Von der ebenen Welle zum Festkörper - KIT - .3 Von der ebenen Welle zum Festkörper Für die Beschreibung

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  • 1

    Erratum: Potentialbarriere

    V0 E

  • 2

    λλ

    2 2 ( , ) sin( )x

    x t f x t A

    T π π λ

    = −

    ( , ) sin( )xf x t A kx tω= − Wellenzahl k; Kreisfrequenz ω

    einfachere Schreibweise

    Verallgemeinerung auf 3D

    ( )( )( , ) sin x y zf r t A k x k y k z tω= + + − r

    Komplexe Schreibweise

    ± ( ){ }( , ) Re( ( , )) Re expf r t f r t A i kr tω = = −  r r urr%

    Vorteile: - Ableitungen, Differentialgleichungen werden einfacher - Dämpfung als e-Funktion mit realem Exponenten

    ( )sinA kr tω= −urr "Wellenvektor" kur

    Von der ebenen Welle zum Festkörper

    Quantenmechanik: Die relevante Größe, die durch die Wellengleichung beschrieben wird, ist komplex.

    ( )( , ) expr t A i k r tψ ω = −  r urr

    Wellengleichung für das Teilchen im Vakuum

    λλ

    Dieser Wellenansatz löst die S-Glg., sofern folgende Beziehung gilt:

    2

    2 k m

    ω = h

    ω

    „Dispersionsrelation“

    Von der ebenen Welle zum Festkörper

  • 3

    Von der ebenen Welle zum Festkörper

    Für die Beschreibung von Transportphänomenen von lokalisierten Elektronen sind Wellenpakete geeigneter:

    3( , ) exp( ( ))k kr t d kA i kr tψ ω= −∫ ∫ ∫ r urr

    ( , ) exp( ( ))k kx t dkA i kx tψ ω= −∫

    bzw. in 3D

    Von der ebenen Welle zum Festkörper

    ( , ) exp( ( ))k kx t dkA i kx tψ ω= −∫Wellenpaket:

    Zu unterscheiden sind: - Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit der Wellenfront einer einzelnen Welle

    - Gruppengeschwindigkeit: Geschwindigkeit des Schwerpunktes der Welle

    2 2p k

    v k m m ω ω

    = = = h h

    g d k

    v dk m ω

    = = h

  • 4

    - Wellenpaket zerfliesst im Laufe der Zeit !

    - Schwerpunkt bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit

    0kv m

    = h

    0mv p k= = hoder

    free particle: applet

    Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpakete

    Halblleiterkristalle

    - chemische und physikalische Eigenschaften der Elemente sind durch ihre Elektronenkonfiguration im Grundzustand sowie durch naheliegende angeregte Zustände bestimmt

    - z.B. Germanium Ge (32 Elektronen) und Silizium Si (14 Elektronen): - jeweils vier Elektronen in der äußersten Schale

  • 5

    Atome in Festkörpern

    - Elektronen in der äußersten Schale gehen Verbindungen mit anderen Atomen ein (kovalente Bindung, ggf. teilweise ionisch)

    - Anordnung der Atome erfolgt so, dass die Gesamtenergie minimal wird

    Dies ist oft gegeben, wenn eine Unterschale gefüllt wird.

    Jedes Si- oder Ge-Atom geht z.B. Verbindungen mit vier weiteren Atomen ein.

    kristallin polykristallin amorph

    Ordnung in Festkörpern

    Je nach Art der Herstellung können sich die Atome verschieden geordnet zu Festkörpern zusammenschliessen. ð Kristalle: Die Atome sind periodisch angeordnet. ð Polykristalline Festkörper: Kristalline Bereiche, aber keine Fernordnung ð Amorphe Festkörper: nur Nahordnung, keine Periodizität, keine

    Fernordnung.

    Source: Wolfe, Holonyak, Stillman

    - Halbleiterelektronik wird dominiert durch kristalline Siliziumchip - polykristalline und amorphe Halbleiter bei großflächiger und kostengünstiger Elektronik

  • 6

    Ordnung in Festkörpern

    Kristalliner Wafer

    → Si-Mikroelektronik

    Polykristalline Si-Solarzelle

    Amorphe Dünnfilmtransistoren

    3D-Kristallgitter

    In 3D wird die Anordnung durch drei Gittervektoren a1, a2 und a3 eindeutig beschrieben.

    In 3D gibt es 14 verschiedene Kristallgitter. Die Grundeinheit muss nicht ein einzelnes Atom sein. Sie kann auch eine kompliziertere Einheit aus mehreren

    Atomen sein.

    Source: B. Van Zeghbroeck

    simple cubic (sc) body-centered cubic

    (bcc) face-centered cubic

    (fcc)

  • 7

    Verbindungshalbleiter

    Weitere Verbindungshalbleiter bilden sich ebenfalls nach der Regel, möglichst die Unterschalen zu füllen.

    Dadurch entstehen IV-IV, III-V und II-VI Halbleiter. Halbleiter aus zwei Elementen nennt man binäre Halbleiter.

    Halbleiter aus drei Elementen nennt man ternäre Halbleiter. ð z.B. Al1-xGaxAs

    Halbleiter aus vier Elementen nennt man quarternäre Halbleiter. ð z.B. In1-xGaxAs1-yPy

    SiGe

    Kristallstruktur von Si und Ge

    Si und Ge bilden Diamantgitter Die Diamantstruktur hat ein fcc-Gitter mit einer Einheitszelle, die aus

    zwei Atomen bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4)a besteht. a ist die Länge der Einheitszelle.

  • 8

    Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren

    -für gute Transporteigenschaften ist einkristallines Material erforderlich

    Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen

    (TS=1415 °C)

    Eintauchen eines einkristallinen Keims

    einkristallines Wachstum unter Zieh- und Drehbewegungen

    Wachstum von einkristallinen Stäben

    Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren

    -für gute Transporteigenschaften ist einkristallines Material erforderlich

    Bruchstücke von poly-Si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen

    (TS=1415 °C)

    Eintauchen eines einkristallinen Keims

    einkristallines Wachstum unter Zieh- und Drehbewegungen

    Wachstum von einkristallinen Stäben

    -Dotierung möglich durch Zugabe von hochdotierten Si-Stücken

    Abbildung eines einkristallinen Si-Stabes

  • 9

    Methoden der Epitaxie: MBE

    Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy, MBE)

    Verdampfung der Elemente aus fester Quelle im Ultrahochvakuum (10-10 mbar)

    Periodische Potentiale

    Periodische Anordnung von Atomen → Periodisches Potential V(x)

    Ausbildung von stehenden Wellen

    Schematische Darstellung eines quantenmechanischen Elektrons in einem periodischen Potential eines kristallinen Festkörpers

    Drastische Effekte, wenn die halbe Wellenlänge der Elektronen (oder ein ganzzahliges Vielfaches) gleich der Periode des Potentials ist

  • 10

    Vom freien Elektron zum Kristallelektron

    Dispersionsrelation des freien Elektrons

    2 2

    2 k

    E m

    = h

    E

    a a aeinfallendes Elektron

    gestreute Teilwellen

    Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/2=a

    oder k=π/a

    -π/a π/a

    Vom freien Elektron zum Kristallelektron

    a a aeinfallendes Elektron

    gestreute Teilwellen

    Konstruktive Überlagerung der Teilwellen falls λ/2=a

    oder k=π/a

    Dispersionsrelation des Kristallelektrons

    Aufspaltung der Parabeläste bei IkI=π/a

  • 11

    Vom freien Elektron zum Kristallelektron

    Dispersionsrelation des Kristallelektrons

    c) Ψ*Ψ(x) obere „Bandkante“

    b) Ψ*Ψ(x) untere „Bandkante“

    Aufspaltung der Parabeläste, Ausbildung von

    stehenden Wellen

    Vom freien Elektron zum Kristallelektron

    Gittervektoren:

    n xR na nae= = uur r uur

    „Reziproker“ Gittervektor:

    2 xK ea

    π =

    ur uur 2 n xK n ea

    π =

    ur uur

  • 12

    Periodische Bandstruktur

    Es genügt, den Bereich von -0.5K bis 0.5K darzustellen. Diesen Bereich nennt man die erste Brillouin-Zone.

    Einfachere Darstellung

    Gegenüberstellung freie Elektronen ↔ Bloch-Elektronen

    Freie Elektronen

    ( ) eikr k

    rΨ = rr

    r r

    mit

    2

    0

    ( ) 2k

    k E

    m =

    h

    Klassifizierung nach dem Wellenvektor:

    Reduktion auf die erste Brillouin-Zone Bloch-Elektronen

    Klassifizierung nach reduziertem Wellenvektor k und Bandindex n:

    ( ) ( )ikrnk nkr e u rΨ = rr

    r r r

    ( ) ( )nk nku r u r R= + rr r

    (gitterperiodische Funktion)

    ka

  • 13

    Bloch-Elektronen

    ( ) ( )ikrnk nkr e u rΨ = rr

    r r r

    Richtungsabhängigkeit des Potentials

    Bisher haben wir nicht bedacht, dass das Potential für die verschiedenen Raumrichtungen verschieden ist.

    Nehmen wir z.B. an wir haben ein 2D-Gitter. Die Atome sind entlang der X-Richtung näher zusammen als entlang der L-Richtung.

    Daher erwarten wir, dass durch den unterschiedlichen Potentialverlauf auch die Energiezustände unterschiedlich sind.

    Γ

    L X

    L: K=(1,1)

    Γ: K=(0,0)

    X: K=(0,1)

    z.B. beim quadratischen Gitter in 2D:

  • 14

    Richtungsabhängigkeit des Potentials

    In der Tat zeigen Berechnungen, dass die Energiezustände richtungsabhängig sind.

    Oft werden deshalb in einem Bandstruktur-Diagramm die Energiezustände für verschiedene relevante Richtungen gezeigt:

    X K=(0,1)

    Γ K=(0,0)

    L k=K(1,1)

    Γ (0,0)

    ΓL X

    Bandstruktur von Silizium

    Darstellung der Eigenzustände in Bandstrukturen. Gibt wieder die Abhängigkeit von ω (bzw. E) von k an. Allerdings handelt es sich nicht mehr um einzelne ebene Wellen sondern um komplexe Überlagerungen.

    Die neuen Eigenzustände heissen Blochzustände.

  • 15

    Bandstruktur von Germanium

    Bandstruktur von GaAs

    Ende 1.12.03