Vibra Ensa

7/23/2019 Vibra Ensa

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VIBRATIONS EN PETITES PERTUBATIONSDES SYSTMES MCANIQUES

HERVOUDIN


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Table des matires

I AVANT PROPOS ................................................................................................................................................. 5

II MISE EN QUATIONS DUN SYSTME MCANIQUE................................................................................ 7

II-1RAPPELS................................................................................................................................................................................................. 7II-1.1 Les actions mcaniques ...........................................................................................................................................................7II-1.2 Le paramtrage.......................................................................................................................................................................... 8

II-2PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS...................................................................................................................................................... 8II-2.1 nonc du PTV.......................................................................................................................................................................... 8II-2.2 quivalence PTV - PFD ............................................................................................................................................................ 8II-2.3 Le Thorme de lnergie....................................................................................................................................................... 9

II-3MISE EN QUATIONS DES SYSTMES DISCRETS.................................................................................................................................... 9II-3.1 Dplacements virtuels - dfinitions....................................................................................................................................... 9

II-3.2 quations de Lagrange ...........................................................................................................................................................10II-3.3 Forme pratique des quations de Lagrange ......................................................................................................................11II-3.4 Analyse dun problme par les quations de Lagrange...................................................................................................12

II-4MISE EN QUATIONS DES MILIEUX CONTINUS .................................................................................................................................19II-4.1 Rappels de MMC.....................................................................................................................................................................19II-4.2 criture du PFD ......................................................................................................................................................................22II-4.3 criture du PTV ......................................................................................................................................................................23

BIBLIOGRAPHIE ..........................................................................................................................................................................................27NOTES PERSONNELLES ..............................................................................................................................................................................28

III OSCILLATEURS UN DDL...........................................................................................................................29

III-1GNRALITS.....................................................................................................................................................................................29III-2FORME CANONIQUE DE LQUATION .............................................................................................................................................31

III-2.1 Dfinitions...............................................................................................................................................................................31III-2.2 Analogie lectrique................................................................................................................................................................32

III-3RGIME LIBRE .....................................................................................................................................................................................32III-2.1 Aspect analytique...................................................................................................................................................................32III-2.2 Aspect exprimental.............................................................................................................................................................34

III-4RGIME PERMANENT .........................................................................................................................................................................35III-4.1 excitation harmonique..........................................................................................................................................................35III-4.2 excitation priodique............................................................................................................................................................42

III-5SOLUTION GNRALE .......................................................................................................................................................................44III-5.1 variation des constantes.......................................................................................................................................................45III-5.2 Rponse indicielle..................................................................................................................................................................46III-5.3 Rponse impulsionnelle........................................................................................................................................................46III-5.3 Utilisation des rponses indicielle et impulsionnelle ......................................................................................................47

NOTES PERSONNELLES ..............................................................................................................................................................................48

IV OSCILLATEURS N DDL.............................................................................................................................. 49

IV-1FORME LINAIRE DES QUATIONS ...................................................................................................................................................49IV-2TUDE DU SYSTME CONSERVATIF ..................................................................................................................................................51

IV-2.1 Frquences et modes propres............................................................................................................................................51IV-2.2 Orthogonalit des modes propres....................................................................................................................................52IV-2.3 Coordonnes gnralises..................................................................................................................................................53IV-2.4 Rgime permanent harmonique.........................................................................................................................................55IV-2.5 Calcul pratique des valeurs propres..................................................................................................................................56

IV-3TUDE DES SYSTMES DISSIPATIFS ....................................................................................................................................................59IV-3.1 Systme dissipatif amortissement proportionnel ........................................................................................................59

IV-3.1 Systme dissipatif amortissement quelconque.............................................................................................................60IV-4TROIS EXERCICES DE SYNTHSE .......................................................................................................................................................61NOTES PERSONNELLES ..............................................................................................................................................................................63


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V VIBRATIONS DES MILIEUX CONTINUS..................................................................................................... 65

V-1RGIME LIBRE ......................................................................................................................................................................................65V-1.1 Problme aux valeurs propres ............................................................................................................................................66V-1.2 Thorme dexpansion .........................................................................................................................................................66V-1.3 Rponse des conditions initiales non nulles ..................................................................................................................68

V-I1RGIME FORC PAR LANALYSE MODALE.........................................................................................................................................68

V-IIIMTHODES D'APPROXIMATION.......................................................................................................................................................70V-III.1 Mthode des rsidus pondrs..........................................................................................................................................71V-III.2 Mthode variationnelles discrtises. ...............................................................................................................................73

NOTES PERSONNELLES ..............................................................................................................................................................................75


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I Introduction

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I Avant propos

Les vibrations mcaniques apparaissent dans toutes les structures, elles ont une influence considrable sur le

fonctionnement et la dure de vie de ces structures. Les excitations dynamiques, qui sont la cause desvibrations, sont nombreuses. Elles proviennent, soit de lenvironnement extrieur (sol, atmosphre, eau,contacts ou chocs avec dautres structures), soit de dispositifs internes mobiles (machines intgres lastructure). Le plus souvent ces vibrations sont nfastes pour les structures (usure, rupture ou ruine) commepour les personnes (bruits, confort, fatigue) est peuvent conduire un danger pour la sant. Ces problmescouramment poss lingnieur doivent tre pris en compte aussi bien au niveau de la conception que de lavrification des structures. Ils sont complexes, phnomnes non linaires et excitations souvent alatoires.

Dans le cadre de ce cours nous nous limiterons ltude des vibrations linaires des systmes continus etdiscrets. Ces bases thoriques permettront daborder dans dautres cours les phnomnes plus complexescits prcdemment.

Le premier chapitre de ce cours fait le lien avec le cours de mcanique de premire anne, o vous avez vue etmis en application le Principe Fondamental de la Dynamique PFD pour effectuer la mise en quations dunsystme de solides rigides systme mcanique discret . Nous prsentons ici le PTV Principe des TravauxVirtuels qui nous permet dobtenir de faon systmatique les quations du mouvement du systme. Nousapprendrons linariser ces quations dans le cadre des petits mouvements autour dune positiondquilibre. Et nous verrons comment appliquer ces deux principes aux milieux continus.

Le second chapitre est consacr aux vibrations des systmes un degr de libert ddl , la connaissance ducomportement de loscillateur simple est fondamental pour la suite, il permet dapprhender les diffrentstypes de mouvement oscillations libres , oscillations forces , rponse une excitation harmonique puispriodique. Les principales proprits de ces rponses nous permettrons de prsenter les mthodesexprimentales permettant dvaluer les caractristiques mcanique de loscillateur : sa masse, sa raideur, sonamortissement.

Le troisime chapitre est la gnralisation de ce qui vient dtre vue aux systmes discrets ayant un nombre fini

de degr de libert. Nous prsentons la mthode danalyse modale qui permet de dcomposer la rponselinaire dun systme N degrs de libert sur la rponse de N oscillateurs un degr de libert.

Dans le dernier chapitre nous aborderons ltude des vibrations des milieux continus, nous montreronscomment rsoudre analytiquement les modles monodimensionnels (vibrations des barres et poutres) engnralisant la mthode danalyse modale. Puis sur ces mmes modles nous mettrons en place la notiondapproximation qui permet de se ramener un systme discret.

A la fin du cours les bases indispensables la comprhension de la mthode des lments finis auront tabordes. La mthode des lments finis est une des principales mthodes lheure actuelle pour calculer etdimensionner les structures, elle permet daborder des problmes complexes et peut tre applique diffrents domaines de la physique. Vous utiliserez cette mthode en deuxime anne lEcole central deNantes.

Principales abrviations utilises dans ce cours :

DDL Degr de LibertMEF Mthode des lments finisMMC Mcanique des Milieux ContinusPFD Principe Fondamental de la DynamiquePTV Principe des Travaux Virtuels

Principales abrviations utilises dans ce cours :

,x

AA

x

=

de mme ,y

AA

y

=

et

,z

AA

z

=

etc

2

,2 uu

A Au

=

ou 22

2 ,u

A Au

=

de mme2

,uv

A Au v

=

etc .


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Vibrations des systmes mcaniques

6

dAA

dt= de mme

2

2

d AA

dt=

Notations matricielles :

[ ] Pour une matrice quelconque

{ } pour un vecteur colonne,{ }

T< >= pour un vecteur ligne.

Quelques mots clefs par chapitre:

Chap.II : PFD - Mcanique analytique - PTV MMC.

Chap.III : Vibrations - Oscillateurs simples - Rgime libre et forc - Diagramme de Nyquist -Diagramme de Bode - Srie de Fourier.

Chap.IV : Analyse modale Coordonnes gnralises Matrice modale Matrice admittance Quotient de Rayleigh Condition de Caughey Transformation de Duncan.

Chap.V : Fonctions admissibles fonctions de comparaison Problme auto-adjoint Thorme

dexpansion.

Site Web :

https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/vibra/vibra.htm


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II Mise en quations dun systme mcanique

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II Mise en quations dun systmemcanique

Ce chapitre prsente les deux principes qui permettent deffectuer la mise en quations des systmesmcanique. Nous nous attacherons lquivalence de ces principes, mais aussi ce qui en fait la diffrence dansla mise en uvre en fonction des objectifs de ltude et des mthodes de rsolution que lon souhaite utiliser.

Bien entendu nous restons dans le cadre de la mcanique classique admettant : que les proprits du rfrentiel espace-temps sont identiques pour tout observateur, qu' tout corps matriel on peut associer une masse (nombre positif), et que les actions mcaniques peuvent tre modlises par un champ de vecteurs lis.

Le Principe Fondamental de la Dynamique prsent dans le cours de mcanique nous fournit desrelations vectorielles entre le torseur des efforts extrieurs appliqus au systme et sa quantitdacclration par rapport un repre suppos galilen.

PFD : { } { }/ /A

ext Rg ARg t F ma =

G G

La principale difficult dapplication du PFD est de dterminer les systmes et les directions privilgis quiconduisent aux quations principales du problme. Pour un systme matriel complexe il est difficile dobtenirles quations du mouvement car il faut faire apparatre un nombre important dinconnues secondairescorrespondants aux efforts de liaison.

La mcanique analytique, que nous allons aborder dans ce chapitre permet dobtenir de faon systmatiqueles quations principales du problme. Base sur un Principes Variationnel ce principe utilise les grandeursscalaires que sont lnergie cintique, lnergie potentielle, et le travail virtuel des efforts appliqus au systme.

II-1 Rappels

II-1.1 Les actions mcaniques

Les actions mcaniques peuvent tre classifies en :

Efforts donns : caractriss par un torseur not{ }dF On y trouve les champs de force (volume), ainsi que les pressions supposes connues pouvantsexercer sur une partie de la frontire du domaine.

Efforts inconnus : caractriss par un torseur not { }iF

Ces efforts sont des inconnues du problme, ils correspondent aux liaisons mcaniquesmodlises par des dplacements ou des vitesses imposes, ces liaisons sont appeles liaisons cinmatiques .

Classification essentielle, elle conditionne notre analyse du problme mcanique.

Une seconde classification thorique vient sy superposer qui correspond la formulation du PFD. Nousdevons donc pouvoir diffrentier les efforts intrieurs et extrieurs un systme matriel.

Efforts intrieurs : caractriss par un torseur not { }intF Le torseur des efforts intrieurs qui caractrise toutes les actions mcaniques qui agissententre les diffrents lments matriels du systme considr.

Efforts extrieurs : caractriss par un torseur not { }extF Le torseur des efforts extrieurs qui caractrise toutes les actions mcaniques quiproviennent dlments extrieurs au systme matriel considr.


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II-1.2 Le paramtrage

La toute premire phase danalyse dun problme mcanique consiste pouvoir dcrire les mouvements dusystme matriel par rapport un espace dobservation donn. Cette analyse conduira au paramtrage desmouvements du systme.

Pour un systme matriel constitu dun nombre fini de solides supposs indformables, La position dusystme considr dpend dun nombre fini de paramtres, on parle de systmes discrets.

( , )i

P OP P q t =JJJG G

Lespace de configuration du systme discret est lensemble des n valeurs des

paramtres iq un instant

Pour un milieu continu il faut prendre en compte sa dformation, la position actuelle des particules sera dfiniepar rapport sa position initiale, description Lagrangienne des mouvements. On parle de transformationdu milieu continu.

( , )P x P X t =G GG

La transformation PG est bijective elle dfinie compltement les mouvements dusystme matriel.

II-2 Principe des Travaux Virtuels

Dans la littrature vous trouverez deux prsentations de la mcanique analytique

Principe de dAlembert - Lagrange : cest un principe variationnel, ltat du systme un instantdonn est pris comme rfrence et on considre linfluence des variations des paramtres du mouvement.

Principe dHamilton : il repose sur une fonctionnelle, en mcanique lnergie du systme. C'est un

principe intgral.Dans ce cours nous prsentons le Principe des travaux virtuelsou Principe de dAlembert. Il faut savoirquil y a quivalence formelle entre les trois principes (Newton, dAlembert, et Hamilton), ils conduisent auxmmes quations, ce nest que le point de vue (point de dpart de la formulation) qui diffre.

Nous profiterons de ce chapitre pour revoir les notions dnergie, de puissance, et de travail prsentes lanpass.

II-2.1 nonc du PTV

Pour bien ancrer lquivalence qui existe entre les principes, nous retenons une nonce similaire celleutilise pour le principe fondamental de la dynamique.

PTV : ( ) ( / )RgRg t q W A =

Il existe des rfrentiels privilgis dits rfrentiels galilens, tels que quelque soit lesystme matriel considr, tout instant et pour tout dplacement virtuel, le travailvirtuel des efforts intrieurs et extrieurs appliqus ce systme est gal au travail virtueldes quantits dacclration du systme.

Ce principe, pos comme point de dpart, peut tre appliqu des solides, des liquides ou des gaz.

II-2.2 quivalence PTV - PFD

Cette quivalence est base sur le thorme mathmatique suivant :

0 . .P P A P B A B = =G G GG G G G G


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Partons du PFD appliqu un lment de matire dm= centr en P subissant des actions

mcaniques de rsultante ( )PdfG

.

Le PFD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .g gP P P P Pdf dm a P P df P a dm = =G GG G GG G

Intgrons cette dernire relation sur le domaine occup par la matireNous obtenons :

( )

( ) ( / )

( / )

( )

( )

.

.

DRg

Rg g

D

P

P

W f P dv

P W A avecA a P dm

=

= =

JJJJGG

G

JJJJGG

Cest le Thorme de dAlembert ou Principe des Travaux Virtuels

II-2.3 Le Thorme de lnergie

Appliquons maintenant le PTV en prenant comme champ de dplacement virtuel particulier, le champ desvitesses relles des points du systme mcanique considr.

Pour ( )g PP V =G G

le PTV ( ) ( ) ( ) ( ). .g g gD D

P P P Pf V dv a V dm= G G GG

Soit ( ) ( ).f g gD

P PP a V dm= GG

( )( ) ( ).gf g gD

P Pd

P V V dmdt

= G G

( ) ( )

2

( / )( )

1

2f g c RgD

Pd d

P V dm E dt dt

= =

G

Nous voyons ici le thorme de lnergie comme un cas particulier du PTV.

II-3 Mise en quations des systmes discrets

Les quations de Lagrange sont la traduction du Principe des Travaux Virtuels dans le cas dun systmediscret. Prcisons tout dabord la notion de dplacement virtuel.

II-3.1 Dplacements virtuels - dfinitions

Pour un systme discret la position de tout point, dpend dun nombre fini de paramtres.

( , )i

P OP P q t =JJJG G

Le dplacement virtuel dun point P est dfini par : ii i

OPP q

q

=

JJJG

JJJG

Remarques :

Le termeOP

t

JJJG

ne doit pas tre calcul car le systme matriel est considr tout instant.

Pour calculer des dplacements virtuels, vous pouvez faire lanalogie avec un calcul de vitesse.

Le systme tant masse conservativenous pouvons permuter lintgration etla drivation.


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Exemples :

La position dun point A tant donn par : ( )cos( ) sin to oOA a t x b z = +JJJG G G

Son dplacement virtuel sera : cos oA b z =JJJG G

Pour un solide repr par les angles dEuler, le vecteur rotation virtuelle du solide est dfinie par :

sin

cos

s o

v

z n z

= + + = +

JJJG GG G

Champ virtuel rigidifiant

Un champ de dplacement virtuel est dit rigidifiant sur (S), sil respecte la notion de solide rigide. Unchamp virtuel rigidifiant est un torseur, nous avons :

( , ) ( ) sA B S A B BA = + JJJG JJJG JJJG JJJG

En mcanique, nous utiliserons des champs rigidifiant par sous domaines,

chaque sous domaine tant un solide du systme mcanique

Consquence :

Le travail virtuel des efforts intrieurs pour tout champ de dplacements virtuels rigidifiantest nul. En effet lhypothse de solide indformable revient ngliger les dformations du solide, ce qui dupoint de vue nergtique revient considrer quil ny a pas dnergie de dformation.

Champ virtuel cinmatiquement admissible

Un champ de dplacement virtuel est dit compatible ou cinmatiquement admissible sil satisfaittoutes les liaisons cinmatiques telles quelles existent linstant .

Exemple :

Soit un dplacement impos en A : ( ) cos( ) ou A a t x=G G

Le champ de dplacement virtuel est cinmatiquement admissible si ( ) 0u A =JJG G

II-3.2 quations de Lagrange

Pour un systme discret le travail virtuel dun champ de force )(PfG

est dfini par :

( ) ( )i

D

avec. .P Pi iiiD

OPW f P dv q f dvq

= = = JJJG

JJJJGG G

Le PTV est alors quivalent crire :

(1, ) c cii i

E Edi n

dt q q

=

Ce sont les n quations de Lagrange du systme matriel considr.

Dmonstration :

La dmonstration est base sur lidentit de Lagrange, qui consiste exprimer le travail virtuel des

quantits dacclration en fonction de lnergie cintique du systme.


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( / ) ( ) ( ). . iRg g giiD D

P PP

A a P dm a q dmq

= =

GJJJJGG G

Soit : ( / ) ( ).iRg i i gii D

PP

A A q avec A a dmq

= =

GG

Pour chaque terme

( )( ) ( ). .gi g gi iD D

P PdP P

A a dm V dmq dt q

= =

G G

GG

( ) ( ). .g g

i g gi iD D

P Pd dP P

A V dm V dmdt q dt q

=

G GG G

Or

( )( )( )

g

g ii i ii

g g

i i

PP

VP P PV q

q t q q

d d PP

dt q q dt

= + =

=

GG G G

G

GG

Ce nest pas aussi vident que cela alors prenez le temps decomprendre les drivations partielles.

Do( ) ( )( ) ( )

( ) ( ). .g g

i g gi iD D

P PP P

V VdA V dm V dm

dt q q

=

G G

G G

( ) ( )2 2

( ) ( )1 1

2 2

i g gi iD D

P Pd

A V dm V dmdt q q

=

G G

Soit( / ) ( / )

c Rg c Rg

ii i

E EdA

dt q q

=

En crivant ( / )RgA W = nous obtenons les quations de Lagrange.

II-3.3 Forme pratique des quations de Lagrange

De faon faire apparatre explicitement les inconnues dans les quations, nous allons dtailler le second termequi correspond au travail virtuel des efforts (intrieurs et extrieurs). Regroupons les efforts, en donns et

inconnus (Les efforts inconnus sont associs aux liaisons cinmatiques).De plus pour simplifier les calculs, nous utilisons la notion dnergie potentielle pour les efforts donns dont onen connat lexpression de lnergie potentielle (poids, ressort).

On pose : d iW W W = + avec

( )

( ) i

.

.

Pd d i iiiD

Pi i i

iD

EpW f P dv D q

q

W f P dv L q

= =

= =

JJJJGG

JJJJGG

Rappels sur les nergies potentielles

Champ de pesanteur : ( ) .p mg oE Mg OG z Cte= +

JJJG G

Le systme tant masse conservativenous pouvons permuter lintgration etla drivation.


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Ressort (traction k- torsion C) : 2)(2

)( )(2

1)(

2

1oCpokp

CEkE ==

Travail virtuel des efforts appliqus un solide rigide (S)

( )( ) ( ). .P P sS S

W f P dv f A AP dv A S = = + JJJJG JJJG JJG JJJGG G

( ) ( ) ( ). . . .P P As sf fS S

W A f dv AP f dv A R M = + = + JJJG JJG JJJG JJJG JJGG G G G

Le calcul pratique du travail virtuel se fait donc partir des lmentsde rduction des torseurs des efforts appliqus au solide.

Forme dveloppe des quations de Lagrange :

c ci i

i i i

E Ed Epi D L

dt q q q

+ = +

Cest cette forme quil faut connatre, et savoir utiliser pour cela il est bon de serappeler lorigine de chaque terme.

Travail virtuel des efforts de liaison

Le travail virtuel des efforts de liaison entre deux solides S1 et S2est dfini par :

2/1 2/11 2 1 2 1 2 ( ). .S S S S S S AW F A M = +JJJG JJGG G

Le travail virtuel dune liaison est indpendant du repre dobservation

Proprit

Si le champ des dplacements virtuels respecte une liaison gomtrique suppose parfaite, alors letravail virtuel des efforts de liaison est nul.

Cette proprit est utilise comme dfinition mathmatique dune liaison parfaite.

Consquence :

Si le champ des dplacements virtuels respecte toutes les liaisons du systme mcanique, et que ces liaisonssont supposes parfaites.

c c ii i i

E Ed Epi D

dt q q q

+ =

Les ''n'' quations de Lagrangesont les ''n'' quations du mouvement.

Vous ralisez srement tout lintrt de cette consquence du point de vue pratique,la mthode de Lagrange peut conduire directement aux quations du mouvement

Corollaire

Pour toute liaison non parfaite ou non respecte par le paramtrage, les quations de Lagrange fontapparatre des inconnues supplmentaires (termes en Li) associes aux efforts de liaison.

Pour pouvoir rsoudre, il faut associer ces inconnues supplmentaires, soit les quations des liaisons nonrespectes, soit des lois permettant de modliser le comportement non parfait de la liaison (exemple : les loisde frottement).

II-3.4 Analyse dun problme par les quations de Lagrange

Nous avons tous les lments mathmatiques permettant d'appliquer le Principe des Travaux Virtuel. Voyons

maintenant la mthodologie appliquer pour aborder un problme de mcanique industrielle. Avant tout, ilfaut que les objectifs de ltude soient bien dfinis.

Prend en compte lesactions de 1 2 et lesactions de 21


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Lors de lanalyse, le choix du paramtrage dfini le problme virtuel qui permettra dobtenir de faonsystmatique les quations principales du problme par la mthode de Lagrange.

Cas ou les liaisons sont toutes supposes parfaites:

a- pour obtenir les n quations du mouvement on utilise un paramtrage qui respecte toutes les liaisons.

Le problme virtuel trait est quivalent au problme rel

b- pour obtenir les n quations du mouvement et p composantes defforts de liaison on utilise un paramtrage qui ne respecte pas les liaisons dans la directions des p

composantes cherches (forces ou moments). On traite un problme virtuel diffrent du problme rel

Aux n+p paramtres du problme virtuel, viennent sajouter p inconnues efforts deliaison. Pour n+p quations de Lagrange et p quations de liaison quil faudra respecterpour traiter le problme rel.

Si certaines liaisons ne sont pas parfaites:

Les n quations du mouvement feront apparatre des efforts de liaison inconnus qui seront associs

des modles donnant un nombre identique de relations. Cependant pour rsoudre de tels problmesdans une approche de type Lagrange il est gnralement ncessaire de faire apparatre dans lesquations de Lagrange les composantes deffort utiles lcriture de ces relations. Nous sommes doncramen au cas b prcdent.

Application : problmes de frottement

Si certaines liaisons conduisent un paramtrage trop complexe.

Pour ltude de mcanismes possdant une ou plusieurs boucles fermes (chanes cinmatiquescomplexes) la prise en compte des liaisons cinmatiques de fermeture peut rendre inextricable lescalculs de cinmatique et de cintique. Il est alors intressant de ne pas tenir compte de ces quationslors du paramtrage.

On traite un problme virtuel diffrent du problme rel

La mthode des multiplicateurs de Lagrange permet dexprimer directement le travail virtuel de cesliaisons partir des quations de fermeture sans faire apparatre de bilan defforts. Les quations deLagrange et les quations de liaison fournissent un systme dont on peut liminer les inconnues multiplicateurs pour obtenir les quations du mouvement.

Mthodologie

1. Analyse : choix du paramtrage en fonction des objectifs du problme.Problme rel n quations du mouvement (toutes les liaisons sont respectes)Problme virtuel n+p quations de Lagrange pour n+2p inconnues

p inconnues sont des multiplicateurs ou efforts de liaison

2. Calcul des nergies (Ec et Ep) et du travail virtuel des autres effortsPrise en compte des actionneursPrise en compte des p inconnues associes aux liaisons non respectesPrise en compte des liaisons non parfaites

3. criture des quations de Lagrange4. Mise en forme et rsolution

criture des p quations de liaisons cinmatiquescriture des lois modlisant les liaisons non parfaites (frottement)Mise en forme et linarisation dans le cadre des petits mouvements

Application en mcanique du solide

Sur un problme simple de mcanique nous allons mettre en uvre le PTV pour diffrents types de problmes,c'est--dire en modifiant les objectifs de chaque tude. Notre but est de montrer comment les quations deLagrange correctement utilises permettent dobtenir directement les informations cherches.


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Considrons un systme mcanique constitu d'un cerceau de rayon a, de masse Met d'un point matriel P demasse m. La rotation du cerceau par rapport au repre supos galilen est assure par un pivot parfait d'axe

),(ozO

G. Le point matriel se dplace sans frottement sur le cerceau (C) .

Le champ de pesanteur est dfini par ozggGG

=

ParamtrageMvt de (C) / Ro : liaison pivot ),( ozO

G

un paramtre ozG

/

Mvt de P / (C) : liaison linaire annulaire un paramtre n

G/

lie C

( )ooo zyxbGGG

,,0oz

G/

( )ozunnGGG

,,nG

/( )zvnv

GGG,,

Dfinition des bases

Le mouvement du systme dpend de deux paramtres indpendants et .Cest notre point de dpart,Il est indispensable de bien paramtrer le problme rel

a

Gxo

Gzo

Gyo

(C)

(P)

A

O

zG

C

Gg

Pb1 : Lobjectif est dobtenir les quations du mouvement

Dans ce problme nous supposerons quun couple moteur donn est appliqu sur le cerceau. Pour obtenir lesquations du mouvement nous utilisons des dplacements virtuels compatibles avec les liaisons, le problmevirtuel est donc quivalent au problme rel.

Nos inconnues principales sont : ,

Calculs

nergie cintique de () = (P+C)

)(2),(.)/(2 P

oococo VmCCJREcGGG

+=

( )2222

)sin()(2

)/(2 aamMa

REc o ++=

Do 222222

sin2

)/(2 mamaMa

REc o +

+=

nergie potentielle de () : ( ) . cosp oE Cte mg OP z mga cte = + = +JJJG G

Travail virtuel des efforts

Efforts donn : le couple moteur .D M CT = = JJJGG Efforts de liaison : les liaisons sont supposes parfaites, et elles sont respectes par le paramtrage

0=LT

quations de Lagrange :2

2 2( sin )2

d Mal ma

dt

+ =

( ) 0sincossin 222 = mgamamal Le couple moteur tant une donne du problme ces quations sont les quations du

mouvement du systme. Nous avons rpondu aux objectifs du problme.

Nous ne dtaillons pas les calculs, reportezvous votre cours de mcanique de lan pass.

sin

( )

0

o

v

a

V P a

=

G


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Bien entendu nous aurions pu obtenir ces quations par le PFD. Ce qui ncessitait de faire un bilan des effortsde liaisons, puis de justifier pour le systme complet et pour le point matriel les deux quations suivantes.Que nous pouvons identifier :

( )

( , ).

. .

o o

o oP

l O z

l m v mg z v

=

=

G G

G G GG

PB2 : Calcul dune composante deffort de liaison

Nous adoptons ici un point de vue ingnieur en fixant des objectifs prcis ltude, pour cela prcisons dabordle torseur des efforts de liaison.

Les actions de liaison de la basesur C sont modlises par un torseur :( )

. 0

o

oO

R qcq

M z

=

G

G G

Les actions de liaison de C sur P sont modlises par une rsultante : zNnTR PCGGG

+=

Fixons maintenant nos objectifs

Nous cherchons les quations du mouvement (indispensable pour pouvoir rsoudre) et la composanteN des actions de liaison de C sur P.

Pour faire apparatre la composante deffort cherche, nous utilisons un dplacement virtuel qui carteP de sa position relle dans la directionz

G. Le problme virtuel est alors dfini par le paramtrage

suivant :Les 2 paramtres ( , ) du problme rel

et tel que CP z=JJJG G

Le problme virtuel est reprsent ici sur la figure ci-contre, enpratique cette figure nest pas ncessaire car seul le problme relnous intresse vraiment.

Notez que pour 0= , la liaison a= est respecte.(C)

zG

C

(P)

+= a

Calculs

nergie cintique de () = (P+C)

( )22222

)sin()(2

)/(2 +++= mMa

REc o

Do2

2 2 2 2 2 22 ( / ) sin2

o

MaEc R m m m

= + + +

nergie potentielle de () : ctemgEp += cos)(

Travail virtuel des efforts

Efforts donn : le couple moteur DT = Efforts de liaison :

La liaison en O est suppose parfaite et elle est respecte par le paramtrage 0=LoT

En effet ( ). .Lo o oOT R O M z = +JJJGG G G

Or 0O =JJJG G

et ( ) oOM zG G

0=LoT

La liaison C-P n'est pas respecte donc le travail virtuel est non nul

NzRPRPRPRT PCCPPCCoCPPoPCPC ===+= GGGGG ....

Pivot parfaitd'axe ( , )

oO z

G

Pas de frottemententre C-P

Les calculs sont faits pour le problme virtuel c'est-

-dire avec les 3 paramtres ( , , )

(C)

PCCPRR =GG

zG

C

(P)

PcR G

PC

PP


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16

Pour ce calcul vous pouvez penser puissance de la liaison.

Remarques :

Le calcul prcdent est bas sur une analyse physique qui consiste modliser la liaison par le torseur desefforts de liaison et exprimer le travail virtuel de ces efforts.

L'analyse mathmatique base sur la mthode des multiplicateurs de Lagrange consiste crire :

C PT L = = le multiplicateur de Lagrange peut tre identifi N Cette mthode est souvent plus rapide mettre en uvre, car elle ne ncessite pas de faire lanalysephysique des liaisons.

Pour 0= , on retrouve que toute liaison parfaite respecte est travail virtuel nul 0= PCT .

quations de Lagrange :2

2 2( sin )2

d Mal m

dt

+ =

( ) ( )2 2 2sin cos sin 0d

l m m mgdt

=

( ) Nmgmmml =++ cossin 222 Soit 3 quations pour 4 inconnues ( , , ,N )

Pour rsoudre il faut se ramener au problme rel en tenant compte de l'quation de liaison a= .

Pour a= on retrouve les quations du mouvement ( ll , ),

et l'effort ( )222 sincos += mamgN Nous rpondons aux objectifs du problme, sans rencontrer de difficults autres que les calculs.

Test :

Quels paramtrages utilisez vous pour :a- Calculer la composante : .o oR z

G G

b- Calculer leffort : oRG

c- Calculer la composante : .o oM nG G

Rponses :a ( , , Oz ) - b ( , , , ,O O Ox y z ) - c ( , ,c )

PB3 : La rotation du cerceau est impose

Pour imposer la vitesse de rotation du cerceau il faut un moteur, et lingnieur cherchera calculer la valeur ducouple moteur permettant dimposer les mouvements du systme mcanique (robotique).

Pour obtenir le couple moteur nous traitons le problme virtuel 2 paramtres ( , )

La liaisond

= nest pas respecte.

Le travail virtuel de cette liaison est non nul et vaut =T

Toutes les autres liaisons, supposes parfaites, sont respectes donc travail virtuel nul, et les expressions desnergies sont celles calcules au PB1.

D'o2

2 2( sin )2

d Mal ma

dt

+ =

( )2 2 2

sin cos sin 0l ma ma mga =

PFD :

( )2 2 2( ). sino P z a = +G G

Ici le couple moteur estune inconnue du roblme

2 quations pour 3 inconnues.


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17

Dans le cas ou Cte== on trouve :

Lquation du mouvement : ( )2 2 2sin cos sin 0ma ma mga = Et le couple moteur cossin2 2ma=

Pour chacun des problmes, lanalyse par les quations de Lagrange nous donne directement les rsultatscherchs si le problme est correctement pos.

Application :

Des exercices corrigs sont propos dans le chapitre 7 du cours de mcanique sur le site :https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/meca/meca.htm . Ils vous permettront dassimiler les notionsprsentes dans ce paragraphe sur les quations de Lagrange.

Dans le cadre de ce cours les corrigs des exercices suivants sont sur le site :https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/Vibra/vibra.htmces exercices sont plus axs sur la mise en quations des problmes de vibrations.

Exercice 1I-1 : Machine dAtwoodLa machine dAtwood schmatise par la figure ci-contre est constitue dedeux masses supposes ponctuelles m1 et m2 relies entre elles par un filparfait (fil sans masse et inextensible).

Le fil passe dans une poulie de rayon R, monte sur un pivot parfait daxe

),(ozO

G, on note I le moment dinertie de la poulie par rapport laxe

de rotation. Nous supposons que le contact entre le fil et la poulie lieusans glissement.

La masse m1 est rappele vers sa position dquilibre par un ressort de

raideur K. Une force cosF t est applique verticalement la masse m2les deux masses sont supposes guides en translation. On choisiracomme origine des dplacements la position vide du ressort.

Le champ de pesanteur est dfini par og g y= G G

cosF t

Gxo

Gyo

O

Gg

(m2)

(m1)

A Recherche des quations du mouvement Justifier votre choix de paramtrage. Exprimer les quations de Lagrange. En dduire la position initiale du systme

B Tensions dans le filOn veut dterminer les tensions dans les deux brins du fil

Justifier votre choix de paramtrage. Exprimer les quations de Lagrange.a. Utiliser un bilan deffort pour exprimer le travail virtuel des liaisons.

b. Utiliser les multiplicateurs de Lagrange, et analyser les expressions. En dduire les tensions dans le fils et retrouver lquation du mouvement en

AnnexeRetrouver en les identifiant ces quations partir du Principe Fondamental de la Dynamique.


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18

Exercice II-2 : Position dquilibre, stabilitConsidrons une tige de masse mde longueur a. Cette tige articule en O, estrelie au btit par un ressort de torsion de raideur C non contraint pour 0 = .

Dterminer la (les) position(s) dquilibre, et les conditions de stabilit de cespositions.

c

Gg

Cette mme tige est maintenant relie au btit par un ressort linaire de raideur

kde longueur vide oA .

A lquilibre 0 = la longueur du ressort este

A

crivez lquation des petits mouvements autour de cette position, en dduire lacondition de stabilit de la position dquilibre.

Gg

k

Exercice II-3 : Linarisation avec vitesse de rotation importanteConsidrons un disque D tournant une vitesse angulaireconstante (arbre du rotor). Une des ailettes de la turbine estmodlise par une tige T de masse m de longueur 2a. Elle estramene vers sa position initiale par un ressort de torsion deraideur C(lasticit de la liaison).

Dterminez lquation des petits mouvements de la tige.

OGxo

GgD

Gyo

T

c

Gx1

Exercice II-4 : Oscillations libres dues une perte de masse.Considrons le systme ci contre constitu de deux tiges de longueurs 2aeta, et dune charge en P de masse m. On ngligera la masse des tiges devantcelle de la charge.

Les liaisons en A et B sont des pivots parfaits auxquels sont adjoints desressorts de torsion de raideur respective 3C et C.

Ces ressorts sont non contraints pour 1 2 0 = = .

1- Effectuez la mise en quations dans le cadre de lhypothse des petits

mouvements, dterminer la position dquilibre statique1 2

( , )e e

Gxo

A

B

2a

a

c

3c

1

m

2

yGo

Gg

2- Donnez la condition satisfaire pour vrifier lhypothse des petits mouvements. En dduire sous formematricielle lquation des petits mouvements.

3- La moiti de la masse mse dtache brusquement alors que le systme tait lquilibre. Dterminez lesnouvelles quations du mouvement.


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II-4 Mise en quations des milieux continus

Ltude dynamique des structures dformables fait appel la mcanique des milieux continus, les relationsentre les quatre champs inconnus de la MMC peuvent tre schmatises par la figure ci-dessous.

Relations

gomtriques

Relations

gomtriques ( )f u =G

T n=G G

( )E( )

( )F fG

( )U uG

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

( )D =

Lois de comportementgnralise

Champs vectoriels Champs tensoriels

uG

: Dplacements

fG

: Forces : Dformations

: Contraintes

Nous allons dbuter ce paragraphe par quelques rappels de Mcanique des Milieux Continus MMC pourredonner la forme gnrale des diffrentes relations voques par la figure prcdente. Les exercicesdapplication consisteront crire ces relations dans le cas particulier des deux modles simplifis, barres etpoutres. Ces deux modles, importants en mcanique des structures, nous permettront dans le chapitre Vdtablir des solutions analytiques pour des problmes de vibrations, et de prsenter sur des exemples simplesles mthodes dapproximation bases sur la mthode des rsidus pondrs.

II-4.1 Rappels de MMC

Seules les notions indispensables la lecture de ce cours seront abordes, pour complter vos connaissancesou approfondir ces notions reportez vous la bibliographie en fin de chapitre

Dformations

a - Description des mouvements

SoitoD le domaine occup par le milieu linstant initial, et D le domaine occup linstant.

Tout point de oD sera reprsent par XG

: Coordonnes Lagrangiennes

Tout point de D sera reprsent par xG

: Coordonnes Eulriennes

Les mouvements du milieu sont dtermins si lon connat lapplication f qui met en correspondance

biunivoque ces deux domaines.

On parle de transformation du milieu continu. : ( , )P D x f X t =G GG

avec f bijective

oD

( , )x X tGG

Po

XG

D

P( , )U X tG G

Rfrentiel

En pratique la notion de dplacement est souventutilise pour dfinir la transformation du milieu.

( , )P D x X U X t = +G G GG


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20

b - Description des dformations

Lapplication linaire tangente dite gradient de la transformation fait correspondre au vecteur dXG

le

vecteur dxG

aprs dformation

dx FdX =GG

Fest dfinie par( , )

( , )x X t

F X t

X

=

GGG

G sa matrice Jacobienne.

Proprits :

Le tenseur F permet de calculer la variation de volume det( ) odV F dV JdV = =

det( )J F= est le Jacobien de la transformation.

La conservation de la masse oJ

=

Exemple : en coordonne cartsienne dans le plan

1 1

1 2

2 2

1 2

x x

X XF

x xX X

=

Calculons maintenant la variation de distance de deux points voisins linstant initial

. .dx dx dX CdX=G GG G

avecT

C F F= tenseur des dilatations de Cauchy - Green

Ce tenseur est symtrique dfini positif, et si le milieu ne subit pas de dformations 1C =

Le tenseur des dformations de Green Lagrange E est dfini par :

( )1

. . .2

dx dx dX dX dX EdX =G G G GG G

( )1 11 12 2

T

E C F F = =

Si lon utilise le champ de dplacement pour dfinir ce tenseur on obtient la relation suivante :

2 2

T T

H H H HE

+= + avec

( , )( )

X

U X tH grad U

X

= =

G GG

G

En petites perturbations :

Les composantes du tenseur gradient des dplacements Hsont des termes du premier ordre. Laforme linarise du tenseur des dformations est donc :

2

T

H H

+=

Attention : Petit dplacement

petite dformation, mais la rciproque est fausseProprits en petites dformations :

Les composantes du tenseur des dformations de Green Lagrange peuvent sinterprter physiquement, soit

(1 2 3, ,e e e

G G G) une base orthonorme directe, la matrice des dformations exprime sur cette base est de la

forme

Forme pratique


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21

11 12 13

12 22 23

13 23 33

=

ii : variation de longueur de

ieG

2 ij = : glissement de langle ( ,i je eG G

)

Si 0ii

= ' 1i ie e= =G G

si 0ij

= ' 'i je eG G

fG

Rfrentiel1

eG

2eG

1'eG

2'eG

2

Contraintes

Il existe trois manires de prsenter dintroduire la notion de contrainte. Nous retenons ici lapproche physique qui consiste isoler par la pense un petit lment de matire pour faire apparatre les efforts decohsion dans la matire. En crivant les quations dquilibre dduites du Principe Fondamental de laDynamique on montre que les tensions exerces sur les facettes de llment de matire peuvent sexprimeren fonction dun tenseur (matrice).

Le tenseur des contraintes de Cauchy C est dfini par :

n CT n=GG G

TG

reprsente la tension sur llment de surface de normale nG

,cest une pression. n

G

nTGG

Proprits :

Le tenseur des contraintes est symtrique, il est dfini sur ltat dform, et est reprsent sur une base

orthonorme directe (1 2 3, ,e e e

G G G) par une matrice.

11 12 13

12 22 23

13 23 33

C

=

La signification physique des coefficients de cettematrice est donne par la figure ci-contre.

Le tenseur des contraintes peut sexprimer sur ltat non dform,K

est le tenseur des contraintes de

Kirchhoff, la transformation linaire tangente relie ces deux tenseurs.

En petites perturbations ces deux tenseurs sont confondus, et on note :C K

Lois de comportement

Les lois de comportement caractrisent le milieu matriel considr, ce sont des relations entre le tenseur descontraintes et celui des dformations. Ltude gnrale de ces relations est trs dlicate, nous nous limiteronsdans le cadre de ce cours llasticit linaire en petites perturbations, dans ce cadre le champ des contraintesdpend linairement des dformations (et pas de la manire dont sest effectue la transformation).

( )f D = = Si le milieu est homogne : la loi de comportement est identique en tout point.Si le milieu est isotrope : les proprits sont identiques dans toutes les directions.

Pour un milieu lastique homogne isotrope, le comportement est dcrit par les deux coefficients scalaires

( , ) de Lam.( ) 1 2Tr = + Loi de Hooke


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22

Les coefficients de Lam ( , ) sexpriment en fonction du module dYoung et du coefficient de

poisson ( ,E ), qui sont obtenus exprimentalement partir dun essai de traction (normalis) sur

une prouvette du matriau.

(1 )(1 2 )

2(1 )

E

E

= +

= +

et rciproquement :(3 2 ) ( )

2( )

E

= + +

= +

Linverse de la loi de Hooke est : 11

( ) ( ) 1f TrE E

+= = +

Remarque :

Pour un matriau donn, la forme pratique de la loi de comportement peut diffrer en fonction deshypothses simplificatrices du modle que lon utilise pour crire cette loi. Ces incompatibilitscorrespondent des incohrences dans les hypothses du modle.

Prenons le modle de lessai de traction.

H1 : ( , ) ( , )ou M t u x t x=

G G

,xx xu u

x = = la dformation est donc purement axiale (faux)

lcriture de la loi de Hooke donne des contraintes non nullesyy

etzz

H2 :xx

FA

= ltat de contrainte est uni axial (incompatible avec ce qui prcde)

linverse de la loi de Hooke donne le tenseur

1xx

E

=

La dformation nest plus purement axiale (ce qui est vrai)

Pourtant lingnieur utilise couramment les hypothses 1 et 2 pour calculer les structures de typetreillis, cest ce que vous avez fait en rsistance des matriaux. Les rsultats seront satisfaisants si lon reste

dans le cadre des petites perturbations et que lon cherche des informations globales sur la rsistance de lastructure.

II-4.2 criture du PFD

d

Rfrentiel

P TdsG

dvG

sur chaque face

D

Isolons un petit lment de matire lintrieur du domaine. Lesefforts agissant sur cet lment sont :

fG

les forces de volume (pesanteur)

TG

les forces de cohsion sur la frontire de llment

Llment est soumis une quantit dacclration ( ) ( )P Pa dmG

Le Principe Fondamental de la Dynamique appliqu cet lment scrit :

( ) ( ) ( )P P P

d d d

a dm f dv Tds

= + G GG

avec T n=G G

( ) ( ) ( ) ( )P P Pd d d

a dm f dv div dv= + JJJGGG

Soit ( )( ) ( ) 0Pd

a div f dv =JJJG G GG

Ceci tant vrai pour tout lment de matire du domaine, nous obtenons en tout point lquation localedduite du PFD :

Th dOstrogradsky

( )S V

A n ds div A dv= JJJGG


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23

( ) ( ) ( )( ) 0P P PP D a div f =JJJG G GG

Pour rsoudre il faut utiliser :

2

T

H H

+= avec ( )XH grad U=

G

( ) 1 2Tr = +

Nous obtenons une quation de la forme : ( )( ) ( ) Pu u f+ =GG GM L

Cette quation est associe des conditions aux limites :surd u

surd

u u S

n T S

=

=

G G

GG

Et des conditions initiales :( 0) 0

( 0) 0

t position initiale

t vitesse initiale

u u

u u

=

=

=

=

G G

G G

Il existe des problmes simples pour lesquels nous pouvons rsoudre analytiquement ces quations, cesapplications sont prsentes dans le dernier chapitre.

II-4.3 criture du PTV

Pour un milieu dformable il faut introduire dans le Principe des Travaux Virtuels le travail virtuel des effortsintrieurs, c'est--dire le travail des contraintes dans des dformations virtuelles.

:intD

W dv =

Pour les efforts de volume et de frontire

. .fD S

W f u dv T u ds = + G GG G

Do le PTV : . : . .

D D D S

u u u dv dv f u dv T u ds + = + G GG G G G G

Pour obtenir lquation du mouvement en uG

, il faut tenir compte des conditions aux limites cinmatiques :

surd uu u S=

G G 0 sur

uu S =

GGLe terme : . 0

uS

u dT s =G G

On parle dun champ de dplacement virtuel cinmatiquement admissible, il nereste que des efforts donns dans lquation dduite du PTV.

De mme que pour les systmes de corps rigides, il y a quivalence entre le PFD et le PTV, ce sont deuxcritures dun mme Principe de la mcanique. Dans le paragraphe II-2.2 nous tions partis du PFD pourobtenir le PTV, voyons la rciproque.

Travaillons sur le terme correspondant lnergie lmentaire de dformation :

( ) ( )

2

T

grad u grad u

+=

G G

, ,

2

i j j i

ij

u u

+=

Or ( ), ,,ij i j ij i ij j iju u u = soit : ( ) ( ) . ( )grad u div u u div = JJJGG G G

Comme est un tenseur symtrique : ( ) . ( )div u u div = JJJGG G

Reportons ce rsultat dans lexpression du PTV, en regroupant les termes en uG

Lquation de moment en absence de couple

de masse donne :T

=

On obtient alors lquation de Navier en 3D :

( )( ) ( ) Pu grad divu u f = + + +JJJJJG GG G G

Cette opration consiste multiplier terme termeles deux matrices reprsentant les contraintes et lesdformations.

Exemple en 2D : 11 11 22 22 12 122 + +


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( )( ) . ( ) .D D S

u u div f u dv div u dv T u ds = + JJJG G GG G G G G

Appliquons le Th dOstrogradsky

( ) ( )( ) . .

D S

u u div f u dv T n u ds =

JJJG G GG G G G G

Nous venons de retrouver

Lquation locale : ( ) ( ) ( )( ) 0P P PP D a div f =JJJG G GG

Et les conditions aux limites

sur S : dn T =GG

,

suruS : in T =

GG

Application :

Les exercices corrigs, proposs sur le site, vous permettront dassimiler les notions prsentes dans ceparagraphe. Vous effectuerez la mise en quations de structures de type barres et poutres en appliquant lePFD puis le PTV. Les hypothses de lingnieur utilises pour les barres et les poutres permettent de seramener des problmes monodimensionnels pour lesquels la forme des quations est beaucoup plussimple.

Exercice II-5 : Modle de lingnieur, poutre longue (modle de Bernoulli).G

yo

G

xo

fibre moyenne

Gzo

tat initial

GuG

1- Donnez la forme gnrale du champ des dplacements, supposs petits, correspondant lhypothse deBernoulli : toute section droite reste droite et perpendiculaire laxe neutre.

2- En dduire lexpression du tenseur de la transformation linaire tangente, et en petites dformations,lexpression linarise du tenseur de Green - Lagrange.

3- Justifiez physiquement que ltat des contraintes peut tre suppos anti-plan.a - Pour un milieu homogne isotrope lastique, montrez que cette hypothse conduit descontradictions avec les hypothses sur le champ des dplacements. Analysez ces rsultats.b - En dduire la forme des lois de comportement simplifies utilises pour les poutres longueshomognes isotropes lastiques.

4- partir de ltat de contrainte dfini sur une section calculez le torseur des efforts de cohsion. En dduireles lois de comportement intgres pour les problmes de traction, flexion.


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Exercice II-6 : Mise en quations dun barreau en tractionLes hypothses sont celles des poutres longues en petites dformations et petits mouvements. Le matriau estsuppos homogne isotrope lastique

1- Application du PFD.

a - Effectuez le bilan des efforts extrieurs exercs sur une tranche dpaisseur dx . En dduirelquation du mouvement, puis lquation locale en tenant compte de la loi de comportementintgre.

b - Donnez les diffrentes conditions aux limites homognes possibles, puis celles correspondants auxtrois figures ci-dessous.

Gxo

x = A

FG

kG

xo0x =

Gxo

0x =

M

c - Donnez les quations du problme ci-contre, en dduire la

solution particulire (problme. Statique).A

(, E, S) Gxo

Gg

2- Application du PTV.

a - crire lquation intgrale dduite du PTV correspondant au modle de traction pour les poutreslongues.

b - Pour les deux problmes reprsents par les figures ci-dessous, donner lexpression du PTVcorrespondant des champs de dplacements virtuels cinmatiquement admissibles.

Pb1 :

k

Gxo0x =

gG

x = A

(, E, S)

Pb2 :

k

Gxo0x =

gG

x = A

(, E, S) FG

3- quivalence des principes.

Partez de la forme intgrale quivalente lquation locale pondre sur le domaine. Effectuez uneintgration par partie pour affaiblir lordre de drivation du dplacement.

Cette intgration fait apparatre deux termes de frontire, que vous exprimerez en tenant compte desConditions aux limites en force.

Analyser le rsultat obtenu.


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Exercice II-7 : Mise en quations dune poutre en flexion planeLes hypothses sont celles des poutres longues en petites dformations et petits mouvements. Le matriau estsuppos homogne isotrope lastique

1- Application du PFD.

a - Effectuez le bilan des efforts extrieurs exercs sur une tranche dpaisseur dx . En dduirelquation du mouvement, puis lquation locale en tenant compte de la loi de comportementintgre.

b - Exprimer les 4 conditions aux limites homognes suivantes :

extrmit libre encastre appui simple appui glissant

c - Exprimer les 3 conditions aux limites non homognes suivantes :

FG

k

M, I

d - Donnez le systme dquations correspondant au problme ci-dessous

A BPb de flexion

Mf

gG

2- Application du PTV.

a - crire lquation intgrale dduite du PTV correspondant au modle de flexion pour les poutreslongues.

b - Effectuez deux intgrations par parties du travail virtuel des efforts intrieurs. Montrer que laseconde forme intgrale ainsi obtenue permet de retrouver lquation locale et les conditions auxlimites du problme.

c - Pour le problme reprsent par la figure ci-dessous, donner lexpression du PTV correspondant des champs de dplacements virtuels cinmatiquement admissibles.

Gg

yGo

Gxo M

( , E, I, S) tG


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Bibliographie

Duc & Bellet Mcanique des solides rels - lasticit, Sup Aro, CEPADUES (1976).

Henry & Parsy Cours dlasticit, DUNOD U (1982).

Salenon Mcanique des milieux continus, Ed de lcole Polytechnique (2005).

Sur le Webhttp://fr.wikipedia.org/

Rechercher mcanique des milieux continus

Pour votre culture scientifique, vous pouvez aussi regarder la biographie de ces quelques savants qui ontmarqu lhistoire des sciences concernant ltude des milieux continus.

Hooke (1635-1703)Loi de Hooke (lasticit)

Bernoulli (1700-1782)Thorie des poutres avecEuler

Euler (1707-1783)quations dEuler pour lesfluides non-visqueux

Young (1773-1829)Module dYoungen lasticit

Navier (1785-1836)Thorie gnrale dellasticit, lois de Navier-Stokes (fluides visqueux)

Cauchy (1789-1857)Thorme lois de Cauchy(contraintes)

Saint-Venant (1797-1886)Modles de torsion,flexion, cisaillement.

Pour la mcanique gnrale vous connaissez dj .Galile 1564-1642Newton 1643-1727DAlembert 1717-1783Lagrange 1736-1813


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Notes personnelles


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III Oscillateurs un degr de libert

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III Oscillateurs un ddlLtude des systmes un degr de libert est fondamental pour pouvoir aborder ensuite le comportementvibratoire des systmes discrets (n ddl) puis celui des milieux continus.

Nous allons prsenter diffrents types de mouvement oscillations libres , oscillations forces , rponse une excitation harmonique puis priodique. Puis analyser les principales proprits de ces rponses qui serontutilises pour valuer exprimentalement les caractristiques mcaniques de loscillateur : sa masse, sa raideur,son amortissement.

III-1 Gnralits

Le modle mcanique lmentaire que nous allons tudier estconstitu :

dune masse m

dun ressort k(suppos linaire)dun amortisseur b (suppos visqueux)

Gx

o

b

k

m( )tF

G

Soumis une excitation extrieure ( )f t , la masse se dplace par rapport sa position dquilibre statique dans

la direction oxG

Dans le cadre de ce cours nous ne considrerons que des excitations dterministes1.

Du point de vue pratique ces signaux seront classs en deux grandes catgories, les signaux priodiques etles signaux transitoires.

A tout signal on peut associer deux reprsentations :Une reprsentation en temps : ( )f t

Une reprsentation en frquence : ( )f

Cest la reprsentation en frquence qui doit tre caractrise exprimentalement, cette analyse faitpartie du cours sur le traitement du signal.

Signaux priodiques

Un signal en temps est priodique sil conserve la mme forme (il est invariant) pour une valeur T de tempsdonn.

[ ]0, ( ) ( )t T n f t nT f t + = Tpriodedu signal [en s]

Les signaux harmoniques sont les plus simples, ils sont entirement dfinis par une amplitude, une priode,

et une phase.

Exemple, le signal sinusodal : ( ) sin( )f t A t = + 2

T

= est la pulsation du signal (en rad/s)

La phase est dfinie par rapport une origine de

temps

1 Un signal dterministe est un signal dont lvolution au cours du temps est prvisible. Il sera dcrit par unefonction mathmatique, alors quun signal alatoire sera dcrit en terme de probabilit.


30/75


30

Les signaux priodiques peuvent tre reprsents par undveloppement en srie de Fourier.

Exemple, le signal reprsent ci-contre est dfini par :

2 2 2( ) sin sin 2 sin 3f t t t t

T T T

= + +

Un signal priodique quelconque de priode T est reprsent en frquence par deux spectres discrets dfinis

pour les pulsations n on =

1

( ) cos( ) sin( )2

on o n o

n

af t a n t b n t

=

= + +

avec2

o T

= et

2

2

2

2

2( ) cos( )

2 ( ) sin( )

T

T

T

T

n o

n o

a f t n t dt T

b f t n t dt T

=

=

En pratique la srie sera tronque ses premiers termes.

Exemple, soit la fonction ( )3

xf x = , dfinie sur [ -T/2 , T/2 ] (cf. figure 1 ci-dessous)

Les figures 2 12, permettent de voir la convergence de la srie de Fourier vers la fonctionpriodique que nous avons reprsent sur lintervalle [ 0, 3T ].


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31

Ces figures ont t obtenues avec le programme Matlab fourier.m 1, Dans ce programme vous pouvezmodifier la fonction et le nombre de termes, pour obtenir les coefficients de la srie de Fourier.

Pour des fonctions priodiques deux grandeurs sont souvent utilises :

La valeur moyenne :2

2

1( )

2

T

T

om

aA f t dt

T = =

La valeur efficace :2

2

21 ( )T

TeffA f t dtT

= relative lnergie du signal

Dans le cas particulier des signaux harmoniques, nous obtenons :2

m

AA

= et

2eff

AA =

Signaux transitoires

La notion de priode na plus de sens. Pour lever cette difficult onconsidrera les intgrales du signal sur un intervalle de temps T infini.

Un signal transitoire est caractris par la transformation de Fourier, lesignal est reprsent en frquence par un spectre continu complexe

( )X dfini par :

( ) ( ) i tX x t e dt

= 1

( ) ( )2

i tx t X e dt

=

III-2 Forme canonique de lquation

La mise en quation du modle mcanique lmentaire reprsent ci-contre, conduit une quation diffrentielle du second ordre coefficients constants :

( )mx bx kx F t + + =

III-2.1 Dfinitions

Gxo

b

k

m( )tF

Gx

Posons :

2

o

k

m = o est la pulsation propre du systme conservatif(sans amortissement)

2 ob

m

= est le facteur damortissement (nombre sans dimension)

Lquation du mouvement se met sous sa forme canonique : 22 /o ox x x F m + + = = [1]2

2o o

o

fT

= = en (rad/s) of : frquence propre et oT : priode propre

La rponse dynamique dun systme dcrit par lquation [1] est la somme de la solution gnrale deproblme homogne ( 0F = ) et dune solution particulire.

Si, la force extrieure et les conditions initiales, sont donnes. La rponse dynamique du systme peut tredtermine analytiquement.

1 Toutes les applications MATLAB dveloppes dans le cadre de ce cours sont disponibles sur le serveurpdagogique.


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32

Du point de vue exprimental deux mthodes ont longtemps t utilises pour identifier les paramtresdynamiques ( , ,m b k) du modle :

Le rgime libre : cest la rponse du systme des conditions initiales non nulles, en absence deforce extrieure. Il correspond la solution gnrale du problme homogne.

Le rgime permanent harmonique : il correspond une solution particulire du systme soumis

une force extrieure harmonique. Du point de vue exprimental, la rponse mesure est identifieavec la rponse force en rgime permanent. Cela suppose que le temps dattente avant deffectuer lesmesures est suffisant pour que la rponse transitoire qui est amortie devienne ngligeable.

Attention de ne pas confondre rponse force et rgime permanant.

La rponse force est la rponse dynamique du systme soumis une force extrieure. Cette rponsecontient deux termes :

Rgime transitoire cest le rgime libre dun systme ayant un amortissement non nul.

Rgime Forc qui correspond une solution particulire du problme. Pour un systme ayant unamortissement non nul, cest la rponse au bout dun temps infini. Cest ce terme qui pour desexcitations priodiques est dit rgime permanent.

III-2.2 Analogie lectrique

A loscillateur lmentaire mcanique prcdent on peut fairecorrespondre un circuit lectrique simple qui conduit la mmequation, cest le circuit RLC .

i1i

2i

3i

R LU C

La tension au borne de chaque lment est donne par : 21 3

1 diU i dt L Ri

C dt= = =

2

21 2

23

d ii LC

dt

diLi

R dt

=

=

Or la somme des courants est : 1 2 3i i i i= + + 2

2 222

d i diLLC i i

dt R dt + + =

Soit la mme quation canonique avec :

2 1

12

o

o

LC

RC

= =

eti

LC =

III-3 Rgime libreNous allons tudier la rponse du systme des conditions initiales non nulles, en absence de force extrieure.

Soit rsoudre : 22 0o ox x x + + = avec les conditions initiales :

( 0)

( 0)

to

to

x x

x x

=

=

=

=

III-2.1 Aspect analytique

Les solutions de lquation homogne : 22 0o ox x x + + = sont cherches sous la forme

rtx Ae=

rest solution de lquation caractristique : 2 22 0o o

r r + + =

Le discriminent rduit de cette quation est 2 2( 1)o =


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33

Trois cas se prsentent :

sinusodal

1

1

1

>

= mouvement apriodique :

Les racines de lquation sont : 21,2 1o or =

On pose 2 1o

=

)(otx e A ch t B sh t= +

Les constantes sont dtermines par les conditions initiales :o

o o

x A

x A B

=

= +

Do )( o o ooot x xx e x ch t sh t

+= +

b- 1 = mouvement apriodique critique

Lquation admet une racine double1,2 or =

)(otx e A B t= +

Les conditions initiales ( )( )o o o oot

x e x x x t

= + +

Figure ralise avec les mmes donnes initiales

c- 1 < mouvement sinusodal amorti

On pose 21o

= pseudo pulsation propre

Les racines de lquation sont :1,2 or i=

cos sin )(otx e A t B t= +

Les conditions initiales o

o o

x A

x A B

=

= +

Do cos sin )( o o oo

ot x xx e x t t += +

Toutes les courbes de rponse tendent vers zro, cest pourquoi ce rgime sera dit rgime transitoire.

Cas du systme conservatif

Ce cas particulier est obtenu en ngligeant lamortissement 0 = cette hypothse est purement thoriquepour les problmes de mcanique.

Lquation : 2 0ox x+ = cos sino ox A t B t = + La rponse nest pas amortie, on ne pourra plus parler de rgime transitoire.

Avec les conditions initiales : cos sinoo o oo

xx x t t = +


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34

III-2.2 Aspect exprimental

La mthode du lch consiste carter le systme de sa position dquilibre et le lcher sans vitesse initiale.La rponse dynamique correspond alors au rgime libre. Les deux grandeurs suivantes, temps damortissementet dcrment logarithmique, sont caractristiques du systme tudi.

Le temps damortissement

Cest le temps1

T ncessaire pour que lamplitude de la rponse diminue de moiti, soit :

( )1

2

t T to oAAe e + = 1

1(2)

o

T Ln

=

Aprs une dure de1

10T la diminution damplitude est de 1024

Le dcrment logarithmique

Il est dfini par( )

( )

1 t

t nT

xLn

n x

+

=

avec T pseudo priode du mouvement

Compte tenu de lexpression de la rponse ( )1

o

n To

Ln e Tn

= =

Do2

21

=

et 2

Principe des mesures

Considrons que nous pouvons mesurer lamplitude des pics de dplacement successifs. Nous endduisons une mesure de la pseudo priode des oscillations T et du dcrment logarithmique . Ces

mesures nous permettent de dterminer le facteur damortissement et une relation entre ket m .

( )

2 ( )

1

21

t

t nT

xLn

n x

+

=

et2

2

2 2

4

(1 )o

k

m T

= =

Si 1 ce qui est raliste pour la plus part des structures

( )

( )

1

2

t

t nT

xLn

n x

+

et2

2

4k

m T

Il faut donc avant de procder la mthode du lch, mesurer la masse ou la raideur de la structure

ApplicationExercice III-1: Dtermination exprimentale des caractristiquesdynamiques dun acclromtreNous nous proposons de dterminer exprimentalement les caractristiquesmcaniques ( , , )m b k de lacclromtre schmatis par la figure ci contre.

Suspendons une masse de 200 grammes la masselotte de lacclromtre. Lesystme tant lquilibre, la surcharge est dcroche.

Gg

Nous observons un mouvement sinusodal amorti, les mesures effectues donnent :

La pseudo priode : 320 2 10T s= Lamplitude initiale et celle du premier maximum de mme signe :

1, 25 0, 01oA mm= et 1 0, 05 0, 01A mm=

Sachant que la masse de 200 grammes est connue 0,1 gramme prs. Calculer, en donnant la prcision de

chaque rsultat, les caractristiques suivantes : La pulsation propre o


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35

Le coefficient damortissement La masse m et la raideur k

Seule la valeur de la raideur est estime suffisamment prcise. Nous la conservons pour la suite. Une forceharmonique cosF t est maintenant applique sur la masse de lacclromtre. Nous effectuons un balayageen frquence, pour chaque mesure nous attendons dtre en rgime permanent.

La rsonance de phase a lieu pour 55, 6 0, 05f Hz= .Lamplitude correspondante est de 1, 73 0, 01 mm .De plus pour tendant vers zro, lamplitude mesure est de 1,61 0,05 mm .

Dterminer partir de ces mesures les nouvelles valeurs de la masse et du coefficient damortissement,donner la prcision de chaque rsultat.

III-4 Rgime permanent

Rappelons que le rgime permanent correspond la rponse force du systme au bout dun temps infini,c'est--dire aprs la disparition des termes transitoires. Ce rgime correspond une solution particulire delquation du mouvement.

III-4.1 excitation harmonique

Pour une excitation harmonique, lquation du mouvement est de la forme : cosmx bx kx F t + + =

Nous cherchons une solution particulire harmonique de la forme : cos sinx A t B t = +

Par identification des termes en cosinus et sinus, nous obtenons :2

2

( )

( ) 0

A k m B b F

A b k m B

+ =

+ =

Do

2

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

k mA F

k m b

bB F

k m b

= +

= +

Cette solution peut se mettre sous la forme : cos( )x X t =

Avec

2 2

2 2 2

2

1

( ) ( )X A B F

k m b

B btgA k m

= + = +

= =

Si lon utilise la forme canonique de lquation, les relations prcdentes scrivent :

2 2 2 2

2 2

( ) (2 )

2

o o

o

o

FX

m

tg

= +

=

Nous pouvons utiliser la constructionde Fresnel qui est une reprsentationgraphique base sur des vecteurstournants en t

( )x t

X

A

B

t


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36

Notonso

r

= la pulsation rduite

2 2 2

2

(1 ) (2 )

2

1

FX

k r r

rtg

r

= + =

Rponse en frquence - Diagramme de Bode

Ladmittance DH est dfinie par le rapportX

F[en m/N] cest linverse dune rigidit

Le diagramme de Bode consiste reprsenter lamplitude de ladmittance et la phase en fonction de la

pulsation rduite r

Analysons ces courbes damplitude

La driv de la fonction2 2 2

1

(1 ) (2 )r r +sannule pour 2 2( 1 2 ) 0r r + =

Pour 0r = 1

DHk

=

Toutes les courbes sont issues de ce point (rponse statique) avec une tangente horizontale.

Pour 21 2r = 2

1

2 1DH

k =

Si 1 2 0.707 < les courbes passent par un maximum. En pratique 1 et la courbedadmittance prend donc la forme dun pic de rsonance.

Pour r la rponse tend vers zro, cela signifie que pour une excitation trs rapide, de frquence leve,le systme reste immobile. Notons cependant que cette partie de la courbe doit tre interprte avecprudence car le modle un degr de libert ne rend pas compte des phnomnes physiques pouvant treobservs des frquences leves.

Compte tenu de lallure des courbes damplitude de la figure prcdente, on comprend aisment quauvoisinage des rsonances il sera ncessaire dutiliser une chelle logarithmique pour tracer (mesurer)lamplitude de la rponse si la structure nest pas fortement amortie.

Reprsentation de

2 2 2

1

(1 ) (2 )DH k r r= +

Pour diffrentes valeurs du coefficientdamortissement

Ces figures et les suivantes ont tobtenues avec le programme MATLAB bode.m


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37

De plus du fait de ltendue de la bande de frquence tudier pour les systmes plusieurs degrs de libert,il est pratique dutiliser une chelle bi logarithmique, gradue en :

20 ( / )oLog A A dB : dcibel pour lamplitude

( )Log r pour la frquence

Le comportement asymptotique de cescourbes dans cette reprsentation possdedes proprits intressantes du point de vuepratique

r 1/DH k

Droite horizontale gradue enraideur

r 21/DH m Droite -40dB/dcade gradue enmasse

Ces deux droites asymptotiques se coupent

pour 1r= soit o =

Analysons maintenant les courbes de phase. 12

2tan

1

r

r

=

Pour 0r = la rponse est en phase avec lexcitation 0 = Pour 1r= la rponse est en quadrature avec lexcitation / 2 = Pour r la rponse est en opposition de phase avec lexcitation =

Nous notons ds prsent que la notion de frquence de rsonance dun systme mcanique rel ( 0 ) estambigu, nous devrons donc prciser :

Rsonance de phase pour 1r= o =

Rsonance damplitude pour 21 2r = 21 2D o

=

Reprsentation de2

2

1

rtg

r

=

Pour diffrentes valeurs ducoefficient damortissement

Comportement asymptotiquedes courbes


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38

ApplicationExercice III-2: Rgime forc avec et sans amortissement

Une tige (T) de masse m de longueur 2a est soumise un dplacement

impos cosA ox E t x=G G

.

La liaison en A est un pivot parfait. On tiendra compte du champ depesanteur g

G

A

Gg

Gxo

T

Mise en quations :On se place dans le cadre des petits mouvements par rapport la position dquilibre.En dduire la pulsation propre en fonction de g et a

Dterminez une solution particulire de lquation

Tracer lallure de la courbe de rponse en fonction de la pulsation rduite. ( / )oA f =

Tracer la mme courbe sur un diagramme bi-logarithmique ( )log( )dBA f r= .Calculez leffort ncessaire pour imposer le mouvement.

Lensemble est maintenant plac dans un milieu visqueuxLa force applique sur la tige est proportionnelle en module et de sens oppos la vitesse, soit par unit de

longueur ( ) ( )P PdF V d = G G

A .

Comment est modifie lquation du mouvement

Dterminez une solution particulire force (rgime permanent).

Tracer lallure gnrale de la courbe ( )f

Diagramme de NyquistLe Diagramme de Nyquist est base sur la reprsentation dans le plan complexe de la rponse du systme.La notation complexe historiquement utilise pour reprsenter les signaux lectriques, est plus efficace que la

reprsentation de Fresnel, et est couramment utilise pour effectuer les calculs.Rappels : relations dEuler

cos sini te t i t = + ( )

( )

cos Re

sin Im

i t

i t

t e

t e

=

=

Notons x le nombre complexe : i tx x e = 2

x i x

x x

=

=

La forme complexe de lquation du mouvement est 2 i tm x i bx k x f Fe + + = = dont on cherche lasolution correspondant la partie relle.

Soit :2

fx

k m i b =

+

( )i tx Xe

= avec2 2 2

2

1

( ) ( )X F

k m b

btg

k m

= + =

Do ladmittance complexe2

1/

1 2D

kH

r i r=

+

( )( )

( )( )

2

2 2 2

2 2 2

1Re

(1 ) (2 )

2Im

(1 ) (2 )

D

D

rH

k r r

rH

k r r

= +

=

+


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39

Le diagramme de Nyquist consiste reprsenter dans le plan complexe la partie relle en fonction de la partieimaginaire. Cette courbe est paramtre en fonction de la frquence (pulsation rduite)

Nous donnons ci-dessous deux diagrammes de Nyquist obtenus pour un balayage en : 0 3r

0.01 = un pas en frquence 0.01r = 0.5 = un pas en frquence 0.02r = Ces deux simulations ralises avec un script Matlab Nyquist.m montrent :

Que pour un amortissement faible le diagramme de Nyquist de ladmittance tend vers un cercle, cetteproprit est utilise exprimentalement pour dterminer les paramtres mcaniques partir dunlissage du cercle.

Que les incrments de frquence choisir dpendent directement de lamortissement. Pluslamortissement est faible plus lincrment devra tre petit, en contre partie la bande de frquence analyser au voisinage du pic de rsonance sera plus troite.

Aspects exprimentaux

La dmarche exprimentale suppose que :La structure tudie est assimilable un systme un degr de libert.Lon sache exciter la structure par un signal harmonique dont on peut faire varier la frquence avecune rsolution approprie dans la bande des frquences tudier.Lon sache mesurer la frquence, lamplitude et la phase entre lexcitation et la rponse de lastructure.

La figure ci-dessous reprsente le schma de principe dun dispositif exprimental danalyse en frquence dunefonction de transfert. Ce dispositif permet didentifier par la suite les paramtres dynamiques du modle de lastructure.

x

Capteur force

acclromtres

Ampli

Ampli

Structure

Oscilloscopey

Analyseur

InterfaceNumrique

Excitation

Pot d'excitation

Ampli depuissance

Gnrateur defonction

Interfacegraphique

Mesures

Traitement

des donnes


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40

Plusieurs grandeurs peuvent tre utilises pour identifier une fonction de transfert selon que lon mesure ledplacement la vitesse ou lacclration.

Ladmittance : DH rapport dplacement / force

La mobilit : VH rapport vitesse / force

Linertance : AH rapport acclration / force

Nous avons bien entendu les relations suivantes :2

V D

A D

H i H

H H

==

Actuellement les capteurs les plus utiliss sont des acclromtres, et linterface graphique ou numrique dudispositif dacquisition permet de tracer la grandeur que lon souhaite tudier. Notez cependant que si voustudiez un systme ayant un fort coefficient damortissement ( 1% > ) :

La rsonance de vitesse aura lieu pour 1r= V o =

La rsonance dacclration aura lieu pour2

1

1 2r

=

2

1

1 2A o

=

Nous avons donc dans lordre : D V o A < = = < Les fonctions de transferts inverses ont aussi leurs petits noms :

La raideur dynamique : inverse de ladmittance, rapport force / dplacementLimpdance mcanique : inverse de la mobilit, rapport force / vitesseLa masse apparente : inverse de linertance rapport, force / acclration

Observations et mesures

Loscilloscope permet de visualiser rapidement le passage dune rsonance, en observant la courbe de Lissajousle passage de la phase de 0 sera nettement visible sur linclinaison de lellipse.

Les courbes de Lissajous tant dfinies parcos( )

cos

x A t

y F t

=

=

Nous observons :

Avant la rsonance / 2 < A la rsonance de phase / 2 = Aprs la rsonance / 2 >

Connaissant o nous avons une premire relation entre k et m .

Nous pouvons obtenir une seconde relation sil est possible de rajouter une surcharge m connue dans lemodle, cest dire dans lquation du mouvement.

Nous mesurons : 2ok

m = et 2'o

k

m m =

+

2

21

'

o

o

m

m

= +

2 2

2

'

'

o o

o

m

m

=

Connaissant 2 2, ' ,o o m , il est possible de calculer m puis k

Utilisation du diagramme de Bode

Les mesures de lamplitude et de la phase peuvent se faire loscilloscope, mais le dispositif dacquisition et detraitement des donnes sera de fait plus rapide et plus prcis. Dans ce qui suit nous considrons que nous


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41

avons obtenu exprimentalement les mesures de lamplitude et de la phase. Le balayage en frquence estralis en attendant, pour chaque frquence mesure, dtre en rgime permanent.

A partir du relev de lamplitude des dplacements (courbe dadmittance) deux mthodes soffrent nous pourdtermin

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