Veneova zbirka 4.pdf

  • View
    1.087

  • Download
    107

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Zbirka iz matematike za 4. razred srednje skole, Vene Bogoslavov

Text of Veneova zbirka 4.pdf

  • mrVENE T. BOGOSLAVOV

    ZBIRKA RESEN1H ZADATA1

  • PREDGOVOR DVADESET SESTOM, PRERADENOM IZDANJU

    Prvo izdanje ove zbirke iza~lo je iz ~tampe januara 1968. godi-nc. Zbirka je napisana prema Nastavnom programu matematike za IV razred gimnazije prirodno-matematickog smera.

    U ovo izdanje uneH su slcdeci novi odeljci: Neka svojslva ele-mentarnih fimkcija, Granicne vrednosti funkcije, Asimptote krivih lini-ja u ravni (I glava): Primena izvoda pri odredivanju granicne vrednosti - Lopitalovo pravilo (II glava). U VIII glavi dati su neki veckorgeeni maturski pismeni zadaci, po~to se panova na maturi uvodi is pit iz matematike, i to u dva dela - pismeni i usmeni. Kompleksni brojevi su prebaceni u Zbirku rdenihzadataka iz matematike 3. Ove izmene su izvr~ene da bi Zbirke bile usaglasene sa nastavnim programom matematike za prirodno-matematicki smer kojije usvojio Prosvetni savet Srbije, a objavljen je u Sluzbenom glasniku Srbije 31. maja. 1991. godine.

    Recenzentu ovog izdanja Svelozaru Brankovicu, profesoru Pe-te beogradske gimnazije, zahvaljujem na pazljivom cHanju rukopisa i sugeslijama za njegovo pobolj~anje.

    Prema tdini zadaci se u ovoj zbirci mogu podeliti u tri grupe: lakse (20%), srednje (60%) i leze (20%). Tezi zadaci su oznaceni zvezdicama.

    Zahvaljujem svojoj supruzi NadeZdi na pomoci u pripremi i sredivanju rukopisa. Beograd, marta 1993. godinc AUTOR

    PREDGOVOR XXVII DOPUNJENOM IZDANJU

    U ovom izdanju VIII glava - Razni zadaci dopunjena je novim maturskim zadacima sa pismenog maturskog ispita u Junskom 1994. godine. Takode je unelo i osam testova sa prijern-mil isrita lla Bcogradskorn univerzitelu u periodu 1990. - 1994. gudirn

    AUTOR

    NAPOMENA UZ TRIDESETO IZDANJE

    U svom 40-godiSnjem poslojanju Zavod za udzbenike i nas-!avna sredstva objavio je veliki broj knjiga koje su imale vge izdanja i koje su postale nezaobilazan deo na~e kulture i obrazo-vanja. Takva je i Zbirka reSenih zadataka iz materna like 4, mr Venea Bogoslavova, profesora. Cinjcnica da je ovo izdanje tride-scto po redu govori dovoljno sarna za sebe. Sve zbirke profcsora Bogoslavova su viSe od zbirki i gotovo da je ncmoguce zamisliti srednjoSkolsku nastavu matematike bez njih. Rcdovnim oboga-civanjem novim zadacima, novim i po sadrzaju i po idcjama, zbir-ke su svaki put nove.

    Sticajem Jepih okolnosti, jubilarno izdanje ove zbirke pOklo-pilo se sa Zavodovim jubilejom i tako potvrdilo da se uspeh jcd-nog izdavata tcmelji na uglednim autorima i kvalitctnim knjiga-rna. NaSc cestitke profcsoru Bogoslavovu na njcgovim zbirkama rcsenih zadataka iz matematikc.

    Urednik iarko Jovie

    U Bcogradu, 19. decembra 1997.

    Glavni i odgovomi urednik dr Petar Pijanovic

  • ZADACI

    I GLAVA

    1. FUNKCIJE

    1.1. Neka svojstva elementarnih funkcija

    Definicija. Neka suA iB') neprazni skupovi. Funkcija (preslikava-nje)skupaA uskupB jesvakipodskupfskupaA x Bkojiimaova dva svojstva: 1 Skup svih prvih komponenatafjednakje skupuA. 2 (X'YI) Ef A (x,yi) Ef => y! = Y2' Parnost. Za funkcijuf, definisanu na simetricnom intervalu (-a,a), kaze se da j e: parna ako jef( -X) = f(x) zax E (-a, a) ; neparna ako je f( -X) = -f(x) zax E (-a, a) . Monotonost. Za funkciju f kaze se da je monotono rastuea, ako je tacna implikacija Xl f(x l )

  • lnverzno preslikavanje, II oznaci 1- 1 , jeste preslikavanje skupa f(A), odredeno jednakoscuf- 1 (f(x))=x 1,

    3.

    4.

    5.

    6.

    8

    Odrediti domen i kodomen realnih funkcija odredenih na sledeei nacin: a) f(x) = V 4 _x2 ; b) g(x) = V 4x _x2 ; c) 1/J (x) = In(x2 - 6x).

    Neka funkcijafpreslikava skup R na skupA i neka je: 1 2

    a) f(x) = -2:x - 1; b) f(x) =x2 - 9; c) f(;c) = _~x2 + 2. OdreditiskupA. Odrediti oblast definisanosti funkcije date formulom: a) f(x) = V log (3x2 - 2x);

    b) f(x) = 1

    c) y=(2x+8-x2)-2+log o.,(x-I); d) y = y10g o.5(3~::::: 8) -log o.s(x2 ::;:'4);

    3 e) y=--'2+ log(x2-x); 4-x

    J-.... ----..... 5X~X2 I) y= log 1o' 4--" Funkcijaf(x) definisana je na segmentu [0, 1].

    (x2 - 1 \

    Odrediti oblast dellnisanosti funkcije f x + ) . Aka je f (x) = x3 - :>x2 + 1, tada je f (2) + 2f (0) = f (1). Dokazati.

    2x + 1 . Ako je f (;c) = x _ 2 ' tada je f if (x)) = x. Dokazatl.

    7.

    8.

    9.

    ltl.

    iI.

    12.

    13.

    x-I Ako]'er(x) = -- lada]'c . J x+l' f(xl - fry) _ x -y 1 + f(;c)f(y) - 1 +xy . Dokazati.

    Ako je f (;c) = sinx, dokazati

  • 14.

    15.

    16.

    17.

    18.

    19.

    10

    Ispitati pamost sledecih funkcija: a) f(x) =x2_1_ 3cosx; b) f(x) =x2 + 1 + sinx2 ; c) f(x) =x3 + 2 + sinx;

    x d) f (x) = -. - + 1 . Slnx '

    sinx + tgx - x3 e) f (x) = 2

    COS X

    f( sin2 x + cos 3x 1) x) = --.,,-- 2'"-1 g) f (x) = 2'" + 1 ; 1

    h) f(x) = 2'" + 2'; i) f (x) = 2'" - rx.

    D . f k" f (1 + ay ata Jeun C1JU ormulom f (x) = . a'

    Dokazati da je data funkcija pama.

    Data je funkcija f (x) = log (x + V 1 + x2). Dokazati da je data fun-kcija nepama.

    Ak . f() 1-x . o Je x = log 1 + x ' tada Je

    f(a) + feb) = f (t : :b)' Dokazati. Data je funkcija f (x) = ax2 + bx. Odrediti rcalne parametre a i b tako da je f (x) - f (x - 1) = x. Zatim, dokazati da je zbir prvih n prirodnih brojeva jednak fen). Polinom f (x) treceg stepena, ciji je slobodni clan jednak nuli, zadovoljava jednakost f(x) - f(x - 1) =x2. Odrediti polinomf (x) i pckazati da je f (n) jednak zbiru kvadrata prvih n prirodnih brojeva.

    20.

    21.

    22.

    23.

    24.

    25.

    26.

    27.

    28.

    29.

    Odrediti osnovni period funkcije: x

    a) y=asinbx; b) y=tg2:;

    c) y = cos2 x; d) y = sin2 "'-. . 2'

    c) y = sinxcosx; 1) Y = tg (x + a).

    Funkcija y = sinx + ~ sin 2x + ~ sin 3x ima osnovni period w = 2n. Dokazati.

    Odrediti osnovni period i ampliludu funkcije y = a cospx +b sinpx.

    Odrediti osnovni period funkcije: a) y = cos4 x + sin4 x; b) y = cos6 x + sin6 x.

    Data jc funkcijaf (x) = x2 Odrediti njenu inverznu funkciju i skici-rati grafike funkcijaf (x) i rl (x). Data je funkcijaf(x) = log 2 (x - 1). Odrediti njenu inverznu fun-kcijujl i skicirati grafike za obe funkcije.

    Data je funkcija f (x) = 3x - L Odrediti njenu inverznu funkciju i nacrtati odgovarajuci grafik.

    Dokazati da je inverzna funkcija funkcije x+l

    t(x)=--x-I

    sarna ta funkcija i skicirati njen grafik. Data je funkcijaj(x)=iogz (x+~;2---::;::l). OdreditiF 1

    a1: _ a-x Data je funkcija f (x) = --:2::---Odrediti rl (a>l).

    "

  • 31.*

    32.*

    33,

    34,

    35.

    Da la j' e funkciJ' a J' (x) = d' - a -x , 'd' + a-x

    a) Pokazati da je funkcija[neparnu, I+x bl Pokazati da jej-l (xl=log, -'-, I-x

    NaCi eksplicitni analilicki izraz funkcije y = f (x), koja je implicitno definisana jednacinom

    ? In (x- - 1) + 3 In (v + 2) = 3, Odrediti z~tim oblas! definisanosti funkcijef i njenu inverznu funkciju 1'", za x > L

    Odredili inverznu funkciju 1'1 funkcije , 'r--;r===;; f(x) = Vx+VI+x2 + Vx -VI+x2

    Odrediti inverznu funkcijur1 funkcije: 2

    a) f (x) = 2 sin 3x ; b) [( ) x = 1- 2 cos x ;

    I , c) f(x) = 2(1 + cos X) ; d) fIx) = t sin2 x, Odrediti oblast definisanosti sledecih funkcija:

    x-2 a) f(x) = arccos~;

    b) fi" J/3=X ,3 - 2x \X) = - x + arc SIn 5 ;

    c) [(x) = V 4 - x2 + arc sin ;" : \ ;

    d) [(x) = arccos-x - + ~2, 1 +x

    Re~iti jednacinu: a) 4 arc tg (x2 - 3x - 3) =:n:; b) 6 arc sin (x2 - 6x + 8,5) = :n: .

    36. 11] _ x 2

    Funkcijafdalajeformu]om f(x) = /-;:-. -. Odredili ,va resenja fJ E [0, n J jednacine

    V3 f(sinfJ) = 3'

    37. * Dokazali da ni za jednu rcalnu vrednost x funkcija odredena for, x2+x+1 3 .. 1

    mu]omy = + 1 nema vrednosti veee od 2 1 manJe od 2'

    38. Skicirati grafike sJedeCih funkcija: a) y= Ixl + IX+21;

    ,-,,---

    b) y = V (x - 1)2 + V x 2 + 4x + 4; c) Y = Ix2 - 11; dl y = Ix - x"i - x;

    4 1 e) y = --' f) y =-.-; ~ - 4' SlUX

    1 g) Y = Icosxl ' h)y=2sinxlcosxl (0$x$2n).

    39. * Dokazali da je P (x) = A (x3 - x) (A = const) jedini polinom koji zadovoIjava jednakost (x - 1) P (x + 1) = (x + 2) P (x).

    40. * Odrediti realnu funkcij u [ koja zadovoIjava funkcionalnu jednaci-nU f (;,,:21) =5x+3.

    41.* Data je funkcija x ...,. f (x) = a + be'. Odredili realne brojevea, b, c, ako je [(0) = 5, fell = 14, f(2) = 50.

    x-I 42. Datajefunkcijaf(x) = x + 1 (x;: -1). Odrediti:

    a) f(f(x; b) re~enjajednacine f(f(x = 0,5; c) resenjajednacine f(x) - f(f(x = 0,5.

    13

  • 3.* Data je funkcijaJ(x)=x(l +X2)-O,5 UzracunatiJ(f(f(f(f(x)))),

    4. * Za funkcijuf(x) definisana je funkcija f" (x) na sledeci nacin:

    5.

    ~6.

    ~7.

    18.

    fl (x) = f(x), f"+I(X) = f(f"(x (n = 1,2",\ Ako jeJ(x)=x(l +X2)-O,5 dokazati da jeJn(x)=x(l +nx2)-O,5

    Data je funkcija f(x) = log2 X (x + 1) x+2

    a) Odrediti oblas! definisanosti funkcije[ b) Re~itijednacinu f(x) = 1. c) Re~iti nejednacinu f(x) > 0, d) Za koje vrednosti parametara a jednacina

    f(x) = log2 (x + a) ima rea Ina re~enja?

    D 'f k" f ( ~ 16 - x2 ata]e un cI]a . x) = . . . 1 - smxsm 7x

    a) Odrediti oblast definisanosti date funkcije. b) Ispitati da Ii je data funkcija pama iii neparna.

    Odrediti oblast definisanosti funkcije f (x) = V (x2 - 3x - 10) log2 (x - 3) .

    . 'x2 + 2x - 1 Ako]e f (x) = , tada je 3

    (1) 2f(x+2)+f(-x-l)=x2 +4x+4. Dokazati. Da Ii vazi obmuto?

    19. Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x) = V 16 - x2 log2 (x2 - 5x + 6).

    ;0. Odrediti oblast definisanosti funkcije f(x) = arcsin (4x2 + 2x _ 1) + 1I-(x---2-)-(x---3-)

    ~ x2

    4

    ,

    !

    51. D