Vertiefungskurs aus ABWL:

Finanzwirtschaft

Wintersemester 2004 / 2005

400 026 / 6Mag. Katarina Kocian

Nr. 2

Motivation

• Investitionsrechnung– Heutige Anschaffungszahlungen

– Zukünftige Rückflüsse, deren Höhe heute nicht mit Sicherheit bekannt ist

• Kapitalwertkriterium, mit Kapitalkosten k

T

tT

Tt

t

k

R

k

CAK

000 )1()1(

Summe künftiger CF‘s

Anschaffungs-auszahlungen

in t = 0

Restwert

in t = T

Nr. 3

Motivation

• Berücksichtigung von Risiko

– Risikoangepasster Kapitalkostensatz

– Sicherheitsäquivalent

RPrk

hlagRisikoabscCECCEQ tt )()(

Nr. 4

Fragestellungen:

• Wie groß ist der erwartete Vermögenszuwachs bzw. welche Rendite kann erwartet werden?

• Wie riskant ist die Veranlagung?

• Wie groß ist die Chance, dass die erwartete Rendite tatsächlich erzielt wird?

• Wieviel und in welche riskante Investitionsmöglichkeiten soll veranlagt werden?

• Welche Prämien dürfen für die Übernahme von Risiko erwartet werden?

Rendite, Risiko und die Risikoeinstellung von Investoren

Portefeuilletheorie

Moderne Kapitalmarkttheorie

Möglichkeiten der Beantwortung durch:

Nr. 5

Inhalt und Gliederung

1. Portfoliotheorie und moderne Kapitalmarkttheorie

1.1. Renditen, Risiko und Risikoeinstellung von Investoren1.2. Portfoliotheorie1.3. Capital Asset Pricing Model (CAPM)

2. Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsrechnung

3. Bewertung mittels Netto-, Brutto- und APV-Methode

Nr. 6

Messung von Vermögensänderungen

• Absolut: Wert des Vermögens am Ende des Veranlagungszeitraumes abzüglich dem Wert am Anfang des VeranlagungszeitraumesFrage: Zuwachs/Minderung in wie vielen Geldeinheiten?

Vt ... Vermögen zum Zeitpunkt t

ΔVt > 0 .. Vermögenszuwachs; ΔVt < 0 .. Vermögensminderung

• Relativ:Prozentueller Zuwachs des Vermögens im VeranlagungszeitraumFrage: Rendite?

• oder

ttt VVV 1

11

1

t

t

t

ttt V

V

V

VVr 1

1

t

tt V

Vr

Nr. 7

Zusammenhang zw. Anfangs- und Endvermögen

• Periodenspezifische Rendite rt

• Anfangsvermögen Vo

• Endvermögen VT

)1(...)1()1( 210 TtttT rrrVV

Oder Kurzschreibweise:

T

ttT rVV

10 )1(

Nr. 8

Diskrete und stetige Renditen I.

diskret )1(1 11

dttt

t

tdt rVV

V

Vr

stetigs

trtt

t

tst eVV

V

Vr

1

1

ln

)1ln(

1

dt

st

rdt

rr

ers

t

Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang:

1.

2.

Nr. 9

Diskrete und stetige Renditen II.

• Diskrete Renditen sind Renditen über eine gewisse zeitlich abgegrenzte Periode

• Stetige (=kontinuierliche) Renditen gehen von einer Verzinsung zu jedem Zeitpunkt aus

Anzahl der Zinsperioden Länge der Zinsperioden 0

• Beispiel 1: Berechnen Sie die diskreten und stetigen Renditen aus Sicht eines europäischen und US-amerikanischen Investors:

Wechselkurs: 19.9.2003 18.9.2003EUR/USD 0,8790 0,8896

11 1

1ln , ln

t

tUSDt

t

tEURt S

Sr

S

SrRenditen

Nr. 10

Wertpapierrenditen

• Fall 1: es erfolgen keine zwischenzeitigen Zahlungen:

mit Pt,i ... Preis des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt t

mit rt,i ... Rendite des i-ten Wertpapiers zum

Zeitpunkt t(vor Steuern und Transaktionskosten)

• Fall 2: es kommt zu zwischenzeitigen Zahlungen:

Beispielsweise Dividendenzahlungen Divt,i -> Kursabschlag: exD

... Preis des i-ten Wertpapiers zu t exD:

... Preis des i-ten Wertpapiers zu t cumD:

Rendite:

-P

Pr

t

tt,i 1

1

cumit

exit

P

P

,

,

1111

-P

NRP r -

P

DivPr

,it-

t,iex

t,it,i

,it-

t,iex

t,it,i

... Allgemein für Nebenrechte

Nr. 11

Kursabschläge

• exD ... Dividendenzahlungen– Üblicherweise Bardividenden– Dividendenaktien

• exBR ... Bezugsrechte– Ordentl. Kapitalerhöhung gegen Bareinlagen– Trennung der Altaktie in Bezugsrecht und Altaktie exBR

• exBA ... Berichtigungsaktien– Auch Aufstockungs- oder Zusatzaktien genannt– Umwandlung von Rücklagen in dividendenberechtigtes

Grundkapital– Sinnvoll bei zu starker Rücklagenbildung, sodass der

Aktienkurs zu teuer wirkt – Aktiensplitt

Nr. 12

Beispiel 2:

a) Keine Nebenrechte

b) Dividendenzahlung in Höhe von 12 GE in [t,t+1]

c) In [t,t+1] notierte Bezugsrecht BR = 3

d) In [t,t+1] wurden Berichtigungsaktien im Verhältnis 5:1 ausgegeben

%151400

4601

1,

t

tit V

Vr

Zeit (in Jahren) Kurs

t 400

t + 1 460

%181400

124601

1,

t

ttit V

NRVr

%75,151400

34601

1,

t

ttit V

NRVr

%381400

4605

1460

11

,

t

ttit V

NRVr

Nr. 13

Durchschnittliche Renditen I.

Wiederveranlagungsprämisse

Veränderlicher Kapitaleinsatz

• Geometrische Durchschnittsrenditen

TT

ttT rVrVV )1()1( 0

10

1)1(

1)1(...)1()1(

1

21

T

T

tt

TT

rr

rrrr

bzw.

Nr. 14

Durchschnittliche Renditen II.

• Arithmetische Durchschnittsrenditen

T

r

T

rrrr

T

tt

T

121 ...

Arithmetisches Mittel

Durchschnittlich entnommene bzw. eingezahlte Rendite

Konstanter Kapitaleinsatz

Nr. 15

Durchschnittliche Renditen III.• Arithmetisch vs. Geometrisch

Geometrisches Mittel < Arithmetisches Mittel

Identisch NUR bei konstanten periodischen Renditen

• Beispiel 3:

Zeit (in Jahren) Kurst = 0 100t = 1 50t = 2 100

Nr. 16

Durchschnittliche Renditen IV.• Arithmetisch vs. Geometrisch / Diskret vs. Stetig

Beispiel 4:

Zeit (in Jahren) Kurst = 0 100t = 1 120t = 2 125

t = 3 115t = 4 119

a) Diskrete Renditen• Summe 4 Jahre

• Arithmetisch

• Geometrisch

b) Stetige Renditen• Summe 4 Jahre

• Arithmetisch

• Geometrisch

Nr. 17

Durchschnittliche Renditen IV. Annualisierung durchschnittlicher Renditen

• Fall 1: Arithmetische Durchschnittsrendite ohne Berücksichtigung von Zinseszinsen (z.B. Tägliche Rendite)

Beispiel 5:

Zeit (in Halbjahren) Kurst = 0 100t = 1 120t = 2 126

Diskrete Durchschnittsrenditen? Geometrisch/Arithmetisch? Annualisiert?

• Fall 2: Arithmetische und geometrische Durchschnittsrendite mit Berücksichtigung von Zinseszinsen (z.B. Tägliche Rendite)

mrmr

1)1(* mmrr

Nr. 18

Ex-ante vs. ex-post Betrachtung

• Ex-post Betrachtung:– Vergangenheitsorientiert– Historische Renditen– Performance-Messung

• Ex-ante Betrachtung:– Zukunftsorientiert– Szenariotechnik– Prognose von Renditen– Ausgangspunkt: Investor kennt folgende Informationen:

• Umweltzustände zi (i = 1,2,...,n)

• Zustandsabhängige Renditen r(zi)

• Eintrittswahrscheinlichkeiten für alle Zustände zi, p(zi)

-> Risikosituation

Nr. 19

Ex-ante Betrachtung

• Erwartete Rendite– Renditen werden als Zufallsvariable interpretiert

– Erwartungswert der zustandsabhängigen Renditen

– Berechnung der Aktie j:

Beispiel 6:

zi r(zi) p(zi)

Boom 30% 20%Normal 12% 60%Rezession -5% 20%

P0 = 100

i

iijj zpzrrE )()()(

• Erwarteter Kurs

)](1[)( 01 jjj rEPPE

Nr. 20

Ex-post Betrachtung• Risiko

– Anlageentscheidungen basieren idR nicht nur auf erwarteten Renditen– Risikomaß: wünschenswerte Eigenschaften

• größere Abweichungen müssen stärker ins Gewicht fallen• Positive und negative Abweichungen dürfen sich nicht aufheben

– Varianz σ(rj)² : Arithmetisches Mittel der Abweichungsquadrate• Streuungsmaß, Schwankungsbreite der Renditen• Standardabweichung σ(rj): Volatilität, Gesamtrisiko• Historisch: ex-post Betrachtung:• Heteroskedastizität: Varianz ist im Zeitablauf nicht konstant

2

1,

1

2,

2 1

1

1)(

n

ttj

n

ttjj r

nr

nr

Beispiel 7:

Monat 0 1 2 3 4 5

Kurs 100 120 125 120 130 128

Varianz? Volatilität?

Nr. 21

Ex-ante Betrachtung

• Risiko– Varianz σ(rj)² : Arithmetisches Mittel der Abweichungsquadrate

• ex-ante Betrachtung:

mit und

222 )()()()( jjjj rErErVarr

n

iiijj zpzrrE

1

)()()(

n

iiijj zpzrrE

1

22 )()()(

Beispiel 8:

Zustand,zi r(zi) p(zi)

Boom 30% 20%Normal 12% 60%Rezession -5% 20%

a) Varianz?b) Volatilität?

Nr. 22

Renditen und ihre Verteilungen I.

• Annahme, das (stetige) Aktienrenditen normalverteilt sind:

Wiederholung Normalverteilung:• Symmetrisch um den Erwartungswert μ• Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz (Schwankungsbreite)• Erwartungswert und Standardabweichung σ beschreiben die

Normalverteilung vollständig• Die Fläche unter der Kurve ist das Maß für die Wahrscheinlichkeit (in

Tabellen festgehalten)• Empirisch nicht exakt erfüllt, aber für Aktien eine brauchbare Approximation

),( 2Nr

Nr. 23

Renditen und ihre Verteilungen II.

• StandardisierungIst r N(μ, σ) verteilt, so ist die (standardisierte) Zufallsvariable:

Dichtefunktion Verteilungsfunktion

r

2/2

2

1)( xex

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x z dzex 2/2

2

1)(

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Nr. 24

Anwendungsbereich

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite kleiner ist als rx

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite größer ist als ry -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

)(1)()( yyrrP y

yr

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite zwischen rx und ry liegt?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

)()()()()( xyrrPrrPrrrP xyyx

xr yr

xr

)()( xrrP x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Nr. 25

Wichtige Kennzahlen und Begriffe in der Praxis

• Value-at-Risk = Geldbetrag, der mit bestimmter Wahrscheinlichkeit maximal verloren wird

• Shortfall-Risk = Wahrscheinlichkeit, dass eine gewisse Rendite unterschritten wird

• Tests:

Nr. 26

Anwendung

• Beispiel 9:

Die Rendite einer Aktie sei normalverteilt mit N (0,15;0,22).

Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die Rendite– über 10% p.a.– unter 10% p.a.– zwischen 5 und 10% p.a. liegt?

oder

– Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens erzielt?– Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60% nicht überschritten?

Nr. 27

Portfoliotheorie

• Bisher: Ein Wertpapier– Veranlagung in Aktie 1

• Erwartete Rendite von E(r1) bei Risiko von σ(r1)

– Veranlagung in Aktie 2• Erwartete Rendite von E(r2) bei Risiko von σ(r2)

• Jetzt: Veranlagung in Aktie 1 und 2– Erwartete Portfoliorendite von E(rp)

– bei einem Portfoliorisiko von σ(rp)

Frage: Welche Portfoliorendite kann ein Investor erwarten? bzw. Welches Risiko geht er ein?

Nr. 28

Der Vater der modernen Portfoliotheorie

Nr. 29

Erwartete Portfoliorendite I.

• Ausgangspunkt– Aktuelle Preise der Aktien: P0,1 und P0,2

– Vermögen, das in Aktie 1 investiert wird: V0,1

– Vermögen, das in Aktie 2 investiert wird: V0,2

– Gesamtvermögen, das in Aktien investiert wird: V0 = V0,1 + V0,2

– Erwartete Rendite der Aktien E(r1) und E(r2)

– Annahme der beliebigen Teilbarkeit der Titel

Erwartetes Endvermögen VT zu t=T

))(1())(1()( 22,011,0 rEVrEVVE T

Aufgezinst mit1 + E(r1)

Aufgezinst mit1 + E(r2)

V0,1 Vermögen investiert in

Aktie 1 zu t=0

V0,2 Vermögen investiert in

Aktie 2 zu t=0

V0

Nr. 30

Beispiel 10:

E(r1) = 10 % p.a., E(r2) = 20 % p.a. und E(rP) = 17 % p.a.

Wie groß sind die Anteile x1 und x2 ?

Erwartete Portfoliorendite II.

Erwartetes Endvermögen VT zu t=T

))(1())(1()( 22,011,0 rEVrEVVE T

Aufgezinst mit1 + E(r1)

Aufgezinst mit1 + E(r2)

V0,1 Vermögen investiert in

Aktie 1 zu t=0

V0,2 Vermögen investiert in

Aktie 2 zu t=0

V0

Erwartete Portfoliorendite E(rp)

mit

)()()( 2211 rExrExrE p

12 1 xx

Nr. 31

Portfoliorisiko• Aktienrenditen können sich

– tendenziell gleichläufig– tendenziell gegenläufig– relativ unabhängig voneinander

entwickeln• gebräuchliches Beispiel

Nr. 32

Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt I.• Wichtige Kennzahlen in diesem Zusammenhang

– Kovarianz)()()(),( 212121 rErErrErrCov

– Korrelation: Standardisierung der Kovarianz, sodass die relative Abhängigkeit der Renditen voneinander nur Werte zwischen –1 bis +1 erreichen kann

)()(

),(),(

21

2121 rr

rrCovrr

– Interpretation• Korrelation = +1• Korrelation = 0• Korrelation = -1

Nr. 33

Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt II.

• Ermittlung des Portfoliorisikos

BABABBAAP xxrrCovxxrVar ),(2)( 2222

)()( PP rVarr

• Beispiel 11:

Aktie σ(rj) xj

A 15% p.a. 40%

B 20% p.a. 60%

ρ(rA,rB) = 0,25

Nr. 34

Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt III.

• Beispiel 12: Gemeinsame Betrachtung von E(rj), σ(rj)

Aktie E(rj) σ(rj)

A 8% p.a. 15% p.a.

B 14% p.a. 20% p.a.

– Stellen Sie den Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Risiko graphisch dar, falls ρ(rA,rB) = 0,25. Beginnen Sie dabei bei einem Portfolio mit xA = 100% und reduzieren Sie schrittweise den Anteil von Aktie A im Portfolio bis eine 100%-ige Veranlagung in Aktie B erreicht ist.

– Wiederholen Sie vorangegangene Beispiel mit ρ(rA,rB) = 1

– Wiederholen Sie vorangegangene Beispiel mit immer kleineren Korrelationskoeffizienten bis ρ(rA,rB) = -1

Nr. 35

Anteilsbestimmung bei gegebenem Portfoliorisiko

mit xB = 1 – xA erhält man die quadratische Gleichung

BABABBAAP xxrrCovxxrVar ),(2)( 2222

02 cbxax AAa

cabbxA

2

42

Beispiel 13:

Aktie A ... σ(rA) = 15% p.a.

Aktie B ... σ(rB) = 20% p.a.

Wie groß sind die jeweiligen Anteile der Aktien am Gesamtportfolio, wenn die Portfoliovarianz 0,0208 beträgt und die Aktien eine Korrelation von 0,5 aufweisen?

Nr. 36

Zusammenfassend:

• Konsequenzen– Portfolio-Möglichkeitskurve

– Jede Portfoliorendite in [......] erreichbar

– Jedes Portfoliorisiko in [......] erreichbar

– zusätzlich sind Portfolios mit geringerem Risiko als .... erreichbar

– Minimum-Varianz-Portfolio

– Mehrere Kombinationen implizieren gleiches Portfoliorisiko

– Effiziente Portfolios, Effizienzkurve

Nr. 37

Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) I.• Portfolio mit kleinstmöglichen Risiko

• für spezielle Werte von ρ ist σ(rMVP) bekannt:

– bei ρ(rA,rB) = +1

– bei ρ(rA,rB) = -1Portfolio-Möglichkeitskurve

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Erwartetes Risiko

Erw

art

ete

Re

nd

ite

bei Korrelation von +1 bei Korrelation von -1

Aktie A

Aktie B

Nr. 38

Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) II.

0)(

A

P

x

rVar

• Anteilsbestimmung, bei min Var(rP):Aufgrund von xB = 1 – xA können die Anteile des MVP durch Bildung der ersten Ableitung nach x1 und anschließendes Nullsetzen bestimmt werden.

Portfolio-Möglichkeitskurve

0,07

0,08

0,09

0,1

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21

Erwartetes Risiko

Erw

art

ete

Re

nd

ite

Aktie A

Aktie B

Extremwert = MVP

Nr. 39

Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) II.

• Erwartete Rendite:

• Volatilität:

• Beispiel 14:

Aktie A B

E(rj) 8% p.a. 15% p.a.

σ(rj) 15% p.a. 25% p.a.

Die Renditen der beiden Aktien korrelieren im Ausmaß von +0,3.Bestimmen Sie die Zusammensetzung , Rendite und Risiko des MVP‘s.

MVPB

MVPABAB

MVPBA

MVPAMVP xxrrCovxxrVar ),(2)()()( 2222

MVPBB

MVPAAMVP xrExrErE )()()(

• Als Lösung erhält man:

),(2)()(

),()(1

BABA

BABMVP

rrCovrVarrVar

rrCovrVarx

MVPA

MVPB xx 1

Nr. 40

Modell - Annahmen

• Einperiodiges Kapitalanlagenmodell

• Annahmen zum Kapitalmarkt:– Weder Steuern noch Transaktionskosten– Wertpapiere sind beliebig teilbar– Renditen sind normalverteilt

• Annahmen über den Investor– Vollständige Konkurrenz– Investoren sind risikoavers und entscheiden rational– Investoren maximieren den erwarteten Nutzen des

Endvermögens– Subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Nr. 41

Erwartete Portfoliorendite

• 2 Wertpapiere

)()()()( 332211 rExrExrExrE p

1321 xxx

)()()( 2211 rExrExrE p

121 xx

• n Wertpapiere

N

jjjP xrErE

1

)()(

N

jjx

1

1

• 3 Wertpapiere

Nr. 42

Portfoliorisiko

• 2 Wertpapiere

• n Wertpapiere

121 xx

BABABBAAP xxrrCovxxrVar ),(2)( 2222

1321 xxxCBCB

CACA

BABA

CCBBAAP

xxrrCov

xxrrCov

xxrrCov

xxxrVar

),(2

),(2

),(2

)( 222222

N

j

N

kkjkjP xxrrCovr

1 1

2 ),()(

N

jjx

1

1

• 3 Wertpapiere

Nr. 43

Modelle

• Modell 1: Risikoaversion Minimierung des Portfoliorisikos bei gegebener erwarteter Portfoliorendite

N

j

N

kkjkjP

xxxrrCovr

1 1

2 ),()(min

Nebenbedingungen:

N

jPjj rExrE

1

)()(

N

jjx

1

1

Njx j ,....,1,0 für

Nr. 44

Modelle

• Modell 2: Rationalität Maximierung der erwarteten Portfoliorendite bei gegebenem Portfoliorisiko

)(),( 2

1 1P

N

j

N

kkjkj rxxrrCov

Nebenbedingungen:

N

jPjj

xrExrE

1

)()(max

N

jjx

1

1

Njx j ,....,1,0 für

Nr. 45

Anzahl der WP

Por

tfolio

risik

o

Begriff Risiko

• Naive Diversifikation:– Anteilsmäßig gleiches Investment in alle Titel (z.B. 50:50)

• Gesamtrisiko σ wird aufgeteilt in:– systematisches Risiko (nicht diversifizierbar)– unsystematisches Risiko (diversifizierbar)

• Diversifikations-effekt:

Nr. 46

Beispiel 15 mit 3 WP

j A B C

E(rj) p.a. 8% 15% 12%

Der Investor verfügt über ein Vermögen von 25 Mio. EUR.

Er investiert in Aktie A und B jeweils 10 Mio., den Rest in C.

• Wie hoch ist seine erwartete Rendite?

• Welches Risiko geht er ein?

CBAkjrrCov kj ,,,

15,0

018,02,0

003,0008,01,0

),(2

2

2

;

Nr. 47

Portfoliotheorie nach Black (1972)

• Annahmen wie bei Markowitz

• Aber: Leerverkäufe sind möglich, d.h. ohne Nicht-Negativitätsbedingungxi dürfen negativ werden!

Short-sellingKonsequenzen:

Portfolio-Möglichkeitskurve

0,07

0,08

0,09

0,1

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24

Erwartetes Risiko

Erw

arte

te R

end

ite

Aktie A

Aktie B

Nr. 48

Portfeuilletheorie nach Tobin (1958)

• Annahmen wie bei Markowitz / Black

• Zusätzlich besteht die Möglichkeit

– Kapital risikolos zu veranlagen

– Kapital risikolos zu borgen

• Vereinfachende Annahmen

Sollzinssatz = r = Habenzinssatz

• Anteil α wird risikolos veranlagt und Anteil 1 - α wird riskant

veranlagt

Nr. 49

Portfoliorendite / -risiko

• Portfoliorendite: bei riskanter Veranlagung in ein Portfolio X

• Portfoliorisiko: – Varianz und Kovarianz des risikolosen

FinanzierungstitelsVar(rj) = ? ; Cov(r,rj) = ?

– Volatilität des Portfolios X:

)()1()( Xp rErrE

)1()()( XP rr

Nr. 50

Zusammenhang zw. Rendite und Risiko

• ?? In welches Portfolio X soll investiert werden ??

)1()()( XP rr)(

)(1

X

P

r

r

)()(

)()( P

X

Xp r

r

rrErrE

Marktpreis je Risikoeinheit

)()(

)(11

)(

)(1)( X

X

P

X

Pp rE

r

rr

r

rrE

:eingesetzt für )()1()( Xp rErrE

Nr. 51

Modell nach Tobin I.

• Tobin Effizienzlinie

0,07

0,08

0,09

0,1

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21

Erwartetes Risiko

Erw

art

ete

Re

nd

ite

Aktie A

Aktie B

r

)()(

)()( P

M

Mp r

r

rrErrE

Tangentialportfolio M

)()1()( Mp rErrE

)1()()( MP rr

mit:

Mjj xx )1( :und

Nr. 52

Modell nach Tobin II.

Nichtlineares Optimierungsprogramm

Unter den Nebenbedingungen

)(

)(max

X

X

r

rrE

)(),( 2

1 1P

N

j

N

kkjkj rxxrrCov

N

jPjj rExrE

1

)()(

N

jjx

1

1 0; jx

Nr. 53

Ermittlung des Tangentialportfolios

• Durch Einsetzen von Hilfsvariablen wird das nichtlineare Programm in ein lineares Gleichungssystem umgewandelt, wobei so viele Hilfsvariablen yk eingesetzt werden müssen, wie riskante Wertpapiere auf dem Markt existieren:

N

kjkkj NjrrEyrrCov

1

.,....,1)(),( für

N

kk

jMj

y

yx

1

• Voraussetzungen für das Einsetzen des linearen Gleichungssystems:– Leerverkäufe sind zulässig

Nr. 54

Beispiel 16

Ein risikoaverser Investor möchte ein Aktienportfolio aus Aktie A und B zusammenstellen. Die Renditen der Aktien sind normalverteilt mit folgenden Parametern (Angaben in % p.a.):

A B

E (rj) 8 15

10 20

• Ermitteln Sie das Minimum-Varianz-Portfolio, wenn die Korrelation zwischen beiden Aktien beträgt

• Der Investor hat zusätzlich die Möglichkeit, sein Kapital zu 7% p.a. risikolos zu veranlagen bzw. zu 7% p.a. einen Kredit aufzunehmen

– Wie ist die Zusammensetzung, die erwartete Rendite und das Risiko des Tangentialportfolios?

– Der Investor möchte eine erwartete Rendite in der Höhe von 12% p.a. erzielen. Welches Risiko muss er in diesem Fall eingehen?

– Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Rendite des Portfolios über 6% p.a.?– Tangentialportfolio ohne Leerverkaufsmöglichkeit?

)( jr

4,0AB

Nr. 55

Beispiel mit 3 WPj A B C

E(rj) p.a. 8% 15% 12%

risikoloser Zinssatz r = 7%1. Aufteilung Marktportfolio? Erwartete Marktrendite? Marktrisiko?

2. Investor ist bereit ein Risiko von 10% p.a. einzugehen ...

Lösung allgemein:

CBAkjrrCov kj ,,,

15,0

018,02,0

003,0008,01,0

),(2

2

2

;

rrEyrVaryrrCovyrrCov

rrEyrrCovyrVaryrrCov

rrEyrrCovyrrCovyrVar

CCCBCBACA

BCCBBBABA

ACCABBAAA

)()(),(),(

)(),()(),(

)(),(),()(Hilfsvariablen

ermitteln

N

kk

jMj

y

yx

1

Anteile im Markt-PF

)()(

)()( P

M

Mp r

r

rrErrE

Risiko/Renditedes Investors

)()1()( Mp rErrE

)1()()( MP rrMjj xx )1(

PF Aufteilung

Nr. 56

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

• Bisher: Kapitalanlageverhalten privater Investoren

• Jetzt: Auswirkungen auf Gleichgewichtspreise bzw. Gleichgewichtsrenditen

• Annahmen– wie bisher

• Risikoaversion der Investoren (Erwartungswert, Varianz)• Rationalität und kompetitives Verhalten• Finanzierungstitel sind beliebig teilbar• Es existiert ein risikoloser Finanzierungstitel für Kredite sowie für

Veranlagung

– zusätzlich• Keine Kapitalmarktbeschränkungen• alle riskanten Titel werden gehandelt• Investoren haben die gleichen, d.h. homogene Erwartungen

Vol

lkom

men

er K

apita

lmar

kt

Nr. 57

Kapitalmarktgleichgewicht I.

• Alle Investoren halten effiziente Portfolios (Tobin):– je nach Nutzenfunktion (bzw. Grad der Risikoaversion) wird mehr

oder weniger risikolos veranlagt– der Rest wird riskant veranlagt– dabei wählen alle Investoren das gleiche riskante Portfolio

Marktportfolio M

– Separationstheorem

• Das Marktportfolio M ergibt sich aus der Summe der individuellen Portfolios -> M... Ist ein effizientes Portfolio

• Gesamtnachfrage = Gesamtangebot, das gilt für alle riskanten Finanzierungstitel sowie für den risikolosen Zinssatz.

• Leerverkäufe an riskanten Finanzierungstitel kann es im Gleichgewicht nicht geben.

Nr. 58

Kapitalmarktgleichgewicht II.

• Kommen neue Titel auf den Markt, so sind diese auch im Marktportfolio M enthalten, da das Risiko von M aufgrund des Diversifikationseffektes reduziert wird.

• Das Marktportfolio

– wird beschrieben durch die erwartete Marktrendite E(rM) und das

Marktrisiko σ(rM) und

– liegt auf der Tobin-Gerade (Kapitalmarktlinie oder Capital Market Line).

– λ wird oft auch als Marktpreis für das Risiko je Risikoeinheit bezeichnet.

)()(

)()( P

M

Mp r

r

rrErrE

Nr. 59

Herleitung I.

• Herleitung der erwarteten Rendite E(rj):– Portfolio H bestehe aus

• z Teilen des Titels j und • (1 - z) Teilen des Marktportfolios

)1(),(2)()1()()()( 22222 zzrrCovrzrzrVarr MjMjHH

)()1()()( MjH rEzrEzrE

CLM

M

M

HPF

zH

H

r

rrE

dz

rddz

rdE

)(

)()(

)(

..

0

– Im Punkt z = 0 (somit volle Veranlagung ins Marktportfolio) muss gelten:

• Steigung Rendite/Risiko-Funktion des Portfolios H muss der Steigung der CML gleichen

Nr. 60

Herleitung II.

• Nach Ableitung und Umformung ergibt sich die Grundrelation des Kapitalmarktmodells:

• Wird das systematische Risiko in Beziehung zum Marktrisiko gesetzt, so ergibt sich das normierte systematische Risiko.

),()(

)()(

2 MjM

Mj rrCov

r

rrErrE

• Das systematische Risiko wird beschrieben durch )(),( jMj rrr

)(

),(

)(

)(),(2

M

Mj

M

jMjj r

rrCov

r

rrr

oMarktrisik

Risiko chessystematis

Risikoprämie für syst. Risiko

Nr. 61

Herleitung III.

• Daraus ergibt sich die Kapitalmarktlinie des CAPM in Beta-Schreibweise

• Interpretation von βj:Ändert sich die erwartete Rendite des Marktportfolios um einen Prozentpunkt, ändert sich die erwartete Rendite des WP j um βj Prozentpunkte.

jMj rrErrE )()(

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 0,5 1 1,5 2 2,5Beta

Erw

art

ete

Rendite

Kapitalmarktlinie (CLM)

)( MrE

Nr. 62

Konsequenzen für Gleichgewichtspreise I.

• Bewertung unter Risiko

• Risikoangepasste Kapitalkostensätze

jMj rrErrE )()(

)(1

)( ,1,0

j

jj rE

PEP

jM

jj rrEr

PEP

])([1

)( ,1,0

Nr. 63

Konsequenzen für Gleichgewichtspreise II.

• Nach Umformulierung alternative Darstellungsform mit Sicherheitsäquivalent

r

rPCovr

rrEPE

PMj

M

Mj

j

1

),()(

)()( ,12,1

,0

),()(

)()(

2 MjM

Mj rrCov

r

rrErrE

),()(

)(1

)(

2

,1,0

MjM

M

jj

rrCovr

rrEr

PEP

Risikoabschlag

r

PCEQP j

j

1

)( ,1,0

Nr. 64

Zusammenfassend

• Investor• Aktie j … Rendite

• Aktie j … Preis

)()(

)()( P

M

Mp r

r

rrErrE

Risiko/Rendite

des Investors

),()(

)()(

2 MjM

Mj rrCov

r

rrErrE

Gleichgew.-

Rendite j

jMj rrErrE )()(

Risikoprämie

Gleichgew.-Preis j

r

PCEQ

r

rPCovr

rrEPE

P jMj

M

Mj

j

1

)(

1

),()(

)()(

,1,12,1

,0

Risikoabschlag

Nr. 65

Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsplanung

• Investitionsentscheidung bei Unsicherheit iSv Risiko– 1. Über Risikoprämien

T

tt

t

k

CEAK

100 )1(

)(

mitieRisikoprämrk

Alternativrendite, die z.B. am Kapitalmarkt für eine Investition mit gleichem systematischen Risiko erwartet werden kann.

-> Erwartete Rendite nach CAPM

...k jMj rrErrE )()(

Risikoprämie

Nr. 66

Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsplanung

• Investitionsentscheidung bei Unsicherheit iSv Risiko– 1. Über Sicherheitsäquivalente

T

tt

t

r

CCEAK

100 )1(

)(

Mit

CE(Ct) … Sicherheitsäquivalent des erwarteten Cash-Flows

r … risikoloser Zinssatz

Nr. 67

Risikoprämie und Risikoabschlag

• Risikoprämie und Risikoabschlag können über das CAPM ermittelt werden

• Wesentliche Erkenntnis: Risikoprämien werden nur für systematisches Risiko bezahlt

• Annahme: Einjähriges Projekt– Risikoangepasster Kapitalkostensatz

– Sicherheitsäquivalent

Beide Varianten müssen im Gleichgewicht stets zum selben Ergebnis (Gleichgewichtspreis) führen.

),()(

)(

])([

2 MCM

M

CM

rrCovr

rrEr

rrEr

rk

ieRisikopräm

),()(

)()(

)()(

2 MM

M rCCovr

rrECE

CECCE

hlagRisikoabsc

Nr. 68

Aufspaltung der Einzahlungsüberschüsse

• Hohes systematisches Risiko– Künft. Variable EZÜ nach Steuern

ttvt xcps )()1( ,

• Kein systematisches Risiko– Fixe Auszahlungen nach Steuern– Steuerersparnis infolge Abschreibung– Restwert nach Steuern

tfCs ,)1( tAfAs

)( TTT BWRsR

• Geringes systematisches Risiko– Zinszahlungen– Steuerersparnis infolge Kredit– Tilgungszahlungen

tZ'tZs

tY

httt RPr tensatz...Kapitalkos

Zinssatz rrisikolose ... tensatzKapitalkos r

gtttD RPrk , tensatz...Kapitalkos

Nr. 69

Ermittlung des Kapitalwertes von riskanten Investitionsprojekten I.

• Einsteigervariante:– Der Kapitalwert ergibt sich aus dem „fairen Preis für alle zukünftigen

Zahlungen“ (Bruttokapitalwert) abzüglich der sicheren Anfangsinvestition

Zahlungen" nzukünftige alle für Preis fairer"

00

000

AK

BKAK

0

'

0

0

000

PF

Zs

D

PAZ

PVAK

t

Zahlungen fixe MW

Kredit arnisSteuerersp MW

Tilgungen und -Zins MW

gen Auszahlunvar. MW

seUmsatzerlö MW

• Annahme: reine Eigenfinanzierung, somit sind die Marktwerte der Zins- und Tilgungen sowie die Steuerersparnis aufgrund Kredit gleich 0

Nr. 70

Ermittlung des Kapitalwertes von riskanten Investitionsprojekten II.

• Variable Einzahlungsüberschüsse nach Steuern– Schreibweise über Gamma

• Marktwert der variablen Einzahlungsüberschüsse (nach Steuern)

t

tv

p

c ,

tt

tttt

xps

xpsxpsEZÜ

)1()1(

)1()1(.var

00 )1()1( PVsPVZ

• Für den Kapitalwert folgt:

00

000

0000

)1()1(

UA

PFPVsA

PFPVZAK

Umsatz Var. Auszahlungen

Marktwert des EK bei reiner Eigenfinanzierung

Nr. 71

Ermittlung des Marktwertes aller künftigen Umsatzerlöse I.

• Bei periodenspezifischen Zinssätzen und Marktrenditen

• Über Sicherheitsäquivalente:

),()(

)()(

,tMttttt

tttt

rxpCovxpE

xpExpCE

hlagRisikoabsc

• Retrograde Ermittlung von PV0:

T

tt

rt

tt

r

xpCEPV

1

1

0

1

)(

)(

)(

,2

,

tM

ttMt r

rrE

... mit

1

1

1

110

1

1

1

11

1

11

)(

11

)(

11

)(

0

r

PV

r

xpCEPV

r

PV

r

xpCEPV

r

PV

r

xpCEPV

PV

t

t

t

ttt

T

T

T

TTT

T

(Weil MW aller künftigen Umsatzerlöse)

Nr. 72

Ermittlung des Marktwertes aller künftigen Umsatzerlöse II.

• Bei periodenspezifischen Zinssätzen und Marktrenditen

• Über (noch unbekannten) Kalkulationszinsfuß:

trtt in für ieRisikopräm

• Retrograde Ermittlung von PV0:

T

tt

rt

tt xpEPV

1

1

0

1

)(

1

1

1

110

1

1

1

11

1

11

)(

11

)(

11

)(

0

PVxpEPV

PVxpEPV

PVxpEPV

PV

t

t

t

ttt

T

T

T

TTT

T

(Weil MW aller künftigen Umsatzerlöse)

Nr. 73

Bestimmung der Risikoprämie für in t bzw. der periodenspezifischen Kapitalkostensätze für die Umsatzerlöse t

• Marktwerte PVt müssen bei beiden Vorgehensweisen (Risikoprämie vs. Sicherheitsäquivalent) gleich sein.

• Daher muss gelten:1

1

1

11

1

1

1

11

11

)(

11

)(

t

t

t

tt

t

t

t

tt

r

PV

r

xpCEPVxpE

• Die Risikoprämie erhält man aus:1

)()(

t

ttttt PV

xpCExpERP

• Bzw. den risikoangepassten Kapitalkostensatz aus:

1)(

1

t

tttt PV

PVxpE

Nr. 74

Ermittlung des Marktwertes aller künftigen fixen Zahlungen

• Da diese Zahlungen annahmegemäß keinem Risiko unterliegen, dann deren Diskontierung mit den periodenspezifischen risikolosen Zinssätzen erfolgen.

• Retrograde Ermittlung von PF0:

1

1

1

11,0

1

1

1

11,

,1

11

))1(

11

))1(

11

)(

1

))1(

0

r

PF

r

AfasCsPF

r

PF

r

AfasCsPF

r

PF

r

BWRsR

r

AfasCsPF

PF

f

t

t

t

ttft

T

T

T

TTT

T

TTfT

T

(Weil MW aller künftigen Zahlungen)

Nr. 75

Beispiel 18Zweiperiodiges Projekt mit A0 = 100 und folgenden zustandsabhängigen

Entwicklungen:

• Für t = 1:Zustand, zi P(zi) C(zi) rM(zi)A 30% 900 6%B 50% 1000 10%C 20% 1100 14%risikoloser Zinssatz 8% p.a.; fixe Auszahlungen 300

• Für t = 2:Zustand, zi P(zi) C(zi) rM(zi)A 20% 900 5%B 50% 1000 10%C 30% 1100 15%risikoloser Zinssatz 9% p.a.; fixe Auszahlungen 400

• Für t =1 und t = 2 gilt:– Verkaufspreis / Einheit: p1 = p2 = 1– = 0,5Lineare steuerrechtliche Abschreibung über 2 Jahre, der Steuersatz ist

für beide Perioden 40%, Restwert RT = 20

Nr. 76

Bewertung mit einem einheitlichen (risikoangepassten Kapitalkostensatz)

• Bis jetzt: Unterschiedlich riskante Zahlungen wurden mit unterschiedlichen Kapitalkostensätzen diskontiert.

• Jetziges Vorhaben: Diskontierung der unterschiedlich riskanten Zahlungen mit einem einheitlichen, risikoangepassten, periodenspezifischen Kapitalkostensatz,

• Zusammenfassung der zu berücksichtigenden Zahlungen– Für jede Periode t = 1,….., T.

– Für die letzte Periode t = T zusätzlich:

– In Summe also

t

ttftt AfasCsxpEs ,)1()()1)(1( Erw. EZÜ Fixe Zahlungen

)( TTT BWRsR

sonst

für

0

)(])([)(

TtBWRsRAfaCEsCE TTT

ttt

)( tOCFE

Nr. 77

Ermittlung des Marktwertes aller künftigen Zahlungen

• Ermittlung des Marktwertes (reine Eigenfinanzierung!):

• Retrograde Ermittlung von PV0:

zierungEigenfinan reiner bei

EK das für tensatzKapitalkos ...t

1

1

1

10

1

1

1

1

1

11

)(

11

)(

11

)(

0

UOCFEU

U

r

OCFEU

UOCFEU

U

t

t

t

tt

T

T

T

TT

T

(Weil MW aller künftigen Zahlungen)

000 PFPVZU

!!!

Beide Lösungsvarianten müssen zum gleichen Ergebnis führen

ttt r oder ... und mit ungDiskontier

Nr. 78

Leverage Effekte

• Operating Leverage– Statische Betrachtung– Dynamische Betrachtung

• Financial Leverage– Statische Betrachtung– Dynamische Betrachtung

Nr. 79

Operating Leverage I.

• Statisch:Wie stark verändert sich der OCF, wenn sich der Umsatz um ein Prozent ändert

OCF

U

dU

dOCF

UdU

OCFdOCF

OL

OL

U Umsatzes des Änderung

OCF des Änderung

%

%

OCF

xcps

AfasCxcps

xcpsOL v

fv

v

)()1(

]))[(1(

)()1(

Nr. 80

Operating Leverage II.

• DynamischWie stark verändert sich der Wert einer rein eigenfinanzierten Unternehmung, wenn sich der Barwert der künftigen Umsatzerlöse um ein Prozent ändert

1

1

1

1

1

1

1

1

%

%

t

t

t

t

t

t

t

t

dynt

dynt

U

PV

dPV

dU

PVdPVUdU

OL

OL

eginnPeriondenb zu seUmsatzerlö künftigen

der Wertesdes Änderung

zierungEigenfinan reiner beiEK

des Wertesdes Änderung

111 ttt PFPVZU

Nr. 81

Operating Leverage III.

• DynamischZusammenhang:

ODER:Bewertung einer unverschuldeten Unternehmung mit einem

einheitlichen Kalkulationszinsfuss

1

1

1

11

1

1

1

)1()1(

t

t

t

ttdynt

t

tdynt

U

PF

U

PFUOL

U

PVsOL

tdyntt

dyntt rOLOL )1(

Nr. 82

Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsplanung

(bei teilweise Fremdfinanzierung)

• Nettokapitalwert

• Bestandteile des Bruttokapitalwertes bei reiner Eigenfinanzierung

• Bestandteile des Bruttokapitalwertes bei teilweise Eigenfinanzierung

0t zu Zahlungen rzukünftige Marktwert

...0

000

BK

BKAK

00

0

0

00

UBK

PF

PAZ

PVBK

Zahlungen fixe MW

gen Auszahlunvar. MW -

öseUmsatzertl MW

0

0

0000

SEZ

D

PFPAZPVBK

Zinsaufw. .Steuerersp MW

lungenu.Tilg.Zah -Zins MW -

Nr. 83

Kapitalwert bei tlw. Fremdfinanzierung I.

• Kapitalkostensatz: Je nachdem, ob der Kredit risikolos oder nicht, wird ein unterschiedlicher Kapitalkostensatz herangezogen (kD,t = i oder r)

0000000 DSEZPFPAZPVABK

zierungFremdfinan tlw. beiEK d. MW

hlugenTilgungsza und -Zins MW

Projektes iertenfremfinanz tlw. d. MW

fw.inf.Zinsau arnisSteuerersp MW

gFinazierun-EK reiner beiEK des MW ...

mit

...

...

...

...

0

0

0

0

0

E

D

V

SEZ

U

0U

0V

0E

Nr. 84

Kapitalwert bei tlw. Fremdfinanzierung II.

• Marktwert der künftigen Steuerersparnis

T

1t

T

D

t

k

ZEsSEZ

1,

'

0

)1(

)(

• Marktwert der künftigen Zins- und Tilgungszahlungen

T

1t

T

D

tt

k

YZED

1,

0

)1(

)(

• Marktwert des EK bei tlw. Fremdfinanzierung

0000 DSEZUE

DSEZUE tttt

0V

Nr. 85

Fortsetzung Beispiel 18:

• Angaben bleiben gleich

• Zusätzlich: Kredit von 60 zur tlw. Fremdfinanzierung mit Ratentilgung ohne Freijahre und ohne Agio bzw. Disagio– Kredit sei risikolos, d.h. dass in allen Zuständen und allen

Perioden Zt und Yt gedeckt sind

– Kapitalkostensatz: r1 = 8% p.a. und r2 = 9% p.a.

Nr. 86

Financial Leverage I.

• Statisch:Wie stark verändert sich der NCF, wenn sich der Operating Cash Flow um ein Prozent ändert

NCF

OCF

dOCF

dNCF

OCFdOCFNCF

dNCF

FL

FL

OCF des Änderung

NCF des Änderung

%

%

NCF

OCF

ZsOCF

OCFFL

dOCF

dNCF

ZsOCFNCF

)1(

1

)1(

:somit

OCF nach g1.Ableitun

mit

Nr. 87

Financial Leverage II.

• DynamischWie stark verändert sich der Wert des EK bei einer tlw. fremdfinanzierten Unternehmung, wenn sich der Barwert des EK einer rein eigenfinanzierten Unternehmung um ein Prozent ändert

1

1

1

1

1

1

1

1

%

%

t

t

t

t

t

t

t

t

dynt

dynt

E

U

dU

dE

UdUE

dE

FL

FL

zierungEigenfinan reiner bei eginnPeriondenb zu

EK des Wertesdes Änderung

zierungFremdfinan tlw. bei eginnPeriondenb zuEK

des Wertesdes Änderung

1

1

1,

'1

1

)1(

)(

t

tdynt

t

t

ttD

ttt

E

UFL

dU

dE

Dk

ZEsUE

somit

mit

Nr. 88

Financial Leverage III. – dynamischDarstellung als Abhängigkeit vom Verschuldungsgrad

• ft = Verhältnis des Wertes der zukünftigen Zinsaufwendungen zum Wert des FK

t

T

t tD

t

t D

kZE

f

1 1,

'1

)1()(

tttt

ttttt

DfsUE

DDfsUE

)1(

• Angestrebter Verschuldungsgrad t

tt V

Dv *

*1

*1

1

*1

*11

1)1(1

1

1

t

tt

dynt

t

ttdynt

v

vfsFL

v

vfsFL

Angestrebtes Zielverhältnis zwischen Wert des FK und

wert des EK zu Periodenbeginn

1

1

t

t

E

D

Nr. 89

Berücksichtigung Fremdfinanzierung bei einheitlicher Diskonierung

• Für teilweise fremdfinanzierte Projekte gilt:

0SEZUV tt

1,

1

1,

'11

11

)(

tG

t

tG

ttt k

V

k

ZsOCFEV

• Aufgelöst nach kG,t+1

tDttEttG kvkvk ,1,1, )1(

Nr. 90

Berücksichtigung Fremdfinanzierung bei einheitlicher DiskontierungWACC Ansatz

• Für den risikoangepassten Kalkulationszinssatz kD,t+1 wird die

Effektivverzinsung des FK verwendet

ik tD ,

• Bei den Cash Flows wird die Steuerersparnis infolge Zinsaufwand ignoriert

)1()1( 1,1, sivkvk ttEttG

• Demnach gilt:

• Der Kapitalkostensatz ergibt sich aus:

1,

1

1,

1

11

)(

tG

t

tG

tt k

V

k

OCFEV

Nr. 91

Berücksichtigung Fremdfinanzierung bei einheitlicher Diskontierung

Modigliani-Miller-Approximation

• Bei den Cash Flows wird die Steuerersparnis infolge Zinsaufwand ignoriert

)1( *1, tttG vsk

• Der Kapitalkostensatz ergibt sich aus:

• Exakte Ergebnisse falls:

- Konstante risikolose Zinssätze rt = r

- Risikoloses, Ewiges Fremdkapital

Nr. 92

Bewertung mit einem einheitlichen (risikoangepassten) Kapitalkostensatz

• Bis jetzt: Unterschiedlich riskante Zahlungen wurden mit unterschiedlichen (risikoangepassten) Kapitalkostensätzen diskontiert.

• Jetziges Vorhaben: Diskontierung der unterschiedlich riskanten Zahlungen mit einem einheitlichen, risikoangepassten, periodenspezifischen Kapitalkostensatz,

• Zusammenfassung der zu berücksichtigenden Zahlungen– Für jede Periode t = 1,….., T.

– Für die letzte Periode t = T zusätzlich:

– In Summe also

tEk ,

)(

])()1[()1(

'

,

ttt

t

tftt

ZsYZ

Afas

CxpEs

)( TTT BWRsR

sonst

für

0

)()'()(

TtBWRsRYNCFEYNCFE TTT

tttt

)'( tt YNCFE

Nr. 93

Marktwert des EK und Diskontierung mit einheitlichem Kapitalkostensatz I.

• Retrograde Ermittlung von E0:

zierungFremdfinan teilweise bei

EK das für tensatzKapitalkos ...tEk ,

1,

1

1,

110

1,

1

1,

11

,,1

11

)(

11

)(

11

)(

0

EE

tE

t

tE

ttt

TE

T

TE

TTT

T

k

E

k

YNCFEE

k

E

k

YNCFEE

k

E

k

YNCFEE

E

Nr. 94

Marktwert des EK und Diskontierung mit einheitlichem Kapitalkostensatz II.

• Allgemein muss gelten:

1,

1

1,

11

11

)(

tE

t

tE

tt

E

ttt k

E

k

YNCFEDSEZU

t

• Aufgelöst nach kE,t+1 -> ergibt sich:

1

1

,,

,1

1

1

1,

)1(

111

t

tdynt

tDdyntt

dynttE

tDt

tt

t

ttE

E

UFL

kFLFLk

kE

U

E

Uk

mit

bzw.

Nr. 95

Risikoangepasste Kapitalkostensätze und normierte systematische Risiken I.

• Umsatz-Beta

tVZttMt

ttM

tMttttMt

t

tttttt

t

ttttt

tt

rrEr

PVr

rxpCovrrEr

PV

xpExpEr

PV

xpCExpEr

r

,,

1,2

,,

1

1

])([

1

)(

),(])([

])([)(

)()(

hlagRisikoabsc

ieRisikopräm

),()(

)(,

,2

,tMtt

tM

ttM rxpCovr

rrE

hlagRisikoabsc

Beta-Umsatz ...,tVZ

Nr. 96

Risikoangepasste Kapitalkostensätze und normierte systematische Risiken II.

• Projekt-Beta

tdyntt

dyntt rOLOL )1(

ersetzt durcht

tVZttMtt rrEr ,, ])([

Beta-Projekt ...,tIP

tIPttMtt

dynttVZttMtt

rrEr

OLrrEr

,,

,,

])([

])([

Nr. 97

Risikoangepasste Kapitalkostensätze und normierte systematische Risiken III.

• Equity-Beta

tDdyntt

dynttE kFLFLk ,, )1(

Beta-Equity ...,tE

tEttMttE

dynttVZ

dyntttMttE

rrErk

OLFLrrErk

,,,

,,,

])([

])([

ersetzt durcht

tdyntt

dyntt rOLOL )1(

Nr. 98

Zusammenfassung

tVZttMtt rrEr ,, ])([ Beta-Umsatz ...,tVZ

Beta-Projekt ...,tIP dynttVZtIP OL ,,

Beta-Equity ...,tE

tIPdynttE

dynttVZ

dynttE

FL

OLFL

,,

,,

Nr. 99

Empirische Ermittlung

• Schätzung historischer Equity-Betas auf Grund:– historischer Aktienrenditen

– und entsprechender historischer Indexstände

-> Normierte systematische Risiken des EK bei tlw. Fremdfinanzierung

dynE

A FL

0

0

1)1(1

v

vsFLdyn

• Ermittlung der Asset-Betas durch:

wobei der FL approximiert wird durch:

-> Normierte systematische Risiken des EK bei reiner Eigenfinanzierung

Nr. 100

Adjusted Present Value Methode (APV)

T

tt

t

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E(OCF) -> nach Steuern

!! Ohne Berücksichtigung des Steuerersparnis aufgrund Kredit!!

Restwert nach Steuern

Steuerersparnis aufgrund Kredit