Vektoranal­zis - bantay/eldin/   1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK Vektor: olyan mennyis©g,

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Vektoranal­zis - bantay/eldin/   1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK Vektor: olyan...

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

Vektoranalzis

1. Alapfogalmak

Skalr: egyetlen szmadattal (+ mrtkegysg) jellemezhet mennyisg.

Azonos dimenzij skalr mennyisgek - mrtkegysg-konverzi utn -

sszehasonlthatak s sszeadhatak egymssal, valamint kivonhatk

egymsbl; tetszleges dimenzij skalrokat szorozhatunk s osztha-

tunk egymssal (ha az oszt nem zrus).

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

Vektor: olyan mennyisg, amelyet egy nagysg s egy irny jellemez

(vektor hossza = nagysgnak abszolt rtke).

Zrus-vektor (~0): zrus hossz (s hatrozatlan irny) vektor.

Parallelogramma-szably: ~a s ~b vektorok ~a+~b sszege s ~a~b klnb-

sge az ltaluk kifesztett parallelogramma kt tlja.

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

skalr s ~a vektor ~a szorzata: ~a-val prhuzamos irny vektor, mely-

nek nagysga megegyezik -nak s ~a nagysgnak szorzatval (egy irny-

ba mutat ~a-val ha >0, egybknt ellenttes irny).

Mveleti szablyok:

~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c asszociativits

~a + ~b = ~b + ~a kommutativits

(~a + ~b) = ~a + ~b disztributivits

0~a = ~0

~a + ~0 = ~a

~a ~b = ~a + (1)~b

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

Skalrszorzat:~a ~b = |~a||~b| cos

ahol az ~a s ~b irnya ltal bezrt szg.

~a ~b = ~b ~a szimmetria

(~a + ~b) ~c = ~a ~c + ~b ~c linearits~a ~a = |~a|2 0 pozitivits

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

Vektorilis (kereszt-)szorzat: ~a~b olyan vektor, amely merleges mind-

kt vektorra, nagysga pedig megegyezik a kt vektor ltal kifesztett

parallelogramma eljeles terletvel.

|~a~b| = |~a||~b| sin

|~a ~b|2 + |~a ~b|2 = |~a|2|~b|2

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

Ortogonalitsi felttel: |~a ~b| = |~a||~b|! ~a ~b = 0 ! ~a s ~b irnyai

merlegesek egymsra (vagy valamelyikk hossza zrus).

Prhuzamossgi felttel: ~a ~b = ~0 akkor s csak akkor, ha ~a s ~b

vektorok prhuzamosak.

Mveleti szablyok:

~b~a = ~a~b antiszimmetria

(~a + ~b)~c = (~a~c) + (~b~c) linearits

~a(~b~c) = (~a~c)~b (~a~b)~c kifejtsi ttel

(~a~b)(~c~d) = (~a~c)(~b~d)(~a~d)(~b~c) Lagrangeazonossg

~a(~b~c) = ~b(~c~a)

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

~a (~b~c)=vol(~a, ~b,~c

)az ~a, ~b s ~c vektorok ltal kifesztett paralelepi-

pedon (eljeles) trfogata .

Vektorok numerikus jellemzse vektorkomponensekkel.

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

Hrom, nem egy skba es ~e1,~e2 s ~e3 vektor bzist alkot: minden vektor

egyrtelmen elllthat a lineris kombincijukknt, azaz brmely ~a

vektor elll

~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3

alakban valamely a1, a2 s a3 skalr egytthatkkal, az ~a vektor {~e1,~e2,~e3}

bzisra vonatkoz vektorkomponenseivel.

Egy msik {~e1,~e2,~e3} bzisra vonatkoz ai komponensek az ai-k lineris

kifejezse

ai =j

Tijaj

ahol Tij a bzistranszformci mtrixa.

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

Elemi vektormveletek kifejezse vektorkomponensekkel (dimenzitlanbzisvektorok)

(~a)i = ai

(~a + ~b)i = ai + bi

Ortonormlt bzis: egysgnyi hossz, klcsnsen merleges (ortogon-

lis) vektorokbl ll bzis.

~ei ~ej = ij =

{1 if i=j

0 if i 6=j

szrevtel. vol(~e1,~e2,~e3

)= 1 brmely ortonormlt bzisra, pozitv

eljellel jobbsodrs, s negatv eljellel balsodrs esetben.

1 ALAPFOGALMAK 1 ALAPFOGALMAK

Az ~a vektor komponenseinek kifejezse egy {~e1,~e2,~e3} ortonormlt b-

zisra vonatkozan

ai = ~a ~ei

mg a klnfle vektorszorzatok kifejezse

~a ~b = a1b1 + a2b2 + a3b3

~a ~b = (a2b3 a3b2)~e1 + (a3b1 a1b3)~e2 + (a1b2 a2b1)~e3

s

vol(~a, ~b,~c

)= det

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

2 TENZOROK 2 TENZOROK

2. Tenzorok

Tenzor: vektorok kzti

A : ~x 7

A(~x)

lineris megfeleltets, azaz

A(~a + ~b) =

A(~a) +

A(~b)

brmely , skalrokra s ~a, ~b vektorokra.

Pldk tenzormennyisgekre: tehetetlensgi tenzor, deformcis tenzor,

feszltsgtenzor, stb.

2 TENZOROK 2 TENZOROK

Egy {~e1,~e2,~e3} bzisra vonatkozan az

A tenzor jellemezhet az

[A]

=

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

mtrix segtsgvel, melynek Aij elemeit az

A(~ei) =3j=1Aji~ej ssze-

fggs hatrozza meg.

Pldk:

1. A0 : ~x 7 ~0 zrustenzor, amely minden vektorhoz a zrusvektort

rendeli (mtrixnak minden eleme zrus).

2 TENZOROK 2 TENZOROK

2. Az1 :~x 7~x identitstenzor, amely minden vektort nmagba visz;

mtrixa az(

1 0 00 1 00 0 1

)egysgmtrix.

3. Az ~a s ~b vektorok diadikus szorzata az

~a ~b : ~x 7 (~b~x)~a

tenzor, melynek (ortonormlt bzisra vonatkoz) mtrixa

[~a ~b

]=

a1b1 a1b2 a1b3a2b1 a2b2 a2b3a3b1 a3b2 a3b3

2 TENZOROK 2 TENZOROK

Mveletek:

1. Egy skalr s egy

A tenzor szorzata az

A :~x 7

A(~x) tenzor,

melynek mtrixa[

A]

=[A].

2. Egy

A tenzor s egy ~a vektor szorzata az

A~a=

A(~a) vektor.

3. Az

A s

B tenzorok sszege az

A +

B :~x 7

A(~x) +

B(~x) tenzor,

melynek mtrixa[A +

B]

=[A]

+[B].

4. Az

A s

B tenzorok szorzata az

A

B : ~x 7

A(B(~x)

)tenzor,

melynek mtrixa[A

B]

=[A][

B].

5. Egy ~a vektor s egy

A tenzor keresztszorzata az ~a

A :~x 7~a

A(~x)

tenzor.

2 TENZOROK 2 TENZOROK

A +(B +

C)

=(A +

B)

+

C

A +

B =

B +

A

A (B

C)

=(A

B)

C

(

A +

B)

C = (

A

C) + (

B

C)

(~a + ~b) ~c = (~a ~c) + (~b ~c)

~c (~a + ~b) = (~c ~a) + (~c ~b)

(~a + ~b)

A = (~a

A) + (~b

A)

~a(

A +

B) = (~a

A) + (~a

B)

(~a ~b) (~c ~d) = (~b ~c)(~a ~d)

~a (~b ~c) = (~a ~b) ~c

~a (~b

A) = (~b ~a)

A (~a ~b)

A

(~a ~b)

A = (~b ~a ~a ~b)

A

3 SKALR-, VEKTOR- S TENZORMEZK 3 SKALR-, VEKTOR- S TENZORMEZK

3. Skalr-, vektor- s tenzormezk

Skalr-(vektor-/tenzor-)mez: adott tenzori jelleg helyfgg mennyisg.

Szemlletes geometriai jellemzs:

skalrmez szintfelletei, melyek mentn a vizsglt mez konstans

rtkeket vesz fel;

vektormez ervonalai (ramgrbi), mely grbk rintje minden

pontban prhuzamos a vektormez irnyval, mg loklis srsgk

arnyos a mez nagysgval.

3 SKALR-, VEKTOR- S TENZORMEZK 3 SKALR-, VEKTOR- S TENZORMEZK

Trbeli pontok jellemezhetk az ~r helyvektorukkal, azaz egy tetszlege-

sen vlasztott referenciapontbl az origbl a vizsglt pontba mutat

vektorral.

Helyfgg mennyisgek jellemezhetk a helyvektor fggvnyeivel, ame-

lyek megadjk az egyes mennyisgek rtkt a klnbz ~r helyvektor

pontokban.

Alternatv mdon, egy helyfgg mennyisg jellemezhet az ~r helyvek-

tor adott bzisra vonatkoz vektorkomponenseinek hromvltozs fgg-

vnyvel.

4 GRBEVONAL KOORDINTK 4 GRBEVONAL KOORDINTK

4. Grbevonal koordintk

Grbevonal koordintk: hromdimenzis tr pontjainak jellemzse

(u1, u2, u3)D vals szmhrmasokkal, ahol DR3 egy olyan rszhal-

maz (fundamentlis tartomny), melynek kt klnbz bels pontja kt

klnbz trbeli pontnak felel meg (hatrra ez mr nem szksgszer).

Grbevonal koordintk vlasztsa tetszleges, csak praktikus megfon-

tolsok befolysoljk (pl. szimmetria).

Grbevonal koordintk vlasztst jellemz ~r(u1, u2, u3) sszefggs

minden (u1, u2, u3)D szmhrmas esetn megadja a megfelel trbeli

pont helyvektort.

4 GRBEVONAL KOORDINTK 4 GRBEVONAL KOORDINTK

Konverzis fggvnyek: klnfle grbevonal koordintk kzti tvl-

tst jellemz ui(u1, u2, u3) fggvnyek, melyekre~r(u1, u2, u3)=~r(u1, u2, u3).

Ortogonlis koordintk: Gij=~r

ui ~r

uj=0 ha i 6=j.

Lamegytthatk: `i= ~rui

.velem: infinitezimlisan kzeli

(u1+du1, u2+du2, u3+du3

)s (u1, u2, u3)

grbevonal koordintj pontok kzti tvolsg ngyzete

ds2 = `21 du21 + `

22 du

22 + `

23 du

23

Trfogatelem

V = vol( ~ru1

,~r

u2,~r

u3

)= `1`2`3

4 GRBEVONAL KOORDINTK 4 GRBEVONAL KOORDINTK

Pldk:

1. (x, y, z) Descartes-koordintk, aholD = {(x, y, z) |

4 GRBEVONAL KOORDINTK 4 GRBEVONAL KOORDINTK

2. (%, , z) hengerkoordintk

D = {(%, , z) |0%

4 GRBEVONAL KOORDINTK 4 GRBEVONAL KOORDINTK

3. (r, , ) gmbkoordintk

D = {(r, , ) |0r

4 GRBEVONAL KOORDINTK 4 GRBEVONAL KOORDINTK

1. Descartes-koordintk hengerkoordintk:

% =x2 + y2 x = % cos

= arctan(yx

)y = % sin

z=z

2. Descartes-koordintk gmbkoordintk:

r =x2 + y2 + z2 x = r cos sin

= arctan(yx

)y = r sin sin

= arccos( z

x2 + y2 + z2

)z = r cos

4 GRBEVONAL KOORDINTK 4 GRBEVONAL KOORDINTK

Helyfgg loklis bzisvektorok

~ei =1

`i

~r

ui

Ortogonlis koordintk esetn ortonormlt bzist alkotnak.

Vektor- s tenzorkomponenseket a loklis ~ei(~r) bzisra szoks vonatkoz-

tatni

~w(~r) =3i=1

wi(~r)~ei(~r)

wi(~r