Volante Inercia

7/26/2019 Volante Inercia

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ANLISIS Y DISEO DE VOLANTES DEINERCIA DE MATERIALESCOMPUESTOS

Llus Ripoll Masferrer

2005


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Agradecimientos

Agradezco muy especialmente al Dr. Jos Luis Prez que ha sido mucho ms que un direc-tor de tesis. Por la oportunidad de introducirme en el mundo apasionante de los volantesde inercia, por los conocimientos que me ha transmitido y por su experiencia y buenhacer. Sobre todo, por su paciencia, puesta a prueba en las innumerables horas que meha dedicado, y la de su familia, que ha soportado con infinita bondad las incomodidades

causadas por nuestro trabajo.A los compaeros del rea de Enginyeria Mecnicade la UdG. Especialmente a PereMaim por la colaboracin que ha sido imprescindible para los resultados logrados. Lacomprensin y las ayudas continuas de Narcs Gascons, Joan Andreu Mayugo y NorbertBlanco. Un recuerdo a nuestro amigo Joan Cabarrocas.

Tambin al Dr. Robert Taylor por su ayuda en los casos especiales de simulacin porelementos finitos y al Dr. Eugeni Valencia por sus orientaciones y consejos.

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ndice general

1. INTRODUCCIN 1

1.1. Volantes de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Almacenamiento de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Elementos de un acumulador cintico . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3. El rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Estudio sobre el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Actuales direcciones de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Aplicaciones de bajo coste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3. Objetivo de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4. Alcance del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Principios bsicos y estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Origen de las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2. Modelizacin para sistemas de clculo . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3. Materiales aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4. Organizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. TENSIONES MECNICAS 13

2.1. Bases del anlisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Origen de las tensiones mecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2. Elemento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3. Esquema de resolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Fuerza centrfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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vi NDICE GENERAL

2.2.1. Ecuaciones para un rotor con simetra circular . . . . . . . . . . 17

2.2.2. Propiedades del material para fibras orientadas tangencialmente . 18

2.2.3. Ecuaciones para condiciones de tensin plana . . . . . . . . . . . 19

2.2.4. Desplazamiento radial en tensin plana . . . . . . . . . . . . . . 212.2.5. Tensiones en condiciones de tensin plana . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.6. Punto singular de la solucin en tensin plana . . . . . . . . . . . 26

2.2.7. Ejemplo calculado en tensin plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.8. Clculo en condiciones de deformacin plana . . . . . . . . . . . 31

2.2.9. Ejemplo calculado en deformacin plana . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.10. Consideraciones para fibras axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.11. Ejemplo de fibra axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3. Aceleracin angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1. La aceleracin angular en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2. Tensiones de la aceleracin angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.3. Ejemplo de tensiones de aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4. Condiciones de contorno interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1. Rigidez interior del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.2. Efecto de la rigidez radial sobre las tensiones . . . . . . . . . . . . 45

3. TENSIONES RESIDUALES DEL MATERIAL 47

3.1. Tensiones trmicas originadas en el curado . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1. Generacin de tensiones durante el curado . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.2. Deformaciones trmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.3. Ecuaciones para condiciones de tensin plana . . . . . . . . . . . 50

3.1.4. Desplazamiento radial en tensin plana . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.5. Tensiones en tensin plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.6. Punto singular de la solucin en tensin plana . . . . . . . . . . . 53

3.1.7. Ejemplo calculado en tensin plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.8. Clculo en condiciones de deformacin plana . . . . . . . . . . . 56

3.1.9. Ejemplo calculado en deformacin plana . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.10. Consideraciones para fibras axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


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NDICE GENERAL vii

3.2. Tensiones residuales por hidratacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.1. Absorcin de humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.2. Tensiones en condiciones de tensin plana . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.3. Condiciones de deformacin plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.4. Combinacin de tensiones residuales . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4. MEJORA DE LOS SISTEMAS DE TENSIONES 71

4.1. Estado de deformacin plana modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.1. Limitaciones del clculo en deformacin plana . . . . . . . . . . . 71

4.1.2. Deformacin axial constante (DAC) . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.3. Mtodo DAC aplicado a las tensiones centrfugas . . . . . . . . . 744.1.4. Condicin de fuerza axial nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.5. Ejemplo del DAC aplicado a las tensiones centrfugas . . . . . . . 78

4.1.6. Consideraciones parafibras axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.7. Mtodo DAC aplicado a las tensiones residuales trmicas . . . . . 81

4.1.8. Mtodo DAC aplicado a las tensiones residuales por hidra-tacin 83

4.2. Modelo unificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.1. Unificacin de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.2. Zonas axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.3. Propiedades de las zonas libre y uniforme . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.4. Zona de transicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.5. Funcin de progresin aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.6. Rotores de longitud corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.7. Consideraciones sobre la tensin cortante axial . . . . . . . . . . 99

4.2.8. Modelo unificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.2.9. Anlisis de otros modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5. TENSIONES RESIDUALES EN ESTADOS NO UNIFORMES 107

5.1. Tensiones de curado a temperatura no uniforme . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.1. Curado a temperatura no uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.2. La temperatura en funcin del radio . . . . . . . . . . . . . . . . 108


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viii NDICE GENERAL

5.1.3. Desplazamiento radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.1.4. Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1.5. Punto singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.1.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2. Tensiones en estados transitorios de hidratacin . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.1. Absorcin de humedad en un rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.2.2. Proceso de absorcin de humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2.3. Distribucin aproximada de la humedad . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2.4. Desplazamiento radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2.5. Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.2.6. Puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.2.7. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6. FORMULACIN GENERAL Y MODELOS MULTICAPA 131

6.1. Desarrollo de la formulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1.1. Formulacin general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1.2. Condiciones de la formulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.1.3. Desarrollo de la formulacin general . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.1.4. Puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.1.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2. Aplicacin a modelos multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.2.1. Rotores multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.2.2. Nomenclatura y frmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2.3. Determinacin de las constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2.4. Ejemplo de rotor multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.3. Resistencia ante la rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.3.1. Resistencias para el clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.3.2. Resistencia individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.3.3. Criterio de fallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.3.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155


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NDICE GENERAL ix

7. PRETENSADO EN EL BOBINADO 159

7.1. Proceso de pretensado en el bobinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.1.1. Mejora de tensiones mediante las tensiones residuales . . . . . . . 159

7.1.2. Tensiones residuales de bobinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.1.3. Ventajas del pretensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.1.4. Fabricacin con pretensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.1.5. Rigidez radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.2. Modelo elstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.2.1. Proceso de estudio de las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.2.2. Modelo analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.2.3. Rotor de un solo material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.2.4. Ejemplo de un rotor de un solo material . . . . . . . . . . . . . . 168

7.2.5. Rotor de varios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.2.6. Ejemplo de rotor con mandrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.3. Clculo mediante elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.3.1. Limitacin del clculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.3.2. Mtodo de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.3.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.4. Consideraciones viscoelsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.4.1. Propiedades viscoelsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.4.2. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.4.3. Reduccin a un sistema elstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.4.4. Curadoin situ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.4.5. Propuestas alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8. PRETENSADO TRMICO 187

8.1. Rotor de material nico curado en dos etapas . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.1.1. Estudios sobre las tensiones trmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.1.2. Tensiones residuales en el curado a temperatura no uniforme . . 187

8.1.3. Proceso de curado en dos etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.1.4. Consideraciones sobre el curado del material . . . . . . . . . . . . 191


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x NDICE GENERAL

8.1.5. Tensiones residuales en un rotor homogneo curado en dos etapas 192

8.2. Rotor con mandrino curado con pretensado trmico . . . . . . . . . . . . 194

8.2.1. Tensiones en un rotor con mandrino . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.2.2. Proceso de pretensado en un rotor con mandrino . . . . . . . . . 1958.2.3. Tensiones de pretensado en un rotor con mandrino . . . . . . . . 197

8.2.4. Aumento del pretensado trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.3. Rotor de un solo material curado con pretensado trmico . . . . . . . . . 200

8.3.1. Proceso de curado en tres etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.3.2. Tensiones de pretensado en el curado en tres etapas . . . . . . . 201

8.4. Consideraciones sobre el proceso de curado . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.4.1. Coeficientes de dilatacin trmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.4.2. Dilataciones en el curado de la resina . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.4.3. Influencia de las dilataciones sobre el pretensado trmico . . . . . 206

9. DISEO DE VOLANTES DE INERCIA 209

9.1. Rotores simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.1.1. Condiciones del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.1.2. Rotores de pared delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

9.1.3. Rotores de pared gruesa y material nico . . . . . . . . . . . . . 212

9.1.4. Criterios de optimizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.2. Rotores multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.2.1. Optimizacin de un rotor de dos capas . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.2.2. Resultado del rotor de dos capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

9.2.3. Rotor con capa elstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.3. Rotores con pretensado trmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.3.1. Rotor de fibra de vidrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.3.2. Rotor de fibra de vidrio con mandrino . . . . . . . . . . . . . . . 227

10.CONCLUSIONES 231

10.1. Sistema analtico de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10.2. Diseo de volantes de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232


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NDICE GENERAL xi

10.3. Futuras lneas de investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233


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xii NDICE GENERAL


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Lista de smbolos1

Smbolos generales

a parmetro de anisotropaaH, aR parmetros generales de los coeficientes de dilatacin trmica

b parmetro de fuerza centrfugabH, bR parmetros generales de los coeficientes de dilatacin por hidratacinc humedadcr parmetro elsticoc0, ...c5 coeficiente de la ecuacin humedadd parmetro de la deformacin axiale parmetro trmico de temperatura uniformee1, e2 parmetros trmicos de temperatura no uniformefc fuerza centrfuga unitariaf fuerza unitaria de aceleracing parmetro de humedad uniformeg0, ...g4 parmetros de humedad no uniformeh parmetro de aceleracink constante elstica (con subndices)l longitud axial del rotorm masam exponente de la tensin cortante radial-axialm variables de integracin por partesn variables de integracin por partesn exponente de la tensin axialnH, nR parmetros generales del mdulo de Poisson

p presinp parmetro elsticoq parmetro elsticor radiorc radio de curados parmetro elsticot espesor de pared del cilindro

1 No se incluyen los smbolos particulares usados en un solo apartado.

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Captulo 1

INTRODUCCIN

1.1. Volantes de inercia

1.1.1. Almacenamiento de energa

El volante de inercia es, bsicamente, un sistema de almacenamiento de energa mecni-ca. Su principal caracterstica frente a otros sistemas es la capacidad de absorber y cederenerga en poco tiempo. Es adecuado para sistemas mecnicos de ciclo energtico dis-continuo donde el periodo de tiempo sea muy corto, por lo que, tradicionalmente, se hautilizado en motores y compresores alternativos, prensas y troqueladoras, etc.

En volantes tradicionales la cantidad de energa es menor que en otros sistemas de al-macenamiento, pero en las ltimas dcadas se fabrican de materiales compuestos, lo queha supuesto un aumento notable de su capacidad de almacenamiento. Esta innovacinpermite aplicarlos a campos en los que antes era totalmente impensable, por ejemplo,para almacenamiento de energa en automviles, trenes o autobuses, satlites, etc.

Con este nuevo tipo de volantes se superan, en algunos aspectos, los sistemas clsicos dealmacenamiento de energa. Por ejemplo, si se comparan con las tradicionales baterasqumicas, los volantes ofrecen mayor potencia energtica, tanto entregada como absorbi-da. Las bateras, debido a su proceso qumico, son muy lentas en el proceso de carga y

descarga, y si se pretende disminuir el tiempo su rendimiento desciende a valores del 20o el 30%.

Para comparar los acumuladores cinticos con otros sistemas de almacenamiento se uti-lizan los conceptos de densidad de energa y de densidad de potencia para expresar lacapacidad de almacenar y de intercambiar energa por unidad de masa del acumulador.En la figura 1.1 se presenta un grfico comparativo entre los volantes de inercia y algunossistemas comunes aplicados a vehculos, obtenido de Kulkarni (1982) [30]. Se representanen coordenadas de densidad de energa, en Whkg1, y densidad de potencia, en Wkg1,las regiones de trabajo de los volantes, las bateras qumicas, los motores de combustininterna y la clula de combustin.

1


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2 CAPTULO 1. INTRODUCCIN

Gasolina-MCIMgHx-MCI

NiZn

Pb-cido

Volantes

Metanol-MCI

Metanol

Cel. Comb.

LiAl-FeS2

Batera Al-aire100

1000

Potencia / masa

(Wkg-1)

10 100 1000Energa / masa

(Whkg-1

)

Figura 1.1: Comparacin de la densidad de potencia en funcin de la densidad de energaentre acumuladores de energa: volantes, motores de combustin interna, bateras y clulas decombustin, (Kulkarni [30]).

En la figura 1.1 se observa que la densidad de potencia en los volantes es muy eleva-da comparada con los diversos tipos de bateras qumicas, incluso con los motores decombustin interna. En cambio, su densidad de energa es parecida a las bateras conven-cionales y es ms baja que las bateras especiales y los motores. Por lo tanto, la principalcaracterstica de los volantes es su alta densidad de potencia.

Estos dos parmetros son muy genricos y dan una visin global de los sistemas. Si sequiere una comparacin completa hay que tener en cuenta otros factores, por ejemplo elnmero de ciclos de vida, los costes de fabricacin y explotacin, etc.

En la figura 1.1 se comparan los volantes con los sistemas ms tradicionales pero existenotros sistemas alternativos, menos conocidos. Por ejemplo en Olszewski y otros (1988)[36] se comparan con el almacenamiento neumtico y se deduce que la eficiencia y ladensidad de energa es ms alta en los volantes.

1.1.2. Elementos de un acumulador cintico

En las aplicaciones ms clsicas los volantes reciben la energa a travs de una transmisinmecnica, como si fueran un subconjunto de la mquina. En estos casos es habitualque tengan un multiplicador para aumentar las revoluciones, o incluso un variador para


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1.1. VOLANTES DE INERCIA 3

adaptarse a distintos regmenes, como se expone en Jefferson y Ackerman (1996) [25].

Cada vez es ms frecuente que el volante incorpore un motor-generador elctrico propio,de forma que configura una mquina aislada, conectada al exterior nicamente por cableselctricos igual que una batera elctrica. Su principal ventaja es la versatilidad porquese adapta fcilmente a cualquier necesidad energtica mediante una adecuada regulacinelectrnica. Fsicamente est formado por cinco elementos bsicos, figura 1.2: (1) el rotor,(2) los cojinetes, (3) el motor-generador, (4) el recipiente de vaco y (5) el sistema deregulacin.

Motor-Generador

RecipienteRotor

Cojinetes

Figura 1.2:Elementos de un acumulador cintico.

1 El rotor es el elemento central del acumulador, donde se almacena propiamente laenerga. Est formado principalmente por la masa cilndrica y el eje central.

2 Los cojinetes de giro suelen ser simples rodamientos de alta velocidad. En mode-los ms sofisticados se montan cojinetes de levitacin magntica que eliminan lasprdidas por rozamiento.

3 El motor-generador convierte la energa elctrica en cintica y viceversa. Gira soli-dario al rotor y puede estar situado en paralelo con el disco, como se muestra en lafigura 1.2, o concntrico a la masa circular. En este ltimo las bobinas estatricasse sitan sobre el eje central fijo y las rotricas en el interior de la masa cilndrica.

4 El conjunto est encerrado en un recipiente de proteccin que evita el acceso a loselementos mviles. En algunos casos se efecta el vaco para eliminar el rozamientoaerodinmico.

5 Adems de las partes mecnicas, incorpora un equipo de regulacin de la potenciaelctrica que gestiona el flujo de energa con el exterior.

Este tipo de acumuladores, adems de ser verstiles, minimizan las prdidas por fricciny la energa se mantiene durante horas o incluso das. Por contra, tienen prdidas en laentrada y salida de energa debido al rendimiento elctrico del motor.


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1.1. VOLANTES DE INERCIA 5

(d) Anillos con elastmero (e) Hbrido multicapa (f) Cubo cnico

(c) Aros axiales(b) Aros radiales(a) Radios

Figura 1.3:Configuraciones de rotores para volantes y sus uniones con el eje.

1.1.4. Aplicaciones

La aplicacin ms destacable de los ltimos aos ha sido para el suministro de energaelctrica a satlites en la industria aeroespacial. Durante las horas solares se almacena laenerga proveniente de las placas fotovoltaicas, de forma similar a las bateras elctricaspero con menos peso y mayor fiabilidad, Christopher y Beach (1998) [8].

Otro campo es la aplicacin a los vehculos urbanos, cuya velocidad es discontinua y laenerga cintica se pierde en forma de calor durante las frenadas. El acumulador cinticoes capaz de almacenar la energa de la frenada porque su potencia, a diferencia de lasbateras qumicas de la figura 1.1, es suficiente para absorber la energa en unos segundosy para devolverla en la aceleracin. Se aplica a automviles, lvarez y otros (1998) [1] ya autobuses, Jefferson y Ackerman (1996) [25].

En los trenes, tanto urbanos como interurbanos, trabajan igual que en los vehculosurbanos y se aplican tanto si el motor es elctrico como de combustin interna, Herbsty otros (1998) [24]. De forma similar aunque para menos energa se aplica a los tranvasurbanos, Jefferson y Ackerman (1996) [25]. En cambio, en los trenes de alta velocidades distinto, el acumulador debe estar situado en las estaciones porque su masa es muygrande comparada con la masa del tren.

Existen otras aplicaciones, por ejemplo en las redes de suministro de energa elctricapara evitar los cortes de corriente, Koch (1997) [28]. Se utilizan como fuente complemen-taria durante las interrupciones de corta duracin, con periodos de tiempo entre 10 y 60segundos, segn Darrelman (1999) [10].


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1.2. Estudio sobre el rotor

1.2.1. Actuales direcciones de estudio

Para mejorar las aplicaciones de los volantes es necesario aumentar la energa especficadel rotor, tanto por unidad de peso como de volumen. Pero en la mayora de aplicacionesinteresa disminuir los costes de fabricacin para que sean competitivos con otros sistemas.Lo primero se consigue bsicamente aumentando la velocidad de giro, para lo segundo,ms complejo, se debe combinar la utilizacin de materiales baratos con la simplificacinde los procesos de fabricacin. En ambos casos es necesario estudiar nuevas formas paraaumentar la resistencia del rotor.

u u

Figura 1.4:La deformacin radial del material dificulta la unin con el eje.

Segn Genta (1985) [19] los principales problemas en un rotor de material compuesto sonla baja resistencia a tensin radial y la unin de la llanta con el eje interior. La tensinradial en el anillo slo aparece si el espesor de pared es grande, tiene poca importanciaen los volantes metlicos pero es muy perjudicial en materiales compuestos2.

La unin con el eje es otro tema difcil en los volantes. Existen dos sistemas excluyentes:uniones muy rgidas y uniones elsticas. Las rgidas soportan la fuerza centrfuga me-diante la tensin radial y se utilizan en volantes metlicos. Las elsticas permiten eldesplazamiento radial ude la llanta, como se muestra en la figura 1.4, y la fuerza cen-trfuga slo crea tensin tangencial. En los volantes de material compuesto se utilizan las

uniones elsticas para disminuir la tensin radial.Esta problemtica ha generado diversas lneas de estudio. Una solucin es dividir el rotoren anillos concntricos unidos por finas capas de material muy elstico, como se muestraen el tipo (c) de la figura 1.3. En Genta (1985) [19] se describe y analiza esta solucin,pero ltimamente han aparecido nuevas investigaciones con combinaciones de materialesms complejas, por ejemplo en Gabrys y Bakis (1997) [17].

Una variante de la solucin anterior es utilizar una matriz de mdulo elstico muy bajoen los rotores fabricados de fibra bobinada. La elasticidad de la matriz permite unas

2 Esta tensin radial ser motivo de estudio en este trabajo.


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1.2. ESTUDIO SOBRE EL ROTOR 7

dilataciones en direccin radial, perpendicular a la fibra, que son suficientes para anularla tensin radial. Esta tipologa tambin est ensayada en Gabrys y Bakis (1997) [17].

La solucin ms estudiada es el rotor hbrido multicapa, representado en la figura 1.3(e).Su proceso de distribucin de tensiones y deformaciones est descrita de forma resumidaen Kitade (2000) [27]. Actualmente se siguen estudiando nuevas formas de optimizacinmediante combinacin de materiales y su posicin radial, como en Ha y otros (1999) [21]y Ha y otros (2001) [22], en los que se maximiza la energa almacenada manteniendo lastensiones dentro del lmite de resistencia del material.

Otra solucin estudiada es la creacin de tensiones residuales de compresin medianteun bobinado con hilo muy tensado. Se han publicado algunos ensayos experimentalesen Hahn y Kempner (1993) [23] y Kempner y Hahn (1995) [26] aplicados a tubos parafluidos a presin, aunque los resultados son poco positivos. Gabrys y Bakis (1998) [18]lo aplica a rotores y ensaya el bobinado con un curado in situ, pero los resultados siguensiendo limitados.

Ha y otros (1998) [20] estudia la optimizacin a travs de sistemas mecnicos de fabri-cacin, utiliza mltiples anillos del mismo material montados con interferencia radial. Losresultados en los clculos tericos son buenos pero su dificultad est en la fabricacin.

Tambin existen estudios sobre la influencia del mandrino metlico en la creacin delas tensiones residuales, White y Zhang (1993) [53], para aplicaciones con proceso defabricacin simple.

Las mejoras en los acumuladores cinticos no se limitan al rotor. Se estn estudiando otroscampos, por ejemplo, en la suspensin magntica del rotor para disminuir el rozamientoy acumular energa durante periodos ms largos, en los sistemas elctricos de gestin de

la energa para facilitar el intercambio, etc. Estos campos son muy interesante pero seapartan mucho del objetivo del presente trabajo.

1.2.2. Aplicaciones de bajo coste

Los objetivos en el estudio del rotor son distintos segn las diversas aplicaciones. En lossatlites lo ms importante es minimizar el peso, debido al enorme coste de la puesta enrbita, y en menor medida el volumen. Los costes del material y de fabricacin son pocoimportantes en comparacin con aqullos.

En las aplicaciones a vehculos mviles, automocin, trenes, etc. el peso y el volumentienen una importancia limitada, en cambio los costes son esenciales debido a las grandesseries de produccin.

En las aplicaciones terrestres inmviles, redes elctricas, etc. el peso y el volumen notienen importancia, porque se dispone de ms espacio pero, en cambio, el coste es decisivo.

En estas dos ltimas y, sobre todo, si se pretende conseguir que la aplicacin sea gene-ralizada, el acumulador debe tener un coste limitado. En las innovaciones no es suficienteavanzar en la cantidad de energa por unidad de peso, hay que utilizar procesos de fa-bricacin ms econmicos.


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Los rotores hbridos multicapa perfeccionados suelen tener unos costes de material eleva-dos. Se fabrican con mltiples materiales de mdulo elstico progresivo, en donde la fibrade vidrio y la de carbono son la ms elstica y la ms rgida respectivamente. Para con-seguir una progresin uniforme es necesario utilizar materiales de elasticidad intermediapoco usuales y, por lo tanto, ms caros, de forma que los costes de material pueden ser

superiores incluso al del rotor construido exclusivamente en fibra de carbono.

1.2.3. Objetivo de la tesis

El estudio que se presenta en esta tesis est en la lnea de conseguir que los acumuladorescinticos sean asequibles a las aplicaciones ms corrientes de la industria, mejorando lascaractersticas de los rotores en las aplicaciones de bajo coste. En este sentido se estudiansoluciones empleando materiales corrientes y procesos de fabricacin simples, de formaque se puedan llevar a la prctica con medios econmicos ms asequibles.

Para ello se han propuesto dos objetivos. El primero es completar el sistema analticopara el clculo de rotores fabricados con materiales compuestos, atendiendo a todos lostipos de cargas necesarias para el diseo y determinando las componentes de la tensinque influyen en el clculo por resistencia.

El segundo es analizar el diseo de rotores para las aplicaciones de bajo coste. Se in-tentan proponer configuraciones alternativas para el rotor. Algunas de ellas necesitanprocesos de fabricacin particulares que se deben simular mediante un modelo de clculopropio. Finalmente, partir de las limitaciones energticas de los rotores simples se debedeterminar la mejora en las prestaciones el rotor.

1.2.4. Alcance del estudio

En el anlisis del rotor se elabora un sistema analtico de clculo completo que permiteestudiar distintos diseos de rotor. Para su desarrollo se parte de los principios bsicosgenerales y se presentan cada uno de los pasos del proceso analtico hasta obtener lasolucin global. En l se tienen en cuenta todas las posibles cargas del rotor que afectande forma significativa a su resistencia. Se determina el estado de tensiones completo entodos los puntos para su aplicacin al clculo de la resistencia.

En la prediccin de la rotura se considera que para el estudio de los diseos es msimportante el anlisis comparativo de las diversas configuraciones que la obtencin devalores absolutos muy precisos. As, en el clculo de resistencia, al igual que en la mayorade autores, no se consideran los efectos de la fatiga, ni tampoco se entra en el estudioa fondo de los criterios de fallo esttico. Estos dos temas seran motivo de trabajosposteriores cuando se apliquen a proyectos concretos.

Para las propiedades del material se toman los valores comunes aceptados entre los au-tores y para las propiedades especiales aplicadas en los nuevos mtodos de fabricacin setoman de resultados experimentales similares de otros autores. Los materiales compuestostienen un comportamiento menos regular que los metales y sus propiedades pueden va-


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1.3.2. Modelizacin para sistemas de clculo

El estudio de las tensiones en un rotor tiene dos partes: la primera calcular los lmitesde utilizacin de un rotor, o sea, los valores mximos de la velocidad y la aceleracin, yla segunda, menos directa, conocer los parmetros ms influyentes para proponer nuevas

formas y optimizar el diseo. Para ello, se deducen las expresiones analticas de lasdeformaciones y las tensiones y, paralelamente, se aplica el mtodo de los elementosfinitos slo en algunos casos particulares.

El estudio mediante la formulacin analtica permite entender los fenmenos internosque crean tensiones y, por lo tanto, analizar las causas de rotura del rotor. Se puede,entonces, valorar fcilmente la influencia de cada parmetro y las consecuencias de unaposible variacin. Con estos conocimientos es ms rpido crear nuevos modelos con ciertasposibilidades de xito.

Los modelos de elementos finitos aplicados a un rotor calculan las tensiones para una

geometra concreta con resultados ms completos y ms precisos que los desarrolladosen este trabajo, pero en la prctica es un mtodo ms laborioso y ms lento para probarnuevas geometras, como en el caso de Nagy y otros (1999) [35]. Adems, la relacin entrecaractersticas finales y parmetros es menos evidente y, en consecuencia, las modifica-ciones se realizan casi por tanteo, Wu y otros (1995) [54].

En el presente estudio se analiza el comportamiento del rotor principalmente a travs delas frmulas analticas, como hacen la mayora de autores citados en la bibliografa. Seestablecen los principios bsicos y se deducen las ecuaciones que describen el compor-tamiento del rotor. En ellas se utilizan parmetros que sean lo ms comprensibles posiblespara analizar la causa de las tensiones. Las frmulas finales se han simplificado al mxi-

mo y se componen de trminos polinomiales en funcin del radio, en los que se agrupanlos factores de las distintas cargas. En algunos casos, despus de deducir una primeraexpresin basada en principios particulares, se ampla para generalizar su aplicacin yoptimizar el resultado.

Despus de cada anlisis se aplican las frmulas a ejemplos concretos para entender lanaturaleza del fenmeno y comprobar la coherencia de los resultados. Los ejemplos de lasdeducciones ms significativas se complementan con clculos mediante elementos finitospara verificar la correspondencia de los resultados.

1.3.3. Materiales aplicados

El estudio est orientado a los materiales compuestos con fibras en una sola direccin queson los usuales en los volantes de altas velocidades, como se ha descrito anteriormente.Se omite la formulacin aplicada a materiales istropos, muy comunes en los estudiosclsicos, aunque se deducen como un caso particular de las ecuaciones generales. Paralos ejemplos se utilizan los materiales compuestos ms representativos en los rotores, lafibra de vidrio y fibra de carbono con matriz epoxi.

La fabricacin de un rotor con estos tipos de materiales se realiza mediante bobinado


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1.3. PRINCIPIOS BSICOS Y ESTRUCTURA 11

de una mecha de fibras sobre un mandrino. El rotor queda formado por fibras unidi-reccionales orientadas circularmente de forma que consigue una gran resistencia a lastensiones tangenciales. A esta orientacin, en direccin tangencial, se la denomina "fi-bras a 0o", y se toma como referencia porque es la direccin natural.

Tambin se contempla, como caso especial, que un rotor pueda contener fibras en ladireccin axial y se denominan "fibras a 90o". El presente trabajo no se aplica a otrasorientaciones con ngulos distintos a estos dos. En la bibliografa hay pocos estudios derotores con fibras orientadas en direcciones distinta a estas dos, Ha y otros (1998) [20]

z

Fibras 0 Fibras 90

Figura 1.5:Orientacin de las fibras: 0o tangencial y 90o axial.

Interesa que las fibras estn orientadas a 0o para resistir la fuerza centrfuga del rotor atravs de la componente tangencial de la tensin. Las fibras a 90o no resisten tensionestangenciales, ni las radiales, porque ambas direcciones son normales a esta direccin, sloresisten tensiones axiales, que aparecen en algunos rotores de gran longitud.

1.3.4. Organizacin

El presente trabajo se compone de distintas fases de estudio y aplicacin. En los seisprimeros captulos se deducen las ecuaciones que rigen el comportamiento de un rotorsometido a cargas. Los restantes, basndose en estas ecuaciones, se destinan a analizar ymejorar el diseo.

En los captulos 2 y 3 se exponen los principios bsicos del origen de las tensiones mecni-

cas y residuales respectivamente, y se deducen las ecuaciones clsicas que son la base delresto del estudio.

En los captulos 4 y 5 se amplan las ecuaciones de los captulos anteriores para mejorarel clculo y ampliar sus aplicaciones. En el captulo 4 se analizan y se perfeccionan lossistemas de clculo y se propone uno nuevo que unifica los anteriores. El captulo 5 esuna ampliacin del 3, en el cual se calculan las tensiones residuales que se crean bajoestados no uniformes de temperatura y humedad.

En el captulo 6 se deduce una formulacin general que unifica las tensiones de las distintascargas, estudiadas en los captulos anteriores, y que se aplica a rotores multicapa. Tambinse determina la resistencia final del rotor que se utiliza para valorar el lmite de un diseo.


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2.2. FUERZA CENTRFUGA 17

en deformacin plana. La tensin plana, que considera una tensin axial nula, simulaun volante de pequea longitud, y la deformacin plana, que considera una deformacinaxial nula, se utiliza para longitud grande. Este ltimo caso se estudia ms a fondo en elcaptulo 4.

En todos los casos se sigue el mismo proceso de clculo. Partiendo de las ecuacioneselsticas del material y de las ecuaciones cinticas de la geometra se deducen las expre-siones de las tensiones en funcin del desplazamiento radial uo del circunferencial. Conestas tensiones y la ecuacin de equilibrio de fuerzas se obtiene la ecuacin diferencial deldesplazamiento en funcin del radio, que una vez resuelta se sustituye en las ecuacionesde la tensin anteriores. Las ecuaciones finales permiten determinar el desplazamiento ylas tensiones en funcin del radio r.

2.2. Fuerza centrfuga

La fuerza centrfuga es la fuente ms importante de tensiones y requiere un estudiomuy detallado. La optimizacin de la geometra de un rotor pasa en gran medida por laminimizacin de sus efectos sobre la resistencia, de manera que su anlisis es el puntocentral del estudio de un volante de inercia.

2.2.1. Ecuaciones para un rotor con simetra circular

El comportamiento analtico del rotor se deduce de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas

2.1 y de las ecuaciones cinticas 2.3, que se simplifi

can notablemente en esta geometra.Si la velocidad es constante y, por lo tanto, la aceleracin angular es nula, la fuerza dela aceleracinf es cero. Adems, si el rotor tiene simetra circular todos los parmetrosson independientes de la posicin angular y sus derivadas respecto de son nulas, con loque, las dos ecuaciones 2.1 quedan independientes, la primera con las tensiones normales, y r, y la segunda con la tensin cortante, r.

En este caso, para el clculo con fuerza centrfuga es suficiente considerar la primeraecuacin, sin el trmino en

rr +1r (r ) = fc (2.4)

En las ecuaciones cinticas 2.3 la condicin de simetra anula los siguientes trminos: laderivada , el desplazamiento tangencial y la deformacin angular r. Por lo cual,las ecuaciones 2.3 se simplifican y se reducen a dos ecuaciones

= u

r

r = u

r

= u ,r

(2.5)


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18 CAPTULO 2. TENSIONES MECNICAS

En ellas las deformaciones, yr, son funcin solamente del desplazamiento radial uyde su derivada con respecto del radiou ,r.

2.2.2. Propiedades del material para fibras orientadas tangen-cialmente

Si el rotor est sometido nicamente a fuerza centrfuga se pueden admitir ciertas sim-plificaciones en la ecuacin constitutiva del material.

En la figura 2.2 se aplica solamente la fuerza centrfuga fcy se crean las tensiones normalesen direccin radialry en direccin tangencial. La tensin axialzdepende del efectoPoisson y su valor es mucho menor que las otras, incluso, en rotores de poca longitudes prcticamente nula. sta ser objeto de estudio ms adelante, principalmente en elcaptulo 4. Las tensiones cortantes se pueden considerar nulas: la tensin r es funcin

slo de la fuerza de aceleracinf, la tensinrz es muy pequea porque est creada porlas variaciones de z y la tensinz es nula a causa de la simetra del rotor sobre el ejeaxialz .

En estas condiciones el estudio del comportamiento del material se reduce a determinarlas tres tensiones normales, tangencial , radial r y axial z, y sus deformaciones. Luegola ecuacin elstica es

r

z

=

1

Er

Erz

Ez

rE

1Er

rzEz

zE

zrEr

1

Ez

r

z

(2.6)

Cabe destacar que la matriz de elasticidad es simtrica y, en consecuencia, se cumplenlas relaciones

r

E =

r

Er ;

z

E =

z

Ez ;

zr

Er =

rz

Ez (2.7)

Esta ecuacin es vlida para cualquier material anistropo y se puede simplificar conalgunas igualdades en el caso concreto que sea orttropo.

En los volantes de inercia, como se ha dicho anteriormente, el material del rotor es siempreorttropo. Adems, para resistir la fuerza centrfuga sus fibras se orientan a 0o, o sea, ladireccin tangencial coincide con la longitudinal L de las fibras, y la radialr y la axialz con la transversal T, como se observa en la figura 2.4. En este trabajo se considerarque tienen esta direccin, excepto que no se diga lo contrario. Tambin se considerarque las dos direcciones transversales son idnticas y se cumplen las igualdades


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(L)

r(T)

z(T)

Figura 2.4:Orientacin tangencial de las fibras (0o), direcciones:Llongitudinal yT transversala las fibras

Er =Ez ; rz =zr ; z =r (2.8)

Esta relacin se comprueba segn los coeficientes de Poisson de la figura 2.5

z

r

(rz)

z

(z)

r

(r)

z

r

(zr)

r

z

Figura 2.5:Coeficientes de Poisson en fibra a 0o

En la formulacin analtica no se incluirn estas igualdades para no perder el origen decada uno de los parmetros, a pesar de que simplificaran las ecuaciones 2.7 y 2.8. Susvalores se tendrn en cuenta en las ecuaciones finales al sustituir por las propiedadeslongitudinales o transversales de la fibra.

2.2.3. Ecuaciones para condiciones de tensin plana

Las ecuaciones anteriores se simplifican si se considera que el sistema cumple las condi-ciones de tensin plana en las direcciones yr. Su resolucin es mucho ms simple queel sistema global con todas las tensiones y no se pierde apenas precisin en los resulta-dos cuando el rotor tiene poca longitud axial. Es el sistema utilizado por la mayora deautores.

La ecuacin elstica 2.6 queda reducida a los parmetros relativos a los ejes y r, porqueesta condicin supone que la tensin axial debe necesariamente ser nula, z = 0, y ladeformacin axial no interviene en el clculo. Luego, la ecuacin queda reducida a


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r

=

1

Er

Er

r

E

1

Er

r

(2.9)

Para el desarrollo es til disponer de las tensiones en funcin de las deformaciones

r

= EEr1 rr

1

Er

rE

rEr

1

E

r

(2.10)

A su vez las deformaciones estn en funcin del desplazamiento radial segn las ecua-

ciones cinticas 2.5. Sustituyendo y simplificando algunas propiedades del material segnlas igualdades 2.7 se obtienen las ecuaciones bsicas de las tensiones en funcin del de-splazamiento radial

= E

1 rru

r+ r u,r

r = Er

1 rr

ru

r+ u,r

(2.11)

Estas tensiones junto con la derivada de la tensin radial rrespecto del radio, designadapor r,r

r,r= Er

1 r r

ru,rr r

u

r2+ u,rr

deben cumplir la ecuacin de equilibrio 2.4, y se obtiene la ley de desplazamiento

u,rr +1

r u,r

a2

r2 u= b r (2.12)

en la cual se han agrupado los factores constantes en dos parmetros, que se denominanay b, y se definen de la siguiente forma

a =

rEEr

; b = 1 rrEr

2 (2.13)

El parmetroaes funcin nicamente del material y representa el grado de anisotropade las propiedades elsticas, en este caso del mdulo elstico. Dicho parmetro tiene granimportancia para el desarrollo analtico y es un factor decisivo en las ecuaciones finales.


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Elbes funcin principalmente de la fuerza centrfuga, dada por el factor2, y de algunaspropiedades del material. No tiene un significado tan claro como el de a, se ha definidode esta forma simplemente para agrupar trminos y facilitar el proceso de resolucin.

2.2.4. Desplazamiento radial en tensin plana

La funcin de desplazamiento radial u en funcin del radio se obtiene resolviendo laecuacin diferencial 2.12. El proceso tiene varias substituciones que se presentan a con-tinuacin.

En primer lugar se aplica un cambio de variable clsico en la bibliografa que introduceuna nueva variabley

u= y (r

a

+ r

a

) (2.14)

Con este cambio se elimina el sumando sin derivada de la ecuacin 2.12 y queda de laforma

y,rr(ra + ra) + y,r

(1 2a)ra1 + (1 + 2a)ra1

= b r

Aplicando un segundo cambio que sustituya la derivada por una nueva variable x sedisminuye el orden de la ecuacin diferencial

y,r =x (2.15)

con lo que el grado de la ecuacin disminuye y queda un slo trmino con derivada

x,r+(1 2a)r(1a) + (1 + 2a)r(1+a)

ra + ra

| {z }g(r)x = b

r

ra + ra

| {z }f(r)(2.16)

La nueva ecuacin es una funcin dex(r), en cual los factores independientes se agrupanen dos nuevas funciones de r, g(r)y f(r), y su solucin es la funcin estndar siguiente

x= A0

eR

g(r) dr+

Z f(r)e

R g(r) dr dr

eR

g(r) dr (2.17)

Cada trmino incluye varios factores que se operan individualmente, de forma sucesiva.Primero se integra la funcing(r), que a su vez se separa en dos integrales, IaeIb


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Z g(r) dr =

Z 1 2a(1 + r2a) r

dr

| {z }Ia+

Z (1 + 2a)r1+2a

1 + r2a dr

| {z }Ib

= (1 2a) ln r+ 2 ln (1 + r2a)

(2.18)en donde las soluciones individuales son

Ia = (1 2a)2a

Z 2ar2a + 11

r2a+ 1

dr = 1 2a2a ln

11

r2a+ 1

= (1 2a) ln r 1 2a2a

ln (1 + r2a)

(2.19)

Ib = 1 + 2a

2a

Z 2ar2a 1

1 + r2a dr =

1 + 2a

2a ln (1 + r2a)

(2.20)

El trmino exponencial se obtiene fcilmente debido a las funciones logartmicas de laintegral 2.18

eR

g(r) dr =r12a (1 + r2a)2 (2.21)

Por otra parte, el trmino independiente f(r)de la ecuacin 2.16 se puede escribir en la

forma

f(r) =b r1+a

1 + r2a (2.22)

para simplificar los elementos de la integral del segundo sumando de la ecuacin 2.17. Adicha integral se la denominaIc

Z f(r)e

R g(r) dr dr =b

Z r2a (1 + r2a) dr

| {z }Ic= b

r3a

3 a+ r3+a

3 + a

(2.23)

Sustituyendo estos trminos en la ecuacin 2.17 se obtiene la ecuacin de la variableintermedia x

x = A0 r2a1

(1 + r2a)2+ b

r2a1

(1 + r2a)2

r3a

3 a+ r3+a

3 + a

(2.24)

en la cual A0 es la primera constante de integracin. A su vez, integrando la funcin x seobtiene la variableyde la ecuacin 2.15. Para su resolucin se separa en dos integrales,denominadas I1y I2, y se aade una segunda constante de integracin B 0


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y =R

xdr = A0Z

r2a1

(1 + r2a)2 dr

| {z }I1+b

Z r2a1

(1 + r2a)2

r3a

3 a+ r3+a

3 + a

dr

| {z }I2=A0 1

2a(1 + r2a)+ b r3+a

(9 a3)(1 + r2a)+ B0

(2.25)

La integral I1 se resuelve por sustitucin

I1= 1

2a(1 + r2a) (2.26)

La integralI2se resuelve por partes definiendo los trminosm y dn. El primero coincidecon el resultado de la integral Icde la ecuacin 2.23

m = r3a

3 a + r3+a

3 + a dm = r2a (1 + r2a) dr

dn = r2a1

(1 + r2a)2 dr n = 1

2a(1 + r2a)

I2 = 1

2a(1 + r2a)

r3a

3 a+ r3+a

3 + a

Z 1

2a r2a dr =

r3+a

(9 a3)(1 + r2a) (2.27)

Finalmente, deshaciendo el cambio inicial de la ecuacin 2.14 se obtiene la ecuacin deldesplazamiento u en funcin del radio

u(r) = y 1 + r2a

ra = A

0

2a

1

ra + b

r3+a

9 a21

ra + B0

1 + r2a

ra (2.28)

Para simplificar la ecuacin se redefinen las variables de integracin en A y By se agrupanlos trminos en r segn las potenciasra, r a yr3

u(r) = A

1

ra + B ra

+

b

9 a2 r3

(2.29)

Los dos primeros determinan la progresin del desplazamiento en el radio. Las constantesA y B se determinan por las condiciones de contorno en el radio interior y exterior, oen las fronteras entre capas si el rotor es multicapa. El tercero contiene la constante bdefinida en la ecuacin 2.13 y representa la aportacin de la fuerza centrfuga.

Se observa que el factor ms decisivo para determinar el tipo de solucin es el parmetroa. Afecta a los tres trminos de la ecuacin y especialmente a los dos primeros. Estdefinido en la ecuacin 2.13 y depende de la anisotropa de las propiedades elsticas delmaterial en las direcciones radial y tangencial. Es un factor importante para las tensiones


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finales porque determina la coherencia entre los desplazamientos de distintas zonas delrotor.

Si el material es istropo el valor es a = 1, ecuacin 2.13. Es el caso, por ejemplo, de losrotores de metal, utilizados en volantes de bajas prestaciones. Para este valor la ecuacindel desplazamiento se reduce a la ecuacin clsica

u(r) =1

r A + r B+

b

8r3 (2.30)

Ambas ecuaciones, 2.29 y 2.30, coinciden con las ecuaciones de la bibliografa, por ejemploen Kitade (2000) [27] o en Timoshenko y Goodier (1970) [49]

Los desplazamientos radiales son aparentemente poco importantes para el diseo de unrotor, pero no es as. Su ecuacin es necesaria dentro del proceso analtico para determinarlas tensiones, y el valor de su pendiente en r influye sobre la tensin radial mxima.

Adems, el desplazamiento en el radio interior del rotor es muy importante para elegir eltipo de unin entre la llanta y el eje; cuanto mayor sea este desplazamiento ms elsticadebe ser la unin, como se ver en el apartado 2.4.2.

2.2.5. Tensiones en condiciones de tensin plana

Las tensiones, tangencial y radial r, en condiciones de tensin plana se obtienensustituyendo el desplazamiento radial uy su derivadau,r en las ecuaciones de tensiones2.11. La derivada en el radio del desplazamiento es

u,r(r) = a

ra+1 A + a ra1 B +

3 b

9 a2 r2 (2.31)

Agrupando trminos el resultado queda de la siguiente forma

(r) = a2 cr

(1 ra)

1

ra+1 A + (1 + ra)r

a1B + 1 + 3r

9 a2 b r2

r(r) = cr

(r a) 1ra+1 A + (r+ a)ra1B + r + 39 a2 b r2

(2.32)

En ellas se utiliza la constante cr para agrupar algunas propiedades del material

cr = Er

1 r r=

E(a r )(a + r)

(2.33)

Esta constante no tiene ningn significado fsico destacable, su nico objeto es simplificarlos trminos de la ecuacin. Con ella la constante b definida en 2.13 se puede escribir deforma simplificada


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b = 2

cr(2.34)

Las ecuaciones de tensiones y rtienen una estructura parecida a la del desplazamiento

radialu, ecuacin 2.29. Las potencias en aahora son ra1 y ra

1 y la del trmino conel factor de velocidad bes enr2.

Es evidente que las tensiones en la direccin z son nulas por tratarse de un estado detensin plana. La deformacin axial z definida dentro de la ecuacin inicial 2.6 vale

z = zE

zrEr

r (2.35)

Esta solucin es aplicable a cualquier material anistropo. Si tiene isotropa en las

propiedades elsticas las ecuaciones se simplifican, los mdulos elsticos son iguales,E = Er y a = 1 segn la ecuacin 2.13, y el mdulo de Poisson es constante en to-das las direcciones, r =r =. Luego, las ecuaciones de las tensiones quedan

(r) =cr

(1 )1

r2 A + (1 + )B +

1 + 3

8 b r2

r(r) =cr

( 1)1

r2 A + (+ 1) B +

3 +

8 b r2

(2.36)

Estas ecuaciones tambin coinciden con la bibliografa clsica, por ejemplo Timoshenkoy Goodier (1970) [49].

Las constantes A y B son propias de cada aplicacin. En un rotor simple, con un solomaterial y libre en los radios interior ri y exterior re, estas constantes se pueden hallaranalticamente igualando a cero las tensiones radiales en estos dos puntos

r(ri) = 0 ; r(re) = 0

Sus valores son

A = (3 + r )b

(a r) (9 a2)ra+3i r

2ae ra+3e r2ai

r2ae r2ai

B = (3 + r)b

(a + r) (9 a2)ra+3i ra+3e

r2ae r2ai

(2.37)

Este resultado tambin equivale a las frmulas presentadas en la bibliografa clsica,Timoshenko y Goodier (1970) [49].


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2.2.6. Punto singular de la solucin en tensin plana

La solucin anterior, deducida a partir de leyes generales, no es vlida para todos losvalores del parmetroa. En las ecuaciones aparece un denominador con el factor (9a2)y, por lo tanto, cuando a = 3 el resultado es infinito. Este valor constituye un punto

singular de las ecuaciones que necesita una atencin especial.Esta discontinuidad aparece en la solucin matemtica pero no se intuye que tenga unsignificado fsico. El parmetro aes funcin del material, segn la ecuacin 2.13, y si elvalora= 3correspondiera a un material hipottico no utilizado en rotores, el problemase quedara en un simple concepto matemtico, pero este valor est dentro la gama demateriales utilizados y, en consecuencia, es necesario rehacer el proceso de clculo parahallar otra solucin.

El valor mnimo dentro de la gama de materiales es a = 1y corresponde a los materialesistropos. Los materiales compuestos, utilizados en la fabricacin de rotores, tienen va-

lores deasuperiores a la unidad; la fibra de vidrio con resina epoxi tiene un valor cercanoa2 y la fibra de carbono con epoxi, mucho ms rgida, alcanza un valor de 4. El resto defibras suelen tener valores intermedios, por lo tanto, en alguna de ellas el valor puede ser3.

Analizando el proceso anterior se observa que la solucin de la integral Icde la ecuacin2.23 no es vlida para un valor de a = 3. El factorr2a adopta el valorr1 y la solucinno es una funcin polinmica sino logartmica. La solucin correcta, denominada Ic3, es

Z f(r)eR g(r) dr dr = b Z (r1 + r5) dr| {z }Ic3

= b ln r+r6

6 (2.38)

El desarrollo posterior sigue los mismos pasos pero con las modificaciones que genera estecambio. En todas las ecuaciones aparece la nueva funcin logartmica. La ecuacin 2.24se convierte en

x = A0 r5

(1 + r6)2 + b

r5

(1 + r6)2

ln r+

r6

6

(2.39)

La integral I2 tambin es particular, se denomina I23

I23 =

Z r5

(1 + r6)2

ln r+

r6

6

dr =

r6

36

ln r 11 + r6

(2.40)

En la ecuaciny se modifica el segundo sumando

y = A0 1

6(1 + r6

)

+ br6(6ln r 1)

36(1 + r6

)

+ B0 (2.41)


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El comportamiento del rotor no es evidente, la fuerza centrfuga aumenta con el radio,pero ni el desplazamiento ni la tensin tangencial son mayores en el radio exterior queen el resto. Su valor no depende slo de la fuerza local, sino que el rotor se comportacomo una estructura cerrada, con sus parmetros relacionados entre s. La deformacintangencial , y en consecuencia la tensin tangencial, estn en funcin del desplazamiento

radialucomo se comprueba en la ecuacin 2.5.En la figura 2.7 se muestra esquemticamente la relacin entre desplazamiento y ten-siones, y explica la generacin de estos grficos. El rotor se divide en tres aros simples(a) y se somete a un velocidad . En un primer paso se considera que los tres aros sonindependientes entre s y se crean tensiones tangenciales y desplazamientos individuales,como muestra el dibujo (b). En cada uno la tensin tangencial media 0es funcin de r

2

y la dilatacin u0 der3, de ah que los aros tiendan a separarse entre s, u01 < u0

2< u0

3.

En un segundo paso (c) se obliga a los aros a unirse de nuevo para formar un cilindronico, o sea, el interior se dilata y el exterior se contrae. El desplazamiento radial del aro

1sigue aumentando,u1=u0

1 +u, y el de3disminuye,u3=u0

3u, de manera que losdesplazamientos finales de los tres aros son prcticamente iguales, como se observa en lafigura 2.6. Para ello es necesaria una tensin radial r de traccin en las fronteras entrearos, que a su vez, aumenta la tensin tangencial del aro1y disminuye la del3. La tensintangencial final es superior en el interior que en el exterior porque la tensin inicial esfuncin de r2 y la diferencia de desplazamiento es funcin de r3. Ambas tensiones secorresponden con la figura 2.6.

z

r

(Pa)

l/2

Figura 2.8:Tensin tangencial en condiciones de tensin plana.

z

r

r(Pa)

l/2

Figura 2.9:Tensin radial en condiciones de tensin plana.

En la figura 2.6 se demuestra que la tensin tangencial no es uniforme, lo que supone


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una menor resistencia en el radio interior. En los resultados del ejemplo, figura 2.6, ladiferencia respecto del valor medio es del 25 %.

La tensin radial, an siendo muy inferior a la tangencial, es ms perjudicial para losmateriales compuestos porque las fibras estn orientadas en direccin tangencial. En elejemplo su valor es 15 veces inferior a la tangencial pero la resistencia transversal a lafibra es 30 veces menor que la longitudinal, como se ver en el apartado 6.3.2, y el rotorfallara por tensin radial.

Para verificar las frmulas, el resultado de este ejemplo se compara con el obtenido enun modelo calculado mediante el MEF. Los datos del modelo son los mismos que enel ejemplo anterior, solamente se aade una longitud axial. Se elige un valor pequeo,l= 80mm, para que sea inferior al espesor de la pared del cilindro y simule la condicinde tensin plana.

Se utilizan elementos axisimtricos respecto del eje de rotacin z y los resultados serepresentan sobre una superficie en el plano rz. El origen del eje z est situado en elextremo del rotor, como se ha definido en la figura 2.1. El modelo tiene un eje de simetraen el radio situado en z=l/2, con elementos de borde que slo permiten el desplazamientoenr, tal como se representa en las figuras de resultados 2.8 y 2.9.

Las tensiones en las figuras 2.8 y 2.9 varan muy poco con la posicin axial, solamente latensin radial tiene un ligero descenso al aproximarse al extremo lateral del rotor, z = 0.

En la figura 2.10 se comparan los resultados de las ecuaciones, de la figura 2.6, represen-tados con lnea continua y los obtenidos en MEF, con puntos discontinuos. Estos ltimoscorresponden a un radio situado en la posicin axial z =l/2y en las tensiones radialesse incluye, adems, el resultado de un radio situado en z = 0.

0.6 0.7 0.8 0.9 1

250

300

350

400

r / re

T

ensintangencial(MPa)

0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

35

r / re

Tensinradial(MPa)

EcuacinMEF, z = 0

MEF, z = l/2

Ecuacin

MEF

Figura 2.10:Comparacin de las tensiones, tangenciales y radiales, con las obtenidas medianteel MEF.

En los grficos de comparacin de tensiones de la figura 2.10 se observa que la diferencia


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en las tensiones tangenciales es inapreciable. En las tensiones radiales existe una pequeadiferencia en la zona central, originada por la posicin axial elegida, el resultado paraz = l/2 es algo superior, mientras que para z = 0 es inferior. Se observa, adems, queel primer valor y el ltimo se apartan de cero, pero es debido a un defecto de lectura deresultados del modelo que se podra corregir fcilmente con una extrapolacin.

Con este ejemplo se puede concluir que las ecuaciones deducidas son vlidas para elclculo de deformaciones y tensiones. En los captulos siguientes se estudia ms a fondola posicin axial y se da una explicacin a la pequea discrepancia en las tensionesradiales.

2.2.8. Clculo en condiciones de deformacin plana

Si la longitud axial del volante es grande el clculo de tensiones realizado en condicionesde tensin plana tiene ciertas limitaciones. Es habitual calcular los elementos de granlongitud mediante las condiciones de deformacin plana, pero en el caso de los rotores estesistema presenta tambin algunas limitaciones. A pesar de ello, aqu se aplica al clculodel rotor y ms adelante, en el captulo 4, se aadirn algunas condiciones especficas.

Este sistema parte de las mismas ecuaciones iniciales de los apartados 2.2.1 y 2.2.2, peroen la ecuacin constitutiva del material 2.6 no son vlidas las simplificaciones del apartado2.2.3. En ellas mantiene la tensin z y la deformacinz, a pesar ser nula por la propiacondicin de deformacin plana. La expresin dez, deducida de la ecuacin 2.6, es ahora

z =

z

E

zr

Er

r+ 1

Ez

z = 0 (2.44)

de donde la tensin axial es

z =Ez

zE

+zrEr

r

(2.45)

Las expresiones dey ren funcin deryse obtienen ahora del propio sistema 2.6y de la ecuacin de z anterior

= 1 z z

E

rEr

+z zr

Er

r

r =

rE

+rz z

E

+

1 rz zrEr

r

(2.46)

En ellas, por la simetra expresada en las ecuaciones 2.7, se verifica la igualdad

r

Er

+z zr

Er

= r

E

+rz z

E

(2.47)


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y los factores que multiplican a las tensiones, que dependen slo de las propiedades delmaterial, se resumen en los tres parmetrosp, qys siguientes:

p=1 rz zr

Er; q=

rE

+rz z

E; s=

1 z zE

(2.48)

Estas definiciones se pueden simplificar si el material tiene todas las fibras orientadastangencialmente, o sea a 0o, y las propiedades en las direcciones transversales son iguales,ecuacin 2.8,

p=1 2zr

Er; q=

r(1 + zr )

E; s=

1 rrE

(2.49)

Reescribiendo en forma matricial las ecuaciones 2.46, igual que en la ecuacin 2.9 delclculo en condiciones de tensin plana, queda

r

=

s qq p

r

(2.50)

en donde las tensiones, siguiendo el mismo razonamiento que en la ecuacin 2.11, son

= p

ps

q2

u

r+

q

pu,r

r = s

ps q2q

s

u

r+ u,r

(2.51)A su vez, sustituyendo estas tensiones en la ecuacin de equilibrio de fuerzas 2.4, sededuce la misma ecuacin de desplazamiento 2.12 de tensin plana

u,rr +1

r u,r

a2

r2 u= b r (2.52)

pero con coeficientes a y b distintos

a =

rp

s ; b = ps q

2

s 2 (2.53)

y su solucin es la misma que en tensin plana, ecuacin 2.29,

u(r) = 1

ra A + ra B+

b

9 a2 r3 (2.54)

Finalmente, sustituyendo este desplazamiento y su derivada en las ecuaciones 2.51 seobtienen las tensiones


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(r) = a2 cr

1 aqp

1

ra+1 A +

1 + a

q

p

ra1B+

1 + 3q

p

9 a2 b r2

r(r) = cr

q

s a

1ra+1

A +q

s + a

ra1B+

q

s + 3

9 a2 b r2

(2.55)

en donde los parmetros cryb, que dependen de las propiedades del material, se definena travs de los parmetros intermedios p,qys

cr = s

ps q2 ; b = 2

cr(2.56)

Si las fibras estn orientadas a 0o los parmetros de la ecuacin 2.55 se pueden relacionardirectamente con las propiedades del material

a =

rEEr

1 2zr1 rr

; cr = (1 r r) Er

(1 + rz ) (1 1 r r rz )

q

p =

r1 rz

; q

s =

r(1 + rz)

1 r r

(2.57)

Adems de las tensionesyr, en deformacin plana, existe la tensinzde la ecuacin

2.45. Simplificando las propiedades segn la igualdad de la ecuacin 2.7(1) se reduce a

z(r) = z + rz r (2.58)

En un rotor simple de un solo material y libre en el radio interior ri y exterior re lasconstantes de contorno Ay B valen

A = (3 + r)b

r(1 + rz )

1 r r a (9 a

2)

ra+3i r2ae ra+3e r2ai

r2ae r2ai

B = (3 + r )b

r (1 + rz )

1 r r+ a

(9 a2)

ra+3i ra+3er2ae r2ai

(2.59)

Como se observa en las ecuaciones 2.54 y 2.55 esta solucin presenta un punto singularpara a = 3, igual que en tensin plana. El origen es el mismo y se resuelve rehaciendolas ecuaciones con la solucin logartmica de la ecuacin 2.38. La expresin del desplaza-miento coincide con la ecuacin 2.42 de tensin plana y las tensiones son ligeramentedistintas


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Los valores son parecidos a los obtenidos en tensin plana, las diferencias son pequeas.El desplazamiento, igual que en tensin plana, es casi constante, incluso el valor en elradio interior es ligeramente mayor que en el exterior. Los grficos de las tensiones tienenla misma forma que en tensin plana, pero la tangencial tiene ms pendiente y la radiales ms alta debido a la variacin radial del desplazamiento.

Tambin se presenta la tensin axial, sus valores son pequeos aunque no despreciables,es mximo en la zona central y el mnimo en el radio exterior. Estos valores son pocofiables, de manera que son analizados y recalculados en el captulo 4.

Estos resultados, igual que los de tensin plana, se comparan con los obtenidos medianteel clculo en elementos finitos. Para ello, se utiliza tambin un modelo axisimtrico comoel de las figuras 2.8 y 2.9, pero con doble restriccin axial para simular las condicionesde deformacin plana.

Los resultados se presentan en las figuras 2.12 y 2.13 y se observa que las tensiones sonconstantes en la direccin axial, como es propio de la deformacin plana.

z

r

(Pa)

l/2

Figura 2.12:Tensiones tangenciales en deformacin plana.

z

r

r(Pa)

l/2

Figura 2.13:Tensiones radiales en deformacin plana.

Estos valores se comparan con los resultados de las ecuaciones en la figura 2.14. Para ello,se capturan los valores de las tensiones sobre el radio z = l/2y se representan en puntosdiscontinuos, mientras que los resultados de las ecuaciones se muestran en lnea continua.Se observa que los resultados son totalmente idnticos, excepto en los extremos por nohaber extrapolado los valores de MEF, y su coincidencia es superior a la de tensin planaen la figura 2.10.


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0.6 0.7 0.8 0.9 1200

250

300

350

400

450

r / re

Tensintangen

cial(MPa)

0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

35

40

r / re

Tensinradial(MPa)

MEF

EcuacinMEF

Ecuacin

Figura 2.14:Comparacin de las tensiones, tangenciales y radiales, con las obtenidas medianteel mtodo de los elementos finitos (MEF).

En esta comparacin no se incluye la tensin axial, porque como se ha dicho se apartande la realiadad y ser objeto de un estudio ms profundo en el captulo 4.

2.2.10. Consideraciones para fibras axiales

Antes de afrontar el estudio de un rotor con fibras orientadas a 90o hay que recordar queslo se aplican en rotores multicapa, como se ha expuesto en el apartado 1.3.3. A pesarde ello en estos primeros captulos se considera un rotor hipottico formado solamentepor fibras a 90o con el fin de estudiar su comportamiento analtico.

(T)

r(T)

z (L)

Figura 2.15:Rotor con fibras orientadas axialmente (90o).

Si la fibras estn orientadas a 90o, como se indica en la figura 2.15, la direccin longitu-dinal del material Lcoincide con la direccin axial y las transversales Tcon la radial yla tangencial. En el clculo son aplicables la ecuacin 2.6 y a las igualdades 2.7, pero lascorrespondencias entre propiedades de la ecuacin 2.8 se sustituyen por


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u(r) = 1

r A + r B+

b

8r3

(r) = cr1 qp 1r2 A +1 + qpB+

1 + 31q

p8 br

2

r(r) = cr

q

s 1

1r2

A +q

s+ 1

B+

3 +

1 qs

8

br2

(2.65)

en dondecr y las relaciones de parmetros son ahora

cr = (1 z z ) E

1 2r 2 zz (1 + r)

q

p=

r+ z z1 z z

; q

s=

r+ z z1 z z

(2.66)

La tensin axial se determina con la ecuacin 2.48, simplificada por la ecuacin 2.61

z(r) = z (+ r) (2.67)

0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r / re

Desp

lazamiento(mm)

0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

r / re

Te

nsiones(MPa)

r*10

Figura 2.17: Desplazamiento y tensiones en un rotor con fibras axiales, a 90o, calculado entensin plana.


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2.3. ACELERACIN ANGULAR 39

2.2.11. Ejemplo de fibra axial

En el ejemplo de un rotor con fibras axiales se toman las mismas dimensiones que losejemplos anteriores pero se disminuye la velocidad de giro a 2500 rpm, para que lastensiones estn dentro de los lmites de la resistencia.

Los resultados para tensin plana se presentan en la figura 2.17. En ellos se observa que lapendiente negativa del desplazamiento es superior a la del rotor con fibra a 0o, y por tanto,la tensin tangencial vara mucho con el radio, de forma que su valor en el radio interior esdoble que en el exterior. Tambin se genera una tensin radial proporcionalmente mayor,si se compara con los ejemplos anteriores.

Los resultados para deformacin plana se presentan en la figura 2.18, se incluye la tensinaxial. Los valores coinciden prcticamente con los valores obtenidos en tensin plana, sudiferencia es inapreciable. La tensin axial es prcticamente lineal, sin un valor mximoen la zona central como el rotor con fibra 0oen la figura 2.11.

0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

r / re

Desplazamiento(mm)

0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

35

40

r / re

r*10

z

Figura 2.18: Desplazamiento y tensiones en rotor con fibras a 90o calculado en deformacinplana.

Con este ejemplo se concluye que los resultados obtenidos con las frmulas parafi

bras a0o son totalmente coherentes.

2.3. Aceleracin angular

2.3.1. La aceleracin angular en el rotor

Un volante de acumulador cintico, adems de la fuerza centrfuga generada por la ve-locidad de giro, est sometido a fuerzas de aceleraciones y desaceleraciones causadas por


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los intercambios de energa con el exterior.

En las aplicaciones comunes las tensiones generadas por la aceleracin son muy pequeasen comparacin con las originadas por la fuerza centrfuga y carecen de importancia.Sin embargo pueden existir ciertas aplicaciones donde no sean despreciables, por ejemploen volantes que deban liberar la energa en muy poco tiempo para producir un choquemecnico, o absorberla para evitar impacto.

Para la resistencia del rotor las tensiones de aceleracin son ms perjudiciales en losvolantes fabricados con material compuesto que en los de metal. Las fibras orientadasen direccin circunferencial presentan una gran resistencia a las tensiones tangencialespero muy baja a las tensiones cortantes de la aceleracin angular. As, las aceleracionesgrandes que en volantes de materiales homogneos no tienen importancia, en volantes demateriales compuestos pueden producir la rotura.

A pesar de tener unas aplicaciones muy limitadas se ha considerado oportuno considerarlas fuerzas de aceleracin en el clculo, de forma que el diseo del volante se realiza conlas tensiones completas.

2.3.2. Tensiones de la aceleracin angular

Se considera que el par de aceleracin se aplica a travs de la superficie interior del rotor,desde un eje central o generado por un motor elctrico situado en el interior del rotor.

r

r+dr

r+dr

rr

r+dr

+d

f

i

reri

Figura 2.19:Tensiones creadas por una aceleracin () aplicada desde el radio interior.

En la figura 2.19 se representan las tensiones en un elemento diferencial del rotor creadaspor la aceleracin, iguales a las tensiones del elemento diferencial inicial en la figura 2.2.La aceleracin angular del rotor se consigue aplicando una tensin de cortanteien lasuperficie interior en ri. Se considera que esta superficie es rgida, tanto en la direccincircunferencial como en la axial y, en consecuencia, la tensin es uniforme en ambasdirecciones.


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Los incrementos diferenciales de cada una de las tensiones, en la figura 2.19, no se asignanal azar sino segn un criterio que facilita la resolucin. Aunque el par de aceleracin estaplicado en el radio interior y las tensiones disminuyan al aumentar el radio, desde ien ri hasta 0 en re, el incremento de la tensin, dr se asigna a la cara exterior delelemento diferencial, como se indica en la figura 2.19, donde la tensin es menor. Si dicho

incremento se situase en el radio interior del elemento diferencial, el sistema planteadosera incompleto y su resultado errneo; en este caso se debera aadir una ecuacin sobrelas condiciones de contorno del desplazamiento y la resolucin sera ms larga.

En dicho elemento es aplicable el equilibrio de fuerzas de la ecuacin 2.1(2) que relacionala tensin cortante r con la fuerza de aceleracin unitaria f definida en la ecuacin2.2.

Si, adems de la uniformidad en la carga, el rotor tiene simetra circular, se eliminan lostrminos en de las ecuaciones 2.1 y las dos funciones quedan independientes. En estecaso, la tensin cortante r es funcin slo de la fuerza de aceleracin f y la ecuacin

2.1(2) se reduce a

rr

+2

r r = f (2.68)

La tensin cortanterinduce una deformacin angularry una deformacin tangencial. Ambas estn relacionadas por la ecuacin 2.3(3), en la cual se elimina por simetracircular el trmino en

r =

r

r

(2.69)

Para relacionar esta deformacin angular r y la tensin cortante r la ecuacin delmaterial 2.6 se debe completar

r

z

r

=

1

Er

Erz

Ez0

rE

1

Errz

Ez0

zE

zrEr

1

Ez0

0 0 0 1Gr

r

z

r

(2.70)

Las otras dos tensiones cortantes siguen siendo nulas. Solamente se generara una tensincortante en el planoz si la tensini, aplicada a la superficie interna, fuese variable conz, pero ms arriba se ha supuesto que es constante y, por lo tanto, la tensin z es nula.

En este clculo no tiene sentido distinguir entre tensin plana y deformacin plana porque,como se ha dicho, las tensiones y los desplazamientos radiales son independientes de latensinr.

De la ecuacin elstica completa 2.70 es suficiente para el clculo considerar la relacin


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r = Gr r (2.71)

Con estas dos ecuaciones, 2.69 y 2.71, se obtiene la relacin entre la tensin cortante ry el desplazamiento tangencial

r = Gr

,r

r

(2.72)

Con esta tensin y su derivada respecto del radio

r ,r = Gr

,rr

,rr

+

r2

la ecuacin de equilibrio 2.68 se puede reescribir en funcin del desplazamiento angular

,rr+1

r,r

1

r2 = h r (2.73)

en la cual, el parmetro de aceleracin hincluye la aceleracin angular y las propiedadesdel material. Tiene el mismo significado que el parmetro ben las ecuaciones de la fuerzacentrfuga. Su valor es

h =

Gr(2.74)

La ecuacin 2.73 tiene la misma estructura que la ecuacin 2.12 pero con un valor a = 1.La solucin es la misma y se aplican unas constantes de integracin CyD

= C 1

r + D r +

h

8 r3 (2.75)

Sustituyendo sta ecuacin y su derivada en la ecuacin 2.72 se obtiene la tensin cortante

r = Gr

2

r2 C+

h

4 r

2 (2.76)Es interesante notar que en esta ecuacin se ha eliminado la constante D y la tensin esfuncin de una sola constante de integracin. Fsicamente es lgico porque en la ecuacin2.75 la constante D multiplica a r y los desplazamientos proporcionales al radio noproducen distorsin angular y, en consecuencia, tampoco tensin cortante.

A continuacin se hallan las constantes CyD para un rotor simple de un solo material.Las condiciones de contorno son las representadas en la figura 2.19, sujeto al eje por elradio interiorriy libre el radio exterior re. Adems, se elige el origen del desplazamientotangencial en el radio interior.


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(ri) = 0 ; r (re) = 0

Aplicando estas condiciones a las ecuaciones 2.75 y 2.76 se obtienen las constantes

C = h8

re4 ; D = C

ri2 h

8 ri

2 (2.77)

En este clculo no se ha tenido en cuenta la orientacin de las fibras y, por lo tanto, esvlido para las dos direcciones, 0o y 90o. Solamente afecta al valor del mdulo de rigidezGr.

Para determinar la ecuacin de la tensin 2.76 no es necesario plantear el sistema apartir del desplazamiento tangencial, basta con aplicar la simple ecuacin de equilibriode fuerzas y las condiciones de contorno. A pesar de ello, se ha resuelto de esta formapara seguir la misma metodologa que en el resto de cargas, de manera que se dispone de

un sistema general coherente que puede facilitar la resolucin de problemas posteriores.

2.3.3. Ejemplo de tensiones de aceleracin

Los resultados de las ecuaciones del desplazamiento tangencial y la tensin se muestranen un ejemplo, aplicado sobre el mismo rotor que los casos anteriores. Este se somete aun par en el eje interior, de valor suficiente para que el rotor acelere a 10000 rad/s2. Conlas ecuaciones 2.75 y 2.76 se determinan los resultados de la figura 2.20.

0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

r / re

De

splazamientotangencial(mm)

0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

30

r / re

Tensincortante(MPa)

Figura 2.20: Desplazamiento tangencial y tensin cortante de un rotor sometido a un par deaceleracin.

Estos resultados son totalmente coherentes, la tensin cortante es mxima en el interiory se hace nula en el exterior. El desplazamiento tangencial, tomando como referencia un


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valor nulo en el radio interior, aumenta con el radio, aunque su pendiente es decrecienteporque la tensin disminuye. El resto de tensiones, , r yz, son nulas.

2.4. Condiciones de contorno interiores2.4.1. Rigidez interior del rotor

En los apartados anteriores se ha estudiado el cilindro exterior del rotor, exento de lasujecin mecnica con el eje interior, y se ha sometido solamente a las fuerzas generadaspor la velocidad de giro y por la aceleracin angular. Pero la unin mecnica con eleje interior transmite a la superficie interior del cilindro otras fuerzas que modifican lastensiones del cilindro. En general se pueden resumir en una fuerza tangencial y otraradial. La tensin cortantei creada por las fuerzas del par de aceleracin de la seccinanterior es un caso particular de la fuerza tangencial. Para que exista una fuerza radialno es necesario una accin exterior, se puede generar con el propio desplazamiento radialude la fuerza centrfuga.

ri

Fr

F

v

uk

kr

Figura 2.21:Rigidez de la superficie interior al desplazamiento tangencial y al radialu.

Para estudiar los efectos de esta unin mecnica con el eje se considera que tiene unacierta rigidez y se opone a los desplazamientos del radio interiorridel rotor. Esta rigidezse descompone en las dos direcciones, como se indica en la figura 2.21, una radial querelaciona la fuerza Fr con el desplazamientouy otra tangencial que relaciona F con eldesplazamiento .

Esta rigidez se define mediante dos constantes de proporcin unitarias que relacionan lastensiones con los desplazamientos unitarios. Se define una constante tangencial, k enla figura 2.21, que relaciona la tensin cortante r con el desplazamientos tangencial dividido porri, y una radialkrque relaciona la tensin normal rcon el desplazamientoradialu dividido por ri.


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2.4. CONDICIONES DE CONTORNO INTERIORES 45

k =r

ri

; kr =r

uri

(2.78)

2.4.2. Efecto de la rigidez radial sobre las tensiones

La rigidez tangencial no genera nuevas tensiones en el rotor, afecta simplemente al des-plazamiento tangencial del rotor respecto al eje central. Al valor del desplazamientotangencialrespecto de la superficie interior, calculado en la seccin 2.3, hay que sumarleel desplazamiento generado por k.

La rigidez radial es ms importante, crea tensiones radiales y tangenciales en el rotor.Se calculan con las frmulas anteriores, ecuaciones 2.32 y 2.55, pero modificando lascondiciones de contorno. Ahora son

r(ri) =kr uri

; r(re) = 0

0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

r / re

Desplazamiento(mm)

0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

0

100

200

300

400

500

600

700

r / re

Tensiones

(MPa)

kr= 0

1 e102 e104 e10

8 e10

rx10

Figura 2.22:Modificacin del desplazamiento y de las tensiones al aumentar gradualmente larigidez interna del rotor (kr).

Para observar sus consecuencias sobre las tensiones se usa el rotor del ejemplo de la seccin2.2.7 y se aplica una rigidez radial krde valores crecientes, desde0hasta2 81010 Pa.En la figura 2.22 se representan las variaciones en los grficos de desplazamiento radialy de tensiones.

Se observa que para kr = 0los grficos coinciden con los resultados de la figura 2.6. Eldesplazamiento radial disminuye si la rigidez aumenta, sobre todo en el radio interior,r/re = 0,6, donde se aplica la fuerza Fr. Las tensiones radiales aumentan en el radiointerior a causa de la fuerza interior, en cambio, las tangenciales disminuyen ligeramente.


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Captulo 3

TENSIONES RESIDUALES DELMATERIAL

3.1. Tensiones trmicas originadas en el curado

3.1.1. Generacin de tensiones durante el curado

En los materiales compuestos se generan tensiones residuales durante el proceso de cu-rado de la resina que permanecen durante toda la vida de la pieza. Estas se suman alas tensiones de la fuerza centrfugas y disminuyen la capacidad de almacenamiento deenerga del rotor.

Aparecen durante el proceso de calentamiento del material compuesto que acelera latransformacin qumica de la resina. Segn Domininghaus (1993) [11], las resinas epoxiexperimentan durante este ciclo trmico tres fases de dilatacin: se expanden en el calen-tamiento y se contraen en el proceso de curado y en el enfriamiento. En los dos primerosla resina se halla todava en estado vis

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Volante Inercia