PREDAVANJE 2SOFT RAČUNARSTVO & FUZZY LOGIKA

Razlog za uvođenje soft računarstva i fuzzy logike je neizvjesnost u kompleksnim dinamičkim sistemima. Naime, u procesnim varijablama tih sistema pojavljuju se fluktuacije iz kojih proizilaze neizvjesnosti. Fluktuacije su posljedica nekih pokretačkih funkcija kao što su npr. turbulentnost fluida i rotaciona neravnoteža. Istraživanja ovih fluktuacija dovede do razvoja polja "Analiza slučajnog šuma" a iz njega proizilaze druge specijalnosti kao što su: Analiza vibracija, Seizmologija, Geologija, Okeanografija, Elektrokardiografija i sl.

Poređenje klasičnog i soft računarstva

Iz neizvjesnosti proizilazi nepreciznost, a iz njega nejasnoća.Nepreciznost - zbog ograničenog broja pravila prezentacije kad je u pitanju ekspertni sistem ili rezolucija kada je u pitanju mjerni instrumentNejasnoća - odnosi se na jezik, tj. izrazi mogu biti interpretirani na više od jednog načina

SOFT RAČUNARSTVO - računarstvo koje procesira varijable koje posjeduju soft vrijednosti, tj. varijable koje imaju eksplicitne i implicitne elemente: neizvjesnosti, nepreciznosti i nejasnoće.

SOFT RAČUNARSTVO - Pristup koji se stvara u paraleli sa izrazitim darom ljudskog uma da rezonuje i uči u neizvjesnom, nepreciznom i nejasnom okruženju. (Zadeh)

Soft računarstvo u užem značenju obuhvata:1) Fuzzy logiku2) Neuronske mreže3) Genetičke algoritmea u širem još i:4) Haotične sisteme5) Celularne automate6) Ekspertne sisteme.

FUZZY LOGIKA

Dok klasična logika operiše samo sa dvije vrijednosti 1(istina) i 0(laž), Lukasiewicz uvodi logiku koja proširuje opseg tačnih vrijednosti na sve realne brojeve u intervalu između 0 i 1. Ova logika dovodi do neegzaktne tehnike razmišljanja koja se zove teorija vjerovatnoće.

Na osnovu toga, Zadeh je:1) proširio rad teorije vjerovatnoće u formalan sistem matematičke logike2) nazvao ovu novu logiku fuzzy logika

3) predstavio novi koncept za modeliranje prirodne logike.

TERMINI FUZZY LOGIKE:FUZZY- nejasno, neizrazito, mutno, neodređenoFUZZINES - nejasnostFUZZY SKUP:

1) skup koji ima nejasne granice2) skup kome elementi mogu pripadati sa određenim stepenom pripadnosti

FUZZY LOGIKA:1) logika koja procesira fuzzy skupove2) logika koja procesira nejasne ulaze u rezultate koji su nam korisni3) logika koja kompleksne pojave iz života tumači matematikom fuzzy skupova

FUZZY SKUPOVIFuzzy skupovi predstavljaju rezultat kategorizacije unutar jedne klase. Npr. klasa realnih brojeva ima 3 kategorije:

1) mali realni brojevi (A)2) srednji realni brojevi (B)3) veliki realni brojevi (C).

Kod klasičnih skupova, pripadnost označavamo jedinicom, a nepripadnost nulom. Granica između skupa malih realnih brojeva i ostalih brojeva je odskočna funkcija. Tako dobivamo karakterističnu funkciju (fi) koja vrijednost svakog elementa x iz X pridružuje skupu A s vrijednošću 0 ili 1.

Kod fuzzy skupova, granica između skupa malih realnih brojeva (A) i ostatka brojeva iz X je predstavljena funkcijom postepenog prelaza sa 0 na 1. Ova funkcija se naziva funkcija pripadnosti fuzzy skupa A i uzima vrijednosti svih brojeva iz intervala [0, 1].

FUNKCIJA PRIPADNOSTI FUZZY SKUPAFunkcije pripadnosti mogu biti:

1) subjektivna zapažanja nejasne klase2) utvrđene na bazi statističkih podataka.

To ne znači da se funkcija kriterija može pridružiti proizvoljno, već na bazi aplikaciono specifičnog kriterija.

Reprezentacije fuzzy skupova:

Ovdje imamo samo dva stepena pripadnosti.

Karakteristične veličine fuzzy skupova:1) visina - maksimalan stepen pripadnosti2) domen3) skup podrške

NORMALNA FORMA fuzzy skupa --> skup ima visinu (tj. max stepen pripadnosti) 1.

ALPHA CUT fuzzy skupa A:

Alpha je broj veći od nule koji se koristi da se označi nova donja granica pripadnosti skupu, pa alpha cut fuzzy skupa predstavlja elemente tog skupa koji imaju pripadnost veću od broja alpha.

Primjer:

KONVEKSNOST - linija koja spaja bilo koje dvije tačke koje pripadaju nekom skupu, također, u cjelosti, pripada tom skupuNORMALNOST - barem jedan element fuzzy skupa ima pripadnost = 1.

FUZZY BROJ je fuzzy skup koji je istovremeno i konveksan i normalan.

Model lingvističke varijableLingvistička varijabla uzima lingvističke vrijednosti koje su predstavljene fuzzy skupovima. Npr. lingvistička varijabla Temperatura uzima vrijednosti hladno, toplo, vuće koje se predstavljaju

A0,5 = {3, 4, 5, 6}

sljedecim fuzzy skupovima:

Lingvistička vrijednost varijable pripada svakom od skupova sa određenom mjerom pripadnosti, npr: miH(19)=0.66, miT(19)=0.33 i miV(19)=0.

OPERACIJE NAD FUZZY SKUPOVIMAAko imamo:

Onda je:

Tj:

PREDAVANJE 3SVOJSTVA FUZZY SKUPOVA

Za fuzzy skupove vrijede sljedeca svojstva klasicnih skupova:

s tim da se ona primjenjuju na stepene pripadnosti skupova A, B i C.

T-NORM OPERATORI> predstavljaju klasu operatora za presjek nad fuzzy skupovima

Ukoliko je zadato:

tada je formalni zapis za T-norm operatore sljedeći:

Svojstva T-norm operatora:Ako su A,B,C,D fuzzy skupovi sa funkcijama pripadnosti a,b,c,d respektivno, tada važe svojstva:

S-NORM (T-CONORM) OPERATORI> predstaviljaju klasu operatora za uniju nad fuzzy skupovima

Ako je zadato:

tada je formalni zapis za S-norm operatore sljedeći:

Ako su A,B,C,D fuzzy skupovi sa funkcijama pripadnosti a,b,c,d respektivno, tada važe svojstva:

*Primjer na predavanju!!

Fuzzy Relacije

1) Binarna Fuzzy Relacija

Neka su X i Y dva univerzalna skupa. Tada je binarna fuzzy relacija u skupu X x Y, a je dvodimenzionalna funkcija pripadnosti.

Objašnjenje: Geneza binarne fuzzy relacije

Reprezentacija fuzzy relacija:1) pomoću grafa2) pomoću listinga3) tabelarna forma4) matrična forma

*Primjer za reprezentaciju u prezentaciji P3-2.

Posebni slučajevi binarnih fuzzy relacija:1) identity relacija --> dijagonalna jedinična matrica2) universe relacija --> sve jedinice u matrici3) null relacija --> sve nule u matrici

FUZZY IMPLIKACIONO PRAVILO ili FUZZY IMPLIKACIONA RELACIJA"Ako x je A, onda y je B."

Funkciju pripadnosti implikacione fuzzy relacije definišemo preko implikacionog operatora koji za ulaz ima dvije funkcije pripadnosti kao parametre.

Funkcija pripadnosti (?) se određuje na više načina:- na osnovu specifičnih kriterija aplikacije- na osnovu logike- na osnovu intuicije.

*na predavanju tabela za odabir funkcije pripadnosti

Multivarijabilna fuzzy implikaciona relacija

Funkcija pripadnosti za ovo pravilo je:

Na ovako napisanu funkciju pripadnosti se ne može primjeniti implikacioni operator. Za to je potrebno uvesti multivarijabilne mrežovane fuzzy implikacione relacije.

Multivarijabilna mrežovana fuzzy implikaciona relacija

Funkcija pripadnosti za ovo pravilo dobija se kroz ponovljene (rekurzivne) aplikacije fuzzy operatora:

FUZZY KOMPOZICIJA RELACIJA

Fuzzy kompozicijaAko imamo skup A i dvije binarne relacije: R1 i R2:

Relacije R1 i R2 imaju zajednički "most" Y pa se na osnovu toga može dobiti nova RELACIJA (kompozicija relacija je također relacija) koja je definisana na XxZ.

> ima više uslova ali samo jedan rezultat (y je B1).

Prema tome postoje 4 tipa kompozicija fuzzy relacija:1) Max-Min kompozicija2) Max-Star kompozicija3) Max-Produkt kompozicija4) Max-Average kompozicija.

1) MAX-MIN KOMPOZICIJA

2) MAX-STAR KOMPOZICIJA

3) MAX-PRODUKT KOMPOZICIJA

4) MAX-AVERAGE KOMPOZICIJA

predstavlja klasično množenje brojeva

*primjeri za kompozicije na prezentaciji P3-3

PREDAVANJE 4FUZZY ALGORITAMSKA RELACIJA

Aproksimacija funkcije y=f(x)

Aproksimacija funkcije predstavilja slučaj kada se data funkcija f zamijeni nekim drugim funkcijama g1, g2,... na nekom skupu parametara ili varijabli. Funkcija dobivena aproksimacijom nije u potpunosti ista kao početna (izvorna) funkcija, ali je:

- u željenom intervalu dovoljno tačna i - mnogo lakše se izračunava.

Problem aproksimacije funkcije f funkcijama g1, g2, g3, ... svodi se na određivanje vrijednosti parametara b0, b1, b2,... u zavisnosti od parametara a0, a1, a2,... .

Tada bismo funkcije g1, g2,.. mogli predstaviti parovima:

ali bi tih parova trebalo biti puno, pa se zbog toga radi aproksimacija lingvističkog predstaviljanja parova, čime oni postaju:

odnosno:

Možemo zamijeniti baze Aio sa fuzzy skupovima Ai i baze Bio sa fuzzy skupovima Bi pa tada sistem implikacionih relacija prelazi u sistem fuzzy implikacionih relacija.

Algoritamska relacija Ralpha predstavilja uniju fuzzy implikacionih relacija sa funkcijom pripadnosti miRalpha pa možemo pisati:

Zašto se radi aproksimacija?

Zato što izvorna funkcija f(x) predstavlja idealizirani slučaj što predstavlja ograničenje kada su u pitanju šumovi u okruženju njene (realne) primjene.

Aproksimacijom dobijamo distribuciju rješenja u koju se mogu uklopiti familija krivih yi=fi(x). Aproksimirana funkcija se bolje koristi u realnim situacijama gdje je prisutno:

- mijenjanje tokom vremena- nelinearno ponašanje- kompleksno ponašanje.

Fuzzy algoritamska relacija za "n" fuzzy varijabli i "m" fuzzy implikacionih relacija

Mogu li fuzzy sistemi aproksimirati bilo koju ciljnu funkciju?

FUZZY ALGORITAMSKA RELACIJA KAO UNIVERZALNI APROKSIMATOR - iz predavanja P4-1

SISO (Single Input Single Output) FUZZY MODEL

MISO (Multiple Input Single Output) FUZZY MODEL

n - varijabli A1,A2,...,An

m – relacija B1, B2,...,Bm

MIMO (Multiple Input Multiple Output) FUZZY MODEL

P4 - INTERVALOM VREDNOVANA FUNKCIJA & PRINCIP REZOLUCIJE

Vrednovanje funkcije y=f(x) vrši se tako što umjesto x uzmemo neki interval aint i tako dobijamo krivu y=f(x=aint).

Vrijednost je sada bint, a relacija se naziva intervalom vrednovana

x1, x2, x3, ... ,xm

y

relacija.

Princip ekstenzijeAko imamo funkciju y=f(x) i ako je ulaz u tu funkciju fuzzy skup A, izlaz y se dobija kao fuzzy skup B u obliku:

Princip ekstenzije za many-to-many mapiranje

Generalno:

*Primjer u prezentaciji P4-2

P4-3 KOMPOZICIONO PRAVILO ZAKLJUČIVANJA & APROKSIMATIVNO REZONOVANJE

Kompoziciono pravilo zaključivanja

1) Ako nam je data fuzzy relacija F na XxY, i funkcija pripadnosti te relacije miF. Dakle:

Datu relaciju F predstaviljamo ovako:

2) Neka nam je dat i fuzzy skup A na X i njegova funkcija pripadnosti miA:

3) Trebamo naći fuzzy skup B, odnosno miB.

A) Pravimo cilindričnu ekstenziju skupa A:

B) Tražimo minimum fuzzy relacije F i cilindrične ekstenzije skupa A

Pošto proširujemo samo po y osi, pripadnost elemenata cilindrične ekstenzije skupa A se ne mijenja.

C) Dobijeni minimum "rastegnemo" po x osi, tj. projiciramo na y-osu

Dobijena formula nije ništa drugo nego max-min kompozicija dvije fuzzy relacije:

Aproksimativno rezonovanje

Zbog

slijedi da je:

Neka je A fuzzy skup na X.Neka je B fuzzy skup na Y.

Između A i B možemo načiniti mapiranje (tj. fuzzy implikaciju) A->B kao fuzzy relaciju R (if x is A then y is B) na XxY sa funkcijom pripadnosti miR(x,y).

Neka je A' fuzzy skup na X.Neka nam je poznato R.Tražimo skup B' na Y.

Fuzzy skup B' će biti indukovan iz: x is A' i fuzzy relacije R.

To znači da nam kompoziciono pravilo zaključivanja omogućava aproksimativno rezonovanje.