciklus 3. ciklus

v v

)s(t

v

t

Naini merenja periode

)s(t

s4=Ts1=T

Frekvencija signala sinusnog talasnog oblika:

Frekvencija f je broj ciklusa koji talasni oblik kompletira u toku vremenskogperioda od jedne sekunde. to se vie ciklusa zaokrui, to e biti vea frekvencija.

Frekvencija se izraava jedinicom koja se naziva herc i oznaava sa Hz. 1Hz je ekvivalentno jednoj periodi u sekundi, 60Hz je ekvivalentno 60 perioda u sekundi.

Manji broj ciklusa u sekundi manja frekvencija; vei broj ciklusa u sekundi vea frekvencija.

Frekvencija f i perioda T su meusobno povezane sledeom relacijom:

Tf

1=

Ova inverzna veza ima smisla jer sinusni talasni oblik sa duom periodom prolazi kroz manji broj ciklusa u toku jedne sekunde u odnosu na sinusni signal koji ima krau periodu.

vU toku jedne sekunde se kompletiraju 3 ciklusa, tako da je:

Jedan ciklus traje 1s:3=0.333s, pa je perioda:

Hz3=f

ms333s333.0 ==T

v

U toku jedne sekunde se kompletiraju 5 ciklusa, tako da je:

Jedan ciklus traje 1s:5=0.2s, pa je perioda:

Hz5=f

ms200s2.0 ==T

Sinusni naponski izvoriDve osnovne metode za generisanje napona sinusnog talasnog oblika jesu elektromagnetna i elektronska. Sinusni naponi se mogu dobiti elektromagnetno pomou AC generatora i elektonski pomou oscilatornih kola.

AC generator:

etkice

prstenovi

iana kontura

pol magneta

pol magneta

magnetno polje

osovina

osovina

kontura

1. etvrtina: pozitivna alternacija 2. etvrtina: pozitivna alternacija

3. etvrtina: negativna alternacija 4. etvrtina: negativna alternacija

Jedan obrtaj provodnika u magnetnom polju kod osnovnog AC generatora (koji se jo naziva i alternator) generie jedan ciklus sinusnog napona. Brzina kojom provodnik rotira u magnetnom polju odreuje vreme kompletiranja jednog ciklusa. Na primer, ako provodnik kompletira 50 obrtaja u sekundi, perioda odgovarajueg sinusnog talasa je 1/50, a frekvencija 50 Hz. to je brzina rotacije vea, to je vea i frekvencija indukovanog sinusnog napona.

o/s60 o/s120

Drugi nain postizanja vee frekvencije jeste poveanjem broja magnetnih polova. Ranije smo objanjavali kako se moe dobiti sinusni indukovani napon korienjem dva magnetna pola. Za vreme jednog obrtaja, provodnik prolazi pored severnog i junog magnetnog pola i tako se formira jedan ciklus indukovanog napona. Kada se umesto dva koriste etiri magnetna pola, jedan ciklus indukovanog napona se formira u toku polovine obrtaja provodnika. Na ovaj nain se postie dvostruko vea frekvencija pri nepromenjenoj brzini obrtanja provodnika.

1 obrtaj

1/2 obrtaja

Signal generator:

Signal generator je instrument koji elektronski proizvodi signale sinusnog talasnog oblika i upotrebljava se kod testiranja i upravljanja kolima i sistemima. Postoje razliiti signal generatori, od instrumenata specijalnih namena koji daju sinusne talasne oblike u ogranienom opsegu frekvencija, do programibilnih generatora koji daju irok opseg frekvencija i razliite talasne oblike signala. Svi signal generatori su zasnovani na oscilatorima, elektronskim kolima koja na svom izlazu daju signal periodinog talasnog oblika. Svi signal generatori imaju kontrole za podeavanje frekvencije i amplitude signala. Generatori funkcija su instrumenti koji na svom izlazu mogu dati vie razliitig talasnih oblika signala.

Karakteristine veliine AC napona i struja

Trenutna vrednostv v

U bilo kom trenutku, napon ili struja imaju odreenu trenutnu vrednost, koja je razliita u razliitim takama sinusoide. Trenutne vrednosti su pozitivne za vreme pozitivne alternacije (ili pozitivne poluperiode) i negativne za vreme negativne alternacije (negativne poluperiode). Trenutne vrednosti napona i struja se oznaavaju malim slovima v i i.

Maksimalna vrednost

v

Maksimalna vrednost sinusnog talasnog oblika napona (ili struje) je vrednost maksimalne amplitude signala u odnosu na nulu. Kako maksimalne negativne i pozitivne vrednosti signala imaju jednake veliine, sinusni signal se karakterie jednom maksimalnom vrednou.

maxV

maxV

maxV+

maxV

Raspon maksimuma

max2V

maxV+

maxV

Efektivna vrednost

Najvei broj AC voltmetara pokazuje efektivnu vrednost napona. Ova efektivna vrednost se jo oznaava i sa rms (root mean square). 220V nae mree je efektivna vrednost napona.

Efektivna vrednost sinusnog napona je zapravo mera efekta zagrevanja sinusnim talasom.

AC izvor

DC izvor

Kada je otpornik vezan na AC izvor napajanja (a), na njemu se osloboa odreena toplota. DC izvor napajanja se moe podeavati tako da se na otporniku koji je vezan na ovaj izvor (b) oslobodi ista koliina toplote kao na otporniku u sluaju (a).

Efektivna vrednost sinusnog AC napona je jednaka DC naponu koji na otporniku razvija istu koliinu toplote kao to je to u sluaju sinusnog napona.

Neka je napon sinusnog talasnog oblika:

Kod odreivanja efektivne vrednosti, prvo se ova jednaina kvadrira:

sinmaxVv =

22max2 sinVv =

2maxV

Da bi se dobila efektivna vrednost napona, potrebno je povrinu poluperiode podeliti sa :

( )

( )

( ) ( )2

02

2sin2

2cos2

12

2cos12

sin1povr.

2max

2max

021

2max

0

2max

0

2max

0

2max

0

22max

2

VVV

dV

dV

dV

dVVeff

===

=

===

Konano:

Na slian nain se moe odrediti i efektivna vrednost struje:

maxmax2 707.02

VV

VV effeff ===

max707.0 IIeff =

Srednja vrednostSrednja vrednost signala sinusnog talasnog oblika raunata za kompletan ciklus je uvek jednaka nuli jer se srednja vrednost signala tokom pozitivne poluperiode ponitava srednjom vrednou signala tokom negativne poluperiode. Za odreene svrhe, meutim, je korisno raunati srednju vrednost signala tokom jedne poluperiode.

Srednja vrednost za sve take na slici je jednaka nuli!!!

Iz praktinih razloga, kod odreivanja srednje vrednosti se smatra da sve take jedne sinusoide imaju pozitivne vrednosti.

( )

( ) ( )

maxmaxmax

maxmax

0max

0

max

637.02

2

)1()1()0cos(cos

cossin1povr.

VVV

VV

VdVVsr

===

==

===

maxmax 637.0

2V

VVsr ==

maxV

Na slian nain se moe odrediti i srednja vrednost struje:

maxmax 637.0

2I

II sr ==

Ugaona prezentacija sinusnog

talasa

Sinusni oblik napona se moe dobiti AC generatorom. Kako namotaj rotora AC generatora prolazi punih 360 rotacije, rezultujui izlazni napon je jedan pun ciklus sinusnog talasnog oblika. Tako se ugaona prezentacija sinusnog talasnog oblika napona moe povezati sa ugaonom rotacijom generatora.

sinusni napon

1

Stepen je mera ugla koja odgovara 1/360 kruga ili punog obrtaja. Radijan je mera ugla kod kojeg je duina dela obima kruga jednaka polupreniku kruga. Jedan radijan je jednak 57.3, kao to je prikazano na slici. Obrtaj od 360 odgovara meri od 2 radijana.

Grko slovo predstavlja odnos obima bilo kog kruga i njegovog prenika i ima konstantnu vrednost 3.1416.

stepeni radijani

Radijan/stepen konverzija:

stepeni180

radrad

=

o

i obrnuto:

radijanirad

180stepeni

=

o

Za sinusni talasni oblik signala, ugaona prezentacija moe biti ili u stepenima ili u radijanima, pri emu kompletnom ciklusu odgovara 360 ili 2 rad, kao na slici:

Faza signala sinusnog talasnog oblika:

Faza sinusnog signala je mera ugla koja specificira relativni poloaj tog sinusnog signala u odnosu na referentni (prvi pozitivni prolaz kroz nulu je u taki 0 (0 rad), pozitivni maksimum je u taki 90 (/2 rad), negativni prolaz kroz nulu je u taki 180 ( rad), negativni maksimum je u taki 270 (3/2 rad), a ciklus se zavrava u taki 360 (2 rad)). Kada je sinusni talasni oblik nekog signala pomeren levo ili desno u odnosu na ovakav referentni signal, onda se taj pomeraj naziva fazni pomeraj.

pozitivni prolaz negativni prolaz

pozitivni maksimum

negativni maksimum

Slika (a): sinusoida B je pomerena desno za 90 (/2 rad) u odnosu na sinusoidu A, tako da izmeu ove dve sinusoide postoji fazni ugao 90. Maksimum sinusoide B se pojavljuje kasnije nego maksimum sinusoide A. U ovom sluaju se kae da sinusoida B kasni za sinusoidom A za 90 ili /2.

Slika (b): sinusoida B je pomerena levo za 90 (/2 rad) u odnosu na sinusoidu A, tako da izmeu ove dve sinusoide opet postoji fazni ugao 90. U ovom sluaju, maksimum sinusoide B se pojavljuje ranije nego maksimum sinusoide A, pa se kae da sinusoida B prednjai sinusoidi A za 90 ili /2.

(a) (b)

Jednaina sinusoide

iv ili A amplituda sinusiode koja predstavlja maksimalnu vrednost napona ili struje na vertikalnoj osi); na horizontalnoj osi je promenljiv ugao . Promenljiva y je trenutna vrednost napona ili struje pri datom uglu .

Svi elektrini talasni oblici signala su dati specifinom matematikom formulom, iji je opti izraz:

Ova formula vai za bilo koju taku sinusoide i predstavlja trenutnu vrednost signala.

sinAy =

v

V66.8866.01060sinV10sinmax ====oVv

Kada je sinusoida pomerena desno u odnosu na referentnu za odreen ugao , slika (a), opti izraz za vremenski promenljiv signal je:

gde je y trenutna vrednost napona ili struje, a A amplituda signala. Kada je sinusoida pomerena levo u odnosu na referentnu za odreen ugao , slika (b), opti izraz za vremenski promenljiv signal je:

( ) = sinAy

( ) += sinAy

Primer: odrediti trenutne vrednosti napona za ugao = 90, za sva tri talasna oblika napona.

Neka je sinusoida A referentna. Sinusioda B je pomerena za 20 u odnosu na sinusoidu A tako da joj prednjai. Sinusoida C je pomerena za 45 u odnosu na A tako da kasni za njom.

( )( ) 5.66V

4.7V

10V

====

===+=

====

7071.0845sinV8sin

9397.05110sinV5sin

11090sinV10sin

max

max

max

o

o

o

CC

BB

A

Vv

Vv

Vv

Uvod u fazore

U matematici i nauci, vektor je veliina koja je odreena intenzitetom i smerom. Primeri vektora su sila, brzina, ubrzanje. U elektronici, fazor je vrsta vektora koja se odnosi na veliine koje se vremenski menjaju, kao to je sluaj sa sinusnim signalima. Na slici su prikazani primeri fazora. Duina strelice fazora predstavlja amplitudu odreene veliine. Ugao (relativno u odnosu na 0) predstavlja ugaoni poloaj, kao to je prikazano na slici (a) za pozitivan ugao. Specifini primer fazora na slici (b) ima amplitudu 2 i ugao 45. Fazor na slici (c) ima amplitudu 3 i fazni ugao 180. Fazor na slici (d) ima amplitudu 1 i fazni ugao 45 (ili +315). Pozitivni uglovi se mere u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu, dok se negativni mere u smeru kretanja kazaljke na satu, u odnosu na referencu 0.

Fazorska prezentacija sinusoide

Pun ciklus sinusnog talasnog oblika se moe predstaviti rotiranjem fazora po celom krugu (360).Trenutna vrednost sinusoide u bilo kojoj taki je jednaka vertikalnom

rastojanju vrha fazora u odnosu na horizontalnu osu.

Duina fazora na slici je jednaka maksimalnoj vrednosti sinusnog signala. Ugao fazora meren u odnosu na 0 je odgovarajua ugaona taka na sinusoidi.

maxV

maxV

maxV sinmaxVv =

Na slici je prikazan fazor napona sa ugaonom pozicijom 45 i odgovarajua taka na sinusoidi. Trenutna vrednost sinusnog talasnog oblika u ovoj taki se odnosi i na poziciju i na duinu fazora. Kao to je ranije naglaeno, vertikalno rastojanje od vrha fazora do horizontalne ose predstavlja trenutnu vrednost sinusnog talasa u toj taki. Ako se vrh fazora spoji sa horizontalnom osom, dobija se pravougaoni trougao ija je hipotenuza zapravo fazor. Iz trigonometrije, ta strana je jednaka proizvodu hipotenuze i sinusa ugla :

Ista formula je ranije data za trenutnu vrednost sinusnog napona.

sinmaxVv =

Pozitivni i negativni uglovi fazora:

Pozicija fazora u nekom odreenom trenutku se moe izraziti preko pozitivnog ugla, ili ekvivalentnog negativnog ugla. Za dati pozitivni ugao , odgovarajui negativni ugao je 360.

Primer: odrediti trenutne vrednosti napona za sve prikazane fazore na sledeoj slici.

ooo

o

ooo

o

ooo

o

270

10V

330

5V

360

0V

=

===

=

===

=

===

36090

1V1090sinV10)(

36030

5.0V1030sinV10)(

3600

0V100sinV10)(

vc

vb

va

ooo

o

ooo

o

ooo

o

30

5V

90

10V

225

7.07V

=

===

=

===

=

===

360330

)5.0(V10330sinV10)(

360270

)1(V10270sinV10)(

360135

707.0V10135sinV10)(

vf

ve

vd