Univerzita Komenského v Bratislave

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE

Miloš BOŽEK

Bratislava 2015

1

Univerzita Komenského v Bratislave

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE

Miloš BOŽEK

Bratislava 2015

2

Názov: ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE

Autor: doc. RNDr. Miloš Božek, CSc.

Recenzenti: Doc. RNDr. Vojtech BÁLINT , CSc.

RNDr. Ján BAKŠA, PhD..

Vydavateľ: Knižničné a edičné centrum FMFI UK Bratislava

Vydané s finančnou podporou grantu KEGA 094UK-4/2013, E-matik+, Kontinuálne vzdelávanie učiteľov matematiky

Rukopis neprešiel jazykovou úpravou.

(C) Miloš BOŽEK, 2015

ISBN 978-80-8147-044-8

EAN 9788081470448

3

M. BOŽEK: ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE

OBSAH

Úvod ............................................................................................................................ 4

Časť 1 KRIVKY

Lekcia 1. Kap. 1. Parametrické vyjadrenie krivky (1. časť) ...................................... 7

Lekcia 2. Kap. 1. Parametrické vyjadrenie krivky (2. časť) ...................................... 13

Kap. 2. Dotyčnica a normála krivky .......................................................... 16

Lekcia 3. Kap. 3. Oskulačná rovina priestorovej krivky. Frenetov trojhran ............. 19

Lekcia 4. Kap. 4. Dĺžka krivky. Prirodzená parametrizácia krivky .......................... 22

Lekcia 5. Kap. 5. Krivosť krivky ............................................................................... 30

Lekcia 6. Kap. 6. Styk kriviek ................................................................................... 34

Obrázky ku krivkám ..................................................................................................... 39

Úlohy k lekciám 1 – 6 .................................................................................................... 42

Časť 2 PLOCHY

Lekcia 7 Kap. 1. Parametrické vyjadrenie plochy ..................................................... 45

Lekcia 8 Kap. 2. Krivky na ploche ............................................................................. 50

Lekcia 9 Kap. 3. Normálová krivosť plochy – definícia ............................................ 55

Lekcia 10 Kap. 4. Normálová krivosť plochy – vlastnosti ........................................... 59

Obrázky k plochám .......................................................................................................... 64

Úlohy k lekciám 7 – 10 .................................................................................................... 68

Prílohy

Príloha 1 Vektorový súčin .......................................................................................... 70

Príloha 2 Kinematicky zadané krivky ........................................................................ 73

Príloha 3 O čom je diferenciálna geometria .............................................................. 76

Príloha 4 Nesprávna predstava o oskulačnej kružnici rovinnej krivky ....................... 79

4

Úvod

Celý text, ktorý budeme spolu preberať, vznikol na základe stručného učebného materiálu k

jednosemestrálnej voliteľnej prednáške Diferenciálna geometria v treťom roku štúdia učiteľstva

matematiky na FMFI UK. Tomu odpovedá jeho trochu surová podoba.

Každá lekcia pozostáva z učebného textu, v ktorom sú voľne rozmiestnené komentáre. Práve čítate

prvý z nich. Kvôli zreteľnému odlíšeniu od vlastného textu ich píšem, ako vidíte, iným typom písma,

inou farbou a menšou veľkosťou písma. Od textu ich navyše oddeľujú vodorovné čiary.

Prvá lekcia sa skladá z úvodu do kurzu a z prvej časti prvej kapitoly. Úvod si prečítajte a prvú

kapitolu naštudujte. V nej a aj v ďalších kapitolách sa nachádzajú úlohy, tie si nemusíte veľmi všímať.

Sú to akési pozostatky z predchádzajúcich podôb textu, bolo mi ľúto ich zlikvidovať. Pre tento kurz

platia iné zadania. Každý týždeň ich nájdete v samostatnom súbore.

Uvedomujem si, že s písaním riešení vašich úloh v elektronickej podobe môžete mať ťažkosti, ak

nemáte dostatočné skúsenosti so sadzbou matematického textu. V takom prípade navrhujem jednu

z dvoch náhradných možností:

1. Riešenie napíšte rukou, a ak máte možnosť, naskenujte ju a pošlite ako obrázok.

2. Ak nemáte prístup k skeneru, riešenie napíšte rukou a pošlite mi ho klasickou poštou na fakultnú

adresu. Aby sa ale dodržali formálne pravidlá eVyučovania, súčasne pošlite prostredníctvom

Moodlu aj stručné elektronické oznámenie o odoslaní riešenia v papierovej podobe.

Ak to však čo len trochu pôjde, snažte sa riešenia zasielať vo formáte PDF.

Diferenciálna geometria sa zaoberá zakrivenými geometrickými objektmi. Pri ich

skúmaní využíva metódy a výsledky matematickej analýzy, v prvom rade – ako už jej názov

napovedá – čerpá z diferenciálneho počtu. To znamená, že jej základným pracovným

prostriedkom sú derivácie. Skúmanými objektmi sú najmä krivky a plochy veľmi rozmanitých

tvarov. V tomto kurze sa oboznámite s ich najjednoduchšími vlastnosťami.

Nevyhnutným predpokladom pre použitie derivácií je prítomnosť funkcií, ktoré sa

majú derivovať, preto musíme mať geometrické objekty vyjadrené prostredníctvom čísel, čiže

súradnicami. V tomto zmysle môžeme teda diferenciálnu geometriu považovať za nadstavbu

či pokračovanie analytickej geometrie. Okrem dobrého ovládania základných pravidiel

diferenciálneho počtu predpokladáme preto u účastníkov kurzu aj dôvernú znalosť analytickej

geometrie v jej bodovo – vektorovej podobe, ako sa bežne prezentuje na vysokých školách

v prvých ročníkoch štúdia matematiky resp. učiteľstva matematiky.

Krivky a plochy sa objavujú už v učive matematickej analýzy ako grafy funkcií jednej

resp. dvoch premenných, pričom mnohé výsledky analýzy sa kvôli názornosti formulujú aj v

geometrickej podobe. Typickou ukážkou je predstava lokálneho extrému funkcie jednej

premennej ako bodu, v ktorom je dotyčnica grafu rovnobežná s osou x. Reprezentácia

v podobe grafov funkcií však na vyjadrenie mnohých kriviek a plôch nestačí, lebo už

napríklad (celú!) kružnicu nemožno opísať ako graf funkcie (v takej podobe sa dajú zvládnuť

iba niektoré jej časti, napríklad polkružnica). Preto ale aj z iných dôvodov budeme krivky

a plochy vyjadrovať v našom kurze parametricky.

Mohlo by sa zdať, že geometria čakala na vznik matematickej analýzy a potom

jednoducho od nej prevzala hotové výsledky. História matematiky však ukazuje, že veci mali

podstatne zložitejšiu podobu a priebeh. Vznik a rozvoj matematickej analýzy bol z veľkej

časti motivovaný práve otázkami, ktoré kládla geometria. Veľmi pekne to ilustruje názov

Leibnizovho článku z roku 1684, ktorý sa všeobecne spolu s Newtonovými Matematickými

základmi prírodnej filozofie považuje za zrod diferenciálneho a integrálneho počtu: Nová

metóda pre maximá a minimá, ako aj pre dotyčnice, ktorá platí aj pre iracionálne a lomené

5

hodnoty, a pozoruhodný spôsob počítania pre tento účel. Vidíme teda, že jednou zo

základných motivácií vzniku matematickej analýzy bola geometrická úloha o dotyčnici.

Diferenciálna geometria v podobe, v akej ju predkladáme v tomto kurze, sa

ustálila zhruba v polovici 19. storočia (až na jej spôsob zápisu v bodovo – vektorovej podobe,

ten je dieťaťom prvej tretiny 20. storočia). Bežne sa jej hovorí klasická diferenciálna

geometria. Približne v tretine až polovici 20. storočia vznikla moderná diferenciálna

geometria, ktorej objekty skúmania a používané metódy zasahujú veľmi hlboko do viacerých

oblastí súčasnej matematiky. Ako príklad objektu skúmaného v modernej diferenciálnej

geometrii spomeňme množinu všetkých zhodností trojrozmerného euklidovského priestoru,

ktorá okrem toho, že je grupou, má aj prirodzenú štruktúru šesťrozmerného zakriveného

priestoru. Obe tieto štruktúry sú navzájom zosúladené, takže vzniká objekt, ktorému sa hovorí

Lieova grupa (číta sa „líova“ – Sophus Lie, nórsky matematik, 19. storočie); v dnešnej

matematike sa takéto grupy intenzívne skúmajú a využívajú. Napríklad spomenutá grupa

zhodností sa v mechanike interpretuje ako konfiguračný priestor všetkých polôh tuhého

telesa.

Stručne o obsahu kurzu. Kurz pozostáva z dvoch tematických celkov. Prvý je

venovaný krivkám, druhý plochám. V prvej kapitole o krivkách zavedieme pojem krivky.

Napriek snahe o čo najjednoduchší postup, naša definícia krivky má zložitejšiu podobu, ako

by sa asi čakalo. Nasledujú dve kapitoly s opisným charakterom. Zavádzame v nich rovné

objekty spojené s krivkou v každom jej bode: dotyčnicu, normálu, oskulačnú rovinu

a Frenetov trojhran. V ďalšej kapitole stručne spomenieme dĺžku krivky a venujeme sa

prirodzenej parametrizácii krivky, ktorá je založená práve na dĺžke úsekov krivky. Kľúčovým

pojmom pre krivky je krivosť, ktorej je venovaná piata kapitola. Poslednú kapitolu o krivkách

pojednávajúcu o styku kriviek sme do kurzu zaradili najmä kvôli jej veľmi aktuálnym

aplikáciám v počítačovej grafike.

Tematický celok o plochách je už menej rozsiahly. V prvej kapitole uvádzame pojem

plochy, v druhej hovoríme o dotykovej rovine a o normále plochy. Ťažiskové sú tretia a štvrtá

kapitola o normálovej krivosti plochy, prostredníctvom ktorej sa skúma tvar plochy.

Kapitoly sú v oboch tematických celkoch číslované samostatne, teda prvá kapitola

o plochách má číslo 1 rovnako ako prvá kapitola o krivkách. Vety, príklady, poznámky,

úlohy a obrázky číslujeme samostatne v podvojnej podobe (teda veta 5.2 je druhá veta

piatej kapitoly, v nej môže byť aj príklad či obrázok s rovnakým číslom 5.2). Definície sa

neuvádzajú ako číslované textové jednotky. Poznáme ich podľa kurzívy (font italic), ktorou

je napísaný definovaný pojem. Najmä kvôli úspore miesta (v zobrazenom texte i v jeho

súbore) pomerne často používame zjednodušený zápis zlomkov a odmocnín v tvare a/b a

x. V zložitejších situáciách sa správne čítajú a píšu pomocou zátvoriek napr. takto:

cd

ab

cd

bacdab )( , (ab)c cab .

Všimnite si, čo by spôsobili chýbajúce zátvorky:

c

abdd

c

bacdab , abc bca .

Text učiva kurzu je poprekladaný komentármi, prezrádza ich modrá farba a menšie

ležaté písmo.

6

Z technických dôvodov (čo je jemné vyjadrenie autorovej nešikovnosti) nie sú

obrázky priamou súčasťou textu, nachádzajú sa iba v samostatných súboroch. Navyše,

väčšinou sú to iba nasnímané rukou načrtnuté skice.

V oboch tematických celkoch sa sústreďujeme iba na najzákladnejšie veci a

vynechávame mnohé partie, ktoré sú štandardnou súčasťou učiva v bežných kurzoch klasickej

diferenciálnej geometrie. Pri krivkách nenájdete najmä témy Frenetove vzorce, torzia,

singulárne body a obálky. Pri plochách vynechávame omnoho viac, vlastne takmer všetko

(rozvinuteľné priamkové plochy, prvá základná forma plochy a meranie na ploche, zobrazenia

plôch, hlavné krivosti a Gaussova krivosť, ...). Absolvent kurzu by však v prípade potreby či

záujmu mal byť schopný oboznámiť sa s ďalšími témami klasickej diferenciálnej geometrie

samostatne.

Čo sa týka odporúčanej literatúry, ktorá by pokrývala a prípadne rozširovala látku

tohto kurzu, pre slovenského čitateľa sú iba zlé správy. Dostupnej literatúry vlastne niet. Pre

úplnosť a z dôvodu dodržania dobrých mravov predsa len uvediem niekoľko relevantných

titulov:

Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983,

Pogorelov, A.V.: Geometrija. Nauka, Moskva 1983,

Rutter, G.: Geometry of Curves. Chapman and Hall 2000.

Budinského učebnica je kurzu určite najbližšia. Nielen jazykovo, ale tiež z hľadiska obsahu

a spôsobu výkladu. Možno ju ešte nájdete v niektorej knižnici.

Zaujímavé informácie o krivkách a plochách sú samozrejme aj na internete.

Najčastejšie majú podobu albumov, v ktorých si môžeme prezerať mnoho obrázkov, často

interaktívnych či so sprievodným textom. Ak si teda chcete pozrieť pekné obrázky kriviek a

prípadne sa o nich aj niečo zaujímavé dočítať, skúste otvoriť nasledujúce stránky. Vyhľadala

ich moja bývalá diplomantka Mgr. Eva Kozáková.

http://xahlee.org/PageTwo_dir/more.html

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Curves.html

http://www.math.hmc.edu/faculty/gu/curves_and_surfaces/curves/cycloid.html

Ak nájdete ďalšie zaujímavé internetové zdroje k našej téme, budem vám veľmi vďačný, ak

ma s nimi zoznámite. Nemenej vďačný budem za všetky ohlasy a pripomienky, ktoré by

mohli vylepšiť budúce verzie textu.

Vo vašej práci v rámci kurzu vám prajem veľa trpezlivosti, ktorá vám isto prinesie

úspechy a tie zasa pocity radosti a uspokojenia.

Kontakty na vyučujúceho:

doc. RNDr. Miloš Božek, CSc. pracovňa: M 156

Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky 02 60295209

UK FMFI : bozek@fmph.uniba.sk

Mlynská dolina 842 48 Bratislava

7

Lekcia 1

1. Parametrické vyjadrenie krivky (1. časť)

Cieľom prvej kapitoly je oboznámiť sa s pojmom krivky. Základnými technickými nástrojmi sú bodové

a vektorové funkcie jednej premennej a ich derivácie.

Uvedené funkcie sa od bežných číselných funkcií odlišujú v podstate iba oborom hodnôt – je ním

množina bodov resp. vektorov priestoru resp. roviny. Keď body a vektory reprezentujeme súradnicami,

bodová či vektorová funkcia jednej premennej nie je vlastne nič iné ako usporiadaná trojica (pre

rovinu dvojica) obyčajných číselných funkcií so spoločným definičným oborom (je ním interval na

číselnej osi).

Algebraické aj analytické operácie (limity, derivácie a integrály) s bodovými a vektorovými funkciami,

ktoré sú dané súradnicami, vykonávame po zložkách.

Prečo požívame bodové aj vektorové funkcie? Bodovú funkciu potrebujeme na analytické vyjadrenie

krivky. Keď ho zderivujeme (raz, dvakrát, ...), vznikajú vektorové funkcie, preto je prirodzené, že sa

zaoberáme aj s nimi.

Prečo potom krivku nevyjadrujeme vektorovou funkciou? Je pravda, že vtedy by sme pracovali iba

s vektorovými funkciami, teda s menším počtom pomocných pojmov, a že takýto prístup nájdete

v mnohých učebniciach diferenciálnej geometrie. Neodpovedá to ale dobre realite, lebo asi nikto si

nepredstavuje krivku zloženú z vektorov, z bodov však hádam každý.

So slovom „krivka“ sa stretávame v každodennom živote, v technike, v prírodných

vedách a v matematike. Kvôli tejto rôznorodosti jeho výskytu nemožno očakávať univerzálnu

definíciu, ktorá by úplne uspokojila všetkých používateľov.

V diferenciálnej geometrii a v počítačovej grafike sa krivky v rovine resp. v priestore

najčastejšie zadávajú parametricky prostredníctvom bodovej funkcie jednej (číselnej)

premennej, čo je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu z nejakého intervalu číselnej osi

priraďuje bod v rovine resp. v priestore. Ide teda o zobrazenie

(1.1) P: I E2, resp. P: I E

3,

kde I je interval na číselnej osi R (, ).

Klasický zápis bodovej funkcie jednej premennej (1.1) je

(1.2) P = P(t), tI.

Hodnotu premennej t v tejto súvislosti nazývame parametrom bodu P(t).

Zápis bodovej funkcie (1.2) je analógiou zápisu číselnej funkcie v tvare

y y(x), xI,

ktorý sa používa napríklad v diferenciálnych rovniciach. Oproti častejšie sa vyskytujúcemu zápisu

číselnej funkcie v podobe y f(x), xI má podoba y y(x) tú výhodu, že sa v nej ušetrilo písmeno f.

Rovnaký šetriaci efekt vidíme aj v zápise bodovej funkcie (1.2).

V súradniciach vyzerá bodová funkcia jednej premennej takto:

(1.3a) P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI, (pre krivku v priestore)

resp.

(1.3b) P(t) = (x(t), y(t)), tI, (pre krivku v rovine),

8

kde x = x(t), y = y(t), z = z(t) sú obvyklé číselné funkcie so spoločným definičným oborom I

(obr. 1.1). Ich hodnoty sú súradnice bodov krivky.

Symbol rovnosti „“ vo vzorcoch (1.3a) a (1.3b) čítame rovnako ako v analytickej geometrii

„má súradnice“. Používa sa aj takýto zápis parametrického vyjadrenia krivky v priestore

(1.3c) x = x(t), y = y(t), z = z(t), tI

Parametricky zadanú krivku v rovine môžeme považovať aj za krivku v priestore, ak

stotožníme bod v rovine so súradnicami (x(t), y(t)) s bodom v priestore so súradnicami

(x(t), y(t), 0). Preto takmer vždy budeme spoločné vlastnosti kriviek v rovine a v priestore

formulovať iba pre priestorový prípad.

Bodovú funkciu jednej premennej fyzikálne interpretujeme ako matematické

vyjadrenie pohybu hmotného bodu. Premennú t vtedy považujeme za čas (prvé písmeno

latinského slova tempus čas; analogicky P je prvé písmeno slova punctum bod). V súlade

s tým symbol P(t) čítame „bod P v momente t“ (a nie „bod P v bode t“, ako by sa patrilo

podľa zvyklostí matematickej analýzy).

Nasleduje séria príkladov bodových funkcií jednej premennej a odpovedajúcich kriviek.

Príklad 1.1

Priamka: P(t) = A + tu, tR.

Je to z analytickej geometrie známe parametrické vyjadrenie priamky určenej bodom

A a vektorom u. V súradnicovej podobe (1.3a) má tvar

P(t) = (a1 + u1t, a2 + u2t, a3 + u3t), tR,

kde koeficientmi sú súradnice určujúceho bodu a vektora priamky:

A (a1, a2, a3), u (u1, u2, u3).

Symboly rovnosti v zápise súradníc bodu a vektora čítame „má súradnice“.

Fyzikálne funkcia P(t) = A + tu vyjadruje rovnomerný priamočiary pohyb.

Príklad 1.2

Kružnica so stredom v začiatku sústavy súradníc a s polomerom r (obr. 1.2):

P(t) = (rcost, rsint), t0, 2,

ináč zapísané: x = rcost, t0, 2.

y = rsint,

Zrejme platí P(0) = (r, 0), P(2) = (r, 0), čiže P(2) = P(0). Koncový bod krivky teda splýva

s počiatočným, čo znamená, že kružnica je uzavretá krivka.

Geometrický význam parametra: t je orientovaný uhol jednotkového vektora e1 osi x s

vektorom P(t) O.

Uvedené parametrické vyjadrenie kružnice fyzikálne vyjadruje rovnomerný otáčavý pohyb

bodu okolo začiatku sústavy súradníc.

1. Informácia o geometrickom či fyzikálnom význame parametra v parametrickom vyjadrení krivky je

dôležitá nielen pre tvorbu správnych intuitívnych predstáv, ale aj pri aplikáciách teórie krivek.

2. Prečo sme kružnicu parametricky vyjadrili na uzavretom intervale 0, 2 a nie na intervale 0, 2)

či (0, 2? Veď aj vtedy by sme mali vyjadrenú celú krivku a navyše každý jej bod by odpovedal presne

jednej hodnote parametra t!

9

Dôvody sú dva. Pri použití uzavretého intervalu, pričom obrazom jeho krajných bodov je ten istý bod

krivky, zdôrazňujeme, že krivka začína a končí v rovnakom bode, teda, že krivka je uzavretá.

Druhý dôvod spoznáme v kapitole 4, kde uvidíme, že dĺžka krivky sa definuje pre krivky parametricky

zadané na uzavretým a ohraničeným intervale.

Príklad 1.3

Elipsa s osami na súradnicových osiach (obr. 1.3), ktorej rovnica je x2/a

2 y

2/b

2 1 0, má

parametrické vyjadrenie

P(t) = (acost, bsint), t0, 2, a b 0.

Geometrický význam parametra dáva obr. 1.3.

Príklad 1.4

Opäť elipsa:

22

2

1

2 ,

1

1)(

t

tb

t

tatP , t(, +), a b 0.

Presvedčte sa, že všetky tieto body vyhovujú rovnici x2/a

2 y

2/b

2 1 0. Toto parametrické

vyjadrenie nepokrýva celú elipsu, lebo nezachycuje „ľavý vrchol“ so súradnicami (a, 0).

Príklad 1.5

Dve vetvy hyperboly s osami na súradnicových osiach (obr. 1.4), ktorej rovnica je

x2/a

2 y

2/b

2 1 0:

P(t) = ( acosht, bsinht ), t(, +), a, b 0.

Pre znamienko vznikne „ľavá“ a pre „pravá“ vetva hyperboly.

Pripomeňme dve menej známe funkcie

hyperbolický kosínus: coshx = ½(ex + e

x),

hyperbolický sínus: sinhx = ½(ex e

x)

a ich základné vlastnosti: cosh2x sinh

2x = 1, coshx = sinhx, sinhx = coshx.

Inverzná funkcia k hyperbolickému sínusu sa nazýva aj „argument hyperbolického sínusu“

a má tvar

sinh1

x = Argsinhx = )1ln( 2 xx .

Na rozdiel od bežného sínusu a kosínusu, hyperbolický kosínus, hyperbolický sínus a k nemu inverzná

funkcia nepredstavujú novú triedu „hyperbolických goniometrických funkcií“, lebo sú vyjadrené

prostredníctvom ostatných elementárnych funkcií.

Funkcie sinhx a coshx nie sú periodické!

Príklad 1.6

Parabola s rovnicou y2 2px = 0 (obr. 1.5):

P(t) =

t

p

t ,

2

2

, t(, +), p 0.

Príklad 1.7

Cykloida (obr. 1.6):

10

P(t) = (a(t – sint), a(1 – cost)), t(, +).

Fyzikálne: Pohyb bodu (0, 0) kružnice x2 (y a)

2 a

2 0, ktorá sa bez kĺzania kotúľa po

osi x. V štartovacej polohe t 0 sa kružnica „zhora“ dotýka osi x v začiatku sústavy súradníc.

Príklad 1.8

Reťazovka (obr. 1.7):

a

tattP cosh ,)( , t(, +), a 0.

Fyzikálne: Krivka vyjadruje tvar voľne zaveseného homogénneho lana upevneného v dvoch

bodoch. Možno ju pozorovať v krajine ako drôty vysokého elektrického napätia.

Pre a 1 ide o graf funkcie y coshx.

Príklad 1.9

Traktrix (obr. 1.8):

tat

tatP sin ),cos

2tg(ln)( , t(0, ), a 0.

Príklad 1.10

Astroida (obr. 1.9):

P(t) = (acos3t, asin

3t), t0, 2, a 0.

Príklad 1.11

Skrutkovica (obr. 1.10) je v našich príkladoch jediný priamy zástupca priestorových kriviek:

P(t) = (acost, asint, bt), t(, +), a 0, b 0.

Osou skrutkovice s uvedenou parametrizáciou je os z. Fyzikálne: Funkcia vyjadruje pohyb

bodu, ktorý sa rovnomerne otáča okolo osi z a súčasne sa pozdĺž nej rovnomerne posúva.

Príklad 1.12

Bézierova kubika:

P(t) = (1 – t)3A0 + 3(1 – t)

2tA1 + 3(1 – t)t

2A2 + t

3A3, t0,1.

Body A0, A1, A2, A3 sa nazývajú riadiace vrcholy Bézierovej kubiky. Bod P(t) je ich lineárnou

kombináciou s premennými koeficientmi (1 – t)3, 3(1 – t)

2, 3(1 – t)t

2, t

3. Prakticky to

znamená, že súradnice bodu P(t) sú lineárnymi kombináciami súradníc riadiacich vrcholov

s uvedenými koeficientmi.

Táto krivka môže byť priestorová aj rovinná. Rovinná je vtedy, keď všetky jej riadiace

vrcholy ležia v jednej rovine, v nej potom ležia všetky body krivky.

Bézierove kubiky hrajú obrovskú úlohu v počítačovej grafike pri vytváraní kriviek a plôch

(ako sa trochu prehnane hovorí) ľubovoľného tvaru.

Lineárna kombinácia bodov je (neúplná) analógia lineárnej kombinácie vektorov. Definovaná je iba

v dvoch prípadoch: Keď je súčet koeficientov 1, výsledkom je bod, keď je súčet koeficientov 0,

výsledkom je vektor. Súradnice lineárnej kombinácie bodov sú lineárne kombinácie súradníc

kombinovaných bodov. Napríklad stred dvojice bodov A,B môžeme zapísať ako ½A ½B.

Vzorec z definície Bézierovej krivky definuje bod, lebo na pravej strane je súčet koeficientov 1:

11

1 [(1 – t) t]3 (1 – t)

3 3(1 – t)

2t 3(1 – t)t

2 t

3.

Úloha 1.1

a) Napíšte parametrické vyjadrenie kružnice so stredom v bode S = (m, n).

b) Napíšte parametrické vyjadrenie úsečky s krajnými bodmi A, B.

Základné pojmy matematickej analýzy – limitu, spojitosť a deriváciu – prenesieme na

bodové funkcie jednej číselnej premennej, a to prostredníctvom súradníc.

Limita bodovej funkcie P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI v momente t0 je bod

)(lim),(lim),(lim)(lim

0000

tztytxtPtttttttt

.

Bodová funkcia P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI je spojitá, ak sú spojité jej súradnicové

zložky x(t), y(t), z(t).

Derivácia bodovej funkcie P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI v momente t0I je vektor

P(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0)).

(Vektorový charakter derivácie P(t0) sa vysvetľuje v poznámke 1.1)

Podobne ako bodová funkcia jednej premennej sa definuje vektorová funkcia jednej

premennej u: I V(E3).

V programátorskom jazyku by sme mohli povedať, že návratová hodnota bodovej funkcie má typ bod a

návratová hodnota vektorovej funkcie má typ vektor.

Súradnicové vyjadrenie vektorovej funkcie je rovnaké ako pre bodovú funkciu:

u(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI.

Rovnako sa definuje jej limita a derivácia:

)(lim),(lim),(lim)(lim

0000

tztytxttttttttt

u ,

u(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0)).

Deriváciou vektorovej funkcie je funkcia vektorová. Pretože deriváciou aj bodovej funkcie je

funkcia vektorová, nielen prvá, ale aj vyššie derivácie bodovej funkcie sú vektorové funkcie.

Pri počítaní s deriváciami bodových a vektorových funkcií platia obvyklé pravidlá

diferenciálneho počtu, napr.

(P(t) + u(t)) = P(t) + u(t), (derivácia súčtu)

(f(t)u(t)) = f(t)u(t) + f(t)u(t), (derivácia skalárneho násobku)

(u(t) v(t)) = u(t) v(t) + u(t) v(t), (derivácia skalárneho súčinu)

(u(t) v(t)) = u(t) v(t) + u(t) v(t), (derivácia vektorového súčinu)

P(t) = 0 pre všetky t funkcia P = P(t) je konštantná. (derivácia konštanty)

Príklad 1.13

Pre deriváciu bodovej funkcie P(t) = (acos3t, asin

3t) (ako už vieme z príkladu 1.10,

uvažovaná funkcia vyjadruje parametricky astroidu) platí

12

P(t) = (3a cos2t sint, 3a sin

2t cost) = 3a cost sint (cost, sint).

Rovnosť P(t) = 3a cost sint (cost, sint) je korektná, lebo pravá strana vyjadruje v súradniciach

operáciu násobenia vektora číslom. Naproti tomu úprava zápisu bodovej funkcie P(t) = (acos3t, asin

3t)

do podoby P(t) = a(cos3t, sin

3t) je neprípustná, lebo operácia „číslo krát bod“ nie je definovaná.

Úloha 1.2

Vypočítajte prvú a druhú deriváciu aspoň niektorých bodových funkcií, ktoré vyjadrujú

krivky z príkladov 1.1 – 1.12.

Úloha 1.3

Dokážte niektoré z vyššie uvedených pravidiel pre počítanie s deriváciami, napríklad pravidlo

derivácie skalárneho súčinu. [Návod: Zapíšte bodové a vektorové funkcie vystupujúce

v pravidle prostredníctvom súradníc.]

Poznámka 1.1

1. Uvažujme bodovú funkciu P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI a číslo t0I. Uvedomme si, že funkcia

)()(1)()(

0

00

0 tPtPtttt

tPtP

, t t0

je vektorová, lebo na pravej strane je súčin čísla s vektorom. Funkcia má súradnice

0

0

0

0

0

0

0

0 )()(,

)()(,

)()()()(

tt

tztz

tt

tyty

tt

txtx

tt

tPtP

Jej limita v momente t0 je teda vektor a jeho súradnice sú (x(t0), y(t0), z(t0)). Tým sa

vysvetľuje, prečo je derivácia bodovej funkcie v každom momente vektor.

2. Fyzikálna interpretácia derivácií bodovej funkcie: Vektor P(t0) vyjadruje okamžitú rých-

losť a vektor P(t0) okamžité zrýchlenie pohybujúceho sa bodu P(t) v momente t0.

Vektorový charakter derivácie bodovej funkcie má obrovský význam, lebo pri skúmaní kriviek nám

umožňuje využívať bohatý aparát lineárnej algebry.

Ďalšie úlohy na tému parametricky zadaných kriviek nájdete v priloženom texte Tvorba

kriviek. Samozrejme, aj všetky tamojšie úlohy sú nepovinné.

Prvú kapitolu ukončíme v ďalšej lekcii.

13

Lekcia 2

V prvej časti lekcie dokončíme prvú kapitolu učebného textu.

Doteraz sme sa zoznámili s bodovými a vektorovými funkciami jednej premennej a s ich limitami

a deriváciami. Na mnohých konkrétnych príkladoch sme videli, že bodové funkcie veľmi úzko súvisia

s krivkami.

Na začiatku lekcie budeme postupne pripravovať definíciu krivky. Už teraz upozorňujem, že jej

výsledná podoba pravdepodobne nesplní vaše očakávania. Definícia nebude mať totiž tvar „krivka je

množina bodov v priestore resp. v rovine, parametricky vyjadrená bodovou funkciou jednej

premennej“. Dôvodom je skutočnosť, že existujú také „krivky“ v zmysle naznačenej definície, ktoré

majú pri rôznych parametrických vyjadreniach rôzne geometrické vlastnosti.

Pripravte sa teda na pomerne krkolomnú definíciu krivky.

Od bodovej funkcie P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI, ktorá parametricky určuje krivku, sa spravidla

vyžaduje, že má nasledujúce dve vlastnosti:

(1.4a) hladkosť: existujú derivácie všetkých rádov (t.j. súradnicové funkcie x(t), y(t) a

z(t) majú derivácie všetkých rádov, teda sú hladké) a

(1.4b) regulárnosť: vektor P(t) je nenulový pre všetky t.

Vektor P(t) sa v druhej. kapitole stane smerovým vektorom dotyčnice krivky v bode P(t), preto v

definícii vyžadujeme, aby bol nenulový, teda aby spolu s bodom P(t) určoval priamku.

Aby sme zachytili čo najviac kriviek z rôznych oblastí aplikácií, v príkladoch na konkrétnych

krivkách pripúšťame výskyt niekoľkých bodov, pre ktoré nie je podmienka regulárnosti

splnená. Také body, teda body P(t) s vlastnosťou P(t) 0, sa nazývajú singulárne body

krivky. Ostatné body krivky sú regulárne.

Príklad 1.14

(Pokračovanie príkladu 1.13.) Bodová funkcia P(t) = (acos3t, asin

3t), t0, 2, je zrejme

hladká a P(t) = 3a cost sint (cost, sint) = 0 práve vtedy, keď t = k/2, k 0, 1, 2, 3, 4.

Astroida má teda práve štyri singulárne body P(/2), P(), P(3/2), P(2) P(0) osami (bod

P(0) pre k 0 sme stotožnili s bodom P(2) pre k 4). Sú to priesečníky krivky so

súradnicovými osami. Ostatné body astroidy sú regulárne (obr. 1.9).

Úloha 1.5

Skúmajte splnenie podmienky regulárnosti pre cykloidu a traktrix.

Príklad 1.15

(obr. 1.11) Graf funkcie y = f (x), xI je krivka s parametrizáciou

P(t) = (t, f (t)), tI.

Pre hladkú funkciu f je táto parametrizácia jej grafu hladká, lebo obe funkcie

x(t) t a y(t) f (t)

sú hladké. Uvedená parametrizácia je aj regulárna, lebo P(t) = (1, f (t)) (0, 0) pre všetky t

kvôli prvej súradnici.

14

Niekedy je výhodná zmena parametrického vyjadrenia krivky:

Parametrizácia krivky P(t), tI sa zmení prostredníctvom substitúcie t = (u), uJ, kde J je

nejaký interval. Vtedy nová parametrizácia krivky je

Q(u) = P( (u)), uJ.

Od substitúcie sa vyžaduje, aby funkcia : J R bola

(1.5a) hladká, čiže existujú derivácie všetkých rádov: , , , ...,

(1.5b) regulárna, čiže (u) 0 pre všetky u,

(1.5c) surjektívna, čiže interval J zobrazuje na interval I, t.j. J (I).

Vtedy funkcia : J R zobrazuje interval J bijektívne na interval I. Hovoríme tiež, že v

parametrizáciách P(t), tI a Q(u) = P( (u)), uJ si body Q(u) a P((u)) navzájom

odpovedajú.

Orientácia krivky je určená jej parametrizáciou. Parametrizácia Q(u) = P((u)) určuje na

krivke rovnakú orientáciu ako pôvodná parametrizácia P(t) práve vtedy, keď (u) 0 pre

všetky u, teda práve vtedy, keď substitučná funkcia t (u) je rastúca.

Orientáciu krivky intuitívne chápeme ako jeden z dvoch smerov pohybu po nej.

Každá parametricky zadaná krivka má nekonečne veľa parametrizácií a práve dve orientácie.

Príklad 1.16

(obr. 1.12) Grafom funkcie 22 xaaby , x(a, a) je „horná“ polelipsa s odpovedajúcim

parametrickým vyjadrením 22 ,)( taabttP , t(a, a). Substitúciou t = a cos u, u(0, )

získame parametrizáciu Q(u) = ( a cos u, b sin u), u(0, ) z príkladu 1.3.

Tento komentár je dúfam zbytočný, ale predsa.

V príklade 1.16 sa oproti príkladu 1.3 zmenilo označenie funkcií a premenných. Tam bolo P(t) =

(acost, bsint) a tu je Q(u) = (acosu, bsinu). To však nikomu nesmie vadiť .Samozrejme zmenil sa aj

definičný obor parametrizácie, lebo v príklade 1.16 nepracujeme s celou elipsou.

Úloha 1.6

Presvedčite sa, že substitúcia z predchádzajúceho príkladu je hladká, regulárna a surjektívna.

Zachováva sa pri nej orientácia polelipsy?

Úloha 1.7

Presvedčte sa, že substitúcia t = tg(u/2), u(,) zmení parametrizáciu elipsy z príkladu

1.4 na parametrizáciu z príkladu 1.3 s upraveným definičným oborom (, ).

[Využite vzorce známe z integrovania

2

22

2

tg1

tg1cos

x

x

x

,

2

22tg1

tg2sin

x

x

x

.]

Pozorný čitateľ si mohol všimnúť, že doteraz sme nedefinovali krivku, iba jej

parametrizáciu. Hoci si pod krivkou intuitívne predstavujeme geometrický útvar, teda

množinu bodov s istými vlastnosťami, presná a pritom dostatočne všeobecná definícia

v takejto podobe by vyžadovala ďalšiu rozsiahlu prípravu. Aby sme sa jej vyhli, bude krivka

definovaná nasledovne:

15

(1.6a) Krivka je určená svojou parametrizáciou, teda hladkou a (takmer všade) regulárnou

bodovou funkciou jednej premennej.

(1.6b) Dve bodové funkcie jednej premennej určujú rovnakú krivku, ak jedna vznikne

z druhej hladkou regulárnou a surjektívnou substitúciou.

Bod krivky je ľubovoľný bod z oboru hodnôt jej parametrického vyjadrenia.

Namiesto o krivke určenej parametrizáciou P(t), tI jednoducho hovoríme krivka P(t), tI .

Je evidentné, že pri zmene parametrického vyjadrenia krivky sa množina jej bodov

nezmení – zaručuje to podmienka (1.5c). Takto krivka konečne súvisí s množinou bodov. Pre

parametrické vyjadrenie P(t), tI je to množina {P(t); tI}. Krivka však nie je iba množinou

bodov, ale množinou bodov s parametrickým vyjadrením. Toto parametrické vyjadrenie

môžeme mnohými spôsobmi zmeniť, nesmieme ho však vynechať.

Sú známe príklady rôznych parametrických vyjadrení kriviek s rovnakou množinou bodov, ktoré majú

rôzne geometrické vlastnosti (napr. rôznu dĺžku alebo v tom istom bode rôzne dotyčnice). Jeden taký

príklad spoznáme v kapitole 4.

Naším cieľom nebolo a nie je podrobne analyzovať pojem krivky, ale čím skôr začať skúmať vlastností

kriviek. Preto ešte raz zdôrazňujeme:

1. Krivka nie je iba množina bodov, ale množina bodov spolu s jej parametrickým vyjadrením

prostredníctvom bodovej funkcie jednej premennej.

2. Krivka má nekonečne veľa parametrických vyjadrení.

3. Parametrické vyjadrenie krivky určuje na nej orientáciu.

Myslím, že na uvedené tri zásady si dosť rýchlo zvyknete.

Teda „krivka je niečo, čo je nejako určené“. Ak vám veľmi chýba definícia krivky v podobe „krivka je

niečo, čo má nejaké vlastnosti“, ozvite sa. Odpoveď mám pripravenú, i keď vás asi nepoteší. Možno ju

však nájdete aj sami...

Tu by mohla prvá kapitola skončiť. Kto chce, nemusí z nej ďalej čítať ani slovo a môže prejsť rovno ku

kapitole 2. Myslím si však, že nasledujúca úvaha je poučná.

Poznamenajme ešte, že definícia krivky má rovnakú štruktúru, ako definícia vektora

v elementárnej geometrii:

Vektor je určený orientovanou úsečkou.

Dve orientované úsečky určujú rovnaký vektor, ak majú rovnakú dĺžku a rovnaký

smer.

Ešte jednoduchší príklad uvedeného postupu je určovanie racionálnych čísiel zlomkami.

Pokúste sa sformulovať definíciu racionálneho čísla, ktorá by začínala vetou „Racionálne

číslo je určené zlomkom“.

Z prísne matematického hľadiska zlomok nie je racionálne číslo, iba ho určuje (vyjadruje,

reprezentuje, ...). Dôvod je ten, že rôznymi zlomkami, napr. 1/2 a 2/4, zapisujeme rovnaké racionálne

číslo. Uvedené dva zlomky sú naozaj navzájom rôzne, lebo, lebo majú rôzne čitatele a rôzne

menovatele. Zlomky sú vlastne usporiadané dvojice celých čísel, iba iným spôsobom zapísané. Prvá

zložka zlomku – dvojice sa nazýva čitateľ a druhá menovateľ.

16

2. Dotyčnica a normála krivky

V druhej a v tretej kapitole zostrojíme v bode krivky isté priamky a roviny, ktoré sú s krivkou

bezprostredne späté a do istej miery vyjadrujú jej tvar blízkosti uvažovaného bodu. Najprirodzenejším

takým objektom je dotyčnica.

Daná je krivka parametrizáciou P(t), tI a číslo t0I.

Dotyčnica krivky v bode P(t0) je priamka určená bodom P(t0) a vektorom P(t0) (obr. 2.1).

Vektor P(t0) sa nazýva dotykový vektor krivky. Pritom predpokladáme, že tento vektor je

nenulový, teda, že bod P(t0) je regulárny bod krivky.

V singulárnom bode dotyčnicu teda nedefinujeme. Nie že by sa to vôbec nedalo, ale bolo by to trochu

náročné. Napríklad dotyčnicou astroidy (príklad 1.10) v singulárnom bode P(0) je os x.

Príklad 2.1

Dotyčnica elipsy P(t) = (acost, bsint), t0, 2 v bode P(/6) je určená bodom P(/6) =

(acos(/6), bsin(/6)) = (a3/2, b/2) a vektorom P(/6) = (asin(/6), bcos(/6)) = (–a/2,

b3/2), preto má parametrické rovnice

x = a3/2 a/2 u, y = b/2 + b3/2 u.

Dotyčnica elipsy v jej všeobecnom bode P(t) = (acost, bsint) je určená bodom P(t) a

vektorom P(t) = (–asint, bcost), preto jej parametrické rovnice sú

x = acost ausint, y = bsint + aucost .

Všimnite si, že v parametrických rovniciach dotyčnice krivky v jej všeobecnom bode

vystupujú dva parametre. Parameter t vyjadruje bod krivky, v ktorom určujeme dotyčnicu,

a druhý parameter u vyjadruje polohu bodu na dotyčnici.

Príklad 2.2

Dotyčnica grafu funkcie (obr. 2.2). Graf funkcie y = f(x) má parametrické vyjadrenie

P(t) = (t, f(t)), preto dotykový vektor tejto krivky je P(t) = (1, f (t)). Smernicová rovnica

dotyčnice v bode (x0, f(x0)) má teda dobre známy tvar y = f(x0) + f (x0)(x – x0). To znamená,

že definícia dotyčnice parametricky zadanej krivky rozširuje pojem dotyčnice grafu funkcie

z úvodného kurzu matematickej analýzy.

Úloha 2.1

Napíšte parametrické rovnice dotyčnice reťazovky P(t) = (t, acosh(t/a)), t(, +) v jej

ľubovoľnom bode.

Úloha 2.2

a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice astroidy v jej ľubovoľnom regulárnom bode.

b) Dokážte, že súradnicové osi vytínajú na všetkých dotyčniciach astroidy úsečky s rovnakou

dĺžkou (obr. 1.9).

c) Narysujte niekoľko (povedzme 10, lepšie viac) úsečiek s rovnakou dĺžkou a (napr.

a 5 cm), ktorých krajné body ležia na kladných polosiach súradnicových osí. „Obálkou“

týchto úsečiek je astroida, presnejšie jeden z jej štyroch oblúkov. Skúste to naprogramovať.

17

d) Geometrický význam parametra astroidy: Dokážte, že uhol dotyčnice astroidy v bode P(t)

= (acos3t, asin

3t), t(0, /2) s osou x je t.

Úloha 2.3

a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice traktrixy P(t) = (a(ln tg t/2 + cost), asint), t(0, )

v jej ľubovoľnom bode P(t), t /2.

b) Dokážte, že úsek na dotyčnici od bodu dotyku po os x má na všetkých dotyčniciach

rovnakú dĺžku (obr. 1.8).

Úloha 2.4

a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice skrutkovice v jej ľubovoľnom bode.

b) Presvedčite sa, že všetky dotyčnice skrutkovice zvierajú s osou skrutkovice rovnaký uhol.

Pri zmene parametrizácie krivky sa dĺžka a orientácia dotykového vektora môže

zmeniť, ale jeho (neorientovaný) smer nie, preto je dotyčnica krivky definovaná nezávisle od

aktuálneho parametrického vyjadrenia krivky. Dôvodom je skutočnosť, že platí klasický

vzorec pre deriváciu zloženej funkcie Q(u) = P((u)):

(2.1) Q(u) = P((u)) (u).

Pravá strana má štruktúru vektor P ((u)) krát číslo (u). Uvedomujeme si, že tento zápis nie je

z hľadiska algebry úplne korektný, správne by malo byť Q(u) = (u)P ((u)). Dávame však prednosť

analýze, teda štruktúre vzorca pre deriváciu zloženej funkcie: derivácia vonkajšej zložky krát

derivácia vnútornej zložky.

Vzorec (2.1) možno ľahko dokázať prostredníctvom súradníc, pre jednoduchšie

písanie iba v rovine. Ak P(t) (x(t), y(t)), tak Q(u) = P((u)) (x((u)), y((u))), preto

Q(u) (x((u)), y((u))) (x((u)) (u), y((u)) (u)) = P((u)) (u).

V poslednej rovnosti bolo dôležité, že obidve súradnice vektora

Q(u) (x((u)) (u), y((u)) (u))

obsahujú rovnaký činiteľ (u).

Bežne sa hovorí, že dotyčnica krivky je limitná poloha sečníc. Myslí sa to takto:

Uvažujme priamku p(t), ktorá je určená bodmi P(t0) a P(t), t t0. Keď sa číslo t blíži k t0, bod

P(t) sa blíži po danej krivke k bodu P(t0) a priamka p(t) sa následne otáča okolo bodu P(t0).

Dá sa dokázať, že limitnou polohou priamky p(t) je dotyčnica krivky v bode P(t0).

Dôsledkom predošlej úvahy je tvrdenie: Spomedzi všetkých priamok, ktoré

prechádzajú daným bodom krivky, je ku krivke najtesnejšie priložená dotyčnica. Podrobnejšie

v kap. 6.

Uvedená limitná vlastnosť dotyčnice sa v staršej literatúre vyjadruje frázou „dotyčnica krivky je

spojnica jej dvoch nekonečne blízkych bodov“ alebo tiež „spojnica dvoch súmedzných bodov krivky“.

Normála krivky v regulárnom bode krivky je každá priamka idúca bodom krivky

kolmo na dotyčnicu v tom bode. V rovine má krivka v každom bode práve jednu normálu

(obr. 2.3), v priestore prechádza bodom krivky nekonečne veľa normál. Tieto vypĺňajú

rovinu, ktorá prechádza bodom krivky kolmo na dotyčnicu. Nazývame ju normálová rovina

krivky (obr. 2.4).

18

Úloha 2.5

Napíšte parametrické rovnice a rovnicu normály v ľubovoľnom bode niektorej krivky z

príkladov 1.1 – 1.9.

Úloha 2.6

Napíšte parametrické rovnice a rovnicu normálovej roviny v ľubovoľnom bode skrutkovice z

príkladu 1.11.

Treba zdôrazniť, že dotyčnica krivky, normála a v 3D aj normálová rovina krivky sa vždy viaže na

jeden bod krivky, sú to objekty „v tom bode krivky“.

19

Lekcia 3

Doteraz sme sa zoznámili s bodovými a vektorovými funkciami jednej premennej a s ich limitami

a deriváciami. Pomocou bodových funkcií určujeme parametricky krivky. Pomocou prvej derivácie

parametrického vyjadrenia krivky určujeme dotyčnicu ku krivke.

V tejto lekcii budeme pracovať nielen s prvou, ale aj s druhou deriváciou parametrického vyjadrenia

krivky. Objavuje sa v nej po prvý krát vektorový súčin. Jeho pre geometriu najdôležitejšie vlastnosti

som zhrnul do samostatného pomocného textu.

3. Oskulačná rovina priestorovej krivky. Frenetov trojhran

Bod P(t) rovinnej alebo priestorovej krivky sa nazýva inflexný bod, k sú vektory P(t)

a P(t) lineárne závislé. Ak sú nezávislé, P(t) je neinflexný bod krivky.

Inflexné body krivky z našich úvah spravidla vynechávame.

S výrazom „inflexný bod“ ste sa určite stretli v prvom ročníku vysokoškolského štúdia v predmete

Matematická analýza pri skúmaní priebehu funkcie jednej premennej. Tam sa inflexný bod funkcie

obvykle definuje ako bod, v ktorom má funkcia nulovú druhú deriváciu.

V nasledujúcom príklade sa presvedčíme, že inflexný bod krivky je prirodzeným rozšírením

odpovedajúceho pojmu z matematickej analýzy.

Príklad 3.1

Bod P(t) = (t, f(t)) je inflexným bodom grafu funkcie y = f(x), xI práve vtedy, keď bod t je

inflexným bodom funkcie y = f(x).

Tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že vektory P (t) = (1, f(t)), P (t) = (0, f (t)) sú

lineárne závislé práve vtedy, keď f (t) = 0. Naozaj, vektory P(t), P(t) dvojrozmerného

priestoru sú lineárne závislé práve vtedy, keď determinant z ich súradníc je nulový. V našom

prípade ale

)()(0

)(1tf

tf

tf

.

Preto vektory P(t), P(t) dvojrozmerného priestoru sú lineárne závislé práve vtedy, keď

f (t) 0.

Pomocou prvej derivácie parametrického vyjadrenia krivky sme definovali dotyčnicu krivky ako

priamku, ktorá je v danom bode krivky ku krivke najtesnejšie priložená. Pomocou prvej a druhej

derivácie budeme definovať ku krivke najtesnejšie priloženú rovinu. Aby rovina bola určená

jednoznačne, musia byť určujúce vektory lineárne nezávislé, teda bod krivky musí byť neinflexný.

Oskulačná rovina priestorovej krivky v neinflexnom bode P(t) je rovina určená bodom P(t) a

vektormi P(t) a P(t).

20

Geometrický význam oskulačnej roviny: Daná je krivka P(t), tI a jej bod P(t0).

Dotyčnicou krivky v bode P(t0) označme p0. Uvažujme rovinu (t) prechádzajúcu priamkou

p0 a bodom krivky P(t), t t0. Keď sa číslo t blíži k t0, bod P(t) sa po krivke blíži k bodu P(t0),

pričom rovina (t) sa otáča okolo priamky p0. Dá sa dokázať, že limitnou polohou roviny (t)

je oskulačná rovina krivky v bode P(t0). Preto spomedzi všetkých rovín, ktoré prechádzajú

dotyčnicou krivky, je ku krivke najtesnejšie priložená jej oskulačná rovina. (Názov pochádza

z latinského slova osculatio = bozkávanie.)

Názov zaviedol v 18. storočí W. Leibniz. Teda ani vtedy neboli všetci matematici suchári.

Príklad 3.2

Oskulačná rovina skrutkovice. Pre parametrizáciu P(t) = (acost, asint, bt) máme P(t) =

(–asint, acost, b), P(t) = (–acost, –asint, 0). Za normálový vektor oskulačnej roviny môžeme

teda vziať vektor P(t) P(t) = a(bsint, –bcost, a), ešte lepšie vektor s jednoduchšími

súradnicami m (bsint, –bcost, a). Oskulačná rovina skrutkovice v bode P(t) má symbolickú

rovnicu m(X P(t)) 0. Po rozpísaní je to rovnica

(bsint)x (bcost)y + az – abt = 0.

Úloha 3.1

Dokážte, že v ľubovoľnom bode skrutkovice je uhol oskulačnej roviny s osou skrutkovice,

teda s osou z, konštantný. (Porovnajte s úlohou 2.4.)

Úloha 3.2

Dokážte, že pre krivku, ktorej všetky body ležia v jednej rovine, platí:

a) Vektory prvej a druhej (a všetkých ďalších) derivácií parametrického vyjadrenia krivky sú

rovnobežné s tou rovinou (resp. ležia v nej, resp. sú jej smerové vektory – formulácia je vec

vkusu).

b) Táto rovina je oskulačnou rovinou krivky v každom jej bode.

Návod: a) Dosaďte súradnice parametrického vyjadrenia krivky P(t) = (x(t), y(t), z(t)) do

rovnice roviny ax by cz d 0 a derivujte. b) Využite tvrdenie a).

Pripomeňme, že normála krivky je každá priamka prechádzajúca daným bodom krivky kolmo na

dotyčnicu v tom bode krivky.

Spomedzi všetkých nekonečne veľa normál priestorovej krivky v jej neinflexnom

bode sú dve významné. Prvá leží v oskulačnej rovine – nazýva sa hlavná normála, druhá je na

oskulačnú rovinu kolmá – nazýva sa binormála. Binormála a dotyčnica určujú rektifikačnú

rovinu krivky.

Takto v každom neinflexnom bode krivky vznikli tri navzájom kolmé priamky –

dotyčnica, hlavná normála a binormála a tri navzájom kolmé roviny určené tými priamkami –

oskulačná rovina určená dotyčnicou a hlavnou normálou, normálová rovina určená hlavnou

normálou a binormálou a rektifikačná rovina určená dotyčnicou a binormálou (obr. 3.1).

Na dotyčnici, hlavnej normále a na binormále ležia jednotkové vektory t, n a b, ktoré

vznikajú ortonormalizačným procesom z vektorov P, P a P P:

21

(3.1) . ,)()(

)()( ,

PP

PP

PPPPPP

PPPPPP

P

P

bnt

Nazývajú sa vektor dotyčnice, vektor hlavnej normály a vektor binormály (obr. 3.1).

Podstatnú časť vzorca pre vektor n sme získali riešením rovnice P (uP vP ) 0, teda rovnice

(P P )u (P P )v 0. Najjednoduchším nenulovým riešením je u P P , v P P .

Vzorec (3.1) pre vektor n je pomerne komplikovaný, preto sa vektory t, n a b častejšie

počítajú v zmenenom poradí:

(3.2) tbnbt

, ,

PP

PP

P

P

Poradie vektorov na pravej strane posledného vzorca neslobodno zmeniť, lebo t b = n.

Pre krivky v rovine majú zmysel iba prvé dva zo vzorcov (3.1), lebo vektorový súčin tam nie

je definovaný. Podobne ako v priestore aj tu je k dispozícii výpočtová alternatíva pre vektor

n:

(3.3) t = P/P , n = [sgn det(P, P)] t

Pritom det(P, P) je determinant, ktorého riadky sú súradnice daných vektorov, teda

det(P, P) yx

yx

a vektor t

vznikne z vektora t otočením o +90, teda t

= (b, a) pre

t = (a, b). Konečne sgn je skratka slova signum, čo je znamienko.

Podrobnejšie, pre vektor n z (3.3) platí: Ak det(P, P) 0, tak n = t. Ak det(P, P) 0, tak n = t

.

Prečo sme ale v (3.3) nenapísali jednoducho n = t? Dôvodom je skutočnosť, že z dvoch jednotkových

vektorov t a t

,ktoré sú kolmé na vektor t, berieme za vektor n ten, pre ktorý je báza t, n orientovaná

rovnako ako báza P, P. V analytickej geometrii sa hovorí, že dvojice nezávislých vektorov roviny

(t, n) a (P, P) sú rovnako orientované práve vtedy, keď determinanty det(t, n) a det(P, P) majú

rovnaké znamienka.

Ortonormálne vektory t, n a b tvoria Frenetov trojhran alebo tiež Frenetov repér

krivky. (Francúzske slovo repére znamená značka, zárez. V geometrii sa slovo „repér“

tradične používa na vyjadrenie objektu, ktorý určuje sústavu súradníc.)

1. Francúzsky matematik J. P. Frenet sa okolo roku 1850 stal spoluobjaviteľom dôležitých vzorcov

z diferenciálnej geometrie kriviek, ktoré sa dnes zapisujú pomocou vektorov t, n, b a ich derivácií.

Preto sa tieto vektory menujú po ňom.

2. Všimnite si, že vektor binormály b(t) je kolmý na oskulačnú rovinu krivky v bode P(t), preto jej

rovnicu môžeme zapísať v tvare

b(t)(X P(t)) 0,

kde X (x, y, z) je ľubovoľný bod priestoru a jeho súradnice sú v predošlej rovnici neznámymi.

Vedeli by ste obdobným spôsobom napísať rovnicu normálovej roviny?

Touto lekciou sa skončila prvá časť tematického celku Krivky. Mala opisný charakter,

prevládali definície a príklady. Od budúcej lekcie sa charakter kurzu začne meniť, objavia sa

prvé vety (teorémy) o vlastnostiach kriviek.

22

Lekcia 4

Základným cieľom tejto lekcie je spoznať prirodzenú parametrizáciu krivky, ktorá je hádam

najčastejšie používaným nástrojom teórie kriviek. Dôležitý medzikrok v tomto smere, ktorý však má aj

svoj samostatný význam, je dĺžka krivky. Budeme ju definovať analyticky, čoskoro však vo vete 4.1

ukážeme, že takýto postup je v súlade s bežnou predstavou o dĺžke čiary.

4. Dĺžka krivky. Prirodzená parametrizácia krivky

Dĺžka krivky s parametrizáciou P(t), ta, b je integrál

ttPPl

b

a

d)()( .

Poznámka 4.1

Všimnime si, že dĺžka je definovaná iba pre krivky, ktorých parametrické vyjadrenie je

definované na uzavretom a ohraničenom intervale. Takéto krivky sa niekedy nazývajú oblúky.

Hovoríme, že oblúk P(t), ta,b spája svoje krajné body P(a), P(b).

Poznámka 4.2

Veta o substitúcii v určitom integráli zabezpečuje, že dĺžka krivky nezávisí od voľby jej

parametrického vyjadrenia. Presvedčme sa o tom.

Parametrické vyjadrenie P(t), ta,b sa po substitúcii t (u), uc,d zmení na Q(u)

P((u)), uc,d, pričom Q(u) P((u)) (u) pre všetky u (vzorec (2.1)). Funkcia (u) je

monotónna, kvôli určitosti nech je klesajúca. Vtedy (c) b, (d) a a (u) (u) pre

všetky u. Preto

)(d)(d)())((d)())((d)()()(

)(

1

1

QluuQuuuPuuuPttPPld

c

c

d

b

a

b

a

.

Nasledujúce tri príklady ukážu, že pre jednoduché krivky dáva definícia dĺžky krivky očakávané

výsledky.

Príklad 4.1

Dĺžka úsečky s parametrickým vyjadrením P(t) A t(B A), t0,1:

ABABtABtABttPPl )01(][ dd)()( 10

1

0

1

0

23

Príklad 4.2

Dĺžka kružnice s polomerom r s parametrickým vyjadrením P(t) (rcost, rsint), t0,2 je

2r, lebo

rtrtrttrtrttPPl

2][ dd)sin,cos(d)()( 20

2

0

2

0

2

0

Príklad 4.3

Dĺžka grafu funkcie y = f(x), xa,b. Krivka má parametrické vyjadrenie P(t) = (t, f(t)), preto

dotykový vektor krivky je P (t) = (1, f (t)). Z definície dĺžky krivky dostávame známy vzorec

pre dĺžku grafu funkcie

.d)(1 2 xxfl

b

a

Úloha 4.1

Presvedčite sa, že bodové funkcie

P1(t) = (rcost, rsint), t0, 2 (kružnica)

a

P2(t) = (rcost, rsint), t0, 4 (dvakrát obehnutá kružnica)

neurčujú rovnakú krivku, hoci nimi zadané krivky majú rovnaké množiny bodov.

[Návod: Vypočítajte dĺžku oboch kriviek a využite tvrdenie z poznámky 4.2.]

Nasledujúca veta dáva definícii dĺžky krivky geometrický zmysel. Najprv ale príde

definícia.

Lomená čiara vpísaná do krivky P(t), ta,b je lomená čiara s vrcholmi P(t0), P(t1),

…, P(tk 1), P(tk), kde a = t0 t1 … tk 1 tk = b je delenie intervalu a,b (obr. 4.1). Dĺžka

lomenej čiary P(t0)P(t1) … P(tk 1)P(tk) je súčet dĺžok jej strán, teda číslo

l(P(t0)P(t1) … P(tk 1)P(tk)) |P(t0) P(t1)| ... |P(tk 1) P(tk )|.

Pripomeňme, že suprémum množiny AR je najmenšie horné ohraničenie množiny A, teda reálne číslo

c, ktoré vyhovuje podmienkam

1. c x pre všetky xA,

2. pre každé 0 existuje xA, pre ktoré x c .

Prvá podmienka hovorí, že číslo c je horné ohraničenie množiny A a druhá, že žiadne číslo menšie ako

c už nie je horné ohraničenie množiny A. Suprémum množiny A zapisujeme supA. Mimoriadne dôležitá

veta z matematickej analýzy hovorí, že každá neprázdna zhora ohraničená množina reálnych čísel má

práve jedno suprémum.

Veta 4.1 (Geometrická interpretácia dĺžky krivky)

a) Úsečka je najkratšia krivka spájajúca dva body.

b) Dĺžka krivky je suprémum dĺžok do krivky vpísaných lomených čiar.

Dôkaz vykonáme kvôli jednoduchšiemu zápisu iba pre krivky v rovine. Uvažujme teda krivku

s parametrizáciou P(t) (x(t), y(t)), ta,b.

a) V dôkaze tohto tvrdenia zvoľme sústavu súradníc tak, že body P(a), P(b) ležia na prvej

súradnicovej osi, teda P(a) (x(a),0), P(b) (x(b),0), pričom ešte x(a) x(b). Zrejme platí

24

)( )()()(d)(d)(d)()(d)()( 222 bPaPaxbxttxttxttytxttPPl

b

a

b

a

b

a

b

a

.

V nerovnostiach sme využili monotónnosť určitého integrálu, teda tvrdenie

b

a

b

a

dxxgdxxfxgxfbax )()()()(,

V prvej nerovnosti pre premennú x t a funkcie 22 )()()( tytxtf a 2)()( txtg ,

v druhej nerovnosti pre funkcie )()()( 2 txtxtf a )()( txtg .

b) Z definície vpísanej lomenej čiary a jej dĺžky a z predchádzajúcej časti vety vyplýva, že

dĺžka každej lomenej čiary vpísanej do krivky je menšia alebo sa rovná dĺžke krivky. Ostáva

dokázať, že k dĺžke krivky sa môžeme s ľubovoľnou presnosťou priblížiť dĺžkou vhodne

vybranej vpísanej lomenej čiary. Túto časť dôkazu iba naznačíme.

Zvoľme ľubovoľné delenie a = t0 t1 … tk 1 tk = b intervalu a,b.

Odpovedajúca lomená čiara P(t0)P(t1) … P(tk 1)P(tk) má dĺžku

1

0

21

21

1

0

1 )()()()()()(k

i

iiii

k

i

ii tytytxtxtPtP

V každom z intervalov ti, ti1 aplikujeme na funkcie x x(t) a y y(t) Lagrangeovu vetu

o strednej hodnote.

Pripomeňme Lagrangeovu vetu o strednej hodnote: Pre každú číselnú funkciu y f(x), ktorá je spojitá

na intervale a, b a má deriváciu na intervale (a, b) existuje také číslo c(a, b), že

f(b) f(a) f (c)(b a)

Geometricky: V bode (c, f(c)) je dotyčnica grafu funkcie y f(x) rovnobežná s priamkou, ktorá spája

body (a, f(a)), (b, f(b)), teda krajné body grafu.

V ďalšom kroku dôkazu aplikujeme Lagrangeovu vetu o strednej hodnote najprv na funkciu x x(t) na

intervale ti, ti1. Číslo c z Lagrangeovej vety označíme i, aby sme zvýraznili jeho závislosť od funkcie

x(t) a od i-tého intervalu delenia. Podobne pre funkciu y y(t) vznikne číslo i.

Podľa Lagrangeovej vety existujú v otvorenom intervale (ti, ti1) také čísla i, i, že

iiiiiiiiii ttytytyttxtxtx 1111 )()()( a )()()( ,

preto

1

0

2

1

2

1

1

0

2

1

2

1 ])([])([)()()()(k

i

iiiiii

k

i

iiii ttyttxtytytxtx

ii

k

i

ii ttyx

1

1

0

22 )()( .

Pre jemné delenie intervalu a,b sú intervaly (ti, ti1) veľmi krátke, a pretože i, i(ti, ti1),

platí približná rovnosť i i , a teda aj y(i) y(i). To nám umožňuje pokračovať:

ii

k

i

iii

k

i

iiii

k

i

ii ttPttyxttyx

1

1

0

1

1

0

221

1

0

22 )()()()()(

Posledná suma je integrálny súčet funkcie f(t) |P(t)|, ta, b. Pre dostatočne jemné delenie

intervalu a,b sa tento súčet približne rovná integrálu, teda dĺžke krivky. Súčasne pre všetky

25

i 1, ..., k 1 platí y(i) y(i), teda integrálny účet sa približne rovná dĺžke vpísanej

lomenej čiary, ktorá vznikne na základe toho delenia intervalu.

Zhrnutie: Pre dostatočne jemné delenie intervalu a,b sa dĺžka odpovedajúcej vpísanej

lomenej čiary približne rovná dĺžke krivky P(t), ta,b.

Poznamenajme, že presný dôkaz druhej časti vety 4.1 sa dá urobiť využitím faktu, že funkcia

22 )()(),( yxf

je rovnomerne spojitá na dvojrozmernom intervale a,b a,b.

Parametrizácia P(t), tI sa nazýva prirodzená parametrizácia krivky alebo

parametrizácia s jednotkovou rýchlosťou, ak P(t) = 1 pre všetky t.

Príklad 4.4

Nájdime prirodzenú parametrizáciu priamky. Začneme ľubovoľnou parametrizáciou z analy-

tickej geometrie P(t) A tu. Vtedy P(t) u, preto táto parametrizácia priamky je

prirodzená parametrizácia práve vtedy, keď u = 1.

Príklad 4.5

Nájdime prirodzenú parametrizáciu kružnice P(t) = (rcost, rsint), t0, 2. Na základe textu

za príkladom 1.15 pri zmene parametrického vyjadrenia krivky pracujeme so substitúciou

t = (s), sJ. Teraz hľadáme takú, aby Q(s) = P((s)) bola prirodzená parametrizácia, teda

takú, aby vektor Q(s) = P((s)) (s) bol jednotkový. Pretože

Q(s) = (–r (s) sin(s), r (s) cos(s)) r (s)(–sin(s), cos(s))

vektor Q(s) je jednotkový práve vtedy, keď r (s) = 1, teda práve vtedy, keď (s) = 1/r.

Vtedy (s) = (1/r)ds s/r + C. Pretože nehľadáme všetky prirodzené parametrizácie

kružnice ale iba jednu, pre jednoduchosť zvolíme znamienko + a integračnú konštantu C = 0:

Q(s) = (rcos(s/r), rsin(s/r)), s0, 2r.

Úloha 4.1

Nájdite prirodzenú parametrizáciu skrutkovice P(t) = (rcost, rsint, bt), t0, 2.

[Výsledok: Q(s) = (acos s/(a2 b

2), asin s/(a

2 b

2), bs/(a

2 b

2)).

Návod: (s) = 1/(a2 b

2), t = (s) s/(a

2 b

2).]

Kvôli nasledujúcej vete pripomeňme, že symbol Pa,b znamená zúženie funkcie P(t), tI na

podmnožinu a,b definičného oboru I. Predpis funkcie sa teda nemení, iba jej definičný obor je menší.

Veta 4.2 (Geometrická interpretácia prirodzenej parametrizácie)

Pre prirodzenú parametrizáciu krivky P(t), tI platí: Pre každý podinterval a,b I sa dĺžka

úseku krivky Pa,b rovná dĺžke b – a odpovedajúcej časti definičného oboru parametrizácie

(obr. 4.2), t.j.

l(Pa,b) = b – a pre všetky intervaly a,b I.

Dôkaz Pre prirodzenú parametrizáciu platí abtttPbaPl

b

a

b

a

d1d)(),( .

26

Položme vo vete 4.2 a 0 a b s. Vtedy l(P0, s) s, teda s je dĺžka oblúka krivky medzi

bodmi P(0) a P(s). Inými slovami, bod pohybujúci sa po krivke z bodu P(0) do bodu P(s)

vykoná dráhu dĺžky s, čo je v súlade s obvyklým označením v mechanike. Preto premennú

v prirodzenej parametrizácii krivky spravidla označujeme písmenom s a prirodzenú

parametrizáciu nazývame tiež parametrizácia dĺžkou oblúka.

Postup z príkladu 4.3 zovšeobecňuje nasledujúca veta. Kvôli jej dôkazu definujme pre

krivku P(t), tI a pre číslo aI funkciu

RIsa : ,

t

a

a u.uPts d)()(

Pre všetky tI zrejme platí

(4.1) )()( tPtsa ,

(4.2) sa(t) l(Pa,t) ak t a,

(4.3) sa(t) l(Pt,a) ak t a.

Rovnosť (4.1) vyplýva zo známeho vzorca pre deriváciu funkcie, ktorá je integrálom

s premennou hornou hranicou:

x

a

xfduufdx

d)()( ,

ďalšie dve rovnosti vyplývajú z definície dĺžky krivky a z vety o výmene hraníc určitého

integrálu.

Veta 4.3

Nech P(t), tI je regulárna parametrizácia krivky a nech t0I a s0R sú ľubovoľné čísla.

Potom existuje taká substitúcia t = (s), sJ, že s0J, (s0) = t0 a Q(s) = P((s)) je prirodzená

parametrizácia danej krivky, ktorá krivku orientuje rovnako ako pôvodná parametrizácia (t.j.

(s) 0 pre všetky s).

Dôkaz. Uvážme funkciu (t) = s0 + sa(t) pre a = t0. Zrejme (t0) = s0 a

(t) = sa(t) P(t) 0 pre všetky t.

Preto existuje inverzná funkcia t = 1(s), sJ, ktorú označíme (s). Na základe vety

o derivácii inverznej funkcie dostávame

(s) = 1/ ((s)) = 1/sa((s)) = 1/P((s)) 0.

Funkcia (s) je teda rastúca, preto nová parametrizácia Q(s) = P((s)) orientuje krivku

rovnako ako parametrizácia P(t). Q(s) je prirodzená parametrizácia, lebo pre všetky s platí

Q(s) = P((s)) (s) = P((s)) (s) = P((s)) 1/P((s)) = 1.

Poznámka 4.3

Veta 4.3 hovorí, že každá regulárna krivka má nekonečne veľa prirodzených parametrizácií.

Smutnou skutočnosťou však je, že prostredníctvom elementárnych funkcií ich možno vyjadriť

len pre veľmi málo kriviek. Napríklad z kužeľosečiek možno prirodzenú parametrizáciu

explicitne (teda vzorcom) napísať iba pre kružnicu (príklad 4.5).

27

Poznámka 4.4

Prirodzená parametrizácia krivky sa používa najmä v teoretických úvahách, lebo pre ňu

mnohé vzorce nadobúdajú jednoduchšiu podobu. Vidno to napr. na nižšie sa nachádzajúcom

vzorci (4.6b) a na dôsledku 4.1.

Poznámka 4.5

Keď krivku skúmame v jednom jej bode, môžeme na základe vety 4.3 predpokladať, že

krivka je vyjadrená prirodzenou parametrizáciou P(s), pričom skúmaný bod je P(s0). Kvôli

jednoduchšiemu zápisu často kladieme s0 0.

Úloha 4.3

Nájdite prirodzenú parametrizáciu

a) reťazovky P(t) = (t, cosht). [Q(s) = (ln(s (s2 1), (s

2 1)). Návod: (t) = s0(t) sinht,

t = (s) Argsinhs ln(s (s2 1). Funkcie sinhx a coshx nájdete v príklade 1.5.]

b) krivky P(t) = (etcost, e

tsint, e

t).

[Q(s) = ((s 3)/3 cos ln((s 3)/3), (s 3)/3 sin ln((s 3)/3), (s 3)/3).

Návod: (t) = s0(t) 3(et 1), t = (s) ln((s 3)/3).]

Lema 4.1

Ak je dĺžka vektorovej funkcie u(t) konštantná, tak u(t)u(t) 0, čiže u(t) u(t) pre všetky t.

Dôkaz. Ak u(t) = c pre všetky t, tak u(t)u(t) = c2 všade. Po zderivovaní oboch strán máme

2u(t)u(t) = 0 pre všetky t, čiže u(t)u(t) = 0, t.j. u(t) u(t) pre všetky t.

Nasledujúce vzorce vyjadrujú základné vlastnosti prirodzenej parametrizácie, budeme ich

často používať. Tu a aj neskôr skratka (PP) upozorňuje, že vzorec platí iba pre prirodzenú

parametrizáciu krivky, pre iné typy parametrizácií už platiť nemusí.

(4.4) P(s) = 1 t.j. P(s)P(s) 1 (PP)

(4.5) P(s) P(s) t.j. P(s)P(s) 0 (PP)

(4.6a) t(s) = P(s) (PP)

(4.6b) n(s) = P(s)/P(s) (PP)

(4.6c) b(s) = t(s) n(s) (PP)

Vzorce odôvodníme jednoducho: Vzorec (4.4) iba opakuje definíciu prirodzenej

parametrizácie, vzorec (4.5) je vzhľadom na lemu 4.1 dôsledkom vzorca (4.4) pre funkciu

u(t) P(s). Zo vzorcov (3.1), (4.4) a (4.5) dostaneme (4.6a), (4.6b). Vzorec (4.6c) platí

dokonca pre ľubovoľnú parametrizáciu krivky, tu ho uvádzame iba kvôli úplnosti informácie.

Dôsledok 4.1

Bod P(s) je inflexným bodom krivky vyjadrenej v prirodzenej parametrizácii práve vtedy,

keď P(s) = 0 (PP).

Dôkaz Bod P(s) je inflexným bodom krivky práve vtedy, keď vektory P(s) a P(s) sú lineárne

závislé. Podľa vzorca (4.5) máme P(s) P(s) pre všetky s. Lenže vektor P(s) je lineárne

závislý s nenulovým vektorom P(s) a súčasne naň kolmý práve vtedy, keď je nulový.

28

Nasledujúca veta hovorí o rozložení bodov rovinnej krivky vzhľadom na jej dotyčnicu v neinflexnom

bode. Pre jej dôkaz pripomíname niektoré fakty o analytickom vyjadrení priamky a polroviny.

V rovine môžeme rovnicu priamky a, ktorá prechádza bodom A kolmo na vektor n, symbolicky zapísať

pomocou skalárneho súčinu vektorov v tvare n(X A) 0.

Priamka a s rovnicou n(X A) 0 je hranicou dvoch navzájom opačných polrovín. Tieto sú vyjadre-

né nerovnicami n(X A) 0 resp. n(X A) 0. Do prvej z polrovín smeruje vektor n, do druhej

vektor n. Hovoríme tiež, že polrovina n(X A) 0 je určená priamkou a vektorom n.

Veta 4.4

V blízkosti neinflexného bodu leží rovinná krivka v polrovine určenej dotyčnicou a vektorom

normály.

Dôkaz (obr. 5.5). Podľa poznámky 4.5 môžeme predpokladať, že krivka je zadaná

prirodzenou parametrizáciou a že ju skúmame v bode P(0). Dotyčnica v bode P(0) má

rovnicu n(0)X – P(0) 0, polrovina určená dotyčnicou a vektorom normály krivky je

vyjadrená nerovnicou n(0)X – P(0) 0. Pre funkciu h(s) = n(0)P(s) – P(0) platí

h(0) n(0)P(0) – P(0) 0,

h(0) = n(0)P(0) = n(0)t(0) = 0,

h(0) = n(0)P(0) = n(0)P(0)n(0) = P(0)n(0)n(0) = P(0) 0.

(V druhej rovnosti poslednej série sme využili obmenu vzorca (4.6b) P(0) P(0)n(0).)

Funkcia h(s) má teda v bode 0 ostré lokálne minimum rovné 0, preto pre s nenulové ale blízke

nule je kladná. Teda pre s blízke k 0 vyhovujú body P(s) nerovnici n(0)X – P(0) 0, preto

ležia v polrovine, ktorá je určená dotyčnicou a vektorom normály krivky v bode P(0).

1. Precízna podoba výroku „pre s blízke k 0 vyhovujú body P(s) nerovnici n(0)X – P(0) 0“ je:

„existuje také 0, že pre všetky s(,) platí n(0)X – P(0) 0“. Analogicky aj inde.

2. Funkcia h(s) = n(0)P(s) – P(0) z predchádzajúceho dôkazu vyjadruje orientovanú vzdialenosť

bodu P(s) od dotyčnice krivky v bode P(0). Ak je dotyčnica „vodorovná“, h(s) je „výška“ bodu P(s)

nad dotyčnicou. Odtiaľ symbol h. V sústave súradníc P(0), t(0), n(0) je h(s) druhá súradnica bodu

P(s).

Poznámka 4.6

Pre dostatočne veľké hodnoty parametra môžu body krivky prejsť do opačnej polroviny

s nerovnicou n(0)[X – P(0)] 0, a to aj vtedy, keď všetky body krivky sú neinflexné.

Typickým príkladom krivky, ktorá sa tak chová, je Archimedova špirála

P(t) (tcost, tsint), t(0, ).

Viac informácií o nej vrátane obrázka možno nájsť napríklad na stránke

https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_spiral.

Poznámka 4.7

Veta 4.4 je ukážkou výsledku tzv. lokálnej diferenciálnej geometrie, ktorá skúma vlastnosti

„malých častí“ kriviek. Pre ňu je typické, že z vlastností derivácií v jednom bode (v tomto

prípade z vlastnosti, že vektory P(0) a P(0) sú lineárne nezávislé) sa získajú vlastnosti bodov

ležiacich blízko skúmaného bodu (tu to bolo tvrdenie, že blízke body ležia v jednej polrovine

vzhľadom na dotyčnicu).

29

V našom kurze sa venujeme iba lokálnej diferenciálnej geometrii. Jej opakom je tzv.

globálna diferenciálna geometria, ktorá skúma vlastnosti celých kriviek. Jednoduchou

ukážkou vety globálnej diferenciálnej geometrie je tvrdenie, že každá uzavretá krivka má

aspoň dve dotyčnice rovnobežné s danou priamkou.

Poznámka 4.8

V blízkosti inflexného bodu môže krivka ležať vzhľadom na dotyčnicu v oboch polrovinách

(napr. graf funkcie y x3 pre x 0), alebo iba v jednej polrovine (napr. graf funkcie y x

4

opäť pre x 0).

30

Lekcia 5

Ako už naznačuje samotné slovo krivka, jej základnou vlastnosťou je, že je krivá. Niektoré krivky sú

zakrivené viac, niektoré menej, niektoré v každom bode rovnako, iné v každom bode ináč. Veľkosť

zakrivenia krivky číselne vyjadruje jej krivosť.

5. Krivosť krivky

Krivosť (resp. flexia resp. prvá krivosť) krivky v bode P(t) je číslo

(5.1) 3

)(

)()()(

tP

tPtPtk

.

Uvedená definícia krivosti je veľmi formálna, nevidno v nej geometriu. Zatiaľ sa s tým musíme zmieriť,

geometrický význam krivosti spoznáme až na záver kapitoly. V prvých dvoch úlohách čoskoro podľa

toho podivného vzorca (5.1) vypočítame krivosť dvoch najjednoduchších kriviek – priamky a kružnice

– a uvidíme, že získame očakávané výsledky.

Je zrejmé, že krivosť je číselná funkcia nadobúdajúca iba nezáporné hodnoty. Položme si

otázku, kedy nadobúda hraničnú hodnotu k(t) 0. Podľa definície (5.1) je to práve vtedy, keď

P(t) P(t) 0. Lenže vektorový súčin dvoch vektorov je nulový práve vtedy, keď sú

lineárne závislé, preto krivosť je nulová práve v inflexnom bode krivky. To spolu s

alternatívnym názvom „flexia“ pre krivosť a s predponou „in“, ktorá často vyjadruje zápor,

spätne objasňuje názov „inflexný bod“ ( nekrivý bod bod bez krivosti bod s nulovou

krivosťou).

Vzorcom (5.1) môžeme krivosť určiť nielen pre priestorové ale aj pre rovinné krivky. Stačí

bod P(t) = (x(t), y(t)) krivky v rovine považovať za bod v priestore so súradnicami (x(t),

y(t), 0). Vtedy ,0,0()()( tPtPyx

yx

), preto pre krivosť rovinnej krivky platí

(5.2) 2322 yx

yx

yx

k

.

Špeciálnym prípadom rovinnej krivky je graf funkcie y = f(x). Jej parametrické vyjadrenie je

P(t) = (t, f(t)), preto z (5.2) vyplýva

(5.3) 2321 f

fk

.

Úloha 5.1

Presvedčite sa, že priamka má v každom bode nulovú krivosť.

31

(Pre parametrické vyjadrenie priamky P(t) = A tu totiž platí P(t) 0.)

Úloha 5.2

Presvedčite sa, že kružnica s polomerom r má konštantnú krivosť k = 1/r.

V neinflexnom bode krivky definujeme ďalšie objekty súvisiace s krivosťou:

polomer krivosti r = 1/k,

stred krivosti S = P + rn,

oskulačná kružnica: leží v oskulačnej rovine a je určená stredom krivosti a

polomerom krivosti krivky (obr. 5.1).

Príklad 5.1

Elipsa P(t) = (acost, bsint), a > b. Platí

P(t) = (–asint, bcost), P(t) = (–acost, –bsint),

232222 cossin

)(tbta

abtk

.

Krivosť je extrémna pre t = 0, /2, , …., stačí hľadať extrémy funkcie a2sin

2t b

2cos

2t.

Vidíme teda, že elipsa má extrémnu krivosť práve vo vrcholoch. Pre polomery krivosti vo

vrcholoch zrejme platí rmin = r(0) = b2/a, rmax = r(/2) = a

2/b. Na týchto rovnostiach je

založená konštrukcia stredov oskulačných kružníc vo vrcholoch elipsy (Na obr. 5.2 si

všimnite podobnosť dvoch vhodných pravouhlých trojuholníkov).

1.Oskulačná kružnica v hlavnom vrchole elipsy leží vnútri elipsy, vo vedľajšom vrchole leží zvonka. V

zvyšných bodoch elipsa prechádza z jednej strany oskulačnej kružnice na druhú, čo ostatne platí pre

väčšinu bodov väčšiny kriviek. Podrobnejšie v priloženom článku Božek, M.: O nesprávnej predstave

oskulačnej kružnice rovinnej krivky.

2. Interpretujte výsledok príkladu 5.1 pre a b r. Opätovne sa pozrite na úlohu 5.2.

Príklad 5.2

Parabola s rovnicou y2 2px = 0:

P(t) = (t2/(2p), t), P(t) = (t/p, 1), P(t) = (1/p, 0),

2322

2

)(tp

ptk

, kmax = k(0) = 1/p, .0)(lim

tk

t

Získané výsledky môžeme neformálne povedať takto: Parabola je najviac zakrivená vo

vrchole. Keď sa od neho vzďaľujeme, zakrivenie klesá k nule, parabola je čoraz viac

„rovnejšia“.

Ohnisko paraboly je stredom dvojice bodov (vrchol paraboly, stred oskulačnej kružnice vo

vrchole) (obr. 5.3), lebo v súradniciach vrchol V P(0) (0, 0), ohnisko F (p/2, 0) a stred

oskulačnej kružnice vo vrchole S(0) (p, 0). Pre stred S(0) je potrebné poznať vektor

(hlavnej) normály n(0) (1, 0), ktorý najľahšie určíme druhým zo vzorcov (3.3).

Príklad 5.3

Hyperbola P(t) = (acosht, bsinht). Platí

P(t) = (asinht, bcosht), P(t) = (acosht, bsinht),

32

232222 coshsinh

)(tbta

abtk

.

Polomer krivosti je extrémny vo vrchole P(0): rmin = r(0) = b2/a, z čoho vyplýva konštrukcia

stredu oskulačnej kružnice vo vrchole hyperboly (obr. 5.4).

Porovnajte štruktúry výrazov pre krivosť hyperboly a elipsy.

Príklad 5.4

Oblúk cykloidy P(t) = (a(t – sint), a(1 – cost)), t(0, 2). Platí

P(t) = (a(1–cost), asint), P(t) = (asint, acost),

.cos122

1)(

tatk

a

kk4

1)(min ,

)(lim)(lim

20tktk

tt .

Ďalšia veta hovorí o výraznom zjednodušení vzorca pre krivosť, keď krivka je vyjadrená v prirodzenej

parametrizácii

Veta 5.1

Krivosť krivky v prirodzenej parametrizácii P(s):

k(s) = P(s) (PP)

Dôkaz. Zo známeho vzorca

(5.4) a b2 (aa)(bb) (ab)

2

a z vzorca (4.5) dostaneme P(s) P(s) = P(s) P(s) . Ďalej P(s) = 1 (vzorec (4.4)),

preto P(s) P(s) = P(s). Z definície krivosti a opäť zo vzorca (4.4) vyplýva k(s) = P(s).

V nasledujúcom príklade budeme pracovať s (neurčitým) integrálom vektorovej

funkcie. Pritom integrál z vektorovej funkcie je bodová alebo vektorová funkcia, ktorej

súradnice vzniknú integrovaním súradníc pôvodnej funkcie. Typ výsledku (bod alebo vektor)

určujeme z kontextu. Prakticky je typ výsledku daný typom integračnej konštanty.

Príklad 5.5

Krivka s nulovou krivosťou v každom bode je priamka, polpriamka alebo úsečka. Naozaj, pre

krivku s identicky nulovou krivosťou platí P(s) = 0 pre všetky s. (V duchu poznámky 4.2

sme automaticky prešli k prirodzenej parametrizácii.) Uvedenú rovnosť budeme dvakrát

integrovať. Prvým integrovaním dostávame, že vektor P(s) je konštantný, označíme ho u:

P(s) = u. (Výsledok musí byť typu vektor, lebo P(s) je vektor.) Po druhom integrovaní

máme P(s) us C, pričom integračná konštanta C je bod, lebo ľavá strana je bod. Výraz

us C nie je zapísaný celkom korektne, správna podoba je C su. Teda P(s) C su, čo je

parametrické vyjadrenie priamky, polpriamky alebo úsečky v závislosti od definičného oboru

funkcie P(s).

Poznamenajme ešte, že vektor u je jednotkový, lebo pre prirodzenú parametrizáciu

platí P(s) 1a v našom prípade P(s) = u.

33

Výsledok predchádzajúceho príkladu vyjadruje heslo: Krivka so všade nulovou krivosťou je priamka.

Nech P(s), sI je prirodzená parametrizácia krivky v rovine. Symbolom Q(s) označíme stred

kružnice, ktorá prechádza bodmi P(s) a P(s0) a má s krivkou v bode P(s0) spoločnú dotyčnicu

(na obr. 5.6 je ten bod označený ako S(s, s0)).

Dôkaz nasledujúcej vety je dosť namáhavý, preto ho môžete vynechať. Samotná veta je ale veľmi

dôležitá, lebo opisuje vznik oskulačnej kružnice geometrickým postupom, nezávisle od parametrického

vyjadrenia krivky.

Veta 5.2 (Geometrická interpretácia oskulačnej kružnice.)

V neinflexnom bode P(s0) je limitou bodovej funkcie Q(s) pre s idúce k s0 stred S(s0)

oskulačnej kružnice krivky.

Dôkaz. Pretože krivka a uvažovaná kružnica majú v spoločnom bode P(s0) totožné dotyčnice,

bod Q(s) leží na normále krivky v bode P(s0), teda Q(s) = P(s0) + f(s)n(s0). Aby sme získali

limitu bodovej funkcie Q(s) = P(s0) + f(s)n(s0), stačí vypočítať limitu číselnej funkcie f(s).

Číslo f(s) vyjadríme z podmienky P(s) Q(s) = P(s0) Q(s), ktorá je ekvivalentná s rovnicou

|[Q(s) – P(s0)] + [P(s0) – P(s)]| = |Q(s) – P(s0)| ,

teda s rovnicou

([Q(s) – P(s0)] + [P(s0) – P(s)])2 = (Q(s) – P(s0))

2 ,

kde druhá mocnina je v zmysle skalárneho súčinu: a2 aa. Upravíme mocniny a vyriešime

)()()(2

)()()(

00

2

0

ssPsP

sPsPsf

n

.

Limita čitateľa aj menovateľa zlomku pre f(s) je nulová, použijeme preto l'Hospitalovo

pravidlo

)()(2

)()()(2lim

)()()(2

)()(lim)(lim

0

0

00

2

0

ssP

sPsPsP

ssPsP

sPsPsf

ooo ssssss nn

Pretože limita čitateľa aj menovateľa posledného zlomku je opäť nulová, po krátení dvomi

pokračujeme ešte raz l'Hospitalovým pravidlom

)()(

)()()()()(lim)(lim

0

0

ssP

sPsPsPsPsPsf

oo ssss n

)()(

1

)()(

)(0

000

2

0sr

skssP

sP

n

Predposledná rovnosť je dôsledkom základných vlastností prirodzenej parametrizácie:

P(s0) = 1 a P(s0) = k(s0) n(s0).

Získali sme geometrickú interpretáciu oskulačnej kružnice krivky a následne aj interpretáciu krivosti:

Oskulačná kružnica v bode krivky je spomedzi všetkých kružníc prechádzajúcich bodom krivky tá,

ktorá je k danej krivke v tomto bode najtesnejšie priložená. Krivosť krivky je prevrátená hodnota

polomeru oskulačnej kružnice.

34

Lekcia 6

V tejto lekcii ukončíme štúdium kriviek. Budeme v nej skúmať dve krivky, ktoré majú spoločný bod.

Budeme ich skúmať z hľadiska, ako tesne sú jedna k druhej priložené.

6. Styk kriviek

Dve krivky majú v spoločnom bode M styk rádu (aspoň) k 0, 1, ... práve vtedy, keď existujú

také ich parametrizácie P1(t), P2(t) a čísla t1, t2, že

(6.1a) P2(t2) = P1(t1) M

(6.1b) P2(i)

(t2) = P1(i)

(t1) pre všetky i = 1, …, k.

Vtedy tiež hovoríme, že bodové funkcie P1(t) a P2(t) majú v číslach t1, t2 styk rádu k.

Pre zadané parametrizácie P1(t), P2(t) kriviek platí: ak sú podmienky (6.1a) a (6.1b) splnené, krivky

majú styk rádu k. Ak však tieto podmienky splnené nie sú, nemožno ešte tvrdiť, že krivky nemajú styk

rádu k. Podmienky by totiž mohli byť splnené pre inú dvojicu parametrických vyjadrení kriviek. Určiť

rád styku na základe zadaných parametrizácií kriviek čiastočne umožní veta 6.3.

Poznámky 6.1

1. Styk rádu 0 je nezaujímavý, lebo znamená iba to, že krivky majú spoločný bod.

2. Ak majú dve krivky v danom bode styk istého rádu, tak zrejme majú aj styk všetkých

nižších rádov.

3. Dá sa dokázať, že ak majú dve krivky styk rádu k1, tak podmienky (6.1.a) a (6.1b) sú

splnené pre ich prirodzené parametrizácie, ktoré spoločnú dotyčnicu orientujú rovnako.

4. Dá sa dokázať, že pre súhlasne orientované prirodzené parametrizácie Q1(s) a Q2(s) dvoch

kriviek so spoločným bodom M Q1(0) Q2(0) platí: Krivky majú v bode M styk rádu

k1 práve vtedy, keď

0)()(

lim21

0

ks s

sQsQ

Odtiaľ vyplýva geometrický význam rádu styku kriviek: Pre k 1 rád styku dvoch kriviek

vyjadruje, ako rýchlo sa zužuje medzera medzi dvomi krivkami, keď sa k ich spoločnému

bodu približujeme po oboch krivkách z rovnakej strany tak, že v každom momente sú úseky

kriviek od spoločného bodu k približujúcim sa bodom na oboch krivkách rovnako dlhé.

5. Dá sa dokázať: Ak parametricky zadané krivky P1(t) a P2(t) majú v spoločnom bode

M P1(t1) = P2(t2) styk rádu k, tak pre každé u1R existuje taká substitúcia t (u), že

t1 (u1) a pre zmenenú parametrizáciu prvej krivky Q1(u) P1((u)) platí

Q1(i)

(u1) = P2(i)

(t2) pre všetky i = 1, …, k.

35

6. V technických aplikáciách a v počítačovej grafike spravidla vystačíme so stykom rádu 2,

preto sa v ďalšom obmedzíme iba naň, o styku vyššieho rádu ako 2 sa zmieňujeme len v

poznámke 6.2.2. Teória styku ľubovoľného rádu k 2 by bola oveľa náročnejšia.

Veta 6.1

a) Ak krivky majú styk rádu 1, tak v spoločnom bode majú spoločnú dotyčnicu.

b) Ak krivky majú styk rádu 2, tak v spoločnom neinflexnom bode majú spoločnú dotyčnicu,

oskulačnú rovinu, hlavnú normálu, binormálu, vektor krivosti, krivosť a oskulačnú kružnicu.

Dôkaz. Uvedené objekty sa dajú vyjadriť prvými deriváciami (pre styk rádu 1) resp. prvými a

druhými deriváciami (pre styk rádu 2). Keďže sa tieto derivácie pre vhodné parametrické

vyjadrenia oboch kriviek navzájom rovnajú, rovnaké sú aj spomínané objekty.

Úloha 6.1

Odhadnite rád styku kriviek z obr. 6.1 a 6.2.

Nasledujúca veta charakterizuje dotyčnicu a oskulačnú kružnicu krivky prostredníctvom ich styku s

krivkou.

Veta 6.2

a) Priamka má s krivkou styk rádu 1 práve vtedy, keď je dotyčnicou krivky.

b) Kružnica má s krivkou v jej neinflexnom bode styk rádu 2 práve vtedy, keď je oskulačnou

kružnicou krivky.

Dôkaz. a) Ak má krivka s priamkou styk rádu 1, tak podľa vety 6.1a má krivka a priamka

spoločnom bode rovnakú dotyčnicu. Lenže dotyčnicou priamky je ona sama, preto daná

priamka je dotyčnicou danej krivky.

Naopak, majme ľubovoľnú krivku P1(t) a jej (regulárny) bod P1(t0). Dotyčnicu v bode P1(t0)

vyjadríme parametricky takto: P2(t) P1(t0) (t t0)P1(t0). Zrejme P2(t0) P1(t0) a P2(t0)

P1(t0), preto má krivka s dotyčnicou styk rádu 1.

b) Ak má krivka s kružnicou styk rádu 2, tak podľa vety 6.1b má krivka a kružnica v spo-

ločnom bode rovnakú oskulačnú kružnicu. Lenže oskulačnou kružnicou kružnice je ona sama,

preto daná kružnica je oskulačnou kružnicou danej krivky.

Naopak, majme ľubovoľnú krivku a jej neinflexný bod. Podľa vety 4.3 môžeme dosiahnuť, že

krivka je vyjadrená prirodzenou parametrizáciou, označme ju Q1(s), a že uvažovaný bod je

Q1(0). Ako vieme z kapitoly 5, oskulačná kružnica v bode Q1(0) má polomer r(0) 1/k(0) a

stred S(0) Q1(0) n(0)/k(0). V sústave súradníc so začiatkom v bode S(0) a so

súradnicovými vektormi n(0), t(0) definujme krivku

sk

ksk

ksQ )0(sin

)0(

1,)0(cos

)0(

1)(2

To je v prirodzenej parametrizácii vyjadrená kružnica so stredom S(0) a s polomerom 1/k(0),

pozri príklad 4.5, teda oskulačná kružnica krivky Q1(s) v bode Q1(0). Ľahko zistíme, že

Q2(0) (1/k(0), 0),

Q2(0) (0, 1) t(0),

Q2(0) (k(0), 0) k(0)n(0).

Pretože Q1(0) S(0) n(0)/k(0) (1/k(0), 0), platí Q2(0) Q1(0). Z rovností t(0) Q1(0) a

k(0)n(0) Q1(0) (pozri vzorce (4.6a), (4.6b) a vetu 5.1a), dostávame Q2(0) Q1(0) a

36

Q2(0) Q1(0). Vidíme teda, že oskulačná kružnica Q2(s) krivky Q1(s) má s krivkou Q1(s)

styk rádu 2.

Úloha 6.2

Dokážte: a) Krivka má s priamkou styk rádu 2 práve vtedy, keď priamka je dotyčnicou a bod

dotyku je inflexným bodom krivky. b) Kružnica má s krivkou v jej neinflexnom bode styk rádu 3 práve vtedy, keď kružnica je

oskulačnou kružnicou a krivosť krivky v spoločnom bode má nulovú deriváciu. (Taký bod sa

nazýva vrchol krivky). c) Presvedčite sa, že vrcholmi kužeľosečiek (elipsa, hyperbola a parabola, príklady 1.3, 1.5

a 1.6) sú práve ich vrcholy v elementárnom zmysle, teda priesečníky kužeľosečiek s osami.

Definícia styku sa nehodí na zisťovanie styku konkrétnych kriviek, preto si pomáhame nasledujúcou

vetou 6.3. V jej dôkaze budeme intenzívne využívať vzťahy pre derivácie zloženej funkcie, ktorá vzniká

pri zmene parametrického vyjadrenia krivky P(t) substitúciou t (u):

(6.2a) Q(u) P ((u)) (u)

(6.2b) Q(u) P ((u)) (u)2 P ((u)) (u)

Skrátene a prehľadnejšie ich zapisujeme takto:

(6.2c) Q(u) P (t) (u)

(6.2d) Q(u) P (t) (u)2 P (t) (u)

Vzorce (6.2b) resp. (6.2d) získame derivovaním rovností (6.2a) resp. (6.2c) podľa premennej u. Pritom

nesmieme zabudnúť, že P (t) P ((u)) je tiež zložená funkcia s vnútornou zložkou (u), preto

[P ((u))] P ((u)) (u).

Veta 6.3 (Beta podmienky styku rádu 2)

Krivky P1(t) a P2(t) majú v spoločnom bode M P1(t1) = P2(t2) styk rádu 2 práve vtedy, keď

existujú také čísla 1 a 2, že 1 0 a

(6.3a) P2(t2) = 1 P1(t1),

(6.3b) P2(t2) = 12

P1(t1) + 2 P1(t1).

Dôkaz. Nutná podmienka (implikácia ). Podľa poznámky 6.1.5 existuje taká substitúcia

t (u), že (0) = t1 a pre nové parametrické vyjadrenie Q1(u) = P1((u)) prvej krivky platí

(6.4) Q1(0) = P2(t2) a Q1(0) = P2(t2)

Označme 1 (0) a 2 (0). Zrejme 1 0. Z rovností (6.4) a (6.2a), (6.2b) ihneď máme

P2(t2) = P1(t1) 1(0) 1

P1(t1)

P2(t2) = P1(t1) 1(0)

2 + P1(t1)

1(0) 12

P1(t1) + 2 P1(t1).

Postačujúca podmienka (implikácia ). Predpokladáme teda, že sú splnené podmienky (6.3a)

a (6.3b). Zmeňme parametrizáciu prvej krivky P1(t) na R1(u) prostredníctvom substitúcie

t (u) t1 + 1(u t1) + (2/2)(u t1)2 + c(u t1)

3

kde c je nenulová konštanta s rovnakým znamienkom ako 1. Zvolíme ju tak, aby derivácia

(6.5) (u) 1 + 2(u t1) + 3c(u t1)2

37

bola nenulová pre všetky u. (Dá sa dokázať, že také číslo c existuje). Vtedy (t1) 1 a

(t1) 2. Pre funkciu

Q1(u) = P1((u)) = P1(t1 + 1(u t1) + (2/2)(u t1)2 + c(u t1)

3)

zrejme platí P2(t2) = Q1(t1). Z pravidiel (6.2c) a (6.2d) pre deriváciu zloženej funkcie, z

predpokladov (6.3a) a (6.3b) a z rovností 1 (t1) a 2 (t1) vyplývajú rovnosti P2(t2) =

Q1(t1) a P2(t2) = Q1(t1), preto uvažované krivky majú styk rádu 2.

Konštantu c zo vzorca (6.5) treba voliť tak, aby kvadratická rovnica 3cx2 + 2x + 1 0 nemala reálne

riešenie, teda tak, aby jej diskriminant 22 12c1 bol záporný. Pretože c1 0, také číslo c existuje,

napr. c (12 2

2)/(121). Preň je splnená aj podmienka sgn c sgn 1.

Poznámky 6.2

1. Podmienky (6.3a) a (6.3b) prepísané do súradníc predstavujú v rovine 4 rovnice s dvomi

neznámymi 1 a 2 a v priestore 6 rovníc s dvomi neznámymi. Pritom vo vete 6.3 nejde

o hodnoty neznámych, ale o riešiteľnosť sústavy.

2. Podmienky styku rádu 2 majú analogickú štruktúru ako vzorce pre výpočet prvej a druhej

derivácie zloženej funkcie. Vzhľadom na dôkaz vety 6.3 táto podobnosť nie je náhodná, preto

možno dokázať, že platí aj pre styk rádov vyšších ako 2. Napríklad pre styk rádu 3 k

podmienkam (6.3a) a (6.3b) pribudne ešte podmienka

(6.3c) P2(t2) = 13

P1(t1) + 312 P1(t1) + 3 P1(t1).

Pravá strana podmienky (6.3c) súvisí so vzorcom pre tretiu deriváciu zloženej funkcie

P((u)) (u)3 P((u)) + 3 (u) (u) P((u)) + (u) P((u))

pričom za 1 sa berie (u), za 2 (u) a za 3 (u).

Úloha 6.3

Dokážte, že grafy funkcií y f(x) a y g(x) majú v bode x0 styk rádu 2 práve vtedy, keď

f(x0) g(x0), f(x0) g(x0) a f(x0) g(x0). [Návod: Všimnite si prvú súradnicu beta

podmienok styku.]

Styk kriviek má v počítačovej grafike veľmi významnú aplikáciu v podobe geometrickej

hladkosti krivky spojenej z dvoch segmentov: Nech pre krivky P1(t), ta,b a P2(t), tb,c

platí P1(b) = P2(b). Vtedy definujeme spojenú krivku P(t), ta,c (obr. 6.3):

(6.6) P(t) = P1(t) pre ta,b a P(t) = P2(t) pre tb,c.

Spojená krivka je geometricky hladká rádu 2 (v grafike sa častejšie hovorí geometricky

spojitá rádu 2), ak krivka P1(t) a krivka P2(t) majú v spoločnom bode P1(b) = P2(b) styk rádu

2.

Často sa spájajú krivky P1(t) a P2(t) so spoločným definičným oborom 0,1, pre ktoré P1(1) = P2(0).

Vtedy sa definícia spojenej krivky P(t), t0,2 upraví takto

(6.6a) P(t) = P1(t) pre t0,1 a P(t) = P2(t 1) pre t1,2.

Lineárnou transformáciou parametra môžeme dosiahnuť, že aj spojená krivka je definovaná na 0,1.

Nasledujúca veta je priamym dôsledkom vety 6.3.

Veta 6.4

38

Spojená krivka daná predpisom (6.6) je geometricky hladká rádu 2 práve vtedy, keď existujú

také čísla 1 a 2, 1 0, že

(6.7a) P2(b+) = 1 P1(b),

(6.7b) P2(b+) = 12

P1(b) + 2 P1(b).

1. Na ľavých stranách rovností (6.7a), (6.7b) vystupujú derivácie sprava a na pravých stranách

derivácie zľava: f (b) je derivácia funkcie f(x) v bode b sprava, čo znamená, že limita vystupujúca

v definícii derivácie sa zamení za limitu sprava, teda pre x b.

2. Podmienka 1 0 vyjadruje skutočnosť, že krivky P1(t) a P2(t) sú v spoločnom bode P1(b) = P2(b)

rovnako orientované, teda že druhá krivka vychádza zo spoločného bodu v rovnakom smere, v akom

do neho vošla prvá.

3. Parametrické vyjadrenie (6.6) zloženej krivky geometricky hladkej rádu 2 nemusí byť hladké

v zmysle prvej kapitoly, lebo nie je zaručená existencia derivácií P(b) a P(b). Ak však nahradíme

parametrické vyjadrenia úsekov krivky parametrickými vyjadreniami, o ktorých sa hovorí v definícii

styku kriviek resp. v poznámke 6.1.5, nové parametrické vyjadrenie spojenej krivky bude hladké triedy

C2. Nemusí však už byť hladké triedy C

3.

Úvahy s spojenej krivke sú jediným miestom v celom kurze, kde sa pracuje s hladkosťou

menšou ako C.

4. V počítačovej grafike sa vyskytuje aj parametrická hladkosť zloženej krivky: Zložená krivka P(t)

daná predpisom (6.6) je parametricky hladká rádu 2 práve vtedy, ak ľavostranné derivácie prvého

a druhého rádu prvého segmentu krivky v čísle b sa rovnajú odpovedajúcim pravostranným

deriváciám druhého segmentu krivky v čísle b. Vtedy je parametrizácia (6.6) hladká funkcia triedy C2.

Zo vzorcov (6.7a) a (6.7b) ihneď vidíme, že parametrická spojitosť zloženej krivky je špeciálnym

prípadom geometrickej spojitosti, a to pre 1 1 a 2 0.

Zložené krivky s geometrickou hladkosťou rádu 2 sa používajú napr. pri projektovaní

zákrut v dopravnom, najmä v železničnom staviteľstve. Z hľadiska geometrie ide o hladké

prepojenie úsečky s kruhovým oblúkom. Prepájajúca krivka sa nazýva prechodnica. U nás sa

ako prechodnica najčastejšie používa klotoida. Bližšie informácie o nej môžete vyhľadať

napr. na stránke http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Clothoid_dir/clothoid.html.

Vyhľadať ju môžete tiež pod názvom Eulerova špirála alebo Cornuova špirála.

Základná vlastnosť klotoidy je, že krivosť je priamo úmerná dĺžke, t.j. v prirodzenej

parametrizácii pre ňu platí k(s) cs. Práve to je podstatou jej využitia ako prechodnice: Na

koniec rovného úseku dráhy priložíme bod klotoidy s krivosťou 0 a na začiatok kruhového

oblúka s polomerom r bod s krivosťou 1/r. Pritom samozrejme dbáme na to, aby krivky mali

v spoločných bodoch aj spoločné dotyčnice. Rovnaká krivosť v bode prepojenia dvoch

kriviek z hľadiska mechaniky znamená, že pri konštantnej skalárnej rýchlosti nepôsobia na

pohybujúci sa objekt v momente prechodu z jednej krivky na druhú nežiaduce rázové sily.

Obzvlášť dôležité je to pri pohybe po koľajniciach.

39

Obrázky ku krivkám

40

41

42

Úlohy k lekciám 1 – 6

Úlohy k lekcii 1

Uvažujme bodovú funkciu

22

2

12 ,

1

1)(

t

tb

t

tatP , tR.

a) Dokážte, že každý bod P(t) leží na elipse s rovnicou x2/a

2 y

2/b

2 1 0.

Návod: Dosaďte ...

b)Vypočítajte limitu P(t) pre t idúce do a pre t idúce do .

Návod: Zlomok x(t) a(1 t2)/(1 t

2) rozšírte výrazom 1/t

2.

Úlohy k lekcii 2

Vyriešte jednu z nasledujúcich troch úloh:

Úloha 2.2 a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice astroidy

P(t) = (acos3t, asin

3t), t0, 2

v jej ľubovoľnom regulárnom bode.

b) Dokážte, že súradnicové osi vytínajú na všetkých dotyčniciach astroidy úsečky s rovnakou

dĺžkou (obr. 1.9).

(Pekné úlohy o astroide sú aj úlohy 2.2 c), d) z lekcie 2, nie sú však povinné.)

Úloha 2.3 a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice traktrixy

P(t) = (a(ln tg t/2 + cost), asint), t(0, )

v jej ľubovoľnom bode P(t), t /2.

b) Vypočítajte priesečník Q(t) dotyčnice krivky v bode P(t) so súradnicovou osou x.

b) Dokážte, že úsek od bodu dotyku po os x má na všetkých dotyčniciach traktrixy rovnakú

dĺžku (obr. 1.8). Teda P(t) Q(t) konšt.

Úloha 2.4 a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice skrutkovice

P(t) = (acost, asint, bt), t(, +)

v jej ľubovoľnom bode.

b) Presvedčte sa, že všetky dotyčnice skrutkovice zvierajú s osou skrutkovice rovnaký uhol.

Úlohy k lekcii 3

Daná je krivka

P(t) = (cos3t, sin

3t, cos2t), t0, ½

a) Určite všetky inflexné body krivky.

b) Vypočítajte v ľubovoľnom neinflexnom bode krivky vektory t, n, b, Frenetovho trojhranu.

43

Úlohy k lekcii 4

Pracujeme s reťazovkou

a

tattP cosh ,)( , tR

Potrebné vlastnosti funkcií y coshx a y sinhx nájdete v príklade 1.5 z lekcie 1.

a) Vypočítajte dĺžku krivky medzi bodmi P(t1) a P(t2), t1 t2.

Výsledok: a(sinh(t2/a) sinh(t1/a)).

b) Nájdite substitúciu t (s), (0) 0, ktorá zmení parametrizáciu reťazovky na prirodzenú

parametrizáciu Q(s) = P((s)).

Výsledok by mal byť a

assat

22

ln

.

Návod: Úloha je náročnejšia. Postupujte podľa dôkazu vety 4.3.

Kontrolné etapy:

P(t) cosh(t/a),

(t) s0(t) asinh(t/a),

Pri hľadaní inverznej funkcie k funkcii s (t) riešime rovnicu s asinh(t/a) s neznámou t.

Inverzná funkcia pre y sinhx sa nachádza v príklade 1.5 lekcie 1.

Úlohy k lekcii 5

Vypočítajte krivosť kriviek

a) skrutkovica P(t) = (acost, asint, bt), t(, +) k(t) = a/(a2 + b

2),

b) jeden oblúk astroidy P(t) = (acos3t, asin

3t) t(0, /2). k(t) = 1/(3acost sint)

A na záver všetečná otázka, na ktorú nemusíte odpovedať:

Prečo nepočítame krivosť celej astroidy, teda pre t0, 2?

Úlohy k lekcii 6

Presvedčite sa, že oskulačná kružnica v hlavnom vrchole P(0) = (a, 0) elipsy P(t) = (acost,

bsint) má s elipsou styk rádu 3.

Návod V hlavnom vrchole P(0) = (a, 0) elipsy platí n(0) (1, 0), r(0) b2/a, preto oskulačná

kružnica v tomto bode má parametrické vyjadrenie

Q(t) = (a b2/a b

2/a

cost, b

2/a

sint)

Zrejme P(0) = Q(0). Pri skúmaní styku kriviek P(t) a Q(t) využite vetu 6.3 a rovnicu (6.3c) z

poznámky 6.2.2. Treba teda ukázať, že sústava troch vektorových rovníc

Q(0) = 1 P(0)

Q(0) = 12

P(0) + 2 P(0) ()

44

Q(0) = 13

P(0) + 312 P(0) + 3 P(0)

s neznámymi reálnymi číslami 1, 2 a 3 má riešenie, pričom 1 0.

Poznámka 6.2.1 hovorí, že sústave () máme 6 rovníc (za každú vektorovú rovnicu dve

číselné – súradnice vektorov) pre 3 neznáme. Sústava 6 rovníc s tromi neznámymi má

riešenie iba pri splnení istých podmienok. V geometrickej podobe tie podmienky hovoria, že

oskulačná kružnica a krivka majú styk vyššieho rádu (a to 3), ako zaručuje teória (veta 6.2b

zaručuje styk rádu 2).

Z rovníc sústavy () postupne vypočítame 1 ... 0, 2 ... a 3 ... . Podstatné je

skontrolovať, že vypočítané hodnoty neznámych vyhovujú všetkým šiestim rovniciam!

Rovnaké tvrdenie platí aj vo vedľajšom vrchole elipsy, teda oskulačné kružnice vo vrcholoch elipsy

majú s elipsou styk rádu 3. Dá sa dokázať, že vo všetkých ďalších bodoch elipsy má oskulačná

kružnica s elipsou styk presne rádu 2, teda nemá tam styk rádu 3. Inými slovami: Oskulačná kružnica

elipsy má s krivkou styk rádu 3 práve vo vrcholoch.

Nasledujúci komentár nepatrí základnému učivu, môžete ho ignorovať.

Tvrdenie, že oskulačná kružnica vo vrchole elipsy má s elipsou styk rádu 3 sa zmôže zdať rozporné

s vetou 6.2b, podľa ktorej má oskulačná kružnica v každom bode elipsy s elipsou styk rádu 2.

V skutočnosti tam žiadny rozpor nie je, lebo z definície styku bezprostredne vyplýva: Ak majú dve

krivky v spoločnom bode styk rádu 3, tak majú aj styk rádu 2 (a tiež aj styk rádu 1). Inými slovami, ak

povieme, že dve krivky maj v spoločnom bode styk rádu 2, nevylučujeme tým, že v tom bode majú styk

rádu 3, prípadne ešte vyšší.

Skutočnosť, že vo vrcholoch elipsy má oskulačná kružnica s elipsou lepší styk ako v iných jej bodoch,

nie je náhodná. Aby sme to vysvetlili, najprv definujeme vrchol ľubovoľnej krivky ako bod so

stacionárnou krivosťou, teda ako bod, v ktorom má krivosť krivky deriváciu rovnú nule: k(t) 0. Dá

sa dokázať, že o vrcholoch krivky platí:

1. Vrcholmi kužeľosečiek (elipsy, hyperboly a paraboly) v tomto rozšírenom zmysle sú práve ich

vrcholy v bežnom zmysle. (Dôkaz je pomerne ľahký, môžete sa do neho smelo pustiť. Nadviažete na

príklady 5.1, 5.2 a 5.3)

2. Vo vrchole krivky má oskulačná kružnica s krivkou styk rádu (aspoň) 3. (Dôkaz je už ťažší.)

3. Ak má krivka os súmernosti, tak priesečník krivky s jej osou súmernosti je vrchol krivky. (Tu už je

dôkaz pomerne ťažký.)

Neskúsite nájsť vrcholy cykloidy alebo astroidy či reťazovky? Ak sa do toho dáte, tak sa najprv

podívajte, čo všetko sme o cykloide zistili v príklade 5.4.

Riešenia naznačených tém z tohto komentára môžete pribaliť k riešeniu povinnej úlohy. Riešenie témy

č. 2 alebo 3 môže byť obsahom záverečného projektu.

45

Lekcia 7

V tejto lekcii začíname skúmať plochy. Budeme k nim pristupovať rovnako ako ku krivkám, teda na

základe ich parametrického vyjadrenia. Na rozdiel od kriviek, kde sme pracovali s

deriváciami bodových a vektorových funkcií jednej premennej, pre plochy sa používajú funkcie dvoch

premenných a ich parciálne derivácie.

Kapitoly a obrázky tohto tematického celku sa z technických dôvodov začínajú číslovať znova od

jednotky. Nemalo by to viesť k dvojznačnosti, lebo v kapitolách o plochách sa vyskytuje iba veľmi málo

priamych odkazov na lekcie týkajúce sa kriviek.

1. Parametrické vyjadrenie plochy

V diferenciálnej geometrii sa plochy najčastejšie zadávajú parametricky

prostredníctvom bodovej funkcie dvoch (číselných) premenných, teda pomocou zobrazenia

P: D E3, kde D je oblasť v číselnej rovine R

2.

Klasický zápis: P P(u,v), (u,v)D.

Pomocou súradníc: P(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)D, alebo

x x(u,v)

y y(u,v) (u,v)D,

z z(u,v)

kde x x(u,v), y y(u,v), z z(u,v) sú číselné funkcie premenných (u,v)D (obr. 1.1).

Čísla (u,v) nazývame parametrami bodu P(u,v).

Zjednodušene hovoríme o ploche P(u,v), (u,v)D.

Pod oblasťou v číselnej rovine rozumieme neprázdnu množinu D v R2

so súvislým

vnútrom, ktorej uzáver je uzáverom jej vnútra: DD int . Najčastejšími príkladmi oblastí sú

dvojrozmerné intervaly ako (a, b) (c, d), a, b (c, d), a, b c, d, ...

Analogicky sa definuje vektorová funkcia dvoch číselných premenných, napr.:

m(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)D

Parciálne derivácie bodových, vektorových a číselných funkcií zjednodušene

označujeme pomocou dolných indexov, napr.

2

22

2

2

, , , ,,,v

PP

vu

PP

u

PP

v

PPzyx

u

PP vvuvuuvuuuu

.

Parciálna derivácia Pu(u0,v0) bodovej funkcie je vektor. Je to dotykový vektor Q(u0) ku

krivke Q(u) P(u,v0), ktorá vznikla z funkcie P(u,v) dvoch premenných pre v v0.

Rovnako parciálna derivácia Pv(u0,v0) a derivácie vyšších rádov Puu(u0,v0), ... sú vektory resp.

vektorové funkcie Pv(u,v) Puu(u,v) premenných u a v.

V nasledujúcej kapitole budeme pomocou parciálnych derivácií Pu(u0,v0) a Pv(u0,v0) definovať

dotykovú rovinu plochy v bode P(u0,v0).

46

Pre počítanie s parciálnymi deriváciami bodových a vektorových funkcií platia obvyklé

pravidlá diferenciálneho počtu, napr. pravidlo o derivácii súčtu

(P(u,v) + a(u,v))u Pu(u,v) + au(u,v).

Od parametrického vyjadrenia P P(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)D plochy sa

vyžaduje, aby funkcia P(u,v) bola hladká a regulárna.

Hladkosť funkcie P(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) znamená, že pre ňu existujú a sú sapojité

parciálne derivácie všetkých rádov. To znamená, že existujú a sú sapojité parciálne derivácie

všetkých rádov súradnicových funkcií x(u,v), y(u,v), z(u,v), čo sú bežné číselné funkcie.

Regulárnosť funkcie P P(u,v) znamená, že vektory Pu a Pv sú lineárne nezávislé pre všetky

hodnoty premenných u a v. Ekvivalentne sa to vyjadruje jednou z podmienok

Pu Pv 0 pre všetky (u,v)

hodnosť Jacobiho matice

v

u

v

u

v

u

z

z

y

y

x

x

vu

zyx

),(

),,( je 2 všade

Pri preverovaní podmienky regulárnosti konkrétnej plochy sa najčastejšie používa vektor Pu Pv. Ešte

výhodnejšia je jeho dĺžka, lebo Pu Pv 0 práve vtedy, keď Pu Pv 0.

Všimnite si, že v riadkoch Jacobiho matice funkcie P sú súradnice vektorov Pu a Pv.

Príklad 1.1

Rovina parametricky vyjadrená parametrickými rovnicami, ktoré robre poznáme z analytickej

geometrie:

P(u,v) A + ua + vb, u,vR.

Zrejme Pu(u,v) a, Pv(u,v) b, preto uvedené parametrické vyjadrenie roviny je hladké

a regulárne.

Príklad 1.2

Graf funkcie dvoch premenných (obr. 1.2):

Číselná funkcia dvoch premenných z = f(x,y), (x,y)D určuje plochu P(u,v) (u, v, f(u,v)),

(u,v)D. Podmienka regulárnosti je splnená, lebo Pu (1, 0, fu) a Pv (0, 1, fv) a tieto

vektory sú zrejme lineárne nezávislé.

V počítačovej grafike sa plocha tvorená grafom funkcie dvoch premenných zvykne nazývať terén.

Príklad 1.3

Opäť rovina, teraz vyjadrená v podobe grafu lineárnej funkcie dvoch premenných:

z ax + by + c, x,y(, +).

Odpovedajúca parametrizácia roviny je P(u,v) (u, v, au + bv + c), u,v(, +).

Príklad 1.4

Eliptický a hyperbolický paraboloid (obr. 1.3.a,b)

Tieto dve plochy sú grafy kvadratických funkcií dvoch premenných

47

2

2

2

2

2

1

b

x

a

xz .

Eliptickému paraboloidu prislúcha súčet „+“, hyperbolickému rozdiel „–“. Napíšte

odpovedajúce parametrické vyjadrenia oboch paraboloidov.

Slovo „paraboloid“ v názvoch oboch plôch sa vysvetľuje skutočnosťou, že takmer všetky „zvislé“

roviny (teda roviny rovnobežné s treťou súradnicovou osou) pretínajú plochu v parabole. Slová

„eliptický“ resp. „hyperbolický“ vyjadrujú vlastnosti rezov plochy „vodorovnými“ rovinami.

Príklad 1.5

Rotačné plochy (obr. 1.4).

V priestore je daná karteziánska sústava súradníc Oxyz a v rovine Oxz krivka Q(u)

(x(u), z(u)) uI, pričom x(u) 0 pre všetky u. Rotáciou tej krivky okolo osi z pre všetky

hodnoty uhla v0,2 vznikne plocha s parametrickým vyjadrením

P(u,v) (x(u) cosv, x(u) sinv, z(u)), (u,v)I 0,2.

Krivka Q(u) sa nazýva profil rotačnej plochy.

Bod Q(u) (x(u), z(u)) z roviny Oxz má „priestorové“ súradnice (x(u), 0, z(u)). Pripomeňme rovnice

otočenia okolo osi Oz o uhol v:

x x cosv y sinv, y x sinv y cosv, z z,

Keď do nich dosadíme x x(u), y 0, z z(u), získame bod P(u,v) (x(u) cosv, x(u) sinv, z(u)).

Podmienka x(u) 0 v definícii rotačnej plochy znamená, že profilová krivka leží v „pravej“ polrovine

roviny Oxz. Na zaradenie tejto podmienky do definície sú dva dôvody:

1. Je zbytočné, aby profilová krivka zasahovala do „ľavej“ polroviny roviny Oxz, lebo v nej sa body

profilovej krivky ocitnú po otočení okolo osi z o uhol v .

2. Ak by sa body profilovej krivky nachádzali v ľavej aj pravej polrovine, krivka by pretínala

súradnicovú os z. Inými slovami, na profilovej krivke by ležal bod s nulovou súradnicou x. Lenže

odpovedajúci bod rotačnej plochy nespĺňa podmienku regulárnosti, lebo pre x(u) 0 platí

Pv(u,v) (x(u) sinv, x(u) cosv, 0) (0, 0, 0) 0.

Príklad 1.6

Guľová plocha (bez „severného a južného pólu“, obr. 1.5.a)

je rotačná plocha, ktorej profilom je polkružnica bez okrajových bodov Q(u) (rcosu, rsinu),

u(–/2, /2), teda x(u) r cosu, y(u) r sinu:

P(u,v) (r cosu cosv, r cosu sinv, r sinu), (u,v) (–/2, /2) 0,2.

Príklad 1.7

Torus alebo tiež anuloid (obr. 1.5.b)

je rotačná plocha, ktorej profilom je kružnica Q(u) = (a b cosu, b sinu), u0, 2, pričom

a b 0:

P(u,v) = ((a b cosu) cosv, (a b cosu) sinv, b sinu), (u,v) 0,2 0,2.

Úloha 1.1

Skúmajte hladkosť a regulárnosť torusu.

48

Príklad 1.8

Priamkové plochy (obr. 1.6):

V priestore je daná krivka Q(u), uI (riadiaca krivka priamkovej plochy) a všade nenulová

vektorová funkcia a(u), uI. Priamková plocha je vyjadrená funkciou

P(u,v) = Q(u) va(u), (u,v)IR.

Pri pevnom u a premennom v bod P(u,v) prebieha priamku určenú bodom Q(u) a vektorom

a(u). Táto priamka sa nazýva povrchová priamka (skrátene površka) priamkovej plochy. Platí

Pu(u,v) = Q(u) va(u), Pv(u,v) = a(u).

Aby bola splnená podmienka regulárnosti, definičný obor parametrického vyjadrenia

priamkovej plochy sa niekedy zmenšuje na interval IJ , kde J je vhodný interval na číselnej

osi.

Priamkovú plochu intuitívne chápeme ako vyjadrenie pohybu priamky v priestore: Pohybujúca

priamka je určená pohybujúcim sa bodom Q(u) a pohybujúcim sa vektorom a(u).

Nasledujú tri konkrétne príklady priamkových plôch. Upozorňujeme, že pojmy „valcová plocha“

a „kužeľová plocha“, ktoré sa bežne chápu ako „rotačná valcová plocha“ a „rotačná kužeľová

plocha“, sa v tomto texte ponímajú v širšom význame, keď určujúcou krivkou môže byť ľubovoľná

krivka, nielen kružnica.

Príklad 1.9

Valcová plocha (obr. 1.7)

je priamková plocha P(u,v) = Q(u) va(u), pre ktorú sú všetky vektory a(u) lineárne závislé.

Najjednoduchší prípad je, keď funkcia a(u) je konštantná. Môžeme to dosiahnuť vždy, stačí

vektor a(u), ktorý má konštantný smer, nahradiť vektorom a(u)/a(u). Ten má rovnaký smer

ako vektor a(u) a konštantnú dĺžku 1.

Všetky povrchové priamky valcovej plochy sú navzájom rovnobežné. Ak je riadiacou krivkou

kružnica ležiaca v rovine kolmej na smer površiek, vznikne rotačná valcová plocha.

Parametrické vyjadrenie rotačnej valcovej plochy ako rotačnej plochy s profilom Q(u) = (r,u),

uR je

P(u,v) = (r cosv, r sinv, u), (u, v) R 0,2.

Príklad 1.10

Kužeľová plocha (obr. 1.8)

je priamková plocha, ktorej všetky površky prechádzajú jedným bodom. Nazývame ho vrchol

kužeľovej plochy.

Kužeľovú plochu s vrcholom V môžeme parametricky vyjadriť napríklad v tvare

P(u,v) = Q(u) v(V – Q(u))

teda pre a(u) = V – Q(u). Iná možnosť je položiť a(u) Q(u) – V a za riadiacu krivku vziať

degenerovanú krivku R(u) V pre všetky u. Takto získame iné parametrické vyjadrenie

kužeľovej plochy

P(u,v) = V v(Q(u) – V)

Ak je riadiacou krivkou kružnica a vrchol V leží na priamke idúcej stredom kružnice kolmo

na rovinu kružnice, vznikne rotačná kužeľová plocha. Parametrické vyjadrenie rotačnej

kužeľovej plochy ako rotačnej plochy s profilom Q(u) = (u, cu), uR je

P(u,v) = (u cosv, u sinv, cu), (u, v) R 0,2.

49

Príklad 1.11

Ešte raz hyperbolický paraboloid.

V parametrickom vyjadrení z príkladu 1.4 P(u,v) = (u, v, ½(u2/a

2 v

2/b

2)), (u, v)R R

vykonajme substitúcie u = a(p q), v = b(p q). Dostaneme nové parametrické vyjadrenie

hyperbolického paraboloidu

Q(p,q) = (ap aq, bp bq, 2pq), (p, q)R R

Prepíšme ho do obvyklej symboliky P, u, v (teda namiesto Q napíšeme P atď.)

P(u,v) = (au av, bu bv, 2uv)

a upravme do tvaru bod plus vektor

(1.1) P(u,v) = (au, bu, 0) v(a, –b, 2u)

Zo vzorca (1.1) vyplýva, že hyperbolický paraboloid je priamková plocha určená riadiacou

krivkou Q(u) = (au, bu, 0) a vektorovou funkciou a(u) = (a, –b, 2u). Riadiaca krivka Q(u) je

priamka ležiaca v rovine súradníc x, y a povrchové priamky sú priečky mimobežných priamok

Q(u) = (au, bu, 0) a R(u) Q(u) a(u) = (a au, –b bu, 2u)

spájajúce bod Q(u) s bodom R(u). Všetky povrchové priamky sú rovnobežné s rovinou

x/a y/b = 0, lebo v nej ležia všetky vektory a(u) = R(u) Q(u) = (a, –b, 2u), uR.

Príklad 1.11 možno zovšeobecniť: Pre každé dve parametricky vyjadrené mimobežky Q(u) = A ua,

R(u) = B ub je priamková plocha, ktorej površky spájajú bod Q(u) s bodom R(u), hyperbolický

paraboloid.

Parametrické vyjadrenie uvažovanej priamkovej plochy je

P(u,v) Q(u) vR(u) Q(u) Q(u) v(B A) u(b a)

Všetky jej površky sú rovnobežné s rovinou, v ktorej ležia vektory B A a b a

Geometrickejšie to možno povedať aj takto: Dané sú dve mimobežné priamky a rovina s nimi

rôznobežná. Vtedy všetky priečky mimobežiek rovnobežné s danou rovinou sú povrchové priamky

hyperbolického paraboloidu. (Každú takú priečku zostrojíme tak, že vezmeme rovinu rovnobežnú s

danou rovinou, zostrojíme jej priesečníky s obomi mimobežkami a spojíme ich priamkou.)

50

Lekcia 8

Základnou metódou skúmania plôch bude štúdium vlastností kriviek, ktoré na tej ploche ležia. V tejto

kapitole si pripravíme niektoré nástroje na túto činnosť.

2. Krivky na ploche

Krivka na ploche P(u,v), (u,v)D sa zadáva tak, že za parametre u a v bodu plochy

sa dosadia funkcie premennej t, teda u = u(t), v = v(t), tI. Vznikne krivka s parametrickým

vyjadrením

(2.1) Q(t) = P(u(t), v(t)), tI.

Všetky jej body sú súčasne bodmi plochy. Rovnice

(2.2) u = u(t), v = v(t), tI

sa nazývajú parametrické rovnice krivky na ploche.

Krivka na ploche vznikne teda tak, že sa najprv vezme nejaká krivka R(t) = (u(t), v(t))

ležiaca v oblasti parametrov plochy D R2 a táto sa parametrizáciou P prenesie na plochu

(obr. 2.1).

Jednoduchými ale veľmi dôležitými príkladmi takých kriviek sú tzv. u–krivky Q(u) =

P(u,v0) a v–krivky R(v) = P(u0,v), ktoré sa spoločne nazývajú súradnicové krivky (obr. 2.2).

Názov u-krivka vyjadruje skutočnosť, že v parametrickom vyjadrení plochy ostala iba

premenná u, v je už konštanta. Podobne pre v-krivku.

Každým bodom plochy P(u0,v0) prechádza jedna u–krivka a jedna v–krivka.

Plochu si teda môžeme predstaviť ako v priestore rozloženú látku (oblek, záclonu, lietajúci koberec,

...) utkanú z u-kriviek a z v-kriviek. Ak z nekonečne veľa súradnicových kriviek vyberieme iba konečný

počet, získame tzv. drôtený model plochy (wire-frame model), ktorý je veľmi populárny v počítačovej

grafike. Je to matematický model takmer všetkých drotárskych výrobkov.

Príklad 2.1

Súradnicové krivky na rotačnej valcovej ploche.

u–krivkami na rotačnej valcovej ploche P(u,v) = (rcosv, rsinv, u), (u,v)(,)0,2 sú

povrchové priamky Q(u) = P(u,v0) = (rcosv0, rsinv0, u), u(,); v–krivkami sú kružnice

R(v) = P(u0,v) = (rcosv, rsinv, u0), v0,2 ležiace v rovinách z u0 0 kolmých na os z.

Príklad 2.2

Skrutkovica na rotačnej valcovej ploche.

Po substitúcii

u = at, v = t

51

do parametrického vyjadrenia rotačnej valcovej plochy P(u,v) = (rcosv, rsinv, u) vznikne

skrutkovica

Q(t) = (rcost, rsint, at)

ležiaca na uvažovanej ploche.

Príklad 2.3

Súradnicové krivky na paraboloidoch z príkladu 1.4 (obr. 1.3a,b)

Uvažujeme dve plochy s parametrickými vyjadreniami

(2.3) P(u,v) = (u, v, ½ (u2/a

2 ± v

2/b

2)), u,v(, +)

Pripomíname, že v alternatíve „±“ súčet „“ prislúcha eliptickému paraboloidu a rozdiel „“

hyperbolickému paraboloidu.

Na oboch paraboloidoch sú u–krivkami aj v–krivkami paraboly

Q(u) = P(u,v0) = (u, v0, ½ (u

2/a

2 ± v0

2/b

2)), u(, +)

R(v) = P(u0,v) = (u0, v, ½ (u02/a

2 ± v

2/b

2)), v(, +)

Z parametrického vyjadrenia v-krivky R(v) vidíme, že ide o rez plochy rovinou x u0 0.

Všetky v-krivky sú navzájom zhodné, lebo každá vznikne z paraboly P(0,v) (0, v, ±½ v2/b

2)

posunutím o vektor so súradnicami (u0, 0, ½ u02/a

2):

P(u0,v) = (u0, v, ½ (u02/a

2 ± v

2/b

2)) = (0, v, ±½ v

2/b

2) (u0, 0, ½ u0

2/a

2).

Eliptický aj hyperbolický paraboloid vzniká teda takto: V rovine y 0 máme danú parabolu

Q0(u) = (u, 0, ½ u2/a

2), u(, +)

a v rovine x 0 parabolu

R0(v) = (0, v, ±½ v2/b

2), v(, +)

Keď parabolu R0(v) posúvame v priestore tak, aby sa jej vrchol R(0) pohyboval po parabole

Q0(u), dostaneme v-krivky paraboloidu (2.3). Pritom pre eliptický paraboloid ležia obe

paraboly Q0(u) a R0(v) v jednom polpriestore vzhľadom na rovinu z 0 (osi parabol sú

rovnako orientované), pre hyperbolický paraboloid ležia paraboly Q0(u) a R0(v) v opačných

polpriestoroch vzhľadom na rovinu z 0 (osi parabol sú opačne orientované).

Podobne, u-krivky oboch paraboloidov sú paraboly ležiace v rovine y v0 0.

Príklad 2.4

Súradnicové krivky na hyperbolickom paraboloide z príkladu 1.11 (pozri posledný obrázok k

plochám)

Uvažujeme iné parametrické vyjadrenie hyperbolického paraboloidu

P(u,v) = (au av, bu bv, 2uv), u,v(, +)

Teraz sú u–krivky aj v–krivky priamky

Q(u) = P(u,v0) = (au av0, bu bv0, 2uv0), u(, +)

R(v) = P(u0,v) = (au0 av, bu0 bv, 2u0v), v(, +)

To znamená, že každým bodom P(u0,v0) hyperbolického paraboloidu prechádzajú dve priam-

ky ležiace na ploche. Táto vlastnosť plochy sa niekedy využíva v pozemnom staviteľstve pri

zastrešovaní rozsiahlych objektov. Príkladom je športová hala v Bratislave na Pasienkoch. Jej

strecha má tvar časti hyperbolického paraboloidu.

52

Inou kvadratickou plochou, ktorej každým bodom prechádzajú dve priamky ležiace na ploche, je

jednodielny hyperboloid. Jeho štandardná rovnica je

x2/a

2 y

2/b

2 z

2/c

2 1 = 0

(Pozri poslednú stranu obrázkov.) Pre a b máme rotačný jednodielny hyperboloid, ktorý vzniká z

hyperboly s rovnicou x2/a

2 z

2/c

2 1 = 0 v rovine y = 0 rotáciou okolo osi z. Všeobecný jednodielny

hyperboloid vznikne z rotačného jednodielneho hyperboloidu afinnou transformáciou (škálovaním).

Skúmajme dotykový vektor krivky ležiacej na ploche. Začneme so súradnicovými

krivkami. Dotykovým vektorom u–krivky Q(u) = P(u,v0) v momente u0 je vektor parciálnej

derivácie Pu(u0,v0), analogicky pre v–krivky (obr. 2.2).

Z matematickej analýzy je známy vzorec pre deriváciu zloženej funkcie tvaru g(t)

f((t), (t)), ktorej vonkajšia zložka je funkcia z f(x, y):

)())(),((

)())(),((

)( tx

ttft

x

ttftg

Keď ho aplikujeme na súradnice bodovej funkcie Q(t) = P(u(t), v(t)), dostaneme dotykový

vektor všeobecnej krivky na ploche

(2.4) Q(t) = Pu(u(t), v(t)) u(t) Pv(u(t), v(t)) v(t)

skrátene vektor

Q = Pu u Pv

v

To znamená, že dotykový vektor krivky na ploche je lineárnou kombináciou vektorov Pu a Pv

(s koeficientmi u a v), preto leží v rovine určenej bodom P(u,v) a vektormi Pu(u,v) a Pv(u,v).

Táto rovina sa nazýva dotyková rovina plochy v bode P(u,v) (obr. 2.3). Označujeme ju (u,v).

Podmienka regulárnosti parametrického zadania plochy zabezpečuje korektnosť

definície dotykovej roviny v každom bode plochy (vektory určujúce rovinu musia byť

lineárne nezávislé).

Geometricky môžeme teda dotykovú rovinu plochy v danom bode vyjadriť ako

zjednotenie dotyčníc všetkých kriviek, ktoré ležia na danej ploche a prechádzajú daným

bodom.

Parametrické vyjadrenie dotykovej roviny plochy v bode P(u,v) vyplýva priamo z jej

definície:

(2.5) (u,v): X = P(u,v) r Pu(u,v) s Pv(u,v), r, s R.

Vystupujú v ňom štyri parametre u, v a r, s. Prvé dva parametre u, v určujú bod plochy, v kto-

rom sa dotyková rovina (u,v) uvažuje, druhé dva parametre r, s vyjadrujú polohu bodu X

v rovine (u,v).

Rovnicu dotykovej roviny plochy v bode P(u,v) získame ľahko, lebo poznáme jeden jej bod (a

síce bod P(u,v)) a tiež vektor na ňu kolmý (a to vektor Pu(u,v) Pv(u,v)). Vtedy

(2.6) (u,v): (Pu(u,v) Pv(u,v)) (X P(u,v)) = 0.

Rovnicu dotykovej roviny sme zapísali pomocou skalárneho súčinu, teda v tvare

n (X A) = 0,

kde n je normálový vektor roviny a A je bod, ktorým rovina prechádza.

Priamka idúca bodom P(u,v) kolmo na dotykovú rovinu (u,v) sa nazýva normála plochy

v bode P(u,v). Určená je bodom P(u,v) a vektorom Pu(u,v) Pv(u,v) (obr. 2.5). Každá rovina,

53

ktorá obsahuje normálu plochy v bode P(u,v), sa nazýva normálová rovina plochy v bode

P(u,v).

V každom bode plochy existuje práve jedna normála a nekonečne veľa normálových rovín.

Vektor normály plochy v bode P(u,v) je vektor

vu

vu

PP

PPvu

),(m

Je to jednotkový vektor, ktorý je smerovým vektorom normály plochy, čiže je kolmý na

dotykovú rovinu plochy. Považujeme ho za kolmý na plochu. Vektorová funkcia m(u,v),

(u,v)D vyjadruje orientáciu plochy.

Výpočet vektora normály je veľmi jednoduchý, preto príklady vektora normály plochy

spolu s nadväzujúcimi výpočtami uvedieme až v nasledujúcej kapitole.

Parametrické vyjadrenie plochy P(u,v) vytvára v každej dotykovej rovine (u,v) afinnú

sústavu súradníc so začiatkom P(u,v) a so súradnicovými vektormi Pu(u,v), Pv(u,v). Súradnice

premenného vektora u z dotykovej roviny (u,v) sa v spomenutej sústave súradníc tradične

označujú symbolmi du, dv. Tieto symboly sú síce zapísané dvomi písmenami, tvoria však

ďalej nedeliteľné celky, preto ich vo vzorcoch spravidla nedávame do zátvoriek. Na základe

definície súradníc vektora dostávame rovnosť u du Pu dv Pv. Je zvykom zapisovať ju

v trochu inej podobe

(2.7) u Pu du Pv

dv

Pravá strana rovnosti (2.7) má formálne tvar diferenciálu funkcie dvoch premenných

P(u,v). Zdôrazňujeme však, že jej zmysel je iný: Symboly du a dv nie sú diferenciály funkcií

u a v, ale označenie pre súradnice ľubovoľného vektora z dotykovej roviny plochy v sústave

súradníc P, Pu, Pv.

V ďalšom skúmaní plôch budú veľmi dôležité dve kvadratické formy v dotykovej rovine. Pripomeňme,

že pod kvadratickou formou v rovine rozumieme funkciu, ktorá vektoru x so súradnicami (x, y)

priraďuje číslo tvaru

(*) f(x, y) Ax2 2Bxy Cy

2.

Spravidla predpokladáme, že forma je nenulová, čo znamená, že aspoň jeden z koeficientov A, B, C je

rôzny od nuly. Prostredný člen 2Bxy obsahuje činiteľ 2 preto, aby nadväzujúce vzorce boli

jednoduchšie.

Pri plochách sa koeficienty aj premenné kvadratických foriem zapisujú inými symbolmi ako v bežnom

zápise (*), navyše koeficienty závisia od parametrov u, v. Kvadratické formy na ploche majú teda tvar

(**) A(u,v) du2 2B(u,v) du dv C(u,v) dv

2

V jazyku blízkom fyzike by sme hovorili o poli kvadratických foriem. Podobne by sme mohli hovoriť

o poliach dotykových vektorov parciálnych derivácií Pu(u,v), Pu(u,v), o poli normálových vektorov

m(u,v) atď.

Prvá základná forma plochy v bode P(u,v) je kvadratická forma v dotykovej rovine

(u,v), ktorá ľubovoľnému vektoru u = Pu du Pv

dv z dotykovej roviny (u,v) priraďuje číslo

(2.8) I(u) = u2 = uu = E du

2 2F du dv G dv

2.

Písmeno „I“ v symbole prvej základnej formy plochy vyjadruje rímsku číslicu 1, ktorá súvisí so slovom

„prvá“ v názve „prvá základná forma plochy“.

54

Koeficienty E = E(u,v), F = F(u,v) a G = G(u,v) sme získali roznásobením vektorov

(Pu du Pv

dv)(Pu du Pv

dv)

preto pre ne platí

E = E(u,v) = Pu(u,v)Pu(u,v)

(2.9) F = F(u,v) = Pu(u,v)Pv(u,v)

G = G(u,v) = Pv(u,v)Pv(u,v).

Pre prvú základnú formu plochy sa často používa označenie ds2. Ako funkciu číselných

premenných ju môžeme chápať ako funkciu dvoch premenných I(du,dv) resp. štyroch

premenných I(u,v du,dv), kde prvé dve premenné určujú bod P(u,v) plochy a prejavujú sa

v koeficientoch E(u,v), F(u,v) a G(u,v) a druhé dve premenné du, dv vyjadrujú dotykový

vektor plochy v bode P(u,v), na ktorý sa aplikuje skalárna mocnina.

Príklad 2.3

Prvá základná forma guľovej plochy s parametrickým vyjadrením

P(u,v) = (r cosu cosv, r cosu sinv, r sinu).

Máme

Pu (r sinu cosv, r sinu sinv, r cosu),

Pv (r cosu sinv, r cosu cosv, 0),

preto pre koeficienty prvej základnej formy guľovej plochy s daným parametrickým

vyjadrením platí

E = PuPu r2, F = PuPv = 0, G = PvPv = r

2 cos2u.

Prvá základná forma guľovej plochy je

I(u) r2 du

2 r

2 cos2u dv

2.

V nasledujúcej kapitole zavedieme ešte tzv. druhú základnú formu plochy. Obe tieto

formy využijeme pri skúmaní plochy. Samotná prvá základná forma plochy sa používa pri

meraní na ploche. Jej prostredníctvom, teda pomocou jej koeficientov, môžeme vyjadriť tieto

čísla spojené s objektmi na ploche:

dĺžka krivky na ploche,

uhol, pod akým sa pretínajú dve krivky na ploche a

obsah plochy resp. jej časti.

Napríklad pre dĺžku krivky Q(t) = P(u(t), v(t)), ta,b platí

b

a

b

a

b

a

dttQIdttQdttQl ))(( )( )( 2

dttvtvtuGtvtutvtuFtutvtuE

b

a

22 )())(),(()()())(),((2)())(),(( .

Vidíme teda, že ak je na ploche P(u,v) daná krivka prostredníctvom funkcií u u(t) a v v(t), tak jej

dĺžku môžeme vyjadriť pomocou koeficientov E, F, G prvej základnej formy plochy a pomocou

derivácií funkcií u a v. Takto je krivka aj jej dĺžka vyjadrená iba prostredníctvom parametrov u, v,

ktoré môžeme považovať za krivočiaru sústavu súradníc na ploche.

Pre nedostatok priestoru ďalšie informácie o meraní na ploche vynechávame.

55

Lekcia 9

V tejto lekcii začíname skúmať krivosť plochy. Podrobnejšiu geometrickú charakterizáciu použitého

postupu odložíme do vety 4.1 z ďalšej lekcie.

3. Normálová krivosť plochy – definícia

Parametricky je daná plocha P(u,v), (u,v)D. Pripomeňme, že vektor normály plochy

v bode P(u,v) je vektor

),(),( vuPP

PPvu

vu

vu

m

Je to jednotkový vektor, ktorý je smerovým vektorom normály plochy, teda je kolmý na

plochu, presnejšie na jej dotykovú rovinu.

Pomocou vektora normály plochy a parciálnych derivácií druhého rádu

parametrického vyjadrenia plochy definujeme v každom bode plochy nasledujúce tri čísla,

presnejšie tri funkcie premenných u, v:

(3.1) L = L(u,v) = Puum, M = M(u,v) = Puvm, N = N(u,v) = Pvvm

Druhá základná forma plochy v bode P(u,v) je kvadratická forma v dotykovej rovine

(u,v), ktorá ľubovoľnému vektoru u = Pudu Pvdv z dotykovej roviny (u,v) priraďuje číslo

(3.2) II(u) = L du2 2M du dv N dv

2 .

Rovnako ako v prípade prvej základnej formy plochy, aj druhú základnú formu môžeme

chápať tiež ako funkciu číselných premenných, a to ako funkciu dvoch premenných II(du,dv)

resp. štyroch premenných II(u,v du,dv). Premenné u, v sa na pravej strane rovnosti (3.2) ukrý-

vajú v koeficientoch L, M, N.

Lema 3.1

Pre nenulové lineárne závislé dotykové vektory u, v v jednom bode plochy platí

II(u)/I(u) II(v)/I(v)

Preto číslo II(u)/I(u) nezávisí od vektora u ale iba od jeho smeru.

Dôkaz Nech u Pu(u,v) du Pv(u,v) dv. Vtedy v c u Pu (c du) Pv

(c du), c 0. Preto

)(

)(

)(

)(

)())((2)(

)())((2)(

)(

)(2

2

22

22

u

u

u

u

u

u

I

II

Ic

IIc

cdvGcdvcduFcduE

cdvNcdvcduMcduL

cI

cII

Normálová krivosť plochy v bode P(u,v) v smere vektora u = Pu du Pv

dv z dotykovej

roviny (u,v) je číslo

(3.3) 22

22

2

2

)(

)()(

GdvFdudvEdu

NdvMdudvLdu

I

IIkn

u

uu

56

Normálová krivosť plochy je funkciou, pričom premennou je nenulový dotykový vek-

tor plochy. Chápeme ju tiež ako funkciu dvoch číselných premenných kn(du,dv) kn(u) resp.

ako funkciu štyroch premenných kn(u,v du,dv) kn(u), pričom u Pu(u,v) du Pv(u,v) dv.

Lema 3.1 hovorí, že, že normálová krivosť plochy v jej bode závisí iba od smeru

vektora u. Vo vete 4.1 neskôr uvidíme, že absolútna hodnota normálovej krivosti kn(u) je

krivosť krivky, ktorá vzniká ako rez plochy normálovou rovinou určenou bodom P a vektormi

m a u.

Znamienko normálovej krivosti závisí od orientácie plochy: Pri zmene orientácie

plochy sa zmení vektor m na opačný, preto podľa (3.1) sa zmenia znamienka koeficientov

druhej základnej formy plochy, a teda aj znamienko čísla II(u). Číslo I(u) sa zrejme nezmení,

preto pri zmene orientácie plochy dôjde k zmene znamienka normálovej krivosti kn(u)

II(u)/I(u).

Príklad 3.1

Rovina. Pre parametrizáciu

P(u,v) = A ua vb

platí Pu(u,v) = a, Pv(u,v) = b, z čoho vyplýva

E(u,v) = aa, F(u,v) = ab, G(u,v) = bb

Ďalej Puu(u,v) = au = 0, teda L(u,v) = Puu(u,v)m(u,v) = 0. Podobne dostaneme ďalšie rovnosti:

(3.4a) L(u,v) = M(u,v) = N(u,v) = 0

Zo vzorca (3.3) vyplýva, že normálová krivosť roviny je v každom bode a v každom smere

nulová:

(3.4b) kn(u,v,du,dv) = 0 pre všetky u, v, du, dv

Príklad 3.2

Graf funkcie z = f(x,y)

Plochu najprv vyjadríme parametricky P(u,v) = (u, v, f(u, v)). Vtedy

Pu = (1, 0, fu), Pv = (0, 1, fv)

Puu = (0, 0, fuu), Puv = (0, 0, fuv), Pvv = (0, 0, fvv)

Odtiaľ Pu Pv = (fu, fv, 1), teda

221

1,,

vu

vu

ff

ff

m . Preto

(3.5a) E = PuPu = 1 fu2, F = PuPv = fu fv, G = PvPv = 1 fv

2

(3.5b) 2 2 2 2 2 2

, , 1 1 1

uu uv vvuu

u v u v u v

f f fL P M N

f f f f f f

m

Príklad 3.3

Rovina ako graf funkcie z ax by c.

Teraz fu a, fv b, fuu fuv fvv 0, preto podľa vzorcov (3.5a) a (3.5b) platí

(3.6a) E(u,v) = 1 a2, F(u,v) = 0, G(u,v) = 1 b

2

(3.6b) L(u,v) = M(u,v) = N(u,v) = 0

57

Z výsledkov príkladov 3.1 a 3.3 vidíme, že koeficienty prvej základnej formy plochy závisia

od spôsobu jej parametrického vyjadrenia. To isté platí vo všeobecnosti aj pre koeficienty

druhej základnej formy plochy, hoci príklady 3.1 a 3.3 to nepotvrdili.

Príklad 3.4

Eliptický a hyperbolický paraboloid s parametrizáciou z ½ (x2/a

2 ± y

2/b

2).

Na základe vzorcov (3.5a) a (3.5b) máme

(3.7a) 4

2

224

2

1 , ,1b

vG

ba

uvF

a

uE

(3.7a) 242444

2

242444

2

,0 ,vaubba

aNM

vaubba

bL

.

Zameriame sa na bod P(0,0). Normálová krivosť v ňom je

)(

),,0,0(2222

2222

dvduba

dvadubdvdukn

.

Normálová krivosť v bode P(0,0) závisí od smeru vektora u. Napríklad

pre u Pu Pu 1 Pv

0, teda pre du 1 a

dv 0 je kn(0,0,1,0) 1/a

2

pre u Pv Pu 0 Pv

1, teda pre du 0 a

dv 1 je kn(0,0,0,1) ±1/b

2

Pre rotačný paraboloid z ½(x2/a

2 y

2/a

2), ktorý vznikne rotáciou paraboly x

2 = 2a

2z okolo

osi z, platí

(3.8) 2224

2222 1

)(),,0,0(

advdua

dvaduadvdukn

Na rozdiel od hyperbolického a všeobecného eliptického paraboloidu, normálová krivosť

rotačného paraboloidu v bode P(0,0) je vo všetkých smeroch rovnaká.

Príklad 3.5

Rotačné plochy Ich štandardné parametrické vyjadrenie je

P(u,v) = (x(u) cosv, x(u) sinv, z(u)), x(u) 0

Vtedy Pu = (x cosv, x sinv, z), Pv = x(sinv, cosv, 0), Pu Pv = x(z cosv, z sinv, x) a

m = (z cosv, z sinv, x) / (x2 z

2)½. Ďalej

(3.9a) E = x2 z

2, F = 0, G = x

2

Puu = (x cosv, x sinv, z), Puv = x(sinv, cosv, 0), Pvv = x(cosv, sinv, 0) a

(3.9b) 2222

,0 ,zx

zxNM

zx

zxzxL

Príklad 3.6

Anuloid je rotačná plocha s parametrickým vyjadrením

P(u,v) = ((a bcosu) cosv, (a bcosu) sinv, b sinu), a b 0, u, (príklad 1.7).

Na základe vzorcov (3.9a) a (3.9b) z predchádzajúceho príkladu platí

E = b2, F = 0, G = (a bcosu)

2

L = b, M = 0, N = (a bcosu)cosu

58

Úloha 3.1

Vypočítajte normálovú krivosť anuloidu v jeho ľubovoľnom bode.

[kn(u,v,du,dv) (b du2 (a bcosu) cosu dv

2)/(b

2du

2 (a bcosu)

2 dv2)]

Príklad 3.7

Guľová plocha s parametrickým vyjadrením P(u,v) = (r cosu cosv, r cosu sinv, r sinu).

Na základe príkladu vzorcov (3.9a) a (3.9b) máme

(3.10a) E = r2, F = 0, G = r

2 cos2u

(3.10b) L = r, M = 0, N = r cos2u

Pomocou vzorca (3.3) sa ľahko presvedčíme, že normálová krivosť guľovej plochy s polo-

merom r je v každom bode a v každom smere rovnaká:

(3.11) kn = 1/r

Úloha 3.2

Vypočítajte prvú a druhú základnú formu a normálovú krivosť hyperbolického paraboloidu

P(u,v) = (u v, u v, 2uv) z príkladu 1.11 pre a b 1.

[I(u,v,du,dv) 2[(1 2v2) du

2 4 u v du dv (1 2v

2) dv

2),

II(u,v,du,dv) 4du dv / [(1 2u2 2v

2)].

59

Lekcia 10

V tejto lekcii získame geometrickú charakterizáciu normálovej krivosti plochy a klasifikáciu bodov

plochy. Budeme tiež skúmať rozloženie plochy vzhľadom na dotykovú rovinu. Na záver sa zmienime o

Gaussovej krivosti plochy.

4. Normálová krivosť plochy – vlastnosti

Lema 4.1

Pre krivku Q(t) = P(u(t), v(t)), tI na ploche P(u,v) platí II(Q) Qm .

Dôkaz Začneme s rovnosťou

(4.1) Q(t) = (Puu u

2 2Puv u

v Pvv v

2) (Pu

u Pv v)

Pri jej odvodení si treba uvedomiť, že Q(t) [Pu(u(t), v(t)) u(t) Pv(u(t), v(t)) v(t)], pričom

Pu(u(t), v(t)) je zložená funkcia s vonkajšou zložkou Pu(u,v) a s vnútornými zložkami u(t),

v(t). Pv(u(t), v(t)) podobne. Rovnosť (4.1) vznikne kombináciou vety o derivácii súčinu s

vetou o derivácii zloženej funkcie, ktorej vonkajšia zložka je funkciou dvoch premenných,

takto:

(Puu) = (Pu) u Pu(u) (Puu

u Puv v) u Pu

u = Puu u

2 Puv

u v Pu u

Podobne (Pvv) Puv u v Pvv

v2 Pv

v. Rovnosť (4.1) je dokázaná.

Pretože m Pu, Pv, máme (Pu u Pv

v)m = 0, preto

Qm = (Puum) u2 2 (Puvm) u v (Pvvm) v

2

Podľa definície (3.1) a (3.2) druhej základnej formy plochy tak platí

Qm = L u2 2M u v N v

2 II(Q)

Lema dáva geometrický význam druhej základnej formy plochy:

Bod Q spolu s vektorom m vytvára karteziánsku sústavu súradníc na normále plochy, preto vektor

(Qm)m je kolmý priemet vektora Q do normály. Hodnota druhej základnej formy plochy II(Q) je

teda normálová zložka vektora Q.

Normálová rovina (u) plochy v smere vektora u je určená bodom P = P(u,v) a vek-

tormi m = m(u,v) a u, teda (u) je rovina Pmu. Táto rovina pretína plochu v blízkosti bodu P

v krivke, ktorá sa nazýva normálový rez plochy (obr. 3.2). Pomocou nej môžeme geometricky

charakterizovať normálovú krivosť plochy:

Veta 4.1

Nech u je dotykový vektor plochy v bode P a nech m označuje polpriestor ohraničený

dotykovou rovinou v bode P, do ktorého smeruje vektor m. Potom

a) kn(u) je krivosť normálového rezu plochy rovinou (u).

b) Ak kn(u) 0, tak normálový rez plochy v smere vektora u leží blízko bodu P v polpries-

tore m. Teda v smere vektor u sa plocha prikláňa k vektoru m (obr. 3.3.a).

60

c) Ak kn(u) 0, tak normálový rez plochy v smere vektora u leží blízko bodu P v

polpriestore opačnom k m. Teda v smere vektor u sa plocha odkláňa od vektora m (obr.

3.3.b).

Dôkaz (obr. 3.3.c). Nech Q(s) P(u(s),v(s)) je prirodzená parametrizácia normálového rezu,

pričom Q(0) je skúmaný bod plochy. Pretože rezová krivka leží v rovine (u) Pum, ležia

v nej aj vektory Q(0) a Q(0). Pretože Q(0) Q(0) a m u a vektory Q(0) a u sú lineárne

závislé, sú lineárne závislé aj vektory Q(0) a m, preto Q(0) je násobkom vektora m. Pretože

vektor m je jednotkový, platí Q(0) [Q(0)m]m. Z lemy 4.1 teda vyplýva

Q(0) II(Q(0))m

Pretože Q(s) je prirodzená parametrizácia krivky, pre jej krivosť platí k(s) Q(s). Preto

k(0) II(Q(0))m II(Q(0)) II(Q(0)) / I(Q(0)) kn(Q(0)) kn(u).

Tretia rovnosť vyplýva z rovností I(Q(s)) Q(s)2 1, piata z lemy 3.1. Dokázali sme časť

a).

Nech kn(u) 0. Podľa časti a) je Q(0) neinflexný bod krivky Q(s). Pre jej vektor hlavnej

normály platí n(0) Q(0)/Q(0), lebo Q(s) je prirodzená parametrizácia. Vzhľadom na lemu

4.1 teda máme

mm

mn

))0((

))0((

)0(

)0()0(

QII

QII

Q

Q

pričom výsledné znamienko sa rovná znamienku čísla II(Q(0)), čo je znamienko pre kn(u).

Tvrdenia b) a c) vyplývajú teraz z tejto známej vlastnosti rovinných kriviek: V blízkosti

neinflexného bodu krivka lokálne leží v polrovine určenej dotyčnicou a vektorom hlavnej

normály (veta 4.4. z lekcie 4).

V nasledujúcich troch príkladoch určíme normálovú krivosť (presnejšie iba jej absolútnu

hodnotu) jednoduchých plôch pomocou krivosti normálových rezov.

Príklad 4.1 Rovina

Normálový rez roviny je vždy priamka, a tá má nulovú krivosť. Takto opätovne zisťujeme, že

normálová krivosť roviny je v každom bode a v každom smere nulová (príklady 3.1 a 3.3).

Príklad 4.2 Rotačný paraboloid

vznikajúci rotáciou paraboly x2 = 2a

2z okolo osi z. Všetky jeho normálové rezy vo vrchole

(0,0,0) sú paraboly zhodné s profilovou parabolu x2 = 2a

2z, preto normálová krivosť

rotačného paraboloidu vo vrchole je až na znamienko krivosť paraboly x2 = 2a

2z vo vrchole,

teda číslo 1/a2. Potvrdil sa výsledok z príkladu 3.4, vzorec (3.8). V tom príklade sme

pracovali s parametrickým vyjadrením plochy, preto tá plocha bola orientovaná a jej

normálová krivosť mala teda určené znamienko. V tomto príklade orientácia plochy nie je

určená, preto nie je určené ani znamienko jej normálovej krivosti.

Príklad 4.3 Guľová plocha

s polomerom r. Všetky jej normálové roviny prechádzajú stredom guľovej plochy, preto

všetky normálové rezy sú kružnice s polomerom r. Potvrdil sa výsledok príkladu 3.7, vzorec

(3.11): Normálová krivosť guľovej plochy je konštanta 1/r.

Komentár k znamienku je rovnaký ako v predchádzajúcom príklade.

61

Bod P(u,v) sa nazýva eliptický bod plochy resp. hyperbolický bod plochy podľa toho,

či je v ňom číslo = LN M2 kladné alebo záporné.

Pre úplnosť dodajme, že bod plochy, v ktorom = LN M 2 0, sa nazýva parabolický bod

plochy, ak je jedno z čísel L, M, N nenulové, alebo planárny bod plochy, ak L M N 0.

Príklad 4.4 Rovina

(príklad 3.1, vzorec (3.4a)): L M N 0 všade, preto všetky body roviny sú planárne.

Príklad 4.5 Guľová plocha

(príklad 3.7): Z rovností (3.10.b) dostávame = LN M 2 = r2 cos

2u 0. Teda všetky body

guľovej plochy sú eliptické.

Príklad 4.6 Anuloid

(príklad 3.6): V záujme jednoduchšieho zápisu výsledku zmeňme obor parametra u:

u, v zostáva. Platí LN M 2 = b (a b cosu) cosu. Vzhľadom na

nerovnosti a b 0 je číslo b (a b cosu) kladné pre všetky u, preto znamienko je rovnaké

ako znamienko cosu. To znamená, že bod P(u, v) je eliptickým bodom práve vtedy, keď

u( ) a hyperbolickým bodom práve vtedy, keď u( ) (obr. 3.5). Pre u

a u je M N 0 a L 0, preto pre u a u sú všetky body parabolické.

Parabolické body vypĺňajú „najnižšiu“ a „najvyššiu“ „vodorovnú“ kružnicu na anuloide.

Úloha 4.3

Dokážte, že všetky body eliptického paraboloidu sú eliptické a všetky body hyperbolického

paraboloidu sú hyperbolické.

Poznámka o znamienku kvadratickej formy f(x, y) Ax2 2Bxy Cy

2.

Zrejme f(0, 0) 0. V algebre sa dokazuje, že

1. Ak AC B2 0, tak obe čísla A, C sú nenulové a majú rovnaké znamienka. Pre všetky (x, y) (0, 0)

je f(x, y) 0 a všetky čísla f(x, y) majú rovnaké znamienko ako čísla A, C.

2. Ak AC B2 0, tak v závislosti od (x, y) (0, 0), f(x, y) môže byť kladné, záporné alebo nulové.

V prvom prípade sa kvadratická forma nazýva definitná kvadratická forma. S týmto pojmom ste sa

možno stretli na matematickej analýze pri extrémoch funkcií dvoch premenných. Pre definitnú

kvadratickú formu je grafom odpovedajúce funkcie z Ax2 2Bxy Cy

2 eliptický paraboloid.

V druhom prípade hovoríme o indefinitnej kvadratickej forme. Grafom odpovedajúcej kvadratickej

funkcie z Ax2 2Bxy Cy

2 je hyperbolický paraboloid.

Veta 4.2

a) V eliptickom bode má normálová krivosť plochy v každom smere rovnaké znamienko,

ktoré závisí od orientácie plochy. V okolí eliptického bodu plocha leží v jednom polpriestore

vzhľadom na dotykovú rovinu (obr. 3.4.a).

b) V hyperbolickom bode je normálová krivosť kladná, záporná alebo nulová v závislosti od

smeru, v ktorom krivosť určujeme a od orientácie plochy. Plocha zasahuje do oboch

polpriestorov vzhľadom na dotykovú rovinu (obr. 3.4.b).

Dôkaz Prvá základná forma plochy je v každom bode pre všetky nenulové vektory kladná,

preto znamienko normálovej krivosti plochy kn(u) je rovnaké ako znamienko druhej

kvadratickej formy II(u). V eliptickom bode je táto forma definitná, čo znamená, že pre

62

všetky nenulové vektory u je kladná alebo pre všetky je záporná, teda všetky normálové

krivosti majú rovnaké znamienko. V hyperbolickom bode plochy je druhá základná forma

indefinitná, preto v závislosti od smeru vektora u môže byť táto forma, a teda aj normálová

krivosť plochy, kladná, nulová alebo záporná.

Tvrdenia o rozmiestnení plochy vzhľadom na dotykovú rovinu vyplývajú z už dokázaných

častí vety a z vety 4.1b, c.

Dá sa dokázať, že v každom bode plochy je normálová krivosť kn(u) = kn(du,dv)

ohraničená funkcia premenných du, dv a že nadobúda svoje extrémne hodnoty. Jej minimum

resp. maximum označujeme k1 resp. k2. Funkcia

(4.2) K = K(u,v) = k1k2

sa nazýva Gaussova krivosť plochy.

Dá sa tiež dokázať, že Gaussovu krivosť možno vyjadriť prvou a druhou základnou formou:

(4.3) 2

2

FEG

MLNK

Úloha 4.1

Dokážte, že a) Gaussova krivosť roviny je v každom bode nulová,

b) Gaussova krivosť guľovej plochy s polomerom r sa v každom bode rovná 1/r2.

[Prvú časť úlohy možno riešiť pomocou predchádzajúceho vzorca (4.3) a rovnosti (3.4a).

Možno tiež postupovať podľa definície Gaussovej krivosti (4.2), a to na základe rovnosti

kn(u,v) = 0, pozri (3.4b). Z nej totiž vyplýva k1 k2 0. Pre úlohu b) podobne. Môžeme

využiť alebo vzorce (4.3), (3.10a) a (3.10b) alebo (4.2) a (3.11).]

Úloha 4.2

Dokážte, že znamienko Gaussovej krivosť nezávisí od orientácie plochy.

Úloha 4.4

(Nepovinná úloha) a) Dokážte, že v každom bode plochy platí EG F2 0.

[Návod: Vzorec a b2 (aa)(bb) (ab)

2 aplikujte na vektory Pu a Pv. Uvedomte si tiež,

že pre nezávislé vektory a, b platí a b 0.]

b) Dokážte, že Gaussova krivosť je kladná práve v eliptickom bode plochy, záporná práve

v hyperbolickom bode a nulová práve v parabolickom alebo planárnom bode.

Na záver malá ukážka praktického využitia teórie. Naznačíme, prečo nemôžu existo-

vať dokonalé zemepisné mapy.

Uvažujme o zobrazení jednej plochy do druhej. Ak sa každá krivka na prvej ploche

zobrazí do krivky na druhej ploche s rovnakou dĺžkou, zobrazenie sa nazýva izometria plôch.

O takom zobrazení sa dá dokázať, že Gaussova krivosť v každom bode prvej plochy sa rovná

Gaussovej krivosti druhej plochy v obraze toho bodu. V úlohe 4.1a, b sa hovorí, že Gaussova

krivosť v ľubovoľnom bode roviny a Gaussova krivosť v ľubovoľnom bode guľovej plochy

sú rôzne čísla. Odtiaľ máme významný dôsledok: Neexistuje izometrické zobrazenie žiadnej

oblasti guľovej plochy na časť roviny. To znamená, že v kartografii nemožno zostrojiť mapu,

ktorá by neskresľovala vzdialenosti.

Na druhej strane existuje viacero konštrukcií máp zobrazujúcich časti povrchu gule do

roviny, pri ktorých sa zachovávajú uhly medzi krivkami resp. obsahy častí guľovej plochy

63

(tzv. uhlojavné resp. plochojavné projekcie). Poznamenajme, že mapa vytvorená uhlojavnou

projekciou je veľmi vhodná na navigáciu, lebo uhol medzi poludníkom a smerom trasy je na

mape rovnaký ako v realite.

64

Obrázky k plochám

65

66

67

68

Úlohy k lekciám 7 – 10

Úlohy k lekcii 7

Dokážte, že vo vrchole každej kužeľovej plochy

P(u,v) = Q(u) v(V – Q(u)), (u,v)I (–,)

teda v bode V P(u,1), u ľubovoľné, nie je splnená podmienka regulárnosti parametrického

vyjadrenia plochy.

(Preto sa definičný obor uvedenej parametrizácie kužeľovej plochy spravidla zmenšuje na

jednu z oblastí I (–,1) alebo I (1,), ktoré vyjadrujú „polovice“ kužeľovej plochy.)

Úlohy k lekcii 8

Helikoid je plocha s parametrickým vyjadrením

(*) P(u,v) (ucosv, usinv, av), (u, v)R2

Môžete ho uvidieť uprostred poslednej strany v obrázkovom súbore k plochám.

Intuitívne ide o točené schodište ,ktorého schody majú nulovú výšku.

Zrejme všetky jej u-krivky sú priamky, pričom pre v 0 je u-krivkou os x. Možno teda

povedať, že táto plocha vzniká pohybom priamky v priestore v závislosti od premennej vR.

Podrobnejšie: Priamka, ktorou je v štartovacej polohe (pre v 0) os x, sa v závislosti od času

v rovnomerne otáča okolo osi z a súčasne sa rovnomerne posúva v smere osi z.

Dôvodom je skutočnosť, že otočenie v priestore okolo osi z o uhol v vyjadrujú rovnice

x xcosv ysinv

y xsinv ycosv

z z

(Čiarka neznamená deriváciu, ale skutočnosť, že (x, y, z) sú súradnice obrazu bodu so

súradnicami (x, y, z).) V tomto otočení sa bod P(u,0) (ucos0, usin0, a0) (u, 0, 0), čo je

ľubovoľný bod osi x, zobrazuje do bodu so súradnicami (ucosv, usinv, 0). Tento ešte

posunieme v smere osi z o vektor (0, 0, av) a dostaneme bod

(ucosv, usinv, 0) (0, 0, av) (ucosv, usinv, av) P(u,v),

ktorý leží na priamke idúcej bodom (0, 0, av) a so smerovým vektorom (cosv, sinv, 0).

Po tomto dlhom úvode otázky o helikoide (*):

a) Spĺňajú všetky body plochy podmienku regulárnosti parametrického vyjadrenia plochy?

b) Geometricky charakterizujte v-krivky plochy (pomenujte ich).

c) Vypočítajte prvú základnú formu plochy.

69

Úlohy k lekcii 9

Pre helikoid P(u,v) (ucosv, usinv, av), a 0 vypočítajte koeficienty L, M, N druhej

základnej formy plochy.

Úlohy k lekcii 10

1 Dokážte, že všetky body eliptického paraboloidu sú eliptické a všetky body hyperbolického

paraboloidu sú hyperbolické.

2 a) Dokážte, že v každom bode plochy platí EG F2 0.

[Návod: Vzorec a b2 (aa) (bb) (ab)

2 aplikujte na vektory Pu a Pv. Uvedomte si tiež,

že pre nezávislé vektory a, b platí a b 0.]

b) Dokážte, že v eliptickom bode plochy je Gaussova krivosť kladná a v hyperbolickom

záporná.

3 Bez počítania dokážte: Ak na ploche leží priamka, tak normálová krivosť plochy v bode tej

priamky a v jej smere je nulová.

Návod: veta 4.1

70

Príloha 1 Vektorový súčin

Pripomenieme si základné vlastnosti vektorového súčinu. Ako hovorí jeho názov, vektorový

súčin je operácia, ktorá dvom vektorom (z trojrozmerného priestoru E3) priradí vektor.

Definovať ho budeme pomocou karteziánskej sústavy súradníc.

Definícia Vektorovým súčinom vektorov a (a1, a2, a3), b (b1, b2, b3) z E3 je vektor

(1)

21

21

31

31

32

32

122113312332 ,,,,bb

aa

bb

aa

bb

aabababababababa .

Poznamenajme, že tento vektor závisí od orientácie sústavy súradníc: Ak sa pri zmene sústavy

súradníc zmení jej orientácia, vektorový súčin vypočítaný v druhej sústave súradníc sa zmení

na opačný vektor. V geometrických aplikáciách to však spravidla nevadí.

Symbol det(u, v, w) vyjadruje determinant, ktorého riadky sú súradnice vektorov u, v, w.

Veta 1 (Základné algebraické vlastnosti vektorového súčinu)

Pre všetky vektory a, b, c E3 a pre všetky čísla kR platí

a) (a b) c a c b c , (distributívny zákon)

b) (ka) b k(a b) , („asociatívny“ zákon)

c) b a (a b) , (antikomutatívny zákon)

d) a b a, a b b ,

e) a b2 (aa)(bb) (ab)

2 ,

f) det(a, b, a b) a b2 ,

g) a b 0 vektory a, b sú lineárne závislé.

Tvrdenie e) môžeme zapísať tiež v tvare

a b2 a

2 b

2 (ab)

2 ,

alebo v tvare

a b2 a

2 b

2 (ab)

2 .

Pritom a2 aa a

2.

Veta 2 (Jednoduché aplikácie vektorového súčinu)

a) Vektor (a1, a2, a3) (b1, b2, b3) je bázou jednorozmerného vektorového priestoru riešení

sústavy nezávislých lineárnych rovníc

a1x1 a2x2 a3x3 0

b1x1 b2x2 b3x3 0

b) Vektor u v je normálový vektor roviny Auv.

c) Vektor n m je smerový vektor priesečnice rôznobežných rovín : n(X A) 0,

: m(X B) 0.

(V zápise rovnice roviny prostredníctvom skalárneho súčinu v tvare n(X A) 0 vidíme, že

rovina je určená bodom A a normálovým vektorom n.)

d) 22

222 )(sin

ba

baba

ba

baab

, ak a, b 0.

e) a b a b sinab, ak a, b 0.

f) Pre obsah rovnobežníka ABCD v E3 platí

71

S(ABCD) (B A) (D A).

g) Pre vzdialenosť bodu P od priamky Au platí

u

uu

)(,

APAP

h) Pre kladne orientované ortonormálne vektory i, j, k platí

i j k, j k i, k i j

Poznamenajme, že výraz

(2) bbab

baaabababa

222 )(),(G

sa nazýva Gramov determinant vektorov a, b. Analogicky sa tento determinant definuje pre

tri a viac vektorov. Podľa vety 1e sa dĺžka vektorového súčinu rovná druhej odmocnine

z Gramovho determinantu činiteľov.

Ešte raz zdôrazňujeme, že vektorový súčin je definovaný iba v trojrozmernom priestore.

Avšak, o dĺžke vektorového súčinu môžeme hovoriť aj v rovine, keď ju definujeme

prostredníctvom Gramovho determinantu na základe vzorca z vety 1e. Vtedy pre vektory a

(a1, a2), b (b1, b2) a a (a1, a2, 0), b (b1, b2, 0) platí

(3) a b det(a, b) a b,

kde det(a, b) je, ako obvykle, determinant zo súradníc vektorov a, b.

Týmto trikom niekedy dosiahneme jednotný zápis vzorcov pre rovinu i priestor. Ako príklad

môže poslúžiť vzorec z vety 2g, ktorý môžeme použiť aj pre vzdialenosť bodu od priamky

v rovine, ak čitateľ pravej strany interpretujeme v zmysle predošlého odstavca.

Ak je vám vektorový súčin cudzí, môžete sa s ním zblížiť prostredníctvom nasledujúcich

úloh.

Úlohy

1 Vypočítajte ab pre a) a (0,1,2), b (2,0,3), b) a (8,6,4), b (1,2,2).

2 Zjednodušte výraz (ab)(ab).

3 Dokážte, že pre vektory e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1) platí

e1e2 e3, e2e3 e1, e3e1 e2.

4 Určte sínus uhla vektorov a, b pre a) a (11,10,2), b (2,2,1),

b) a (2,2,1), b (2,3,2) c) a (5,10), b (2,2).

5 Dané je |a| 3, |b| 5, ab 60. Vypočítajte a) |ab| b) |(ab)(ab)|

c) |(3ab)(a3b)|.

6 Dané je |a| 3, |b| 4, ab 6. Vypočítajte |ab|.

7 Presvedčte sa, že vektory a (2,1,2), b (2,2,1) umiestnené do jedného bodu vyjadrujú

dve hrany kocky a nájdite vektor tretej hrany vychádzajúcej z toho bodu.

8 Určte vzdialenosť bodu P (2,1,6) od priamky AB, ak A (1,2,3), B (2,1,5).

9 Nájdite vektor x s dĺžkou 138, ktorý je kolmý na vektory (2,3,1), (1,1,3) a s vektorom

e1 zviera tupý uhol.

10 Dokážte rovnosti (3).

Výsledky a návody

1 a) (3,4,2) b) (20,20,10)

2 2ab

4 a) 89/45 b) 1 c) 1/5 (Druhú rovnosť z vety 5.19d možno využiť aj v dvojrozmernom

priestore.)

72

5 a) 153/2 b) 153 c) 753

6 63

7 (a b) (1,2,2)

8 1/3

9 x (8,7,5)

10 Obe strany rovnosti a b a b vyjadrite cez odpovedajúce Gramove determinantny.

Ľavú stranu rovnosti a b det(a, b) vypočítajte z definície vektorového súčinu (1).

73

Príloha 2 Kinematicky zadané krivky

V nasledujúcich úlohách uvádzame niektoré krivky, ktoré vznikajú ako dráhy pohybu bodu P

v rovine. Väčšina z nich zohrala významné úlohy v dejinách vedy a techniky.

Úlohy Zostavte parametrické vyjadrenia nasledujúcich kriviek.

1. Daná je kružnica s priemerom OA dĺžky 2a a dotyčnica p k nej v bode A. Na priamke p

zvolíme bod B. Priamka OB pretína kružnicu v bode C O. Bod P leží na úsečke OB tak, že

OP CB. Dioklesova cissoida 1 je krivka tvorená bodmi P, keď bod B prebehne priamku p.

2. Daná je kružnica k: x2 (y a/2)

2 a

2/4 0, na nej bod C (0, a) a dotyčnica p v ňom.

Priamka OD, Dk, D O pretína priamku p v bode E. Bodmi D, E vedieme priamky

rovnobežné po rade s osami Ox a Oy, P je ich priesečník. Anieziovej lokón je krivka tvorená

bodmi P, keď bod D prebehne kružnicu k.

3. Bod P sa rovnomerne pohybuje s rýchlosťou a po polpriamke OA, ktorá sa rovnomerne

otáča okolo bodu O s konštantnou rýchlosťou . Vznikne Archimedova špirála.

4. Polpriamka OA sa otáča okolo bodu O s konštantnou rýchlosťou , bod P sa po nej

pohybuje s rýchlosťou úmernou k vzdialenosti OP s konštantou a. Vznikne logaritmická

špirála 2.

5. Úsečka AB dĺžky 2a sa kĺže svojimi krajnými bodmi po súradnicových osiach, AOx,

BOy. Bod P je kolmý priemet začiatku sústavy súradníc do úsečky AB. Vznikne štvorlistová

ružica.

6. P je bod kružnice s polomerom a, ktorá sa bez preklzávania kotúľa po priamke. Vznikne

cykloida 2

.

7. Z bodu O kružnice s polomerom a vychádza priamka pretínajúca kružnicu v ďalšom bode

A. Na obe strany od bodu A sa na priamku OA nanesú úsečky AP1 a AP2 dĺžky 2b. Vznikne

Pascalov slimák 3

, pre a b kardioida (srdcovka).

8. Úsečka AB dĺžky a sa kĺže svojimi krajnými bodmi po súradnicových osiach. Bod C je

štvrtý vrchol obdĺžnika OACB, P je jeho kolmý priemet do úsečky AB. Vznikne astroida.

9. Bod P leží na kružnici s polomerom r, ktorá sa bez preklzávania zvonka kotúľa po kružnici

s polomerom R. Vznikne epicykloida.

10. Bod P leží na kružnici s polomerom r, ktorá sa bez preklzávania zvnútra kotúľa po

kružnici s polomerom R. Vznikne hypocykloida.

Pomôcky

Posunutie u v rovine o vektor u (u, v) zobrazuje bod X (x, y) do bodu X (x, y), kde

x x u, y y v.

Otočenie M, v rovine okolo stredu M (m, n) o uhol R zobrazuje bod X (x, y) do bodu

X (x, y), kde x (x m)cos (y n)sin m, y (x m)sin (y n)cos n.

1 Krivka sa dá využiť pri zdvojení kocky, čo je jedna z troch slávnych úloh antickej matematiky (kvadratúra

kruhu, zdvojenie kocky a trisekcia uhla). 2 Veľmi zaujímavá krivka, odporúčam web, napr. wiki.

3 Krivka sa nazýva po otcovi slávneho Blaisa Pascala, 1623 1662 (Pascalov trojuholník v kombinatorike,

Pascalov zákon v hydrostatike, Pascalova veta o kužeľosečkách, ..., jednotka tlaku Pa, programovací jazyk

Pascal).

74

Polárne súradnice (r, ) bodu X O s karteziánskymi súradnicami (x, y) (0, 0). r je

vzdialenosť bodu X od O a je uhol vektorov e1 (1, 0), X O. Platí (x, y) (rcos, rsin).

75

Výsledky

1. Napr. P(t) (2asin2t, 2asin

3t/cost), kde t je uhol priamky OB s osou Ox, pričom A (2a, 0).

2. Napr. P(t) (t, a3/(t

2 a

2)), teda graf funkcie y a

3/(x

2 a

2).

3. Napr. P(t) (atcost, atsint), kde t je uhol priamky OA s osou Ox v momente t.

4. Napr. P(t) (eat

cost, eat

sint), kde t je uhol priamky OA s osou Ox v momente t.

5. Napr. P(t) (asin2tcost, asin2tsint), kde t je uhol priamky AB s osou Oy.

6. Napr. P(t) = (a(t – sint), a(1 – cost)).

Kružnica sa kotúľa po osi Ox v kladnom smere. V momente t 0 je stred kružnice v bode S

S(0) (0, a) a bod P v bode O (0, 0). Parameter t je uhol vektorov e2, P(t) S(t), kde e2

(0, 1).

7. Napr. P(t) ((2acost 2b)cost, (2acost 2b)sint), kde t je uhol priamky OA s osou Ox.

Bod O je začiatok sústavy súradníc, stred danej kružnice má súradnice (a, 0).

8. Napr. P(t) (acos3t, asin

3t), kde t je uhol priamky AB s osou Ox.

9. P(t) ((R r) cos r/R t r cos (R r)/r t, (R r) sin r/R t r sin (R r)/r t).

Začiatok sústavy súradníc je v strede pevnej kružnice, bod P(t) je v momente t 0 v bode A

(R, 0).

10. P(t) ((R r) cos r/R t r cos (R r)/r t, (R r) sin r/R t r sin (R r)/r t).

Začiatok sústavy súradníc je v strede pevnej kružnice, bod P(t) je v momente t 0 v bode A

(R, 0).

Návody

1. Napr. P(t) (2asin2t, 2asin

3t/cost), kde t je uhol priamky OB s osou Ox.

2. Napr. P(t) (t, a3/(x

2 a

2)), teda graf funkcie y a

3/(x

2 a

2).

3. Bod P(t) vyjadrite v polárnych súradniciach P(t) (rcos, rsin).

4. Vzdialenosť OP(t) označme s(t). Vtedy v(t) s(t), čiže s(t) as(t). Bod P(t) vyjadrite

v polárnych súradniciach P(t) (rcos, rsin).

5. Bod P(t) vyjadrite v polárnych súradniciach P(t) (rcos, rsin).

6. P(t) ate ◦ S, t(O), kde v je posunutie v rovine o vektor v a M, je otočenie v rovine

okolo stredu M o uhol a e (1, 0).

7. Bod P(t) vyjadrite v polárnych súradniciach P(t) (rcos, rsin).

9. Kotúľajúca kružnica sa otáča okolo stredu S (R r, 0) s rýchlosťou 1 v kladnom smere

a súčasne okolo bodu O s rýchlosťou m r/R v kladnom smere. Teda P(t) O, m ◦ S, t(A), kde

M, je otočenie v rovine okolo stredu M o uhol .

10. Pozri návod k predchádzajúcej úlohe, pozor však na smery otáčania kružníc.

76

Príloha 3 O čom je diferenciálna geometria?

Diferenciálna geometria je najmä o krivkách a plochách všeobecného tvaru, teda krivkách

a plochách, ktoré sú zadané ľubovoľnými, nielen algebraickými rovnicami. Skúmame ich

pomocou derivácií.

Príkladom takej krivky je povedzme astroida s parametrickým vyjadrením

x acos3t, y asin

3t, t0, 2:

(Obrázok je prevzatý zo stránky http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Astroid.html)

Krivka sa skladá zo štyroch oblúkov, ktoré sú definované na intervaloch 0, /2, /2, , ... .

Číslo a je vzdialenosť začiatku sústavy súradníc od priesečníkov krivky so súradnicovými

osami. Vyjadruje „veľkosť“ astroidy.

Okrem iného sa o tejto krivke možno v kurze dozvedieť, že dotyčnica v ľubovoľnom bode

P(t) (acos3t, asin

3t), t 0, /2, , 3/2, 2,

má parametrické rovnice

x acos3t ucost

y asin3t usint

(Parametrom na priamke je číslo u, číslo t určuje, v ktorom bode krivky sa dotyčnica počíta.)

A trochou analytickej geometrie sa teraz už ľahko môžeme presvedčiť, že astroida má túto

zaujímavú vlastnosť:

Na každej dotyčnici astroidy má úsečka ohraničená priesečníkmi dotyčnice so súradnicovými

osami rovnakú dĺžku a.

Platí aj obrátené tvrdenie: Všetky úsečky s dĺžkou a 0, ktorých krajné body ležia na

súradnicových osiach, „obaľujú“ astroidu.

Keby sme teda opreli rebrík strmo o stenu, podtrhli ho a zboku nafilmovali jeho pád, po

položení jednotlivých políčok filmu na seba by sme nakoniec uvideli jeden oblúk astroidy.

Charakteristickým údajom pre krivku je krivosť, ktorá vyjadruje veľkosť jej

„zakrivenia“ v jednotlivých bodoch. Ukáže sa, že priamka má v každom bode krivosť rovnú 0

a kružnica s polomerom r má všade rovnakú krivosť 1/r. Trochu namáhavý výpočet dá, že

krivosť astroidy v bode P(t) je číslo

77

ttatk sincos3)( .

Keď už bude toto je známe, ľahko sa možno bežnými postupmi skúmania priebehu funkcie

presvedčiť, že v strede každého zo štyroch oblúkov astroidy je krivosť krivky minimálna

a smerom ku krajným bodom oblúka rastie do . Dobre to súhlasí s obrázkom.

Spomeňme ešte jednu zaujímavú krivku, a to traktrix. Jej parametrické vyjadrenie je

x asint, y a[ln tg (t/2) + cost], t(0, ):

(Obrázok je prevzatý zo stránky http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Tractrix.html)

Krivka sa skladá z dvoch navzájom osovo súmerných oblúkov, ktoré sú určené hodnotami

parametra t(0, /2 a t/2, ). Číslo a je vzdialenosť začiatku sústavy súradníc od

priesečníku krivky s osou x. Jej dotyčnica má podobnú vlastnosť, akú sme videli pri astroide:

V každom bode traktrix má úsečka na dotyčnici od bodu dotyku po priesečník s osou y

rovnakú dĺžku a.

Traktrix má veľmi zaujímavý vzťah k plochám. V priestore otáčajme „horný“ oblúk

traktrix okolo osi y pre všetky hodnoty uhla otáčania v intervale 0, 360. Vzniknutá rotačná

plocha má tvar „nekonečnej trúby“, ktorá sa a zužuje do nuly pre y idúce do . Nazýva sa

pseudosféra. Jej významná vlastnosť je, že má konštantnú krivosť (tzv. Gaussovu krivosť)

rovnú 1/a2.

Pre porovnanie s najjednoduchšími plochami, rovina má Gaussovu krivosť 0, guľová

plocha s polomerom r má Gaussovu krivosť 1/r2. Vidíme teda, že z hľadiska Gaussovej

krivosti sa pseudosféra podobá guľovej ploche, odlišuje sa od nej práve znamienkom. Ak do

vzorca pre Gaussovu krivosť guľovej plochy dosadíme za r hodnotu ia (i je imaginárna

jednotka z komplexných čísiel), dostaneme Gaussovu krivosť pseudosféry! Táto formálna

algebraická hra má mimoriadne dôležitý geometrický obsah. Dá sa totiž dokázať – ide to však

ďaleko za rámec kurzu – že na pseudosfére sa realizuje geometria časti Lobačevského

neeuklidovskej roviny. (Úsečkou s danými krajnými bodmi v tejto geometrii je najkratšia

krivka ležiaca na pseudosfére spájajúca dané body.) V histórii matematiky bola táto vlastnosť

pseudosféry dôležitým momentom v procese uznania Lobačevského geometrie ako plno-

hodnotnej alternatívy k bežnej euklidovskej geometrii.

Charakteristickou vlastnosťou Lobačevského planimetrie je nejednoznačnosť rovnobežky: Každým

bodom, ktorý neleží na danej priamke, možno viesť (aspoň) dve priamky, ktoré nepretínajú danú priamku.

Pre ohraničenú časť Lobačevského roviny možno sformulovať a dokázať takéto jej nečakané vlastnosti:

78

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je menší ako priamy uhol.

Existuje trojuholník, ktorý nemá opísanú kružnicu (lebo dve osi jeho strán sa nepretnú).

79

Príloha 4

O NESPRÁVNEJ PREDSTAVE OSKULAČNEJ KRUŽNICE ROVINNEJ KRIVKY

(Príspevok zo Zborníku príspevkov z konferencie Ematik 2008, s. 11 – 18.)

Miloš BOŽEK Abstrakt: Hlavným cieľom príspevku je opísať vzájomnú polohu krivky a jej oskulačnej kružnice a to pre všeobecný bod krivky a pre obyčajný vrchol. Kľúčové slová: Rovinná krivka, oskulačná kružnica, vrchol krivky, Frenetove vzorce.

Úvod Základnú predstavu o tvare rovinnej krivky v blízkosti jej bodu dáva oskulačná kružnica krivky v tom bode. Na obr. 1 vidíme oskulačné kružnice elipsy v hlavnom a vedľajšom vrchole spolu s populárnou konštrukciou ich stredov. Všimnime si, že v hlavnom vrchole leží elipsa zvonka oskulačnej kružnice a vo vedľajšom zvnútra. Rozšírená ale nesprávna predstava je, že jedným alebo druhým spôsobom sa (lokálne) správa každá rovinná krivka vzhľadom na oskulačnú kružnicu v ľubovoľnom svojom bode. Túto predstavu ilustruje obr. 2, na ktorom je znázornená nepravá oskulačná kružnica vo všeobecnom bode elipsy, teda v bode, ktorý nie je vrcholom krivky.

Naším cieľom je ukázať, že táto predstava je falošná a uviesť ju na správnu mieru – pozri vety 1 a 2 v odseku 2. Veta 1 hovorí, že vo všeobecnom bode krivky prechádza krivka z jednej strany oskulačnej kružnice na druhú (obr. 3).

V príspevku sa zaoberáme regulárnymi hladkými rovinnými krivkami bez inflexných bodov. Nadväzujeme na základné fakty o krivkách z kurzu [1] doplnené Frenetovými vzorcami.

Obr. 1 Oskulačná kružnica elipsy v hlavnom vrchole A a vo vedľajšom vrchole C. Ich stredy sú body SA a SC

A SA S B

SC

E C

D

a

b

80

1. Príprava – Frenetove vzorce Okrem jedného príkladu, v celom príspevku predpokladáme, že máme danú rovinnú krivku

vyjadrenú prirodzenou parametrizáciou P(s) (x(s),y(s)), sI, kde I je interval na číselnej osi, a že ju skúmame v blízkosti bodu P(s0). Pripomeňme niektoré základné vlastnosti prirodzenej parametrizácie. S výnimkou posledných dvoch ich možno nájsť napríklad v kurze [1]. (Niekedy sa tieto vlastnosti považujú za definície v nich vystupujúcich pojmov).

Vektor prvej derivácie P(s) má jednotkovú dĺžku:

(1.1) P(s) 1 pre všetky sI.

Vektory prvej a druhej derivácie sú navzájom kolmé4:

(1.2) P(s)P(s) 0

Krivosť krivky je dĺžka vektora druhej derivácie:

(1.3) k(s) P(s)

Bod krivky je neinflexný práve vtedy, keď je v ňom vektor druhej derivácie nenulový:

(1.4) bod P(s) je neinflexný P(s) 0.

V každom bode krivky môžeme veľmi jednoducho vyjadriť vektor dotyčnice

(1.5) t(s) P(s)

a pretože skúmame krivky bez inflexných bodov, aj vektor normály5

4 Kvôli stručnosti a väčšej prehľadnosti budeme odteraz spravidla vynechávať dodatok, že výrok

vyjadrený vzorcom platí pre všetky sI, teda pre všetky body krivky. 5 Rovinná krivka má v každom bode iba jednu normálu – na rozdiel od priestorovej krivky, ktorá ich má

nekonečne veľa. Preto namiesto „hlavná normála“ hovoríme jednoducho „normála“ krivky.

P

Obr. 2 Falošná predstava o oskulačnej kružnici elipsy v bode, ktorý nie je vrchol

81

(1.6) n(s) P(s)/P(s) P(s)/k(s)

a tiež polomer krivosti a stred krivosti

(1.7) r(s) 1/k(s) 1/P(s)

(1.8) S(s) P(s) r(s)n(s)

Kružnica so stredom S(s) a s polomerom r(s) sa nazýva oskulačná kružnica krivky v bode P(s).

Základným pokročilejším nástrojom diferenciálnej geometrie na skúmanie vlastností kriviek sú tzv. Frenetove vzorce, pozri napr. [2], odsek 26.11.1 alebo [3], vzorce (6.4). Pre rovinné krivky vyjadrujú derivácie vektorov, presnejšie vektorových funkcií t(s) a n(s), v tvare lineárnych kombinácií vektorov t(s) a n(s) prostredníctvom funkcie krivosti k(s):

(1.9) t(s) k(s)n(s)

(1.10) n(s) k(s)t(s)

2. Poloha rovinnej krivky vzhľadom na oskulačnú kružnicu Pripomeňme, že skúmame rovinnú krivku bez inflexných bodov, zadanú prostredníctvom

prirodzenej parametrizácie P(s), sI. V bode P(s0), s0I máme zadanú oskulačnú kružnicu

krivky so stredom S(s0) a polomerom r(s0), ktoré sú vyjadrené vzorcami (1.8) a (1.7) pre s s0. Pre čísla s blízke k s0 chceme zistiť polohu bodov P(s) vzhľadom na spomenutú oskulačnú kružnicu. Na to stačí skúmať, ako sa v blízkosti čísla s0 mení vzdialenosť bodu P(s) od stredu oskulačnej kružnice S(s0), teda preskúmať priebeh funkcie

g(s) P(s) S(s0), sI

Táto funkcia je v okolí čísla s0 kladná, preto má z hľadiska monotónnosti a lokálnych extrémov rovnaký priebeh ako jej druhá mocnina

(2.2) f(s) g(s)2 P(s) S(s0)2

(S(s0) P(s))(S(s0) P(s)) (S(s0) P(s))2

Ako o chvíľu uvidíme, funkcia f(s) sa pomerne pohodlne derivuje, na rozdiel od funkcie g(s). Najprv však funkciu f(s) vyjadríme pomocou Frenetovho repéra, čiže pomocou vektorov t(s) a n(s):

f(s) P(s) S(s0)2 (S(s0) P(s))2

{[P(s0) P(s)] r(s0)n(s0)}2

[P(s) P(s0)]2 2r(s0)n(s0)[P(s) P(s0)] r(s0)

2

teda

(2.3) f(s) [P(s) P(s0)]2 2r(s0)n(s0)[P(s) P(s0)] r(s0)

2

Pri úpravách sme okrem iného využili vzorec (1.8) a skutočnosť, že normálový vektor n(s0) je jednotkový.

Kvôli prehľadnosti výrazov zavedieme vektorovú funkciu (s) P(s) P(s0). Pre jej deriváciu zrejme platí

(2.4) (s) P(s) t(s).

Odteraz budeme pri funkciách často vynechávať premennú s a hodnoty funkcií pre s s0

budeme vyjadrovať pomocou indexu 0, napríklad r0 r(s0), n0 n(s0). Vzorec (2.3) má teraz podstatne jednoduchší tvar

(2.5) f 2 2r0n0 r02

82

Lema 1 Pre derivácie funkcie f v ľubovoľnom čísle sI platí

a) f(1) 2 { r0n0} t

b) f(2) 2 {1 k ( r0n0) n}

c) f(3) 2 ( r0n0) (k2t k(1)n)

d) f(4) 2 {k2 ( r0n0) [3kk(1)t (k3 k(2))n]}

Dôkaz. a) Derivujme funkciu f vyjadrenú vzorcom (2.5):

f(1) 2 2r0n0 2 { r0n0} 2 { r0n0} t

Využili sme rovnosti (2.4).

b) Derivujme rovnosť z tvrdenia a):

f(2) 2 {t ( r0n0) t} 2 {tt ( r0n0) (kn)}

2 {1 k ( r0n0) n}

V druhej rovnosti sme využili vzorce (2.4) a (1.9), v tretej (1.5) a (1.1).

c) Derivujme rovnosť z tvrdenia b):

f(3) 2 {k ( r0n0) n k n k( r0n0) n}

2 {k ( r0n0) n kt n k( r0n0) (kt)}

2 ( r0n0) (k2t k(1)n)

V druhej rovnosti sme využili vzorce (2.4) a (1.10) a v tretej skutočnosť, že vektory t, n sú navzájom kolmé, t.j.

(2.6) t n 0

d) Derivujme predchádzajúcu rovnosť:

f(4) 2 { (k2t k(1)n) ( r0n0) (2k2k t k2t k(2)n k(1)n)

2 {k2 ( r0n0) (2kkt k2t k(2)n k(1)n)

2 {k2 ( r0n0) (2kkt k3n k(2)n kk(1)t)

2 {k2 ( r0n0) [3kk(1)t (k3 k(2))n]}

V druhej rovnosti sme postupne využili vzorce (2.4), (1.5) spolu s (1.1), a (2.6). V tretej rovnosti sme využili oba Frenetove vzorce (2.9) a (2.10).

Pre naše ďalšie úvahy bude rozhodujúce poznať hodnoty derivácií funkcie f(s) v čísle s0.

Dôsledok Pre derivácie funkcie f pre s s0 platí

a) f(1)(s0) 0

b) f(2)(s0) 0

c) f(3)(s0) 2r(s0) k(1)(s0)

d) f(4)(s0) 2r(s0) k(2)(s0)

Dôkaz. Do vzorcov z predchádzajúcej lemy dosadíme s s0. Zrejme (s0) 0. Preto

f(1)(s0) 2 r0n0 t0 0

lebo n0 t0 6. Dokázali sme prvú časť dôsledku.

6 Tu aj v ďalších častiach dôkazu je dôležité, že hodnoty všetkých funkcií sa uvažujú v rovnakom bode

krivky (a to pre s s0).

83

V druhej časti postupujeme podobne, pričom využijeme rovnosti n0 n0 1 a k0r0 1. V tretej časti dôsledku je výpočet takýto:

f(3)(s0) 2 (0 r0n0) (k02t0 k(1)

0n0)

2 {r0k02(n0 t0) r0k

(1)0(n0 n0)} 2r(s0) k

(1)(s0)

Opäť sme využili rovnosti n0 t0 0 a n0 n0 1. V dôkaze poslednej časti dôsledku sa postupuje podobne ako v predchádzajúcich troch, pričom sa využijú všetky doteraz aplikované rovnosti.

V hlavných výsledkoch príspevku významným spôsobom vystupujú nasledujúce pojmy, pozri napr. [4], odsek 9.1.

Vrchol krivky je bod, v ktorom je krivosť stacionárna. Pre krivku s parametrizáciou P(t) je

to teda bod, pre ktorý k(t0) 0. Ak navyše platí k(t0) 0, vrchol P(t0) sa nazýva obyčajný vrchol.

Poznamenajme, že 1. Uvedené podmienky zrejme nezávisia od voľby parametrického vyjadrenia krivky. 2. V obyčajnom vrchole krivky má krivosť lokálny extrém, a to ostré lokálne minimum pre

k(t0) 0 a ostré lokálne maximum pre k(t0) 0.

Príklad 1 Uvažujme elipsu s rovnicou x2/a2 y2/b2 1, a b 0 (obr. 1). Jej bežné

parametrické vyjadrenie je P(t) = (acost, bsint), t0, 2 (nie je to prirodzená parametrizácia). Ukážeme, že vrcholmi elipsy v zmysle predchádzajúcej definície sú práve

jej vrcholy v obvyklom chápaní, teda body so súradnicami (a,0), (0,b), čiže body A P(0)

P(2), C P(/2), B P(), D P(3/2). Pre krivosť elipsy platí

k(t) ab/(a2sin2t b2cos2t)3/2

pozri napr. [1], príklad 5.1. Priamym výpočtom sa presvedčíme, že krivosť je stacionárna

práve pre t = 0, /2, , 3/2,2, pričom

k(0) k() k(2) 3a(a2 b2)/b4 0,

k(/2) k(3/2) 3b(a2 b2)/a4 0.

Dostali sme teda obyčajné vrcholy A P(0) P(2), C P(/2), B P(),

D P(3/2).Pre krivosť v nich zrejme platí kmax k(0) k() k(2) a/b2, kmin k(/2)

k(3/2) b/a2. Pre polomery krivosti vo vrcholoch preto platí rmin r(0) r() r(2) b2/a,

rmax r(/2) r(3/2) a2/b. Na týchto rovnostiach sa zakladá konštrukcia stredov oskulačných kružníc vo vrcholoch elipsy.

Podobným postupom sa možno presvedčiť, že vrcholmi hyperboly a paraboly v zmysle predchádzajúcej definície sú práve ich vrcholy v bežnom zmysle. Aby sme mohli dokázať hlavné výsledky príspevku, pripomeňme vetu z matematickej analýzy o využití derivácií vyšších rádov pri skúmaní priebehu funkcie, pozri napr. [5], veta 144.

Veta Nech je funkcia definovaná na intervale a nech

(1)(x0) ... (n1)(x0) 0 a (n)(x0) 0

pričom n 1. Potom platí

a) Ak n je nepárne, tak funkcia v okolí bodu x0 rastie resp. klesá podľa toho, či číslo

(n)(x0) je kladné alebo záporné.

b) Ak n je párne, tak funkcia má v bode x0 ostré lokálne minimum resp. ostré lokálne

maximum podľa toho, či číslo (n)(x0) je kladné alebo záporné.

84

Veta 1 V bode rovinnej krivky, ktorý nie je vrcholom, je krivosť ostro monotónna a krivka prechádza z jednej strany oskulačnej kružnice na druhú. Dovnútra oskulačnej kružnice vchádza v smere rastúcej krivosti.

Dôkaz. Uvažujme bod P(s0) krivky, ktorá je vyjadrená prirodzenou parametrizáciou P(s), sI,

pričom tento bod nie je vrcholom krivky. Vtedy k(s0) 0, preto krivosť krivky je v čísle s0 ostro monotónna. Prvá časť vety je dokázaná.

Podľa dôsledku lemy 1 nerovnosť k(s0) 0 pre funkciu f(s) P(s) S(s0)2 znamená, že

f(1)(s0) f(2)(s0) 0 a f(3)(s0) 2r(s0) k(1)(s0) 0

lebo polomer r(s0) oskulačnej kružnice je nenulový. Tento polomer je dokonca kladný, preto číslo f(3)(s0) má opačné znamienko ako číslo k(1)(s0). Z prvej časti vyššie uvedenej vety

o priebehu funkcie teda vyplýva, že pre k(1)(s0) 0 funkcia f(s) v čísle s0 klesá a pre k(1)(s0) 0 rastie.

V prvom prípade, keď k(1)(s0) 0, krivosť krivky v bode P(s0) s rastúcim s rastie a súčasne, pre s blízke k s0 a väčšie ako s0, vzdialenosť bodu P(s) od stredu S(s0) oskulačnej kružnice v bode P(s0) klesá, preto pre také čísla s ležia body krivky vnútri uvažovanej oskulačnej kružnice. Z rovnakého dôvodu ležia body P(s), pre s blízke k s0 a menšie ako s0, zvonka

oskulačnej kružnice v bode P(s0). Teda pre k(1)(s0) 0 je veta dokázaná.

Druhý prípad k(1)(s0) 0 je úplne analogický.

Veta 2 V obyčajnom vrchole má krivosť krivky ostrý lokálny extrém a rovinná krivka ostáva v blízkosti vrchola na jednej strane oskulačnej kružnice. V prípade lokálneho minima krivosti leží krivka lokálne zvonka oskulačnej kružnice, pri lokálnom maxime vnútri.

P

Obr. 3 K vete 1: Oskulačná kružnica elipsy v bode, ktorý nie je vrchol. Elipsa prechádza z jednej strany kružnice na druhú.

85

Dôkaz. Uvažujme bod P(s0) krivky, ktorá je vyjadrená prirodzenou parametrizáciou P(s), sI,

pričom tento bod je obyčajným vrcholom krivky. Vtedy k(1)(s0) 0 a

k(2)(s0) 0, preto krivosť krivky má v čísle s0 ostrý lokálny extrém. Prvá časť vety je dokázaná.

Podľa dôsledku lemy 1 rovnosť k(1)(s0) 0 spolu s nerovnosťou k(2)(s0) 0 pre funkciu f(s)

P(s) S(s0)2 dávajú, že

f(1)(s0) f(2)(s0) f(3)(s0) 0 a f(4)(s0) 2r(s0) k(2)(s0) 0.

Pretože polomer oskulačnej kružnice je kladný, číslo f(4)(s0) má opačné znamienko ako číslo

k(2)(s0). Z druhej časti vyššie vyššie uvedenej vety o priebehu funkcie vyplýva, že pre k(2)(s0)

0 má funkcia f(s) v čísle s0 ostré lokálne maximum a pre k(2)(s0) 0 ostré lokálne minimum.

V prvom prípade, keď k(2)(s0) 0, má krivosť krivky v bode P(s0) ostré lokálne minimum. Súčasne vzdialenosť bodu P(s) od stredu S(s0) oskulačnej kružnice má v bode P(s0) ostré lokálne maximum, preto v blízkosti čísla s0 ležia body krivky vnútri uvažovanej oskulačnej

kružnice. Teda pre k(2)(s0) 0 je veta dokázaná.

Druhý prípad k(2)(s0) 0 je opäť úplne analogický.

Vetu 2 ilustruje obrázok 1.

Záver V príspevku sme preskúmali vzájomnú polohu rovinnej krivky a jej oskulačnej kružnice vo všeobecnom bode a v obyčajnom vrchole. Otvorený ostáva prípad vrcholov, ktoré nie sú obyčajné, teda takých bodov krivky, v ktorých sú prvé dve derivácie krivosti nulové. Literatúra [1] Božek, M.: Úvod do diferenciálnej geometrie. e-Learningový kurz v rámci projektu

Inovačné trendy vo vzdelávaní budúcich učiteľov matematiky a v ďalšom vzdelávaní učiteľov matematiky (e-learningovou formou). http://elearn.ematik.sk/course/view.php?id=52

[2] Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983. [3] Budinský, B., Kepr, : Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi. SNTL,

Praha, 1970. [4] Gibson, C.,G: Eelementary Geometry of Differentiable Curves: an Undergraduate

Introduction. Cambridge University Press, Cambridge 2001. [5] Jarník, V.: Diferenciální počet I. Nakladatelství ČSAV Praha 1963. Adresa autora doc. RNDr. Miloš Božek, PhD. Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK Mlynská dolina, 842 48 Bratislava E-mail: milos.bozek@fmph.uniba.sk Copyright © 2008 Konferencia ematik. All Rights reserved.