1

Gottfried Wilhelm von Leibniz, portret de Bernard Christoph Francke, în jurul anului 1700

Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (n. 1 iulie 1646, Leipzig, d. 14 noiembrie 1716, Hanovra), a fost un filozof şi matematician german, unul din cei mai importanţi filozofi de la sfârşitul secolului al XVII-lea şi începutul celui de al XVIII-lea, unul din întemeietorii iluminismului german. În matematică, Leibniz a introdus termenul de „funcţie” (1694), pe care l-a folosit pentru a descrie o cantitate dependentă de o curbă. Alături de Newton, Leibniz este considerat fondatorul analizei matematice moderne.

Matematică

Leibniz elaborează în jurul anului 1675 bazele calculului diferenţial şi integral, de o mare însemnătate pentru dezvoltarea ulterioară a matematicii şi fizicii, independent de Isaac Newton, care enunţase deja principiile calculului infinitezimal într-o lucrare din 1666. Simbolurile matematice introduse de Leibniz în calculul diferenţial şi integral se folosesc şi astăzi. Perfecţionând realizările lui Blaise Pascal, Leibniz construieşte un calculator mecanic, capabil să efectueze înmulţiri, împărţiri şi extragerea rădăcinii pătrate. Dezvoltă forma modernă de numărare binară, utilizată astăzi în informatică şi pentru calculatoare. Leibniz a încercat să creeze un calcul logic, o logică bazată pe utilizarea simbolurilor, fiind un precursor al logicii matematice.

Relizat de catre elevul GOICEA SORIN GABRIEL

CLASA A-VI-A A

2

Felix Klein s-a născut la Düsseldorf, într-o familie prusacă. A urmat liceul în oraşul natal, apoi a studiat matematica şi fizica la Universitatea din Bonn (1865-1866), intenţionând să devină fizician. În 1866devine asistentul lui Julius Plücker, care deţinea catedra de matematică şi fizică experimentală şi sub a cărui călăuzire obţine doctoratul (1868). În acelaşi an, Plücker se stinge din viaţă, lăsându-şi opera neterminată. Este vorba de lucrarea Neue Geometrie des Raumes, care ulterior a fost continuată de Alfred Clebsch.

În iulie 1870, când se declanşează războiul franco-prusac, Klein se afla la Paris. Este nevoit să se retragă în ţară şi intră în armata prusacă.

În 1871 intră ca lector la Göttingen. Anul următor, la numai 23 de ani, intră ca profesor la prestigiosul centru universitar Erlangen şi aceasta la cererea lui Clebsch, care întrezărea în el un mare matematician.

Deoarece la Erlangen erau prea puţini studenţi, pentru a-şi realiza dezideratul, Klein se mută la Technische Hochschule din München (1875). Aici are ca studenţi pe viitori mari matematicieni şi fizicieni: Carl Runge, Max Planck, Adolf Hurwitz, Luigi Bianchi, Gregorio Ricci-Curbastro, Walther von Dyck, Karl Rohn.

Urmează o perioadă nefastă: Între 1883 şi 1884, Klein suferă de depresie.

În 1886 este numit profesor la Universitatea de la Göttingen, unde rămâne până la retragerea sa la pensie, în 1913.

DINU ANDREEA VII C

3

PRINCIPIUL LUI DIRICHLET Întâlnit în literatura matematică şi cu denumirile: "principiul cutiei", "principiul sertarelor şi obiectelor", "principiul iepurilor şi cuştilor", principiul lui Dirichlet are numeroase aplicaţii atat în aritmetică, algebră cât şi în geometrie. Acest principiu îl găsim încă din clasa a V-a în programa de olimpiadă, dar şi în rezolvarea altor probleme din gimnaziu sau liceu .

Principiul cutiei se formulează astfel:

„ Dacă repartizăm un număr de m obiecte în n cutii şi obiectele sunt mai multe decât cutiile (m>n), atunci există cel puţin o cutie care conţine cel putin doua obiecte”.

Principiul cutiei sau principiul lui Dirichlet a fost elaborate de matematicianul german Peter Gustav Dirichlet(1805-1859)

În acest principiu nu este important care cutie conţine cel puţin două obiecte şi nici câte obiecte sunt în această cutie, sau câte astfel de cutii sunt. Important este că există cel puţin o cutie care conţine mai mult decât un obiect.

Simplitatea rezolvării problemelor cu acest principiu depinde în mare măsură de cât de reuşit vor fi alese "cutiile" si "obiectele". Deci, pentru aplicarea principiului lui Dirichlet este necesar de indicat cine (ce) sunt "cutiile" şi cine (ce) sunt "obiectele".

PROBLEME REZOLVATE:

1.Oricare ar fi trei numere, se găsesc întotdeauna printre ele două a căror sumă este un număr par.

Soluţie: Dacă primele două numere sunt de aceeaşi paritate, suma lor este un număr par. Dacă nu, al treilea are, cu necesitate, aceeaşi paritate cu unul din primele două, deci suma lor este un număr par.

La rezolvarea unor probleme este util de aplicat Principiul lui Dirichlet generalizat:

Dacă plasăm pn+1 obiecte în n cutii, atunci cel puţin o cutie va conţine cel puţin "p+1" obiecte.

2. Într-o clasă sunt 39 de elevi. Există o lună a anului, în care cel puţin 4 elevi sărbătoresc ziua de naştere?

Soluţie: Considerăm lunile anului "cutiile"şi "obiectele" elevii. Repartizăm "obiectele" în "cutii" în funcţie de luna de naştere. Cum lunile sunt 12 (adică cutiile), iar elevii, adică obiectele 39 = 12·3+3, conform principiului lui Dirichlet există o cutie (o lună) cu cel puţin 3+1=4 obiecte.

4

3. Într-o şcoală sunt 731 de elevi. Arătaţi că există cel puţin 3 elevi care îşi serbează ziua de natere în aceeaşi zi a anului (se consideră anul de 365 zile).

Soluţie: Presupunem că nu există trei astfel de elevi. Deci în fiecare zi a anului îşi serbează ziua de naştere cel mult doi elevi. Atunci, în total, într-un an, îi vor serba ziua de naştere 365 2 = 730 de elevi. Dar în şcoală sunt 731 de elevi, deci cel de-al 731-lea elev îşi va serba ziua împreună cu alţi doi.

Obs: Atunci când într-o problemă se cere să se arate că există cel puţin n elemente cu o anumită proprietate, este bine să considerăm că există cel mult n-1 elemente cu acea proprietate şi, din analiza cazului “exact n-1” se ajunge la soluţia problemei.

4. Oricum am scoate 7 bile dintr-o urnă în care se afă bile albe şi negre, printre cele 7 bile se află cel puţin o bilă neagră. Care este numărul maxim de bile albe din urnă?

Soluţie: Presupunem că în urnă sunt cel puţin 7 bile. Atunci este posibil ca la o extragere să scoatem 7 bile albe.Dacă în urnă sunt 6 bile albe, chiar în cazul cel mai nefavorabil când primele 6 bile sunt albe, a şaptea va fi, cu siguranţă,neagră, deci numărul maxim de bile albe este 6.

5. Să se demonstreze, că printre oricare şase numere întregi există două numere a căror diferenţă este divizibilă prin 5.

Soluţie. Considerăm 5 cutii etichetate cu numerele 0,1,2,3,4, care reprezintă resturile împărţirii la 5.Repartizăm în aceste cutii şase numere întregi arbitrare, în dependenţă de restul împărţirii la 5, adică în aceeaşi cutie se plasează numerele cu acelaşi rest de împrţire la 5. Cum numerele ("obiecte") sunt mai multe decât

cutiile, conform principiului Dirichlet, există o cutie ce conţine mai mult decât un obiect. Deci, există (cel puţin)două numere plasate în aceeaşi cutie. Prin urmare, există două numere cu acelaşi rest de împărţire prin 5.

Atunci, diferenţa lor este divizibilă prin 5.

Prof.PETRE CONSTANTA

5

PRINCIPIUL LUI DIRICHLET-PROBLEME PROPUSE

Problema1.Într-o cutie sunt 10 creioane de culoare roşie,8 de culoare albastră, 8 de culoare verde şi 4 de culoare galbenă .La întâmplare (aleator) din cutie se extrag n creioane.Să se determine numărul minimal de creioane care trebuie extras astfel încât să fie:

a) Nu mai puţin de patru creioane de aceeaşi culoare.

b) Cel puţin 6 creioane sunt de culoare albastră.

c)Câte un creoin de fiecare culoare.

Problema 2.Să se demonstreze că din 11 cifre pot fi selectate două cifre identice.

Problema 3 .Să se arate că din 3 numere nenule 2 sunt de acelaşi semn.Problema 4. În interiorul unui triunghi echilateral cu lungimea laturii 1 sunt plasate 5 puncte .Să se demonstreze că există 2 puncte din cele 5 cu distanţa între ele mai mică decât 0,5.Problema 5 .Punctele planului sunt colorate în două culori. Arătaţi că există două puncte de aceeaşi culoare situate la distanta de 1m.Problema 6. Se consideră în plan n puncte distincte.Câte două puncte determină un segment.Să se demonstreze că există două puncte din care pleacă acelaşi număr de segmente.Problema 7. În campionatul naţional de fotbal participă 30 echipe. Să se demonstreze că în orice moment există două echipe cu număr egal de jocuri jucate în campionat.Problema 8. Să se arate că nu se pot vopsi feţele unui cub ,folosind numai două culori,astfel încât oricare două feţe vecine să aibă culori diferite.Problema 9.Se consideră 7 numere naturale.Demonstraţi că printre numerele date , cel puţin două dau acelaşi rest la împărtirea cu 6 .

Prof. PETRE CONSTANŢA

6

ŞTIAŢI CĂ……?

    14 Martie, E Ziua Mondială a numărului Pi

      Este o poveste specială, complexă şi simplă în acelaşi timp. Adoratorii numărului Pi au o dată de predilecţie pentru a se întâlni în fiecare an: ziua a 14-a din a treia lună, 3,14 (Data de 14 martie a fost aleasă ca Zi Mondială a numărului Pi, deoarece americanii scriu data punând luna înaintea zilei, astfel încât 14 martie arată 3/14, ceea ce trimite cu gândul la celebrul Pi).În această zi, discipolii virtualei biserici Pi îşi dau întalnire la o oră specială 1.59, din devotament bineînţeles pentru zecimalele următoare ale numărului Pi (3,14159).      În SUA, locurile obişnuite pentru întâlnirile fanilor acestui număr intact de la Arhimede sunt diverse: la Cambridge, în apropiere de Boston, unde se află celebrul Massachusetts Institute of Technology (MIT) care, timp de mai mulţi ani, s-a amuzat să anunţe admiterile la 14 martie, la Exploratorium-ul din San Francisco, pentru a degusta plăcinte ('pie' în engleză se pronunţă ca 'Pi'), purtând bijuterii în formă de Pi (a 16-a literă din alfabetul grec) sau superbe coliere în care fiecare perlă are o culoare specifică unei cifre şi este dispusă, bineînţeles, în ordinea numărului Pi.       Participanţii se adună în jurul unei fel de loc sacru dedicat lui Pi, o placă din cupru pe care sunt gravate primele 100 de cifre ale numărului. Mulţi dintre aceşti pasionaţi cunosc, de altfel, pe de rost, primele 100 de zecimale. Neimpresionat, ţinând cont că unul dintre modurile în care îşi petrec timpul liber constă în a se provoca în a recita cat mai multe zecimale.      La acest joc, un chinez deţine recordul. Chao Lu, un student la chimie a recitat pe de rost primele 67.890 de zecimale ale numărului Pi în 2005. Această performanţă a durat peste 24 de ore şi a necesitat peste 26 de casete video, care au fost transmise apoi spre validare Cărţii recordurilor Guinness. Un inginer în informatică din Virginia, Mike Keith, care a scris o odă închinată numărului Pi, un poem, sau mai degrabă un piem cum îi spune el. Cele circa 4.000 de cuvinte ale acestei scrisori de dragoste au particularitatea de a poseda fiecare un număr de litere care urmează foarte exact şirul zecimalelor Pi.      Însă chiar şi această reuşită este departe de cea a supercalculatoarelor, care au reuşit să identifice peste 1.000 de miliarde de zecimale, fără să elucideze însă misterul acestui număr care fascinează matematicienii de secole.Simbolul π a fost propus pentru acest numar în 1706, de matematicianul galez William Jones.

BACHE EMANUELA Clasa aVII-a C

7

NE MÂNDRIM CU EIÎn anul şcolar 2009-2010 elevii şcolii noastre au participat la numeroase

concursuri de matematică unde au obţinut rezultate deosebite.

OLIMPIADA JUDEŢEANĂ DE MATEMATICĂ 24.04.2010

1. Rucăreanu Cristina V-A - Menţiune2. Borş Filimon Radu VI-A Menţiune

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ

„REGALUL GENERAŢIEI XXI” – 17.10.2009

1. Borş Filimon Radu VI-A Menţiune

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ

„LUMINA MATH” 14.11.2009

1. Borş Filimon Radu VI-A Premiul II2.Ivanescu Mihai VI-A Premiul III3.Vişan Adelina VI-B Mentiune

CONCURSUL NAŢIONAL „PROEDUCAŢIA”

secţiunea EUCLID 27.11.2009

1.Mihai Tiberiu VI-C Premiul III

CONCURSUL DE MATEMATICĂ „INTELIGENŢE PRAHOVENE” 27.02.2010

8

1. Ivanescu Mihai VI-A Mentiune

CONCURSUL NAŢIONAL „PLUS-MINUS POEZIE” 27.03.2010

1.Popescu Claudia V-C Menţiune

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ

„GRIGORE MOISIL” 27.03.2010

1.Vlădescu Teodora V-A Menţiune2.Sandi Iona V-C Menţiune3.Goicea Sorin V-A Menţiune4.Necula Andrei V-C Menţiune5.Ştefănescu Radu V-C Menţiune6.Ivănescu Mihai VI-A Menţiune7.Borş Filimon Radu VI-A Menţiune8.Marin Maria VII-A Menţiune

CONCURSUL JUDEŢEAN DE MATEMATICĂ

„PRIETENII LUI PITAGORA” 29.05.2010

1.Sandi Iona V-C Premiul III2.Pavel Cătălin V-A Menţiune3.Ştefanescu Radu V-C Menţiune4.Goicea Sorin V-A Menţiune5.Popescu Claudia V-C Menţiune6.Marin Andrei VI-A Premiul I7.Borş Filimon Radu VI-A Premiul II8.Pârvu Valentin VI-B Premiul III9.Vişan Adelina VI-B Menţiune10.Mihai Tiberiu VI-C Menţiune11.Alexandrescu Bianca VI-C Menţiune12.Ivănescu Mihai VI-A Menţiune13.Popescu Ştefan VI-B Menţiune14.Marin Maria VII-A Premiul I15.Velicu Alexandra VII-A Premiul II16.Safta Andrei VII-B Menţiune

9

17.Vicol Iulia VII-A Menţiune18.Gheorghe Roxana VII-B Menţiune19.Alesu Adrian VII-A Menţiune20.Pantelie Alexandra VII-B Menţiune

CONCURSUL EUROPEAN DE MATEMATICĂ APLICATĂ „CANGURUL” Proba de baraj Mai 2010

1.Ştefanescu Radu V-C 2.Popescu Claudia V-C3.Necula Andrei V-C4.Mihăilescu Adelina V-A5.Mihalache Georgiana V-A6.Petrescu Andreea V-A7.Rucăreanu Cristina V-A8.Mărgăritaru Elena V-A9.Pâtă Andrei V-A10.Alexandrescu Bianca VI-C11.Pătrăşcioiu Mihaela VI-A12.Marin Andrei Marius VI-A13.Căpătoiu Cătălin VI-B14.Pătulea Florin VI-B15.Deaconu David VI-A

F E L I C I T Ă R I T U T U R O R !

ŞI MATEMATICIENII SE AMUZĂ

10

Un matematician într-o barcă traversa un fluviu.-Ştii algebră ? il intrebă pe barcagiu .-Nu ,răspunde hotarât acesta.-Atunci să ştii că ai pierdut jumătate din viaţă.Dar geometrie ştii?-Nu,de loc !-Atunci ai pierdut trei sferturi din viaţă.Na !Abia pronunţă matematicianul aceste cuvinte ,că un vârtej puternic răsturnă barca.-Ştii să înoţi ? îl întrebă printre valuri barcagiul,la rândul său,pe sărmanul profesor.-NUuuuu !-Ei bine, tu ţi-ai pierdut întreaga viaţă…..! Profesorul :-Georgică,poţi să-mi spui cât fac o optime plus o treime?-Exact… nu ştiu,dar prea mult n-are cum să fie!-Uită-te atent la cele doua poligoane de pe tablă şi spune-mi Gigel care este trapezul si care hexagonul.-Poligonul de lângă hexagon este trapez,răspunde candid Vasilică.-Poti să-mi araţi carnetul de note ?-Nu,tăticule,l-am împrumutat lui Costel ,căci vrea să-şi sperie părinţii cu el .

In clasă la ora de religie ,profesorul explică elevilor ca Adam si Eva au fost stramoşii omului. -Dar ,domnule profesor, intervine Gigel,tatăl meu mi-a spus că noi „netragem“ din maimuţe!-Asculta Gigele,pe noi nu ne interesează viaţa privată a familiei tale!-Fănică,lucrarea ta este foarte bună ,dar seamănă cuvânt cu cuvânt cu lucrarea colegului tău de bancă,Ionel.Ce trebuie să cred ?-Căci lucrarea lui Ionel este foarte bună ! Culese de Prof. PETRE CONSTANTA

Matematică Distractivă-Probleme propuseProblema 1

11

Trebuie să aranjaţi numerele 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 în pătratul magic, astfel încât suma numerelor pe fiecare verticală, orinzontală şi diagonală să fie aceeaşi.

Problema 2

Gândiţi-vă la un număr şi îl scrieţi, înmulţiţi cu 5, adăugaţi 2, înmulţiţi cu 4 şi adăugaţi 3.Acum înmulţiţi rezultatul obţinut cu 5 şi adăugaţi încă 7. Scrieţi numărul realizat. Tăiaţi ultimele 2 cifre. Ce număr aţi obţinut?

Problema 3

Într-un coş sunt 14 Kg de mere.Avem o balanţă şi o greutate de 2 Kg.Cum facem pentru a măsura 3 Kg de mere numai din două cântăriri ?Problema 4

Într-o zi toridă de vară, când văzduhul zângăneşte de gâze, pe o pajişte mică şi verde cu aria 3.5 hectare, pasc 2 cai de aceeaşi culoare şi prăsilă, care diferă între ei numai prin faptul că unul dintre ei are coada legată. Pajiştea are formă de paralelogram şi un cal mănâncă iarbă, mişcâdu-se pe diagonala acestuia, iar celălalt pe laturi. Care din aceşti cai va mânca mai multă iarbă într-o oră dacă au poftă de mâncare gală şi pătura vegetală a pajiştei este la fel pe toată suprafaţa?

MIHAI TIBERIU clasa VII C.

Concursul de matematica „Prietenii lui Pitagora”Clasa a V-a

29 mai 2010Subiecte:I. Pe foaia de concurs completati spatiile libere cu raspunsurile corecte:

12

1. Se da sirul: ; ; ; ; ... Al 2010-lea termen al sirului este: ...

2. Daca x si y sunt numere naturale nenule astfel incat 5xy + x = 88, atunci y2: x este egal cu ...3. Ultima cifra a numarului + este ...4. Scrierea numarului 1·2·3·4 ······ 101 contine un numar de ... zerouri.II. Pe foaia de concurs, pentru fiecare problema umpleti cerculetul de la varianta corecta. 5. Cate numere pare de 6 cifre contin in scrierea lor numarul 2010? a) 900 ; b) 235 ; c) 185 ; d) 190 ; e) 2606. Limbile unui ceasornic cu minutar formeaza pe parcursul unei zile un numar de unghiuri obtuze egal cu : a) 696 ; b) 672 ; c) 600 ; d) 720 ; e) 7607. Daca - 2300 = 9 atunci este egal cu: a) 47 ; b) 25 ; c) 74; d) 52 ; e) 75III. Pe foaia de concurs asociati fiecarui numar din coloana A raspunsul corect din coloana B 8. Daca A = {21; 22; 23; ... ; 260}

B = {41; 42; 43; ... ; 460} C = {81; 82; 83; ...; 820} atunci : A B

1. card (A ) este egal cu ... a. 302. card (A–C) este egal cu ... b. 403. card (A este egal cu ... c. 604. card ( ) este egal cu ... d. 20

e. 109. Se dau ecuatiile: 30(x)= 15; 21(y)= 9; 205(z)= 23 si 110(t)= 42. Atunci bazele de numeratie x; y; z respectiv t sunt:

A. B.1. x a. 22. y b. 63. z c. 54. t d. 3

e. 4

10. Un teren agricol a fost cultivat astfel: din teren cu floarea soarelui; din rest cu porumb; din noul rest cu

grau si 100 hectare cu cartofi. Atunci: A. B.

1. suprafata cultivata cu grau este a. 100 ha2. suprafata cultivata cu porumb este b. 500 ha3.suprafata terenului este c. 50 ha4. suprafata cultivata cu floarea soarelui este d. 150 ha

e. 400 ha Nota: Fiecare problema se noteaza cu 10 puncte Timp de lucru 75 minute

Concursul de matematica „Prietenii lui Pitagora”Clasa a VI-a

13

29 mai 2010Subiecte:I. Pe foaia de examen completati spatiile libere cu raspunsurile corecte:

1. Daca N si n este numar natural, atunci numarul n

poate lua un numar de … valori distincte.2.Ecuatia 16 + 2y = 1025 are in multimea N x N un numar de … solutii.

3. Numarul + este patrat perfect daca x este egal cu …

4.Se dau in plan sapte puncte, oricare trei dintre ele necoliniare, Cite triunghiuri cu virfurile in acele puncte exista?.......II. Pe foaia de concurs, pentru fiecare problema umpleti cerculetul de la varianta corecta.5.Daca S= 1 + 2 + 22 + … + 22010, atunci 2(S+1) este egal cua)22012 ; b) 22011; c) 22011- 1; d) 22012 -1; e) 22012+26.Daca x,y, si z sunt cifre distincte astfel incit numerele ; si sunt direct proportionale cu 4; 2 respectiv 5, atunci cel mai mare numar de forma este egal cu:a) 654 ; b) 564; c) 568; d) 645; e) 6587.Se considera ABC cu m(< A)=900 si AB = 2AC. Atunci masura unghiului C este:a)mai mare decit 680; b) mai mica decit 670; c) egala cu 67030’; d) mai mica decit 680; e) mai mica decit 67030’III Pe foia de concurs asociati fiecarui numar din coloana A raspunsul corect din coloana B.8.Andrei, Bogdan si Cristi cumpara nuci. Andrei a cumparat o treime din numarul nucilor, Bogdan a cumparat o treime din numarul nucilor ramase. Cristi a cumparat o treime din numarul nucilor ramase. Stim ca au mai ramas 600 nuci.

A B1. In total au fost a. 300 nuci2. Andrei a cumparat b. 450 nuci3. Cristi a cumparat c. 2025 nuci4. Bogdan a cumparat d. 675 nuci

e. 2050 nuci

9.Tatal are pasul de m; mama de m si fiul de m. Toti trei parcurg impreuna un drum si fac impreuna 9000 pasi.

Atunci:A B

1. lungimea drumului este a) 35002. numarul pasilor mamei este b) 24003. numarul pasilor fiului este de c) 3000 4. numarul pasilor tatalui este de d) 3600

e) 180010.Un unghi are masura de 400.

A B1. Jumatatea suplementului sau are masura a) 1600

2. Triplul complementului sau are masura b) 800

3. Bisectoarea unghiului formeaza cu adiacentul c) 700

14

sau suplementar un unghi de …4.O cincime din inzecitul sau are masura d) 1500

e) 900

Nota: Fiecare problema se noteaza cu 10 puncte Timp de lucru 75 minute

Concursul de matematica „Prietenii lui Pitagora”Clasa a VII-a

29 mai 2010Subiecte:I. Pe foaia de concurs completati spatiile libere cu raspunsurile corecte:1. Daca x2+y2+2 x - y +53 =0 unde x si y sunt numere reale atunci y2- x2 este egal cu …2. Un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare are diagonala de 7 cm. Atunci aria trapezului este egala cu … cm2.3. Lungimea unui dreptunghi este triplul latimii sale. Cat la suta din semiperimetrul dreptunghiului il reprezinta suma dintre lungimea sa si latimea acestuia multiplicata cu 17?4. Numarul numerelor de forma care verifica relatia:

= este egal cu …

II Pe foaia de concurs, pentru fiecare problema umpleti cerculetul de la varianta corecta5. Solutia in N x N a ecuatiei 9x+27y= 1458 este :a) ; b) ; c) ; d) ; e)

6. Numarul real + + unde a;b;c sunt numere reale este , pentru orice valoare a acestora:a) mai mic decat 5; b) mai mare decat 7; c) mai mare sau egal decat 6; d) mai mare sau egal cu 5,5; e) mai mic decit 7.7. Daca a = si b = atunci media aritmetica a numerelor a si b este:

a)2; b) 3; c) ; d) 1; e)

III. Pe foaia de concurs asociati fiecarui numar din coloana A raspunsul correct din coloana B.8. Daca intr-o clasa se aseaza doi elevi intr-o banca, patru banci ramin libere. Daca mai vin 5 elevi si toti elevii se aseaza cite 3 in banca atunci 7 banci vor ramane libere.A B1. Numarul bancilor este a) 332. Numarul initial al elevilor a fost b) 183. Numarul elevilor in final a fost de c) 284. Dublul numarului bancilor este d) 14

e) 369. Daca x este un numar real astfel incit = -11 si =0,57 atunci:A B1. Numarul x este egal cu a) 112. este egala cu b) 0,143. este egal cu c) – 10,43

4. este egala cu d) 1e) 0,54

15

10.Un romb are un unghi de 600 si diagonala mica de 6 Atunci:A B

1. Perimetrul rombului este a)

2. Aria rombului este b) 93. Inaltimea rombului este c) 244. Sfertul diagonalei mari d) 54

e) 36Nota: Fiecare problema se noteaza cu 10 puncte Timp de lucru 75 minute

Concursul de matematica „Prietenii lui Pitagora”Clasa a VIII-a

29 mai 2010Subiecte:I. Pe foaia de concurs completati spatiile libere cu raspunsul corect:

1. Daca A = x Z | < 0 , atunci suma elementelor multimii A este egala cu ...

2. a = - . Valoarea expresiei (a2-5)2010este egala cu ...

3.Se considera egalitatea: a2 + + +100 = 20aDaca a, b, c reprezinta lungimile laturilor unui triunghi exprimate in metri, atunci aria triunghiului este ... m2.4. ABCD trapez dreptunghic AB// CD; AD AB, AB = 18 dm, CD = 8 dm, BD AC. In C se ridica perpendiculara CM pe planul trapezului, CM = 16 dm. Distanta de la C la AB este de ... dm.II. Pe foaia de concurs pentru fiecare problema umpleti cerculetul variantei corecte.5. In cubul ABCDA B C D de muchie a,prelungimAC cu un segment CE=AC (C este intre A si E), d(E, BC ) este egala cu:

a) a ; b) 3a; c) ; d) a ; e) 2a

6. Fie f : R R ; f(x) = 2x – 3 si M (a+b ; b + ) Gf . Daca a, b Q, atunci a+b are valoarea:

a) ; b) ; c) ; d) ; e)

7. Fie expresia E(x)= ; x R\ -3; - ; 0;

Forma cea mai simpla a expresiei este: a) ; b) ; c) ; d) ; e)

III. Pe foaia de concurs asociati fiecarui numar din coloana A raspunsul corect din coloana B 8.VABC este o piramida triunghiulara regulata cu latura bazei de 12 cm si fetele laterale triunghiuri dreptunghice. A B1. Muchia laterala a piramidei are lungimea egala cu a .452. Aria laterala este b.123. Volumul piramidei este c .2884. Masura unghiului diedru format de planele (VAB) si (VAD) d .30unde D este mijlocul muchiei BC este e .216

16

9. Suma dintre varsta mamei, varsta tatalui si varsta fiului este de 96 de ani. Se stie ca mama si tata sunt de-o seama si ca cu 6 ani in urma varsta lor era de 6 ori mai mare decat varsta fiului. A B1. Varsta fiului a .422. Varsta tatalui b .603. Varsta mamei peste 6 ani c. 504. Suma varstelor mamei si fiului in urma cu 2 ani d .48

e .1210. Se considera sistemul:

x + y = 4 - x - y

x + y = y + 1 - x A B1. x este a .32. y este b. -33. (x+y) este c. 24. y – x este d. -1

e. 1Nota: Fiecare problema se noteaza cu 10 puncte Timp de lucru 75 minute

Subiecte propuse de Prof.Iancu Veronica şi Prof. Apostol Adelina

TEST DE EVALUARE INIŢIALĂCLASA A V-A

1.Completaţi spaţiile libere:0,5 p a)Suma numerelor 16 457 si 1543 este..............;0,5 p b)Numărul 1 008 micşorat de 9 ori devine........;0,5 p c)Produsul numerelor 102 şi 3005 este..............;0,5 p d)Dintre numerele 1 054 şi 1 045 mai mic este .........;0,5 p e)Diferenţa dintre triplul lui 7 şi dublul acestuia este....;0,5 p f)Dacă a + b 0 5 şi b + c = 7 , atunci 3a +7b +4c este .....;

1 p 2.Calculaţi : 2A : 6B, unde A= (5·4= + 10) :5 şi

B = 2 ( 44: 11 +6) :10∙

1 p 3.Determinaţi valoarea lui x din: (324 : 6 + 345 : 5) 2 + 1237 = 43 x + 1354∙ ∙

17

1p 4.Care număr natural are suma vecinilor săi 2456?

1 p 5.În clasa a VI-a A sunt 24 elevi. Numărul fetelor este de trei ori mai mare decât numărul băieţilor.Câte fete şi câţi băieţi sunt în clasă?

1 p 6.Tata avea 32 de ani când s-a născut băiatul şi 36 de ani când i s-a născut fiica. Câţi ani are în prezent fiecare dintre membrii familiei , dacă peste 3 ani suma vârstelor lor va fi de 70 ani?

1 p.of.

10 p Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.Timp de lucru 50 minute Se acordă 1 punct din oficiu.

Propus de Prof.IANCU VERONICA Prof.PETRE CONSTANŢA

Testare initiala la matematica Clasa a-V-a;an scolar 2010/2011

Profesor propunator: Apostol Adelina Monica

1. Calculati: a)23+298 b)809-349 1,5puncte c)2010 2011 d)10881:9∙

2. Aflati valoarea lui x din: 1,5 punctea)430+x=701 c)36 x=144∙b)x-15=215 d)1287:x=9

3.Daca a=9:9+9 9-9 si b=8:[8+8 (8-8)] comparati numerele 3 a si 4 b.∙ ∙ ∙ ∙ 1,5 puncte 4.a)Suma a doua numere naturale este 400.Aflati numerele stiind ca unul este de 7 ori mai mic decat celalalt. 1 punct

18

b)Suma a doua numere naturale este 12.Aflati cea mai mare si cea mai mica valoare a produsului obtinut prin inmultirea lor. 0,5 puncte 5.Calculati: a)11+12+13+14+………..+40 0,5 puncte b){[(7 3-5)+12]:4+5} 10-[3+(3+3 3) 5-57] ∙ ∙ ∙ ∙ 1 punct 6.La nasterea fiului tatal sau avea 30 ani si mama sa 27 ani. 1,5 puncte a)Peste cat timp varsta tatalui va fi egala cu suma varstei mamei si fiului? b)Peste cat timp suma varstelor membrilor familiei va fi egala cu 102 ani?

Nota:1)Toate subiectele sunt obligatorii. 2)Se acorda un punct din oficiu. 3)Timp de lucru 50 de minute.

1.Arătaţi că 61^401 este sumă de 2 numere pătrate perfecte.

2.Arătaţi că 122^503 este sumă de 3 pătrate perfecte.

3.Calculaţi rapid:a)4-2,5=…b)7,659-3,52=…c)3,24-0,5=…d)4,29 x 1,2=…e)4,535 : 0,5=…

19

4. Pe o semidreapta (TF se iau punctele L, M, N in această ordine. LM are lungimea de 7 cm, iar LN are lungimea de 14cm. A este mijlocul segmentului LM si B este mijlocul segmentului LN.Arătaţi că M este mijlocul segmentului LN. Calculaţi AB si demonstraţi că M este mijlocul acestui segment.5.Pe segmentul (DE) se consideră două puncte F, H astfel încât F este millocul segmentului DH şi H este mijlocul segmentului FE.a) Dacă FH este 17 cm atunci calculaţi DH.b) Dacă DE este 69 cm atunci aflaţi HE.

Rucareanu Cristina Cls a VI-a A

REBUS -GEOMETRIE

1.Dreptele sunt de 2 feluri:coplanare sau ………..

2.Daca doua sau mai multe drepte au un punct comun, ele se vor numi drepte………

3.Dreptele coplanare sunt: paralele,confundate si ……………

4.Segmentele sunt inchise si…...........

5.Dreptele necoplanare nu au ……….. commune.

20

Elevii clasei a 6-a A:

Pavel Catalin Voinea Alexandru

Rebus Geometrie

1. Parte dintr-o teoremă care se dă şi se acceptă ca fiind adevărată.2 . Şirul de raţionamente logice prin care se ajunge de la ipoteza unei teoreme

la concluzie pentru a se demonstra veridicitatea ei.

1. P

2. R

3. O

4. B

5. L

6. E

7. M

8. E

21

3 . Propoziţie matematică ce este acceptată ca fiind adevarată fără demonstraţie.

4 . Triunghi care are un unghi cu măsura mai mare de 900.5 . Astfel se numeşte triunghiul cu toate laturile congruente.6. Denumirea triunghiului cu doar două laturi congruente.7 . Propoziţie întâlnită în matematică care pentru a arăta că este adevărată

trebuie demonstrată.8 . Aşa sunt două figuri geometrice care prin decupare se suprapun perfect.

Realizat de Guraliuc Gabriel Cristian

Clasa a VII-aC

Regina tuturor e matematica ,Rămâne tainele să-i descifrezi ,

Secretele să le descoperi, Şi matematic să lucrezi.

Căci cifre,semne,paranteze Se-adună toate la un loc, Pătrate,cuburi şi triunghiuri,

Te cheamă toate-n a lor joc.

Scăderile şi adunarea,A înmulţi şi a-mpărţi,Sunt operaţiile cheieŞi nu ai cum le despărţi .

Şi chiar dacă la început, Ţi se pare că e greu,

Matematica-i frumoasăSi vei reuşi mereu !

22

Vlădescu Teodora – VI A

IMPORTANT !

Elevii care vor rezolva problemele propuse , problemele distractive şi rebusurile matematice vor da rezolvările profesorilor de la clasă.

Cei care vor rezolva corect vor apărea în numărul următor al revistei ca elevi rezolvitori.

SUCCES!

COLECTIVUL DE REDACŢIE

23

PRIETENII LUI PITAGORA

REVISTA DE MATEMATICĂ –Nr 4, Octombrie-2010 - a ŞCOLII „NICOLAE IORGA”- PLOIEŞTI , STRADA MINERVA, NR.4 TEL.0244/552398LA APARIŢIA ACESTUI NUMĂR AU COLABORAT:DIN ISTORIA MATEMATICII

Goicea Sorin clasa a VI a A Dinu Andreea clasa a VII a CCURIOZITĂŢI DIN LUMEA MATEMATICII

Prof.PETRE CONSTANŢA Bache Emanuela clasa a VII-a C

MATEMATICĂ DISTRACTIVĂProf.PETRE CONSTANŢA Mihai Tiberiu clasa a VII a C

PROBLEME PROPUSEProf. PETRE CONSTANŢAProf. APOSTOL ADELINAProf. IANCU VERONICA

Rucăreanu Cristina clasa a VI a AJOCURI SI REBUSURI MATEMATICE

24

Guraliuc Gabriel clasa a VII-a C Pavel Cătălin clasa a VI a A

Voinea Alexandru clasa a VI a AMATEMATICĂ ŞI POEZIA

Vlădescu Teodora clasa a VI a AREDACŢIA:

Prof. PETRE CONSTANŢA Prof. IANCU VERONICA Prof. APOSTOL ADELINA

Tehnoredactarea computerizată Prof. PETRE CONSTANŢA

25