Click here to load reader

Vektorska Algebra

  • View
    218

  • Download
    9

Embed Size (px)

Text of Vektorska Algebra

Vektori Sadraj: Operacije s vektorima (ponavljanje srednjokolskog gradiva)

Koordinatni sustavi i kanonska baza Skalarni umnoak Vektorski umnoak Mjeoviti umnoak Dvostruki umnoak

U fizikalnom svijetu lako emo prepoznati mnoge veliine ija se vrijednost izrazava brojem. To su primjerice duljina, povrina, volumen, temperatura, tlak, masa, kinetika energija, specifina gustoa... Njih nazivamo skalarnim veliinama. Meutim, neke se veliine ne mogu opisati samo brojem. Tako vjetar opisujemo njegovom jainom (brzinom gibanja zraka), ali i smjerom. Brzina je fizikalna veliina koja uz svoj iznos mora imati definiran i smjer. Isto e vrijediti i za ubrzanje, silu, moment sile, iznos elektrinog ili magnetskog polja itd.

Usmjerena duina du Usmjerena duina AB je duina za koju se zna poetna toka A i zavrna toka B. Dvije usmjerene duine AB i CD su jednake (piemo: AB = CD), ako i samo ako A su im poetna i krajnja toka iste, odnosno A=C i B=D. Usmjerenu duinu AB karakteriziraju tri podatka: 1. duljina od AB, u oznaci |AB|, definira se kao udaljenost toaka A i B; B

2. nosa od AB, u oznaci sAB, definira se kao pravac povuen kroz toke A i B; 3. orijentacija od AB, definiran kao relativan pojam na jednom pravcu (npr. AB i BA su suprotno orijentirane). sAB

A

B

Dvije usmjerene duine AB i CD su ekvivalentne (AB CD), ako postoji translacija koja prevodi jednu u drugu, tj. ako je etverokut ABDC paralelogram.

Definicija vektora ekvivalentne Sve meusobno ekvivalentne usmjerene duine nazivamo vektorom r (od lat. vector nositelj), tj. vektor a ini skup svih usmjerenih duina jednake duljine, paralelnog smjera i iste orijentacije. Pojedinu duinu iz tog skupa nazivamo reprezentantom (predstavnikom) vektora.

vektora. Zapis vektora. Vektor se najee oznaava slovom iznad kojeg je r postavljena strjelica: a . U novije doba je, pogotovo u knjigama, uobiajeno vektore pisati masnim slovima, ovako: a, b, x i slino, pa emo to i mi koristiti.

Po dogovoru, pisati emo i a = AB , poistovjeujui vektor s nekim njegovim reprezentantom. Vektor ne ovisi o izboru reprezentanta, dvije ekvivalentne usmjerene duine predstavljaju isti vektor. vektora. Opis vektora. Vektor u ravnini ili prostoru opisan je ukoliko se znaju sljedea tri podatka: 1. duljina vektora, u oznaci |a|, je duljina njegovog reprezentanta |AB|; a 2. nosa vektora, je pravac na kojem se vektor nalazi; 3. orijentacija na tom pravcu. Prema tome, usmjerene duine koje lee na paralelnim (mogue istovjetnom) pravcima, i imaju istu orijentaciju i jednaku duljinu definiraju isti vektor vektor. Ponekad je pogodnije govoriti o smjeru vektora. Smjer objedinjuje pojmove nosaa i orijentacije. Tako kaemo da je vektor odreen smjerom i iznosom. NulNul-vektor. Nul vektor se definira kao vektor duljine 0. Oznaavamo ga s 0. Tako je 0 = AA , za bilo koju toku A. Jedino kod nul-vektora nema smisla govoriti niti o nosau, niti o smjeru.

Skup svih vektora oznaavat emo slovom V. Ukoliko bude potrebno pojasniti, V2 e predstavljati sve vektore ravnine, a V3 vektore u prostoru. RadijRadij-vektor. Istaknimo jednu toku u prostoru i oznaimo ju slovom O. Mogue je za svaki vektor izabrati njegova reprezentanta tako da mu poetna toka bude ba ta toka O. Vektor OT nazivat emo tad radij-vektor toke T u prostoru. Kaemo da su vektori a i b su kolinearni ako lee na istom ili paralelnim pravcima. Ako su vektori a i b kolinearni, moemo odbrati toke O, A i B koje lee na istom pravcu takve da je a = OA, b = OB. Kaemo da su vektori a i b imaju istu orijentaciju ako se toke A i B nalaze s iste strane toke O. Vektori a i b imaju suprotnu orijentaciju ako se toke A i B nalaze s razliitih strana toke O.

Operacije s vektorima Zbrajanje vektora. Neka su a, b bilo kakvi vektori, AB bilo koji predstavnik vektora a te BC predstavnik vektora b s poetkom u toki B. Tad je zbroj vektora a + b odreden predstavnikom AC. Dakle,Zbrajanje po pravilu trokuta

AB + BC = AC.

VP4: Zbrajanje po pravilu paralelograma

VP1: Zbrajanje je asocijativno

Dakle, vektore zbrajamo tako da poetak drugog izaberemo u zavrnoj toki prvoga vektora. Ova operacija ima sljedea svojstva: VP1 VP2 VP3 VP4 (a + b) + c = a + (b + c), a b a + 0 = 0 + a = a, (a V)( a V) a + a= a + a = 0, a+b=b+a zbrajanje je asocijativno 0 je neutralni element za zbajanje postoji suprotan vektor a:= -a zbrajanje je komutativno

Svojstvo VP1 kaze da je zbrajanje asocijativno: nebitno je kojim se redom zbrajaju tri vektora. Dakako da identian zakljuak (koristeci princip indukcije) vrijedi i za zbroj vie od tri vektora. VP3 kaze da za svaki vektor iz V moemo pronai njemu suprotan vektor a, koji u zbroju s a daje nul-vektor. Zaista, ako je a prikazan usmjerenom duzinom AB , tad je njemu suprotan definiran sa a' = BA , posto je po definiciji zbrajanja AB + BA = AA = 0 . Svojstvo VP4 pokazuje da je zbrajanje vektora komutativno: svejednoje zbrajamo li prvi vektar s drugim ili drugi s prvim. Na tom se svojstvu zasniva definicija zbrajanja pomou pravila paralelograma.

Oduzimanje vektora. Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja . sa suprotnim vektorom: (a b = a + (-b) Grafiki vektore najlakse oduzimamo tako da im izaberemo reprezentante sa zajednikim hvatistem. Tada vrijedi: AB AC = CB.

Dva se vektora oduzimaju tako da se dovedu u zajedniko hvatite. Razlici odgovara vektor kome je hvatite u zavretku drugog a zavretak u zavretku prvog vektora.

Mnoenje vektora skalarom. To je operacija : R V V definirana na . sljedei nain: za realni broj vektor a ima

duljinu | a | = | | |a| a|, nosa identian nosau od a, orijentacija istu kao a ako je > 0, a suprotnu ako je < 0.

U zapisu mnoenja vektora sa skalarom obino izostavljamo znak , te piemo kratko a, 2AB i slino. To mnoenje ima sljedea svojstva: VP5 (a + b) = a + b, a VP6 ( + )a = a + a, a VP7 ( )a = (a). a

Ova slika opravdava svojstvo VP5 . Nacrtaj odgovarajue skice za svojstva VP6 i VP7.

Istaknimo (zbog potpunosti ovog popisa) i sljedee oito svojstvo: VP8 1 a = a. Primijetimo da je ( -1) a = -a (suprotan vektor). Posebno definiramo mnoenje s nul- vektorom: 0 := 0. Jedini Jedinini vektor. Neka je a 0 zadani vektor. S oznaavamo jedinini vektor vektora a To je vektor koji ima isti smjer kao i a, a duljina mu je 1. a. Dobijemo ga tako da vektor podijelimo s njegovom duljinom: r a a= r. a

V3 je vektorski prostor Svaki skup na kojemu se definirane dvije operacije: zbrajanje vektora i mnoenje vektora sa skalarom tako da su zadovoljena svojstva VP1 - VP8 naziva se vektorski prostor. Ovim smo provjerili da V3 smijemo nazivati vektorski prostor. Jednako tako su vektorski prostori i skupovi V1 vektora na pravcu i V2 vektora u ravnini. Linearna nezavisnost vektora. Vektori a1, a2,..., an su linearno nezavisni ako iz jednakosti 1a1+ 2a2 + ... + nan = 0 nuno slijedi 1 = 2 = ... = n = 0. prostora. Dimenzija i baza prostora. Najvei broj linearno nezavisnih vektora u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostora. Ako je n dimenzija prostora V tad svaki skup a1, a2,...,an od n linearno ,...,a nezavisnih vektora nazivamo bazom vektorskog prostora. Prostor V3 trodimenzionalni je prostor. Njegovu bazu ine bilo koja tri

nekomplanarna vektora. Vrijedi sljedea tvrdnja: Neka su a1, a2, a3 linearno nezavisni vektori u V3. Tada je prikaz vektora a V3 u obliku a = 1 a1 + 2 a2 + 3 a3 jednoznaan, tj. skalari 1, 2, 3 su jednoznano odreeni. Zato je V3 = { a = 1 a1 + 2 a2 + 3 a3: 1, 2, 3 R}. Slino vrijedi i za prostore V1 i V2.

Koordinatni sustavi i kanonska baza Koordinatni sustav u ravnini. Neka su a1i a2 dva nekolinearna vektora u ravnini sa zajednikim hvatistem u toki O. Toku O nazivat emo ishodistem koordinatnog sustava. Trojku (O, a1, a2) nazivamo koordinatni sustav u ravnini. Vektori a1 i a2 odreduju dvije koordinatne osi. Svakoj toki T u toj ravnini jednoznano odgovara radij-vektor OT . Njega pak moemo rastaviti po bazi a1, a2 i vrijedi

OT = x1 a1 + x2 a2.

Time je polozaj toke T opisan parom skalara (x 1, x2) . Njih nazivamo koordinate toke T u sustavu (O, a1, a2).

Koordinatni sustav u prostoru. Neka je O istaknuta toka u prostoru. Analogno gornjem, svaka tri nekomplanarna (= linearno nezavisna!) vektora a1,a2, a a3 odreduju koordinatni sustav (O; a1,a2,a3). a a Kanonska baza. Meu svim moguim bazama prostora V3 izdvojit emo jednu naroito podesnu za prikazivanje vektora. Kartezijev pravokutni koordinatni sustav ine tri medusobno okomite osi:(0,0,z)

(0,y,z) T(x,y,z)

Ox os apscisa, Oy os ordinata, Oz os aplikata.

(x,0,z)

(0,y,0)

(x,0,0) (x,y,0)

Zajednika toka O ovih osi je ishodite koordinatnog sustava. Izdvojimo toku na jedininoj udaljenosti od ishodista na svakoj od ove tri osi i pridruimo joj odgovarajui radij vektor: Toki E1 = (1, 0, 0) odgovara radij-vektor i = OE1 . Toki E2 = (0, 1, 0) odgovara radij-vektor j = OE2 . Toki E3 = (0, 0, 1) odgovara radij-vektor k = OE3 . k) Kartezijev sustav je zapravo sustav (O; i, j, k odreden tokom O i trima artezijev vektorima i, j, k Trojku vektora (i, j, k nazivamo kanonska baza prostora V3. k. i, k) Kako izgleda rastav nekog vektora u toj bazi? Krenimo s radij-vektorom bilo koje toke T(x, y, z). Za njega oevidno vrijedi OT = xi + yj+ zk. k Neka je sada a zadani vektor. Njega takoer moemo napisati kao linearnu kombinaciju vektora kanonske baze. Pri tom obino koristimo zapis: a = ax i + a y j + az k .

Kako se raunaju koeficijenti ax, ay, az? Neka su A(x 1 ,y 1 ,z 1 ) i B(x2,y2,z2) koordinate njegove poetne i zavrne toke. Taj se vektor moe napisati preko radijvektora tih toaka na nain: a = OB - OA = (x2 i + y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 - x1) i + (y2 - y1) j + (z2 - z1) k Prema tome, vrijedi ax = x2 - x1, ay = y2 - y1, az = z2 - z1.

Orijentacija ravnine i prostoraOpisana konstrukcija kartezijeva sustava nije potpuno precizna. Krenuvi od tri medusobno okomite osi, u mogunosti smo odabrati poredak jedininih vektora na njima na dva bitno razliita naina. Kako e izgledati orijentacija u prostoru? Prvi vektor i odaberimo na bilo kojoj od koordinatnih osiju, drugi vektor j takoer. Sustav (O; i , j ) tako dobiven u prostoru nema nikakve orijentacije, nju e odrediti tek izbor treeg vektora.

Za izbor treeg vektora k na treoj osi ostaju dvije bitno razliite mogunosti, moemo odabrati jedan od dva meusobno suprotna smjera. Dvije razliite mogunosti izbora vode nas do dva meusobno razliito orijentirana sustava. Da bismo ih razlikovali, nazivamo ih imenima: desni i lijevi koordinatni sustav. Desnim nazivamo onaj kod kojeg vektor i gleda u smjeru srednjaka, vektor j u smjeru palca a vektor k u smjeru kaiprsta desne ruke. Alternativno, desni sustav je onaj kod kojeg je ravnina (O; i , j ) gledana iz vrha treeg vektora k pozitivno orijentirana.

Lijevi sustavk I jI k j

Desni sustav

Ta su dva sustava (matematiki) potpuno ravnopravna. Meutim, uobiajeno je da se sve formule i razmatranja vrse samo u jednom sustavu. Pri tom se dogovorno odabire desni sustav.

Skalarni (ili unutarnji) umnoak Kut meu vektorima. Smatra se da jepojam kuta meu vektorima jasan: to je manji (po apsolutnom iznosu) od dvaju kutova koji zatvaraju zadana dva vektora (translatirana u zajedniki poetak). Oznaavat emo ga sa = (a, b). a Prema tome, kut moze poprimiti vrijednost 0 .b Kut meu dvama vektorima a

Skalarni umnoak dvaju vektora a i b, u oznaci a b , je broj (skalar) definiranim na sljedei nain: a b = |a| |b| cos (a,b). ab (1)

Ako je jedan od vektora nul-vektor, tada je njihov skalarni umnoak po definiciji jednak nuli. Ta injenica, strogo govorei, ne slijedi iz (1), posto u tom sluaju ut medu vektorima nije definiran. Definicija (1) ima za posljedicu i formulu: |a|2 = a a . a

Takoer, ukoliko su vektori a i b okomiti, njihov skalarni umnoak a b = 0, jer je cos /2 = 0. Obratno, ako je a b = 0, tada moemo zakljuiti, da barem jedan od vektora a ili b jednak nul-vektoru, ili pak kut medu njima iznosi = /2, tj. vektori su okomiti. vektora vektor. Projekcija vektora na vektor. Neka su zadani vektori a = OA i b = OB. Projicirajmo ortogonalno toku B na pravac OA i oznacimo projekciju s B'. Vektor OB' naziva se (vektorska) projekcija vektora b na vektor a i oznaava sa ba.b

ba = |b| cos (a,b) abba a

Kako je a = |a| to skalarni umnoak moemo napisati kako slijedi: |a|, a b = ba a i a b = ab b.

Skalarna projekcija vektora na vektor. Skalarnu veliinu (tj. realan broj) |b| cos (a,b) nazivamo skalarna projekcija vektora b na vektor a i oznaavaab mo sa a(b). Prema tome, skalarni umnoak moemo napisati i na nain: b a b = |a| a(b)= b(a) |b|. b a Na osnovu same definicije mogue je dokazati sljedea temeljna svojstva skalarnog umnoka: (S1) pozitivnost: a a 0, a a = 0 a = 0, (S2) homogenost: (S3) komutativnost: (S4) distributivnost: ( a ) b = a ( b ) = (a b ), a a b = b a, a (b + c) = a b + a c. b

Ova svojstva omoguavaju nam da izraze sa skalarnim umnokom sreujemo

na prirodan nain: (2a + b) (3a - 2b) = (2a) (3a) + b (3a) - (2a) (2b) + b (-2b) a a b a a a a b b =6aa+3ba-4ab-2bb = 6 a a - a b - 2 b b. (Neki su koraci ubrzani!) Primjer: Dokai da su dijagonale romba meusobno okomite. Rjeenje: Oznaimo vektore stranica i dijagonala romba kao na slici desno. Vrijedi |a| = |b| i e = a + b, f = b a. b Zato je e f = (a + b) (b - a) = ab aa + bb - ba a b b a b a = -|a|2 + |b|2 = 0 |a| i stoga je e okomito na f.

Skalarni Skalarni umnoak u koordinatnom sustavu Na temelju definicije, u mogunosti smo napraviti tablicu mnoenja za skalarni umnoak. Neka je i, j, k kanonska baza prostora V3. Kako nju ine medusobno okomiti vektori jedinine duljine, to vrijedi i i = 1 j j = 1 k k = 1 i j = 0 j k = 0 k i = 0

Zapiimo te vrijednosti u tablici mnoenja skalarnog umnoka: j k i 1 0 0 i 0 1 0 j 0 0 1 k

Izraunajmo sada kako se rauna skalarni umnoak dvaju vektora zadanih svojim komponentama u kanonskoj bazi, koristei gornja svojstva.

Skalarni umnoak dvaju vektora a = a x i + a y j + a z k,rauna se formulom:

b = b x i + b y j + b z k,

a b = (axi + ayj + azk) (bxi + byj + bzk) = axbxii + axbyij + axbzik + aybxji + aybyjj + aybzjk i j k i j k + azbxki + azbykj + azbzkk i j k = axbx + ayby + azbz. Duljina vektora. Skalarni produkt vektora sa samim sobom daje kvadrat duljine vektora. Zato je r 2 2 2 a = ax + ay + az . Kut izmedu vektora. Ako su vektori zadani svojim komponentama, tad smo u mogunosti izracunati skalarni produkt direktno i pomou njega kut izmedu dvaju vektora: r r ax bx + ay by + az bz a b cos = r r = . 2 2 2 2 2 2 ab ax + ay + az bx + by + bz

Vektorski (ili vanjski) umnoak Vektorski umnoak dvaju vektora a i b je jedan novi vektor, u oznaci a b , s duljinom i smjerom definiranim na sljedei nain: (E1) duljina od a b definiramo kao |a b| = |a| |b| sin (a,b), ab (E2) nosa od a b je pravac okomit na oba vektora a i b, (E3) orijentacija od a b se odreuje tako da trojka (a ,b ,a b ) ini desni sustav. ab a ab a b

a

b

ab

Ako je jedan od vektora nul-vektor, vektorski je umnoak po definiciji i sam jednak nul-vektoru. To je u skladu sa svojstvom (E1).

Ukoliko su vektori a i b kolinearni, takoer, po uvjetu (E1) njihov vektorski umnoak jednak je 0 (nul-vektoru). (Preostala dva uvjeta vie nisu bitna.) Obratno, ako je a b = 0, tada moemo zakljuiti, ponovo po (E1), da vektori a i b moraju biti kolinearni, ili je pak jedan od njih jednak nul-vektoru. Geometrijska interpretacija. Apsolutna vrijednost vektorskoga umnoka povr |a b | jednaka je povrini paralelograma ab to ga zatvaraju ta dva vektora. r r ab ab r r b P ( ab ) = a b , ha = r ha a (a,b) aba

Na osnovu same definicije mogue je dokazati sljedea temeljna svojstva vektorskoga umnoka: 1) antikomutativnost: a b = - b a, 2) homogenost: 3) distributivnost: ( a ) b = (a b ), a (a + b c = a c + b c. a b)

Vektorski umnoak u koordinatnom sustavu Na temelju definicije, u mogunosti smo napraviti tablicu mnoenja za vektorski umnoak. Vrijedi (uvjeriti se u to!) i i = 0 j j = 0 k k = 0 i j = k j i = -k j k = i k j = -i k i = j i k = -j

Zapiimo te vrijednosti u tablici mnoenja vektorskog umnoka: i j k i j k 0 -k j k 0 -i -j i 0

Izraunajmo sada kako se rauna vektorski umnoak dvaju vektora zadanih svojim komponentama u kanonskoj bazi, koristei gornja svojstva.

Vektorski umnoak dvaju vektora

a = a x i + a y j + a z k,rauna se formulom:

b = b x i + b y j + b z k,i k = ax bx j ay by k az . bz

a b =

ay by

az bz

i

ax bx

az bz

j+

ax bx

ay by

(2)

Pri tome nas ne smije smetati to se u prvome retku ove determinante nalaze vektori. S njima moemo postupati i determinantu raunati onako kako smo do sad nauili, poto su definirane sve operacije zbrajanja i mnoenja koje pri tom mogu nastupiti. Dokaz: a x b = (a x i + a yj + a z k ) (b x i + b yj + b z k ) = a x b x i i + a x b yi j + a x b z i k + a yb x j i + a y b yj j + a yb z j k + a z b x k i + a z b yk j + a z b z k k = (a yb z - a z b y )i + i (a z b x - a x b z )j + (a x b y - a y b x )k . j k

vektorskoMjeoviti umnoak ili vektorsko-skalarni umnoak Ako meu tri vektora a, b i c rasporedimo skalarno i vektorsko mnoenje dobivamo takozvani mjeoviti umnoak. Taj je umnoak broj (tj. skalarna veliina). Oznaavamo ga s [a, b, c], a definiran je s a [a, b, c] := (a b ) c . a a Odredimo formulu za mjeoviti umnoak vektora zadanih u kartezijevim komponentama. Neka je a = axi + ayj + azk, b = bxi + byj + bzk, c = cxi + cyj + czk. Koristenjem formule za vektorski i skalarni umnoak dobivamo: r r r (a b) c = (a y b z - a z b y )i + (a z b x - a x b z ) j + (a x b y - a y b x )k [c x i + c y j + c k k ] (3)

[

]

ax = (a y b z - a z b y )c x + (a z b x - a x b z )c y + (a x b y - a y b x )c z = b x cx

ay by cy

az bz cz

.

Dakle, mjeoviti umnoak jednak je determinanti kojoj su retci komponente pojedinih vektora. Medutim, za determinante vrijedi sljedee:ax bx cx ay by cy az cx cy ay by cz bx by cy ay bz cz . az bz = a x c z bx az = c x bz a x

Koristei prikaz mjeovitog umnoka preko determinante i gornje svojstvo dobijamo da e za mjeoviti umnoak vrijediti: (a b) c = (c a) b = (b c) a. a c b Dakle mjeoviti umnoak ne mijenja vrijednost ciklikom zamjenom vektora. Nadalje, ako zamijenimo prva dva vektora, tad zbog antikomutativnosti vektorskoga umnoka (ili zamjene dvaju redaka u determinanti!) slijedi (a b) c = - (b a) c a b i slino za preostale dvije ciklike permutacije desne strane. Ova svojstva upuuju da je opravdano za mjeoviti umnoak koristiti oznaku [a, b, c], koja sugerira da je svejedno na koja emo mjesta staviti operacije a

skalarnoga i vektorskoga mnoenja. Tako vrijedi [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b] = -[b, a, c] = -[a, c, b] = -[c, b, a]. a b c b a c Geometrijska interpretacija. Naka su a, b, c tri nekomplanarna vektora. Oni razapinju paralelopiped abc kao na slici.

ab

V (abc ) = [a,b, c] ,

h=

[a,b, c]ab

Apsolutna vrijednost mjeovitog umnoka [a, b, c] je jednaka a |[a, b, c]| = |(a b ) c | = |a b| |c| cos a a a c pri emu je kut kojega zatvaraju vektori c i a x b (vidi sliku). Apsolutna

vrijednost vektorskoga umnoka |a b| jednaka je povrini paralelograma a kojeg razapinju ta dva vektora. Umnoak |c| cos odgovara projekciji vektora c c na os okomitu na taj paralelogram: to je upravo visina paralelepipeda abc . Zato je |(a b ) c | jednaka volumenu paralelepipeda abc . a umnoak, orijentacija Mjesoviti umnoak, determinanta i orijentacija baze. Primijetimo da je mjeoviti umnoak pozitivan ukoliko vektor c zatvara iljasti kut s vektorom a b . No, to upravo znai da trojka a, b, c ini desni sustav. Ovaj kriterij nam moe posluiti i za strogu definiciju orijentacije baze u vektorskom prostoru V3: baza a, b, c je pozitivno orijentirana (tj. trojka a, b, c ini desni sustav) ako je vrijednost a x a y az r r r a , b , c = b x b y bz > 0 . c x cy cz

[

]

Ukoliko je ta determinanta negativna, odgovarajua baza je negativno orijentirana ili lijeva.

Rastav vektora po bazi Neka je a, b, c bilo koja baza u prostoru V . Da bismo odredili komponente bilo kojeg vektora d u toj bazi, moemo krenuti od jednakosti d = a + b + c, gdje su , , traene komponente. Ako sve vektore prikaemo u kanonskoj bazi i, j, k, dobijamo: dxi + dyj + dzk = (axi + ayj + azk) + (bxi + byj + bzk) + (cxi + cyj + czk). Kada izjednaimo odgovarajue koordinate, dobivamo sljedei sustav ax + bx + cx = dx ay + by + cy = dy az + bz + cz = dz . Ovaj sustav uvijek ima jednoznano rjesenje posto su retci matrice linearno nezavisni vektori a, b, c. Odavde dobivamo, Cramerovim pravilom [d,b, c], [a, d, c], [a,b, d]. = = = [a,b, c] [a,b, c] [a,b,c]

Na taj nain imamo sljedeu formulu za rastav nekog vektora d po vektorima baze (a, b, c): a r [d,b, c ] r [a, d, c ] r [a,b, d] r d= a+ b+ c. (4) [a,b, c] [a,b, c] [a,b, c]

Koordinate vektora u ortogonalnoj bazi Kaemo da je baza a, b, c ortogonalna ako su svaka dva vektora u njoj meusobno okomita. Tada iz (4) dobijamo sljedei rastav vektora u ortogonalnoj bazi: Ako vektori (a, b, c) ine ortogonalnu bazu u V3, onda se svaki vektor d a prostora V3 moe prikazati u obliku:r r r r r r r da r db r dc r d = r a + r b + r c. 2 2 2 a c b

Koordinate Koordinate vektora u ortonormiranoj bazi Kaemo da je baza a, b, c ortonormirana ako je ortogonalna i ako su svi vektori u njoj jedinine duljine. Primjer takve baze je kanonska baza i, j, k. Rastav vektora po ortonormiranoj bazi iznimno je jednostavan. Pogledajmo kako izgleda taj rastav u kanonskoj bazi, u svakoj drugoj izvod je analogan. Kada vektor a = axi + ayj + azk pomnoimo skalarno s i dobivamo: a i = axi i + a yj j + azk k = ax, t.j. ax = a i.

Slino dobivamo i za druge komponente. Dakle, koordinate vektora a = axi + ayj + azk u ortonormiranoj bazi (i, j, k) i raunaju se formulama ax = a i , Prikaz vektora u takvoj bazi glasi: a = ( a i ) i + ( a j) j + ( a k ) k . ay = a j , az = a k .

Neka su , , kutovi koje zatvara vektor a s pozitivnim dijelovima koordinatnih osiju. Tada npr. vrijedi ax = a i = |a| cos, te je a a = |a|(cos i + cos j + cos k). a Specijalno, za jedinini vektor imamo = cos i + cos j + cos k. Kutovi , , nisu nezavisni, znajui dva moemo odrediti trei. Naime, raunajuci kvadrat norme gornjega vektora, dobivamo: 1 = cos2 + cos2 + cos2 .

vektorskoDvostruki vektorski umnoak ili vektorsko-vektorski umnoak Dvostruki vektorski umnoak je vektor (a x b) x c. a Takav se izraz javlja u mnogim primjenama i korisno je napisati ga u jednostavnijoj formi. Moe se pokazati da vrijedi (a x b) x c= (a c)b - (b c)a. a a b b a Primijetimo da je vektor a x b okomit na ravninu razapetu vektorima a, b. Kako je (a x b) x c okomit na a x b (i na vektor c), on mora leati u ravnini razapetoj a s a i b. Zato je taj vektor oblika a + b. Preostaje odrediti te skalare. Oznaimo traeni vektor s d, d = (a x b) x c. Vektor d moemo napisati u a komponentama d = dx i + dy j + dz k. Pri tome za komponente vrijedi dx = d i, dy = d j, dz = d k. Sada raunamo dx = [(a x b) x c] i = (a x b) (c x i) a a c

i = ax bx

j ay by

k i az c x bz 1

j cy 0

k c z = (axcx + aycy + azcz)bx (bxcx + bycy + bzcz)ax 0

= (a c)bx - (b c)ax. a b Slino dobivamo da je dy= (a c)by - (b c)ay, dz= (a c)bz - (b c)az. Zato je a b a b (5) d = (a c)(bxi + byj + bzk) - (b c)(axi + ayj + azk) = (a c) b - (b c) a. b a b Vrijedi li (a x b) x c = a x (b x c) ? Odgovor je: ne! Prvi vektor lei u ravnini a b razapetoj s a i b, drugi pak u ravnini koj urazapinju b i c. Ipak moemo iskoristiti dobivenu formulu (5) da odredimo i ovaj dvostruki umnoak: a x (b x c) = - (b x c) x a = (a c) b - (a b) c b b a a

(a x b) x c a x (b x c) a b

(a x b) x c a

a x (b x c) b