UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

KATJA SKUBIC

VERIZNI ULOMKI IN NESKONCNEVRSTE

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2014

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

MATEMATIKA IN RACUNALNISTVO

KATJA SKUBIC

Mentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR

Somentor: asist. dr. TADEJ STARCIC

VERIZNI ULOMKI IN NESKONCNEVRSTE

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2014

ZAHVALA

Zahvala gre predvsem mentorju dr. M. Slaparju in somentorju dr.T. Starcicu, sprva

zato, ker sta me s svojimi predavanji navdusila za specificen del matematike in mi

ga priblizala. Nato pa se zahvala za strokovno vodenje ter ves trud in cas, ki sta ga

vlozila v delo moje diplomske naloge.

Seveda pa ne gre brez zahvale starsem, katera sta me vsa leta mojega studija

podpirala na vseh podrocjih, me razumela, spodbujala in skupaj z mano vztrajala

v najtezjih trenutkih. Hvala vama, in vedita, da mi brez vaju ne bi uspelo.

Na koncu bi se zahvalila se najblizjim prijateljem, ker ste mi vedno in ne glede

na vse stali ob strani, me navdihovali in podpirali ob studiju.

POVZETEK

V diplomskem delu bom skusala razumljivo predstaviti koncept splosnih veriznih

ulomkov, njihovo povezavo s stevilskimi vrstami oziroma nekaterimi analiticnimi

funkcijami. Pri tem si bom poblizje ogledala tudi osnovne koncepte neskoncnih

vrst, ustavila pa se bom tudi pri zgodovini veriznih ulomkov, saj njihovi zametki

segajo dalec v zgodovino matematike in so povezani s stevilnimi pomembnimi ma-

tematicnimi imeni.

Na koncu pa se bom posvetila se dobro znanim matematicnima konstantama, ki nas

spremljata ze skozi dolga stoletja. To sta stevili π in e. Raziskovanje bo namenjeno

predvsem njuni predstavitvi z veriznimi ulomki ob pomoci izpeljav iz neskoncnih

vrst.

KLJUCNE BESEDE: verizni ulomek, neskoncna vrsta, neskoncni verizni ulomek,

konvergenca, stevilo π, stevilo e, Taylorjeva vrsta

ABSTRACT

The intention of this diploma is to present the concept of continued fractions, their

conection with infinite series and some analitical functions. There will be also pre-

sented the concept of numerical series.

There is a lot of history behind the continued fractions. I will only mention a few

most important names which are linked with beginnings of continued fractions.

At the end I will present two most known constants, numbers π and e. I will try

to write them with continued fractions using infinite series because of their close

connection.

KEY WORDS: continued fraction, infinite series, infinite continued fraction,

constant π, constant e, Taylor series

Kazalo

1 UVOD 1

2 VERIZNI ULOMKI 3

2.1 Kratka zgodovina veriznih ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Osnovna definicija in lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Neskoncni verizni ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Transformacija veriznih ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 NESKONCNE VRSTE 12

3.1 Stevilske vrste in vsota vrste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Potrebni in zadostni pogoj konvergence neskoncne vrste . . . . . . . . 14

3.3 Taylorjeva vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 POVEZAVA MED VERIZNIMI ULOMKI IN NESKONCNIMI

VRSTAMI 18

5 VERIZNI ULOMKI IN STEVILO π 24

6 VERIZNI ULOMKI IN STEVILO e 29

7 ZAKLJUCEK 31

1 UVOD

Verizni ulomki so nastali predvsem zaradi potreb in zelja po tako imenovanih ”ma-

tematicno cistih”predstavitvah realnih stevil. Vecina ljudi pozna desetisko predsta-

vitev realnih stevil, ki pa ni brez pomanjkljivosti. Stevilo deset je namrec posledica

bioloske pogojenosti in ne necesa, kar bi bilo povezano z matematiko samo. Druga

tezava je v tem, da mnogo racionalnih stevil ni moc izraziti s koncnim stevilom stevk

v taksnem zapisu, medtem ko zapis iracionalnih stevil na tak nacin sploh ni mogoc.

Zapis z veriznimi ulomki pa je predstavitev stevil, ki se deloma izogne tem tezavam.

Koncept veriznih ulomkov je leta 1572 prvic uporabil italijanski matematik Ra-

fael Bombelli pri racunanju kvadratnih korenov, prava teorija veriznih ulomkov pa

se je nato zacela razvijati z Wallisom, Huygensom, Eulerjem in drugimi znanimi

matematiki. Verizni ulomki so tesno povezani s teorijo stevil ter problemi v teoriji

analiticnih funkcij.

V zacetku diplomskega dela se bomo seznanili s kratko zgodovino veriznih ulom-

kov in tako videli, da pojem veriznega ulomka res sega dalec v zgodovino matematike.

V nadaljevanju si bomo ogledali osnovne pojme veriznih ulomkov, njihov zapis, po-

leg tega pa bomo posebno pozornost namenili tudi neskoncnim veriznim ulomkom,

saj je nekaj znanih stevil moc pokazati z neskoncnimi veriznimi ulomki in na tak

nacin natancneje zapisati njihove priblizke. Nekaj pozornosti bom posvetila tudi

neskoncnim vrstam. Vrsta matematicno pomeni vsoto zaporedja njenih clenov. Je

torej seznam stevil, med katerimi se izvaja operacija sestevanja oziroma odstevanja.

Vrste so lahko koncne ali neskoncne. Koncne vrste lahko obravnavamo ze z elemen-

tarno algebro, ce pa zelimo uporabiti neskoncne vrste, moramo poseci po orodjih

matematicne analize. Seznanili se bomo tudi z izpeljavo nekaterih znanih vrst.

Osrednji del diplomskega dela bo namenjen predstavitvi povezave med veriznimi

ulomki in nekaterimi iracionalnimi (transcedentnimi) realnimi stevili. Veliko iracio-

nalnih stevil je namrec z veriznimi ulomki mogoce opisati na zelo lep in enostaven

nacin, cesar denimo za njihov decimalni zapis ne moremo trditi.

Na koncu bomo posebno pozornost bomo namenili znanima konstantama π in e,

ki ju danes srecamo na skoraj vseh podrocjih matematike, pri cemer zanimanje za

π seze skoraj 2000 let pr.n.st., stevilo e pa se prvic pojavi v 17. stoletju. Se danes

1

se predvsem s stevilom π ukvarja kar nekaj znanstvenikov. Eden od razlogov za

preprosto predstavitev z veriznimi ulomki je njihova tesna povezanost s stevilskimi

vrstami, katere nam dokaj enostavno opisejo nekatera stevila.

Glavni viri, ki sem jih uporabila v diplomskem delu so osnove analize vrst [1],

matematicni clanek [6] in knjiga o veriznih ulomkih [4].

2

2 VERIZNI ULOMKI

V tem razdelku si bomo poblize ogledali zgodovino veriznih ulomkov, osnovne

lastnosti veriznih ulomkov, njihov zapis, transformacije in tudi neskoncne verizne

ulomke. Pri tem bomo uporabili literaturo [3], [4], [6], [7].

2.1 Kratka zgodovina veriznih ulomkov

Zametke racunanja veriznih ulomkov je moc videti v Evklidovem algoritmu (300

pr. n. st.), saj gre v bistvu za isto stvar. Algoritem kot stranski rezultat enakovre-

dno poda clene zapisa veriznih ulomkov.

Indijski matematik in astronom Aryabhata I. je uporabljal verizne ulomke pri

racunanju linearnih nedolocenih enacb, oblike ax+c = by (diofantska enacba, Arya-

bhatov algoritem). Za zacetnika teorije veriznh ulomkov velja italijanski matematik

Rafael Bombelli. Prvic jih je uporabil leta 1572 pri racunanju kvadratnih korenov.

Odkril je tudi, da se dajo iracionalna stevila zelo tocno aproksimirati z veriznimi

ulomki. Aproksimiral je√

13. V tem casu se je z veriznimi ulomki ukvarjal tudi

Pietro Antonio Cataldi. Tudi Cataldi je na podoben nacin s periodicnim veriznim

ulomkom izrazil√

18.

Z delom Johna Wallisa so verizni ulomki dobili svoje upraviceno mesto v mate-

matiki. V svoji knjigi Algebrski traktat (Tractatus de algebra), (izsla leta 1685) je

Wallis zapisal π na 35 decimalk s priblizkom neskoncnega veriznega ulomka.

Prvi neskoncni (posploseni) verizni ulomek je zapisal Lord Brouncker v svojem

delu iz leta 1659 za razvoj stevila 4π, na podlagi Wallisovega produkta za π

2.

V svojem delu Matematicno delo (Opera Mathematica) je Wallis leta 1695 tudi

prvic uporabil izraz ”verizni ulomek”. V slovenscino je izraz uvedel Josip Plemelj.

Znacilnosti in teorijo veriznih ulomkov sta naprej razvila Huygens leta 1703 in

Leonhard Euler leta 1744. Lagrange je mislil, da bi bilo mogoce prepoznati vsako

algebrsko stevilo iz njegovega veriznega ulomka. Periodicnost veriznih ulomkov za

kvadraticne iracionale je dokazal sedemnajstletni Evariste Galois leta 1828. [7]

3

2.2 Osnovna definicija in lastnosti

Ogledali si bomo obliko zapisa veriznega ulomka in nato se kako ulomek pq

zapisemo

v obliki enostavnega veriznega ulomka.

Definicija 2.1. Posploseni verizni ulomek je ulomek, ki je v splosnem zapisan

kot

a0 +b1

a1 +b2

a2 +b3

a3 +

. . .

an−1 +bn

an

, (1)

pri cemer sta ak in bk realni stevili za vse k = 1, 2, . . . , n.

V nadaljevanju bomo pridevnik posploseni izpustili.

Omenimo se, da je verizni ulomek enostaven, ce so vsi bk enaki 1 in vsi ak

pozitivni za k ≥ 1.

Torej, ga zapisemo v naslednji obliki:

a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 +

.. .

an−1 +1

an

.

Trditev 2.1. Vsak ulomek pq

lahko zapisemo v obliki enostavnega veriznega ulomka.

Dokaz. Ce je p ≥ q, potem delimo p s q:

p = a0q + r1 (0 ≤ r1 < q) oziromap

q= a0 +

r1

q= a0 +

1

q

r1

.

Ce je p < q, potem je a0 = 0.

4

Sedaj delimo q z r1:

q = a1r1 + r2 oziromaq

r1= a1 +

r2

r1= a1 +

1

r1

r2

.

Sedaj delimo r1 z r2 in tako dalje. Ker se ostanki r1, r2, . . . nenehno manjsajo, se

ta proces slej ali prej konca. Ce dobro pogledamo, vidimo, da je to pravzaprav

Evklidov algoritem za stevili p in q.

Denimo torej, da je rn zadnji od nic razlicen ostanek:

rn−2

rn−1= an−1 +

rn

rn−1= an +

1

rn−1

rn

inrn−1

rn= an .

Vidimo, da je

p

q= a0 +

1

a1 +1

a2 +1

. . . +1

an

.

Opaziti je, da je ta zapis ocitno enolicen.

Zapis veriznega ulomka

a0 +b1

a1 +b2

a2 +b3

a3 +

.. .

an−1 +bn

an

,

zahteva kar nekaj prostora, kar lahko opazimo tudi sami. Zato imamo na voljo nekaj

krajsih zapisov.

5

Lahko ga zapisemo kot

a0 +b1

a1+

b2

a2+

b3

a3+...

+

bn

an.

Ce imamo opravka z enostavnim ulomkom, pa njegov skrajsan zapis izgleda takole:

a0 +1

a1+

1

a2+

1

a3+...

+

1

an= 〈a0; a1, a2, a3, ..., an〉 .

ZGLED: Oglejmo si enostaven primer zapisa ulomka z veriznimi ulomki.

Imejmo stevilo 6732

in ga zapisimo kot 6732

= 2 + 332

.

Ker je stevec manjsi kot imenovalec, lahko ulomek zapisemo kot dvojni ulomek in

dobimo:

67

32= 2 +

3

32= 2 +

1

32

3

.

Ulomek 323

zapisemo kot 323

= 10 + 23

in podobno kot zgoraj 323

= 10 + 132

.

To vstavimo v zgornjo enacbo in dobimo

67

32= 2 +

3

32= 2 +

1

3 +1

3

2

.

Ker je 32

= 1 + 12

v nadaljevanju dobimo

67

32= 2 +

1

10 +1

1 +1

2

in s tem zakljucimo, saj je stevec manjsi od imenovalca.

6

2.3 Neskoncni verizni ulomki

Iracionalnih stevil ne moremo vec zapisati s koncnimi enostavnimi veriznimi ulomki,

zato je koristno vpeljati neskoncne verizne ulomke. Neskoncni verizni ulomki iraci-

onalnih stevil pridejo prav ze zato, ker njihovi prvi cleni nudijo odlicne racionalne

priblizke stevila.

Definicija 2.2. Naj bosta {an} in {bn}, n = 1, 2, . . . zaporedji realnih stevil in naj

bo

cn := a0 +b1

a1+

b2

a2+

b3

a3+...

+

bn

an

defininiran za vse n. Pravimo, da je cn n-ti verizni priblizek veriznega ulomka.

Ce obstaja limita limn→∞

cn pravimo, da verizni ulomek

a0 +b1

a1 +b2

a2 +b3

a3 +. . .

(2)

konvergira.

Za neskoncni enostavni verizni ulomek uporabljamo naslednjo notacijo:

〈a0; a1, a2, a3, ...〉 := limx→∞〈a0; a1, a2, a3, ..., an〉

in sicer s predpostavko, da desna stran obstaja.

Verizni ulomek predstavlja tisto realno stevilo, ki je limita (ce obstaja) zaporedja

veriznih priblizkov cn. Obstaja tudi zelo lepa teorija o veriznih priblizkih in njihovi

konvergenci. Z njo se tu podrobneje ne bomo ukvarjali. Za nas bo dovolj, da bo

konvergenca veriznih priblizkov konkretnih stevil sledila iz konvergence znanih vrst,

kar pa si bomo podrobneje pogledali v nadaljevanju.

7

Opomnimo se na naslednja dejstva:

- Predstavitev stevila z enostavnim veriznim ulomkom je koncna, ce in samo ce je

stevilo racionalno.

- Predstavitve ”preprostih”racionalnih stevil so z (enostavnimi) veriznimi ulomki

kratke.

- Predstavitev poljubnega racionalnega stevila z (enostavnim) veriznim ulomkom je

edina, ce na koncu ni 1.

- Predstavitev iracionalnega stevila je edinstvena.

- Cleni (enostavnega) veriznega ulomka se bodo ponavljali, ce in samo ce je stevilo

kvadraticna iracionala, oziroma, ce je realna resitev kvadratne enacbe.

- Okrajsane predstavitve stevila x z (enostavnim) veriznim ulomkom vodi do racio-

nalnega priblizka za x, ki je v dolocenem smislu ”najboljsi”racionalni priblizek.

Kot primer neskoncnega veriznega ulomka si oglejmo naslednji preprost zgled

stevila√

2. Zapisali ga bomo v obliki veriznega ulomka. Njegove konvergence, ki ni

ocitna, se tokrat ne bomo lotili raziskovati.

ZGLED: Zapis stevila√

2 v obliki neskoncnega veriznega ulomka.

Vemo, da je√

2.= 1.414213562. Zapisimo sedaj

√2 kot

√2 = 1 + (

√2− 1).

√2− 1 pa lahko zapisemo v obliki

√2− 1 =

1

1√

2− 1

=1

√2− 1

(√

2− 1)(√

2 + 1)

=1

√2 + 1√

2− 1

=1

√2 + 1

.

Ce nadaljujemo√

2 + 1 = 2 + (√

2− 1) ,

od prej pa ze vemo, da je√

2− 1 = 1√2+1

, torej lahko zapisemo

√2 + 1 = 2 +

1√2 + 1

.

Sedaj to vstavimo v√

2 = 1 + (√

2− 1) in dobimo

√2 = 1 +

1√2 + 1

= 1 +1

2 +1

√2 + 1

= 1 +1

2 +1

2 +1

√2 + 1

= . . .

8

Ocitno je, da se izraz√

2 + 1 ponavlja, zato lahko brez skode za splosnost zapisemo

neskoncni verizni ulomek stevila√

2 v naslednji obliki:

√2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +1

2 +1

2 +. . .

.

9

2.4 Transformacija veriznih ulomkov

Oglejmo si, kako transformiramo verizni ulomek v drugega. Za nas bo prirocno

v nadaljevanju in sicer natancneje pri zapisu veriznega ulomka v obliki vrste in

obratno.

Postopek je sledec:

Naj bodo ρ1, ρ2, ρ3 nenicelna realna stevila in naj bo

ξ = a0 +b1

a1 +b2

a2 +b3

a3

koncni verizni ulomek, kjer so ak in bk realna stevila. Ulomek v stevcu in imenovalcu

pomnozimo s ρ1 in dobimo

ξ = a0 +ρ1b1

ρ1a1 +ρ1b2

a2 +b3

a3

.

Nato mnozimo stevec in imenovalec ulomka ρ1b2 s ρ2 in dobimo

ξ = a0 +ρ1b1

ρ1a1 +ρ1ρ2b2

a2ρ2 +ρ2b3

a3

.

Nazadnje se stevec in imenovalec ulomka ρ2b3 mnozimo s stevilom ρ3 in dobimo

ξ = a0 +ρ1b1

ρ1a1 +ρ1ρ2b2

a2ρ2 +ρ2ρ3b3

ρ3a3

.

10

Dobljeni ulomek zapisemo v drugi obliki:

a0 +ρ1b1

ρ1a1 +ρ1ρ2b2

a2ρ2 +ρ2ρ3b3

ρ3a3

= a0 +ρ1b1

ρ1a1+

ρ1ρ2b2

ρ2a2 +

ρ2ρ3b3

ρ3a3

in tako vidimo, da ocitno velja

a0 +ρ1b1

ρ1a1+

ρ1ρ2b2

ρ2a2 +

ρ2ρ3b3

ρ3a3= a0 +

b1

a1+

b2

a2+

b3

a3.

Transformacijsko pravilo pa velja tudi za neskoncne verizne ulomke. To nam pove

naslednji izrek.

Izrek 2.1. Za zaporedje realnih stevil a1, a2, a3, . . . , b1, b2, b3, . . . in zaporedje nenicelnih

konstant ρ1, ρ2, ρ3, . . . , velja

a0+b1

a1+

b2

a2+

b3

a3+. . .

+

bn

an+· · · = a0+

ρ1b1

ρ1a1+

ρ1ρ2b2

ρ2a2 +

ρ2ρ3b3

ρ3a3 +. . .

+

ρn−1ρnbn

ρnan +. . . ,

ko sta leva in desna stran definirani.

Dokaz.

Iz razmisleka pred izrekom sledi

a0 +b1

a1+

b2

a2+

b3

a3+. . .

+

bn

an= a0 +

ρ1b1

ρ1a1+

ρ1ρ2b2

ρ2a2 +

ρ2ρ3b3

ρ3a3 +. . .

+

ρn−1ρnbn

ρnan. (3)

Ce obstaja limita za n → ∞ na levi strani, potem obstaja tudi na desni in iz tega

sledi, da transfomacijsko pravilo velja tudi za neskoncne verizne ulomke. Da je limita

definirana, pomeni, da verizni ulomek konvergira. �

Oglejmo si se zgled izraza (3) na konkretnem, enostavnem primeru.

ZGLED: Vzemimo verizni ulomek zapisan v naslednji obliki:

x = 1 +2

1 +

4

1 +

6

1.

Imejmo se tri nenicelne konstnte ρ1 = 2, ρ2 = 4, ρ3 = 6. Opazimo, da lahko s

pomocjo izraza (3), verizni ulomek zapisemo kot

x = 1 +2 · 22 · 1 +

2 · 4 · 44 · 1 +

4 · 6 · 66 · 6

= 1 +4

2 +

32

4 +

144

6.

Verizni ulomek, ki ga transformiramo z nenicelnimi konstantami je enak prvotni

obliki ulomka.

11

3 NESKONCNE VRSTE

V tem poglavju se bomo podrobneje srecali z vrstami. Ogledali si bomo osnovne

lastnosti neskoncnih vrst, njihovo konvergenco in se poblize spoznali s Taylorjevo

vrsto. Glavna literatura uporabljena v tem razdelku je [1], [5], [8], [9], [10].

3.1 Stevilske vrste in vsota vrste

Sestevanje stevil je osnovna aritmeticna operacija, ki jo spoznamo ze v nasih pr-

vih stikih z matematiko. Takrat se naucimo, kako se sesteje dve stevili in da vrstni

red sestevanja ni pomemben. Operacijo sestevanja lahko brez tezav posplosimo na

koncno stevilo sumandov, stvari pa se zapletejo, ko zelimo sesteti neskoncno mnogo

stevil. Vsota danega zaporedja stevil lahko obstaja ali pa ne. Ce obstaja, je lahko

vcasih odvisna tudi od vrstnega reda sestevanja.

Oglejmo si torej kaj stevilska vrsta v resnici je.

Definicija 3.1. Stevilska vrsta oziroma vrsta realnih stevil je zaporedje realnih stevil

(an), ki ga zapisemo kot formalno vsoto∑∞

n=1 an = a1 + a2 + a3 + . . .

Ponavadi nas zanima predvsem vsota vrste.

Vsota prvih n clenov zaporedja:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

S4 = a1 + a2 + a3 + a4

. . .

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

Dobljene vsote imenujemo delne vsote zaporedja. Oznacujemo jih s Sn. Zapo-

redje S1, S2, S3, . . . , Sn pa imenujemo zaporedje delnih vsot.

12

Definicija 3.2. Stevilska vrsta∑∞

n=1 an je konvergentna, ce konvergira njej pri-

druzeno zaporedje delnih vsot (Sn).

Torej, ce je limita zaporedja delnih vsot koncna, potem je vrsta konvergentna,

v nasprotnem primeru pa je divergentna. V primeru, ko je vrsta konvergentna, je

limita limn→∞

Sn vsota vrste.

Oglejmo si sedaj eno najbolj znanih vrst. Geometrijska vrsta je osnovni primer

stevilske vrste.

ZGLED: Naj bosta a in q 6= 1 kompleksni stevili in an = aqn−1. Pridruzena

geometrijska vrsta je tedaj ∑an = a+ aq + aq2 + . . .

Njeno zaporedje delnih vsot

Sm = a+ aq + · · ·+ aqm−1 = a(1 + q + · · ·+ qm−1) =1− qm

1− q· a

konvergira natanko tedaj, ko konvergira geometrijsko zaporedje (qm). Iz teorije o

zaporedjih vemo, da se to zgodi, ce in samo ce je |q| < 1. Od tod torej sklepamo,

da geometrijska vrsta konvergira, ce je |q| < 1, njena vsota pa je v tem primeru

∞∑n=1

aqn−1 = limm→∞

Sm = limm→∞

a1− qm

1− q=

a

1− q.

13

3.2 Potrebni in zadostni pogoj konvergence neskoncne vrste

Ce je vrsta∑∞

k=1 ak konvergentna, potem za njene clene velja limn→∞

an = 0.

To je torej enostavni potrebni pogoj za konvergenco, ki pa je hkrati tudi zadostni

pogoj za ugotavljanje divergence vrste. V primeru, ko limn→∞

an 6= 0 je vrsta zanesljivo

divergentna.

V naslednjem izreku si oglejmo se nekaj kriterijev za ugotavljanje konvergence

vrste s pozitivnimi cleni. Kriteriji predstavljajo zadostni pogoj.

Izrek 3.1. (Cauchyev korenski kriterij). Naj bo∑∞

n=1 an vrsta s pozitivnimi cleni

an ≥ 0 za vsak n. Ce obstaja m ∈ N in pozitivno stevilo q < 1, tako da velja

n√an ≤ q < 1 za n ≥ m, vrsta konvergira. Ce velja n

√an ≥ 1 za neskoncno mnogo

clenov, vrsta divergira.

(D’Almbertov kvocientni kriterij). Naj bo∑∞

n=1 an vrsta s pozitivnimi cleni

an > 0 za vsak n. Ce obstajata m ∈ N in pozitivno stevilo q < 1, tako da veljaan+1

an≤ q < 1 za vsak n ≥ m, vrsta konvergira. Ce velja an+1

an≥ 1 za vsak n ≥ m,

vrsta divergira.

(Leibnizov kriterij za alternirajoce vrste). Naj bo∑∞

n=1(−1)n−1an, pri cemer

an > 0, alternirajoca vrsta za katero velja:

- limn→∞

(an) = 0,

- zaporedje pozitivnih stevil (an) je padajoce.

Potem je vrsta∑∞

n=1(−1)n−1an konvergentna. Dodatno velja tudi∣∣∣∣∣∞∑n=1

(−1)n−1an −k∑

n=1

(−1)n−1an

∣∣∣∣∣ ≤ ak+1 .

14

3.3 Taylorjeva vrsta

Predno se lotimo podrobnejsega vpogleda v Taylorjevo vrsto, si oglejmo kaj je

potencna vrsta.

Potencna vrsta ene spemenljivke je v matematiki neskoncna vrsta oblike

f(x) =∞∑n=0

an(x− a)n = a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + a3(x− a)3 + . . . ,

kjer je an koeficient n-tega clena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka. Vrsta

po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kaksne znane funkcije.

Podrobneje si bomo ogledali Taylorjevo vrsto.

Definicija 3.3. Naj bo funkcija f poljubno mnogokrat odvedljiva v tocki a. Potencni

vrsti

f(x) = f(a)+f ′(a)

1!(x−a)+

f ′′(a)

2!(x−a)2+

f ′′′(a)

3!(x−a)3+ · · · =

∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x−a)n

pravimo Taylorjeva vrsta funkcije f okoli tocke a.

Ce ta vrsta konvergira za vsak x na intervalu (a−r, a+r) in je vsota enaka f(x),

potem funkciji f(x) recemo analiticna funkcija. Funkcija je analiticna, ce in samo ce

jo lahko predstavimo kot potencno vrsto. Koeficienti so v taksni potencni vrsti po-

tem nujno tisti iz zgornje definicije Taylorjeve vrste. Taylorjeva vrsta konvergentne

potencne vrste je ta vrsta sama. Tudi osnovne elementarne funkcije so analiticne.

Obstajajo primeri neskoncno mnogokrat odvedljivih funkcij f(x), katerih Taylorjeve

vrste konvergirajo, vendar niso enake f(x).

Nekaterih funkcij ne moremo zapisati s Taylorjevimi vrstami, ker vsebujejo singu-

larnost. V taksnih primerih jo lahko se vedno razvijemo v vrsto, ce dovolimo tudi

negativne potence spremenljivke x. [10]

Predno se lotimo izpeljav nekaj znanih Taylorjevih vrst, povejmo se, da konver-

genc naslednjih vrst ni tezko videti s pomocjo kvocientnega oziroma Leibnizovega

kriterija. Zato se dokazovanja konvergentnosti pri naslednjih zgledih ne bomo lo-

tevali. Poleg tega pa je opaziti, da so vse naslednje izpeljane vrste enake svojim

funkcijam f(x). Da je to res, lahko bralec sam preveri v literaturi [1].

15

Oglejmo si izpeljavo Taylorjeve vrste za sin(x).

ZGLED: f(x) = sin(x)

Izracunamo odvode in dobimo:

f ′(x) = cos(x), f ′′(x) = − sin(x), f ′′′(x) = − cos(x), f ′′′′(x) = sin(x) .

Torej je

f(0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0, f ′′′(0) = −1 .

Opazimo, da se vrednosti odvodov periodicno ponavljajo, zato lahko posplosimo raz-

mislek za poljuben odvod. Zaporedje koeficientov je torej (0, 1, 0,−1, 0, 1, 0,−1, . . . ).

Tako torej sledi razvoj v vrsto okoli tocke x = 0 po formuli

f(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f (n−1)(0)

(n− 1)!xn−1 +

f (n)(0)

(n)!xn (4)

in dobimo

sin(x) =∞∑n=0

(−1)n+1

(2n+ 1)!x2n+1 =

x

1!− x3

3!+x5

5!− x7

7!+x9

9!− . . .

za vse x.

Na podoben nacin se lotimo tudi razvoja Taylorjeve vrste za stevilo ex.

ZGLED: f(x) = ex

Oglejmo si odvode f(x):

f ′(x) = f ′′(x) = · · · = f (n)(x) = ex in f ′(0) = f ′′(0) = · · · = f (n)(0) = e0 = 1 .

Po formuli (4) iz prejsnjega zgleda, razvijemo vrsto okoli tocke x = 0 in dobimo

ex =∞∑n=0

xn

n!= 1 +

x

1!+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ . . .

za vse x.

Oglejmo si se razvoj Taylorjeve vrste za ln(1 +x), saj jo bomo v nadaljevanju se

potrebovali.

16

ZGLED: f(x) = ln(1 + x)

Oglejmo si odvode f(x) :

f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = x−3, f ′′′′(x) = −x−4 .

Po formuli (4) lahko podobno kot v prejsnjem zgledu razvijemo vrsto okoli tocke

x = 0 in dobimo

ln(1 + x) = f(0) +f ′(0)x

1!+f ′′(0)x2

2!+f ′′′(0)x3

3!+ . . .

Tako je

ln(1 + x) =∞∑n=0

(−1)n−1x−n = x− x2

2+x3

3− x4

4+ . . .

za |x| < 1.

V naslednjem zgledu si bomo ogledali izpeljavo Taylorjeve vrste za arctanx, ki je

malo bolj zapletena in velja za |x| < 1. Da velja tudi za x = 1, sledi iz Leibnitzovega

konvergencnega kriterija ter Abelovega izreka. Bralec si lahko to podrobneje ogleda

v literaturi [1].

ZGLED: S pomocjo razvoja v geometrijsko vrsto zapisimo odvod arctan(x):

(arctan(x))′ =1

1 + x2=∞∑n=0

(−x2)n = (−1)n(x2n) pri cemer |x| < 1 .

Zapisemo se v obliki integrala izraz arctan(x) in dobimo:

C + arctan(t) =

∫ x

0

1

1 + t2dt =

∫ x

0

( ∞∑n=0

(−1)nt2n)dt

=∞∑n=0

(−1)n∫ x

0

t2ndt =∞∑n=0

(−1)nt2n+1

2t+ 1.

Opazimo, da je za x = 0, c = 0. Torej je tako Taylorjeva vrsta za arctan(x):

arctan(x) =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)= x−

x3

3+x5

5−x7

7+ . . . za ∀x ∈ [−1, 1] .

17

4 POVEZAVA MED VERIZNIMI ULOMKI IN

NESKONCNIMI VRSTAMI

V nadaljevanju si bomo ogledali povezavo med veriznimi ulomki in neskoncnimi

vrstami ter z njimi povezane izreke. To je opisal in dokazal ze L. Euler v [2]. V tem

razdelku bomo uporabili literaturo [1], [2] in [6].

Naj bodo α1, α2, α3, . . . katerakoli realna stevila, kjer αk 6= 0 in αk 6= αk−1 za

vse k ∈ N. Opazimo da

1

α1

−1

α2

=α2 − α1

α1α2

=1

α1α2

α2 − α1

.

Ce je

α1α2

α2 − α1

=α1(α2 − α1) + α2

1

α2 − α1

= α1 +α21

α2 − α1

,

potem dobimo

1

α1

−1

α2

= α1 +α21

α2 − α1

.

Iz tega sledi naslednji izrek.

Izrek 4.1. Ce so α1, α2, α3, . . . nenicelna realna stevila, αk 6= αk−1 za vse k, potem

za katerikoli n ∈ N velja

n∑k=1

(−1)k−1

αk=

1

α1 +α21

α2 − α1 +α22

α3 − α2 +

. . .

α2n−1

αn − αn−1

.

Zlasti, ce n→∞, sklenemo

n∑k=1

(−1)k−1

ak=

1

α1+

α21

α2 − α1+

α22

α3 − α2+

α23

α4 − α3+. . . (5)

18

Dokaz. Izrek bomo dokazali s pomocjo indukcije.

V prvem koraku preverimo ali izrek drzi za n = 1. Kot vidimo je to precej ocitno,

saj je vsota enega clena res ulomek in sicer

1∑k=1

(−1)1−1

α1

=1

a1.

V indukcijskem koraku predpostavimo, da izrek drzi za vsoto z n cleni in pokazemo,

da velja tudi za vsoto z n+ 1 cleni.

Vsoto z n+ 1 cleni torej preoblikujemo v vsoto z n cleni in dobimo:

n+1∑k=1

(−1)k−1

αk=

1

α1

−1

α2

+ · · ·+(−1)n−1

αn+

(−1)n

αn+1

=1

α1

−1

α2

+ · · ·+ (−1)n−1(1

αn−

1

αn+1

)

=1

α1

−1

α2

+ · · ·+ (−1)n−1(αn+1 − αnαnαn+1

)

=1

α1

−1

α2

+ · · ·+ (−1)n−11

αnαn+1

αn+1 − αn

.

Na dobljeni preoblikovani vsoti uporabimo indukcijsko predpostavko, da dobimo

naslednji izraz:

n+1∑k=1

(−1)k−1

ak=

1

α1+

α21

α2 − α1+. . .

+

α2n−1

αnαn+1

αn+1 − αn− αn−1

. (6)

Ce preoblikujemo zadnji clen v verizni ulomek, dobimo

αnαn+1

αn+1 − αn− αn−1 =

αn(αn+1 − αn) + α2n

αn+1 − αn− αn−1 = αn − αn−1 +

α2n

αn+1 − αn.

Vstavimo ga v zgornjo enacbo (6) in dobimo

n+1∑k=1

(−1)k−1

ak=

1

α1+

α21

α2 − α1+. . .

+

α2n−1

αn − αn−1 +α2n

αn+1 − αn

.

Sklenemo lahko torej, da izrek velja tudi za vsoto n+1 clenov in tako zakljucimo

nas dokaz.

19

Oglejmo si se eno zanimivost. Naj bodo α1, α2, α3, . . . realna, nenicelna stevila,

ki nikoli niso enaka 1. Opazimo da

1

α1

−1

α1α2

=α2 − 1

α1α2

=1

α1α2

α2 − 1

.

Ceα1α2

α2 − 1=α1(α2 − 1) + α1

α2 − 1= α1 +

α1

α2 − 1,

dobimo1

α1

−1

α1α2

=1

α1 +α1

α2 − 1

.

To dejstvo bomo uporabili v izpeljavi naslednjega pomembnega izreka.

Izrek 4.2. Za katerokoli realno zaporedje α1, α2, α3, . . . pri cemer αk 6= 0, 1, velja

n∑k=1

(−1)k−1

α1 . . . αk=

1

α1 +α1

α2 − 1 +α2

α3 − 1 +

. . .

αn−1 − 1 +αn−1

αn − 1

.

Zlasti, ce n→∞, sklenemo

∞∑k=1

(−1)k−1

α1 . . . αk=

1

α1+

α1

α2 − 1+

α2

α3 − 1+. . .

+

αn−1

αn − 1+. . . , (7)

ce vrsta konvergira.

Dokaz. Dokaza Izreka 4.2 se lotimo na podoben nacin, kot dokaza Izreka 4.1, torej

z indukcijo.

Za n = 1, dobimo∑1

k=1

(−1)1−1

α1

=1

a1. Tako je ocitno, da za vsoto enega clena, kot

rezultat dobimo ulomek.

Sedaj predpostavimo, da izraz velja za vsoto n clenov. Nato s pomocjo indukcij-

ske predpostavke pokazemo, da velja tudi za n + 1 clenov. Vsoto z n + 1 cleni

preoblikujemo v vsoto z n cleni:

20

n+1∑k=1

(−1)k−1

α1 . . . αk=

1

α1

− 1

α1α2

+1

α1α2α3

+ · · ·+ (−1)n−1

α1 . . . αn+

(−1)n

α1 . . . αn+1

=1

α1

− 1

α1α2

+1

α1α2α3

+ · · ·+(− 1)n−1( 1

α1 . . . αn− 1

α1 . . . αn+1

)=

1

α1

− 1

α1α2

+1

α1α2α3

+ · · ·+(− 1)n−1( αn+1 − 1

α1 . . . αn+1

)=

1

α1

− 1

α1α2

+1

α1α2α3

+ · · ·+(− 1)n−1( 1

α1 . . . αn−1 · αnαn+1

αn+1−1

).

Na tej vsoti uporabimo indukcijsko predpostavko in dobimo

n+1∑k=1

(−1)k−1

α1 . . . αk=

1

α1+

α1

α2 − 1+

α2

α3 − 1+. . .

+

αn−1

αnαn+1

αn+1 − 1− 1

. (8)

Zadnji clen preoblikujemo v verizni ulomek:

αnαn+1

αn+1 − 1− 1 = αn − 1 +

αnαn+1 − 1

.

Vstavimo v izraz (8) in dobimo

n+1∑k=1

(−1)k−1

α1 . . . αk=

1

α1+

α1

α2 − 1+

α2

α3 − 1+. . .

+

αn−1

αn − 1 +αn

αn+1 − 1

.

Sklenemo lahko torej, da izrek velja tudi za vsoto n + 1 clenov in tako zakljucimo

nas dokaz.

Izreka 4.1 in 4.2 spremenita vrsto v verizni ulomek. Sedaj si oglejmo zgled, ki na

enostaven nacin prikazuje uporabnost izrekov in s tem zanimivo povezavo veriznih

ulomkov z neskoncnimi vrstami.

21

ZGLED: Oglejmo si primer za log(1 + x).

Vemo, da

log(1 + x) =∞∑n=0

(−1)nxn+1

n+ 1=x1

1− x2

2+x3

3− x4

4+ . . .

Zapisimo α1 = 1x, α2 = 2

x2, α3 = 3

x3, α4 = 4

x4, . . . in s tem splosni clen an = n

xn.

Vstavimo v izraz (5), ki pravi

n∑k=1

(−1)k−1

ak=

1

α1+

α21

α2 − α1+

α22

α3 − α2+

α23

α4 − α3+. . .

Dobimo naslednjo dokaj kompleksno formulo:

log(1 + x) =11x

+

(1x

)22x2− 1

x+

(2x2

)23x3− 2

x2+

(3x3

)24x4− 3

x3+. . . ,

zato uporabimo transformacijsko pravilo (3) iz dokaza Izreka 2.1:

b1

a1+b2

a2+b3

a3+ · · ·+

bn

an=ρ1b1

ρ1a1+ρ1ρ2b2

ρ2a2+ρ2ρ3b3

ρ3a3+ · · ·+

ρn−1ρnbn

ρnan,

iz katerega pa odstranimo clen a0. Naj bodo ρ1 = x, ρ2 = x2, ρ3 = x3, ... in splosni

clen ρn = xn. Tako dobimo

11x

+

(1x

)22x2− 1

x+

(2x2

)23x3− 2

x2+

(3x3

)24x4− 3

x3+· · · = x

1 +

x

2− x+

4x

3− 2x+

9x

4− 3x+. . .

Torej je

log(1 + x) =x

1 +

x

2− x+

4x

3− 2x+

9x

4− 3x+. . .

oziroma v lepsi obliki

log(x+ 1) =x

1 +x

(2− x) +4x

(3− 2x) +9x

(4− 3x) +. . .

.

Kot zanimivost si oglejmo se, da v dobljeni verizni ulomek vstavimo x = 1. Dobimo

log 2 =1

1 +1

1 +4

1 +9

1 +. . .

.

22

Izpeljave neskoncnega veriznega priblizka log 2 pa se lahko lotimo tudi z druge strani.

Kot ze vemo velja

log 2 =∞∑k=1

(−1)k−1

k=

1

1−

1

2+

1

3−

1

4+ . . .

Ce vstavimo ak = k v izraz (5) iz Izreka 4.1, lahko zapisemo

log 2 =1

1 +

12

1 +

22

1 +

32

1 +. . . ,

kar pa lahko zapisemo kot verizni ulomek in tako dobimo prelep zapis log 2:

log 2 =1

1 +12

1 +22

1 +32

1 +42

1 +. . .

,

ki pa je popolnoma enak zgornjemu zapisu stevila.

23

5 VERIZNI ULOMKI IN STEVILO πZa zacetek si oglejmo verizni priblizek stevila 4

π, ki ga je prvi zapisal W. Bro-

uncker. Iz tega se je nato razvil verizni priblizek za stevilo π. V tem razdelku bomo

uporabili literaturo [1], [6] in [7].

Predno se lotimo, pa si oglejmo se trditev, ki nam pove, kaksen je verizni ulomek

obratne vrednosti.

Trditev 5.1. Imejmo verizni ulomek ξ = a0 + b1a1 +

b2a2 +

b3a3 +

. . .+bnan +· · · 6= 0. Za

njegovo obratno vrednost lahko zapisemo:

1

ξ=

1

a0 +

b1a1 +

b2a2 +

b3a3 +

. . .+

bnan +

. . .

Oziroma drugace, ce ξ = 〈a0; a1, . . . , an, . . . 〉, potem 1ξ

= 〈0; a0, a1, a2, . . . , an, . . . 〉.

Dokaz. Zapisimo ξ kot limito veriznih priblizkov ξ = limn→∞

ξn.

Vemo, da je

ξn = a0 +b1

a1 +.. . +

bn

an

in da je ξ′n = 1ξn

, torej zapisemo

ξ′n =1

a0 +b1

a1 +.. . +

bn

an

.

Oglejmo si se limito ξ′n.

Ker je

limn→∞

ξ′n = limn→∞

1

ξn=

1

ξ,

smo s tem pokazali, da zgornja Trditev 5.1 velja.

24

Vzemimo

arctan(x) = x−x3

3+x5

5−x7

7+ · · ·+ (−1)n−1

x2n−1

2n− 1+ . . . .

V izraz (5) iz Izreka 4.1 vstavimo α1 = 1x, α2 = 3

x3, α3 = 5

x5in splosni clen αn = 2n−1

x2n−1

in dobimo naslednjo formulo

arctan(x) =11x

+

1x2

3x3− 1

x+

32

x3

5x5− 3

x3+. . .

+

(2n−3)2(x2n−3)2

2n−1x2n−1 − 2n−3

x2n−3 +. . . (9)

Omenimo se, da lahko izraz preoblikujemo tudi z Izrekom 4.2. V izraz (7) vstavimo

α1 = 1x, α2 = 3

x2, α3 = 5

3x2, α4 = 7

5x2, . . . , αn = 2n−1

(2n−3)x2 , za n ≥ 2 in dobimo

arctan(x) =11x

+

1x

3x2− 1 +

3x3

53x2− 1 +

. . .+

2n−1(2n−3)x22n+1

(2n−1)x2 − 1 +. . . (10)

Izraz nato uredimo s transformacijskim pravilom (3) iz dokaza Izreka 2.1, pri katerem

pa pred tem se odstranimo clen a0:

b1

a1+b2

a2+b3

a3+ · · ·+

bn

an+ · · · =

ρ1b1

ρ1a1+ρ1ρ2b2

ρ2a2+ρ2ρ3b3

ρ3a3+ · · ·+

ρn−1ρnbn

ρnan+ . . .

Nato dolocimo ρ1 = x, ρ2 = x3, ... in v splosnem ρn = x2n−1. Vstavimo v zgornjo

enacbo (9), ki smo jo izpeljali iz Izreka 4.1 in v tem primeru dobimo

11x

+

1x2

3x3− 1

x+

32

x2

5x5− 3

x3+

52

x2

7x7− 5

x5+· · · = x

1 +

x2

3− x2 +

32x2

5− 3x2 +

52x2

7− 5x2 +. . . ,

torej je

arctan(x) =x

1 +

x2

3− x2 +

32x2

5− 3x2 +

52x2

7− 5x2 +. . . ,

oziroma lepse

arctan(x) =x

1 +x2

(3− x2) +32x2

(5− 3x2) +52x2

(7− 5x2) +. . .

.

Omenimo se, da bi dobili enak zapis arctan(x), ce bi preuredili tudi izraz (10). Bra-

lec lahko sam preveri, da to drzi.

25

Sedaj vstavimo v verizni priblizek x = 1 in tako dobimo

π

4=

1

1 +12

2 +32

2 +52

2 +. . .

,

izraz obrnemo s pomocjo Trditve 5.1 in tako dobimo Lord Brounckerjevo formulo:

4

π=

1

1 +12

2 +32

2 +52

2 +. . .

.

Sedaj si oglejmo se en postopek, s katerim pridemo do veriznega priblizka za

stevilo π.

Oglejmo si najprej teleskopsko vsoto, ki jo bomo potrebovali pri izpeljavi veriznega

ulomka za stevilo π:

∞∑k=1

(−1)n−1(1

n+

1

n+ 1) = (

1

1+

1

2)− (

1

2+

1

3) + (

1

3+

1

4)− · · · = 1. (11)

Oglejmo si vrsto π4. Dobimo jo tako, da sprva zapisemo ze poznano Taylorjevo vrsto

za arctan(x):

arctan(x) =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)= x−

x3

3+x5

5−x7

7+ . . . za ∀x ∈ [−1, 1] ,

nato vstavimo x = 1 in dobimo vrsto

π

4=

1

1−

1

3+

1

5−

1

7+ . . .

26

Ceπ

4=

1

1−

1

3+

1

5−

1

7+ · · · = 1−

∞∑k=1

(−1)n−1

2n+ 1,

mnozimo s stevilom 4, uporabimo izraz (11) in zapisemo:

π = 4− 4∞∑n=1

(−1)n−1

2n+ 1= 3 + 1− 4

∞∑n=1

(−1)n−1

2n+ 1

= 3 +∞∑n=1

(−1)n−1(1

n+

1

n+ 1)− 4

∞∑n=1

(−1)n−1

2n+ 1

= 3 + 3 +∞∑n=1

(−1)n−1(1

n+

1

n+ 1−

4

2n+ 1)

= 3 + 4∞∑n=1

(−1)n−1

2n(2n+ 1)(2n+ 2),

kjer zdruzimo ulomke v tretji in cetrti vrstici.

Nato vstavimo v formulo (5) iz Izreka 4.1 z αn = 2n(2n + 1)(2n + 2), pred tem pa

se opazimo, da

αn − αn−1 = 2n(2n+ 1)(2n+ 2)− 2(n− 1)(2n− 1)(2n)

= 4n[(2n+ 1)(n+ 1)− (n− 1)(2n− 1)]

= 4n[2n2 + 2n+ n+ 1− (2n2 − n− 2n+ 1)] = 4n(6n) = 24n2.

Sedaj lahko vstavimo αn v formulo (5):

1

α1

−1

α2

+1

α3

−1

α4

+ · · · =1

α1+

α21

α2 − α1+

α22

α3 − α2+

α23

α4 − α3+. . . ,

in dobimo

4∞∑n=1

(−1)n−1

2n(2n+ 1)(2n+ 2)= 4( 1

2 · 3 · 4+

(2 · 3 · 4)2

24 · 22 +

(4 · 5 · 6)2

24 · 32 +. . .)

=1

2 · 3+

(2 · 3 · 4)2

24 · 22 +

(4 · 5 · 6)2

2 · 4 · 32 +. . .

27

Zato je

π = 3 +1

6+

(2 · 3 · 4)2

24 · 22 +

(4 · 5 · 6)2

24 · 32 +. . .

+

(2(n− 1)(2n− 1)(2n))2

24 · n2 +. . . ,

nato uporabimo se transformacijsko pravilo iz Izreka 2.1:

b1

a1+

b2

a2+. . .

+

bn

an+· · · =

ρ1b1

ρ1a1+

ρ1ρ2b2

ρ2a2 +. . .

+

ρn−1ρnbn

ρnan +. . .

Ce ρ1 = 1 in ρn =1

4n2za n ≥ 2 vidimo, da

ρn−1ρnbn

ρnan=

14(n−1)2 ·

1

4n2· (2(n− 1)(2n− 1)(2n))2

1

4n2· 24 · n2

=(2n− 1)2

6.

Torej

π = 3 +12

6 +

32

6 +

52

6 +

72

6 +. . .

+

(2n− 1)2

6 +. . .

oziroma, ce zapisemo malo drugace

π = 3 +12

6 +32

6 +52

6 +72

6 +. . .

. (12)

28

6 VERIZNI ULOMKI IN STEVILO ePokazali bomo se en lep primer zapisa stevila s pomocjo veriznih ulomkov, in sicer

stevila e. Uporabili bomo literaturo [1] in [6].

Zapisimo obratno vrednost stevila e s pomocjo trditve 5.1, torej 1e

v obliki vrste:

1

e= e−1 =

∞∑n=0

(−1)2

n!= 1−

1

1+

1

1 · 2−

1

1 · 2 · 3+ . . . ,

torej je

e− 1

e= 1−

1

e=

1

1−

1

1 · 2+

1

1 · 2 · 3−

1

1 · 2 · 3 · 4+ . . . .

Ce vstavimo αk = k v enacbo (7) iz Izreka 4.2, ki pravi:

1

α1

−1

α1α2

+1

α1α2α3

− · · · =1

α1+

α1

α2 − 1+

α2

α3 − 1+. . .

+

αn−1

αn − 1+. . . ,

potem dobimoe− 1

e=

1

1 +

1

1 +

2

2 +

3

3 +. . . ,

oziromae− 1

e=

1

1 +1

1 +2

2 +3

3 +. . .

.

To preoblikujemo v izraz za e. Ulomek obrnemo, kot smo zapisali v Trditvi 5.1,

odstejemo 1 na obeh straneh, da dobimo

e

e− 1= 1 +

1

1 +2

2 +3

3 +. . .

=⇒1

e− 1=

1

1 +2

2 +3

3 +. . .

.

Nato zopet obrnemo ulomek, da dobimo

e− 1 = 1 +2

2 +3

3 +4

4 +5

5 +. . .

.

29

Na koncu pristejemo 1 na obeh straneh in dobimo neverjetno lep izraz

e = 2 +2

2 +3

3 +4

4 +5

5 +. . .

(13)

oziroma v krajsem zapisu

e = 2 +2

2+

3

3+

4

4+

5

5+. . .

30

7 ZAKLJUCEK

V zacetku diplomskega dela se seznanimo s kratko zgodovino veriznih ulomkov

in vidimo, da se prvi zametki pojavijo ze pred nasim stetjem. Razvijali so se vrsto

let in se tako spremenili v pravo teorijo. Podrobnejsega vpogleda v zgodovino se

nismo lotili, saj je podrobnejse raziskovanje zgodovine veriznih ulomkov preobsezno.

V nadaljevanju si nato ogledamo osnovne pojme veriznih ulomkov, njihov zapis, po-

leg tega se priblizamo tudi neskoncnim veriznim ulomkom, saj je kar nekaj znanih

stevil moc pokazati z neskoncnimi veriznimi ulomki in tako natancneje zapisati nji-

hove priblizke.

Med pisanjem sem naletela tudi na podrobnejso teorijo o iracionalnosti in tran-

scedentnosti veriznih ulomkov, a sem jo izpustila, saj zahtevnost presega diplomsko

delo. Je pa moc precej globlje raziskati verizne ulomke, njihove lastnosti in poveza-

nost z ostalimi teorijami matematike.

V prvem delu si ogledamo se osnove neskoncnih vrst in si poblizje ogledamo ne-

kaj znanih vrst, da si tako priblizamo izpeljavo nekaterih znanih vrst.

Osrednji del je namenjen spoznavanju povezav med veriznimi ulomki in ne-

skoncnimi vrstami z nekaterimi izreki in zgledi. Osredotocila sem se predvsem na

dva najpomembnejsa izreka, saj sem lahko z njuno pomocjo raziskala prav vse za-

stavljene cilje, ki sem si jih zadala pred pisanjem naloge.

Na koncu se ustavimo se pri znanih dveh konstantah, ki ju srecamo na vsakem

koraku. Podrobneje si torej ogledamo stevilo π in e, ter izpeljemo zapis z veriznimi

ulomki. Ti dve matematicni konstanti sem si izbrala zato, ker mi je predvsem

raziskovanje stevila π izjemno zanimivo in privlacno, predvsem zaradi tega, ker

se ze tako dolgo let ukvarja z njim veliko matematikov in se dandanes nekaterim

predstavlja izjemen izziv.

31

Literatura

[1] I. Vidav, Visja matematika, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov Slove-

nije, 2008.

[2] L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, Chapter 18, 1748.

[3] W.B. Jones, W.J. Thorn, Encyclopedia of Mathematics and its Applications,

Continued fractions, Cambridge University Press, 1984.

[4] H.S. Wall, Analytic theory of continued fractions, New York, Van Nostrand,

1948.

[5] J. Grasselli, Diofantske enacbe, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov Slo-

venije, 1984.

[6] Clanek o veriznih ulomkih. Dostopno na:

http://www.math.binghamton.edu/dikran/478/Ch7.pdf (12.4.2014).

[7] Splosne informacije o veriznih ulomkih. Dostopno na:

http://sl.wikipedia.org/wiki/Veri%C5%BEni ulomek (3.8.2014).

[8] Prispevek o vrstah. Dostopno preko:

http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/mod/resource/view.php?id=914 (11.8.2014).

[9] Zapiski predavanj o vrstah. Dostopno preko:

http://www.fmf.uni-lj.si/hladnik/Analiza/Vrste.pdf (11.8.2014).

[10] Osnovne informacije o Taylorjevi vrsti. Dostopno na:

http://sl.wikipedia.org/wiki/Taylorjeva vrsta (11.8.2014).

32