Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Výpočet vnit řních sil p římého nosníku

•Vnit řní síly p římého vodorovného nosníku • prostý nosník• konzola• nosník s p řevislým koncem

2

Základní pojmy:

+z+y +x

a b

l

h

d

F2

F1=2F

FF

1 2

Rovina souměrnosti prutu

Řídící čára, osa prutu (přímý prut), střednice(přímý i zakřivený prut)

P1 P2

1 2

Raz Rbz

Rax

a b

l

Statické schéma –statický model nosné konstrukce

Těžiště průřezu

Prut - geometrický popis prutu, idealizace

1,0, ≅l

dh

Průřez prutu

Prut rovinně nebo prostorově lomený.

3

Vnější vazby odebírají objektu stupně volnosti.

Název vazby Násobnost vazby Označení vazby a reakce

Kyvný prut

Posuvná kloubová podpora

Pevný kloubová podpora

Posuvné vetknutí

Dokonalé vetknutí

Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině

n–násobná vazba ruší objektu n stup ňů volnosti.

Raz

Raz

Raz

Rax

Raz

Rax

Ma

Raz

Ma

1

2

2

3

1

nebo

nebo

Raz

Raz

Rax

4

321 .3.2 aaav ++=

a1 ... počet jednonásobných vazeb

a2 ... počet dvojnásobných vazeb

a3 ... počet trojnásobných vazeb

nv = v

nv < v

nv > v

staticky i kinematicky určitá soustava

staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava

staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava

Stupeň statické neur čitosti nosníku v rovin ě

3=vn

Stupeň statické neurčitosti s = v - nv

v = ve ... počet vnějších vazeb nosníku nv ... počet stupňů volnostinosníku v rovině

5

Podmínky rovnováhy obecné rovinné soustavy sil

3) Užívané jsou také 3 momentové podmínky ke třem libovolným momentovým středům, které nesmí ležet v jedné přímce

Soustava je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x a z a součet všech momentů k libovolnému momentovému středu s je roven 0.

3 podmínky rovnováhy 1) 2 silové, 1 momentová: 0.1

1, =∑

=

n

ixiP 0.2

1, =∑

=

n

iziP 0.3

1, =∑

=

m

isiM

2) V praktických aplikacích je často výhodnější sestavit 2 momentovépodmínky k momentovým středům a, b:

Tyto podmínky se doplní třetí podmínkou - silovou:

pokud je v ose x pouze jedna neznámá složka reakce

0.1 , =∑ aiM 0.2 , =∑ biM 0.3 , =∑ ciM

0.31

, =∑=

n

ixiP

0.1 , =∑ aiM 0.2 , =∑ biM

0.31

, =∑=

n

iziP pokud je v ose z pouze jedna

neznámá složka reakce

6

Vnit řní síly

• Prut v rovině – 3°volnosti

• Podepření - 3 vazby, odebrány 3°volnosti, staticky ur čitá úloha

• Vnější zatížení a reakce – musí být v rovnováze, 3 podmínky rovnováhy, z nich 3 neznámé reakce

• Vnější zatížení a reakce se nazývají vnější síly

• Uvnitř nosníku působením vnějších sil vznikají vnitřní síly

• Obecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme na tři složky –• v ose x - normálová síla• v ose z - posouvající síla• ohybový moment

7

Výpočet nosníku v osové úloze

Výpočet reakce a normálové síly v osové úloze Obr. 7.1. / str. 90

(a)

(b)

(c)

(d)

Působí-li zatížení pouze v ose nosníku. Jedna vnější vazba v ose x z podmínky rovnováhy:

RR0RR0RR

:0F

axaxax

x,i

=⇒=−⇒=+−

=∑

Složka vnitřních sil v ose nosníku – normálová síla N .

8

Normálová síla N

ba

F

+

ba

-

tah

tlak

FRax

Rax

NN

NN

N N osa nosníku

Normálová síla N v libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících v ose nosníku zleva nebo zprava od x.

Kladná normálovásíla vyvozuje v průřezu x tah a působí z pr ůřezu. V opačném případě je normálová síla záporná a vyvozuje tlak.

+Vnější síly

9

Příklad – N síly

Řešení příkladu 4.2 Obr. 7.3. / str. 91

Zadání: sestrojit průběh normálových sil N

Průběh normálových sil po celé délce se znázorňuje graficky formou diagramu(grafu).

ba

b

a

F3 =16F1 =18

F3 =10

F2 =12

F1 =12 F2 =16Rax=18kN

Rbx=10kN

kladné normálové síly N sevynášejí nahoru, záporné dolů

10

Výpočet nosníku v p říčné úloze

Zatížení – síly v ose z a momentové zatížení.

l/2 l/2

P Rbx=0

RbzRaz

a b

M

V příčné úloze dva druhy vnitřních sil: posouvající síla a ohybový moment .

11

Posouvající síla V v libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících kolmo k ose nosníku zleva nebo zprava od x.

Kladná posouvající síla počítána zleva směřuje nahoru. V opačném případě je záporná.

Kladná posouvající síla počítána zprava směřuje dolů. V opačném případě je záporná.

Posouvající síla V

ba

VV

RbRa

F

VV-+

+V

V

osa nosníku

Vnější síly

12

Příklad – V síly

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2

c d e2 2

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2c d e

2 2

kladné posouvající síly V se vynášejí nahoru, záporné dolů

Doplňte hodnoty V sil a znaménka:

V

…… s podporami

…… bez podpor, jen síly

-10

24 24

-16 -16

2 2+

-+

-

13

Ohybový moment M v libovolném průřezu x nosníku je roven algebraickému součtu všech statických momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od x.

Kladný ohybový moment počítaný zleva otáčí po směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.

Kladný ohybový moment počítaný zprava otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.

Kladným ohybovým momentem jsou dolní vlákna tažena a horní tlačena (nosník je prohýbán směrem dolů). U záporného ohybového momentu je to naopak.

Ohybový moment M

M M

b

Rb

a

Ra

FM M

b

Rb

a

Ra FM M

tah

tah

tlak

tlak

-

+

+

osa nosníku

14

Příklad – ohybové momenty M

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2

c d e2 2

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2c d e

2 2

Doplňte hodnoty M a znaménka:

M

…… s podporami

…… bez podpor, jen síly

ohybové momenty M se vynášejí na stranu tažených vláken, u nosníku nahoru záporné, dol ů kladné hodnoty+

--

-20

28

-40

0

1°

15

M M

+V

V

N N

M M

-V

V

N N

Směr působení vnit řních sil

Kladné sm ěry vnit řních sil:

Záporné sm ěry vnit řních sil:

16

Schwedlerovy vztahy -Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové ú loze

N N+dNx1

x2 x

x dx

z

n

-N + (N+dN) + n.dx = 0

→ nx

N −=d

d

Rx = 0:

Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:

17

Schwedlerovy vztahy –Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v p říčné úloze

V

V+dV

M M+dM

x1

x2x

x dx

z

m

q

dQ = q.dx

-V + (V+dV) + q.dx = 0

-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0

→ qx

V −=d

d

→ mVx

M −=d

d

Rz = 0:

Σ Mi,x2 = 0:

Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:

pro m=0: Vx

M =d

d

+

18

Závěry ze Schwedlerových vztah ů – extrémní hodnoty vnit řních sil

Závěry:( )

0d

d =x

xfExtrém funkce f(x):

0d

d =−= qx

V

0d

d == Vx

M

Extrém posouvajících sil Vje v průřezu, kde q=0

Extrém ohybových momentů M je v průřezu, kde V=0nebo mění znaménko

→

→

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

Derivačně – integra ční schéma

pro m=0:

qx

V −=d

d

Vx

M =d

d

Schwedlerovy vztahyJohann Wilhelm Schwedler (1823-1894)

významný německý inženýrn

x

N −=d

d.1 q

x

V −=d

d.2 V

x

M =d

d.3

pro m=0:

19

Extrém M může vzniknout:a) v podporových bodechb) v působištích osamělých sil

(znaménko V se mění skokem)c) pod spojitým zatížením v místě,

kde je V=0

Shrnutí - určení extrémních hodnot vnit řních sil

n = nebezpečný (kritický) průřez

0d

d == Vx

M Extrém M v průřezu, kde V=0 nebomění znaménko

→

1º

n

Mmax2º

+

+-

Mmax

M

Vn

1º

0º

+

+

-

20

Souvislost mezi spojitým p říčným zatížením a pr ůběhy vnit řních sil

Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103

qx

V −=d

d

d

dV

x

M =

Závěry:

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

1. řád funkce V(x) a M(x)→ typ čáry v diagramech

2. místa extrému u V(x) a M(x)

22

příklad 1 – normálové síly

a bc

Rax= 60,62kN

Raz= 23,33kN Rbz = 11,67kN

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN60°

2 4

6

a bcRax

Px

N

Nac = - Rax

Ncb = - Rax + Px

Nbc = 0Nca = - Px

- 60,62

+ hodnoty kreslit nad osu

- 60,62 = Nca

+ +

+

+zleva:

zprava:

Ncb = 0

23

příklad 1 – posouvající síly

a bc

Raz Rbz

V

23,33

- 11,67 = Vcb

Pz = 35 kN Vac = Raz

Vcb = Raz - Pz

Vbc = - Rbz

Vca = - Rbz + Pz

- 11,67

23,33 = Vca

+ hodnoty kreslit nad osu+ +

+

a bc

Rax= 60,62kN

Raz= 23,33kN Rbz = 11,67kN

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN

60°

2 4

6

+

zprava:

zleva:

+

24

zprava:Mb = 0

Mx = Rbz . x

Mc = Rbz . lbc

Mx = Rbz . x - Pz . (x - lbc)

Ma = Rbz . l - Pz . lac= 0

zleva:Ma = 0

Mx = Raz . x

Mc = Raz . lac

Mx = Raz . x - Pz . (x - lac)

Mb = Raz . l - Pz . lcb = 0

Raz

příklad 1 – ohybové momenty

a

bc

RbzPz = 35 kN

M

46,67 ( Raz . lac = Rbz . lbc )

oh.momenty vynášet na stranutažených vláken (dole + znaménko)

V

- 11,67

23,33

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN60°

lac = 2 lbc = 4

6

+

Rax

+

+

25

( )kNm33,231=⋅= azLd RM

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě d

+Pz

Px

RbzRaz

Rax

Vd

Nd

Md ( )→−=−= kN6,60axLd RN

( )↑== kN33,23azL

d RV

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

1 5

6

Rax

d

Pz

Px Rbz

Raz

Rax

Vd

Nd

Md

( )kNm33,2315 =⋅−⋅= zbzLd PRM

( )→−=−= kN6,60xPd PN

( )↓=+−= kN33,23zbzP

d PRV

26

( )kNm67,462 =⋅= azLc RM

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vlevo od síly – výpočet zleva

+

Pz

PxRbz

Raz

Rax

Vca

Nca

Mc

( )→−=−= kN6,60axLca RN

( )↑== kN33,23azL

ca RV

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

lac = 2 lbc = 4

6

Rax

V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.

V

Vcb

- 11,67

23,33 = Vca

+

27

( )kNm67,464 =⋅= bzLc RM

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vlevo od síly – výpočet zprava

Pz

PxRbz

Raz

Rax

Vca

Nca

Mc

( )←−=−= kN6,60xPca PN

( )↓=+−= kN33,23zbzP

ca PRV

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

lac = 2 lbc = 4

6

Rax

V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.

V

Vcb

- 11,67

23,33 = Vca

+

28

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vpravo od síly – výpočet zleva

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

lac = 2 lbc = 4

6

Rax +

Pz

Px Rbz

Raz

Rax

Vcb

NcbMc

0=+−= xaxLcb PRN

( )↓−=−= kN67,11zazL

cb PRV

( )kNm67,462 =⋅= azLc RM

V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.

V

Vcb=-11,67- 11,67

Vca+

29

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vpravo od síly – výpočet zprava

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

lac = 2 lbc = 4

6

Rax

Pz

Px

RbzRaz

Rax

Vcb

Ncb

Mc

0=PcbN

( )↑−=−= kN67,11bzP

cb RV

( )kNm67,464 =⋅= bzPc RM

V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.

V

- 11,67

Vca

+

Vcb=-11,67

30

Rax = 6,36kN

bRaz = 6,36kN

Ma = 31,82kNm 45°P = 9kNPz=6,36

Px=6,36

5

xP

M(x)P = - Pz . xL

-6,36

6,36

-31,82

M(x)L = Raz . xP - Ma

xL

a

N

V

M

a b

Raz=6,36kN

Ma=31,82kNm45°

P = 9kN

5

x

Rax=6,36kN

zadání

příklad 2

řešení

31

příklad 3

M = 3kNm

6 39

a b

Raz = 0,333kN Rbz=0,333kN

-0,333

Mca =-2

Mcb =1

(- Raz . x)

czleva:

- úsek acMa = 0Mx = - Raz . xMca = - Raz . 6Mcb = - Raz . 6 + M

- úsek cbMx = - Raz . x + M Mb = - Raz . l + M = 0

zprava:- úsek cb

Mb = 0Mx = Rbz . xMcb = Rbz . 3Mca = Rbz . 3 – M

- úsek caMx = Rbz . x - M Mb = Rbz . l - M = 0

xL (zleva) x P (zprava)

v bodě c počítat hodnotu momentu 2krát!!! – momentový skok

= 0N

V

M

32

příklad 3 – schéma vnitřních sil v bodě c – výpočet zleva

M = 3kNm

6 3

a b

RazRbz

c

+

RazVc

Nc=0

Mca

Rbz

M

( )kNm26 −=⋅−= azLca RM

0=LcN

( )↓−=−= kN33,3azL

c RV

V bodě c není osamělé silové zatížení (není zde skoková změna v průběhu V ani N), proto vnitřní síly Vc i Nc v bodě c nemusí mít značeni dvěma indexy. U momentu nutno počítat 2 hodnoty.

Mca =-2

Mcb =1

M1°

1°

+

RazVc

Nc=0Mcb

Rbz

M

( )kNm16 =+⋅−= MRM azLcb

0=LcN

( )↓−=−= kN33,3azL

c RV

33

( )kNm23 −=−⋅= MRM bzPca

příklad 3 – schéma vnitřních sil v bodě c – výpočet zprava

M = 3kNm

6 3

a b

RazRbz

c

RazVc

Nc=0

Mca

Rbz

M0=P

cN

( )↑−=−= kN33,3bzP

c RV

Mca =-2

Mcb =1

M1°

1°

RazVc

Nc=0

Mcb

Rbz

M

( )kNm13 =⋅= bzPcb RM

0=PcN

( )↑−=−= kN33,3bzP

c RV

V bodě c není osamělé silové zatížení (není zde skoková změna v průběhu V ani N), proto vnitřní síly Vc i Nc v bodě c nemusí mít značeni dvěma indexy. U momentu nutno počítat 2 hodnoty.

34

Příklad 4 – odhadn ěte reakce a vykreslete pr ůběh N,V,M

a bc

Px = 10 kN

Pz = 9 kN

2 4

6

M M

+V

V

N N

+

35

Příklad 4 – řešení

a bc

Px = 10 kN

Pz = 9 kN

2 4

6

Rbx

NM M

+V

V

N N

+

V

M

Raz Rbz

36

Příklad 5 – vypo čtěte reakce a vykreslete pr ůběh N,V,M

a bc

P = 10 kN

24

6

M M

+V

V

N N

+30°

37

Příklad 5 – řešení

NM M

+V

V

N N

+

V

M

a bc

P = 10 kN

24

6

30°

-5,00

8,66

-17,32

4,33

Raz=4,33 Rbz=12,99

41

Okruhy problém ů k ústní části zkoušky

• Výpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku

• Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerovy vztahy, využití

• Určení extrémních hodnot vnitřních sil