VIŠE KAZALO · Valjak – osnovni pojmovi, površina i volumen 78 KAZALO. 5 VIŠE Izračunavanje nepoznatih količina u valjku 80

4

VIŠE

I. KVADRIRANJE I KORJENOVANJE �� 6

Kvadriranje racionalnih brojeva ��6Algebarski izrazi ��8Množenje algebarskih izraza �� 12Kvadrat binoma (kvadrat zbroja i razlike) �� 14Razlika kvadrata �� 16Potencije �� 18Korjenovanje �� 20Računanje s korijenima �� 22Provjera 1 �� 24Provjera 2 �� 26

II. PITAGORIN POUČAK ��28

Pravokutni trokut �� 28Primjena Pitagorina poučka na pravokutnik �� 32Primjena Pitagorina poučka na kvadrat �� 33Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni trokut �� 34Primjena Pitagorina poučka na jednakostranični trokut �� 35Primjena Pitagorina poučka na romb �� 36Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni trapez ��37Provjera �� 38

III. REALNI BROJEVI ........................................................................................................................ 40

Rješavanje jednadžbi u skupu N, Z i Q �� 40Pisanje razlomaka u decimalnom obliku �� 44Provjera �� 46

IV. GEOMETRIJSKA TIJELA ��48

Vrste tijela �� 48Prizme �� 50Kocka �� 52Kvadar �� 54Pravilne i jednakobridne prizme �� 56Četverostrana prizma �� 58Trostrana prizma �� 60Šesterostrana prizma �� 62Provjera 1 – prizme �� 64Provjera 2 – prizme �� 66Piramida – osnovni pojmovi, oplošje i volumen �� 68Pravilne i jednakobridne piramide �� 70Primjena Pitagorina poučka kod piramida �� 72Provjera – piramide �� 76Valjak – osnovni pojmovi, površina i volumen �� 78

KAZALO

5

VIŠE

Izračunavanje nepoznatih količina u valjku �� 80Jednakostranični valjak �� 82Provjera – valjak �� 84Stožac – osnovni pojmovi �� 86Površina i volumen stošca �� 88Jednakostranični stožac �� 90Stožac kao rotaciono tijelo ��91Kugla �� 92Provjera – stožac i kugla �� 94

V. RJEŠENJA ��96

6

VIŠE

I. KVADRIRANJE I KORJENOVANJE

Kvadriranje racionalnih brojeva

PRIMJER 1: Kolika je površina kvadrata ako mu je duljina stranice 10 cm?

Ako je duljina stranice kvadrata 10 cm, njegova je površina 100 cm2� P = 10 cm · 10 cm = 100 cm2

To se jednostavnije može napisati (10 cm)2 = 100 cm2�

PRIMJER 2: Kako izračunati kvadrate brojeva 150, (–1�5) i 125 ?

a) 1502 = (15 · 10)2 = 152 · 102 = 225 · 100 = 22500; broj 150 piše se kao umnožak faktora 15 i 10 i taj umnožak kvadrira se tako da se svaki faktor umnoška kvadrira zasebno�

b) (–1�5)2 = − −( ) = = =1510

1510

225100

2 2

22 25( ) . ; decimalni broj piše se kao dekadski razlomak

i kvadrira se brojnik posebno i nazivnik posebno te se rezultat zapiše decimalnim brojem�

c) Mješoviti broj 125 napiše se u obliku razlomka i kvadrira se brojnik posebno i nazivnik posebno:

1 125

75

75

4925

2425

2 2 2

2( ) = ( ) = = = �

VJEŽBA 1: Poveži kvadrat zadanoga broja s njegovom vrijednošću�

(–60)2 –602 – (–6)2 (–6)2

3600 –36 36 –3600 360

VJEŽBA 2: Zaokruži slovo ispred točne tvrdnje�a) Broj 900 je kvadrat broja 30�b) Kvadrat broja 0�1 je 0�01�c) Kvadrat racionalnog broja većeg od jedan uvijek je veći od broja jedan�d) Kvadrat racionalnog broja manjeg od jedan uvijek je veći od broja jedan�

VJEŽBA 3: Ispuni tabelu�

a 0 8 –10 45

- 89

–0�5 1�8

a2

VJEŽBA 4: Kvadrate brojeva do 20 već znaš� Primijeni to znanje i kvadriraj�a) 52 = b) 502 = c) 5002 = d) 0�52 =e) 0�052 = f) 0�0052 = g) 132 = h) 1302 =i) 13002 = j) 1�32 = k) 0�132 = l) 0�0132 =

VJEŽBA 5: Zaokruži slovo ispred točne tvrdnje�a) Kvadrat svakog negativnog cijelog broja je negativni broj�b) Kvadrat svakog cijelog broja je cijeli broj�c) Kvadrat broja dobije se tako da se broj pomnoži samim sobom�d) Kvadrat duljine stranice kvadrata znači površinu kvadrata�

Površina kvadrata dobije se tako da se mjerni broj duljine stranice kvadrata pomnoži mjernim brojem širine kvadrata�

a · a = a2

7

VIŠE

VJEŽBA 6: Izračunaj�

a) 42 + 152 = b) 122 – 92 =

c) 172 + 72 = d) (–5)2 + 25 =

e) 14 – 52 = f) (–8)2 – 92 =

g) 2 – 0�22 = h) 0�32 + 1�12 =

i) (–0�5 – 0�3)2 = j) 34

12

2 2

− −

=

k) 125

23

2

−

= l) 12 5

612

2

⋅ +

=

VJEŽBA 7: Poveži izraz s odgovarajućom vrijednošću�

52 – 25 (32 – 42)2 4 + 42 + 43 (53 – 52) : 22

84 –49 25 –7 49

VJEŽBA 8: Izračunaj vrijednost izraza�a) (–1)2 + (–3)2 = b) 122 – 32 + (–4)2 =

c) 12

14

18

2 2 2

+

+ −

= d) −

−

=5

611

2

2 2

e) −

−

=7 1

66 2

3

2 2

f) 12

43

34

13

2 2

⋅ − ⋅

=

g) − ⋅ +

⋅ =5

82 1

332

2

2 h) 1 35

0 42

2−

=: .

VJEŽBA 9: Ispuni tabelu� Napiši zaključak�

a b (a + b)2 a2 + 2 · a · b + b2

2 –3

- 12

- 15

+0�4 –0�6

Odg�: ___________________________________________________________________________

8

VIŠE


Algebarski izrazi

PRIMJER 1: Kako pojednostaviti dolje napisane izraze i kako ih nazvati? a) a + a b) a + a + b + b + b + c + c + c + c

Slični se monomi razlikuju samo u koeficijentu i takvi se monomi mogu zbrajati odnosno oduzimati�Ako monomi nisu slični, ne mogu se zbrajati odnosno oduzimati�a) a + a = 2a, monomb) a + a + b + b + b + c + c + c + c = 2a + 3b + 4c, trinom

PRIMJER 2: Kako pojednostaviti zapisane izraze? a) 2 + (3a + 4b) b) 2 – (2 – (3a + 4b))

a) 2 + (3a + 4b) = 2 + 3a + 4bb) Prednost imaju unutarnje zagrade� 2 – (2 – (3a + 4b)) = = 2 – (2 – 3a – 4b) = = 2 – 2 + 3a + 4b = = 3a + 4b

PRIMJER 3: Kako se množi višečlani izraz jednočlanim, a kako dvočlani s dvočlanim? a) –3a · (a – b + c) b) (a + 3) · (a + 4)

a) –3a · (a – b + c) = –3a2 + 3ab – 3acb) (a + 3) · (a + 4) = a · a + 3 · a + a · 4 + 3 · 4 = = a2 + 3a + 4a + 12 = = a2 + 7a + 12

PRIMJER 4: U izrazu 10x – 5xy + 15 x2y2 izluči zajednički faktor�

Pronađi najveći zajednički djelitelj članova i izluči ga kao zajednički faktor ispred zagrada� 10x – 5xy + 15x2y2 = 5x · (2 – y + 3xy2)

Slični se monomi točno podudaraju u varijablama�

Postoji naziv za dobiveni izraz� Do naziva se dolazi tako da se zbroji koliko članova tvori zapisan zbroj odnosno razliku�

Zagrade i znak plus pred njima se ispuste, a članovi u zagradama zadržavaju predznak�

Zagrade i znak minus ispred zagrada se ispuste, a članovi mijenjaju predznak�

Kod množenja polinoma monomom, svaki član u zagradama pomnoži se monomom�

Polinom se množi polinomom tako da se svaki član prvoga polinoma pomnoži svakim članom drugog polinoma� Tako dobiveni umnošci se zbroje�

PRIMJER 5: Kako pojednostaviti izraz 3a + 5b – 7a + 2ab + 3b? To je česta i jednostavna vježba pojednostavljenja izraza� Udružuju se slični monomi sa sličnima.

3a – 7a + 5b + 3b + 2ab –4a + 8b + 2ab dakle: 3a + 5b – 7a + 2ab + 3b = –4a + 8b + 2ab

PRIMJER 6: Kako riješiti donje primjere množenja?

a) 3(x + 4) → 3(x + 4) = 3 · x + 3 · 4 = 3x + 12 b) -3(x + 4) → -3(x + 4) = -3 · x + (-3) · 4 = -3x - 12 c) 3(x - 4) → 3(x - 4) = 3 · x - 3 · 4 = 3x - 12

d) -3(x - 4) → -3(x - 4) = -3 · x - (-3) · 4 = -3x + 12

Samo se tako može riješiti�

Ako članovi imaju isti predznak, umnožak je pozitivan, a ako su različitih predznaka, umnožak je negativan�

PRIMJERI3a + 5a = 8a2b – 7b = –5b4c · 2c = 8c2 (pomnože se koeficijenti i varijable)3d + 3d2 = 3d + 3d2 (ne može se zbrojiti d i d2)10y : 2y = 5

+ puta + = + – puta – = + + puta – = – − puta + = –

9

VIŠE

VJEŽBA 1: Zaokruži slovo ispred točne tvrdnje�

a) Monomi s jednakim koeficijentima slični su�

b) Ako dva monoma imaju istu varijablu, slični su�

c) Koeficijent monoma –a3 je –3�

d) Izraz 34

ab je monom�

e) Monomi 3x i 32x slični su si�

f) Monomi 6a2 i -b2 ne mogu se zbrojiti, ali se mogu dijeliti�

VJEŽBA 2: Poveži jednake vrijednosti�

2a · 3a2 –2a · (–a) –2a2 · 4a – (a3) · (–2a)

–8a2 –8a3 6a3 2a2 2a4

VJEŽBA 3: Pojednostavni izraze�a) (–4a) – (+2a) – (–a) =

b) (+2xy) – (–3xy) – (+5xy) =

c) (2a + a) – (3a – 4a) – (–a) – (7a + 2a) =

d) (7b + 3x) – (6a + 3x) + (–5c + 3x) =

e) (7b – 2b) – (3b – (b + 4b)) =

f) (–x) – (4x – x ) – (– (2x – 3x) – (–4x)) =

VJEŽBA 4: Pomnoži�a) 2a · c3 · a = b) y · (–2y2) · z · (–y) =

c) 2x(3x – y + 5) = d) (–5b)(a2 – 3ab + 7c) =

e) (x + 4)(x – 3) = f) (6 – y )(y – 7) =

VJEŽBA 5: Izluči zajednički faktor�a) 35x – 63y = b) 45m – 60n =

c) 7x – 28y + 21z = d) 13a – 26a2 =

e) 3b2y – 24aby2 = f) 8c2d – 4cd2 + 12 c2d2 =

PRIMJERI3a + 5a = 8a2b – 7b = –5b4c · 2c = 8c2 (pomnože se koeficijenti i varijable)3d + 3d2 = 3d + 3d2 (ne može se zbrojiti d i d2)10y : 2y = 5

10

VIŠE

VJEŽBA 6: Pojednostavni izraz i izračunaj njegovu vrijednost za a = –3�

a) a(a + 4) – a(a – 5) + (a – 5)(a + 4) = b) (2a – 1)(2a – 1) – (2a + 1)(a – 3) =

VJEŽBA 7: Izračunaj opseg i površinu pravokutnika duljine (2x + 3y) cm i širine (x – 3y) cm

ako je x = 6 i y = 13

�

VJEŽBA 8: Pojednostavni sljedeće izraze�

a) 7a + 3b – 4a + 2b =

b) 5c + 6 d + 2c – 8d =

c) 4m + 2m2 – 5m2 – m = Ne zaboravi: m = 1 · m


a) –3a(4a + 3) + 2a2 =

b) 4(2e + f – 3g2) =

c) 3y2 + 2y2 + 4y – xy =

d) 4(–2a + 1) – 3(5a + 4) =

VJEŽBA 10: Zaokruži slovo ispred točnih izraza�

a) 2a · 3ab = 6ab b) 2a · 3ab = 6a2b c) 2a . (– 3a) = – 6a2

d) 2a · (2a + b) = 4a + b e) 2a · (2a + b) = 4a2 + b f) 2a · (2a + b) = 4a2 + 2ab

VJEŽBA 11: Poveži prikazane umnoške s rješenjima�

(x + y) . x (x – y) . (–2x) (x + y) . (–2x) (x + y) . 2x

2x2 + 2xy 2x + 2xy –2x2 – 2xy x2 + xy –2x2 + 2xy

VJEŽBA 12: Pojednostavni izraz (2a – 3b + c) – (–a + b + 4c) i izračunaj vrijednost izraza za a = –1, b = 2 i c = 1�

11

VIŠE

VJEŽBA 13: Napiši izraz za opseg prikazanog lika i pojednostavni ga koliko je moguće�

a) b)

2x + 2

2x + 2

x x

x x

3x

2x +

5

x +

5

2x

VJEŽBA 14: Oblikovali smo pravokutnik od osam pločica duljine (2a + 2) cm i širine (a + 1) cm� Izračunaj opseg tog pravokutnika ako pločice položimo kao što pokazuje slika�

a)

b)

c)

d)

12

VIŠE

PRIMJER 1: Kako pomnožiti binom (a + 2) binomom (a + 4)?

(a + 2) (a + 4) = a2 + 4a + 2a + 8 = a2 + 6a + 8

Prvi a puta a

a2

Vanjski a puta 4 4a

Unutarnji 2 puta a 2a

Zadnji 2 puta 4

8

(a + 2) (a + 4)

PRIMJER 2: Kako pomnožiti binom (p + 5) binomom (p – 2)?

(p + 5) (p - 2) = p2 - 2p + 5p - 10 = p2 + 3p - 10

Prvi p puta p

p2

Vanjski p puta -2

-2p

Unutarnji 5 puta p

5p

Zadnji5 puta -2

- 10

(p + 5) (p - 2)

PRIMJER 3: Kako pomnožiti binom (t – 6) binomom (t – 1)?

(t - 6) (t - 1) = t2 - t - 6t + 6 = t2 - 7t + 6

Prvi t puta t

t2

Vanjski t puta -1

-t

Unutarnji -6 puta t

-6t

Zadnji-6 puta - 1

6

(t - 6) (t - 1)

PRIMJER 4: Kako pomnožiti (y – 3)(y – 2) pomoću tabele?

puta y –2

y y2 –2y (y – 3) (y – 2) = y2 – 2y – 3y + 6 = y2 – 5y + 6

–3 –3y 6

VJEŽBA 1: Pomnoži� a) (a + 1)(a + 2) =

b) (d – 3)(d + 1) =

c) (x – 4)(x – 3) =

VJEŽBA 2: Pojednostavni sljedeće izraze� a) (x + 2)(x + 3) – 6x + 5 = b) (2a + 3)(a + 3) – (a – 3) =

c) (y – 7)(y – 3) + (y + 7)(–3) = d) (z – 4)(z + 1) – (z – 1)(z + 2)=

Tako si olakšavaš rješavanje�

Pomno pogledaj svaki napisani monom�Zapamti ili zapiši koeficijent napisan neposredno ispred varijable� Ako ispred koeficijenta nema znaka, smatraj ga pozitivnim�

Umnožak dvaju brojeva istog predznaka pozitivan je�


Množenje algebarskih izraza

Upamti kraticu “PVUZ“, koja znači “Prvi vanjski unutarnji zadnji”� Pomoći će ti na jednostavan način pomnožiti svaki par da koji ne zaboraviš ili ne pomnožiš dvaput�

13

VIŠE

VJEŽBA 3: Zaokruži slovo ispred točnog izraza�

a) (c + d)(c + a) = c2 + cd + ad b) (x + 2y)(x + 2y) = x2 + 4xy + 4y2

c) (2x – y)(2x + y) = 4x2 – y2 d) (a + 4)(a – 2) = a2 + 8a + 8 e) (–a + b)(a + 2b) = –a2 – ab + 2b2 f) (p + 3)(p – 4) = p2 – 7p – 12

VJEŽBA 4: Za koju je vrijednost varijable x vrijednost izraza jednaka nuli? a) –2 + (–2 + x) b) –2 – (2 + x)

Odg�: ___________________________________ Odg�: ____________________________________

VJEŽBA 5: Pojednostavni izraz (x + 1)(x + 1) + (x – 1)(x + 1) i izračunaj njegovu vrijednost ako je x = –1�

VJEŽBA 6: Zadan je pravokutnik duljine (2a + 3) cm, širine (2a – 3) cm� a) Napiši izraz za njegov opseg i pojednostavni ga�

b) Napiši izraz za njegovu površinu i pojednostavni ga�

c) Izračunaj opseg i površinu tog pravokutnika ako je a = 2 dm�

14

VIŠE

32 znači 3 puta 3 x2 znači x puta x (2y)2 znači 2y puta 2y (a + 3)2 znači (a + 3) puta (a + 3)

PRIMJER 1:

(a + 3)2 (a)2 + 2 · (a · 3) + (3)2 a2 + 6a + 9

a · 3 = 3a 3 · 3 = 9

a · a = a2

3 · a

= 3

a

a + 3 a

a

a +

3

3

3

PRIMJER 2: Kako odrediti (a + 3)2 ?

Zadatak se može riješiti tako da se kvadriranje prevede u množenje binoma binomom� Unakrsno se pomnože svi monomi� Djelomični umnošci koji pri tome nastanu urede se i zbroje�(a + 3)2 = (a + 3)(a + 3) = = a · a + a · 3 + 3 · a + 3 · 3 = = a2 + 3a + 3a + 9 = = a2 + 6a + 9 PRIMJER 3: Kako kvadrirati binom a + 3?

Kvadrirati se može i prema pravilu (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, koje prikazuje da se binom kvadrira tako da se kvadrira prvi član binoma, pribroji mu se dvokratnik umnoška prvog i drugog člana te se pribroji kvadrat drugog člana�

(a + 3)2 = (a)2 + 2 · (a · 3) + (3)2 = a2 + 6a + 9

prvi član drugi član PRIMJER 4: Kako pomoću tabele odrediti (y – 3)2?

puta y –3

y y2 –3y (y – 3)(y – 3) = y2 – 3y – 3y + 9 = y2 – 6y + 9

–3 –3y 9

VJEŽBA 1: Kvadriraj�a) (x + 1)2 = b) (a – 3)2 = c) (3b – 2)2 =

Možeš se poslužiti geometrijskim prikazom�

Pripazi na članove, koeficijente pred varijablama i predznake�

kvadrat prvog člana dvostruki umnožak obaju članova

kvadrat drugoga člana


Kvadrat binoma (kvadrat zbroja i razlike)

15

VIŠE


a) (a + 2)2 – 3a + 6 = b) (a – 4)2 – 2(a + 3) =

c) (3x + 1)2 – (2x – 1)2 = d) (z + 1)2 – (z – 1)(z + 2) =

VJEŽBA 3: Poveži prikazano kvadriranje s rješenjima�

(a + b)2 (a + 2b)2 (3a – 2b)2 (2a – 3b)2

a2 + 2ab + b2 9a2 – 12ab + 4b2 4a2 – 12a + 9b2 4a2 – 12ab + 9b2 a2 + 4ab + 4b2

VJEŽBA 4: Usporedi vrijednosti izraza po veličini ako je x = 1� a) (x + 1)2 i (–x + 1)( x – 1) b) (x – 1)2 i (x + 1)2 c) (–x + 1)2 i (x + 1)(x – 1)

Odg�: _____________________ Odg�: ______________________ Odg�: ______________________

VJEŽBA 5: Pojednostavni izraz (x – 3)2 – 2(x + 3)(x – 3) – (x – 2)(x + 3) i izračunaj njegovu vrijednost za x = –1�

VJEŽBA 6: Zadana je kocka duljine brida (x + 3) cm� Izračunaj: a) zbroj duljina svih bridova b) površinu jedne plohe koja omeđuje tijelo

c) njezin obujam

16

VIŠE

PRIMJER 1:

xx

xx

x – 2

22 = 4

x +

2

xx

PRIMJER 2: Kako pojednostaviti umnožak (x + 2) · (x – 2)? Zadatak se može riješiti kao da se množi binom binomom, dakle svaki član prvoga binoma pomnoži se svakim članom drugog binoma i dobiveni se umnošci zbroje� (x + 2)(x – 2) = = x · x + x · (–2) + 2 · x + 2 · (–2) = = x2 – 2x + 2x – 4 = = x2 – 4 PRIMJER 3: Koliko je (x + 2) · (x – 2)? Zadatak se može riješiti primjenom pravila za računanje umnoška zbroja i razlike dvaju monoma� Računa se tako da se kvadrira prvi član binoma, kvadrira se drugi član člen binoma, a zatim se potraži i razlika obaju kvadrata� (x + 2) · (x – 2) = x2 – 22 = x2 – 4

prvi član drugi član

PRIMJER 4: Kako pomoću tabele odrediti umnožak zbroja i razlike članova y i 3?

puta y –3

y y2 –3y (y + 3)(y – 3) = y2 + 3y – 3y – 9 = y2 – 9

+3 +3y –9

VJEŽBA 1: Izračunaj� a) (a – 2)(a + 2) = b) (3 – a)(3 + a) = c) (5x + 2y)(5x – 2y) =

Možeš se poslužiti geometrijskim prikazom�

Pripazi na znak minus�

kvadriraj prvi član kvadriraj drugi člannapiši razliku


Razlika kvadrata

znak plus znači zbroj znak minus znači razliku izraz x + 2 znači zbroj članova x i 2 zapis x – 2 znači razliku članova x i 2 (x + 2 ) · (x – 2) umnožak je zbroja i razlike

Nastoj na najjednostavniji način doći do rezultata�

17

VIŠE


a) (x – 1)(x + 1) – x2 + 3 = b) (3 + a)(3 – a) – (7a + 8) =

c) (a – 3)2 + (a – 5)(a + 5) = d) 5(2 – b) – (2 + b) (2 – b) =

VJEŽBA 3: Dopuni označeno mjesto tako da izjava bude točna� a) (a + 3)(a – 3) = a2 – b) (2x – )(2x + ) = x2 – 1

c) (a 2)( + 2) = a2 – d) (x + y)(x – y) = x2 – 4y2

VJEŽBA 4: Poveži označeni umnožak zbroja i razlike monoma s rješenjima�

(2a + 13 b)(2a – 1

3 b) (123 a + b)(12

3 a – b) (1�5a + 25 b)(1�5a – 2

5 b) (1�5a + 23 b)(1�5a – 2

3 b)

2 79

a2 – b2 2�25 a2 – 425 b2 4a2 – 1

9 b2 1 916

a2 – 449 b2 2�25 a2 – 4

9 b2

VJEŽBA 5: Ocijeni točnost napisanih tvrdnji� a) 32 – 22 isto je kao i (3 – 2)2 b) 62 : 32 isto je kao i (6 : 3)2

Odg�: ____________________________________ Odg�: ___________________________________

c) 92 – 42 isto je kao i (9 – 4)(9 + 4) d) 32 + 22 isto je kao i (3 + 2)2

Odg�: ____________________________________ Odg�: ___________________________________

VJEŽBA 6: Oduzmi od izraza (2x – 1)(2 x + 1) binom 2x2 – 1, pojednostavni dobiveni izraz i izračunaj njegovu vrijednost ako je x = 3�

VJEŽBA 7: Stranica kvadrata duga je (2a) cm� Kvadrat se preoblikuje u pravokutnik tako da se jedna stranica produlji za 3 cm, a druga se skrati za 3 cm� Za koliko se razlikuju opsezi, a za koliko površine obaju likova?

Odg�: _____________________________________________________________________________

18

VIŠE


Potencije

PRIMJER 1: Izračunaj vrijednost potencije 25�

Vrijednost potencije 25 dobije se tako da se broj 2 pet puta pomnoži sobom� Vrijednost takve potencije jednaka je 32�

25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

PRIMJER 2: Kako zapisati potenciju (–3)5 kao umnožak? Izračunaj njezinu vrijednost�

(–3)5 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = –243

–27 9

–243

·

Vrijednost potencije (–3)5 je (–243)�

PRIMJER 3: Zapiši umnožak 22 · 2 · 23 kao potenciju i izračunaj�

Potencije s jednakim bazama množe se tako da se baza prepiše, a eksponenti zbroje� Ako eksponent nije zapisan, onda je jednak 1, npr� 2 = 21�

22 · 2 · 23 = 22 · 21 · 23 =(2 · 2) · 2 · ( 2 · 2 · 2) = 22 + 1 + 3 = 26 = 64�Vrijednost potencije 22 · 2 · 23 je 64�

PRIMJER 4: Izračunaj: a) 60 b) 82 : 83 c) 3–2

a) 60 = 1, jer je svaka potencija kojoj je eksponent 0 jednaka 1�

b) 8 82 32

388

8 88 8 8

1: = = ==⋅⋅ ⋅

1 18 1 1

⋅⋅⋅ 88 ili kraće: 82 : 83 = 82 – 3 = 8–1

Vidiš da je količnik 82 : 83 jednak 8–1, što je jednako 18 �

c) 3 22

13

19

− = = ; potencija s negativnim eksponentom piše se tako

da se negativni predznak ispusti, a potencija se upiše u nazivnik i izračuna�

PRIMJER 5: Kako izračunati potenciranje potencije (22)3?

(22)3 = (2 · 2)3 = (2 · 2) · (2 · 2) · (2 · 2) = 22 · 3 = 26 = 64ili kraće:(22)3 = 22·3 = 26 = 64

VJEŽBA 1: Napiši kao umnožak i izračunaj vrijednost potencije�a) 104 = b) (–2)5 =

c) 63 = d) (–0�4)2 =

e) −

23

6

= f) −

12

3

=

Ako je eksponent potencije velik, najlakše se izračuna tako da se potencija (–3)5 zapiše kao umnožak jednakih faktora i pomnože se pojedini umnošci�

a = a1

am · an = am + n

am : bm = (a : b)m

a–1 = 1a

a ≠ 0

a0 = 1

a–n = 1an , a ≠ 0

(am)n = am · nRačunanje je kraće ako se primijeni pravilo da se baza prepiše, a eksponenti pomnože�

Potencija je kraći zapis množenja istih faktora� 5 · 5 · 5 = 53

19

VIŠE

VJEŽBA 2: Izračunaj�a) 24 = b) (–2)4 = c) –24 = d) (–2)3 =

e) –(–2)2 = f) 43 = g) − −

=11

4

3

h) −

=11

4

3

VJEŽBA 3: Umetni na označena mjesta znak <, = ili > tako da izraz bude točan�

a) 24 (–4)2 b) –52 –33 c) 14

3

18

2

d) 2�43 5�22

VJEŽBA 4: Zapiši brojeve:a) kao potencije broja 2 b) kao potencije broja 3 1 = 32 = 256 = 9 = 81 = 243 =

c) kao potencije broja 10 d) kao potencije broja 10 10 = 1000 = 1000000 = 0�1 = 0�01 = 0�001 =

VJEŽBA 5: Zapiši brojeve kao potencije s eksponentom koji je veći od 1�

a) 16 = b) 27 = c) 10000 = d) 2564

=

e) 32 = f) 1�96 = g) 0�09 = h) − =8125

VJEŽBA 6: Zapiši kao potenciju�

a) 28 · 29 = b) 34 · 35 = c) (–6) · (–6)2 · (–6)3 = d) 17

17

17

5 6

⋅

⋅

=

e) 54 : 53 = f) 42 : 45 = g) 10 1010

3 6

9⋅ = h) 8 8

8 8

5 10

2 20⋅⋅ =

VJEŽBA 7: Pronađi potenciju koja odgovara umnošku ili količniku�

63 · 66 69 : 65 612 : 68 · 63 60 · 6 · 62

67 64 63 65 69

VJEŽBA 8: Izračunaj potenciranje potencije�a) (22)2 = b) ((–2)2)3 = c) ((–2)–1)–2 = d) (((–1)2)0)–3 =

VJEŽBA 9: Izračunaj vrijednost izraza�

a) 2 · x2 + 5 · y3 za x = –1 i y = 2 b) 3 12

3 12

2 2⋅ +

⋅ ⋅ −

x x za x = - 1

3

VJEŽBA 10: Izračunaj vrijednost potencije�

a) 32 = b) 43 = c) 25 = d) 104 = e) 19 = f ) 252 =

20

VIŠE


Korjenovanje

PRIMJER 1: Koliko iznosi duljina kvadratnog cvjetnog nasada ako mu površina iznosi 81 m2?

Ako je površina vrta 81 m2, duljina vrta je 9 m, dakle 92 = 81�Može se primijeniti i obratna računska operacija od kvadriranja, a to je korjenovanje�

81 = 9, jer je 92 = 81�

PRIMJER 2: Kako izračunati kvadratne korijene:

a) 16 100⋅ b) 1625 c) 121, ?

a) 1� način: 16 100 1600 40⋅ = =

2� način: 16 100 16 100 4 10 40⋅ = ⋅ = ⋅ =

b) 1625

1625

45= = Količnik se korjenuje tako da se djeljenik i djelitelj korjenuju zasebno�

c) 121 121100

121100

1110. = = = = 1�1; decimalni broj 1�21 zapiše se u obliku decimalnog

razlomka 121100 , a zatim se korjenuje posebno brojnik, a posebno nazivnik�

PRIMJER 3: Djelomično korjenuj 128 �

Po pravilu množenja korijena može se napisati 128 64 2 64 2 8 2= = = · · · �Faktor koji je kvadrat nekog racionalnog broja korjenujemo, a faktor koji nije kvadrat nekog racionalnog broja ostaje pod korijenom�

PRIMJER 4: Izračunaj kvadratni korijen razlomka 13 i racionaliziraj nazivnik razlomka�

13

13

13

= = , prvo se razlomak kvadrira, zatim se razlomak proširi s 3, 13

1 33 3

39

33

= ⋅⋅

= = �

VJEŽBA 1: Odredi kvadratne korijene brojeva�

a) 36 = b) 64 = c) 81 = d) 144 =

VJEŽBA 2: Odredi kvadratne korijene ako znaš da je 256 16= .

a) 2 56. = b) 0 0256. = c) 0 000256. = d) 25600 =

VJEŽBA 3: Zapiši između kojih prirodnih brojeva leži:

a) 2 b) 5 c) 17 d) 48

e) 11 f) 20 g) 40 h) 150

a a2 =

Prvo se izračuna umnožak, a zatim se korjenuje�Umnožak se može korjenovati i tako da se svaki faktor korjenuje zasebno� Kvadratni korijen količnika jednak je količniku kvadratnih korijena�

a b a b⋅ = ⋅ab

ab

=

21

VIŠE

VJEŽBA 4: Zaokruži slovo ispred točne tvrdnje�a) Kvadratni korijen umnoška dvaju pozitivnih brojeva jednak je umnošku korijena tih dvaju brojeva�b) Kvadratni korijen negativnog broja racionalan je broj�c) Vrijednost kvadratnog korijena uvijek je pozitivan broj�d) Kvadratni korijen kvadrata prirodnog broja upravo je taj broj�e) Kvadratni korijen količnika dvaju pozitivnih brojeva jednak je količniku tih dvaju brojeva�

VJEŽBA 5: Izračunaj a b a b⋅ = ⋅ držeći se pravila:

a) 2 18⋅ = b) 2 7 7 8⋅ ⋅ ⋅ =

c) 13 52⋅ = d) 8 72⋅ =

e) 115

524

⋅ = f) 2 15

11 411

⋅ =

VJEŽBA 6: Izračunaj ab

ab

= držeći se pravila:

a) 81100

= b) 36144

=

c) 179

= d) 12100324

=

e) 1 440 09..

= f) 49

2564

⋅ =

VJEŽBA 7: Djelomično korjenuj�

a) 18 = b) 50 = c) 28 =

d) 32 = e) 150 = f) 2 40⋅ =

VJEŽBA 8: Racionaliziraj nazivnik razlomka�

a) 12

= b) 33

= c) 15

5=

d) 28

= e) 412

= f) 1227

=

22

VIŠE


Računanje s korijenima

PRIMJER: Kako izračunati vrijednost izraza 4 41 116100

34

2

. :+( ) + ( )− ?

4 41 116100

34

2

. :+( ) + ( )−

= 2 1 14

109

16. :+( ) + =

= 2110

410

1616

916

+ +( ) : = 2510

2516

: = 2510

54: =

= 2510

45⋅ = 25 4 5 2 1

10 5 1 5 1 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

VJEŽBA 1: Poveži izraz s odgovarajućom vrijednošću�

4 83 2: 4 22 4- 200 2: 100 64-

0 6 10 1 2


a) 494

916

− =

b) 12

256 13

81⋅ − ⋅ =

c) 12

144 17

49⋅ + ⋅ =

d) 40 19

14081

− =

e) 23

1 0 64 34

0 0064⋅ − + ⋅ =. .

f) 3 2 7

928 0 36⋅ − ⋅ =.

g) 3 2 1 52 3 7 2− − + =

h) 2 3 1 4 53 2 5 0 1− + − + =

i) 5 64 2 13 2

⋅ − −( ) + −( ) =


a) a b

a a b b

2 2

2 22−

+ ⋅ ⋅ + ako je a = –2 i b = 1 b) 4 12 92 2⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅a a b b ako je a = 12 , b = - 1

3

Ako se korjenuje zbroj ili razlika, treba prvo izračunati njihovu vrijednost, a tek zatim korjenovati�

Kod računanja potenciranje i korjenovanje imaju prednost pred drugim računskim operacijama�

23

VIŠE


a) 2 36 251 3 22 2+( ) + − =: b) 17 15 8 3242 2: + + =

c) 340 64 2

31 0 64⋅ − ⋅ − =. . d) − − −

⋅ − +

=10 5 2

38 5 4 1

55 4

25.

e) 12

14

112

35

12

1736

⋅ +

+

+ =: f) 3 5 20 2 2 3 4 2 3 23 3 3 2 2⋅ + − − − + − ⋅ − =( )

g) 2 04 0 006 19 2 0 1 0 01 37

72. : . ( . ( . )) : .− ⋅ − + ⋅ = h) 8 2 225

0 08 34

4 6 15

25

625

2

: .−

+ ⋅ − − + +

=

2424

VIŠE

1. Zadani su izrazi a2 – 2a, –5a3 , –7a + 1, –a3x , 3u2 + 2u, x, a3

4, x2 – y2 , 3

5

3a i ab-2

�

a) Ispiši monome� ___________________________________________________________________

b) Monomima pridodaj monome suprotnih koeficijenata�

__________________________________________________________________________________c) Prvotnim monomima pridodaj monome suprotnih koeficijenata�

__________________________________________________________________________________

2. Umetni na označeno mjesto znak <, = ili > tako da dobiješ točne tvrdnje imajući na umu da je a > 1� a) –2a – a –2a + a b) (–a)3 (–a)2 c) (2a)2 2a2 d) –a2 (–a) 2

e) (–a)3 –a3 f) (–a)2 a 2 g) -a2

a2

h) a2

a +12

3� Izračunaj�

a) (–5a2b)·(–ab) = ___________________________ b) (–4a4 ) · (–a ) · a3 = _______________________

c) (–60u8) : 10u4 = __________________________ d) −( )134 · − ⋅( )2

3 b · −( )37 2b

= ________________

e) 3 · (2a – 5b) = ____________________________ f) (u – 3v) · (2u + 4v) = ______________________

g) (2x – 5y)2 = _____________________________ h) (5u+6v) · (5u–6v) = ______________________ 4. Pronađi među zadanim izrazima one netočne i ispravi ih�

a) 3 6

2

a b−( ) = 9a2 – ab + b2

36 b) (–2x + 1)2 = –4x2 – 4x + 1

________________________________________ _______________________________________

c) (3 + x)(3 – x) = x2 – 9 d) (–a – 2)(a + 3) = –a2 – 5a + 6 ________________________________________ _______________________________________

9bodova


4boda

3boda

8bodova

Provjera 1

2525

VIŠE

5. Izluči zajednički faktor�

a) 3a3 + 6a2 = ____________________________ b) 10x2y + 15xy= __________________________

c) 3a2b – 6ab2 + 9a2b2 = ____________________ d) 23

2x + xy3 = ___________________________

6. Pojednostavni izraz (x – 1)2 – (x –1)(x + 1) + (x – 2) · (–2x) a zatim izračunaj njegovu vrijednost ako je x = –1�

7. Oduzmi od umnoška zbroja i razlike monoma 2a i 3b kvadrat izraza a + 2b i pribroji tome dvokratnik izraza a + b� a) Zapiši izraz koji odgovara tekstu i pojednostavni ga�

b) Izračunaj vrijednost pojednostavljenog izraza za a = –1 i b = 2�

8. Lik se sastoji od četiri kvadrata sa stranicom duljine 2a cm� Izrazi opseg i površinu obojenoga lika s varijablom a te pojednostavni zapis koliko je moguće�

2a

2a

a

4boda

6bodova

7bodova

4boda

Provjera 1

2626

VIŠE


3boda

1� Napiši umnožak odnosno količnik kao potenciju�

a) 57 · 52 = b) 0�9 · 0�92 · 0�93 = c) a20 · a10 =

d) 88 : 84 = e) 16

16

13 12

=: f) x11 : x11 =

2� Umjesto x umetni takav broj da vrijede jednakosti�

a) x3 = –8 b) x5 = 32 c) x4 181

=

x = x = x =

d) 2x = 16 e) 89

1

=

x

f) 0�4x = 0�064

x = x = x =

3� Umetni na označena mjesta znak <, = ili > tako da izraz bude točan�a) 43 34 b) 89 79 c) 26 82

d) –155 (–15)5 e) 12

7

(–2)7 f) −

23

3

0

4� Zapiši u obliku potencije�

a) 3 · 37 · 32 = b) 108 : 102 : 104 = c) (1�82)3 =

d) −

⋅ −

−

25

25

25

15 3 18

: = e) a aa a

5 7

3 8⋅⋅ = f) b

b

2

3 =

5� Izračunaj što spretnije�

a) 25 36⋅ = b) 4 5 200. ⋅ = c) 1681

6449

⋅ =

d) 2 32⋅ = e) 63 17

⋅ = f) 7548

=

3boda

3boda

3boda

6boda

Provjera 2

2727

VIŠE

6bodova

6� a) Djelomično korjenuj:

50 = 96 = 252 =

b) Racionaliziraj nazivnik razlomka i razlomke skrati ako je moguće�

15

=

714

=

32 2⋅

=

7� Izračunaj vrijednost izraza:

a) (2 · a – 3 · b)101 za a = 2�5 i b = 2 b) 5 12

2⋅ − ⋅ +a a b za a = 1�5 i b = 0�75

8� Površina kocke je 10 23 dm2� Koliko iznosi duljina brida kocke?

Odg�: ___________________________________________________________________________

9� Izračunaj vrijednost izraza�

a) 38

8 43

2

2

2

⋅ − ⋅

=( )

b) 8 4 3 0 25 2 2 2 32 2 3 3− + ⋅ − ⋅ − − + − =, ( ) ( ) ( )

c) 3114

114

6 12

813

: − ⋅ =

d) 5 25

123

2 25 0 25⋅ − ⋅ =. .

6bodova

3boda

12bodova

Provjera 2

Documents

VIŠE KAZALO · Valjak – osnovni pojmovi, površina i volumen 78 KAZALO. 5 VIŠE Izračunavanje nepoznatih količina u valjku 80