TEHNICKOVELEUCILISTEUZAGREBUSTRUCNISTUDIJINFORMATIKEVJEROJATNOSTISTATISTIKADr.IgorUrbiha, prof.vis.sk.Sadrzaj1 Predgovor 3I Deskriptivnastatistika 42 Tabelafrekvencija,histogram, kumulativnafunkcija 43 Aritmeticka sredina,mod imedijan 114 Kvartil. Percentil. Kvantil 145 Varijanca. Standardnadevijacija.Cebisevljev teorem 176 Usporedivanjerazlicitihmjerenja. Usporedivanjerazlicitihrezultata 227 Linearnaregresija 24II Vjerojatnost 308 Dogadaj. Vjerojatnost 309 Diskretnaslucajnavarijabla. Distribucija slucajnevarijable. 5510 Funkcijavjerojatnosti. Funkcijadistribucijevjerojatnosti 5911 Ocekivanje,varijancaistandardnadevijacijadiskretneslucajnevarijable 6112 Diskretnauniformnadistribucija 6413 Bernoullijev pokus. Bernoullijeva shema. Binomna distribucija 6814 Poissonova distribucija 7215 Kontinuiranaslucajnavarijabla 7616 Normalna (Gaussova)distribucija. Standardnanormalnadistribucija 78172distribucija 83III Statistickitestovi 8418 Testiranjehipotezeoocekivanjuuzpoznatuvarijancu 86192test 9221 PredgovorSadrzaj ovog nastavnog materijala odgovara sadrzaju kolegija Vjerojatnost i statistika koji se odrzava na dru-goj godini strucnog studija informatike i druge godine strucnog studija racunarstva na Tehnickom veleucilistuu Zagrebu. Podijeljen je na tri dijela koji obuhvacaju sljedece cjeline: deskriptivna statistika, uvod u vjero-jatnost i uvod u statisticke testove.U prvoj cjelini se obraduje deskriptivna statistika gdje su dani osnovni postupci izracunavanja sumarnih po-dataka (aritmeticka sredina, mod, medijan, varijanca, stadardadna devijacija, kvartili, percentili) za zadaniskup brojcanih podataka, kao i njihov gracki prikaz (histogram, pravac regresije).Udrugoj cjelinijedanuvod uvjerojatnost, uvedenesuslucajne varijableiobradene nekediskretne (uni-formna, binomna i Poissonova distribucija) i kontinuirane distribucije (normalna i2distribucija).Utrecoj cjelini suobradena dvastatistickatesta(testiranjehipotezeoocekivanjuuzpoznatuvarijancui2-test).Namjenamaterijala, koji prati predavanjai vjezbe, jeupoznavanjestudenatasosnovamavjerojatnosti iosnovama statistikeuzminimumteorijekojajedovoljnazadeniranjepotrebnihpojmovaizarjesavanjezadataka kao i izvor zadataka te kao takav moze biti koristan svim studentima Tehnickog veleucilista koji uprogramu imaju isti ili slican kolegij.Napomenuobihdaseskorosvi statistickiizracunispomenuti udeskriptivnojstatistici moguprovestinavecini kalkulatora, dok se na boljim kalkulatorima nalaze programi za provodenje statistickih testova ili seoni mogu lako isprogramirati.Za slozenije statisticke postupke postoje posebni statisticki programski paketinamijenjeni osobnim racunalima (npr. Statistica), a mogu se koristiti i tablicni kalkulatori (npr. Open OceCalc ili Microsoft Oce Excel), koji imaju implementiranu vecinu potrebnih funkcija.Dr. Igor Urbiha, prof. vis. sk., 2008.3DioIDeskriptivnastatistika2 Tabelafrekvencija, histogram, kumulativnafunkcijaDani su brojeviy1, y2, . . . , yn. Neka se medu njima pojavljujef1brojevax1, f2brojevax2, . . .,frbrojevaxrpri cemu su brojevix1, x2, . . . , xrmedusobno razliciti.Brojevi x1, x2, . . . , xrsurazredi i obicnosusortiraniuzlazno(tj. vrijedi x1 a n(1 cf(a)) 100(1 cf(a))a < X b n(cf(b) cf(a)) 100(cf(b) cf(a))ZadaciZadatak4. Zadana je sljedeca tabela frekvencija:x 3 2 1 0 1 2 3f 5 1 3 3 3 2 3rf 0.25 0.05 0.15 0.15 0.15 0.1 0.15cf 0.25 0.3 0.45 0.6 0.75 0.85 1Koristeci sevrijednostimakumulativnefunkcijerelativnihfrekvencijaizracunajte koliko ukupnopo-datka i koliko posto podataka ima vrijednost(a) vecu od 2,X> 2(b)manju od ili jednaku 2,X 2(c) vecu od 3 i manju od ili jednaku 1, 3 < X 1(d)jednaku 1,X = 1Zadatak5. Zadana je sljedeca tabela frekvencija:x 2 1 1 2 3 4 5f 2 4 2 2 5 4 1rf 0.1 0.2 0.1 0.1 0.25 0.2 0.05cf 0.1 0.3 0.4 0.5 0.75 0.95 1Koristeci sevrijednostimakumulativnefunkcijerelativnihfrekvencijaizracunajte koliko ukupnopo-dataka i koliko posto podataka ima vrijednost(a) vecu od 2,X> 2(b)manju od ili jednaku 3,X 3(c) vecu od 1 i manju od ili jednaku 5, 1 < X 5(d)jednaku 0,X = 0103 Aritmetickasredina,modimedijanUmjesto mnogo brojevax1, x2, . . . , xn(n moze biti jako velik) mi bismo zeljeli izracunati nekoliko brojeva,sto manje to bolje, koji bi nam dali neke korisne informacije o njima. Neki od takvih brojeva su aritmetickasredina, mod i medijan.AritmetickasredinaNeka je danon brojevax1, x2, . . . , xn. Njihova aritmeticka sredina, u oznacix, se denira formulom:x =x1 +x2 + +xnn.Aritmeticka sredina brojeva 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6 je jednaka:x =1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 620=6820= 3.4Ako su poznate frekvencije danih brojeva,x x1x2. . . xnf f1f2. . . fnonda se aritmeticka sredina moze racunati formulom:x =f1x1 +f2x2 + +fnxnf1 +f2 + +fn.Aritmeticku sredinu brojeva danim u tabeli frekvencijax 1 2 3 4 5 6f 5 2 3 3 4 3racunamo ovako:x =5 1 + 2 2 + 3 3 + 3 4 + 4 5 + 3 65 + 2 + 3 + 3 + 4 + 3=6820= 3.4.ModModje onaj podatak u danom nizu brojeva x1, x2, . . . , xn koji se najcesce pojavljuje i to barem dvaput. Nizbrojeva moze imati jedan mod, vise modova ili niti jedan mod.Niz 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9 ima jedinstveni mod 7.Niz 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13 nema moda.Niz 2, 3, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 8 ima dva moda: 3 i 7.U histogramu je mod odreden najvisim pravokutnikom jervisina pravokutnika je proporcionalna s brojempojavljivanja pripadajuceg podatka.11Primijetimo da je mod podatak koji nam daje vise informacija o zadanim podacima od aritmeticke sredine.Dok aritmeticka sredina intuitivno predstavlja broj oko kojeg se gomila najvise podataka (sto cak ne morabiti tocno), za mod znamo da je to broj koji se najvise puta pojavljuje medu podacima.Pogledajmo primjer s dva niza brojeva koji imaju istu aritmeticku sredinu i nadimo njihove pripadne modove.Primjer1. Zadani su brojevix1 = 16000,x2 = 4000,x3 = 4000,x4 = 4000. Njihova aritmeticka sredinaje 7000, a mod je 4000.Primjer2. Zadani su brojevix1 = 10000,x2 = 6000,x3 = 6000,x4 = 6000. Njihova aritmeticka sredinaje takoder 7000, a mod je 6000.MedijanNekasudanipodaci x1, x2, . . . , xnsortiraniuzlazno. Medijan, uoznaci x(ikstilda)seugrubodenirakao srednji broj u nizu. Ako podataka ima neparan broj, tj.n = 2k +1, onda je x = xk+1, a to je upravosrednji broj u nizu. Ako podataka ima paran broj,n = 2k, onda nema srednjeg broja pa se x denira kaosrednja vrijednost srednja dva broja u nizu, tj. x =xk+xk+12. x =

srednji broj ,n neparanzbroj srednja dva broja2,n paran=

xk+1,n = 2k + 1xk+xk+12,n = 2k11, 11, 16, 17, 25 x = x3 = 161, 4, 8, 8,10, 16, 16, 19 x =x4+x52=8+102= 9Akobrojevaimapuno, ondajetrazenjemedijanatrazenjemsrednjegbrojaili srednjihbrojevaunizunespretno, no ako imamo tablicu frekvencija s kumulativnom funkcijom na raspolaganju, onda ga mozemonaci jako brzo. Moguca su dva slucaja.U retku s kumulativnom funkcijom postoji vrijednost koja je tocno jednaka 0.5, kao u sljedecoj tablici:x 1 2 3 4 5 6f 5 2 3 3 4 3rf 0.25 0.1 0.15 0.15 0.2 0.15cf 0.25 0.35 0.5 0.65 0.85 1Medijanjeuovom slucaju jednaksrednjoj vrijednostirazreda kojoj pripada vrijednostkumulativnefunkcije 0.5 i sljedeceg po redu razreda, u ovom slucaju x =3 + 42= 3.5.U retku s kumulativnom funkcijom nema vrijednosti 0.5, kao u sljedecoj tablici:x 1 2 3 4 5 6f 6 2 4 2 3 3rf 0.3 0.1 0.2 0.1 0.15 0.15cf 0.3 0.4 0.6 0.7 0.85 1Medijanjeuovomslucajujednakonomrazredukojempripadanajmanjavrijednost kumulativnefunkcije koja je veca od 0.5, u ovom slucaju x = 3.12ZadaciZadatak1.Dani su brojevi: 5, 1, 5, 3, 2, 3, 6, 5, 6, 1, 2, 5, 1, 6, 3, 1, 3, 4, 1, 6.Odredite razrede, sastavite tabelu frekvencija s kumulativnom funkcijom te pronadite mod(ove) i medi-jan.Rjesenje.zadanih brojeva ima: 20razredi: 1, 2, 3, 4, 5, 6broj razreda: 6tabela frekvencija i kumulativna funkcija:x 1 2 3 4 5 6f 5 2 4 1 4 4rf 0.25 0.1 0.2 0.05 0.2 0.2cf 0.25 0.35 0.55 0.6 0.8 1Medu danim brojevima se broj 1 najvise puta pojavljuje (pripadajuca vrijednost u retku s frekvenci-jama je najveca) pa je on jedinstveni mod.Broja 0.5 nema medu vrijednostima kumulativne funkcije pa trazimo najmanju od 0.5 vecu vrijednost.To je 0.55 koja pripada razredu 3 pa je medijan: x = 3.Zadatak2.Dani su brojevi: 3, 4, 1, 5, 6, 2, 4, 5, 3, 5, 1, 1, 2, 1, 4, 6, 1, 5, 4, 6.Odredite razrede, sastavite tabelu frekvencija s kumulativnom funkcijom te pronadite mod(ove) i medi-jan.Zadatak3.Dani su brojevi: 56, 65, 66, 60, 61, 66, 61, 63, 66, 61, 63, 57, 57, 64, 58, 57, 57, 65, 58, 67, 66, 58, 59,57, 67, 57, 62, 66, 56, 62, 61.Odredite razrede, sastavite tabelu frekvencija s kumulativnom funkcijom te pronadite mod(ove) i medi-jan.134 Kvartil. Percentil. KvantilMedijan se moze opisati kao srednji broj u nizu, sto znaci da je to broj sa svojstvom da je pola zadanihbrojeva, ili 50%, od njega manje. U nekim slucajevima mogu biti zanimljivi brojevi sa svojstvom da je odnjih manje 25% ili 75% posto danih brojeva. Ta dva broja, u oznakama Q1 i Q3 redom, zajedno s medijanom(kojeg u ovom kontekstu oznacavamo Q2) se zovu kvartili, pri cemu jeQ1 prvi,Q2 drugi, aQ3 treci kvartil.Broj koji ima svojstvo da je neki proizvoljan postotakrzadanih brojeva od njega manje oznacavamoPrtakve brojeve zovemo percentilima. Vrijedi: Q1 = P25, (dvadesetpeti percentil) x =Q2 =P50(pedesetipercentil) iQ3 = P75(sedamdesetpeti percentil).Kvantil qsse denira preko percentila izrazom: qs = P100s, dakle imamo npr.q0.5 = P50,q0.23 = P23.1. kvartil: Q1 = P25 = q0.252. kvartil: Q2 = P50 = q0.5 = x 3. kvartil: Q3 = P75 = q0.75medijan prve polovice podataka medijan medijan druge polovice podatakaDa bismo mogli brzo racunati percentile, potrebno je prvo sastaviti tabelu frekvencija.x x1x2x3. . . xm1xmf f1f2f3. . . fm1fmrff1nf2nf3n. . .fm1nfmncff1nf1+f2nf1+f2+f3n. . .f1+f2++fm1nf1+f2++fm1+fmn= 1Postupaknalazenjaproizvoljnogpercentila(ili kvantila) je ubiti jednakpostupkunalazenjumedijana(opisanognastranici 12), tj. pedesetogpercentila. Trebamonaci percentil Pr(tj. broj sasvojstvomdar% svih podataka nisu od njega veci). Potrazimo gdje se u retku kumulativne funkcije nalazi brojr/100 ineka radi jednostavnosti redak kumulativne funkcije u tabeli frekvencija izgleda ovako:cf 1(=f1n ) 23. . . m1m(= 1)Dakle, broj kse u tabeli nalazi u retku kumulativne funkcije ispod razreda xkiz prvog retka. Razlikujemodva slucaja.Broj r/100 je jedan od brojeva u retku kumulativne funkcije, tj.r/100 = k. Tada jePr =xk +xk+12.Broj r/100senalazi izmedudvijesusjednevrijednosti ki k+1uretkukumulativnefunkcije, tj.k< r/100 < k+1. Tada jePr = xk+1.14Primjer1.Potrazimo 35. percentilP35(tj. kvantilq0.35) uz pomoc sljedece tabele.x 1 2 3 4 5 6f 5 2 3 3 4 3rf 0.25 0.1 0.15 0.15 0.2 0.15cf 0.25 0.35 0.5 0.65 0.85 1Broj35100=0.35senalazi uretkukumulativnefunkcijepajetrazeni percentil P35uovomslucajujednak srednjoj vrijednosti razreda kojoj pripada vrijednost kumulativne funkcije0.35 isljedeceg poredu razreda, u ovom slucajuP35 = q0.35 =2 + 32= 2.5.Primjer2.Potrazimo 75. percentilP75(tj. kvantilq0.75) uz pomoc sljedece tabele.x 1 2 3 4 5 6f 6 2 4 2 3 3rf 0.3 0.1 0.2 0.1 0.15 0.15cf 0.3 0.4 0.6 0.7 0.85 1Broj75100=0.75senenalaziuretkukumulativnefunkcijepajetrazenipercentil P75jednakonomrazredu kojem pripada najmanja vrijednost kumulativne funkcije koja je veca od 0.75 (a to je 0.85), uovom slucajuP75 = q0.75 = 5.Izdenicijeslijedi P0=q0=x1, atojenajmanji odzadanihbrojeva. Stoti percentil P100=q1nijedeniran, no mozemo posebno denirati da je on jednak najvecem od zadanih brojeva (xm) uvecan za 1, tj.P100 = q1 = xm + 1.Primjer3.Sljedeca tabela prikazuje srednje dnevne temperature (oC) tijekom 28 dana.temp. (oC) -4 -2 1 2 3 5 7 8 9 10 13f 1 2 2 3 1 1 3 6 2 5 2rf 0.036 0.071 0.071 0.107 0.036 0.036 0.107 0.214 0.071 0.179 0.071cf 0.036 0.107 0.179 0.286 0.321 0.357 0.464 0.679 0.75 0.929 1.000Pronadimo sve kvartile i percentilP10.Prvi kvartil Q1jejednakdvadesetpetompercentilu. Broja25100=0.25nemauretkukumulativnefunkcijepatrazimo prviodnjega veci,atoje0.286. Toj vrijednostikumulativnefunkcijeodgovararazred 2 i to je trazena vrijednost, tj. imamoQ1 = P25 = 2.Slicno dobivamo da je medijan, odnosno drugi kvartil jednakP50 = 8.15Broj75100= 0.75 se nalazi u retku kumulativne funkcije pa je trazena vrijednost treceg kvartila jednakaaritmetickoj sredini pripadajuceg i sljedeceg po vrijednosti razreda: Q3 = P75 =9+102= 9.5.Broja10100= 0.1 nema u retku kumulativne funkcije pa trazimo prvi od njega veci, a to je 0.107. Tojvrijednosti kumulativne funkcije odgovara razred 2 i to je trazena vrijednost, tj. imamoP10 = 2.ZadaciZadatak1.Zadana je sljedeca tabela frekvencija:x 3 2 0 1 2 3 4f 1 2 5 3 2 3 4rf 0.05 0.1 0.25 0.15 0.1 0.15 0.2cf 0.05 0.15 0.4 0.55 0.65 0.8 1Odredite1. medijan x2. prvi kvartilQ13. percentilP754. kvantilq0.15Zadatak2.Zadana je sljedeca tabela frekvencija:x 1 0 1 2 3 4 6f 1 3 3 4 3 2 4rf 0.05 0.15 0.15 0.2 0.15 0.1 0.2cf 0.05 0.2 0.35 0.55 0.7 0.8 1Odredite1. medijan x2. treci kvartilQ33. percentilP354. kvantilq0.75165 Varijanca. Standardnadevijacija.CebisevljevteoremJedanodbrojevakoji nammozedati nekuinformacijuozadanimbrojevimax1, x2, . . . , xnje, kakosmovidjeli, njihova aritmeticka sredinax:x =x1 +x2 + +xnn.Ono stoneznamojekoliko zadanibrojeviodstupajuodx. Kvadratno odstupanjevjpodatkaxjodarit-meticke sredinex se denira savj= (xj x)2. Sada opet dobivamo mnogo brojeva i zato racunamo arit-meticku sredinu svih kvadratnih odstupanja koju oznacavamo sa 2i zovemo varijanca (ili srednje kvadratnoodstupanje):2=v1 +v2 + +vnn=(x1 x)2+ (x2 x)2+ + (xn x)2n.Taj broj predstavlja srednje kvadratno odstupanje (ili rasprsenost) zadanih brojeva oko njihove aritmetickesredine.Standardna devijacija je jednaka drugom korijenu varijance: = 2=

(x1 x)2+ (x2 x)2+ + (xn x)2n.Primjer1.Zadani su brojevi x1 = 16,x2 = 4,x3 = 4,x4 = 4. Njihova aritmeticka sredina jex =16 + 4 + 4 + 44= 7,pripadna kvadratna odstupanja su redom v1 = (x1x)2= (16 7)2= 81, v2 = (x2x)2= (4 7)2=9 = v3 = v4i varijanca je2=(16 7)2+ (4 7)2+ (4 7)2+ (4 7)24=81 + 9 + 9 + 94= 27.Standardna devijacija je jednaka: = 27 5.20.Primjer2.Zadani su brojevi x1 = 10,x2 = 6,x3 = 6,x4 = 6. Njihova aritmeticka sredina jex =10 + 6 + 6 + 64= 7,pripadna kvadratna odstupanja su redom v1 = (x1x)2= (10 7)2= 9,v2 = (x2x)2= (6 7)2=1 = v3 = v4i varijanca je2=(10 7)2+ (6 7)2+ (6 7)2+ (6 7)24=9 + 1 + 1 + 14= 3.Standardna devijacija je jednaka: = 3 1.73.17U oba primjera smo dobili iste aritmeticke sredine (dakle samo pomocu njih ne mozemo uociti po cemu se tadva niza zadanih brojeva razlikuju), ali u prvom su zadani brojevi udaljeniji od njihove aritmeticke sredine(rasprseniji su) od onih u drugom, sto je vidljivo iz varijance veca varijanca znaci da je rasprsenost veca.Pogledajmo kako mozemo dobiti jednostavniju formulu za racunanje varijance.2=1n((x1 x)2+ (x2 x)2+ (xn x)2)=1n(x21 2x1x +x2+x22 2x2x +x2+ +x2n 2xnx +x2)=1n(x21 +x22 + +x2n 2x1x 2x2x 2xnx +x2+ x2+ +x2. .. .n)=1n(x21 +x22 + +x2n) 2xn (x1 +x2 + +xn) +1nnx2=1n(x21 +x22 + +x2n) 2xx +x2=x2x2,gdjejex2=1n

x21 +x22 + +x2n

. Jednostavnijeformulezaracunanje varijancei standardnedevijacijeglase:2= x2x2, =

x2x2. (1)Primjer3.Nadite standardnu devijaciju brojeva 1, 2, 3, 6, 7 pomocu formule (1).x =1 + 2 + 3 + 6 + 75= 3.8x2=12+ 22+ 32+ 62+ 725=1 + 4 + 9 + 36 + 495= 19.82= x2x2= 19.8 14.44 = 5.36 = 2= 5.36 2.32Primjer4.Zadani su brojevi 2.3, 1.0, 0.2, 3.2, 2.5, 2.4, 1.3, 0.6, 0.5, 3.0, 1.6, 2.0, 1.4, 0.9, 2.2, 1.2, 0.7, 1.8, 0.6, 2.0,2.0, 2.7, 2.0, 2.0, 2.5, 1.0, 1.8, 2.0, 1.2, 1.3. Predstavite zadane podatke tabelom frekvencija, napravitehistogram za grupiranje podataka u sest grupa koje odgovaraju podjeliintervala koji sadrzi podatkeusestjednakihdijelova, izracunajtearitmetickusredinu, varijancui standardnudevijacijuzadanihpodataka.Najmanji broj je 0.2, a najveci 3.2, dakle svi podaci se nalaze u intervalu [0.2, 3.2].Duljina tog intervalaje 3.2 0.2 = 3 pa je duljina svakog od sest jednakih dijelova tog intervala36= 0.5. Tih sest jednakihdijelova su intervali [0.2, 0.7], [0.7, 1.2], [1.2, 1.7], [1.7, 2.2], [2.2, 2.7], [2.7, 3.2].x 0.2 0.5 0.6 0.7 0.9 1.0 1.2 1.3 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.3 2.4 2.5 2.7 3.0 3.2f 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 6 1 1 1 2 1 1 1x 1.663, 2 0.583, 0.76418U slucajevima kada ima puno razlicitih podataka s malim frekvencijama, nerijetko se podaci grupirajupo intervalima. Ovdje cemo cijeli interval u kojem se nalaze podaci ([0.2, 3.2]) podijeliti na 6 jednakihpodintervala. Zaaproksimacijuvrijednostikojepripadajunekompodintervalu cemouzeti polovistepodintervala, azafrekvencijecemouzeti broj podatakakoji senalazeupojedinompodintervalu.Tako dobivamo manju i citljiviju tabelu, a aritmeticka sredina, varijanca i standardna devijacija ovakogrupiranih podataka se obicno ne razlikuju mnogo od pravih vrijednosti.x 0.45 0.95 1.45 1.95 2.45 2.95f 4 4 6 8 5 3x 1.7, 2 0.5625, 0.756-123456780.45 0.95 1.45 1.95 2.45 2.95Ako o nekim brojcanim podacima ne znamo nista osim njihove aritmeticke sredine i standardne devijacije,onda na osnovu ta dva podatka ipak mozemo jos nesto saznati pomocuCebisevljevogteorema.Cebisevljev teorem.Neka sux aritmeticka sredina i > 0 standardna devijacija nekog niza brojevax1, x2, . . . , xn. Neka jer n broj brojeva iz zadanog nizax1, x2, . . . , xntako da je |xi x| > kza neki brojk. Tada vrijedi:r nk2. (2)Ako jek = 3 onda imamor n9,tj. najvise jedna devetina (oko 11%) od svihn podataka se nalazi izvanintervala [x 3, x + 3], tj. barem se 89% od svihn podataka nalazu unutar tog intervala.Akojek=2ondaimamor n4, tj. najvisejednacetvrtina(25%)odsvihnpodatakasenalazi izvanintervala [x 2, x + 2], tj. barem se 75% od svihn podataka nalazu unutar tog intervala.Ako jek = 1 onda imamor n,tj. moguce je sve da svi brojevi budu izvan intervala (l =n) ili da svibrojevi budu unutar njega (l = 0).19-x x x + x 2 x + 2? ?75% ili visex 3 x + 3? ?89% ili viseDaklearitmetickasredinaxi standardnadevijacijazajednonammogudati dobaruvidurasprsenostpodataka oko njihove aritmeticke sredine (ako je > 1).Koliko podataka se, u standardnim jedinicama, nalazi u intervalima [1, 1], [2, 2] i [3, 3]?z =x x x = x +z [1, 1]s.j. = [x , x +] ne moze se nista konkretno reci[2, 2]s.j. = [x 2, x + 2] barem 75% brojeva je unutar intervala[3, 3]s.j. = [x 3, x + 3] barem 89% brojeva je unutar intervalaPrimjer5.Koji je najmanji interval oko aritmeticke sredine x = 10 za koji sa sigurnoscu mozemo tvrditi da sadrzibarem 50% zadanih podataka, ako je = 1.75?Rjesenje.Prema nejednakosti (2) izCebisevljevog teorema i prema zahtjevu zadatka mora vrijeditir n/k2= n/2,daklek2=2, tj. k= 2 1.414. Trazeni interval je[x k, x + k] =[x 2, x + 2] =[7.525, 12.475].20ZadaciZadatak1.Dani su brojevi: 4, 3, 1, 5, 5, 1, 6, 4, 6, 1, 4, 6, 2, 3, 3, 6, 6, 4, 3, 3.Odrediterazrede, sastavitetabelufrekvencijaskumulativnomfunkcijomteizracunajtearitmetickusredinu, varijancu i standardnu devijaciju.Rjesenje.zadanih brojeva ima: 20razredi: 1, 2, 3, 4, 5, 6broj razreda: 6tabela frekvencija i kumulativna funkcija:x 1 2 3 4 5 6f 3 1 5 4 2 5rf 0.15 0.05 0.25 0.2 0.1 0.25cf 0.15 0.2 0.45 0.65 0.75 1aritmeticka sredina: x = 3.8varijanca: 2= x2x2= 17.3 14.44 = 2.86standardna devijacija: = 1.69Zadatak2.Dani su brojevi: 6, 3, 2, 3, 2, 4, 6, 5, 6, 5, 4, 1, 4, 1, 4, 5, 3, 4, 2, 4.Odrediterazrede, sastavitetabelufrekvencijaskumulativnomfunkcijomteizracunajtearitmetickusredinu, varijancu i standardnu devijaciju.Zadatak3.Dani su brojevi: 94, 97, 103, 103, 96, 104, 99,100, 97,102, 95, 102, 103, 103, 95, 101, 99, 102, 103,102, 100, 97, 96, 99, 98, 98, 102, 103, 96, 94, 97.Odrediterazrede, sastavitetabelufrekvencijaskumulativnomfunkcijomteizracunajtearitmetickusredinu, varijancu i standardnu devijaciju.Zadatak4.Koji je najmanji interval oko aritmeticke sredine x = 12 za koji sa sigurnoscu mozemo tvrditi da sadrzibarem 60% zadanih podataka, ako je = 1.3?216 Usporedivanje razlicitih mjerenja. Usporedivanje razlicitih rezul-tataUsporedivanjerazlicitihmjerenjaMjerenjaistevelicinesemoguizvoditi razlicitimnacinimaili instrumentimai pojavljujesepotrebazajednostavnimpostupkomusporedivanjarezultatarazlicitihmjerenja. Utakvoj situaciji imamodvanizabrojevax1, x2, . . . , xniy1, y2, . . . , ymi njima pripadajuce aritmeticke sredine i standardne devijacijex, xiy, y.Zeljeli bismo ocijeniti koje mjerenje je bilo tocnije. To opcenito nije moguce odrediti, ali je za ocekivati daje tocnije ono mjerenje s manjim odstupanjima od aritmeticke sredine (s manjim rasipanjem oko aritmetickesredine), tj. s manjom standardnom devijacijom. U primjeru koji slijedi to ne mozemo odmah napraviti, jersu vrijednosti u razlicitim mjernim jedinicama. Jedan nacin bi bio da jarde pretvorimo u metre, a drugi jeda usporedimo omjere standardne devijacije i aritmeticke sredine. Mjerenje kod kojeg je taj omjer manji jepreciznije.Dakle usporedujemo brojevexxiyyi manji omjer odreduje preciznije mjerenje.Primjer1.Dva niza mjerenja iste udaljenosti su dala sljedece podatke:mjerenjeA: 105m, 98m, 92m, 107m, 101m (u metrima)mjerenjeB: 109yd, 113yd, 107yd, 115yd, 111yd (u jardima; 1yd = 0.914m)Aritmeticka sredina i standardna devijacija tih dvaju mjerenja su redom:mjerenjeA: x = 100.6m, 5.3m,x 5.3m100.6m 0.053mjerenjeB: x = 111yd, 2.82yd,x 2.82yd111yd 0.025Mjerenje B ima manji omjer i smatramo ga preciznijim.Zadatak1.Dva niza mjerenja istog volumena su dala sljedece podatke:mjerenjeA: 101.5l, 101.3l, 98.7l, 99.4l, 101.2l (u litrama)mjerenjeB: 26.1gal, 26.1gal, 25.9gal, 26.7gal, 26.6gal (u galonima; 1gal = 3.7854l)Odredite koje je od ova dva mjerenja preciznije.22UsporedivanjerazlicitihrezultataTipicna situacija u kojoj treba usporedivati razlicite rezultate su ispiti. Naime, veci broj dobivenih bodovane znaci odmah i bolji uspjeh. Pogledajmo primjer.Marko je dobio 85 bodova na testu na kojem je prosjecna vrijednost bodova svih kandidata bilax = 79, a= 8. Alen jedobio 75 bodova na testu,koji nemora provjeravati isto gradivo, a na kojem jex = 70, a=5. Tkojepostigaobolji rezultatodnjihdvojice? Nemozemodirektnousporedivatinjihovebodovezbog razlicitihx i, sto znaci da njihove rezultate moramo prevesti u standardne jedinice. Ako jex jedanod danih brojeva iz uzorka sa aritmetickom sredinomx i standardnom devijacijom,onda sex prevodi ustandardnu jedinicuz formulomz =x x.U primjeru imamo redom:Markoz =85798= 0.75Alenz =75705= 1U standardnim jedinicama veca vrijednost oznacava boljirezultat pa zakljucujemo da jeAlen bolje rijesiotest.Zadatak1.NajednomdrugomtestiranjujeMarkodobio95bodovanatestunakojemjeprosjecnavrijednostbodovasvihkandidatabila x=90, a =6. Alenje dobio86bodovanatestu, koji ne moraprovjeravati isto gradivo, a na kojem je x = 80, a = 8. Tko je postigao bolji rezultat od njih dvojice?237 LinearnaregresijaZadani suparovi brojeva: (x1, y1),(x2, y2),. . ., (xn, yn). Postoji mogucnostdasutetockegrupiraneokonekog pravca, sto bi znacilo da postoji linearna povezanost (korelacija) izmedu nizova brojeva x1, x2, . . . , xniy1, y2, . . . , yn. Jednadzba tog pravca, kojeg zovemo pravac regresije jey = ax +bgdje su a i b nepoznati brojevi koje dobivamo metodom najmanjih kvadrata. Navedenom metodom dobivamosljedece formule za trazene brojevea ib:a =nj=1xjyj nx ynj=1x2j nx2=1nnj=1xjyj x y1nnj=1x2j x2=xy x yx2x2=xy x y2x,b = y ax,gdje jexy =1nnj=1xjyj. Primijetimo da iz formule zab slijedi da se tocka (x, y) nalazi na trazenom pravcu.Odstupanje zadanih podataka od pravca zadanog jednadzbom y = cx +d racunamo po formuli1nnk=1(yk (cxk +d))2.Broj izracunat tom formulom zovemo srednje kvadratno odstupanje zadanih podataka od tog pravca.Pravacregresijeje jedinstveni pravac kojem je srednje kvadratno odstupanje, (tj.,1nnk=1(yk(axk +b))2) najmanjemoguce.Koecijent korelacijerjemjeralinearnepovezanosti nizovabrojevax1, . . . xni y1, . . . yn, aracunamogaprema formuli:r =nj=1xjyj nx y

nj=1x2j nx2

nj=1y2j ny2=xy x y

x2x2

y2y2=xy x yxyUvijek vrijedi: 1 r 1 i sto je |r| blizi broju 1, to su zadani nizovi brojeva bolje linearno povezani. Akojerblizak nuli,onda je linearna povezanost slaba ili nikakva. Zgodno jeznati da je predznak brojaristikao i predznak koecijenta smjera pravca regresije.24Da bismo izracunali a ib, prvo sastavljamo sljedecu tabelu:j x y x y x2y21 x1y1x1y1x21y212 x2y2x2y2x22y22..................n xnynxnynx2ny2nnj=1xjnj=1yjnj=1xjyjnj=1x2jnj=1y2jx y xy x2y2Vrijednosti iz zadnjeg retka uvrstavamo u pripadne formule.Primjer1.Mjerenjem statistickih obiljezjax iy su dobiveni sljedeci brojevi:x 3 5 6 8 10y 3 4 2 2 21. Prikazite tocke (xj, yj) u pravokutnom koordinatnom sustavu.2. Odredite jednadzbu pravca regresije i skicirajte ga zajedno s tockama.3. Izracunajte koecijent korelacije.4. Izracunajtesrednjekvadratnoodstupanjepodatakaiztabeleododgovarajucihvrijednosti zapravac regresije.Rjesenje.j xjyjxj yjx2jy2j1 3 3 9 9 92 5 4 20 25 163 6 2 12 36 44 8 2 16 64 45 10 2 20 100 4 32 13 77 234 376.4 2.6 15.4 46.8 7.4x =325= 6.4, y =135= 2.6, x y = 16.64, xy = 15.4, x2= 46.8, y2= 7.4y = ax +b; a =xy x yx2x2; b = y axy = 0.212 x + 3.95925r =xy x y

x2x2

y2y2= 0.641, r2= 0.411Srednje kvadratno odstupanje je: 0.3767 =1nnk=1(yk (axk +b))2.0123450 2 4 6 8 10-63+++ + +Posebno oznacena tocka na pravcu ima koordinate (x, y) = (6.4, 2.6).Primjer2.Dvijestandardneigrace kockice, plavui crvenu,bacamo11puta. Nekajexkbrojkojijepao naplavoj kockici uktom bacanju, ayksuma brojeva koji su pali na plavoj i crvenoj kockici uktombacanju.Na plavoj kockici su pali redom sljedeci brojevi: 3, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 4, 3,a na crvenoj: 2, 3, 1, 4, 3, 2, 4, 1, 2, 4, 4,Nadite jednadzbu pravca regresije za tocke (xk, yk), k = 1, . . . , 11 i skicirajte ga u koordinatnoj ravninizajedno sa tockama. Izracunajte koecijent korelacije.26Rjesenje.j xjyjxj yjx2jy2j1 3 5 15 9 252 3 6 18 9 363 2 3 6 4 94 3 7 21 9 495 4 7 28 16 496 4 6 24 16 367 2 6 12 4 368 1 2 2 1 49 1 3 3 1 910 4 8 32 16 6411 3 7 21 9 49 30 60 182 94 3662.73 5.45 16.55 8.55 33.27x =3011= 2.73, y =6011= 5.45y = 1.507 x + 1.343, r = 0.85, r2= 0.71srednje kvadratno odstupanje je 1.004102468-1 0 1 2 3 4-63++++ ++ +++++Posebno oznacena tocka na pravcu ima koordinate (x, y) = (2.73, 5.45).27Primjer3.Zadanesusljedecetocke: (20, 82), (25, 98), (25, 98.6), (26, 101.8), (28, 106.8), (27, 107), (26, 105.2),(28, 110.2), (30, 117.6), (29, 117) Nadite jednadzbu pravca regresije i skicirajte ga u koordinatnoj ravninizajedno sa zadanim tockama. Izracunajte koecijent korelacije.Rjesenje.j xjyjxj yjx2jy2j1 20 82 1640 400 67242 25 98 2450 625 96043 25 98.6 2465 625 9721.964 26 101.8 2646.8 676 10363.245 28 106.8 2990.4 784 11406.246 27 107 2889 729 114497 26 105.2 2735.2 676 11067.048 28 110.2 3085.6 784 12144.049 30 117.6 3528 900 13829.7610 29 117 3393 841 13689 264 1044.2 27823 7040 109998.2826.4 104.42 2782.3 704 10999.83x =26410= 26.4, y =1044.210= 104.42Jednadzbapravcaregresijejey=3.638 x + 8.375. Koecijentkorelacijejer=0.98, r2=0.97.Srednje kvadratno odstupanje je 3.1134.8085909510010511011512020 22 24 26 28 303+++++ +++++Posebno oznacena tocka na pravcu ima koordinate (x, y) = (26.4, 104.42).28ZadaciZadatak1. Zadane su sljedece tocke: (14, 24.8), (12, 31.6), (14, 28), (17, 20.8), (18, 20.6), (17, 22.2), (20, 17.2),(17, 25.6), (22, 15.2), (21, 18.2) Nadite jednadzbu pravca regresije i skicirajte ga u koordinatnoj ravninizajedno sa zadanim tockama. Izracunajte koecijent korelacije.Zadatak2. Dvije standardne igrace kockice, plavu i crvenu, bacamo 11 puta. Neka je xk broj koji je paonaplavojkockici uktombacanju, ayksumabrojevakoji supalinaplavoji crvenojkockici uktom bacanju.Na plavoj kockici su pali redom sljedeci brojevi: 4, 5, 4, 1, 2, 4, 2, 2, 6, 3, 3,a na crvenoj: 4, 5, 1, 3, 1, 6, 1, 5, 5, 1, 2,Nadite jednadzbu pravca regresije za tocke (xk, yk), k = 1, . . . , 11 i skicirajte ga u koordinatnoj ravninizajedno sa tockama. Izracunajte koecijent korelacije.29DioIIVjerojatnost8 Dogadaj. VjerojatnostZaceciteorijevjerojatnostisustvoreni sredinom17. stoljeca, kadajefrancuski plemicChevalierdeMerepostavionekolikopitanjaovjerojatnosti nekihdogadajaprilikomkockanjaBlaisuPascalu. Naosnovurasprave koja je uslijedila, Pascal i Pierre de Fermat su razvili osnove teorije vjerojatnosti.De Mere se kladio na sljedece dogadaje:U cetiri bacanja simetricne kockice ce pasti barem jedna sestica.U dvadesetcetiri bacanja dviju simetricnih kockica ce barem jednom pasti sestica na obje kockice.Vidjet cemo kasnije kako mozemo izracunati vjerojatnosti navedenih dogadaja.Teorija vjerojatnosti se bavi modeliranjem procesa kojima nije moguce unaprijed predvidjeti ishod, kao stoje to npr. bacanje novcica na slucajan nacin - znamo da ce pasti ili pismo ili glava, ali ne znamo sa sigurnoscusto ce tocno pasti u jednom bacanju. Mogli bismo reci da je bacanje novcica slucajnipokuss dva mogucaishodakoji su elementi skupa {p, g}.Drugi primjer bi bio bacanje standardne igrace kockice sa sest strana s jednim od brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6 (iliodgovarajucim brojemtockica)nasvakojstrani. Nakon stobacimokockicui nakon stoonamirnostanena horizontalnoj podlozi, njena gornja strana ce uvijek odredivati jedan od brojeva iz skupa {1, 2, 3, 4, 5, 6}(kazemodajenpr. paobroj5), alinemozemounaprijedznati kojiodnjih. Daklenabacanjekockicetakoder mozemo gledati kao na slucajni pokus sa sest razlicitih ishoda. Neka je A = {2, 3, 5} i ako bacanjemkockice padne broj 2, reci cemo da je nastupio dogadaj A.Svaki odbrojevakoji mogupasti nakockici sesmatraelementarnimdogadajem(intuitivno, elementarnidogadajseneprikazujeprekojednostavnijihdogadaja, bilozato stosetonemozeili zato stonastonezanima), a skup svih elementarnih dogadaja zovemo prostor elementarnih dogadaja.Dogadaj se denira kao bilo koji podskup prostora elementarnih dogadaja , tj. ako je A , onda je skupA dogadaj. Broj elemenata skupaA oznacavamo s |A|. Za dogadaj A cemo reci da je nastupio ako je ishodnekog slucajnog pokusa jedan od elementarnih dogadaja izA, npr. u primjeru s bacanjem kockice mozemopromatrati dogadajeA = pao je prost broj = {2, 3, 5} iB = pao je neparan broj = {1, 3, 5}pa ako je bacanjem kockice pao broj 2, onda je dogadaj A nastupio, a dogadaj Bnije.Kakosudogadaji skupovi, ondajesnjimamoguceobavljatiskupovneoperacijekao stosukomplement,presjek, unija i razlika. Tako u gornjem primjeru mozemo npr. promotriti dogadajeA = \ A = nije pao prost broj = {1, 4, 6},A B = pao je neparan i prost broj = {3, 5},A B = pao je neparan ili prost broj = {1, 2, 3, 5} iA \ B = pao je prost broj koji nije neparan = {2}.30Adogadaj AAdogadaj AA Bpresjek dogadajaA iB: A BA Bunija dogadaja A iB: A BA Brazlika dogadaja A iB: A \ BA BA = (A \ B) (A B)Primjer1.Promotrimo sve moguce ishode bacanja dvaju novcica.Na svakom od njih moze pasti ili pismo ili glavapa jeprostor elementarnih dogadaja jednak = {pp, pg, gp, gg}. (Radijednostavnosti zamislimo dasu novcici razlicite velicine i da prvo zapisujemo ishod bacanja veceg od njih.)Primjer2.Promotrimosvemoguceishodebacanjadvijustandardnihkockica, crvenei plave. Jedanishodjepredstavljen uredenim parom brojeva (c, p) gdje prva komponenta para predstavlja broj koji je pao nacrvenoj kockici, a druga komponenta predstavlja broj koji jepao na plavoj kockici. Prostor elemen-tarnih dogadaja je skup svih takvih parova brojeva = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)} kojeg se jednostavnomoze prikazati sljedecom tabelom:31c\p 1 2 3 4 5 61 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)3 (3, 1) (3, 2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4, 1) (4, 2) (4,3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)5 (5, 1) (5, 2) (5,3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)6 (6, 1) (6, 2) (6,3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)Sljedeci dogadaji su oznaceni u gornjoj tabeli:A=manji oddvabrojakoji supali je3= {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}(oznacenipravokutnicima)B = razlika veceg i manjeg broja je 2 = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)} (oznaceniovalima)A B = elementarni dogadaji oznaceni pravokutnicima ili ovalimaA B = elementarni dogadaji oznaceni pravokutnicima i ovalimaPrimjer3.Jedan sahovskiklubimatri igracaK1, K2, K3medukojimatrebaslucajnoizabrati dvojicukojicepredstavljati klub na turniru. Slucajni pokus se sastoji od biranja dva igraca od njih tri. Svaki ishodje predstavljen dvoclanim podskupom skupa {K1, K2, K3} pa je prostor elementarnih dogadaja skup = {{K1, K2}, {K1, K3}, {K2, K3}} koji ima tri elemenata.Primjer4.Nekaje slucajni pokus registriranjebrojazahtjevazaprikazivanjeodredenewebstranicetijekomnekogodredenogvremenskogperioda(jedanminut, jedansat, 24sata, jedanmjesec...). Buducijenepoznatmaksimalni broj zahtjeva, najzgodnijejezaprostorelementarnihdogadajauzeti skupN0= {0, 1, 2, 3, . . .} koji je beskonacan. Iako ce broj zahtjeva bitikonacan, tesko je,a i nepotrebno,ogranicititajbroj. Naravno, uvijekmozemozagornjugranicuuzeti neki jakoveliki brojzakojegmozemo biti sigurni da nikad nece biti dosegnut, ali pokazuje se da je to nepotrebno kompliciranje, aiz nekihteoretskih razloga jepogodnijeza prostor elementarnih dogadaja uzetinavedeni beskonacniskup.Zbog toga se koristi malo drugacija denicija prostora elementarnih dogadaja od navedene.Denicija.Prostorelementarnihdogadajanekog slucajnog pokusajeskupsasvojstvom dasvakomishodupokusaodgovara tocno jedan element iz tog skupa i da razlicitim ishodima odgovaraju razliciti elementi tog skupa.Dogadaj je podskup prostora elementarnih dogadaja.Ako nije navedeno drugacije smatrat cemo da je skup svih elementarnih dogadaja konacan skup.32ZadaciZadatak1.Napisite prostor elementarnih dogadaja koji sadrzi sve ishode bacanja triju novcica.Odredite sljedecedogadaje:A = pala su barem dva pismaB = pale su najvise dvije glaveA B =?A B =?Zadatak2.Promotrimosvemoguceishodebacanjadvijustandardnihkockica, crvenei plave. Jedanishodjepredstavljen uredenim parom brojeva (c, p) gdje prva komponenta para predstavlja broj koji je pao nacrvenoj kockici, a druga komponenta predstavlja broj koji je pao na plavoj kockici. Odredite sljedecedogadaje:Pp = produkt brojeva koji su pali na kockicama je prost brojPs = suma brojeva koji su pali na kockicama je prost brojA6 = suma brojeva koji su pali na kockicama je 6Zadatak3.U posudi se nalazi sedam zelenih i dvije zute kuglice. Slucajno se, bez vracanja, jedna po jedna izvlacedvije kuglice. Odredite prostor elementarnih dogadaja za navedeni slucajni pokus. Kako bi izgledaoprostor elementarnih dogadaja ako bi u posudi bila samo jedna zuta kuglica?Sto ako kuglice vracamou posudu nakon sto ih izvucemo?33Klasicnadenicijavjerojatnosti aprioriNekaje= {1, 2, . . . , m}prostorelementarnihdogadaja vezanuznekislucajni pokustakodasusvielementarni dogadaji, kojih mora biti konacan broj, jednako moguci. Neka jeA dogadaj, tj.A . Tadase klasicna denicija vjerojatnosti a priori dogadaja A denira formulomP(A) =mAm= |A|||=broj povoljnih elementarnih dogadajabroj svih elementarnih dogadaja(3)gdje je mA = |A| broj elementarnih dogadaja od kojih se sastoji dogadaj A, a m = || broj svih elementarnihdogadaja iz prostora elementarnih dogadaja (|| je broj elemenata skupa ). Naravno, da bi formula imalasmisla, skup mora biti konacan.Svojstva vjerojatnosti1. Direktno iz denicije se dobivaP() = ||||= 1 i P() = ||||= 02. Za svaki dogadajA vrijedi A iz cega zbog 0 = || |A| || dobivamo (dijeljenjems ||)sljedece:0 P(A) 1.3. AkosuAi Bdogadaji takvi davrijedi A B, ondavrijedi |A| |B| odakle(dijeljenjems ||)dobivamoP(A) P(B).4. Ako jeA dogadaj, onda jeA = \ A dogadaj suprotan dogadaju A i zbog |A| = || |A| vrijediP(A) = |A|||= || |A|||= 1 P(A).5. Ako suA iBdisjunktni dogadaji (A B = ),A, B onda vrijedi |A B| = |A| +|B| pa imamoP(A B) = P(A) +P(B).6. NekasuAi Bdogadaji, A, B . SadasezbogA B=A (B \ A)icinjenicedajetaunijadisjunktna (pa se moze primijeniti prethodna jednakost) dobivaP(A B) = P(A (B \ A)) = P(A) +P(B \ A).ZbogB = (B \ A) (A B), sto je takoder disjunktna unija, dobivamo:P(B) = P((B \ A) (A B)) = P(B \ A) +P(A B),sto zajedno s prethodnom relacijom daje sljedecu formulu za vjerojatnost unije dva proizvoljna dogadaja(aditivna formula):P(A B) = P(A) +P(B) P(A B).34Primjer1.Uposudi senalazi sedamzelenihi tri plavekuglice. Izposudeseizvlaci jednakuglica. Kolikajevjerojatnost da ce izvucena kuglica biti zelene boje?Rjesenje.Prostor elementarnih dogadaja je skup = {z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7, p1, p2, p3}, a dogadaj cija vjerojat-nost naszanima jeA = {z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7, }. Broj povoljnih elementarnihdogadaja jemA= 7,broj svih dogadaja jem = 10 pa je vjerojatnost dogadaja A prema klasicnoj formuli a priori jednakaP(A) =710.Primjer2.Kolika je vjerojatnost da ce bacanjem standardne simetricne kockice pasti broj veci od 2?Rjesenje.Prostor elementarnih dogadaja je skup = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a dogadaj cija vjerojatnost nas zanima jeA = {3, 4, 5, 6}. Broj povoljnih elementarnih dogadaja jemA = 4, broj svih dogadaja jem = 6 pa jevjerojatnost dogadaja A prema klasicnoj formuli a priori jednakaP(A) =46=23.35PrincipiprebrojavanjaKlasicna formula vjerojatnosti a priori je jednostavna, ali cesto nije lagano pronaci brojeve koje treba u njuuvrstiti. U tome nam pomazu principi prebrojavanja u kombinatorici. Ima ih dva: princip sume i principprodukta.principsumeAko suA iB dogadaji koji ne mogu nastupiti istovremeno (tj.AB = ) onda dogadaj A B mozenastupitina |A| + |B|nacina. (Principsume vrijediiako jerijec o konacno mnogo dogadaja koji uparovima ne mogu nastupiti istovremeno.)Primjer 1.U tri posude se nalazi redom 19, 23 i 21 bombon. Na koliko nacina se moze uzeti jedan bomboniz svih tih posuda?Jedan bombon iz svih posuda se moze uzeti na 19 + 23 + 21 = 63 nacina.Primjer 2.Promatramo dva dogadaja prilikom bacanja simetricne kockice:A = pao je broj veci od 3 = {4, 5, 6},B = pao je paran prost broj = {2}.Kako nitijedan prost broj veci od 3 nije paran, dogadajiAi Bne mogu nastupiti istovremeno(A B = ) pa vrijedi |A B| = |A| +|B|, tj. dogadaj A Bmoze nastupiti na 4 nacina.principproduktaAkosudogadaji Ai Bnezavisni, tj. mogunastupiti neovisnojedanodrugom, ondakombinacijedogadajaA iBmogu nastupiti na |A| |B| nacina. (Princip produkta vrijedi i ako je rijec o konacnomnogo dogadaja koji su u parovima nezavisni.)Primjer 3.U tri posude se nalazi redom 19, 23 i 21 bombon. Na koliko nacina se mogu uzeti tri bombona,po jedan iz svake od tih posuda?Tri bombona, po jedan iz svake od tih posuda, se moze uzeti na 19 23 21 = 9177 nacina.Primjer 4.Promatramo dva dogadaja prilikom bacanja dviju simetricnih kockica, plave i crvene:A = na plavoj kockici je pao paran broj = {2, 4, 6}B = na crvenoj kockici je pao neparan prost broj = {3, 5}Dogadaji Ai Bsuocitonezavisni (rezultatbacanjaplavekockicenikakonemozeutjecati narezultatbacanjacrvenei obrnuto). SvekombinacijedogadajaAi Bsemoguprikazati prekoskupa uredenih parova (p, c), gdje jep elementaran dogadaj iz skupa A, ac elementaran dogadajizskupa B. Skupsvihtakvihkombiniranihdogadajaje kartezijevprodukt skupovaAi B,A B = {(2, 3), (2, 5), (4, 3), (4, 5), (6, 3), (6, 5)} i broj njegovih elemenata je |A B| = |A| |B|.36Faktorijeli. Binomnikoecijenti. Permutacije. KombinacijeUvedimo neke pojmove iz kombinatorike.FaktorijeliUmnozaksvihprirodnihbrojevaod1do nse oznacavan! i citase enfaktorijela. Dakle imamo:n! = 1 2 3 . . . (n 1) n. Posebno se denira 0! = 1. Zan 0 vrijedi: (n + 1)! = (n + 1) n!Primjer1.1! = 1, 2! = 1 2 = 2, 3! = 1 2 3 = 6, 4! = 1 2 3 4 = 3! 4 = 24Binomni koecijentiZa prirodne brojeven ik, 0 k n, binomni koecijent

nk

(en povrh ka) deniramo sa

nk

=n!k!(n k)!=n (n 1) . . . (n k + 1)1 2 . . . (k 1) k.Posebno se denira

n0

= 1, zan 0 .Primjer2.

52

=5 41 2= 10,

94

=9 8 7 61 2 3 4= 126Vrijedi sljedeca relacija

nk

=n!k!(n k)!=n!(n (n k))!(n k)!=n!(n k)!(n (n k))!=

nn k

koja nam ubrzava racunanje binomnih koecijanata

nk

kod kojih jen >n2:

97

=

99 7

=

92

=9 81 2= 36,

1614

=

162

=16 151 2= 120.PermutacijeNiz odn objekata se zove permutacijatih objekata. Npr. ABCDE,ACBED,DBCAEsu tri permutacijeod pet slova.Dabiizracunali nakoliko nacina mozemonrazlicitih objekataporedati uniz(tj.koliko imapermutacijaodn razlicitih elemenata)uocimo daprvi elementniza mozemo izabrati nan nacina. Drugi elementnizamozemo izabrati na n1 nacin. Treci element niza mozemo izabrati na n2 nacina itd. Predzadnji elementniza mozemo izabrati na dva nacina (jer su ostali elementi vec izabrani), a zadnji element niza je jednoznacnoodreden. Slijedi dan razlicitih elemenata mozemo poredati u niz nan (n 1) (n 2) . . . 2 1 = n!razlicitih nacina.37KombinacijeKombinacijaodk elemenata n-teroclanog skupa je bilo koji njegov k-clani podskup. Broj svih kombinacijaodk elemenatan-teroclanog skupa je

nk

.Medudesetigracajednog sahovskogklubatrebaizabrati timodnjihcetiri kojicepredstavljati klubnaturniru. Na koliko nacina se moze izabrati cetveroclani tim ako se na raspolaganju ima deset igraca?Odgovor:cetveroclani tim se moze izabrati na

104

=10 9 8 71 2 3 4= 210 nacina.Primjer3.U standardnomspilu od 32 karte se nalaze karte od sedmice do asa u sve cetiri boje (pik, tref, herci karo). Iz ovog spila karata izvlaci se bez vracanja na slucajan nacin 5 karata. Izracunajte vjerojatnostda su od pet izvucenih karata(a) sve karte iste boje,(b) dva decka, dvije karte vrijednosti manje od desetke i pik as,Rjesenja.(a) Karata iste boje ima osam, a pet karata iste boje od njih osam mozemo dobiti na

85

=

83

=8 7 61 2 3= 56 razlicitih nacina. Boja imamo cetiri pa je broj povoljnih ishoda jednak 4 56 = 224Pet karata iz spila od 32 karte mozemo izabrati na

325

=32 31 30 29 281 2 3 4 5= 201376 razlicitihnacina.Trazena vjerojatnost je jednaka:224201376 0.00111.(b) Dva decka od njih cetiri mozemo izabrati na

42

=4 31 2= 6 razlicitih nacina.Karte manje vrijednosti od desetke su sedmice, osmice i devetke kojih ukupno ima 4+4+4 = 12, dakle dvije karte vrijednosti manje od desetke mozemo izabrati na

122

=12 111 2= 66nacina. Pik as je jedna konkretna karta pa je mozemo izabrati na jedan nacin. Pet karata izspila od 32 karte mozemo izabrati na 201376 razlicitih nacina.Trazena vjerojatnost je:6 66 12013760.0019665.ZadaciZadatak1. Djecak u lijevom dzepu ima 7, a u desnom 5 razlicitih staklenih kuglica.1. Na koliko nacina moze izvuci jednu kuglicu iz svojih dzepova?Jednu kuglicu iz svojih dzepova moze izvuci na 7 + 5 = 12 nacina.2. Nakolikonacinamozeizvucidvijekuglice, takodajednukuglicuizvuceizlijevog, adruguizdesnog dzepa?Iz lijevog dzepa jednu kuglicu moze izvuci na 7, a iz desnog na 5 nacina. Izvlacenja su medusobnonezavisna pa dvije kuglica na opisani nacin moze izvuci na 7 5 = 35 nacina.383. Na koliko nacina moze izvuci dvije kuglice iz svojih dzepova?Dvije kuglice od njih 12 moze izvuci na

122

=12 111 2= 66 nacina.4. Na koliko nacina moze izvuci po dvije kuglice iz svakog od svojih dzepova?Dvije kuglice iz lijevog dzepa moze izvuci na

72

=7 61 2= 21 nacin.Dvije kuglice iz desnog dzepa moze izvuci na

52

=5 41 2= 10 nacina.Po dvije kuglice iz svakog od svojih dzepova moze izvuci na 21 10 = 210 nacina.Zadatak2. U jednoj ladici se nalazi 19 kosulja, a u drugoj 7 kravata.Na koliko nacina se mogu kombiniratijedna kosulja i jedna kravata?Zadatak3. Koliko nizova od cetiri slova mozemo dobiti koristeci mala slova hrvatske abecede?Koristimo princip produkta jerizborslova na jednom mjestune ovisi o izboru slova na drugom. Nasvakom od cetiri mjesta se moze naci trideset slova pa je trazeni broj jednak30 30 30 30 = 304= 810000.Zadatak4. Na automobilskim registarskim tablicama se nalazi niz od cetiri znamenke i dva velika slova en-gleske abecede (engleska abeceda ima 26 slova). Koliko je ukupno moguce napraviti takvih registarskihtablica?Zadatak5.Sifra za pristup nekoj bazi podataka mora imati barem 6 znakova, ali ne vise od 8 (znamenkei malaslova engleske abecede),pri cemu barem jedanznak mora bitiznamenka. Koliko jerazlicitihsifri na raspolaganju za pristup toj bazi podataka?Da bi izracunali trazeni broj, primijenit cemo princip sume na broj sifri od 6, 7 i 8 znakova.Promotrimo sifreduljine6. Primijetimodajebroj sifri duljine6znakovakojeimajubaremjednuznamenku jednak broju svih sifri duljine 6 koje mozemo dobiti od slova i znamenaka umanjen za brojsvih sifri duljine 6 koje mozemo dobiti samo od slova. Broj svih sifri duljine 6 koje mozemo dobiti odslova (ima ih 26) i znamenaka (ima ih 10) dobivamo principom produkta: 366.Broj svih sifri duljine 6 koje mozemo dobiti samo od slova je 266.Dakle, broj sifri duljine 6 koje se mogu koristiti za pristup je: P6 = 366266.Analogno dobivamo brojeve sifri duljine 7 i 8: P7 = 367267,P8 = 368268.Trazeni broj sifri je: P6 +P7 +P8.Zadatak6. Izracunajte 6!, 8! i 11!.Zadatak7. Izracunajte

40

,

63

,

83

,

114

,

324

i

525

.Zadatak8. Izracunajte

43

,

75

,

86

,

1111

,

3025

i

5245

.Zadatak9. Ispisite sve permutacije slovaX, Y, Z.Zadatak10. Na koliko se nacina mogu bez ponavljanja poredati znamenke od 1 do 6 u niz?39Zadatak11. Koliko ima permutacija slovaA, B, C, D, E, F, G, H, I, J?Zadatak12. Koliko ima nizova od osam bitova (bajtova) koji u sebi imaju tocno tri jedinice?Zadatak13. Imate po jednu kovanicu vrijednosti pet kuna, dvije kune, jedne kune, pedeset lipa, dvadesetlipa i deset lipa. Koliko razlicitih iznosa mozete dobiti pomocu tri kovanice?Zadatak14. U spilu od 32 karte se nalaze karte od sedmice do asa (vrijednosti) u sve cetiri boje (pik,tref, herc i karo). Iz ovog spila karata izvlacite na slucajan nacin 5 karata. Izracunajte vjerojatnost dasu od pet izvucenih karata(a) tocno dvije dame i tocno tri sedmiceDvije dame od njih cetiri mozemo izabrati na

42

razlicita nacina. Neovisno o tome, tri sedmicese, od njih cetiri, mogu izabrati na

43

=

41

razlicita nacina. Dakle dvije dame i tri sedmicese, prema principu produkta, mogu izabrati na

42

41

razlicitih nacina.Ukupanbroj nacinanakojemozemoodabrati pet karataodnjih32je

325

pajetrazenavjerojatnost jednaka

42

43

325 =

42

41

325 =4 31 2 4132 31 30 29 281 2 3 4 5=24201376 0.000119(b) tocno tri asa i tocno tri hercaAko imam pet karata od kojih su tri asa i tri herca, onda je to moguce jedino ako je jedan odaseva u hercu. Dakle u tih pet karata imamo: jedan as u hercu (jedna mogucnost), jos dvaasa (odpreostala tri

32

= 3mogucnosti) ijos dvaherca (odpreostalih sedam

72

= 21mogucnost). Dakle broj nacina na koje mozemo dobiti takvih pet karata je 1 3 21 = 63. Trazenavjerojatnost je63

325

=63201376 0.0003.(c) tocno tri iste boje i tocno cetiri asaTrazena vjerojatnost je nula, jer prisustvo cetiriju aseva znaci da su prisutne sve cetiri boje paje uvjet nemoguce ispuniti.(d) tocno dva herca i tocno tri desetke Razlikujemo dva slucaja:nitijednadesetkanijeuhercu: Tri desetkeodkojihniti jednanijeuhercumozemoizabrati na

33

= 1 nacin. Preostale dvije karte moraju biti u hercu, ali niti jedna ne smijebiti desetka pa ih mozemo izabrati na

72

=7 61 2= 21 nacin. Ovakvih pet karata mozemodakle izvuci na ukupno 21 nacin.40jednadesetkajeuhercu: Akojejednadesetkauhercu, ondapreostaledvijemozemoizabrati na

32

=

31

=3nacina. Odpreostalihdvijukarata, jednamora, adruganesmije biti u hercu i niti jedna od njih ne smije biti desetka. Kartu u hercu mozemo izabratina

71

= 7 nacina, a onu drugu na32 8 4 + 1 = 21 nacin;odukupno 32 karte njih8su u hercu (8), njih 4 su desetke (4), a kako ima jedna desetka u hercu, nju smo dvaputa oduzeli zbog cega je potreban +1 na kraju. Dakle ovakvih pet karata mozemo izvuci na3 7 21 = 441 nacina.Pomocu principa sume dobivamo da je broj nacina na koje mozemo dobiti pet karata iz zadatkajednak 21 + 441 = 462. Trazena vjerojatnost je462201376 0.002294.(e) cetiri karte iste vrijednosti (poker)Oznacimos Nvbroj nacinadaodpet izvucenihkaratabudenjihcetiri istevrijednosti v{7, 8, 9, 10, J, Q, K, A}. Prema principu sume, broj nacina na koji mozemo dobiti poker je sumatihvrijednosti: N7 + N8 + N9 + N10 + NJ + NQ + NK + NA. IzracunajmoNvzaproizvoljnuvrijednostv. Brojnacina daizvucemo cetirikarteistevrijednostije

44

, dakle1. Petakartamoze biti bilo koja od preostalih 32 4 = 28 pa nju mozemo izvuci na

281

= 28 nacina. Dakleimamo: Nv= 1 28 = 28. Ukupan broj nacina da dobijemo poker je 8 28 = 224 pa je trazenavjerojatnost224

325

=224201376 0.00111.(f) pet karata iste bojePet karata dane boje (od njih osam) se moze izvuci na

85

=

83

=8 7 61 2 3= 56 nacina. Bojaima cetiri, pa se pet karata iste boje moze izvuci na 4 56 = 224 nacina. Trazena vjerojatnost je224

325

=224201376 0.00111.Zadatak15. U spilu karata se nalaze karte od sedmice do asa (vrijednosti) u sve cetiri boje (pik, tref,herc i karo). Iz ovog spila karata izvlacite na slucajan nacin 5 karata. Izracunajte vjerojatnost da suod pet izvucenih karata(a) tocno tri devetke i tocno tri pika ;(b) tocno dvije devetke i tocno tri sedmice ;(c) tocno cetiri iste boje i pik as,(d) tocno dvije sedmice i tocno dva pika,(e) tocno dvije iste boje i tocno cetiri devetke.(f) tocno tri sedmice i tocno tri pika.Zadatak16. Imamo dvije kocke (na svakoj stranici po jedan broj od 1 do 6): jednu plavu i jednu crvenu.Izracunajte vjerojatnost da ce u dva bacanja (istovremeno bacamo obje kocke)41(a) zbroj biti paran oba puta,(b) zbroj biti manji od 8 oba puta,(c) umnozak biti neparan broj tocno jednom,(d) umnozak biti prost broj barem jednom.Zadatak17. U posudi imamo sedam plavih, tri zelene i pet crnih kuglica. Slucajno izvlacimo cetiri kuglice.Izracunajte vjerojatnost(a) da ce sve kuglice biti iste boje,(b) da ce barem dvije kuglice biti plave boje,(c) da ce biti izvucene kuglice tocno dviju boja,(d) da ce sve kuglice biti razlicitih boja.42Aksiomi vjerojatnosti. OsnovnasvojstvaNeka je neprazan konacan skup iPfunkcija koja svakom skupuA pridruzuje realan broj. FunkcijuPzovemo vjerojatnost ako vrijede sljedeca tri aksioma:P1Za svakiA vrijediP(A) 0. (Pje nenegativna funkcija)P2Za svaka dva disjunktna skupaA, B vrijediP(A B) = P(A) +P(B). (Pje aditivna funkcija)P3P() = 1 (Pje normirana funkcija.)Pogledajmo neke posljedice ovih aksioma i dokazimo neke ih.1. P() = 02. Ako jeA B onda vrijediP(A) P(B) i P(B \ A) = P(B) P(A).(monotonost vjerojatnosti)3. Ako jeA , onda vrijediP(A) 1.4. za proizvoljneA, B vrijediP(A B) = P(A) +P(B) P(A B).5. Ako jeA , onda vrijediP(A) = 1 P(A)Dokaz.1. Ako uvrstimoA = i B= uaksiomP2,dobivamoP() =P() + P(),iz cega direktno slijeditrazena relacijaP() = 0.2. Ako jeA B, onda vrijediB = A (B \ A). Dogadaji A iB \ A su disjunktni pa prema aksiomu P2vrijediP(B) =P(A) + P(B \ A) iz cega slijedi jedna od trazenih relacija. Prema aksiomuP1vrijediP(B \ A) 0 pa vrijedi i druga trazena relacija.3. Prema upravo dokazanom i zbog A dobivamo P(A) P(). Primjena aksioma P1 dovrsava dokaztrazene relacije.4. VrijediA B = A (B \ (A B)). Sada zbogA B Bi vec dokazanog dobivamoP(A B) = P(A) +P(B \ (A B)) = P(A) +P(B) P(A B).5. SkupoviA iA su disjunktni i vrijediA A = pa imamoP(A) +P(A) = P() = 1, tj. P(A) = 1 P(A).43Racunanjevjerojatnosti dogadajaprekovjerojatnostielementarnihdogadajaProblem izracunavanja vjerojatnostiP(A) nekog dogadajaA (koji je podskup nekog prostora elementarnihdogadaja )sesada svodinadeniranjefunkcijekoja zadovoljava aksiomeP1, P2i P3(ikojuonda nazi-vamo vjerojatnost). Jedan jednostavan nacin da se to uradi je da se odrede vjerojatnosti svih elementarnihdogadaja premaprirodi zadatka. Toznacidasvakomelementarnomdogadajupridruzujemonekibroj, kojeg smatramo njegovom vjerojatnosti, pazeci da budu ispunjeni svi aksiomi.Promotrimo primjer bacanja simetricne kockice. Elementarni dogadaji su predstavljeni padanjem nekog odbrojeva od jedan do sest i vjerojatnosti svih tih elementarnih dogadaja su medusobne jednake.P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6})Kako suma svih tih vjerojatnosti odgovara vjerojatnosti P() dogadaja koja prema aksiomu P3 mora bitijednaka 1, onda vrijediP({1}) +P({2}) +P({3}) +P({4}) +P({5}) +P({6}) = 1,odnosnoP({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =16.Primijetimo da vjerojatnosti elementarnih dogadaja moraju biti brojevi veci od ili jednaki 0 i manji od ilijednaki 1, inace ne bi vrijedio aksiom P1.Proizvoljan dogadaj A je podskup skupa koji se dobije kao unija svih elementarnih dogadaja:A {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Neka je dogadaj A pao je broj veci od dva. Njegova vjerojatnost P(A) se lagano racuna klasicnom formuloma priori: broj povoljnih ishoda je cetiri (pao je broj veci od dva, dakle 3 ili 4 ili 5 ili 6), a broj svih ishoda jesest. DakleP(A) =46=23.Uocimo da vrijediP(A) =46=16 + 16 + 16 + 16= P({3}) +P({4}) +P({5}) +P({6}).Dakle vjerojatnost dogadaja je jednaka sumi vjerojatnosti svih elementarnih dogadaja od kojih se on sastoji,tj. preciznije:P(A) = P({e1}) +P({e2}) + +P({ek}),pri cemu jeA = {e1, e2, . . . , ek}, tj. opcenito vrijedi formulaP(A) =eAP({e}). (4)44Zbog nenegativnosti vjerojatnosti dogadaja vrijediP(A) 0, sto znaci da vrijedi aksiomP1.Primijetite da vrijedi i P() = 1, sto znaci da je zadovoljen aksiom P3, sto znaci da suma svih vjerojatnostipridruzenih elementarnim dogadajima mora biti 1.Preostalo jejos dapokazemo davrijediiaksiomP2, stojenapravljeno usljedecoj cjelinikoja sebaviaditivnom formulom.AditivnaformulaNekasudogadaji Ai Bdisjunktni podskupovi prostoraelementarnihdogadaja. Tadasevjerojatnostdogadaja AB moze izracunati pomocu vjerojatnosti dogadaja A i B, kao sto se to moze vidjeti iz sljedecegprimjera.Primjer1.Neka je = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tj. promatramo rezultate bacanja standardne kockice iA =pao je broj manji od 3= {1, 2},B =pao je broj veci od 4= {5, 6}.Zanima nas vjerojatnost dogadaja AB = {1, 2, 5, 6} izrazena preko vjerojatnosti P(A) i P(B). Sadaimamo:P(A B) = P({1}) +P({2}). .. .P(A)+P({5}) +P({6}). .. .P(B)= P(A) +P(B).Dakleuovomprimjerusmovidjeli dasevjerojatnostunijedvajudogadajamozeizracunati prekovjerojatnosti tih dvaju dogadaja.Opcenitobismotopokazaliovako: nekasuA i B disjunktni dogadaji (tj. A B= ).Zelimoizraziti P(A B)pomocuP(A)i P(B). Izformule(4)i zbog cinjenicedasudogadaji Ai Bdisjunktniredom slijediP(A B) =eABP({e}) =eAP({e}) +eBP({e}) = P(A) +P(B).Dokazali smo formuluP(A B) = P(A) +P(B), uz uvjetA B = (5)i pokazali da vrijedi aksiomP2. Ovime smo ujedno pokazali da klasicna formula racunanja vjerojatnosti apriori predstavlja funkciju vjerojatnosti i da za nju vrijede sva svojstva koja smo dobili direktno iz aksioma.Toznacidausituacijamakadasuvjerojatnostisvihelementarnihdogadajamedusobnojednakemozemokoristiti tu klasicnu formulu.No,zeljelibismoformuluzaP(A B)kojabiuvijekvrijedila, bezdodatnihuvjeta. Pogledajmo sljedeciprimjer.Primjer2.Neka je, kao i u prethodnom primjeru, = {1, 2, 3, 4, 5, 6} iC =pao je broj veci od 1 i manji od 5 = {2, 3, 4},45D =pao je broj veci od 2 i manji od 6= {3, 4, 5}.Zanima nas vjerojatnost dogadaja C D = {2, 3, 4, 5}. Sada imamo:P(C D) = P({2}) +P({3}) +P({4}). .. .P(C)+P({5}),iz cega vidimo da trazenu vjerojatnost ne mozemo dobiti samo preko vjerojatnosti dogadaja CiD pacemo dobiveni izraz malo preurediti:P(C D) = P({2}) +P({3}) +P({4}). .. .P(C)+P({3}) +P({4}) +P({5}). .. .P(D)P({3}) P({4})pri cemu smoP(C D) izrazili preko P(C) iP(D), ali i preko P({3}) P({4}). Buduci je {3, 4} =C D, slijedi:P(C D) = P(C) +P(D) P(C D).Ovdje smo dobili da seP(C D) moze izracunati pomocuP(C), P(D) i P(C D),tj.vjerojatnostunije dvaju dogadaja se moze izracunati preko vjerojatnosti tih dvaju dogadaja i vjerojatnosti njihovapresjeka (sto je takoder dogadaj).Pokazimo da to uvijek vrijedi. Prikazimo AB kao uniju dvaju disjunktnih dogadaja i primijenimo upravodobivenu formulu (5). Ako dogadaji A iB nisu disjunktni, onda B sadrzi neke elemente koji se nalaze uA.Dogadaj B\ A se sastoji od svih elemenata iz B koji nisu u A. To znaci da su dogadaji A i B\ A disjunktni.VrijediA (B \ A) = A B. Sada mozemo primijeniti gornju formulu (5):P(A B) = P(A (B \ A)) = P(A) +P(B \ A).S druge strane jeB = (A B) (B \ A) i ta unija je disjunktna pa opet primjenom formule (5) imamo:P(B) = P(A B) +P(B \ A) P(B \ A) = P(B) P(A B).Sada koristenjem zadnjih dviju dobivenih formula dobivamo vaznu aditivnu formuluP(A B) = P(A) +P(B) P(A B). (6)Aditivna formula vrijedi uvijek i to bez ikakvih uvjeta.Analogna aditivna formula za vjerojatnost unije triju dogadaja se dobije uz pomoc aditivne formule za unijudvaju dogadaja ovako:P(A B C) = P((A B) C) =P(A B) +P(C) P((A B) C)) == P(A) + P(B) P(A B) +P(C) P((A C) (B C)) == P(A) + P(B) +P(C) P(A B) (P(A C) +P(B C) P((A C) (B C))) == P(A) + P(B) +P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C)46ZadaciZadatak1.Ante i Branko gadaju metu. Vjerojatnost da Ante pogodi metu u jednom gadanju je12, a da je Brankopogodi u jednom gadanju je23. Vjerojatnost da obojica pogode metu je13. Kolika je vjerojatnost dace barem jedan od njih pogoditi metu u jednom gadanju?Promotrimo sljedece dogadaje:A =Ante je pogodio metu,B =Branko je pogodio metu.Tada je:A B = i Ante i Branko su pogodili metu,A B = barem jedan od njih dvojice je pogodio metu.Prema uvjetima zadatka imamo redom: P(A) =12, P(B) =23, P(A B) =13. Trazimo P(A B).Primjenom aditivne formule dobivamo:P(A B) = P(A) +P(B) P(A B) =12 + 23 13=56.Dakle vjerojatnost da ce barem jedan od njih pogoditi metu u jednom gadanju je56.Zadatak2.Baca se standardna igraca kockica sa sest strana i promatraju se sljedeci dogadaji:A = pao je prost broj = {2, 3, 5} iB = pao je neparan broj = {1, 3, 5}.Izracunajte vjerojatnostiP(A), P(B)i P(A B)klasicnom formulom (3),a nakon toga izracunajteP(A B) pomocu aditivne formule.Zadatak3.Na drugoj godini veleucilista je provedena anketa o sportovima kojima se bave studenti. Ustanovljenoje da 50% studenata igra kosarku, 40% studenata igra nogomet i 30% studenata igra sah. Kosarku inogomet igra 17% studenata, nogomet i sah igra 8% studenata, a sah i kosarku igraju 15% studenata.Sva tri sporta igra 5% studenata. Pomocu formule za vjerojatnost unije tri dogadaja odredite kolikaje vjerojatnost da se slucajno odabrani student druge godine veleucilista bavi barem jednim od ta trisporta. Koliki postotak studenata se ne bavi niti jednim od ta tri sporta?47UvjetnavjerojatnostVjerojatnost da na kockici padnebarem petje,kako znamo, jednatrecina. Zamislimo sada da smo bacilikockicu i da nam netko kaze da je pao broj veci od dva. Situacija se sada mijenja jer je ocito da je vjerojatnostda je pao barem pet jednaka jednoj polovini: broj povoljnih ishoda je dva, a broj svih ishoda je cetiri (3 ili4 ili 5 ili 6).Opcenito cenaszanimati kakoizracunativjerojatnostnekogdogadajaAuzpretpostavkudajenastupioneki drugi dogadajB. Taj drugi dogadaj eliminira neke elementarne dogadaje iz igre (u nasem primjerusuto1i 2). Govori seouvjetnoj vjerojatnosti dogadajauoznaci: P(A|B)(vjerojatnostdogadajaAuzuvjet da je nastupio dogadaj B). Klasicnom formulom za racunanje vjerojatnosti lagano racunamo uvjetnuvjerojatnost iz gornjeg primjera:P({5, 6}|{3, 4, 5, 6}) =24=12.Opcenita formula za racunanje uvjetne vjerojatnosti jeP(A|B) =P(A B)P(B), (7)pri cemu, naravno, mora vrijediti P(B) > 0. Primjenimo li je na nas primjer za A = {5, 6} i B = {3, 4, 5, 6},imamo:P(A|B) =P(A B)P(B)=P({5, 6})P({3, 4, 5, 6}) =2646=12.Primjer1.Bacamo dvije kockice crvenu i plavu. Nadite vjerojatnost da je na jednoj kockici pao broj dva, akoje suma brojeva koji su pali na obje kockice jednaka sest. Takoder nadite vjerojatnost da je na jednojkockici pao broj dva.Rjesenje. Neka jeA =na jednoj kockici je pao broj dvaB =suma brojeva koji su pali na obje kockice jednaka je sestTrazimo P(A|B) i P(A). Rezultat bacanja kockica mozemo predstaviti uredenim parom (broj na plavojkockici,broj nacrvenojkockici). Vjerojatnostsvakogelementarnogdogadaja je1/36. Sadaimamo:A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)},B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} iA B = {(2, 4), (4, 2)}. Trazene vjerojatnosti su:P(A|B) =P(A B)P(B)=236536=25= 0.4, P(A) =1136 0.306.48ZadaciZadatak1.Stranice igrace kocke zalijepljene su neprozirnim papirom i to brojevi 1, 2, 3 bijelim, a 4, 5, 6 crvenim.Kocka je bacena i kad se zaustavila na gornjoj stranici bio je crveni papir. Uz pomoc formule za uvjetnuvjerojatnost izracunajte vjerojatnost da je na gornjoj strani bio paran broj.A = pao je paran broj = {2, 4, 6},B = na gornjoj strani je bio crveni papir = {4, 5, 6}, P(B) =36P(A B) =26P(A|B) =P(A B)P(B)=2636=23.Zadatak2.Promotrimosveobitelji sdvojedjecei pretpostavimodasuvjerojatnosti rodenjadjevojcice(g) idjecaka (b) medusobno jednake. Takve obitelji mozemo opisati parovima iz skupa = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)},gdje npr. par (b, g) oznacava obitelj s djecakom i djevojcicom pri cemu je djecak stariji od djevojcice(pa je oznaka djecaka prvi element para). Slucajno odabiranje obitelji s dvoje djece se moze predstavitislucajnim izborom jednog od elemenata skupa pri cemu su svi izbori jednako vjerojatni. Slucajnoizaberemo obitelji ustanovljavamo da je unjojdjecak. Kolika jevjerojatnost da je unjojjos jedandjecak (tj. ukupno dva djecaka)?A = {(b, b), (b, g), (g, b)} = u obitelji ima jedan djecakB = {(b, b)} = u obitelji su dva djecakaTrazimo P(B|A).P(B|A) =P(A B)P(A)=P(B)P(A)=1434=13.Zadatak3.Slova rijeci lotos napisana su na pet kartica koje su stavljene u kutiju. Slucajno se izvlace tri karticejedna za drugom. Kolika je vjerojatnost da ce biti izvucena rijec sto?A1 = prvo izvuceno slovo je sA2 = drugo izvuceno slovo je tA3 = trece izvuceno slovo je oA = A1 A2 A3P(A) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) =15 14 23=130Rezultatslijedi izdvostrukeprimjeneformulezauvjetnuvjerojatnost(7)prvi putnavjerojatnostP((A B) C) i drugi put na vjerojatnost P(A B):P(A B C) = P((A B) C) = P(A B)P(C|A B) = P(A)P(B|A)P(C|A B).49Zadatak4.U metu prvo gada Ante i potom Branko.Vjerojatnost da Ante pogodi metu je 0.6. Ako Ante promasi,Branko pogada metu s vjerojatnosti 0.3, no ako Ante pogodi, Branko pogada metu s vjerojatnosti 0.2.1. Kolika je vjerojatnost da ce barem jedan od njih dvojice pogoditi metu?2. Kolika je vjerojatnost da ce tocno jedan od njih dvojice pogoditi metu?PotpunavjerojatnostNekaje =A1 A2 Akdisjunktnaunijaskupova Aj, j =1, . . . , k(kazemodaje skupovimaA1, A2, . . . , Akdana particija skupa ) i neka jeB podskup skupa (neki dogadaj). Tada jeB = B = B (A1 A2 Ak) = (B A1) (B A2) (B Ak)SkupoviB Aj,j = 1, . . . , k su medusobno disjunktni pa vrijediP(B) = P(B A1) +P(B A2) + +P(B Ak).Upotrijebimo li formulu (7), dobivamo:P(B Aj) = P(Aj B) = P(Aj)P(B|Aj)iz cega slijedi formula potpune (ili totalne) vjerojatnosti:P(B) = P(A1)P(B|A1) +P(A2)P(B|A2) + +P(Ak)P(B|Ak). (8)Primjer1.U tvornici se nalaze tri strojaS1,S2iS3koji proizvode neku robu. Znamo sljedece:strojS1proizvede 50% robe, od cega je 3% s greskom,strojS2proizvede 30% robe, od cega je 4% s greskom istrojS3proizvede 20% robe, od cega je 5% s greskomNadite vjerojatnost da slucajno izabrani predmet medu robom koju su proizveli ta tri stroja ima gresku.Rjesenje.B=predmetimagresku, Aj=predmetjeproizvedennastrojuSj, j =1, 2, 3. TrazimoP(B).Uvrstavanjem u formulu potpune (ili totalne) vjerojatnosti (8) dobivamo:P(B) = P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) = 0.5 0.03+0.3 0.04+0.2 0.05 = 0.037.50BayesovaformulaNekaje A1, A2, . . . , Akparticijaskupa(=unijasvihelementarnihdogadaja)i Bneki dogadaj.Zelimoizracunati P(Aj|B), tj. vjerojatnost dajenastupiodogadajAj, akojenastupiodogadajB. (Akozamislimo da suA1, A2, . . . , Akmoguci uzroci dogadaja B, ondaP(Aj|B) mozemo shvatiti kao vjerojatnostda je dogadaj Ajbio uzrok dogadajaB). Formula (7) nam dajeP(Aj|B) =P(Aj B)P(B).Opet iz formule (7) slijediP(Aj B) = P(B Aj) = P(Aj)P(B|Aj) pa imamo:P(Aj B)P(B)=P(Aj)P(B|Aj)P(B).Sada iskoristimo formulu potpune vjerojatnosti (8) da izracunamo nazivnik i dobivamo Bayesovuformulu:P(Aj|B) =P(Aj)P(B|Aj)P(A1)P(B|A1) +P(A2)P(B|A2) + +P(Ak)P(B|Ak). (9)DogadajeA1, A2, . . . , Ak cesto zovemo hipoteze (kao moguce uzroke dogadajaB).Primjer1.Uzmimo iste podatke kao u primjeru na stranici 50. Provjerom je medu proizvedenom robom pronadenneispravan primjerak. Za svaki stroj nadite vjerojatnost da ga je on proizveo, tj. nadite vjerojatnostiP(A1|B),P(A2|B) iP(A3|B).Rjesenje.Uprethodnomprimjerusmoformulompotpunevjerojatnosti izracunali P(B) =P(A1)P(B|A1) +P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B|A3) = 0.037. Imamo redom:P(A1|B) =P(A1B)P(B)=0.50.0030.037=1537 0.405 = 40.5%P(A2|B) =P(A2B)P(B)=0.30.0040.037=1237 0.325 = 32.5%P(A3|B) =P(A3B)P(B)=0.20.0050.037=1037 0.27 = 27%ZadaciZadatak1.Za studente na trogodisnjem studiju su jedne godine dobiveni sljedeci podaci:30% studenata su na 1. godini i 10% njih ima automobil40% studenata su na 2. godini i 20% njih ima automobil20% studenata su na 3. godini i 40% njih ima automobil10% studenata su apsolventi i 60% njih ima automobilSlucajno biramo studenta i zanima nas sljedece:1. Koja je vjerojatnost da on ima automobil?2. Ako on ima automobil, koja je vjerojatnost da je on student 3. godine?51Rjesenje.Prvo trebaodreditidogadaje. jeskupsvihstudenata. A1 sadrzi svestudentesprvegodine(dakleP(A1) je vjerojatnost da je slucajno izabrani student na prvoj godini). Slicno se deniraju A2,iA3. A4sadrzi sve apsolvente. B sadrzi sve studente koji imaju automobil.1. Trebamo naciP(B). Rjesenje nalazimo primjenom formule potpune vjerojatnosti (8).P(B) =P(A1)P(B|A1) +P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B|A3) +P(A4)P(B|A4) == 0.3 0.1 + 0.4 0.2 + 0.2 0.4 + 0.1 0.6 == 0.03 + 0.08 + 0.08 + 0.06 = 0.25.Dakle vjerojatnost da slucajno izabrani student ima automobil je jedna cetvrtina, odnosno jednacetvrtina studenata ima automobil.2. Trebamo naci P(A3|B). Rjesenje nalazimo primjenom Bayesove formule (9). Nazivnik smo vecizracunali.P(A3|B) =P(A3)P(B|A3)P(B)=0.2 0.40.25=0.080.25=825= 0.32.Zadatak2.Od studenata na jednom veleucilistu 4% muskaraca i 1% zena imaju visinu vecu od 190 cm. Nadalje,60% studenata su zene. Slucajno odabrani student je visi od 190 cm. Kolika je vjerojatnost da je tajstudent zena?Rjesenje.Prvo moramo odrediti dogadaje:A = {studenti i studentice visi od 190 cm}M = {studenti}W= {studentice}Trazena vjerojatnost jeP(W|A) i dobivamo je primjenom Bayesove formule (9):P(W|A) =P(W)P(A|W)P(W)P(A|W) +P(M)P(A|M)=0.01 0.60.01 0.6 + 0.04 0.4=0.0060.022 =311 0.27.Zadatak3.TvorniceAi Bproizvodemobilnetelefonebezopcijefoto-slikanjai sugradenomopcijomfoto-slikanja. TvornicaAproizvodi 15%mobilnihtelefonabezopcijefoto-slikanja, doktvornicaBproizvodi 77% mobilnih telefona s opcijom foto-slikanja.Tvornica B proizvodi tri puta vise mobilnihtelefona od tvornice A. Mobiteli se u istom omjeru isporucuju istom zastupniku koji iskljucivo zastupatvorniceA i B. (Taj zastupnik prodaje mobilne telefone samo tih tvornica, a te tvornice ne prodajusvoje mobilne telefone nigdje drugdje.)Izracunajte vjerojatnost da je slucajno izabran kupac mobitelas opcijom foto-slikanja kupio mobitel proizveden u tvornici A.Zadatak4.Tvornice E i Fproizvode gume za osobna i teretna vozila. Tvornica E proizvodi 45% guma za osobnavozila, dok tvornica Fproizvodi 59% guma za osobna vozila. Tvornica E proizvodi tri puta vise gumaod tvorniceF. Gume se u istom omjeru isporucuju istom zastupniku koji iskljucivo zastupa tvorniceEi F. (Tajzastupnikprodaje gumesamo tihtvornica, atetvornice neprodaju svoje gumenigdjedrugdje.) Izracunajte vjerojatnostdajeslucajno izabran kupacgumazateretnavozilakupiogumeproizvedene u tvorniciF.52Nezavisni dogadajiPojednostavljeno (i neprecizno) receno, za dogadaje A i B kazemo da su nezavisni ako dogadanje niti jednogaod njih ne utjece na vjerojatnost dogadanja drugoga.Preciznije:dogadaj B ne ovisi o dogadaju A ako vrijediP(B) = P(B|A). (10)Iz formule (7) sada slijedi: P(AB) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B). Kazemo da su dogadaji A iB nezavisniako vrijediP(A B) = P(A)P(B). (11)Inace kazemo da su zavisni.Napomena.Ako vrijedi P(AB) = P(A)P(B) i ako je P(A)P(B) = 0, onda vrijedi i P(B) = P(B|A) i P(A) = P(A|B):P(AB) = P(BA) = P(A)P(B)

P(A)P(B) = P(A B) = P(B)P(A|B) P(A) = P(A|B)P(A)P(B) = P(B A) = P(A)P(B|A) P(B) = P(B|A).Napomena.Dva disjunktna dogadaja ne moraju biti nezavisni.Bacamo standardnu kockicu. A = pao je paran broj,B = pao je neparan broj.P(A) =12= P(B),A B = P(A B) = 0 =14= P(A)P(B)Dva disjunktna dogadaja su nezavisna ako jedan od njih ima vjerojatnost nula.0 = P() = P(A B) = P(A)P(B) P(A) = 0 iliP(B) = 0.Primjer1.Novcic bacamo tri puta za redom.A = prvi put je pala glava = {GGG, GGP, GPG, GPP}B = drugi put je pala glava = {GGG, GGP, PGG, PGP}C = tocno dva puta za redom je pala glava = {GGP, PGG}Provjerimonezavisnostpodvadogadajaodgorenavedenih. Prvopronadimovjerojatnostizadanihdogadaja klasicnom formulom:P(A) =48=12P(B) =48=12P(C) =28=14Zatim nadimo presjeke po dva dogadaja i vjerojatnosti novodobivenih dogadaja:A B = {GGG, GGP} P(A B) =28=14A C = {GGP} P(A C) =18B C = {GGP, PGG} = C P(B C) = P(C) =14Sada nam samo preostaje da provjerimo uvjet iz denicije nezavisnosti:P(A B) =14=12 12= P(A)P(B) dogadaji A iB su nezavisniP(A C) =18=12 14= P(A)P(C) dogadaji A iCsu nezavisniP(B C) =14 =18=12 14= P(B)P(C) dogadaji B iCnisu nezavisni53ZadaciZadatak1.Dvastrijelca, Aleni Branko, gadajumetu. PoznatojedaAlenpogadametusvjerojatnoscu12, aBrankosvjerojatnoscu25. Obojicagadajumetu. Naditevjerojatnostdacebaremjedanodnjihpogoditi metu, ako su njihova gadanja mete nezavisni dogadaji.Rjesenje.A = Alen je pogodio metu,P(A) =12,B = Branko je pogodio metu,P(B) =25.Trazimo P(AB) i zbog nezavisnosti znamo da vrijedi P(AB) = P(A)P(B) =1225=15. Koristenjemaditivnog teorema dobivamo:P(A B) = P(A) +P(B) P(A B) =12 + 25 15=710.Nezavisnost triju dogadaja se denira ovako:Tri dogadaja A,BiCsu nezavisna ako vrijedi: P(A B) = P(A)P(B),P(A C) = P(A)P(C),P(B C) = P(B)P(C) i P(A B C) = P(A)P(B)P(C)Zadatak2.U uvjetima zadatka 8. na stranici 49 s obiteljima s dvoje djece treba ustanoviti jesu li nezavisni sljedecidogadaji:A = obitelj ima barem jednu djevojcicu = {(g, g), (g, b), (b, g)}B = obitelj ima djevojcicu i djecaka = {(g, b), (b, g)}Zadatak3.Dvastrijelcanezavisno jedanoddrugoga gadajumetu. Vjerojatnostpogotkazajednogje0.9, azadrugog 0.8. Kolika je vjerojatnost da ce meta bitipogodena (tj.da ce barem jedan od njihpogoditimetu)?549 Diskretnaslucajnavarijabla. Distribucijaslucajnevarijable.Slucajnavarijablajeformalizacija intuitivnogpojmadogadaja sa slucajnimishodima. Diskretnaslucajnavarijabla dakle modeliradogadaj s konacnoili prebrojivomnogoishodakoji imajusvojevjerojatnostidogadanja. Npr. bacamo novcic deset puta. Slucajna varijabla X povezana s ovom situacijom je broj pisamakoji su pali. Vrijednosti koje X moze poprimiti su iz skupa {0, 1, . . . , 10} pa je X diskretna slucajna varijabla.Primjeri diskretnih slucajnih varijabli:broj djece u obitelji,broj posjetilaca u kinima petkom navecer,broj pacijenata u ambulanti,broj neispravnih zarulja u pakiranjima od deset komada,broj sekundi proteklo izmedu uzastopnih ulazaka kupaca u trgovinu.Ishod pokusa ne mora biti broj, npr. kada bacamo novcic, ishodi koje mozemo dobiti su pismo ili glava.Mi, medutim, cesto zelimo ishode predstaviti brojevima da bi olaksali analizu pokusa. Slucajna varijabla jefunkcija koja svakom ishodu pokusa pridruzuje neki broj.Naszanimajusamo oniprostori elementarnihdogadaja kojiopisujuslucajnepokuseskonacno ilinajviseprebrojivo mnogo ishoda. Neka je konacan ili prebrojiv prostor elementarnih dogadaja.Formalno, diskretna slucajna varijablaje funkcija sa prostora elementarnih dogadaja u skup realnih bro-jeva, tj. funkcijaXoblika3X : R.Argumenti te funkcije su elementarni dogadaji prostora elementarnih dogadaja, a njene vrijednosti su realnibrojevi4. Tim vrijednostima slucajne varijable su pridruzene vjerojatnosti u obliku distribucije (razdiobe).Primjeri slucajnih varijabli i distribucija:Bacanjepravilnognovcicasemozeopisati slucajnomvarijablomX: {pismo, glava} {0, 1}takoda jeX() =

0, = pismo1, = glavaPripadajuca distribucija je:X

0 11212

3Akojeskupprebrojiv, ondasenafunkcijuXzadajudodatni uvjeti, jernisusvefunkcijeoblikaX: Rslucajnevarijable. Analizatakvihslucajnihvarijablinadilazi okvireovogmaterijalainecebitiprovedena. Primjerikoji seobradujuuovommaterijalunezahtijevajuanalizuslucajnihvarijablitogtipa.4Intuitivno, slucajnavarijablapoprimavrijednostinaslucajannacin.55Gadanjemeteujednompokusaju semozeopisatislucajnomvarijablomX: {uspjeh, neuspjeh} {0, 1} tako da jeX() =

1, = uspjeh0, = neuspjehPripadajuca distribucija bi bila:X

0 1q p

gdje jep vjerojatnost uspjeha (meta pogodena), aq vjerojatnost neuspjeha (meta promasena).Slucajnom varijablomX: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Rsemoze opisati(modelirati)rezultatbacanjasimetricnekockicesa seststranapri cemusvaki broj imaistuvjerojatnostpojavljivanja. MozemodeniratiX(k) = k. Pripadajuca distribucija je:X

1 2 3 4 5 6161616161616

Vrijeme (u sekundama ili u minutama) izmedu dolaska dva uzastopna kupca u trgovinu se moze opisatislucajnom varijablomX : R R tako da deniramoX(k) = k. Pripadajuca distribucija bi bila:X

0 1 2 3 . . . k . . .p0p1p2p3. . . pk. . .

gdjeje pkvjerojatnostdajeizmedudvauzastopnadolaskakupacautrgovinuprotekloksekundi(minuta,. . . ).Zaopceniti (konacan)prostordogadaja= {1, 2, 3, . . . n}i slucajnuvarijabluX: Rbi pri-padajuca distribucija izgledala ovako:X

x1x2x3x4. . . xmp1p2p3p4. . . pm

pri cemu za svaki i {1, 2, 3, . . . , n} postoji j {1, 2, 3, . . . , m} takav da je X(i) = xj, brojevi x1, x2, . . . xmsu sortirani uzlazno, a brojevip1, p2, . . . , pmpredstavljaju sve vjerojatnosti pa mora vrijediti: 0 pj 1,j = 1, 2, . . . , m ip1 +p2 + +pm = 1.Broj pj je vjerojatnost da slucajna varijabla X poprimi vrijednost xj, tj. P(X = xj) = pj. Preciznije receno,pjje vjerojatnost dogadaja kojeg cine svi elementarni dogadaji koje slucajna varijabla X preslikava u xj, tj.pj = P({ |X() = xj}) (sto krace zapisujemo sP(X = xj)).Primjer1.Nekajezadanprostorelementarnihdogadaja= {1, 2, 3, 4, 5}i nekasup1, p2, p3, p4, p5pri-padajuce vjerojatnosti,tj. P(j)=pj, j=1, 2, . . . , 5. DenirajmofunkcijuX: Rnasljedecinacin:X(1) = X(3) = x1, X(2) = x3, X(4) = X(5) = x2,56gdje su x1, x2 i x3 medusobno razliciti realni brojevi. Distribucija slucajne varijable X je sada jednaka:X

x1x2x3p1 +p3p4 +p5p2

Primjer2.Prostorom elementarnih dogadaja = {1, 2, 3, 4, 5, 6} opisujemo rezultate bacanja simetricnekockice sa sest strana pri cemu svaki broj ima istu vjerojatnost pojavljivanja. Zanima nas hoce li nakockici pasti prost broj, slozen broj ili broj koji nije ni slozen ni prost. Slucajnu varijablu koja odgovaratoj situaciji mozemo denirati ovako:X(1) = 0, X(2) = X(3) = X(5) = 1, X(4) = X(6) = 1.Pripadajuca distribucija je: X

1 0 1121613

.Neka jef : R R proizvoljna funkcija. Tada jeY= f X = f(X) slucajna varijabla s distribucijomY

f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) . . . f(xm)p1p2p3p4. . . pm

Moze se dogoditi da za dvije razlicite vrijednostixjixkvrijedif(xj) = f(xk). Tada moramo udruziti takodobivena dva ista razreda u jedan cija je pripadna vjerojatnost pj +pk.Primjer3.ZadanajeslucajnavarijablaXcijajedistribucijaX

1 0 1 2 3 411214161121614

. Distribucijaslucajne varijableY= f(X), gdje jef(x) = x + 2 jeY= f(X)

f(1) f(0) f(1) f(2) f(3) f(4)11214161121614

=

1 2 3 4 5 611214161121614

Distribucija slucajne varijableZ = g(X), gdje jeg(x) = x2jeZ

(1)2021222324211214161121614

=

1 0 1 4 9 1611214161121614

=

0 1 4 9 1614141121614

Primijetite male izmjene u zapisu distribucije koje su se pojavile zbog toga sto su se dva razreda stopilau jedan.ZadaciZadatak1.Zadana je slucajna varijablaXs distribucijomX

2 1 3 4 57p p 6p p217

57Nadite pripadajuce vjerojatnosti.Rjesenje.Suma vjerojatnosti mora biti jednaka 1, dakle mora vrijediti:7p +p + 6p +p +217= 1 15p =1517 p =117Sve vjerojatnosti su brojevi iz intervala [0, 1] pa je zadana distribucija jednakaX

2 1 3 4 5717117617117217

Zadatak2.Zadana je slucajna varijablaXs distribucijomX

2 0 2 3 44p 2p 2p 5p 2p

Nadite pripadajuce vjerojatnosti.Zadatak3.Odredite distribuciju slucajne varijableDkoja opisuje rezultate bacanja nesimetricne kockice sa seststrana koja favorizira brojeve 4, 5, 6 tako da je vjerojatnost da padne neki od tih brojeva dva putaveca od vjerojatnosti da padne bilo koji od brojeva 1, 2, 3.Zadatak4.Zadana je slucajna varijablaXs distribucijomX

2 1 0 1 3181163818516

Nadite distribucije slucajnih varijabli Y= f(X), Z = g(X) i W= h(X) ako je f(x) = x3, g(x) = x3ih(x) = (x 4)2.5810 Funkcijavjerojatnosti. FunkcijadistribucijevjerojatnostiNeka je zadana distribucija

x1x2x3x4. . . xmp1p2p3p4. . . pm

.pripadajucu funkciju vjerojatnosti f : R R deniramo saf(x) =

pk,x = xk {x1, x2, x3, x4, . . . , xm},0 ,x {x1, x2, x3, x4, . . . , xm}.Pripadajucu funkciju distribucijevjerojatnosti F: R R deniramo saF(x) =0 ,x < x1,kj=1pj,xk x < xk+1, k = 1, 2, . . . , m1,1 ,xm x.Napomena.Pomocufunkcijevjerojatnosti (f)i funkcijedistribucijevjerojatnosti (F)diskretneslucajnevarijablesevjerojatnost dogadaja {|X() b}, ili krace {X b}, moze zapisati ovako:P(X b) =X(k)bpk = F(b).59Primjer1.Zadanajedistribucija

2 3 4 5 6 70.2 0.3 0.1 0.2 0.05 0.15

. Skicirajtepripadajucegrafovefunkcijevjerojatnosti i funkcije distribucije vjerojatnosti .Rjesenje.0.000.030.070.100.140.170.200.240.270.310.340 1 2 3 4 5 6 7 8funkcija vjerojatnosti0.000.110.220.330.440.550.660.770.880.991.100 1 2 3 4 5 6 7 8funkcija distribucije vjerojatnostiZadatak1.Skicirajte pripadajuce grafove funkcije vjerojatnosti i funkcije distribucije vjerojatnosti za distribuciju

2 3 4 5 6 70.3 0.2 0.2 0.1 0.15 0.05

.6011 Ocekivanje, varijanca i standardna devijacija diskretne slucajnevarijableNeka jeXdiskretna slucajna varijabla s distribucijomX

x1x2x3x4. . . xmp0p1p2p3. . . pm

Ocekivanje diskretne slucajne varijableX, u oznaciE(X), denira se saE(X) =mk=1xkpk = x1p1 +x2p2 + +xmpm.Primjer1.Neka jeXdiskretna slucajna varijabla s distribucijomX

0 1 3 4 673073011073015

Ocekivanje slucajne varijableXje jednako:E(X) =730 0 +730 1 +110 3 +730 4 + 15 6 =83Varijanca diskretne slucajne varijableX, u oznaciV ar(X), denira se saV ar(X) = E((X E(X))2),tj. varijanca V ar(X) se moze shvatiti kao ocekivanje slucajne varijable Y= f(X), gdje je f(x) = (xE(X))2.Za racunanje se koristi jednostavnija formula koja se moze izvesti iz denicije:V ar(X) = E(X2) E(X)2.Primjer1. (nastavak)U gornjem primjeru bismo imali:X2

0 1 9 16 3673073011073015

E(X2) =730 0 +730 1 +110 9 +730 16 + 15 36 =18115Sada imamo:V ar(X) = E(X2) E(X)2=18115

83

2=22345.Standardna devijacijadiskretne slucajne varijableje drugi korijen njezine varijance:(X) =

V ar(X).61Primjer1. (nastavak)U nasem primjeru imamo:(X) =

22345 2.2261.Primjer2.Ocekivanje slucajne varijable X s distribucijom X

1 0 1 2 a2p 2p521p121

je E(X) =37. Odreditenepoznanicea ip te izracunajte varijancu i standardnu devijaciju slucajne varijableX.Rjesenje.Za vjerojatnosti u drugom retku distribucije mora vrijediti da im je suma jednaka 1 pa imamo:2p + 2p +521 +p +121= 1 p =17.Sadaimamosvevjerojatnosti udistribuciji: X

1 0 1 2 a272752117121

. Nepoznanicuasadalagano dobijemo pomocu poznatog ocekivanja:E(X) = 1 27 + 0 27 + 1 521 + 2 17 +a 121=37 a = 4Sada smo u potpunosti odredili distribuciju slucajne varijable: X

1 0 1 2 4272752117121

.Varijanca i standardna devijacija se sada lagano racunaju:E(X2) = (1)227 + 0227 + 12521 + 2217 + 42121=137 ,(X) =

V ar(X) =

137 1.36277.ZadaciZadatak1.Zadana je slucajna varijablaXs distribucijomX

0 1 2 3 5319219519519419

Izracunajte ocekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slucajne varijableX.(Rjesenje: E(X) =4719, V ar(X) =964361)Zadatak2.Zadana je slucajna varijablaXs distribucijomX

2 1 1 2 3 5 7 8 93285281281141712832811414

Izracunajte ocekivanje, varijancu i standardnu devijaciju slucajne varijableX.(Rjesenje: E(X) =11128, V ar(X) =13691784)62Zadatak3.Zadana je slucajna varijablaXs distribucijomX

2 0 1 3 43p 3p 7p1117p

Izracunajtepripadnevjerojatnosti i zatimizracunajteocekivanje, varijancui standardnudevijacijuslucajne varijableX. (Rjesenje: p =122, E(X) =3522, V ar(X) =2053484 )Zadatak4.Zadana je slucajna varijablaXs distribucijomX

2 1 0 3 43p143p p12p

Izracunajtepripadnevjerojatnosti i zatimizracunajteocekivanje, varijancui standardnudevijacijuslucajne varijableX. (Rjesenje: p =110, E(X) = 720, V ar(X) =1211400 )Zadatak5.Zadana je slucajna varijablaXs ocekivanjemE(X) =11128i distribucijomX

1 2 3 a 82p 9p17146p

Izracunajte nepoznatu vrijednostai pripadajuce vjerojatnosti te zatimizracunajte varijancu i stan-dardnu devijaciju slucajne varijableX. (Rjesenje: p =128, a = 5, V ar(X) =5403784 )Zadatak6.Ocekivanje slucajne varijableXs distribucijomX

2 1 0 1 ap p 2p110110

jeE(X) = 310. Odredite nepoznanicea ip te izracunajte varijancu slucajne varijableX. (Rjesenje:p =15,a = 2,V ar(X) = 1.41)6312 DiskretnauniformnadistribucijaDiskretna uniformna distribucijaslucajne varijableXje zadana sX

x1x2x3. . . xn1n1n1n 1n

.Jednostavno receno, diskretna uniformna distribucija jekarakterizirana konacnim skupom vrijednosti kojesu sve jednako vjerojatne:P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = = P(X = n) =1n.Grafovi funkcija vjerojatnosti i funkcije distribucije vjerojatnosti diskretne uniformne distribucije (bacanjesimetricne kockice):0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200 1 2 3 4 5 6 7 8funkcija vjerojatnosti0.000.110.220.330.440.550.660.770.880.991.100 1 2 3 4 5 6 7 8funkcija distribucije vjerojatnostiJednostavan nacin za dobivanje brojeva s uniformnom distribucijom je preko bacanja simetricne igrace koc-kice5koja bacanjem daje jednu od vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5, 6, svaku od njih s istom vjerojatnosti jednakoj16. Rezultati bacanja pravilnog novcica, brojevi koji se dobivaju na standardnom ruletu kao i karte koje sedobiju iz dobro promijesanog spila karata takoder imaju diskretnu uniformnu distribuciju.Ocekivanjeslucajnevarijablesdiskretnomuniformnomdistribucijomjejednakoaritmetickojsredini svihnjenih vrijednosti:E(X) =nk=11nxk =1nx1 +1nx2 +1nx3 + +1nxn =1n(x1 +x2 +x3 + +xn) = x.5U RPG igrama (narocito u D&D-u) se kao izvor uniformno distribuiranih brojeva koriste sva Platonova tijela, tj. svi pravilnipoliedritetraedar,heksaedar(kocka), oktaedar,dodekaedariikosaedar. Oznakezatekockice(redomd4,d6,d8,d12,d20)mozemoshvatiti kaoslucajnevarijablespripadajucomdiskretnomuniformnomdistribucijom. Koristesei kockiced2, d3,d10 i d100 koje se ne mogupredstaviti Platonovimtijelima, ali ih je moguce ili simulirati pomocunjih (d2 i d3 pomocu d4 i d6,stimdase d2mozesimulirati ibacanjemnovcica)ili pomocupolupravilnihpoliedara (d10). Kockicad100semozepredstavitipomocudvijed10kockice, pricemujednaodredujeznamenkujedinica,adrugaznamenkudesetica.64Varijanca slucajne varijable s diskretnom uniformnom distribucijom je jednaka varijanci svih njenih vrijed-nosti, analogna tvrdnja vrijedi i za standardnu devijaciju:V ar(X) = E(X2) E(X)2= x2x2, (X) =

V ar(X).Primjer1.Odredimo distribuciju slucajne varijable X koja pred-stavljasumubrojevakoji sepojavenakonbacanjadvijusimetricnih kockica, jednes osam strana ibrojevima od 1do 8 na njima (d8) i jedne sa cetiri strane i brojevima od 1do 4 na njima (d4) (dakleX = d8 +d4).Rjesenje.Distribucije slucajnih varijablid4 id8 su redom:d4

1 2 3 414141414

, d8

1 2 3 4 5 6 7 81818181818181818

.Vjerojatnost da npr. na kockicama padnu brojevi 1 i 7 je14 18=132, a vjerojatnost da je suma brojeva kojipadnu na te dvije kockice jednaka 8 je 4 132=18, jer se suma 8 moze dobiti na cetiri nacina (8 = 1 + 7 =2 +6 = 3 +5 = 4 +4). Trazenu distribuciju mozemo lagano dobiti iz sljedece tabele u kojoj su popisane svesume koje mozemo dobiti bacanjem ovih dviju kockica:d4 \ d8 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 8 9 103 4 5 6 7 8 9 10 114 5 6 7 8 9 10 11 12Broj pojavljivanja neke sume u gornjoj tabeli pomnozen s gore dobivenom vjerojatnosti132daje pripadajucuvjerojatnost pojavljivanja te sume. Distribuciju slucajne varijableXsada nije problem napisati:X

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12132232332432432432432432332232132

.Primjer2.U igri D&D igraci vode svoje likove kroz pricu u kojima se nerijetko moraju boriti. Tomislav vodi svog lika,hrabrog Sir Robina i u slucaju borbe se mora opredijeliti za jednu od sljedece dvije mogucnosti:borba s dvorucnim macem kojeg drzi objema rukama (i s kojim je iznimno spretan, sto mu daje bonus4 u napadu) ilis dva manja maca (s kojima nije toliko vjest pa je bonus 0), ali s kojima moze napadati istovremeno,dakle moze odjednom napasti dva puta.Napad pocinje bacanjem kockice s dvadeset strana,d20 (vidi fusnotu5na stranici 64); broju koji padnese dodaje bonus i ako je rezultat veci od ili jednak 15 onda je napad uspio6.6OvojepojednostavljenaverzijapreuzetaizpravilazaDnD,verzija3.5; naime, akonakockici d20padnerecimo19ili20,napadjeizuzetnodobrouspiostoznaci dabi napadacmogaobiti uspjesniji utomnapadunegostojetouobicajeno. Radijednostavnosti, tajslucajseneceuzetiuobzir.65Kolika je vjerojatnost da napad Sir Robina uspije ako on koristi dvorucni mac, a kolika ako koristi dva manjamaca?Ako koristi dvorucni mac, za uspjesan napad mora zajedno s bonusom (4) dobiti barem 15 na kockicid20, tj. na toj kockici mora dobiti barem 11. Od 20 mogucnosti njih 10 je povoljno pa je vjerojatnostuspjeha jednaka1020=12.Ako uzme dva manja maca, za uspjesan napad mora dobiti barem 15 na kockici d20. Od 20 mogucnostinjih 6 je povoljno pa je vjerojatnost uspjeha jednaka620=310.Uslucaju uspjesnog napada,napadac jeozlijedioprotivnika ionda seodredujekoliko jedinicazdravlja jeprotivnik izgubio tim napadom.Ako je napad hrabrog Sir Robina dvorucnim macem uspio, onda napadnuti gubi d8+2 jedinice zdravlja,tj. Tomislav bacad8 kockicu i broju koji padne doda 2.AkojenapadhrabrogSirRobinasdvamanjamacauspio, ondanapadnuti gubi 2d6 + 1jedinicuzadravlja, tj. Tomislav baca dvijed6 kockice i sumi brojeva koji padnu doda 1.Ocekivani broj jedinica zdravlja koje ce protivnik izgubiti u slucaju jednog uspjesnog napada jeza napad dvorucnim macem jednakE(d8 + 2) = 6.5,za napad s dva manja maca jednakE(2d6 + 1) = 8,sto se lagano dobije iz pripadajucih distribucija zad8 i 2d6 (obje su dane u ovom poglavlju).Da bismo dobili ocekivani broj jedinica zdravlja koje ce protivnik izgubiti u jednom napadu, moramo dobivenaocekivanja pomnoziti7s vjerojatnostima da napad uspije:za napad dvorucnim macem imamo12 6.5 = 3.25,za napad s dva manja maca imamo310 8 = 2.4.Zakljucujemo da se u duljim borbama hrabrom Sir Robinu daleko vise isplati boriti dvorucnim macem, jerce u prosjeku protivnik izgubiti vise jedinica zdravlja, sto vodi brzoj i sigurnijoj pobjedi u borbi.U nekim situacijama se medutim ne isplati uzeti oruzje koje garantira veci ocekivani broj jedinica zdravljakojeceprotivnikizgubiti ujednomnapadu. Npr. mogucajesituacijagdjejeuborbi zapobjedunuznodaunajvise trinapadaprotivnikizgubiviseod30jedinicazdravlja,inacehrabri SirRobinsigurnogubiborbu. Tada sigurno nece uzeti dvorucni mac, jer je maksimalni broj jedinica zdravlja koje protivnik mozeizgubiti tri napada 30 sto nije dovoljno i vodi u siguran poraz. S druge strane, ako uzme dva manja maca,maksimalni broj jedinica zdravlja koje protivnik moze izgubiti u jednom napadu je 13 (dvije sestice na dvijekockiced6plus1)papostoji malavjerojatnost(izracunajteje!) kojajeipakvecaodnuledahrabri SirRobin pobijedi u takvoj borbi.7Datadvabrojatrebamopomnozitipadadobijemoono stonaszanimajeposljedicajednogkracegvjerojatnosnogracunakojijeovdjeizostavljen.66ZadaciZadatak1.Napisite distribuciju uniformne slucajne varijable koja moze poprimiti sve cjelobrojne vrijednosti od 3do 12.Zadatak2.Pomocu uniformne distribucije(iako jenajjednostavnija) se mogu dobiti druge slozenije distribucije.Odredite distribuciju slucajne varijable X kojoj su vrijednosti zbroj brojeva koji padnu na dvije bacenestandardne kockice (u igri DnD se takva slucajna varijabla oznacava s 2d6). Izracunajte E(X), V ar(X)i standardnu devijaciju slucajne varijableX.Rjesenje.Vrijednostikoje poprimaslucajna varijablaXsuredom 2, 3, . . . , 12. Vrijednost2 semoze dobitinajedan nacin, vrijednost 3 = 1 + 2 = 2 + 1 na dva nacina, 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1 na tri nacina itd.Broj svih mogucnosti na koje mogu pasti dvije kockice je 36. Pripadne vjerojatnosti se lako izracunajuprimjenom klasicne formule vjerojatnosti i sad imamo:X

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136236336436536636536436336236136

.E(X) =12k=2kpi = 2 136 + 3 236 + + 7 636 + + 12 136 = 7E(X2) =12k=2k2pi = 22136 + 32236 + + 72636 + + 122136=3296 54.83V ar(X) = E(X2) E(X)2 54.83 49 = 5.83, (X) 2.42Zadatak3.Odredite distribuciju slucajne varijable X koja modelira bacanje dviju simetricnih kockica, jedne stan-dardne sa sest strana i brojevima od 1 do 6 na njima i jedne sa cetiri strane i brojevima od 1 do 4 nanjima te uzimanjem sume brojeva koji na njima padnu (dakleX = d6 +d4) .Zadatak4.Odredite distribuciju slucajne varijable X koja modelira bacanje dviju simetricnih kockica, jedne stan-dardne sa sest strana i brojevima od 1 do 6 na njima i jedne sa cetiri strane i brojevima od 1 do 4 nanjima i uzimanjem razlike brojeva koji na njima padnu (dakleX = d6 d4) .6713 Bernoullijevpokus. Bernoullijevashema. Binomnadistribu-cijaBernoullijevpokusjeeksperiment cijiishodjeslucajan iukojem sumoguca samodvarezultata odkojihjedannazivamouspjeh(tojeobicnoonajkoji naszanimaili kojegpromatramo), adrugi neuspjeh.Obicno je rijec o eksperimentu s dva moguca rezultata koji se uvijek mogu izraziti preko da ili ne pi