Vergleieh der Genauigkeit von Dezimalbrueh und Kettenbruch

Meinem verehrten Lehrer KURT REIDEMEISTER zum 70. Geburtstag

Von GtlsTAv LOOHS in Innsbruck

Die bekannten S~tze fiber die Approximation der reellen Zahlen dureh die N~herungsbrfiche ihrer regelm/iBigen Kettenbrfiehe lassen oft die Vermutung entstehen, dab zur Angabe einer Zahl mit etwa gleieher Genauigkeit viel mehr Dezimalstellen als Teilnenner des regelm/iBigen Kettenbruehes erforderlieh seien. Dal3 diese Vermutung nieht riehtig ist, dab vielmehr im allgemeinen fast ebenso viele Teilnenner wie Dezimal- stellen gebraueht werden, soll hier gezeigt werden. Genau formuliert lautet das Ergebnis:

Satz. Kann man aus den n ersten Dezimalstellen einer Zahl x (zwischen 0 und 1) m Teilnenner ihres regelmi~fligen Kettenbruches gewinnen, so ist

F~r /ast alle x lira m _ 6 log 2 log 10 _ 0,97027014.

n 7~ 2 " " ~

Die Menge der x , / a r die das nicht gilt, hat also das Marl O. Geben die ersten m Teilnenner einer Zahl x diese mit einem Fehler, der

zwischen 10 -~ und 10 -n-1 liegt, so gilt zwischen n und m die~dbe Beziehung.

Zuin Beweis verwende ieh das folgende Ergebnis yon A. KmNTCmN~ [1] und PAUL LI~Vu [2]:

Ist in der Bezeichnungsweise yon PE~RON [3] X = [0, bl, b2, . . . , b~, X~+l], sind also bl, b2 . . . . die Teilnenner, xl, x, . . . . die vollst~ndigen Quotienten, Am und B~ Z/~hler und Nenner des m-ten N~herungsbruches yon x, so gilt ffir fast alle x

~ 2

(1) lim ~lfB,~ ---- K1 mit log K~ ---- 12 log2"

Sei x irrational, y---- 10-n[10~x] der naeh den ersten n Stellen ab- gebroehene Dezimalbruch von x und z -= y + 10 -~, also y < x < z. Ferner mSgen die Kettenbrfiehe ffir y und z bis einsehliel~lieh b~ fiber- einstimmen, aber nicht welter. Dann gilt

An + (-1)~ Y =Bm (B~ Y~+I + B,.-1) B~

Vergleich der Genauigkei t yon Dezimalbruch und K e t t e n b r u c h 143

und entspreehendes ftir z, also

(2) z - - y = 1 0 - n ---- lYm+l--zm+ll (B~y~+a -b B,~-I) (BmZm+l Jr- B , n _ l ) "

Sei u der kleinere der beiden vollst/indigen Quotienten Y~+I und z~ea, v ihre Differenz und t ~ B,,_I/Bm. Aus (2) ergibt sich

(3) B ~ (u + t) ~ + ~ + t _ 10 - . V

Nun ist 0 < t < 1 < u, also 1 < u + t < 2u. Ftir v >_ 1 ist

(v + u + t)/v < l + 2u < 3u,

aber ffir v < 1 ist (v -j- u -4- t)/v < 3u/v. Also ist

1 < (u + t) v + u - ~ + t < 6u , v m ax (1, v) "

Aus (3) ergibt sich somit

(4) 21ogB,, < n l o g l O < 21ogB,~ + l o g 6 u 2 - - m i n ( O , logv).

Aus (1) folgt, dall ftir fast alle x

(5) B,, = m log K~ + o (m)

ist. Der erste Teil der Behauptung ist also bewiesen, wenn wir zeigen, dab ftir fast alle x log u = o (m) und fiir die v, die gr6ller als 1 sind, log v = o (m) ist.

Is t fiir ein x log u ~ o (m) nicht richtig, so gibt es ein g > 0 und unendlich viele m, ftir die u > e ~ gilt. Weil b~+ 1 > [u] ist, gibt es ein fl > 0, ftir das ftir diese m b~+~ > e ~m ist. Wegen Bm+l ---- bm+a B,, + B~_~ ist ffir diese m

(6) log B~+ 1 > tim + log Bin,

was mi t (5) nicht vertr/iglieh ist. I s t ffir ein x und unendlich viele m v < e-r ~ < 1, so sind ftir diese m

y~+~ und z~+l durch eine ganze Zahl c getrennt , denn sonst w/ire [y,~+~] = [z~+x] = b~+l, im Gegensatz zur Bes t immung von m. Da x~+ 1 zwisehen Y~+x und z~+~ liegt, ist aueh I x ~ + ~ - o I < e-r~ und b,~+x = c oder c - I. Im ersten Fall ergibt die Ket tenbruchentwicklung yon x~+~, dab b~+2 die Gr6Benordnung erm hat, im zweiten Falle ist b~+~ ~ 1 und b,,+3 ha t die angegebene GrSllenordnung. Auf jeden Fall t re ten also in der Ket tenbruchentwicklung von x unendlich viele Teilnenner b,,, auf, die v o n d e r GrSBenordnung er ~ sind, was wie vorhin zu (6) ffihrt. Alle x, ffir die die Behauptung des Satzes nicht gilt, liegen also in der Ausnahmemenge vom Malt 0, ftir die (1) nicht gilt.

144 Gustav Lochs. Vergleich der Genauigkeit von Dezimal- und Kettenbruch

Der zweite Teil des Satzes ergib t sich sofort so: Sind bl . . . . . bm be-

kann t , so weil~ man , dab x zwischen Am~B,, und (A,,, + A,,,_I)/(B,,, + B,~_I) liegt. Der Be t rag des Unterschiedes dieser beiden Zahlen sell also zwischen

10 -~ und 10 -~-~ liegen. D a n n ist

10 n ~ B.,(B., + B. ,_~ ) _~ 10 "+I .

Durch Logar i thmie ren und Berf icksicht igung yon (1) folgt die Be-

haup tung .

B e i s p i e l . Aus den ers ten 1000 Dezimalstel len yon ~ e rgaben s ich

968 Tei lnenner des K e t t e n b r u c h e s (siehe [4]).

G e g e n b e i s p i e l . Fiir e ist der Grenzwer t in (1) unendlich.

L i t e r a t u r

[1] A. KINTCHINE, Zur metrischen Kettenbruchtheorie, Compositio mathomatica 3 (1936) 276--285. Referat Zentralblatt 14, 254.

[ 2] PAUL L~vY, Sur le developpement en fraction continue d'un nombre choisi au hasard. Ebendort 3, 286---303. Referat Zentralblatt 14, 268.

[3] O. PERROI~, Die Lehre yon den Kettenbriichen, 1.--3. Aufl. B. G. Teubner, Leipzig- Stuttgart.

[4] G. LOCHS, Die ersten 968 Kettenbruchnenner yon .~. :~Ionatshefte ftir Mathe- matik 67 (1963) 311--316.

Eingegangen am 5. 4. 1963