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Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos 17
Vocabularioaltura de un triángulo . . . . . . . . . 316
centroide de un triángulo . . . . . 314
circuncentro de un triángulo . . 307
circunscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
concurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
demostración indirecta . . . . . . . 332
equidistante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
incentro de un triángulo . . . . . . 309
inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . 300
mediana de un triángulo . . . . . . 314
ortocentro de un triángulo . . . . 316
punto de concurrencia . . . . . . . . 307
segmento medio de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . 322
tripleta de Pitágoras . . . . . . . . . . 349
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. Un punto que está a la misma distancia de dos o más objetos está −−−−
? de los objetos.
2. Un −−−−
? es un segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo.
3. El punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos de un triángulo es el/la −−−−
? .
4. Un(a) −−−−
? es un conjunto de puntos que cumplen con una condición dada.
Halla cada medida.
5. BD 6. YZ
7. HT 8. m∠MNP
Escribe una ecuación en forma de punto y pendiente para la mediatriz del segmento con los extremos dados.
9. A (-4, 5
) , B
(6, -5
) 10. X
(3, 2
) , Y
(5, 10
)
Indica si la información dada te permite concluir que P está en la bisectriz del ∠ABC.
11. 12.
Halla cada medida.
■ JL
Como −−
JM � −−−
MK y −−−
ML ⊥ −−
JK , −−−
ML es la mediatriz del −−
JK .
JL = KL ⊥ Teorema de la bisectriz
Sustituye 7.9 por KL.JL = 7.9
■ m∠PQS, dado que m∠PQR = 68°
Como SP = SR, −−
SP ⊥ −−
QP , y
−−
SR ⊥ −−
QR , ��� QS forma una
bisectriz con ∠PQR según el recíproco del teorema de labisectriz de un ángulo.
m∠PQS = 1 _ 2
m∠PQR Def. de bisectriz de un ∠
Sustituye m∠PQR por 68°.
m∠PQS = 1 _ 2
(68°) = 34°
5-1 Mediatrices y bisectrices de ángulos (págs. 300–306)
EJERCICIOSE J E M P L O S
18 Guía de estudio: Repaso
−−
PX , −−
PY y −−
PZ son las mediatrices de �GHJ. Halla cada longitud.
13. GY 14. GP
15. GJ 16. PH
−−
UA y −−
VA son bisectrices de ángulos de �UVW. Halla cada medida.
17. la distancia de A a
−−
UV
18. m∠WVA
Halla el circuncentro de un triángulo con los vértices dados.
19. M (0, 6
) , N
(8, 0
) , O
(0, 0
)
20. O (0, 0
) , R
(0, -7
) , S
(-12, 0
)
■ −−
DG , −−
EG y −−
FG son las mediatrices de �ABC. Halla AG.
G es el circuncentro de �ABC. Según el teorema del circuncentro, G está equidistante de los vértices de �ABC.
AG = CG Teor. del circuncentro
Sustituye 5.1 por CG. AG = 5.1
■ −−
QS y −−
RS son bisectrices de ángulos de �PQR. Halla la distancia deS a
−− PR .
S es el incentro de �PQR. Según el teorema del incentro, S está equidistante de los lados de �PQR. La distancia de S a
−−
PQ es 17, por lo tanto, la distancia de S a
−−
PR también es 17.
5-2 Bisectrices de los triángulos (págs. 307–313)
EJERCICIOSE J E M P L O S
En �DEF, DB = 24.6, y EZ = 11.6. Halla cada longitud.
21. DZ 22. ZB
23. ZC 24. EC
Halla el ortocentro de un triángulo con los vértices dados.
25. J (-6, 7
) , K
(-6, 0
) , L
(-11, 0
)
26. A (1, 2
) , B
(6, 2
) , C
(1, -8
)
27. R (2, 3
) , S
(7, 8
) , T
(8, 3
)
28. X (-3, 2
) , Y
(5, 2
) , Z
(3, -4
)
29. Las coordenadas de una pieza triangular de un móvil son
(0, 4
) ,
(3, 8
) , and
(6, 0
) . La pieza colgará de una
cadena de manera que quede balanceada. ¿En qué coordenadas se debe sujetar la cadena?
■ En �JKL, JP = 42. Halla JQ.
JQ = 2 _ 3
JP Teor. del centroide
Sustituye JP por 42.
Multiplica.
JQ = 2 _ 3
(42)
JQ = 28
■ Halla el ortocentro de �RST con los vértices R (-5, 3) , S (-2, 5) y T (-2, 0) .
Como −−
ST es vertical, la ecuación de la línea que contiene la
altura desde R a −−
ST es y = 3.
pendiente de −−
RT = 3 - 0 _ -5 - (-2)
= -1
La pendiente de la altura a −−
RT es 1. Esta línea debe pasar por S
(-2, 5
) .
y - y 1 = m (
x - x 1 )
Forma de punto y pendiente
Sustitución y - 5 = 1 (x + 2)
Resuelve el sistema ⎧
⎨
⎩
y = 3
y = x + 7 para hallar que las
coordenadas del ortocentro son (-4, 3
) .
5-3 Medianas y alturas de los triángulos (págs. 314–320)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Capítulo 5 Propiedades y atributos de los triángulos 19
Halla cada medida.
30. BC 31. XZ
32. XC 33. m∠BCZ
34. m∠BAX 35. m∠YXZ
36. Los vértices de�GHJ son G (-4, -7
) , H
(2, 5
)
y J (10, -3
) . V es el punto medio de
−−−
GH , yW es el punto medio de
−−
HJ . Demuestra que −−−
VW ‖ −−
GJ
y VW = 1 __ 2 GJ.
Halla cada medida.
■ NQ
Según el teor. del segmento
medio de �, NQ = 1 _ 2
KL = 45.7.
■ m∠NQM
−−
NP ‖ −−−
ML Teor. del segmento medio del �Teor. de la altura de � internoSustitución
m∠NQM = m∠PNQ m∠NQM = 37°
5-4 El teorema del segmento medio de un triángulo (págs. 322–327)
EJERCICIOSE J E M P L O S
37. Escribe los lados de �ABC en orden, del más corto al más largo.
38. Escribe los ángulos de�FGH en orden, de menor a mayor.
39. Dos lados de un triángulo miden 13.5 centímetros y 4.5 centímetros. Halla el rango de posibles longitudes para el tercer lado.
Indica si es posible que un triángulo tenga lados con las siguientes longitudes. Explica.
40. 6.2, 8.1, 14.2 41. z, z, 3z, cuando z = 5
42. Escribe una demostración indirecta de que un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos.
■ Escribe los ángulos de �RST en orden, de menor a mayor.
El ángulo menor es el opuestodel lado más corto. En orden, los ángulos son ∠S, ∠R y ∠T.
■ Dos lados de un triángulo miden 15 pulgadas y 12 pulgadas. Halla el rango de posibles longitudes para el tercer lado.
Sea s la longitud del tercer lado.
s + 15 > 12 s + 12 > 15 15 + 12 > s s > -3 s > 3 27 > s
Según el teorema de desigualdad de los triángulos, 3 pulg < s < 27 pulg.
5-5 Demostración indirecta y desigualdades en un triángulo (págs. 332–339)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Compara las medidas dadas.
43. PS y RS 44. m∠BCA y m∠DCA
Halla el rango de valores para n.
45. 46.
Compara las medidas dadas.
■ KL y ST
KJ = RS, JL = RT y m∠J > m∠R. Según el teor. del eje, KL > ST.
■ m∠ZXY y m∠XZW
XY = WZ, XZ = XZ y YZ < XW. Según el recíproco del teor. del eje, m∠ZXY < m∠XZW.
5-6 Desigualdades en dos triángulos (págs. 340–345)
EJERCICIOSE J E M P L O S
20 Guía de estudio: Repaso
Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma radical más simple.
47. 48.
Halla la longitud del lado que falta. Indica si los lados forman una tripleta de Pitágoras. Explica.
49. 50.
Indica si las medidas pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo. Si es así, clasifica el triángulo como acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
51. 9, 12, 16 52. 11, 14, 27
53. 1.5, 3.6, 3.9 54. 2, 3.7, 4.1
■ Halla el valor de x. Da tu respuesta en la forma radical más simple.
a 2 + b 2 = c 2 Teor. de Pitágoras
SustituciónSimplifica.
Halla la raíz cuadrada positiva y simplifica.
6 2 + 3 2 = x 2 45 = x 2 x = 3
√
�
5
■ Halla la longitud del lado que falta. Indica si los lados forman una tripleta de Pitágoras. Explica.
a 2 + b 2 = c 2 Teor. de PitágorasSustituciónHalla a 2 .Halla la raíz cuadrada positiva.
a 2 + (1.6) 2 = 2 2 a 2 = 1.44
a = 1.2
Las longitudes de los lados no forman una tripleta de Pitágoras porque 1.2 y 1.6 no son números cabales.
5-7 El teorema de Pitágoras (págs. 348–355)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en la forma radical más simple.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
Halla el valor de cada variable. Redondea a la pulgada más cercana.
61. 62.
Halla los valores de las variables. Da tus respuestas en la forma radical más simple.
■ Éste es un triángulo de 45°, 45°
y 90°. x = 19 √
�
2 Hipot.= cateto
√
�
2
■ Éste es un triángulo 45°, 45° y
90°. 15 = x √
�
2 Hipot.= cateto
√
�
2
15 _
√
�
2 = x Divide ambos lados entre
√
�
2 .
Racionaliza el denominador. 15
√
�
2 _
2 = x
■ Éste es un triángulo de 30°, 60°
y 90°. 22 = 2x Hipot. = 2(cateto más corto)
11 = x Divide ambos lados entre 2.
Cateto más largo = (cateto más corto)
√
�
3 y = 11
√
�
3
5-8 Cómo aplicar triángulos rectángulos especiales (págs. 356–362)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Respuestas, continuación
Respuestas: Capítulo 5 65
CAPÍTULO 5
Vocabulario
1. equidistante
2. segmento medio
3. incentro
4. lugar geométrico
5-1 Mediatrices y bisectrices de ángulos
5. 7.4
6. 13.4
7. 5.8
8. 52°
9. y = x - 1
10. y - 6 = -0.25 (x - 4)
11. No; para aplicar el recíp. del teorema de la bisectriz de un ∠ necesitas saber que �
AP ⊥
�
AB y �
CP ⊥
�
CB.
12. Sí; ya que �
AP ⊥
�
AB , �
CP ⊥
�
CB y �
AP �
�
CP, P está en la bisectriz de ∠ABC según el recíp. del teorema de la bisectriz de un ∠.
Respuestas, continuación
66 Respuestas: Capítulo 5
5-2 Bisectrices de los triángulos
13. 42.2
14. 46
15. 57.6
16. 46
17. 18
18. 37°
19. (4, 3)
20. (-6, -3.5)
5-3 Medianas y alturas de los triángulos
21. 16.4
22. 8.2
23. 5.8
24. 17.4
25. (-6, 0)
26. (1, 2)
27. (7, 4)
28. (3, 0)
29. (3, 4)
Respuestas, continuación
Respuestas: Capítulo 5 67
5-4 El teorema del segmento medio de un triángulo
30. 35.1
31. 64.8
32. 32.4
33. 42°
34. 138°
35. 42°
36. V (-1, -1); W (6, 1); pendiente de �
VW
= 2
—
7 ; pendiente de
�
GJ = 2
—
7 ; como las
pendientes son iguales, �
VW ‖ �
GJ.
VW = √
—
53; GJ = 2 √
—
53;
como √
—
53 = 1
�
2 (2 √
—
53), VW = 1
—
2 GJ.
5-5 Demostración indirecta y desigualdades en un triángulo
37. �
BC, �
AC, �
AB
38. ∠F, ∠H, ∠G
39. mayor que 9 cm y menor que 18 cm
40. Sí; respuesta posible: la suma de cada par de longitudes es mayor que la tercera longitud.
41. No; respuesta posible: cuando z = 5, el valor de 3z es 15. Por lo tanto, las 3 longitudes son 5, 5 y 15. La suma de 5 y 5 es 10, lo que no es mayor que 15. Según el teorema de desigualdad de �, un � no puede tener estas longitudes de lado.
42. Respuesta posible:Dado: �ABCDemuestra: �ABC no puede tener dos � obtusos.Demostración: Supongamos que �ABC tiene dos �obtusos. Sean ∠A y ∠B los � obtusos. Según la def. de obtuso, m∠A > 90° y m∠B > 90°. Si se suman las dos desigualdades, m∠A + m∠B > 180°. Sin embargo, según el teorema de la suma
del �, m∠A + m∠B + m∠C = 180°. Por lo tanto, m∠A + m∠B = 180° - m∠C. Pero luego,180° - m∠C > 180° por la sust. y, por lo tanto, m∠C < 0°. Un � no puede tener un ∠ de una medida menor que 0°. Por lo tanto, la suposición de que �ABC tiene 2 � obtusos es falsa. Por lo tanto, un � no puede tener 2 � obtusos.
5-6 Desigualdades en dos triángulos
43. PS < RS
44. m∠BCA < m∠DCA
45. -1.4 < n < 3
46. 2.75 < n < 12.5
Respuestas, continuación
68 Respuestas: Capítulo 5
5-7 El teorema de Pitágoras
47. x = 2 √
—
10
48. x = 2 √
—
33
49. 6; las longitudes no forman una tripleta de Pitágoras porque 4.5 y 7.5 no son números cabales.
50. 40; las longitudes sí forman una tripleta de Pitágoras porque son números cabales distintos de cero que satisfacen la ecuación a² + b² = c².
51. triángulo; obtuso
52. no es un triángulo
53. triángulo; rectángulo
54. triángulo; agudo
5-8 Cómo aplicar triángulos rectángulos especiales
55. x = 26 √
—
2
56. x = 6 √
—
2
57. x = 32
58. x = 24; y = 24 √
—
3
59. x = 6 √
—
3 ; y = 12
60. x = 14 √
—
3
��—
3 ; y =
28 √
—
3
��—
3
55. 21 pies 3 pulg
56. 15 pies 7 pulg
