Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti

Vjezbe 10

Vjezbe 10

Nizovi realnih brojeva

1. Zadani su nizovi. Ispisite prvih 5 clanova:

a)

(2n

3n − 2

),

b)

(n2 − 1

n2 + 1

),

c) (n!),

d)

(1 + (−1)n

2

),

e)

(sin nπ

2

n

).

Vjezbe 10



a)

(2n

3n − 2

),

b)

(n2 − 1

n2 + 1

),

c) (n!),

d)

(1 + (−1)n

2

),

e)

(sin nπ

2

n

).

Vjezbe 10



a)

(2n

3n − 2

),

b)

(n2 − 1

n2 + 1

),

c) (n!),

d)

(1 + (−1)n

2

),

e)

(sin nπ

2

n

).

Vjezbe 10



a)

(2n

3n − 2

),

b)

(n2 − 1

n2 + 1

),

c) (n!),

d)

(1 + (−1)n

2

),

e)

(sin nπ

2

n

).

Vjezbe 10



a)

(2n

3n − 2

),

b)

(n2 − 1

n2 + 1

),

c) (n!),

d)

(1 + (−1)n

2

),

e)

(sin nπ

2

n

).

Vjezbe 10

Nizovi realnih brojevaAritmeticki i geometrijski niz

2. Zadan je aritmeticki niz

2, 5, 8, 11, 14, . . .

Odredite 2008−ti clan tog niza.

3. Odredite aritmeticki niz ako je:

a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21

b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60

4. Brojevi 1, x , y uzastopni su clanovi aritmetickog niza.Odredite x i y ako je x2 − 2 = 2y .

Vjezbe 10



2, 5, 8, 11, 14, . . .



a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21

b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60


Vjezbe 10



2, 5, 8, 11, 14, . . .



a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21

b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60


Vjezbe 10



2, 5, 8, 11, 14, . . .



a) a1 + a7 = 42, a10 − a3 = 21

b) a1 + a5 = 24, a2 · a3 = 60


Vjezbe 10


5. U nekom je aritmetickom nizu a1 + a3 + a5 + · · ·+ a11 = 72.Koliko je a1 + a6 + a11?

6. Odredite aritmeticki niz (an) za koji je sn = 12n − 4n2.

7. Suma prvih n clanova nekog niza dana je izrazom

sn =19

2n2 − 179

2n.

Dokazite da je taj niz aritmeticki.

8. Odredite dvanaesti clan geometrijskog niza 4, 6, 9, . . .

Vjezbe 10





sn =19

2n2 − 179

2n.



Vjezbe 10





sn =19

2n2 − 179

2n.



Vjezbe 10





sn =19

2n2 − 179

2n.



Vjezbe 10


9. Ako je s an oznacen n−ti clan geometrijskog niza, odredite:

a) a6, ako je a2 =2

3, a4 =

8

27

b) a4, ako je a3 =4− 2

√3

4, a5 =

28− 16√

3

16

10. Umnozak prvog i petog clana geometrijskog niza je 144, azbroj drugog, treceg i cetvrtog clana je 18. Odredite opci clan.

11. Za koje su x brojevi1

x + 2,

1

x − 2,

1

x − 4uzastopni clanovi

geometrijskog niza?

12. Tri broja, treci je 12, uzastopni su clanovi geometrijskog niza.Ako se 12 zamijeni s 9, ti ce brojevi biti uzastopni clanoviaritmetickog niza. Koji su to brojevi?

Vjezbe 10



a) a6, ako je a2 =2

3, a4 =

8

27

b) a4, ako je a3 =4− 2

√3

4, a5 =

28− 16√

3

16



x + 2,

1

x − 2,

1


geometrijskog niza?


Vjezbe 10



a) a6, ako je a2 =2

3, a4 =

8

27

b) a4, ako je a3 =4− 2

√3

4, a5 =

28− 16√

3

16



x + 2,

1

x − 2,

1


geometrijskog niza?


Vjezbe 10



a) a6, ako je a2 =2

3, a4 =

8

27

b) a4, ako je a3 =4− 2

√3

4, a5 =

28− 16√

3

16



x + 2,

1

x − 2,

1


geometrijskog niza?


Vjezbe 10



a) a6, ako je a2 =2

3, a4 =

8

27

b) a4, ako je a3 =4− 2

√3

4, a5 =

28− 16√

3

16



x + 2,

1

x − 2,

1


geometrijskog niza?


Vjezbe 10

Nizovi realnih brojevaGomiliste i limes niza

Gomiliste niza

Za realni broj a kazemo da je gomiliste ili tocka gomilanja nizarealnih brojeva (an) ako svaka ε−okolina broja a (〈a− ε, a + ε〉)sadrzi beskonacno mnogo clanova niza (an).

Bolzano– Weierstrassov teorem

Svaki omeden niz realnih brojeva ima barem jedno gomiliste.

Vjezbe 10


Gomiliste niza

Za realni broj a kazemo da je gomiliste ili tocka gomilanja nizarealnih brojeva (an) ako svaka ε−okolina broja a (〈a− ε, a + ε〉)sadrzi beskonacno mnogo clanova niza (an).

Bolzano– Weierstrassov teorem

Svaki omeden niz realnih brojeva ima barem jedno gomiliste.

Vjezbe 10


Limes niza

Realni broj a je limes ili granicna vrijednost niza realnih brojeva(an) ako za svaki realni broj ε > 0 postoji prirodan broj n0 takav da

(n > n0) =⇒ (|an − a| < ε)

– oznake: limn→∞

an = a, an → a kada n→∞

Kazemo da je niz realnih brojeva konvergentan ako ima granicnuvrijednost. Za niz koji nije konvergentan kazemo da je divergentan.

Vjezbe 10

Nizovi realnih brojevaSvojstva konvergentnih nizova

Svojstva konvergentnih nizova

Konvergentni niz ima samo jedno gomiliste.

Konvergentni niz je omeden.

Ogranicen i monoton niz je konvergentan.

Ako je limn→∞

an = a onda je i niz (|an − a|) konvergentan i

limn→∞

|an − a| = 0.

Ako je limn→∞

an = limn→∞

bn i an ≤ cn ≤ bn tada konvergina i niz

(cn) ilim

n→∞cn = lim

n→∞an = lim

n→∞bn

Vjezbe 10

Nizovi realnih brojevaSvojstva konvergentnih nizova

Svojstva konvergentnih nizova

Ako je limn→∞

an = a i limn→∞

bn = b onda je

limn→∞

(an ± bn) = a± b

limn→∞

(an · bn) = a · b

limn→∞

an

bn=

a

b, bn 6= 0 ∀n ∈ N, b 6= 0

limn→∞

|an| = |a|

limn→∞

aαn = aα, α > 0, ako je an > 0 ∀n ∈ N

Vjezbe 10

Nizovi realnih brojevaNeki znacajni limesi

1 limn→∞

1

n= 0

2 limn→∞

n√

n = 1

3 limn→∞

n√

a = 1, a > 0

4 limn→∞

an = 0, |a| < 1

5 limn→∞

(1 +

1

n

)n

= e

6 limn→∞

qn =

0, 0 ≤ |q| < 11, q = 1

+∞, q > 1

Vjezbe 10

Nizovi realnih brojevaLimes niza

13. Izracunajte sljedece limese:

a) limn→∞

(√n + 1−

√n),

b) limn→∞

√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1

,

c) limn→∞

10n ·(√

n2 + 1− n),

d) limn→∞

3n + 2√4n2 − 2n + 1

,

Vjezbe 10



a) limn→∞

(√n + 1−

√n),

b) limn→∞

√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1

,

c) limn→∞

10n ·(√

n2 + 1− n),

d) limn→∞

3n + 2√4n2 − 2n + 1

,

Vjezbe 10



a) limn→∞

(√n + 1−

√n),

b) limn→∞

√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1

,

c) limn→∞

10n ·(√

n2 + 1− n),

d) limn→∞

3n + 2√4n2 − 2n + 1

,

Vjezbe 10



a) limn→∞

(√n + 1−

√n),

b) limn→∞

√n2 + 1− 1√n2 + 1 + 1

,

c) limn→∞

10n ·(√

n2 + 1− n),

d) limn→∞

3n + 2√4n2 − 2n + 1

,

Vjezbe 10


e) limn→∞

(√n2 + n + 1−

√n2 − n + 1

),

f) limn→∞

√n2 + 4n

3√

n3 − 3n2,

g) limn→∞

(1 +

3

n

)·(

2− 4

n

)2

·(

5

n2− 1

),

h) limn→∞

(2n2 + n − 1

5n2 − 7n + 12

)3

,

Vjezbe 10


e) limn→∞

(√n2 + n + 1−

√n2 − n + 1

),

f) limn→∞

√n2 + 4n

3√

n3 − 3n2,

g) limn→∞

(1 +

3

n

)·(

2− 4

n

)2

·(

5

n2− 1

),

h) limn→∞

(2n2 + n − 1

5n2 − 7n + 12

)3

,

Vjezbe 10


e) limn→∞

(√n2 + n + 1−

√n2 − n + 1

),

f) limn→∞

√n2 + 4n

3√

n3 − 3n2,

g) limn→∞

(1 +

3

n

)·(

2− 4

n

)2

·(

5

n2− 1

),

h) limn→∞

(2n2 + n − 1

5n2 − 7n + 12

)3

,

Vjezbe 10


e) limn→∞

(√n2 + n + 1−

√n2 − n + 1

),

f) limn→∞

√n2 + 4n

3√

n3 − 3n2,

g) limn→∞

(1 +

3

n

)·(

2− 4

n

)2

·(

5

n2− 1

),

h) limn→∞

(2n2 + n − 1

5n2 − 7n + 12

)3

,

Vjezbe 10


i) limn→∞

(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)

n + 3− n

),

j) limn→∞

(3− n)2 + (3 + n)2

(3− n)2 − (3 + n)2,

k) limn→∞

6n3 −√

n5 + 1√4n6 + 3− n

,

l) limn→∞

(2n + 2)!− (2n + 3)!

(2n + 4)!,

Vjezbe 10


i) limn→∞

(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)

n + 3− n

),

j) limn→∞

(3− n)2 + (3 + n)2

(3− n)2 − (3 + n)2,

k) limn→∞

6n3 −√

n5 + 1√4n6 + 3− n

,

l) limn→∞

(2n + 2)!− (2n + 3)!

(2n + 4)!,

Vjezbe 10


i) limn→∞

(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)

n + 3− n

),

j) limn→∞

(3− n)2 + (3 + n)2

(3− n)2 − (3 + n)2,

k) limn→∞

6n3 −√

n5 + 1√4n6 + 3− n

,

l) limn→∞

(2n + 2)!− (2n + 3)!

(2n + 4)!,

Vjezbe 10


i) limn→∞

(1 + 3 + · · ·+ (2n − 1)

n + 3− n

),

j) limn→∞

(3− n)2 + (3 + n)2

(3− n)2 − (3 + n)2,

k) limn→∞

6n3 −√

n5 + 1√4n6 + 3− n

,

l) limn→∞

(2n + 2)!− (2n + 3)!

(2n + 4)!,

Vjezbe 10


m) limn→∞

(n +

3√

4− n3)

,

n) limn→∞

3√

n2 − 1 + 7n3

4√

n12 + n + 1− n,

o) limn→∞

(1 + 2 + · · ·+ n

n − n2 + 3

),

p) limn→∞

(3n − 1)! + (3n + 1)!

(3n)!(n − 1).

Vjezbe 10


m) limn→∞

(n +

3√

4− n3)

,

n) limn→∞

3√

n2 − 1 + 7n3

4√

n12 + n + 1− n,

o) limn→∞

(1 + 2 + · · ·+ n

n − n2 + 3

),

p) limn→∞

(3n − 1)! + (3n + 1)!

(3n)!(n − 1).

Vjezbe 10


m) limn→∞

(n +

3√

4− n3)

,

n) limn→∞

3√

n2 − 1 + 7n3

4√

n12 + n + 1− n,

o) limn→∞

(1 + 2 + · · ·+ n

n − n2 + 3

),

p) limn→∞

(3n − 1)! + (3n + 1)!

(3n)!(n − 1).

Vjezbe 10


m) limn→∞

(n +

3√

4− n3)

,

n) limn→∞

3√

n2 − 1 + 7n3

4√

n12 + n + 1− n,

o) limn→∞

(1 + 2 + · · ·+ n

n − n2 + 3

),

p) limn→∞

(3n − 1)! + (3n + 1)!

(3n)!(n − 1).

Vjezbe 10

Documents

Vje zbe 10darija/matematikaI/maI_v10.pdf · Aritmeti cki i geometrijski niz 5.U nekom je aritmeti ckom nizu a 1 + a 3 + a 5 + + a 11 = 72. Koliko je a 1 + a 6 + a 11? 6.Odredite aritmeti