Viga en Voladizo

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

VIGA EN VOLADIZO

“RESISTENCIA DE MATERIALES”

AUTOR

Henry Condor Untiveros alumno de la Universidad Nacional de Ingeniería que actualmente lleva el curso de Física II en la facultad de ingeniería civil, con la asesoría del catedrático encargado de difundir la teoría del curso: Ingeniero Mosquera Leiva Luis.

RESUMEN

Este experimento que se llevara a cabo parte del estudio de la respuesta espectral que presenta una viga en voladizo partiendo de la medición casi exacta de su aceleración en función del tiempo y con ayuda de un instrumento adecuado para el mismo. El trabajo esperado nos deberá mostrar una relación no lineal decreciente entre la longitud de la viga y su frecuencia principal de resonancia.

FUNDAMENTO TEORICO

Oscilador armónico amortiguado

Añadiendo pérdidas de energía, se consigue modelar una situación más próxima a la realidad. Así, nótese que la oscilación descrita en el apartado anterior se prolongaría indefinidamente en el tiempo (la sinusoide que describe la posición no converge a cero en ningún momento). Una situación más verosímil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que frena el movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:

Donde es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Página 1


opuesta a la velocidad. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden1 (contiene derivadas segundas) y homogénea (no hay término independiente de ). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de:

Si el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)

Si el sistema tiene amortiguamiento crítico.

Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico)

Oscilador sobreamortiguado

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

Donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):

y

y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.



Oscilador con amortiguamiento crítico

Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

La solución única es:

Como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).

Oscilador con amortiguamiento débil

Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide está controlada por la exponencial.

En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

La solución es:


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:HarmOsc4.png?uselang=es


Como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsación es:

La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del

sistema no amortiguado porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.

La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de

frecuencia cuya amplitud está multiplicada por una exponencial

decreciente cuya constante de tiempo es .

Oscilaciones forzadas

Podemos iniciar el movimiento un oscilador armónico desplazándolo de su posición de equilibrio y abandonándolo a su oscilación libre (ver párrafos precedentes).

Alternativamente, podemos aplicarle una fuerza cuya intensidad varíe de manera sinusoidal con el tiempo. En esta situación, la ecuación diferencial lineal es inhomogénea. La solución a este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución general del sistema homogéneo más una solución particular del caso inhomogéneo.2 Por tanto, la solución está formada por dos partes, una parte transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las que vimos en los párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuación homogénea). Las únicas diferencias son las condiciones iniciales y finales, que no son idénticas. Vamos a interesarnos a la solución estacionaria. En la ecuación diferencial del sistema hay que añadir la fuerza sinusoidal:



FENOMENO DE RESONANCIA

La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En el cual una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande.

En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza.

Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse.

Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste en tomar dos diapasones capaces de emitir un sonido de la misma frecuencia y colocados próximos el uno del otro, cuando hacemos vibrar uno, el otro emite, de manera espontánea, el mismo sonido, debido a que las ondas sonoras generadas por el primero presionan a través del aire al segundo.



EXPERIMENTO

INSTRUMENTOS

Un acelerómetro

Una regla metálica

Un base de soporte (madera)

Una computadora

Un seguro de metal ajustable

PROCEDIMIENTO

Simulamos la estructura de una viga en el estado voladizo. Como en la imagen a continuación.

Sobre un punto de esta viga simulada colocamos el sensor del acelerómetro (punto más alejado).

Dándole pequeños impulsos en esa parte haremos oscilar dicha estructura.



Tomaremos los datos que el acelerómetro mida en el computador conectado.

Repetiremos el proceso con 4 medidas de la parte en voladizo, aumentando dicha medida.

En la medidas del acelerómetro solo consideraremos la aceleración en el eje Z pues despreciaremos la de los ejes X e Y.

RESULTADOS

Para L1 = 15cm

TiempoAceleración eje

XAceleración eje

YAceleración eje

ZTiempo -

FrecuenciaAceleración eje Z -

FFTs m/s² m/s² m/s² Hz 0 -0.779063568 -3.067205087 9.358222992 0 0.04893124



0.02 -0.805609367 -2.960935688 9.06759434 0.048828125 0.0165823310.04 -0.779063568 -2.907800989 9.014752766 0.09765625 0.051719480.06 -0.805609367 -2.934368338 8.882648834 0.146484375 0.0418553980.08 -0.779063568 -3.040637737 9.120435913 0.1953125 0.011460420.1 -0.805609367 -3.014070387 9.226119059 0.244140625 0.009134686

0.12 -0.779063568 -2.907800989 8.90906962 0.29296875 0.0002951560.14 -0.779063568 -2.960935688 9.226119059 0.341796875 0.0058444790.16 -0.805609367 -3.067205087 9.226119059 0.390625 0.0160103310.18 -0.75251777 -3.067205087 9.146856699 0.439453125 0.0183326370.2 -0.779063568 -2.987503038 9.06759434 0.48828125 0.021549215

0.22 -0.725971972 -2.85466629 9.014752766 0.537109375 0.0229543330.24 -0.779063568 -2.960935688 9.226119059 0.5859375 0.023477095

Aplicando la transformada de Fourier:



Obtenemos que la frecuencia de resonancia para esta longitud es: 13.53Hz

Para L2 = 25cm

Tiempo

Aceleración eje X

Aceleración eje Y

Aceleración eje Z

Tiempo - Frecuencia

Aceleración eje Z - FFT

s m/s² m/s² m/s² Hz 0 -0.593242981 -5.05975631 8.539178608 0 0.068463405

0.02 -0.540151384 -5.08632366 8.565599395 0.048828125 0.0244438810.04 -0.646334577 -5.006621611 8.195708383 0.09765625 0.0704766110.06 -0.619788779 -5.006621611 8.327812316 0.146484375 0.0577519580.08 -0.593242981 -4.980054261 8.380653889 0.1953125 0.0144555610.1 -0.619788779 -5.05975631 8.486337035 0.244140625 0.011106089

0.12 -0.646334577 -5.139458359 8.512757822 0.29296875 0.0007194640.14 -0.646334577 -5.033188961 8.433495462 0.341796875 0.0083757940.16 -0.619788779 -4.953486912 8.354233102 0.390625 0.0203180750.18 -0.593242981 -4.953486912 8.354233102 0.439453125 0.023024450.2 -0.593242981 -5.033188961 8.433495462 0.48828125 0.027170631

0.22 -0.619788779 -5.033188961 8.380653889 0.537109375 0.0293940.24 -0.619788779 -5.006621611 8.274970743 0.5859375 0.032342502







Para Para L3 = 35cm

Tiempo

Aceleración eje X

Aceleración eje Y

Aceleración eje Z

Tiempo - Frecuencia


s m/s² m/s² m/s² Hz 0 -0.513605586 -5.05975631 8.433495462 0 0.043432462

0.02 -0.540151384 -5.08632366 8.459916249 0.048828125 0.0118087190.04 -0.593242981 -5.11289101 8.380653889 0.09765625 0.0454099980.06 -0.566697182 -5.192593059 8.354233102 0.146484375 0.0323108430.08 -0.593242981 -5.139458359 8.274970743 0.1953125 0.0035395980.1 -0.593242981 -5.05975631 8.22212917 0.244140625 0.000972673

0.12 -0.593242981 -5.033188961 8.354233102 0.29296875 0.004655270.14 -0.593242981 -5.08632366 8.354233102 0.341796875 0.0103119760.16 -0.566697182 -5.166025709 8.327812316 0.390625 0.015397020.18 -0.593242981 -5.11289101 8.274970743 0.439453125 0.0148439230.2 -0.513605586 -5.05975631 8.327812316 0.48828125 0.015075364

0.22 -0.540151384 -5.033188961 8.354233102 0.537109375 0.0131554650.24 -0.593242981 -5.139458359 8.380653889 0.5859375 0.011592382





Para L4 = 45cm

Tiempo

Aceleración eje X

Aceleración eje Y

Aceleración eje Z

Tiempo - Frecuencia


s m/s² m/s² m/s² Hz 0 -0.646334577 -5.564535954 8.14286681 0 0.032366411

0.02 -0.725971972 -5.617670653 8.169287597 0.048828125 0.0075602130.04 -0.832155165 -5.564535954 7.984342091 0.09765625 0.032445010.06 -0.672880375 -5.537968604 8.06360445 0.146484375 0.0183571950.08 -0.646334577 -5.564535954 8.195708383 0.1953125 0.0027117360.1 -0.75251777 -5.537968604 8.037183664 0.244140625 0.003483698

0.12 -0.725971972 -5.591103303 8.010762877 0.29296875 0.0055071350.14 -0.75251777 -5.591103303 8.14286681 0.341796875 0.0074206550.16 -0.672880375 -5.537968604 8.14286681 0.390625 0.0094769440.18 -0.672880375 -5.537968604 8.14286681 0.439453125 0.0064689210.2 -0.75251777 -5.564535954 8.14286681 0.48828125 0.003378255

0.22 -0.672880375 -5.617670653 8.14286681 0.537109375 0.0015744810.24 -0.858700963 -5.564535954 8.090025237 0.5859375 0.000478498





Para L5 = 55cm

Tiempo

Aceleración eje X

Aceleración eje Y

Aceleración eje Z

Tiempo - Frecuencia


s m/s² m/s² m/s² Hz 0 -0.725971972 -5.192593059 8.301391529 0 0.015336162

0.02 -0.75251777 -5.192593059 8.248549956 0.048828125 0.0060359260.04 -0.779063568 -5.272295108 8.010762877 0.09765625 0.0151960340.06 -0.832155165 -5.219160408 7.984342091 0.146484375 0.0100874430.08 -0.805609367 -5.219160408 8.06360445 0.1953125 0.0018112190.1 -0.75251777 -5.219160408 8.169287597 0.244140625 0.001172468

0.12 -0.725971972 -5.219160408 8.274970743 0.29296875 0.0012296260.14 -0.805609367 -5.219160408 8.22212917 0.341796875 0.0019597520.16 -0.885246761 -5.298862457 8.274970743 0.390625 0.0059840580.18 -0.858700963 -5.298862457 8.433495462 0.439453125 0.0041807460.2 -0.75251777 -5.325429807 8.565599395 0.48828125 0.005505417

0.22 -0.832155165 -5.272295108 8.327812316 0.537109375 0.0048368930.24 -0.805609367 -5.192593059 8.22212917 0.5859375 0.003498477







Luego de haber obtenido diferentes frecuencias resonantes correspondientes a diferentes longitudes, la graficamos:

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 600

2

4

6

8

10

12

14

16

Longitud

Frec

uenc

ia re

sona

nte

Vemos que la grafica tiende a una función exponencial, siendo asintótico cuando la longitud tiende a ser muy grande.

CONCLUSIONES


L (cm) f res

15 13.53

25 6.74

35 4.3

45 2.93

55 2.15


Se han presentado el estudio de las oscilaciones y las vibraciones sobre una viga como demostrador para la aplicación de esta tecnología en la monitorización de infraestructuras la respuesta en régimen estático responde a los modelos teóricos usados, y depende en gran medida de la adhesión del objeto utilizado a la estructura de prueba.

La grafica no salió exactamente una exponencial, sino una aproximación de ella, lo cual podríamos decir que si tomamos mas datos podriamos obtener una función exponencial mejor definida a la teórica.

AGRADECIMIENTOS

A la facultad de ingeniería civil de la Universidad Nacional de Ingeniería, por brindarme la oportunidad de estudiar la ingeniería civil en esta prestigiosa

universidad, A mis padres por apoyarme incondicionalmente en todo y al Ingeniero Mosquera Leiva Luis por ser un profesor excelente en la teoria.

BIBLIOGRAFIA

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/viga/viga.htm http://html.rincondelvago.com/ensayo-con-un-modelo-de-viga-de-

voladizo.html http://www.tesisenred.net/bitstream/handle/10803/6863/11Sfl11de14.pdf?

sequence=11 http://biblioteca.universia.net/html_bura/ficha/params/title/flexion-viga-

voladizo/id/52488596.html


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