Vetores e Geometria Analítica

A

2 SEMESTRE - ENGENHARIA

VETORES E GEOMETRIA

ANALTICA

Prof. Alexandre de Castro

Prof. Dr. Antonio Faria neto

2 SEMESTRE ENGENHARIA

Universidade de Taubat UNITAU Vetores e Geometria Analtica

Prof. Alexandre de Castro / Prof. Dr. Antonio Faria Neto

2

Sumrio

I. Introduo aos vetores ...................................................................................................................... 2

- O que um vetor?

- Tipos de vetores

II. Operaes entre vetores ................................................................................................................... 4

- Adio

- Diferena

- Multiplicao por uma escalar

III. Vetores no R2 ..................................................................................................................................... 7

- Representao

- Decomposio vetorial no plano

- Combinao Linear

- Base Cannica do R2

- Expresso Analtica de um vetor

- Igualdade entre vetores

- Operaes entre vetores no R2

IV. Vetores no R3 .................................................................................................................................. 11 - Representao

- Igualdade entre vetores

- Operaes entre vetores no R3

V. Produto Escalar ................................................................................................................................ 13

- Definio

- Propriedades do Produto Escalar

- Mdulo de um vetor

- Definio geomtrica de Produto Escalar

- Clculo do ngulo entre dois vetores

VI. Produto Vetorial .............................................................................................................................. 23

- Definio

- Caractersticas do produto vetorial

- Interpretao geomtrica do mdulo do Produto Vetorial

VII. Produto Misto .................................................................................................................................. 28

- Definio

- Propriedades do produto misto

- Interpretao geomtrica do Produto Misto



3

I. Vetores

O que um vetor?

Vetor um conjunto de segmentos orientados (seta) equipolentes que pode ser interpretado com

sendo o menor caminho a ser percorrido de um ponto de partida a um ponto de chegada.

Obs.: Dois vetores e so chamados de equipolentes se, e

somente se, possurem mesma direo, mesmo sentido e mesmo

mdulo.

Representao: AB ~ CD

Tipos de vetores

Vetores Iguais

Dois vetores e so iguais, e indica-se por = se, e somente se, tiverem mesmo mdulo, direo e sentido.

Vetores Paralelos

Dois vetores e so paralelos, e indica-se por // , se os seus representantes tiveram a mesma direo.

Na figura ao lado, tem-se , onde e tm mesmo sentido,

enquanto tem sentido invertido.

Vetores Nulos

Um vetor, indicado por ou , cuja extremidade se coincide com a origem, denominado por vetor zero

ou vetor nulo.

Geometricamente esses vetores so representados por um ponto. Pelo fato

deste vetor no possuir direo e sentido definido, considera-se o vetor zero

paralelo a qualquer vetor.



4

Vetores Opostos

Dois vetores e so denominados opostos, pois possuem mesmo mdulo, mesma direo e sentidos

invertidos.

Na figura ao lado,

Obs.: Todo vetor oposto ao .

Vetores Unitrios

So vetores que possuem mdulo igual a uma unidade.

| |

Versor de um vetor

Versor de um vetor no nulo o vetor unitrio de mesma direo e mesmo sentido de

Obs.: no um vetor

unitrio de pois o sentido est oposto ao de

Vetores Colineares

Dois vetores so colineares se tiverem a mesma direo.

Vetores Coplanares

So vetores que pertencem a um mesmo plano



5

Mtodo do paralelogramo Mtodo do polgono

Mtodo do paralelogramo

II. Operaes com vetores

Adio de Vetores

O vetor soma o vetor que tem origem na origem do vetor e extremidade na extremidade do

vetor

Obs.:

Para o Mtodo do polgono: | | | | | | | | ;

Para o mtodo do paralelogramo: | | | | | | | | .

Diferena de Vetores

O vetor diferena o vetor que tem origem na extremidade do vetor e extremidade na

extremidade do vetor

Obs.:

| | | | | | | | ;

Multiplicao por uma escalar

Dado um vetor e um nmero real . Chama-se produto do nmero real k pelo vetor o vetor

, com mesma direo e mesmo sentido de , se e, mesma direo e sentido oposto de , se



6

Exerccios resolvidos

1) Considerar os vetores a

e b

para desenhar os seguintes vetores:

a) ba

b) ba

c) b

2

1

d) ba

2

Soluo:

a) b)

c)

d)

2) Dados os vetores e de acordo com a figura, construir o vetor

Soluo:



7

Exerccios de aplicao

1. Dados os vetores e a seguir, determine graficamente os vetores:

a)

b)

c)

d)

e)

2. Dados os vetores como na figura, apresentar um representante de cada um dos vetores:

a)

b)

c)

3. Calcule o mdulo do vetor soma (resultante) e o vetor diferena dos vetores e em cada caso.

4. Calcule o ngulo formando por dois vetores cujos mdulos so: | | | | e cujo vetor

resultante tem mdulo unidades?

5. Considere a figura ao abaixo.

Sabendo que = 4 m, = 6 m e cos 30 = 0,8, calcule o mdulo da combinao linear

(3 - 2 )



8

B y

A

P

O x

u

III. VETORES NO

{ }

O smbolo a interpretao geomtrica do plano cartesiano bidimensional.

Exemplo:

Obs.: Qualquer vetor com coordenadas A B , nesse plano pode ser representado por

outro com mesma direo, sentido e mdulo, de , com origem em O(0, 0) e extremidade em P(x, y).

Decomposio vetorial no plano

Representaes:

o vetor arbitrrio do plano;

{ } o conjunto de vetorial, no colineares, bases do vetor arbitrrio;

so constantes (componentes ou coordenadas de em relao as bases { }

respectivamente);

a projeo de sobre segundo a direo de

.

uma combinao linear de em funo de

Obs.: Caso os vetores , bases do plano, sejam unitrias e ortogonais dizemos que so ortonormais.



9

Exemplo:

Considere as bases { } ortonormais. Represente geometricamente o vetor como uma combinao

linear de { } de acordo com a relao:

Combinao Linear

Seja um espao vetorial sobre o corpo . Define-se como combinao linear para o vetor.

,

Onde { } { }

Exerccio resolvido:

Expresse = (3, 7) de como uma combinao linear dos vetores: 1 = (1; 2) e 2 = (2; 3)

Soluo:

1 passo (Montar a combinao linear de em funo de , substituir as coordenadas correspondentes e organizar os termos em um sistema de equaes).

{

2 passo (Resolver o sistema de equaes e determinar os valores de a e b)

{

{

3 passo (Substituir os valores de a e b em )



10

Bases cannicas do

Dentre os conjuntos de vetores bases ortonormais do plano xOy, temos um em particular, representado

por segmentos orientados com origem em O(0, 0) e extremidade nos pontos de coordenadas (1,0) e (0,1),

chamado de base cannica do .

Obs.: O smbolo utilizado para representar os vetores da base

cannica do , so: ( ) ( ) versores dos eixos da

abscissas x e ordenada y, respectivamente.

Expresso Analtica de um Vetor

Como { } a base cannica ortogonal do plano xOy, ento:

pode ser representado por =


1. Determinar o vetor e o vetor equivalente a , com incio na origem O(0, 0).

a) )3,2(A e )1,2(B b) )2,2(A e )0,3(B

Soluo



11

Igualdade entre vetores

Dois vetores so iguais se, e somente se, e escreve-se

Exerccio resolvido

Se o vetor igual ao vetor , determine, em o valor de x e y.

Soluo:

1 passo (Montar a igualdade) 2 passo (Substituir as coordenadas de )

3 passo (determinar x e y)

Operaes entre vetores no

I. Adio entre vetores

Para somar vetores, somam-se suas componentes correspondentes.

Dado e , define-se:

( ) ( )

II. Multiplicao entre um nmero real e um vetor

Para multiplicar um vetor por um nmero real, multiplica-se cada componente do vetor por este nmero.

Dado e , define-se:

( )



12

Exerccio resolvido

1. Dado o vetor ( ) o vetor e , determine, em o valor de:

a)

b)

Soluo:

a) ( )

( )

( )

( )

IV. VETORES NO

{ }

O smbolo a interpretao geomtrica do plano cartesiano tridimensional.

Obs.: Qualquer vetor com coordenadas A B nesse plano pode ser representado

por outro com mesma direo, sentido e mdulo, de , com origem O(0, 0, 0) e extremidade P(x, y, z).

Decomposio vetorial no espao

Por analogia ao que fizemos no plano, dentre as infinitas bases ortonormais existentes, escolheremos para

nosso estudo a base cannica representada por { } No plano, o vetor igual ao vetor e

corresponde diagonal do paraleleppedo, cujos lados so determinados pelos vetores E, para

simplificar, escrevemos:



13

Exerccio de sala

Localize os vetores, a seguir, no plano :

a) ( ) b) ( ) c) ( )

d) e) f)

Igualdade entre vetores

Dois vetores so iguais se, e somente se, e

Exerccio resolvido

Se o vetor igual ao vetor , determine, em o valor de a e b.

Soluo

1 passo (Montar a igualdade) 2 passo (Substituir as coordenadas de )

3 passo (determinar a e b)

Operaes entre vetores no

Adio entre vetores

Para somar vetores no , somam-se suas componentes correspondentes.

Dado e define-se:

Multiplicao entre um nmero real e um vetor

Para multiplicar um vetor por um nmero real, multiplica-se cada componente do vetor por este nmero.

Dado e , define-se:



14

Exerccio resolvido

Dado o vetor ( ) o vetor ( ) e , determine, em o valor de:

a)

b)

Soluo:

a) ( )

( )

( )

( )


1. Determinar o vetor na igualdade

, sendo dados ( )

2. Encontre os nmeros tais que sendo ( )

( )

3. Dados os pontos A(- 1, 2), B(3, -1) e C(- 2, 4), determine D(x, y) de modo que

.

4. Localize, no , os seguintes vetores:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

i)

5. Encontrar os nmeros e tais que , sendo ,

.

6. Determine o vetor sabendo que

7. Dados os pontos A(2, -3, 1) e B(4, 5, -2), determine o ponto P tal que



15

V. Produto Interno (Escalar)

O produto escalar entre dois vetores e dado por um nmero

real, tal que:

( ) ( ) ou ( ( )

Obs.:


1. Determine o produto escalar entre os vetores:

a) ( )

b) e

Soluo

a) ( )

2. Dados os vetores ( ) e os pontos A(4, -1) e B(3, 2) determine o valor para

( )

Soluo

( ) { [ ]} { }



16

Propriedades do Produto Escalar

Dados quaisquer e tem-se:

(comutativa)

(distributiva)

( ) ( )

| |

Importante:

| | | | | |

| | | | | |

Mdulo de um Vetor

Mdulo de um vetor igual distncia entre a origem A e a extremidade B desse vetor.

Se o vetor tm coordenadas ( ) ento:

| |

| |

| |

Se o vetor tm coordenadas diferente de ( )

ento:

| | | | | |

| |

Obs.: O versor de um vetor dado por

| |



17

Exerccio resolvido

Determine o mdulo do vetor ( ).

Soluo

| |

| |

| |

Exerccios de Aplicao

1. Determine o mdulo dos vetores, abaixo, e as componentes dos versores de cada um desses vetores.

a) ( ) b) ( )

sendo A(1, -3) e B(2, 3) d) sendo A(0, 5) e B(2, 1)

2. Sabendo que a distncia entre os pontos A(1, 2) e B(4, m) igual a 5 , calcule m.

3. Determine o valor de para que o vetor (

) .

Mdulo de um vetor soma ou diferena

Dado e , define-se:

| | | | | | | || |

Exerccio resolvido

Dado o vetor ( ) ( ) determine o mdulo de sabendo que o ngulo

formado entre eles de .

Soluo

1 passo (Calcular | | | |)

| |

| |

| |

| |

| | | |

2 passo (Calcular | |

| | | | | | | || |

| |

| |



18

Definio Geomtrica de Produto Escalar

O produto de dois vetores no-nulos igual ao produto de seus mdulos pelo cosseno do ngulo por eles

formado, ou seja, se e so vetores no-nulos e o ngulos entre eles, ento

| | | | ,

Exerccio resolvido

1. Sendo | | | | o ngulo entre eles, calcular:

a) b) | | c) | |

Soluo

a) | | | |

(

)

b) | | | | | |

| |

| |

c) | | | | | |

| |

| |

Observaes

Se e (figura a)

Se e (figura b)

Se e (figura c)

Exerccio resolvido

Mostre que ( ) ortogonal ao vetor

.

(

)



19

Clculo do ngulo de dois vetores

Da igualdade

| | | | , , vem

Frmula a partir da qual se calcula o ngulo entre os vetores no-nulos.

Exerccio resolvido

Calcular o ngulo entre os vetores

Soluo

| | | |

(

)


1. Se e , determine o ngulo , oposto ao vetor u v.

2. Mostrar que os seguintes pares de vetores so ortogonais:

a) b)

3. Provar que o tringulo de vrtice um tringulo retngulo.

4. Determinar um vetor ortogonal aos vetores e

| | | |

u

v

u - v



20

5. Determinar os ngulos internos ao tringulo ABC, sendo

6. Sabendo que o vetor forma ngulo de 60 com o vetor determinar pelos pontos

e calcular m.

7. Calcular o trabalho realizado pelas foras constantes, e pela fora resultante, para deslocar

o bloco A at B, sabendo que | | .

| | | | | | | |

Lembrete:

ou | | | | (J)

Para

W: trabalho (jaule),

: fora (Newton)

distncia (metros)

ngulo entre e

8. alcular o trabalho realizado pela fora para deslocar o corpo de A at B, sabendo que

| | | | | |

0 30 45 60 90 120 135 150 180

Sen 0

1

0

Cos 1

0

-1

Tg 0

1 - 1

0



21

Atividade (Nota)

1. Determinar a

, ba

, ba

, a

2 e ba

43 , considerando:

a) )3,4(a

e )2,6(b

b) jia

32 e jib

5

Resp:

a) 5a

, )5,2( ba

, )1,10( ba

, )6,8(2 a

, )17,12(43 ba

b) 13a , jiba

23 , jiba

8 , jia

642 , jiba

111043

2. Escrever o vetor jiu

210 como combinao linear dos vetores jiv

52 e jiw

4 . Resp.: wvu

3 .

3. Determinar o vetor w

na igualdade wvuw

2

123 , sendo dados )1,3( u

e )4,2(v

.

Resp.:

2,

2

7w

4. Dados os vetores u = )1 ,3( e v = )2 ,1( , determinar o vetor w tal que )34(2)2(3 uwuvw .

Resp.:

5

11,

5

23w

5. Considere os vetores jis

2 , jit

52 e os pontos )3,0( A e )2,7(B . Pede-se:

a) ts

3 AB b) ts c) versor do vetor AB

d) vetor com tamanho 4, paralelo ao vetor s

, mas de sentido oposto s

Resp.:

a) ji

814 b) 7,62 u.c. c) jiAB

581,0814,0

6. Dados os vetores jiu

3 e jiv

2 , determinar o vetor x

tal que xuxvu

23

1)(4 .

Resp.:

2

15,

2

15

7. Se )1,1( u

e )6,8( w

, calcular uw

3 .

Resp.: 34 u.c.



22

8. Dados os pontos )2,3(A e )2,5( B , determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais

que ABAM2

1 e ABAN

3

2 . Resp.: )0,1(M ,

3

2,

3

7N

9. Calcular os valores de a para que o vetor jiau

2 tenha mdulo 4.

Resp: 32

10. Calcular os valores de a para que o vetor jiau

2

1 seja unitrio.

Resp: 2

3

11. Dado o vetor u = )3,1( , determinar o vetor paralelo u que tenha:

a) Sentido contrrio u e duas vezes o mdulo de u . Resp.: )6,2(

b) O mesmo sentido de u e mdulo 2. Resp.:

10

6,

10

2

c) Sentido contrrio ao de u e mdulo 4. Resp.:

10

12,

10

4

12. Para cada uma das figuras abaixo, determinar a resultante das foras utilizando os versores i

e j

,

calcular a intensidade desta resultante e sua direo.

Resp.:

a) jNiNFR

)81,13()71,123( , NFr 48,124

, 4,6 a partir de Ox, anti- horrio.

b) jNiNFR

)29,1419()82,290( , NFr 78,1448

, 42,78 a partir de Ox, a-h.

a) b)



23

13. Dados e ( ) e os pontos A(4, -1, 2) e B(3, 2, -1), determine o valor de y tal que

( ) .

14. Sabendo que a distncia entre os pontos A(-1, 2, 3) e B(1, -1, m) 7, calcule m.

15. Determine x para que o vetor (

) seja unitrio.

16 Calcule o ngulo entre os vetores ( ) e .

17. Sabendo que o vetor forma um ngulo de 60 com o vetor determinado pelos

pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m), calcular m.

18. Prove que o tringulo de vrtices A(2, 3, 1), B(2, 1, -1) e C(2, 2, -2) um tringulo retngulo.

19. Determinar um vetor que seja ortogonal aos vetores e .



24

VI. Produto Vetorial

Definio

Chama-se produto vetorial de dois vetores e , tomados nesta

ordem, e se representa por , ao vetor

|

|

Aplicando o Teorema de Laplace

|

| |

| |

|

O produto vetorial de tambm indicado por , e l-se .


Calcular para e

Soluo

|

|

|

| |

| |

|

Caractersticas do Vetor

Consideremos os vetores e .

I. Direo de

O vetor simultaneamente ortogonal a .

Ento,

e



25

Exerccio resolvido

Dados os vetores e , mostre que:

a)

b)

Soluo

1 passo:

|

|

|

| |

| |

|

a)

) ( ) c.q.m

b)

) ( ) c.q.m

II. Sentido de

O sentido de poder ser determinado utilizando-se a regra da mo direita. Sendo o ngulo entre

, suponhamos que sofra uma rotao de ngulo . Se os dedos da mo direita

forem dobrados na mesma direo da rotao, ento o polegar estendido indicar o sentido de .

Obs.: Para o sentido entre o produto vetorial entre , e , temos:



26

Assim, se considerarmos e como um ciclo, aonde vem aps e,

consequentemente, precede , ento o produto vetorial entre dois deles no sentido anti-horrio o terceiro, mas o produto de dois deles no sentido oposto (horrio) o oposto (negativo) do terceiro.

III. Comprimento de

Se o ngulo entre os vetores e no-nulos, ento

| | | | | | com

Interpretao Geomtrica do Mdulo do Produto Vetorial

Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores no-nulos e , a medida da base | | e da

altura | | , a rea A desta paralelogramo

| | | |

| |

Portanto, a rea do paralelogramo determinado pelos vetores e numericamente igual ao

comprimento do vetor .

Exerccio resolvido

Determinar o vetor , tal que seja ortogonal ao eixo das ordenadas (y) e , sendo

e .

Soluo

Como , ele da forma Ento equivale a

|

|

Ou

{



27


1. Sejam os vetores e . Determine um vetor que seja

a) ortogonal a Resp:

b) ortogonal a e unitrio; Resp: (

) e (

)

c) ortogonal a e tenha mdulo 4; Resp: (

) (

)

2. Seja um tringulo equiltero ABC de lado 10. Calcular | |.

Resp: 50

3. Dados os vetores calcular

a) a rea do paralelogramo determinado por e ; Resp: u.a.

b) a altura do paralelogramo relativa base definida pelo vetor . Resp:

4. Determinar a distncia do ponto reta r que passa por e

Resp:

u.c.

5. Dados os vetores e , calcular o valor de q

paralelogramo determinado por e seja igual a .

Resp:

6. Dados os pontos , determinar

a) a rea do tringulo ABC; Resp:

b) a altura do tringulo relativa ao vrtice C. Resp:



28

7. Calcular o torque sobre a barra , onde , e o eixo

de rotao o eixo z.

Lembrete:

ou | | | | | |

Para

: torque (mN)

distncia (m)

foro (N)

: ngulo entre e

Resp: | |

8. Calcular a rea do tringulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo dados

a) Resp: e

b) Resp:

9. Dados os vetores determinar

a) um vetor unitrio simultaneamente ortogonal a e ; Resp: (

)

b) um vetor de mdulo 5 simultaneamente a e . Resp: (

)



29

VII. Produto Misto

Definio

Chama-se produto misto de trs vetores , e

tomados nesta ordem, ao nmero real .

Tendo em vista que,

|

|

Aplicando o Teorema de Laplace,

|

| |

| |

|

Vem,

|

| |

| |

|

|

|

O produto misto de tambm indicado por .

Exerccio resolvido

Calcular o produto misto dos vetores , e

Soluo

|

|



30

Propriedades do Produto Misto

I) O produto misto muda de sinal ao trocarmos a posio de dois vetores;

II)

III)

IV) se, e somente se, os trs vetores forem coplanares.

Exerccio resolvido

1. Qual deve ser o valor de m para que os vetores , e sejam

coplanares?

Soluo

Para que sejam coplanares deve-se ter

Isto ,

|

|

Ou

e, portanto,

2. Verificar se os pontos esto no mesmo plano.

Soluo

Os quatro pontos dados so coplanares se

forem coplanares os vetores , e, para tanto, deve-se ter

( ) como

( ) |

|

Os pontos dados so coplanares



31

Interpretao Geomtrica do Mdulo do Produto Misto

Geometricamente, o produto misto igual, em mdulo, ao volume do paraleleppedo de

arestas determinadas pelos vetores no-coplanares .

A rea da base do paraleleppedo | |.

Seja o ngulo entre os vetores e . Sendo um vetor

ortogonal base, a altura ser paralela a ele, e, portanto,

| || |

Ento,

| |

Exerccio resolvido

Sejam os vetores , e . Calcular o valor de m para que o volume

do paraleleppedo determinado por seja 16 u.v.

Soluo

| |

| | Sendo

|

|

Vem

| | Pela definio de mdulo,

Exerccio de aplicao

1. Seja vrtices de um tetraedro. Calcular:

a) o volume deste tetraedro;

|( )|

b) a altura do tetraedro relativa ao vrtice D.

Resp: a) V = 6 u.v. b) h =

u.c.



32

Atividade (Nota)

1. Seja o tringulo de vrtices A(1, 2, 4), B(4, 2, 0) e C(3, 2, 1). Determine a medida dos ngulos

internos.

2. Calcular para que o ngulo entre os vetores = (1, , 2) e seja de 30.

3. Determinar os ngulos do tringulo com vrtices nos pontos A(2,1, 3); B(1, 0, 1) e

C (1, 2, 1).

4. Determinar k para que os vetores = (2,3) e = (k, 4) sejam ortogonais.

5. Sejam A(2, 1, 3), B(m, 3, 5) e C(0, 4, 1) os vrtices de um tringulo (figura abaixo):

a) Para que valores de m o tringulo ABC retngulo em A?

b) Determinar as coordenadas do ponto H, p da altura relativa ao

vrtice A.

6. Qual o valor de para que os vetores = ( , 2,4) e = (2, 1 2 , 3)

sejam ortogonais?

7. Use a definio de produto escalar, | || | , e o fato de que

para calcular o ngulo entre os dois vetores dados por e . Resp: = 23 8. Marque com um X a alternativa correta.

8.1.) Os vetores e so e . O ngulo em radianos entre os vetores e aproximadamente: a) /2 b) 3/2 c) /4 d) 2/3 e) /3 Res:. letra e

8.2.) O vetor e . A equao que melhor relaciona os vetores e :

a) b) c) d) e) Resp: letra c

8.3.) Dados os vetores: = 80 m/s orientado para norte e = 60 m/s orientado para leste. Podemos afirmar que a direo do vetor diferena - o valor do produto escalar entre os vetores so respectivamente: a) = 126,87 e 0,2 b) = - 53,13 e 0 c) = -126,87 e 10 d) = 0 e 80,8 e) = 53,13 e 80,8 Resp: letra b

9. Se o vetor somado ao vetor , o resultado 8,0 - 1,0 . Se subtrado de , o resultado - 2,0 i + 3,0 j. Qual o mdulo do vetor ? Resp. | |= 3,16

10. Um objeto em movimento retilneo tem um deslocamento dado por = 2 m + 3 m - 5 m , enquanto

atua sobre ele uma fora constante = 7 N - 7 N - 2 N . Determine:



33

a) o trabalho realizado por esta fora? Resp: = 3 J

b) o ngulo entre os dois vetores e ? Resp: = 87,23

11.Sejam os pontos )8 ,3 ,1(A e )7 ,3 ,5(B , os vetores kjiu

32 e kjiv

56 . Pede-se:

a) AB )( vu

b) vu

c) uv

d) ngulo entre os vetores u

e v

Resp.: a) 12, b) kji

999 c) kji

999 d) 31,94

12. Sejam os vetores kjaiu

2 , kjiv

23 e kjiaw

42)12( . Determinar a de

modo que v

= )( vu

)( wv

.

Resp: 8

5a .

13. Se kjiu

345 e kiv

, calcular vu

. Resp: kji

424 .

14. Calcular os ngulos internos do tringulo de vrtices )6,1,0( P , )3,1,2( Q e )2,4,5( R . Resp: 43, 58 e 79.

15. Calcular o valor de m de modo que seja de 120 o ngulo entre os vetores kjiu

2 e

kmjiv

)1(2 . Resp: 0 ou -18.

16. Dados os vetores u = )1 ,3 ,2( e v = )4 ,1 ,1( , calcular [u + 3v] [ uv 2 ]. Resp: 21

17. Determinar o ngulo entre os vetores kju

e kjiv

32 . Resp: 101

18. Calcular n para que seja de 30 o ngulo entre o vetor knjiv

3 e o versor k

.

Resp: 30 .

19. Calcular os ngulos diretores do vetor v )4 5, ,3( . Resp: 65 , 45 , 124 .

20. Uma fora constante com representao vetorial F = 10i +18j 6 k move um objeto em linha reta do ponto (2, 3, 0) ao ponto (4, 9, 15). Calcular o trabalho realizado se a distncia for medida em metros e a magnitude da fora for medida em Newton. Resp: Sabe-se que o trabalho o produto escalar entre a fora aplicada e o vetor deslocamento. Deste modo, 38F.d W joules.

u



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21. Calcular o produto vetorial entre os vetores u

e v

: a) )0, 2, 1(u

e )1 ,3 ,0(v

b) )4, 1, 5(u

e 2) ,0 ,1(v

c) kjiu

423 e kjiv

32 d) iu

e jv

Resp: a) kjivu

32

b) kjivu

142

c) kjivu

8132

d) kvu

22. Sejam os vetores kia

2 e kjb

. Pede-se:

a) ba

b) ba

c) esboar baba

e ,

Resp: a) kji

2 b) 6 u.c.

23. Torque uma grandeza vetorial, representado por , e est relacionada com a possibilidade de um corpo sofrer uma toro ou alterar seu movimento de rotao. A equao para o clculo do torque

Fr

, onde r

a distncia do ponto de aplicao da fora F

ao eixo de rotao, ao qual o corpo

est vinculado.

Resp.: Deve-se definir o vetor j2r

,a fora i10F

e calcular o produto Fr

. Ser obtido mN k20

. A

intensidade do torque ser mN 20

24. O pedal de uma bicicleta empurrado por um p com uma fora de 60 N. A haste do pedal tem 18 cm de comprimento e o ngulo entre a fora e a haste do pedal 80. Determinar a magnitude do torque em P.

Resp: Neste caso deseja-se apenas a intensidade do torque. Por isto pode-se

utilizar a expresso para clculo do mdulo do produto vetorial que

sen Fr

. Assim, temos (0,18 m).(60 N).sen(80) 6,10 J

Calcular o torque sobre a barra AB

representada ao lado, sendo que a

distncia do ponto A at o ponto B de

2m. A intensidade da fora F

de 10 N e o

eixo de rotao o eixo z.



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25. Uma chave de boca com 30 cm de comprimento posicionada ao longo do eixo y aperta um parafuso colocado na origem. Considere uma fora aplicada no final do cabo da chave com direo dada por

4,3,0 . Determinar o mdulo da fora necessria para que o torque resultante no parafuso seja de 100 J.

Resp: Deve-se definir os vetores: posio jr

3,0 , kjF

43 e utilizar a frmula para calcular ngulo entre os vetores.

Este ngulo ser 1,53 . Com o ngulo, intensidade do torque desejado e o mdulo do vetor r

sero obtidos 417 N

utilizando-se a expresso do exerccio 14.



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Referncia Bibliografica

WINTERLE, PAULO. Vetores e Geometria Analtica. 1 Edio, Editora Makron Books.

www.makron.com.br

WINTERLE, PAULO E STHEINBRUCH, ALFREDO. Geometria Analtica. Editora Makron Books

www.makron.com.br

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Vetores e Geometria Analítica