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Docente:Luis Fernando Arias Londoño

Operaciones Algebraicas

. 1.

2.3.4.5.

CONTENIDO :

Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes, enteros y fraccionarios.Introducción y supresión de signos de agrupación.Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación. Multiplicación por polinomios.Definición de producto y producto notable.5.1. Cuadrado de un binomio.5.2. Binomios conjugados.5.3. Binomio con un término común.5.4. Cubo de un binomio.5.5. Teorema del binomio.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos5.7. Cuadrado de un trinomio.Leyes de los exponentes enteros para la división. División de polinomios.División sintética. Factorización.9.1. Factor común.9.2. Diferencia de cuadrados.9.3. Trinomios con término de segundo grado.9.4. Suma y diferencia de cubos.9.5. Por agrupación.

6.7.8.9.

Así como la aritmética surgió la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir eltiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto quedebieron transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebrase debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (siglo IXd.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.

Los primeros vestigios históricos sobre el desarrollo del álgebra en la antigüedad han sidoencontrados en Egipto. Los egipcios desarrollaron muchísimos las matemáticas como consecuencia de la creación de las pirámides y otros monumentos y de las inundaciones del Nilo que contribuyeron a desarrollar la agrimensura y con ella la geometría. En los documentos escritos hallados se han encontrado ingeniosos métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado, lo cual pone de manifiesto la familiaridad de los egipcios con el álgebra

O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S

1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON COEFICIENTESENTEROS Y FRACCIONARIOS.

SUMA

La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.

Supongamos que se desea sumar 3x 2 7x 3 y 5x 2 2x 9 ; es decir deseamos encontrar

3x 2 7x 3 5x 2 2x

9Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir:

3x 2 7 x 3 5x 2 2x 9 3x 2 5x 2 7 x 2x 3 9 3 5x 2 7 2x 3 9

E J E M P L O :

De manera semejante, la suma de 4x 3 3

x 2 2x 3 y 6x 3 1

x 2 9 , se escribe

como:7 7

4x 3

3 x 2 2x 3 6x 3

1 x 2 9 4x 3 6x 3

3 x 2

1 x 2 2x

3 9

7 7 7

10x 3 2

x 2 2x

7

7E J E M P L O :

Para sumar 3x 7x 2 2 y 4x 2 3 5x ; primero escribimos ambos polinomios en ordendescendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos

53x 2

3x 2

2x

2x 5E J E M P L O :

Del mismo modo que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos polinomios.

Por ejemplo, para sumar los polinomios 7x x 2 3 , 6x 2 8 2x y 3x x 2 5 , escribimos cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna y

7 x x 2 3 6x 2 8 2x 3x x 2 5 x 2 7 x 3 6x 2 2x 8 x 2 3x

5 x 2 6x 2 x 2 7 x 2x 3x 3 8

5

3 - 2


RESTA

Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c) = a-b-cdebemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis.

Esto es lo mismo que multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1.

E J E M P L O :

Efectuar la operación 3x 2 2x 1 4x 2 5x 2 3x 2 2x 1 4x 2 5x 2 3x 2 2x 1 4x 2 5x 2

3x 2 4x 2 2x 5x 1

2 x 2 7 x 1

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Resolver 2 x2 y

3 x2 y

5 10

2 x2 y

3 x2 y

2 x2 y x2 y

4 3 x2 y x2 y

3 7SOLUCIÓN:

5 10 5 10 10 10

E J E M P L O :

Restar 8x4 5x3 y 3x2 y2 y 4x4 2x3 y 5x2

y2

8x4 5x3 y 3x2 y 2 4x4 2x3 y 5x2 y 2 8x4 5x3 y 3x2 y 2 4x4 2x3 y

5x2 y 2SOLUCIÓN:

4x4 3x3 y 2x2 y 2

E J E M P L O :

1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3Restar x y xy x y x y xy x3 4 6 6 3 4

1 x3

1 x2 y

1 xy 2

6 3 4

SOLUCIÓN: 1 x3

1 x2 y

1 xy 2

4 6 3

1

x3 1

x2 y 7

xy 2

12 6 12

3 - 3

O P E R A C I O N E S

A L G E B R A I C A S

Resolver los ejercicios siguientes:2 y 2 y 1 6 y 2 2 y 1

4x 2 3x 1 5x 2 x 1 z 2 4z 1 2z 2 z 1 y 2 3y 5 y 2 4 y 3 2xy 2 6xy x 2xy x 5ax 2 3ax 4 2ax 2 3 2x y z x 2 y z x y 2z x 3y 4z a b c a b c a b c a b c 2g 3h k 2g 3h k 2g 2h 2k 3g h k 2x 2 y z x 2 y z 3x 2 y z x 4 y 5z

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10. 3

a2 2

b2 1

ab 1

b2 1

ab 1

b2

11.-

4 6 3 3 9 3

9 m2

25 n2

1 15mn 1

5

n2

7m2

1 7

m2 30mn 3 12.-

17 4 2 17 34 4 34 34

1 b2 m

3 cn 2

3 b2 m 6

1 cn

1 b2 m cn 4 2cn

3

1 b2 m

113.-

2 4 5 10 4 25 5 8

5 a2

3 a2

5 a 14.

- 6 8 6

1 a

3 b 8a 6b 5

15.-

2 5

2

3 x3 y2

1 xy4

7 x4 y x3 y2

2 x2 y3

1 xy4 7

116.-

9 7 8 8 14 3 3

2

m6 1

n6 m4 n2 5

m2 n4 3

3 m4 n2

3 m2n4

5 n6 717.

- 5 10 13 3 20 14 7 9

5 a3

7 ab2 6

5 a2b

1 ab2

1

18.-

6 8 3 8 4

19.-

0.2a3 0.4ab2

0.5a2b 0.8b3 0.6ab2

0.3a2b 0.4a3 6 0.8a2b 0.2a3

0.9b3

1.5a2b

3 - 4

E J E R C I C I O 1 :


2. INTRODUCCIÓN Y SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓNEn ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos semejantes. Por ejemplo, para combinar términos semejantes en 3x 5 2x 2 tenemos que suprimir

losparéntesis primero. Si hay un signo más (o ningún signo) enfrente de los paréntesis, podemos simplemente eliminar; esto es,

a b a b

E J E M P L O :

3x 5 2x 2 3x 5 2x 2 3x 2x 5 2

3x 2x 5 2

La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera siguiente:

E J E M P L O :

8x 2x 1 x 3 8x 2x 2 x 3 8x 2x 2 x

8x 2x x 2 3

En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar confusión,utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este modo, por lo general no escribimosx 5 3 , sino x 5 3. Para combinar términos semejantes en tales expresiones,

los símbolos de agrupación más internos se eliminan primero.

E J E M P L O :

x 2 1 2x 5 x 2 3x 2 3 x 2 1 2x 5 x 2 3x 2 3

x 2 2x 4 3x 2 x 5 x 2 2x 4 3x 2 x 5

Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que:ab c ab ac

La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números dentro de los paréntesis. Por tanto ab c d ab ac ad . Además b ca ba ca

3 - 5


3. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA MULTIPLICACIÓNLos exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un factor en un producto. Por ejemplo, x3 xxx. La notación exponencial proporciona un modo sencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de la misma base.

PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES.Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.Considera que m y n son enteros positivos:

x m x n x mn

Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos labase y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que asegurarnos de que las bases sean las mismas.

Por supuesto algunas expresiones pueden tener coeficientes de 1. Por ejemplo, la expresión

3x 2 tiene coeficiente numérico de 3. De manera similar, el coeficiente numérico de 5x 3 es

5. Si decidimos multiplicar 3x 2 por 5x 3 , solo multiplicamos números por números (coeficientes) y letras por letras. Este procedimiento es posible debido a las propiedades conmutativa y

E J E M P L O :

3x 2 5x3 3 5x 2 x3 15x 23 15x5

E J E M P L O :

8x 2 y4xy 2 2x5 y 3 8 4 2x 2 x1 x5 y1 y 2

y 3 64x8 y 6

SEGUNDA LEY DE LOS EXPONENTES.Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia.

Si m y n son enteros positivos: x m n x mn

Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y multiplicamos los exponentes.

Considera la expresión x 4 3 , que significa que está elevado al cubo. Esta expresiónx 4

puede simplificarse como se muestra enseguida:

x 4 3 x 4 x 4 x 4 x 444 x12

En forma parecida y 2 5 y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 y 22222 y10

Debido a que la multiplicación es en realidad una suma que se repite, es posible obtener los mismos resultados en los ejemplos anteriores al multiplicar entre sí los exponentes.

3 - 6


E J E M P L O :

53 6 536

518

x 2 y 3 3 x 2 y 3 x 2 y 3

x 2 y 3 x 2 x 2 x 2 y 3 y 3

y 3 x 2 3 y 3 3

x 23 y 33

TERCERA LEY DE LOS EXPONENTES.Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribirUna potencia de un producto es igual al producto de lasfactores.Simbólicamente: abn a n b n

potencias de cada uno de los

E J E M P L O :

2x3 2x2x2x 2 2 2 x x x

23 x 3

E J E M P L O :

3xy 2 4 34 x4 y 2 4

81x 4 y 8

2x 2 y 3 3 23 x 2 3 y 3 3

8x 6 y 9

Ene general se cumple:

xn x n xn x nSi n es número par Si n es número impar

E J E M P L O :

24 24 16

25 25 32

3 - 7


4. MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOSLa multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicadorreciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera x, y, z se cumplirá que xy z xyz . Esta ley acostumbra aenunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir,que dados los polinomios cualesquiera x, y , se cumplirá que xy yx . Esta ley acostumbraa enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatropuntos siguientes:

a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo. x y xySi el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo. x y xySi el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo. x y xySi dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo. x y xy

b)

c)

d)

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:++--

+-+-

= += -= -= +

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:a)b)c)

Multiplicación de monomios.Multiplicación de un polinomio por un monomioMultiplicación de polinomios

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será elque le corresponda al aplicar la regla de los signos.

3 - 8



E J E M P L O :

Multiplicar 3x3 5x 4 SOLUCIÓN: 3x3 5x 4 3 5 x34

15x 7

E J E M P L O :

Multiplicar 8ab 2 3a 2 b 2 cSolución: 8ab2 3a 2b2 c 8 3 a12 b22 c1

24a3b4 cE J E M P L O :

Multiplicar 4x 5x3 y 2 2x

ySOLUCIÓN: 4x 5x3 y 2 2x 2 y 4 5 2 x132 y 21

40x6 y 3

E J E M P L O :

Multiplicar 2a3bc 4a 2b2 c 2 5abc 6ab 2 2a 3bc 4a 2 b 2 c 2 5abc 6ab 2 2 4 5 6 a 3 211

b1212 c121SOLUCIÓN:

El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos.

MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIOPara multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos losproductos parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Multiplicar 3a3 5a 2 4

3a 3a 3 5a 2 4 3a 3a 3 3a 5a 2 3a 4 3a

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Multiplicar: x3 3x 2 y 3xy 2 y 3 2xy

SOLUCIÓN:

x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 2xy x 3 2xy 3x 2 y 2xy 3xy 2 2xy y 3 2xy

3 - 9


E J E M P L O :

2 1 5 2 1 Multiplicar: a 3b 2 a 2 b3 ab 4 b5 ab 2 3 4 6 5 2

SOLUCIÓN:

2 3 2 1 2 3 5 4 2 5 1 2 a b a b ab b ab 3 4 6 5 2

2

a 3b 2 1

ab 2 1

a 2 b3 1

ab 2

5 4 1 2 2 5 1 2 ab ab b ab

3 2 4 2 6 2 5 2

1

a 4 b 4 1

a 3b5 5

a 2 b 6 1

ab73 8 12 5

E J E M P L O :

2 4 2 3 2 4 5 6 2 2 3 2Multiplicar: x y x y y por a x y3 5 6 9

2 x4 y 2

3 x2 y 4

5 y6

3 5 6

SOLUCIÓN: 2

a2 x3 y 2

9

a2 x7 y 4 2

a2 x5 y6 4 5a2 x3 y8

27 15 27

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOSPara multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y acontinuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Multiplicar: 2a3 3a 2b 4ab2 2b3 3a 2 4ab

5b2 2a 3 3a 2 b

3a 2

4ab 2

4ab

12a 3b 2

2b 3

5b 2

6a 2 b 6a 5 9a 4 b

8a 4 b 12a 3b 2

10a 3b 2

10a 3b 2

16a 2 b 3

15a 2 b 3

8ab 4

20ab 4 10b 5

28ab 4 10b 56a 5 a 4 b

3 - 10



E J E M P L O :

Multiplicar: 3x 2 2x 1 4x 2 2x 2 2x 2 3x

4SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos

3x 2 2 x 1

4 x 2 2x 2

12 x 4 8x 3 4x 6 x 3 4 x 2 2

x

6x 2 4x 2

A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.

12x 4 2x 3 2x 2 6x 2

2x 2 3x 4

24x 6 - 4x 5 4x 4 12x 3

4x 2

36x 5 6x 4 6 x 3

48x 4 8x 3

18x 2 6 x

8x 2 24x 8

24x 6 - 32 x 5 38x 4

26 x 3 30x 2 30x 8

3 - 11



Resolver los ejercicios siguientes:

2x 2 y 3 3xy 5 4xy 2 5x 2 y 4 2aa 2 b c 3x 2 y2x3 y 2 5xy 2 4x 2 y 2

2a b3a 2b x 4 2x3 3x 2 2x 3 a 1 a 1 2ab 2 3a 4 bc 2 3b 2 c3 8ab3c

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

2x yz 4x y

2 3 3 210.-

1 a

2 b

2 a2

11.- 2 5 3

2 x6

1 x4 y2

3 x2 y4

1 y6 5

a3 x4 y3 12.- 5 7 3 5 10

3a 5b 6c 3

a2 x3

13.- 10

2 x4 x2 y2

1 y4 3

x3 y4 14.- 9 7 3

2 a

3 b

2 a3b

15.- 3 4 3

3 m3

1 m2 n

2 mn2

1 n3 2

m2 5

n2 2

mn 16.- 4 3 2 5 4 2 3

1

1 x2

1 x

1 x3 3

x2 1 x

117.- 2 2

3 4 4 5 10

1 1 1 1 a b a b 18.- 2 3 3 2

1 a2 ab

2 b2 1

a 3

b

19.- 4 4 3 2

3 - 12

E J E R C I C I O 2 :


5. DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLEUn producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puedeser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

5.1. Cuadrado de un binomioEl cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más eldoble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadradosegundo.

del

Consideremos que x y2 . Tendremos que x y2 x y x y . Por tanto

x y x y x2 xy xy y2 x2 2xy y2

Es decir x y2 x 2 2xy y 2

E J E M P L O :

Desarrollar x 22

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: x 2

El doble del producto del primer número por el segundo: 2 x 2 4xEl cuadrado del segundo número: 22 4Así pues x 22 x 2 4x 4

E J E M P L O :

Al desarrollar 3x 2 y2

SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 3x2 9x 2

El doble del producto del primer número por el segundo: 2 3x 2 y

12xy

El cuadrado del segundo número: 2 y2 4 y 2

Así pues 3x 2 y2 9x 2 12xy 4 y 2

E J E M P L O :

Al desarrollar 4x 2 3 y 3

2 4x 2 3 y 3 2 4x 2 2

2 4x 2 3 y

3 y 3 2SOLUCIÓN:

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menosel doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo número.

3 - 13



Consideremos que x y2 .

Tendremos que x y2 x y x y.Por tanto x y x y x2 xy xy y2 x2 2xy y2

Es decir x y2 x 2 2xy y 2

E J E M P L O :

Desarrollar x 32

x 32 x2 2 x 3 32SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Desarrollar 2x 4 y2

2x 4 y2 2x2 2 2x 4 y 4 y2SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Desarrollar 2x 3 5 y 2

2 2x 3 5 y 2 2 2x 3 2

2 2x 3 5 y 2 5 y 2 2

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Desarrollar 4a2 3b3 2

2 2 2

SOLUCIÓN: 4a 3b 4a 2(4a ) 3b 3b

2 3 2 2 3 3

16a4 24a2b3 9b6

5.2 Binomios conjugadosEl producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número.

Consideremos el producto: x yx y x y x y x2 xy xy y2 x2

y2

Es decir x yx y x 2 y 2

E J E M P L O :

Multiplicar x 4x 4

3 - 14



SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: x2 x 2

Cuadrado del segundo número: 42 16

Así pues, x 4x 4 x 2 16

E J E M P L O :Multiplicar 5x 2 y5x 2 ySOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 5x2 25x 2

Cuadrado del segundo número: 2 y2 4 y 2

Así pues, 5x 2 y5x 2 y 25x 2 4 y 2

E J E M P L O :

Multiplicar 5x 2 3y 3 5x 2 3y3 SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 5x 2 2

25x 4

Cuadrado del segundo número: 3 y 3 2 9

y 6

E J E M P L O :Multiplicar 3 8x8x 3SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número de la diferencia: 32 9

Cuadrado del segundo número de la diferencia: 8x2 64x2

Así pues, 3 8x8x 3 9 64x 2

5.3. Binomio con un término comúnEl producto de dos binomios del tipo x ax b es igual al cuadrado del primer

término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término,

más el

Se trata de demostrar que x ax b x 2 a bx ab .Tendremos que: x a x b x2 ax bx ab x2 a b x ab

Es decir x ax b x 2 a bx ab , tal como queríamos

E J E M P L O :

Comprobar que x 4x 5 x 2 4 5x 4 5 .

3 - 15



x 4 x 5 x2 4 5 x 4 5 .

SOLUCIÓN: Tendremos

E J E M P L O :

Comprobar que x 2x 3 x 2 2 3x 2 3SOLUCIÓN: Tendremos x 2 x 3 x

2 3 x 2 3

2.

x2 x 6

E J E M P L O :

Comprobar que x 6x 4 x 2 6 4x 6 4 .SOLUCIÓN: Tendremos x 6 x 4 x

6 4 x 6 4

2.2 x 2x 24

E J E M P L O :

Comprobar que x 5x 3 x2 5 3x 5 3 .SOLUCIÓN: Tendremos x 5 x 3 x

5 3 x 5 3

2.

x2 8x 15

5.4. Cubo de un binomioEl cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto delprimer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Consideremos x y3 x yx yx y x y2 x y x 2 2xy y 2 x

y , por lo

x 2 y 2

y

xy 2

2xyx

2x 2 y

x 2 x 2 y

3x 2 y

2xy 2

3xy 2y 3

y 3

x 2

Es decir x y3 x 2 3x 2 y 3xy 2 y 3

E J E M P L O :

Desarrollar x 23

Cubo del primer número: x3 x 3

SOLUCIÓN:

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 3 x2 2 6x 2

3 - 16


Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3 x22 12x

Cubo del segundo número: 23 8

Así pues x 23 x3 6x 2 12x 8E J E M P L O :

Desarrollar 3x 2 y3

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 3x3 27x3

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 3 3x2 2 y 54x 2 yTriple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3 3x2 y2 36xy 2

Cubo del segundo número: 2 y3 8 y 3

E J E M P L O :

Desarrollar 3a 2 2b3

3 3a 2 2b3 3 3a 2 3

33a 2 2 2b3 33a 2 2b3 2

2b3 3SOLUCIÓN:

El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos el tripledel producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo número.

Consideremos x y3 x yx yx y x y2 x y x 2 2xy y 2 x y,

por lo

x 2 y 2

y

xy 2

2 xy x

2 x 2 x 2

x 2 y 2xy 2

y 3

y 3

x 2 3x 2 y 3xy 2

Es decir x y3 x 2 3x 2 y 3xy 2 y 3

E J E M P L O :

Desarrollar x 33

SOLUCIÓN: Cubo del primer número: x3 x 3

Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 3x2 3 9x 2

3 - 17


Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 3x 32 27x

Cubo del segundo número: 33 27

Así pues x 33 x3 9x 2 27x 27E J E M P L O :

Desarrollar 2x 3y3

2x 3 y3 2x3 32x2 3 y 32x 3 y 2 3 y3SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Desarrollar 4a 2 2b3 3

4a 2 2b3 3 4a 2 3

34a 2 2 2b3 34a 2 2b3 2

2b3 3SOLUCIÓN:

5.5. Teorema del binomioEl teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y

positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de a bn

: Por multiplicación directa podemos obtener

a b1 a b

a b2 a2 2ab b2

a b3 a3 3a2b 3ab2 b3

a b4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4

a b5 a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5

De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación:

1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.2. Para cada valor de n, el desarrollo de a b

n empieza con y termina con bn . Enan

cada término los exponentes de a y b suman n.3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b

aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden deltérmino.

3 - 18


4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtienemultiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría sepuede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como

Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de a bn

.

n 0n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6n

11 1

1 2 11 3 3 1

4 15 1

1 4 610 101 5

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón seobserva que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último término son iguales a 1.

Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierday derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 delrenglón superior, y así sucesivamente.

E J E M P L O :

por el teorema del binomio: a 2b4Desarrollar

SOLUCIÓN:Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potenciascorrespondientes para cada término del desarrollo. Es decir,

a 2b4 1 a

4 4 a

3 2b1 6 a

2 2b2 4 a

1

2b3 12b

4

efectuando las potencias, se tiene:

a 2b4 1 a4 4 a3 2b 6 a2 4b2 4 a

8b3 116b4

efectuando los productos:

3 - 19


E J E M P L O :

por el teorema del binomio: 3a 2b4Desarrollar

SOLUCIÓN: Procediendo de manera semejante a la anterior, se tiene:

3a 2b4 13a

4 4 3a

3 2b1 6 3a

2 2b2 4 3a

1 2b3

12b4

efectuando las potencias:

3a 2b4 181a4 4 27a3 2b 6 9a2 4b2 4 3a 8b3

116b4

5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferenciade cubos.La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a lasuma de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que x3 y 3 x yx 2 xy y 2

.

x2 y 2

y

xyx

x3 x2 y

x2 y

xy 2

xy 2

y3

x3 y3

Es decir x yx 2 xy y 2 x3 y 3 , tal como queríamos

demostrar.E J E M P L O :

Comprobar que x3 1 x 1x 2 x

1SOLUCIÓN: x 1 x

x 1 x x x x x 12 3 2 2

x3 1

E J E M P L O :

Comprobar que 27x3 8 y 3 3x 2 y9x 2 6xy 4

y 2 SOLUCIÓN: 3x 2 y

9x

6xy 4 y 27 x 18x y 12xy 18x y 12xy 8y2 2 3 2 2 2 2 3

3 3 27 x 8 y

3 - 20


E J E M P L O :

Comprobar que 64b6 27c3 4b2 3c16b4 12b2 c

9c 2 SOLUCIÓN: 4b 3c 16b 12b c 9c 64b 48b c 36b c 48b c 36b c

27c

2 4 2 2 6 2 2 2 2 2 2 3

6 3 64b 27c

La diferencia de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer términomás el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la diferencia de los cubos de los dos términos algebraicos.

Se trata de demostrar que x3 y 3 x yx 2 xy y 2 .

Tendremos: x y x2 xy y2 x3 x2 y xy2 x2 y xy2 y3 x3

y3

Es decir x yx 2 xy y 2 x3 y 3 , tal como queríamos demostrar.E J E M P L O :

Comprobar que x3 8 x 2x 2 2x

4SOLUCIÓN: x 2 x

2x 4 x 2x 4x 2x 4x

8

2 3

x3 8

E J E M P L O :

Comprobar que 64x3 27 y 3 4x 3y16x 2 12xy 9

y 2 SOLUCIÓN: 4x 3 y

16x

12xy 9 y 64x 48x 36xy 48x 36xy

27 y

2 2 3 3

64x3 27 y3

E J E M P L O :

Comprobar que 8a 6 27b9 2a 2 3b3 4a 4 6a 2b3

9b6 SOLUCIÓN: 2a 3b 4a 6a b 9b 8a 12a b 18a b 12a b 18a b

27b

2 3 4 2 3 6 6 4 3 2 6 4 3 2 6 9

8a6 27b9

5.7. Cuadrado de un trinomioEl cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos.

a b c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc

3 - 21


E J E M P L O :

Efectuar 2x 3 y 5z 2

2x 3 y 5z 2 2x2 3 y2 5z 2 22x3 y 22x 5z 23 y 5z SOLUCIÓN:

E J E M P L O :2

1 2 Efectuar x y z 3 5SOLUCIÓN:

2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

x y z x y z 2 2 x y 2 x z 2 y z

3 5 3 5 3 5 3 5

1

x 2 y 2 z 2 xy 2

xz 4

yz4 4

9 25 15 3 5

E J E M P L O :

Efectuar a 2b 3c 2

a 2b 3c2 a2 2b2 3c2 2a2b 2a 3c 22b 3c

SOLUCIÓN:

3 - 22



Desarrollar los siguientes productos notables: 2x 2 3 y 2 2

2a 2 42

x 22

3 a2

2x y2

3 5 y2

2a 32

2a 3b2

2 4a 2 2

3a 4b2

2x 3 6b2

2x 3 3y 2 2

3x 4 2 y 3 2

3x 2 y z 3 2

4a 2 y 3 3c 2 d 3 2

2x 2 y 3 4mn3 2

3x 5 4 y 6 2

x 32

2a 42

4 2x2

3x 2 y2

5x 3y2

x 2 y 2 2

1. 22.

2. 23.

2a 4b 2

3. 3 224.4. x 4 2 y 3

225.5. 3x 3 2 y 2 2

4a 5 3b 4 2

x y x y m n m n

a x x a

x2 a2 x2 a2 2a 1 1 2a

n 1 n 1

1 3ax 3ax 1

2m 9 2m 9

a3 b2 a3 b2

y2 3y y2 3y 1 8xy 8xy 1 6x2 m2 x 6x2 m2 x am bn am bn

3xa 5 ym 5 ym 3xa

ax1 2bx1 2bx1 ax1

2a b2a b

26.6.27.7.28.8.29.9. 30.

10.

31.32.

11.

33.12

. 34.13

. 35.14

. 36.15

. 37.16

. 38.17

. 39.18

. 40.19

. 41.20

. 42.

4321.

3 - 23

E J E R C I C I O S 3 . 3 :


x5 4x5 6 x 6 4x 6 8 xy 3xy 2 ab 4ab 6 x 2 y 2 2x 2 y 2 5

a3b 5a3b 4 a 3a 6

a 23

x 13

m 33

n 43

2x 13

1 3y3

2x 3y2x 3y 4 2a4 2a 2m2 3n 2 2m2 3n 2

3x 23x 2 2x 42x 4 2 4 y2 4 y 3x 53x 5 2x3 y 2 2x3 y 2 2x 2 3x2x 2 3x 3 4ab3 4ab x 3x 4 a 5a 2 a 3a 8 x 2x 3 a 6a 2 a 4a 5 a 1a 4 a 2a 3 x 7x 8 x 2 3x 2 4 a 2 3a 2 5 x 2 2x 2 7 x3 5x3 4 a 3 15a3 4 x 4 3x 4 2

44.

69.

45.

70.

46.

71.

47.

72.

48.

73.

49.

74.

50.

75.

51.

76.

52. 77

.53. 78

.54. 79

.55. 80

.56. 81

.57. 2 y

3282.58

. 1 2n

383.59

. 4n 3

384.60

.a 2 2b3

2x 3y3

85.

61.62.

86.

63.

87.

64. 3a 3 2 y 3

388.65

. 5 2x3

x 53

89.66

. 90.67

.68.

3 - 24


6. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA DIVISIÓN

a mLo siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la forma

a n

53

3 3 3 3 3 3

3 3 3332 3 3

Se puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar el exponente delcociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para cualquier par de números completos m y n

ma a mn con m na n

E J E M P L O :

Al simplificar las siguientes expresiones tenemos:5 4 4 4 4 4

43

4 452 43

p orque42 4

46x x x x x x x

x 4

x 62 x 4

p orquex 2 x

x5 7p q p 52 q 75 p 3

q 2p 2 q 5

Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor queentonces:

m

ma 1 n ma n a mn

E J E M P L O :

x 2 x 2x x

1 1 1 o bien

x 5 x 3 x 5 x 52 x 3x x x x x

E J E M P L O :

6x 3 y 2 2 3 x x x y y 3x 2

6x 3 y 2 3x 31 3x 2

o bien2xy 4

y 2 2xy 4 y 42 y 22 x y y y y

Tenemos que para todo número real a excepto el 0, y para todo número completo m1a m

a m

3 - 25


E J E M P L O :

1 1Como en el caso: 4 2

m 3

4 2 m3

ab 1 a 1

a

Ya que el exponente solo afecta a bb1 b

Sabemos que cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1. Por

a 2 a 2ejemplo 1 . Si utilizamos la regla anterior, encontramos que a 22 a 0 1 a 2 a 2

Podemos establecer la siguiente definición: a0=1, para cualquier número real excepto el cero.p0=1 30=1

7. DIVISIÓN DE POLINOMIOSLa división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y elproducto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisorpor el cociente. Así por ejemplo, si dividimos 8xy 2xy 4 , se cumplirá que 4 2xy 8xy c o c i e n t e dividendo

cociente

divisor dividendodivisor

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:dividendo cociente

divisor divisor

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentesy los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=–

DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTROPara dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicarla regla de los signos.

3 - 26



E J E M P L O :

Dividir 8x 6 4x 4

SOLUCIÓN: 8x 6 4x 4 8x 6 : 4x 4 8 : 4x 64

2x 2E J E M P L O :

12x 3 y 2 zDividir

3xy3 2 12x y z

12 : 3x 31 y 21 z10 4x 2 yz

SOLUCIÓN:3xy

E J E M P L O :

18a 3b 4 c 2Dividir 6a 3b 2 c 2 3 4 2 18a b c

18 : 6a 33 b 42 c 22 3b 2

SOLUCIÓN: 6a 3b 2 c 2

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la divisiónpropiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor.

b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

E J E M P L O :

12a 2 b3

c2

Dividir 18a 3b 4 c 2 d 3abcd

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIOPara dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman loscocientes parciales así obtenidos.

E J E M P L O :

Dividir 4x3 6x 2 8x

2x 4x 3 6x 2 8x 2x 4x 3 2x 6x 2 2x 8x 2x

SOLUCIÓN:

3 - 27


E J E M P L O :

6x 4 y 9x 3 y 2 12x 2 y 3 6xy 4Dividir

3xy

6x 4 y 9x 3 y 2 12x 2 y 3 6xy 4

6x 4 y 9x 3 y 2 12x 2 y 3 6xy 4

3xy 3xy 3xy 3xy 3xySOLUCIÓN:

2x 3 3x 2 y 4xy 2 2 y 3

E J E M P L O :

3x 3 y 2 5x 2 y 6xy 2Dividir

4x 2 y

3x 3 y 2 5x 2 y 6xy 2

3x 3 y 2 5x 2 y 6xy 2

2 2 2 24x y 4x y 4x y 4x ySOLUCIÓN:

3

xy 5

3 y4 4 2x

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1)2)

Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.Se divide el primer término del dividendo entre el primer término obteniéndose así el primer término del cociente

del divisor,

3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto asíobtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor yse repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

4)

5)

6)

E J E M P L O :

Dividir: 5x 2 xy 3y 2 15x 4 7x3 y 6x 2 y 2 7xy 3 3y

3 - 28


3x 2 2xy y 2

5x 2 xy 3 y 2 15x 4 7 x 3 y 6x 2 y 2 7 xy 3 3 y 4

15x 4 3x 3 y 9x 2 y 10x 3 y 3x 2 y 2 7 xy 3 3 y 4

10x 3 y 2x 2 y 2 6xy 35x 2 y 2 xy 3 3 y

4

5x 2 y 2 xy 3 3 y 0Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.

A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, 15x 4 , entre el primer

término del divisor, 5x 2 , obteniéndose 3x 2 , por cada uno de los términos del divisor,

obteniéndose como resultado 15x 4 3x3 y - 9x 2 y 2 , que se escribe debajo de los términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los

términos semejantes, obteniéndose como primer resto 10x3 y 3x 2 y 2 7xy 3 3y 4 .

Después se ha dividido 10x 3 y entre 5x 2 obteniéndose como cociente 2xy , que es el

segundo término del cociente. Multiplicando 2xy por todos los términos del divisor que

se obtiene como resultado 10x3 y 2x 2 y 2 6xy 3 , que se escribe debajo de los términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta.

A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,

obteniéndose como segundo resto 5x 2 y 2 xy 3 3y 4

Finalmente se ha dividido 5x 2 y 2 entre 5x 2 , obteniéndose como cociente y 2 .

y 2Multiplicando por todos los términos del divisor se obtiene como producto

5x 2 y 2 xy 3 3y 4 , que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo restocambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer

E J E M P L O :

Dividir: x 4 5x3 11x 2 12x 6 x 2 3x

3

3 - 29



x 2 2 x 2x 2 3x 3 x 4 5x 3 11x 2 12x

6

- x 4 3 x 3 3 x 2 x 3 8x 2 12x 6

2 x 3 6 x 2 6 x SOLUCIÓN:

2x 2 6x 6

- 2 x 2 6 x 0

E J E M P L O :

Dividir: 1 a a5 - 3a 2 1 2a

a 2 3a 3 2a 2 3a 1a 2 2a 1 a 5

a 5 2 a 4

3a 2 a 1

2a 4 a 3 3a 2 a 1

2 a 4 4 a 3 2 a 2 3a 3 5a 2 a 1

3 a 3 6 a 2

SOLUCIÓN:

a 2 2a 1

a 2 2 a 10

E J E M P L O :

Dividir: 8 y 6 21x3 y 3 x 6 24xy 5 3xy x 2 y 2

3 - 30


SOLUCIÓN:

x 4 3x 3 y 8x 2 y 2 42 xy 3 118 y 4

x 2 3xy y 2 x 6

x 6 3x 5 y

21x 3 y 3 24 xy 5

8 y 6

x 4 y 2

3x 5 y x 4 y 2 21x 3 y 3

3x 3 y

24 xy 5

8 y 6

3x 5 y 9 x 4 y 2

8x 4 y 2

8x 4 y 2

18x 3 y 3

24x 3 y 3

24 xy 5

8 y 6

8x 2 y 4

42x 3 y 3 8x 2 y 4 24xy 5

42 xy 5

8 y 6

42x 3 y 3 126x 2 y 4

118x 2 y 4 18xy 5 8 y 6

118x 2 y 4 354xy 5 118 y 6

336xy 5 126 y 6

Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es

divisible entre el primer término del divisor.Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor. Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menorexponente que en el primer término del divisor.

b)c)

8. DIVISIÓN SINTÉTICALa división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a.

Dividamos x3 5x 2 3x 14 entre x 3

x 2 2 x 3x 3 5x 2 3x

14

x 3 3 x 2

x 3

2 x 2 3x 14

2 x 2 6 x 3x 14 3 x 9

5

3 - 31


Podemos apreciar que el cociente x 2 2x 3 es un polinomio en x de un grado menor

que el del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo y que el residuo es 5.

Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica:

1) El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado deldividendo.El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo.El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor, cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo.El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor, cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente deldividendo.

2)

3)

4)

E J E M P L O :

Dividamos x3 5x 2 3x 14 entre x 3

SOLUCIÓN:

Resultado x 2 2x 3 residuo: 5

E J E M P L O :

2x 3 5x 2 7 x 8Efectuar por división sintética

x 4SOLUCIÓN:

Resultado 2x 2 3x 19 residuo: 68

3 - 32

Dividendo Divisor2 5 7 8 24 8 34 12 194 762 3 19 68

x 4 4

Dividendo Divisor

x 3 5x 2 3x 14

1 5 3 14

1 3 3 2 3 6 3 3 9

x 3 3

1 -2 -3 +5



E J E M P L O :

Efectuar por división sintética x 2 8x 5 x

2SOLUCIÓN:

Resultado x 10 residuo: 25

E J E M P L O :

Efectuar por división sintética x5 16x3 202x 81 entre x 4

SOLUCIÓN:

Como este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos y x 2 , al escribir los coeficientes ponemos 0 en los lugares que debían ocupar los coeficientes de estostérminos.

x 4

Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del cociente

x 4 4x3 202son 1, 4, 0, 0 y -202, el cociente es y el residuo es -727

3 - 33

Dividendo Divisor1 0 - 16 0 - 202 81 4 16 0 0 808 1 4 0 0 - 202 727

x 4 4

Dividendo Divisor1 8 5 1 2 2 10 2 201 - 10 25

x 2 2


9. FACTORIZACIÓNFactorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues elpropósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos quemultiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Factorización

24 2 2 2 324 2 3 424 4 624 8 324 12 2

Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores.Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos 3 5 15 . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos 15 3 5

Al factorizar el número 20, tendremos 20 4 5 o 20 10 2 .Advierte que 20 4 5 y 20 10 2 no están factorizados por completo. Contienenfactores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primerafactorización 4 2 2 , de modo que 20 2 2 5 mientras que la segunda

factorización 10 2 5 , de modo que 20 2 5 2 , en cualquier caso la

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlopor completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De

esta manera no factorizamos 20 como 20 1 80 .

4Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas.

3 - 34


9.1. Factor común.Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

4x 4 y 4x y 5a 10b 5a 2b2x 2 6x 2xx 33a 2 6ab 3aa 2b

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: ab c ab ac .

Cuando factorizamos ab ac ab c.Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común atodos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es

seleccionar el máximo factor común, ax n . Aquí tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC).- El término ax n , es el MFC de un polinomio sí:1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

De este modo para factorizar 6x3 18x 2 , podríamos escribir 6x3 18x 2 3x2x 2

6xPero no está factorizado por completo por que 2x 2 6x puede factorizarse aún más.

6x3 18x 2 6x 2 x 3.

términos es x 2 . De esta manera la factorización

Donde 6x 2 es el MFC.

completa es

E J E M P L O :

8x 24 8 x 8 3

8x 3Factorizar

E J E M P L O :

6 y 12 6 y 6 2

6y 2Factorizar

E J E M P L O :

10x 2 25x 3 5x 2 2 5x 2 5x

5x 2 2 5x

Factorizar

3 - 35


E J E M P L O :

6x 3 12x 2 18x 6 x x 2 6 x 2x 6 x 3Factorizar

6xx 2 2x

3E J E M P L O :

10x 6 15x 5 20x 4 30x 2 5 x 2 2x 4 5 x 2 3x 3 5 x 2 4x 2

5 x 2 6Factorizar 5 x 2 2x 4 3x 3 4x 2

6E J E M P L O :

2x 3 4x 4 8x 5 2 x 3 1 2 x 3 2x 2 x 3 4x 2Factorizar

2 x 3 1 2x 3

4x 2 E J E M P L O :

3 x 2

1 x

5

1 3x 2

1 x

1

54 4 4 4 4 4Factorizar

1 3x 2 x

54

9.2. Diferencia de cuadrados.Aquí tenemos un producto notable A BA B A2 B 2 podemos utilizar relación para factorizar una diferencia de cuadrados. A2 B 2 A BA B

esta

E J E M P L O :

x 2 4 x 2 22

x 2x 2

Factorizar

E J E M P L O :

Factorizar 4x 2 25 2x2 52 2x 52x 5E J E M P L O :

Factorizar 9a8b 4 49 3a 4 b 2 2 72 3a 4 b 2 73a 4b

2 79.3. Trinomios con término de segundo grado.Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

3 - 36


x 32 x 2 6x 9

x 32 x 2 6x 9

Los trinomios x 2 6x 9, x 2 6x 9 , son trinomios cuadrados porque son cuadrados de un binomio.Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

Dos de los términos deben de ser cuadrados A2 y B 2A.

B. C.

No debe haber signo de menos en A2 o en B 2

Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2ABo su inverso aditivo -2AB.

¿Es x 2 6x 11 un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al

Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

A2 2 AB B 2 ( A B) 2

A2 2 AB B 2 ( A B) 2

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.

x 2 14x 49

x 2 6x 9

16x 2 56xy 49 y 2

9x 2 18xy 9 y 2

36m2 48mn 16n2

16x 2 40x 25

x 2 4xy 4 y 2

x 2 2x 1

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.4. Suma y diferencia de cubos.Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.

A3 B 3 A BA2 AB B 2 A3 B 3 A BA2 AB B 2

3 - 37

E J E R C I C I O 4 : Factorizar :


E J E M P L O :

Factorizar y 3 27 , observemos primero que se puede escribir en otra forma: y 3 33

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

y 3 27 y 3 33 y 3y 2 3y 9

E J E M P L O :

Factorizar 8x3 27 2x3 33 2x 34x 2 6x

9E J E M P L O :

Factorizar t 3 1 t 1t 2 t

19.5. Por Agrupación.Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro

términos. Consideremos x3 x 2 2x 2 . No hay ningún factor diferente

embargo podemos factorizar a x 3 x 2 y 2x 2 por separado:

de 1. Sin

x3 x 2 x 2 x 1

2x 2 2x 1

x3 x 2 2x 2 x 2 x 1 2x 1. Podemos utilizar

Por lo tanto la propiedad

distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

x 2 x 1 2x 1 x 1 2 x 2 Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.

No todas las

E J E M P L O :

6x 3 9x 2 4x 6 6x 3 9x 2 4x

6 3x 2 2x 3 22x 3 2x 33x 2 2

E J E M P L O :

Factorizar

x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x

1 x 2 x 1 1x 1

3 - 38



E J E M P L O :Factorizar

x 3 2x 2 x 2 x 3 2x 2 x

2 x 2 x 2 1 x 2 x 2 x 2 1x 2

E J E M P L O :

Factorizar

x 2 y 2 ay 2 ab bx 2 y 2 x 2 a bx 2

a x 2 ay 2 b

3 - 39



2 y 2 y 1 6 y 2 2 y 1 4x 2 3x 1 5x 2 x 1 z 2 4z 1 2z 2 z 1 y 2 3y 5 y 2 4 y 3 2xy 2 6xy x 2xy x 5ax 2 3ax 4 2ax 2 3 2x y z x 2 y z x y 2z x 3y 4z a b c a b c a b c a b c 2g 3h k 2g 3h k 2g 2h 2k 3g h k 2x 2 y z x 2 y z 3x 2 y z x 4 y 5z

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

2x 2 y 3 3xy 5 6x3 y 8

4xy 2 5x 2 y 4 20x3 y 6

2aa 2 b c 2aa 2 2a b 2ac 2a3 2ab 2ac

3x 2 y2x 3 y 2 5xy 2 4x 2 y 2 3x 2 y2x 3 y 2 3x 2 y 5xy 2 3x 2

y4x 2 y 2 6x 5 y 3 15x 3 y 3 12x 4 y 3

2a b3a 2b 6a 2 ab 2b2

x 4 2x3 3x 2 2x 3 x6 4x5 7x 4 6x3 3x 2 6x 9

a 12 a 13 a 123 a 15

2ab 2 3a 4bc 2 6a5b3c 2

3b2 c3 8ab3c 24ab5 c 4

2x 2 yz 3 4x3 y 2 8x5 y 3 z 3

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

3 - 40

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 2 :

R E S P U E S T A D E L E J E R C I C I O 1 :


1.- x 22 x 2 4x 4

2.- 3 a2 9 6a a 2

3.- 2x y2 4x 2 4xy y 2

28.- x y x y x2 y2

29.- m n m n m2 n2

30.- a x x a a2 x23 5 y2 9 30 y 25 y 2

4.-32.- 2a 1 1 2a 4a2

1 5.- 2a 32 4a 2 12a 9

6.- 2a 3b2 4a 2 12ab 9b 2

7.- 2 4a 2 2 4 16a 2

33.- n 1 n 1 n2

1

2 234.- 1 3ax 3ax 1 1 9a x35.- 2m 9 2m 9 4m2 8136.- a3 b2 a3 b2 a6 b4

37.- y2 3y y2 3y y4 9 y2

38.- 1 8xy 8xy 1 1 64x2 y2

39.- 6x2 m2 x 6x2 m2 x 36x4 m4 x2

40.- am bn am bn a2m b2n

41.- 3xa 5 ym 5 ym 3xa 9x2a 25 y2m

42.- ax1 2bx1 2bx1 ax1 a2 x2 4b2

x2

3a 4b2 9a 2 24ab 16b 2

8.-

9.- 2x3 6b2 4x 6 24x3b 36b 2

10.- 2x3 3y 2 2 4x 6 12x3 y 2 9 y 4

11.- 3x 4 2 y 3 2 9x8 12x 4 y 3 4 y 6

12.- 3x 2 y z 3 2 9x 4 y 2 6x 2 yz 3 z 6

13.- 4a 2 y 3 3c 2 d 3 2 16a 4 y 6 24a 2 y 3 c 2 d 3

9c 4 d 6

14.- 2x 2 y 3 4mn3 2 4x 4 y 6 16x 2 y 3 mn3

16m2 n6 43.- 2a b2a b 4a 2 b2

44.- 2x 3y2x 3y 4x 2 9 y 2

45.- 4 2a4 2a 16 4a 2

46.- 2m2 3n2 2m2 3n2 4m4

9n4

47.- 3x 23x 2 9x 2 448.- 2x 42x 4 4x 2 1649.- 2 4 y2 4 y 4 16 y 2

15.- 3x5 4 y 6 2 9x10 12x5 y 6

16 y12

16.- x 32 x 2 6x 9

17.- 2a 42 4a 2 16a 16

18.- 4 2x2 16 16x 4x 2

19.- 3x 2 y2 9x 2 12xy 4 y 2

20.- 5x 3y2 25x 2 30xy 9 y 2

21.- x 2 y 2 2 x 4 2x 2 y 2 y 4

22.- 2x 2 3y 2 2 4x 4 6x 2 y 2 9

y 4

23.- 2a 2 42 4a 4 16a 2 16

24.- 2a 3 4b 2 2 4a 6 16a3b 2

16b 4

25.- x 4 2 y 3 2 x8 4x 4 y 3 4 y 6

26.- 3x3 2 y 2 2 9x 6 12x3 y 2 4

y 4

50.- 3x 53x 5 9x 25

2

51.- 2x y 2x y 4x

y

3 2 3 2 6 4

52.- 2x 2 3x2x 2 3x 4x 4

9x 2

53.- 3 4ab3 4ab 9 16a 2b2

54.- x 3x 4 x 2 7x 1255.- a 5a 2 a 2 7a 10

3 - 41

R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 3 :


58.- a 6a 2 a 2 4a 1259.- a 4a 5 a 2 a 2060.- a 1a 4 a 2 5a 461.- a 2a 3 a 2 a 662.- x 7x 8 x 2 x 56

63.- x 2 3x 2 4 x 4 x 2 12

64.- a 2 3a 2 5 a 4 8a 15

65.- x 2 2x 2 7 x 4 5x 2 14

66.- x3 5x3 4 x 6 x3 20

67.- a3 15a3 4 a 6 11a3 60

68.- x 4 3x 4 2 x8 x 4 6

69.- x5 4x5 6 x10 2x5 24

70.- x 6 4x 6 8 x12 4x 6 3271.- xy 3xy 2 x 2 y 2 xy 672.- ab 4ab 6 a 2b2 2ab 24

73.- x 2 y 2 2x 2 y 2 5 x 4 y 4 3x 2 y 2 10

74.- a3b 5a3b 4 a 6b2 a3b 2075.- a 3a 6 a 2 9a 18

76.- a 23 a3 6a2 12a 8

77.- x 13 x3 3x2 3x 1

78.- m 33 m3 9m2 27m

27

79.- n 43 n3 12n2 48n

6481.- 1 3y 3

1 9 y 27 y 27 y

2 3

382.- 2 y 8 12 y 6 y y

2 2 4 6

3 2 383.- 1 2n 1 6n 12n 8n

84.- 4n 3 3 64n3 144n2 108n

85.- a2 2b 3 a6 6a4b 12a2b2

8b3

86.- 2x 3y 3 8x3 36x2 y 54xy2 27

y3

87.- 1 a2 3 1 3a2 3a4 a6

88.- 3a3 2 y3 27a9 54a6 y3 36a3 y6

89.- 5 2x3 125 150x 60x2

8x3

90.- x 53 x3 15x2 75x 125

x 14x 49 x 7 9x 18xy 9 y 3x 3y

2 2 2 2 24.-1.-x 6x 9 x 3 36m 48mn 16n 6m

4n2 22 2 25.-2.-

16x 56xy 49 y 4x 7 y

16x 40x 25 4x 5

2 22 2 26.-3.-

7.- x 2 4xy 4 y 2 x 2 y2

x 2 2x 1 x 128.-

3 - 42

R E S P U E S T A D E L E J E R C I C I O S 4 :

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3domat.wikispaces.com/file/view/operacionesalgebraicas... · Web view6.7.8.9.1.2.3.4.5. CONTENIDO :Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes, enteros y fraccionarios.Introducción